5.4 Základní vlastnosti limit

V této podkapitole prozkoumáme základní vlastnosti limity funkce (a tedy i posloupnosti).

Začněme zcela základním postřehem. Funkce v daném bodě buď limitu nemá, nebo ji má a její hodnota je pak dána jednoznačně. Jinak řečeno, žádná funkce v daném bodě nemůže mít dvě různé limity. Pokud tedy dva lidé počítají jeden příklad a vyjde jim rozdílný výsledek, pak alespoň jeden z nich musel někde ve výpočtu udělat chybu.

Věta 5.2 (O jednoznačnosti limity)

Funkce $f$ má v bodě $a$ nejvýše jednu30 limitu.

Zobrazit důkaz

Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že máme funkci $f$, hromadný bod $a$ jejího definičního oboru a tato funkce má v tomto bodě dvě různé limity $b\in\overline{\R}$ a $c\in\overline{\R}$. Protože body $b$ a $c$ jsou různé, nutně existují dvě jejich okolí, označme si je $U_b$ a $U_c$, která jsou disjunktní, tj. $U_b \cap U_c = \emptyset$. Podle definice limity funkce existují ke každému z těchto okolí jistá okolí bodu $a$, označme si jejich průnik jako $V_a$, tato množina je stále okolím bodu $a$. Potom stále dle definice pro každé $x \in (V_a \cap D_f) \smallsetminus \{ a \}$ je $f(x) \in U_b$ a současně $f(x) \in U_c$. To ale není možné, protože tyto množiny jsou disjunktní!

$\square$

Následující pozorování plyne velmi přímočaře přímo z definice přeformulováním jedné jediné podmínky. Pro počítání a elementární úvahy může být velmi užitečné.

Pozorování 5.1 (Různé ekvivalentní formulace limity)

Buďte $f: A \to \R$ funkce, $a\in\overline{\R}$ hromadný bod jejího definičního oboru a $b \in \R$. Potom platí následující dvě ekvivalence.

  1. $\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$, právě když $\lim\limits_{x \to a} |f(x) - b| = 0$.

  2. $\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0$, právě když $\lim\limits_{x\to a} |f(x)| = 0$.

Zobrazit důkaz

Druhý bod plyne z prvního. V prvním bodě stačí položit $b = 0$. Ekvivalence v prvním bodě vychází z definice limity funkce a jednoduchých ekvivalencí

\begin{equation*} f(x) \in U_b(\varepsilon) \ \Leftrightarrow \ |f(x) - b| < \varepsilon \ \Leftrightarrow \ |f(x) - b| \in U_0(\varepsilon), \end{equation*}

platných pro libovolné $\varepsilon > 0$. Pozor, všimněte si, že zde předpokládáme $b \in \R$, nepřipouštíme nekonečné $b$.

$\square$

Dále je užitečné a přímočaré následující tvrzení ukazující chování limity vůči zúžení definičního oboru funkce.

Věta 5.3 (O limitě zúžení)

Mějme funkci $f$ a bod $a\in\overline{\R}$, který je hromadným bodem definičního oboru $D_f$ funkce $f$. Dále uvažme množinu $M \subset D_f$ takovou, že bod $a$ je stále jejím hromadným bodem.

Potom pokud limita $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = b \in \overline{\R}$, pak i pro funkci $g \ceq f|_M$, zúžení funkce $f$ na množinu $M$, platí $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = b$.

Zobrazit důkaz

Pouhé přepsání definice a využití pozorování: pokud nějaká vlastnost $V(x)$ platí pro všechna $x \in A$, pak platí i pro všechna $x \in B \subset A$.

$\square$

Poznámka 5.8

Tato věta není přímo použitelná pro posloupnosti (jedna z nich by neměla definiční obor celé $\N$, což nepřipouštíme). Jistou analogií pro posloupnosti je věta o limitě vybrané posloupnosti, ke které se dostaneme zanedlouho.

Další věta nám ukazuje důležitou souvislost pojmů „limita posloupnosti“ a „limita funkce“. Díky této větě můžeme některé limity posloupností počítat pomocí znalosti limity funkcí. Výhoda tohoto postupu spočívá v tom, že na limity funkcí můžeme použít nástroje diferenciálního počtu (jako například l'Hospitalovo pravidlo), které pro posloupnosti nemáme k dispozici.

Věta 5.4 (Heine)

Limita $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)$ je rovna $b \in \overline{\R}$, právě když $a$ je hromadným bodem $D_f$ a pro každou posloupnost $(x_n)_{n=1}^\infty$ s limitou $a$, jejíž členy splňují $\{x_n \mid n\in\N\} \subset D_f \smallsetminus \{a\}$, platí $\displaystyle\lim_{n\to\infty} f(x_n) = b$.

Zobrazit důkaz

Implikace $\Rightarrow$ již byla dokázána, jde v podstatě o Větu 5.3. Důkaz druhé implikace $\Leftarrow$ v tomto textu vynecháváme.

$\square$

Pomocí Heineho31 věty, resp. věty o limitě zúžení, můžeme snadno počítat limity posloupností na základě znalosti limity funkce v $+\infty$. V předchozí části textu (Příklad 5.8) jsme například odvodili, že

\begin{equation*} \lim_{x\to+\infty} \sqrt{x} = +\infty. \end{equation*}

Odtud ihned plyne, že i pro limitu posloupnosti $\Big(\sqrt{n}\Big)_{n=1}^\infty$ platí

\begin{equation*} \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} = +\infty. \end{equation*}

Proč? Máme k dispozici dokonce tři způsoby argumentace:

  • Funkci $\sqrt{x}$ jsme zúžili na $\N$ (a získali tak onu posloupnost) a použili větu o limitě zúžení.

  • V Heineho větě jsme použili posloupnost s členy $x_n = n$, $n\in\N$.

  • V tomto případě bychom samozřejmě mohli i vyjít přímo z definice limity posloupnosti.

Heineho věta, resp. věta o limitě zúžení, má jeden velmi důležitý důsledek, pomocí kterého budeme moci naopak existenci limity funkce vyvracet.

Důsledek 5.2 (Vyvrácení existence limity funkce pomocí Heineho věty)

Nechť $a \in \overline{\R}$ je hromadným bodem definičního oboru funkce $f$. Dále nechť $(x_n)_{n=1}^\infty$, $(z_n)_{n=1}^\infty$ jsou dvě posloupnosti s členy z $D_f$, mající limitu $a$ a splňující podmínky $x_n \neq a$ a $z_n \neq a$ pro všechna $n\in\N$.

Pokud limity $\displaystyle\lim_{n\to\infty} f(x_n)$ a $\displaystyle\lim_{n\to\infty} f(z_n)$ existují a jsou různé, nebo alespoň jedna z nich neexistuje, potom limita $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)$ neexistuje.

Zobrazit důkaz

Sporem: kdyby limita $\lim\limits_{x\to a} f(x)$ existovala a měla hodnotu $\alpha$, pak by podle Heineho věty (Věta 5.4) pro libovolné dvě posloupnosti $(x_n)_{n=1}^\infty$ a $(z_n)_{n=1}^\infty$ s uvedenými vlastnostmi existovaly i limity posloupností $(f(x_n))_{n=1}^\infty$ a $(f(z_n))_{n=1}^\infty$ a obě měly stejnou hodnotu $\alpha$.

$\square$

Ukažme si použití Heineho věty a jejího důsledku na několika příkladech.

Příklad 5.14

Limita funkce $f(x) = \sin(x)$ v $+\infty$ neexistuje. Srovnejte tento příklad s Příkladem 5.18

Zobrazit důkaz

Intuitivně by tvrzení mělo být nepřekvapivé, zamyslíme-li se nad netriviálním periodickým chováním funkce $\sin$. Krásně této představy můžeme využít při volbě dvou „testovacích“ posloupností:

\begin{align*} x_n &\ceq 2\pi n, \\ y_n &\ceq 2\pi n + \frac{\pi}{2}, \quad n \in \N.\end{align*}

Obě posloupnosti $(x_n)_{n=1}^\infty$ a $(y_n)_{n=1}^\infty$ jsou tvořeny prvky definičního oboru funkce $\sin$ (tj. $\R$) a jsou různé od $+\infty$ a mají limitu $+\infty$. Pro obrazy jejích členů ale platí

\begin{align*} f(x_n) &= \sin(2\pi n) = 0 \to 0, \\ f(y_n) &= \sin\left(2\pi n + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \to 1.\end{align*}

Posloupnosti obrazů mají různé limity a proto dle Důsledku 5.2 limita $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \sin(x)$ neexistuje.

$\square$

Poznámka 5.9

Příklady 5.145.18 je vhodné doplnit ještě dvěma ukázkami. Rozmyslete si, že limita funkce

\begin{equation*} \lim_{x\to+\infty} \sin(2\pi x) \end{equation*}

neexistuje, ale limita posloupnosti

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \sin(2\pi n) \end{equation*}

existuje a je rovna $0$ (jde o limitu konstantní posloupnosti s všemi členy rovnými $0$).

Příklad 5.15

Limita

\begin{equation*} \lim_{x\to 0} \sin\left(\frac{1}{x}\right) \end{equation*}

neexistuje.

Zobrazit řešení

Označme $f(x) \ceq \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ a položme

\begin{equation*} x_n \ceq \frac{1}{2\pi n} \quad \text{a} \quad z_n \ceq \frac{1}{2\pi n + \frac{\pi}{2}} \quad \textrm{pro} \ n\in\mathbb{N}. \end{equation*}

Tyto posloupnosti splňují

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty} z_n = 0 \quad \textrm{a} \quad \{x_n | n\in\mathbb{N}\} \cup \{z_n | n\in\mathbb{N}\} \subset D_f = \R \smallsetminus \{0\}. \end{equation*}

Konečně

\begin{equation*} \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} f(x_n) &= \lim_{n\to\infty} \sin (2\pi n) = 0, \\ \lim_{n\to\infty} f(z_n) &= \lim_{n\to\infty} \sin \left( 2\pi n + \frac{\pi}{2} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1. \end{aligned} \end{equation*}

Pro představu uvádíme Obrázek 5.5. Z obrázku je patrné, že limita posloupnosti obrazů závisí na způsobu, resp. konkrétních krocích, jakým se k bodu $0$ blížíme32.

Obrázek 5.5: Graf funkce $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$. Limita této funkce v bodě $0$ neexistuje.