5.1 Limita číselné posloupnosti

V této podkapitole zavedeme pojem limity posloupnosti. Hlavní myšlenkou je vyjádření intuitivního požadavku, aby se „členy posloupnosti $a_n$ blížily libovolně blízko k jistému číslu $\alpha$.“ Proč by nás takováto otázka měla zajímat? V praxi je často potřeba zjistit, jestli proces, který členy dané posloupnosti popisují, někam spěje (např. jestli posloupnost jistých aproximací konverguje k hledanému řešení jistého problému).

Poznamenejme, že limita není jediným nástrojem pro zkoumání chování členů posloupností pro velké indexy $n$. Již dříve jsme se setkali s asymptotickými mezemi $o$ a $\mathcal{O}$ a hromadnými body posloupností.

Přistupme nyní bez dalších okolků k definici limity číselné posloupnosti.

Definice 5.1 (Limita posloupnosti / limit of a sequence)

Reálná posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ má limitu $\alpha\in\overline{\R}$, právě když pro každé okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ lze nalézt $N \in\N$ takové, že pro všechna $n\in\N$ větší nebo rovno než $N$ platí $a_n\in U_\alpha$. V symbolech

\begin{equation}\label{eq_def_posl}\tag{5.1} \big(\href{Pro všechna okolí bodu \(\alpha\)...}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\forall U_\alpha}} \big) \big(\href{...existuje přirozené \(N\), tak že...}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\exists N\in\N}} \big) \big(\href{...pro všechna přirozená \(n\) platí:...}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\forall n \in \N}} \big) \big(\href{...pokud \(n\) je větší nebo rovno než \(N\), potom \(a_n\) patří do \(U_\alpha\).}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{n \geq N \, \Rightarrow \, a_n \in U_\alpha}} \big). \end{equation}

Tuto skutečnost můžeme zapsat několika možnými ekvivalentními způsoby:

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} a_n = \alpha \quad \text{nebo} \quad \lim a_n = \alpha \quad \text{nebo} \quad a_n \to \alpha. \end{equation*}

Slovně můžeme Definici 5.1 přeformulovat i takto: $\alpha\in\overline{\R}$ je limitou posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$, právě když v každém okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ leží všechny členy posloupnosti s dostatečně velkým indexem, tj. všechny až na konečný počet výjimek. Na druhou stranu, k tomu aby $\lim a_n = \alpha$ ale nestačí, aby v každém okolí bodu $\alpha$ leželo nekonečně mnoho členů posloupnosti. Uvažte například posloupnost

\begin{equation}\label{eq-posl-hrom}\tag{5.2} a_n = \begin{cases} n, & n \ \text{je sudé}, \\ \frac{1}{n}, & n \ \text{je liché}. \end{cases} \end{equation}

V každém okolí bodu $0$ leží nekonečně mnoho jejích členů, ale tato posloupnost nemůže mít $0$ jako limitu, protože mimo toto okolí leží taktéž nekonečně mnoho jejích členů. Podobně tomu je s případem $+\infty$. Prvních několik členů této posloupnosti je znázorněno na Obrázku 5.1. Na druhou stranu ale platí, že $0$ i $+\infty$ jsou hromadnými body této posloupnosti (rozmyslete!).

Zanedlouho uvidíme (Věta 5.2), že každá posloupnost má maximálně jednu limitu a proto značení zavedené na konci Definice 5.1 je korektní.

Poznámka 5.1

Pokud bychom v definici limity zaměnili „$N\in\N$“ za „$N\in\R$“, pak se její smysl nezmění. Význam zůstane také zachován připustíme-li „$n > N$“ místo „$n \geq N$“. Index $N$ totiž vyjadřuje pouze to, že inkluze $a_n \in U_\alpha$ platí pro všechna dostatečně velká $n$.

Jinak řečeno, nerovnosti $n \geq 4$, $n > 3$ a $n \geq 3.75$ pro přirozená $n$ popisují stejné množiny přirozených čísel.

Obrázek 5.1: Grafické znázornění posloupnosti definované v rovnici (5.2).

Pokud uvažujeme $\alpha\in\R$, můžeme definici přeformulovat bez použití pojmu okolí. Každé okolí $U_\alpha$ je v tomto případě tvaru $(\alpha-\veps, \ \alpha+\veps)$ pro nějaké kladné $\veps$. Dále inkluze $a_n \in U_\alpha$ platí, právě když $|a_n - \alpha| < \veps$. Dostáváme tedy ekvivalentní formulaci definice,

\begin{align*} \lim_{n\to\infty} a_n &= \alpha \in \R \quad \Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow \quad \big(\href{Pro každé kladné \(\veps\)...}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\forall\veps \in\R, \ \veps > 0}} \big) \big(\href{...existuje přirozené \(N\) tak, že...}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\exists N \in \N}} \big) \big(\href{...pro všechna přirozená \(n\) platí...}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\forall n\in\N}} \big) \big(\href{...pokud je \(n\) větší nebo rovno než \(N\), pak vzdálenost \(a_n\) od \(\alpha\) je menší než \(\veps\).}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{n \geq N \, \Rightarrow \, |a_n - \alpha| < \veps}} \big).\end{align*}

Podobnou úvahou pro případ $\alpha = +\infty$ obdržíme následující tvrzení

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} a_n = +\infty \quad \Leftrightarrow \quad \big( \forall c\in\R \big) \big( \exists N \in \N \big) \big( \forall n \in \N \big) \big( n \geq N \, \Rightarrow \, a_n > c \big). \end{equation*}

Okolí bodu $+\infty$ totiž jsou intervaly tvaru $(c,+\infty)$. Rozmyslete si podmínku pro $\alpha = -\infty$.

Nyní si pochopení významu Definice 5.1 ozkoušíme na několika jednoduchých příkladech. Poté tento pojem zobecníme i na funkce a budeme zkoumat obecné vlastnosti limit posloupností i funkcí.

5.1.1 Použití definice na jednoduchých příkladech

Při počítání limit většinou (přímo) nepoužíváme Definici 5.1, ale výpočet zakládáme na znalosti jednoduchých (či elementárních) limit. Limity těchto posloupností samozřejmě musíme korektně odvodit. V této podkapitole si proto ukážeme použití Definice 5.1 na jednoduchých příkladech a tím snad i více osvětlíme pojem samotný.

Příklad 5.1

Limita konstantní posloupnosti $a_n = \alpha \in \R$, $n\in\N$, je rovna $\alpha$.

Zobrazit řešení

Při argumentaci postupujeme přesně podle Definice 5.1, stejně tomu bude i v dalších podobných příkladech. Buď $\veps > 0$ libovolné. Zvolíme-li jakékoliv $N\in\N$, třeba $N := 42$, potom pro $n \geq N$ triviálně platí

\begin{equation*} |a_n - \alpha| = 0 < \veps. \end{equation*}

Příklad 5.2

Limita posloupnosti $a_n = n^2$ je rovna $+\infty$.

Zobrazit řešení

Buď $c > 0$ libovolné. Zvolíme-li přirozené $N > \sqrt{c}$, pak pro každé $n \geq N$ platí $n \geq N > \sqrt{c}$ a tudíž $a_n = n^2 > c$.

Pro $c \leq 0$ je situace jednoduchá. Pro každé přirozené $n$ pak platí $n^2 > c$.

Příklad 5.3

Dokažte tvrzení $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$.

Zobrazit řešení

Buď $\veps > 0$ libovolné. Požadavek28

\begin{equation*} |a_n - 0| = \left|\frac{1}{n}\right| = \frac{1}{n} \overset{!}{<} \veps \end{equation*}

je ekvivalentní podmínce $n > \frac{1}{\veps}$. Stačí tedy k danému $\veps$ volit libovolné $N\in\N$ splňující $N > \frac{1}{\veps}$. Explicitně bychom mohli brát například $N \ceq \lceil \frac{1}{\veps} \rceil + 1$, kde $\lceil x \rceil$ označuje horní celou část reálného čísla $x$, tj. nejmenší celé číslo, které je větší nebo rovno $x$.

Potom pro $n \geq N$ platí $\frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \veps$. Pro ilustraci viz Obrázek 5.2. Všimněte si, že čím menší okolí zvolíme (čím menší je $\varepsilon$) tím větší musíme $N$ zvolit, aby všechny členy za ním padly do zadaného okolí.

Obrázek 5.2: Grafické znázornění posloupnosti $a_n = 1/n$ a volby $N$ pro jedno konkrétní $\veps$ v definici limity.
Poznámka 5.2

Z předchozích tří příkladů by mělo být patrné, že platí

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} n^a = \begin{cases} +\infty & a > 0, \\ 1 & a = 0, \\ 0, & a < 0. \end{cases} \end{equation*}

Toto tvrzení je poměrně snadné ověřit29 na základě definice stejně jako v předchozích příkladech.

Otázka 5.1

Pomocí definice si rozmyslete (pro daná okolí $0$, resp. $+\infty$ nalezněte příslušná $N$) následující tvrzení

  • $\displaystyle\lim_{n\to\infty} n^{5/2} = +\infty$,

  • $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{7/3}} = 0$.

Otázka 5.2

Dokažte nebo vyvraťte následující tvrzení: limita každé ostře rostoucí posloupnosti je $+\infty$.

Zobrazit odpověď

Tvrzení není pravdivé, stačí vzít například ostře rostoucí posloupnost $a_n = 1 - \frac{1}{n}$, $n\in\N$. Členy této posloupnosti splňují $a_n < 1$ pro každé $n\in\N$ a proto tato posloupnost nemůže mít jako limitu $+\infty$. Například interval $(2,+\infty)$, tedy jedno z okolí $+\infty$, neobsahuje ani jeden bod této posloupnosti.