11.5 Inverzní zobrazení

Přirozeně se nabízí otázka, jestli můžeme „změnit směr“ zobrazení $f\colon A \to B$. Přesněji, jestli zadanému prvku $x$ z oboru hodnot zobrazení $f$ můžeme jednoznačně přiřadit nějaký prvek v definičním oboru $D_f = A$, který by se na $x$ zobrazil pomocí $f$. To lze zřejmě pouze v případě, že každý prvek v oboru hodnot zobrazení $f$ má právě jeden vzor vzhledem k $f$, čili když zobrazení $f$ je prosté. Je-li tedy $f\colon A \to B$ prosté zobrazení, pak každému prvku $x$ z oboru hodnot $f(A)$ lze přiřadit právě jedno $y$ z množiny $A$ tak, že $x = f(y)$. Takto získané zobrazení nazýváme inverzním a značíme $f^{-1}$.

Tento úhel pohledu se mírně liší od přístupu použitého v BI-DML (viz ( BI-DML, Definice)), kde hlavním cílem je porovnávání velikostí množin pomocí mohutností. Tamní definici bychom mohli shrnout následovně.

Definice 11.9 (Inverzní zobrazení)

Je-li $f\colon A \to B$ bijektivní zobrazení, pak inverzní zobrazení $f^{-1}\colon B \to A$ k zobrazení $f$ definujeme pro každé $x \in B = f(A)$ předpisem $f^{-1}(x) = y$, kde $y$ je (za uvedených předpokladů nutně jednoznačně daný) prvek $A$ splňující $x = f(y)$.

Z této definice ihned plynou vztahy $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_{A}$ a $f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_{f(A)}$, přičemž $f^{-1}$ je jediné zobrazení, které tuto dvojici podmínek splňuje. Inverzi pro naše reálné funkce reálné proměnné zavádíme v hlavním textu v Definici 3.5.

Poznámka 11.3

Obecný způsob rozhodování o injektivnosti (prostotě) a surjektivitě (být na) lze vyjádřit pomocí řešitelnosti jisté parametrické úlohy. Mějme konkrétně46 zobrazení $f\colon A \to B$ a zamysleme se nad řešitelností rovnice

\begin{equation*} f(y) = x \end{equation*}

pro zadaný parametr $x \in B$ s neznámou $y$ nabývajících hodnot z $A$. Mohou nastat následující situace:

  1. Pro nějaké $x \in B$ tato rovnice nemá řešení $y \in A$. Tj. toto $x$ není v oboru hodnot zobrazení $f$ a $f$ tak není surjektivní (na).

  2. Pro každé $x \in B$, pro které má tato rovnice řešení, existuje právě jedno takové řešení $y \in A$. Tj. $f$ je prosté.

  3. Pro nějaké $x \in B$ má tato rovnice více než jedno řešení $y \in A$. Tj. $f$ není prosté.

Pokud jsme postaveni před úlohy určit vlastnosti zobrazení dle definice, tak si efektivně musíme rozepsat, jak rovnice $f(y) = x$ přesně vypadá a řešit ji pro neznámou $y \in A$ vzhledem k parametru $x \in B$.

Poznámka 11.4

Všimněte si, že vlastnost „být na“, tedy surjektivní, závisí na cílové množině. Například uvažme dvě zobrazení $f: \R \to \R$ a $g: \R \to \langle -1,1 \rangle$ definované stejným předpisem $f(x) \ceq \sin(x)$ a $g(x) \ceq \sin(x)$ pro $x \in \R$. První zobrazení není surjektivní (na), druhé zobrazení je surjektivní (na). Jsou to různá zobrazení, píšeme $f \neq g$.