Matematická analýza 1

Pavel Hrabák, KAM FIT ČVUT Tomáš Kalvoda, KAM FIT ČVUT Ivo Petr, KAM FIT ČVUT

Logo

Obsah

1 Úvod

1.1 Obecné poznámky
1.2 Poznámky k obsahu
1.3 Formální náležitosti

2 Reálná čísla

2.1 Přirozená, celá a racionální čísla
2.2 Axiom úplnosti a reálná čísla
2.3 Rozšířená reálná osa
2.4 Okolí bodu na rozšířené číselné ose
2.5 Hromadný bod množiny
2.6 Reprezentace čísel v počítači

3 Funkce

3.1 Reálná funkce
3.2 Reálná funkce reálné proměnné
3.3 Intermezzo: Odhady
3.4 Asymptotické horní meze $o$ a $\mathcal{O}$

4 Posloupnosti

4.1 Definice reálné posloupnosti
4.2 Vlastnosti posloupností
4.3 Významné posloupnosti
4.4 Hromadný bod posloupnosti
4.5 Vybrané posloupnosti
4.6 Asymptotické horní meze $o$ a $\mathcal{O}$
4.7 Asymptotické vztahy $\omega$, $\Omega$ a $\Theta$

5 Limity funkcí a posloupností

5.1 Limita číselné posloupnosti
5.2 Limita funkce
5.3 Jednostranná limita funkce
5.4 Základní vlastnosti limit
5.5 Vztah hromadných bodů množin a limit
5.6 Limity vybraných posloupností
5.7 Asymptotická ekvivalence $\sim$
5.8 Limity a asymptotické vztahy ($\sim$, $o$, $\mathcal{O}$, $\Omega$, $\Theta$ a $\omega$)
5.9 Konvergence posloupností

6 Výpočet limit posloupností a funkcí

6.1 Věta o limitě součtu/součinu/podílu
6.2 Nerovnosti a limity
6.3 Věta o limitě složené funkce
6.4 Výpočet limit dalších význačných posloupností
6.5 Podílové kritérium pro posloupnosti

7 Spojitost funkce

7.1 Definice a kritéria spojitosti
7.2 Metoda půlení intervalu a řešení rovnice $f(x) = 0$
7.3 Vlastnosti spojitých funkcí
7.4 Spojitost elementárních funkcí
7.5 Typy nespojitostí
7.6 Další důležité limity a shrnutí
7.7 Limity funkcí tvaru $f(x)^{g(x)}$ se speciálním přihlédnutím k limitám typu $0^0$ a $1^\infty$
7.8 Shrnutí známých limit funkcí a posloupností

8 Derivace

8.1 Rychlost a hledání tečny
8.2 Derivace funkce
8.3 Vztah diferencovatelnosti a spojitosti
8.4 Derivace součtu, součinu a podílu
8.5 Derivace složené funkce
8.6 Derivace inverzní funkce
8.7 Derivace elementárních funkcí: přehled a příklady
8.8 Jednostranné derivace a derivace vyšších řádů

9 Analýza průběhu funkce

9.1 Maximum, minimum, supremum a infimum
9.2 Lokální extrémy funkce
9.3 Globální extrémy funkce
9.4 Věta o přírůstku funkce
9.5 L'Hospitalovo pravidlo
9.6 Důsledky pro monotonii funkce
9.7 Důsledky pro konvexnost/konkávnost
9.8 Kritéria pro hledání lokálních extrémů
9.9 Inflexní body a asymptoty
9.10 Shrnutí: vyšetřování průběhu funkce
9.11 Příklady

10 Aplikace

10.1 Newtonova metoda
10.2 Kubická interpolace
10.3 Popis složitosti algoritmů
10.4 Problém třídění
10.5 Umocňování

11 Dodatek: Definice a vlastnosti zobrazení

11.1 Zobrazení
11.2 Injekce, surjekce a bijekce
11.3 Obraz a vzor množiny při zobrazení
11.4 Zúžení a skládání zobrazení
11.5 Inverzní zobrazení
11.6 Uspořádání

12 Dodatek: Elementární funkce

12.1 Polynomy
12.2 Odmocniny
12.3 Racionální funkce
12.4 Trigonometrické (také goniometrické) funkce
12.5 Exponenciální a logaritmické funkce
12.6 Další funkce
12.7 Užitečné vztahy

13 Dodatek: Často kladené dotazy

13.1 Zobrazení a funkce na
13.2 Na střední jsme to dělali/značili/nazývali jinak
13.3 Značení inkluze
13.4 Definiční obory trigonometrických funkcí
13.5 Nula na nultou
13.6 Nutná podmínka, směr implikace

14 Přehled použitého značení

14.1 Přehled symboliky BI-MA1
14.2 Řecká abeceda