Mezi trigonometrické funkce počítáme funkce $\sin$, $\cos$, $\tg$, $\cotg$ a inverzní funkce k vhodným zúžením těchto funkcí.
Konstrukce funkcí $\sin$ (sinus) a $\cos$ (kosinus) již není algebraická, jako u funkcí výše, ale vychází z geometrie. Funkce $\sin$ a $\cos$ definujeme pomocí jednotkové kružnice. Viz Obrázek 12.5 a Obrázek 12.6.
Proměnná $x$ má nyní význam úhlu měřeného od kladného směru vodorovné osy proti směru hodinových ručiček v obloukové míře (radiánech).
Funkce $\sin$ a $\cos$ mají jako definiční obor celou reálnou osu. Jsou periodické s periodou $2\pi$ a omezené, jejich obor hodnot je $H_{\sin} = H_{\cos} = \langle -1,1\rangle$. Nejsou prosté, ani na, ani (ostře) rostoucí či klesající (na celém svém definičním oboru). Funkce $\sin$ je lichá a funkce $\cos$ je sudá.
Přímo z definice těchto funkcí plyne formulka $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ (Pythagoras!47). Dále tyto funkce splňují důležité součtové vzorce
a z nich plynoucí vzorce pro dvojnásobný úhel
Existují i další vztahy, které na tomto místě vynecháme. Zde uvedené považujeme pro nás za nejdůležitější.
Všechny (a další) výsledky týkající se funkcí $\sin$ a $\cos$ plynou z jejich geometrické definice pomocí jednotkové kružnice.
Geometrická konstrukce se očividně nehodí například k výpočtu funkčních hodnot pomocí kalkulaček nebo počítačů! Jednou z možných metod výpočtu pomocí Taylorových polynomů se budeme zabývat příští semestr v BI-MA2.
Pokud si rozmyslíme geometrii ve vhodně zvolených rovnostranných a rovnoramenných trojúhelnících, dostaneme funkční hodnoty $\sin$ a $\cos$ pro některé význačné úhly, viz Obrázek 12.7.
Shrňte základní vlastnosti funkce $\sin$.
Definičním oborem funkce $\sin$ je množina $\R$, jejím oborem hodnot je interval $\langle -1,1 \rangle$. Tato funkce je omezená, není prostá ani na. Je periodická s minimální periodou $2\pi$. Není monotónní.
Shrňte základní vlastnosti funkce $\cos$.
Definičním oborem funkce $\cos$ je množina $\R$, jejím oborem hodnot je interval $\langle -1,1 \rangle$. Tato funkce je omezená, není prostá ani na. Je periodická s minimální periodou $2\pi$. Není monotónní.
Funkce $\tg$ (tangens) a $\cotg$ (kotangens) jsou odvozené od $\sin$ a $\cos$ pomocí vzorců
Tyto funkce již nejsou definované na celém $\R$, ale platí
Obě jsou periodické s periodou $\pi$, nejsou prosté ani omezené. Jsou na, jejich obor hodnot je $H_{\tg} = H_{\cotg} = \R$. Nejsou ani (ostře) rostoucí či klesající. Obě jsou liché funkce.
Shrňte základní vlastnosti funkce $\tg$.
Definičním oborem funkce $\tg$ je množina $\R \smallsetminus \{ \pi/2 + k\pi \mid k\in\Z \}$, jejím oborem hodnot je množina $\R$. Tato funkce není omezená ani prostá. Je surjektivní. Je periodická s minimální periodou $\pi$. Není monotónní.
Shrňte základní vlastnosti funkce $\cotg$.
Definičním oborem funkce $\cotg$ je množina $\R \smallsetminus \{ k\pi \mid k\in\Z \}$, jejím oborem hodnot je množina $\R$. Tato funkce není omezená ani prostá. Je surjektivní. Je periodická s minimální periodou $\pi$. Není monotónní.
Trigonometrické funkce $\sin$, $\cos$, $\tg$ ani $\cotg$ nejsou prosté. Neexistují k nim tedy inverzní funkce.
Postupujeme proto tak, že tyto funkce zúžíme na vhodný interval, na kterém již tyto funkce prosté jsou a inverzi mají. Standardní volba je následující:
V různých zdrojích a prostředích nepanuje zcela jednota v konstrukci funkce $\operatorname{arccotg}$.
My ji definujeme jako inverzi zúžení funkce $\cotg$ na interval $(0, \pi)$.
Například ale Mathematica pod funkcí ArcCot
chápe inverzi zúžení funkce $\cotg$ (v Mathematica k dispozici pod jménem Cot
) na množinu $(-\pi/2, \pi/2) \smallsetminus \{0\}$.
Výhodou „naší“ volby je, že funkce $\operatorname{arccotg}$ je definována na intervalu a je na něm spojitá a monotonní.
Spojitostí funkcí se bude zabývat v Kapitole 7.
Rozmyslete si, jaké vlastnosti má onen alternativní $\operatorname{arccotg}$.
Shrňte základní vlastnosti funkce $\arcsin$.
Tato funkce je definována jako inverze k zúžení funkce $\sin$ na interval $\langle -\pi/2, \pi/2\rangle$. Definičním oborem funkce $\arcsin$ je množina $\langle -1,1 \rangle$, jejím oborem hodnot je množina $\langle -\pi/2, \pi/2\rangle$. Tato funkce je omezená i prostá. Není surjektivní. Je ostře rostoucí.
Shrňte základní vlastnosti funkce $\arccos$.
Tato funkce je definována jako inverze k zúžení funkce $\cos$ na interval $\langle 0, \pi\rangle$. Definičním oborem funkce $\arccos$ je množina $\langle -1,1 \rangle$, jejím oborem hodnot je množina $\langle 0, \pi\rangle$. Tato funkce je omezená i prostá. Není surjektivní. Je ostře klesající.
Shrňte základní vlastnosti funkce $\arctg$.
Tato funkce je definována jako inverze k zúžení funkce $\tg$ na interval $( -\pi/2, \pi/2)$. Definičním oborem funkce $\arctg$ je množina $\R$, jejím oborem hodnot je množina $( -\pi/2, \pi/2 )$. Tato funkce je omezená i prostá. Není surjektivní. Je ostře rostoucí.