V této podkapitole odvodíme několik základních limit posloupností, které se často hodí znát při výpočtech. V předešlé části textu jsme totiž odvodili několik vět, které však v podstatě nelze použít, neznáme-li limity aspoň některých jednoduchých posloupností.
Připomeňme, že hned po zavedení pojmu limity posloupnosti jsme si prakticky odvodili limitu
Přistupme nyní k dalším příkladům.
Platí
Položme $h_n \ceq \sqrt[n]{n} - 1$. Z jedné strany platí $h_n \geq 0$ pro každé $n=1,2,3,\ldots$ Z binomické věty dostaneme pro $n \geq 2$
a tedy pro $n \geq 2$ platí
Pro $n \geq 2$ je výraz $\frac{n(n-1)}{2}$ kladný a můžeme jím proto poslední nerovnost vydělit a díky nezápornosti $h_n$ poté i odmocnit. Po těchto úpravách dostáváme
Odtud ihned pomocí věty o sevřené posloupnosti dostáváme $\displaystyle\lim_{n\to\infty} h_n = 0$. Graf této posloupnosti je pro názornost uveden na Obrázku 6.5.
Pro každé $a\in\R$, $a > 0$, je
Případ $a \geq 1$: Pro každé celé $n > a$ platí
V předchozím příkladě jsme však ukázali rovnost $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1$. Tudíž podle věty o sevřené posloupnosti $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1$.
Případ $0 < a < 1$: Z předchozí bodu plyne $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{a}} = 1$, tudíž
Pro ilustraci uvádíme Obrázek 6.6.
Platí
Při výpočtu této limity využijeme následující trik. Členy v součinu dvou faktoriálů promícháme v „zrcadlovém“ pořadí:
Z grafu paraboly $f(x) = x(n+1-x)$ je zřejmé (viz Obrázek 6.7), že
a proto $(n!)^2 \geq n^n$. Konečně, $2n$-tá odmocnina dává
Nechť $a\in\R$. Pak pro limitu reálné posloupnosti $(a^n)_{n=1}^\infty$ platí:
Jednoduché případy: Pokud $a=0$ nebo $a=1$, pak se jedná o konstantní posloupnost jejíž limita je rovna příslušné konstantě. Pro $a=-1$ jsme již ukázali, že limita $\big((-1)^n\big)_{n=1}^\infty$ neexistuje.
Nechť $0 < |a| < 1$. Platí
Posloupnost $\Big( \big| a^n \big| \Big)_{n=1}^\infty$ je tedy ostře klesající a omezená, $0 < \big| a^n \big| < |a|$. Z věty o limitě monotónní posloupnosti plyne existence konečné limity, označme ji $\displaystyle L = \lim_{n\to\infty} \big| a^n \big|$. Posloupnost $\Big(\big| a^{n+1} \big|\Big)_{n=1}^\infty$ je vybraná z $\Big(\big| a^n \big|\Big)_{n=1}^\infty$ a proto mají stejnou limitu. Konečně
Díky předpokladům nakladeným na $a$ odtud nutně plyne rovnost $L=0$.
Případ $a > 1$: Podobně jako v předchozím případě ukážeme, že $\big(a^n\big)_{n=1}^\infty$ je ostře rostoucí posloupnost zdola omezená např. číslem $1$. Existuje proto limita $\displaystyle L = \lim_{n\to\infty} a^n$. Protože posloupnost roste, musí nutně být $L > a$. Navíc platí
Protože ale $L > a > 1$ může tato nerovnost platit pouze v případě $L = +\infty$.
Případ $a < -1$: Pro vybranou posloupnost $\big( a^{2n} \big)_{n=1}^\infty = \Big( \big(a^2\big)^n \Big)_{n=1}^\infty$ nyní podle předchozího bodu platí $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a^{2n} = +\infty$, protože $a^2 > 1$. Limitu vybrané posloupnosti $\big( a^{2n+1} \big)_{n=1}^\infty$ snadno spočteme
Našli jsme dvě vybrané posloupnosti s různými limitami. Původní limita, tj. $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a^n$, tedy neexistuje.
Shrňme si doposud odvozené limity v Tabulce 6.1.
posloupnost | limita |
---|---|
\((n^a)_{n=1}^\infty\) | \(\displaystyle\begin{cases} +\infty, & a > 0, \\ 1, & a=0, \\ 0, & a < 0. \end{cases}\) |
\(\big(\sqrt[n]{n}\,\big)_{n=1}^\infty\) | \(1\) |
\(\big(\sqrt[n]{a}\,\big)_{n=1}^\infty\), | \(1\) pro \(a>0\) |
\(\big(\sqrt[n]{n!}\,\big)_{n=1}^\infty\) | \(+\infty\) |
\((a^n)_{n=1}^\infty\) | \(\displaystyle\begin{cases} 0, & |a| < 1, \\ 1, & a = 1, \\ +\infty, & a > 1, \\ \text{neexistuje}, & a \leq -1. \end{cases}\) |
Tabulka 6.1: Známé posloupnosti probírané v této sekci a jejich limity.
Každá reálná monotónní posloupnost má limitu. Tato limita je konečná, právě když je daná posloupnost omezená.
Nechť $(a_n)_{n=1}^\infty$ je libovolná posloupnost a $(k_n)_{n=1}^\infty$ je ostře rostoucí posloupnost přirozených čísel. Pak posloupnost $(a_{k_n})_{n=1}^\infty$ nazýváme posloupností vybranou z posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$. Posloupnost $(a_{k_n})_{n=1}^\infty$ nazýváme také podposloupností posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$.