Přistupme nyní k problému výpočtu derivace za předpokladu znalosti derivací funkcí, z kterých je derivovaná funkce „složena“. Nejprve opět prozkoumáme algebraické operace sčítání, násobení a dělení. V další podkapitole se podíváme na skutečné složení. Opět se jedná o aplikaci vět o limitách funkcí probraných v předchozí části textu.
Nechť funkce $f$ a $g$ jsou diferencovatelné v bodě $a$. Potom platí
$(f+g)^{\prime}(a) = f^{\prime}(a) + g^{\prime}(a)$,
$(f\cdot g)^{\prime}(a) = f^{\prime}(a) g(a) + f(a) g^{\prime}(a)$,
$\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}(a) = \frac{f^{\prime}(a)g(a) - f(a)g^{\prime}(a)}{g(a)^2}$, pokud $g(a) \neq 0$.
Pravidlo pro derivaci součinu se někdy též nazývá Leibnizovo pravidlo ( Gottfried Wilhelm von Leibniz, německý matematik a filozof, 1646 – 1716). Platí tedy například
Ukažme si, jak dokázat pravidla pro derivaci součtu a součinu funkcí. Předpokládejme, že funkce $f$ a $g$ jsou diferencovatelné v bodě $a$. Potom
Zde jsme použili Větu 7.2 o limitě součtu a součinu (výrazy jsou díky diferencovatelnosti definovány) a navíc jsme použili spojitost $f$ a $g$, která, jak víme z Věty 8.1, plyne z diferencovatelnosti.
$\square$
Důkaz vzorečku pro podíl se provede stejným způsobem. Ukažme si nyní použití věty č. 8.2 na několika důležitých příkladech.
Pro derivace funkcí $\tg$ a $\cotg$ platí
Pomocí pravidla pro derivaci podílu z Věty 8.2 dostáváme vztahy
platné na příslušných definičních oborech.
Multiplikativní konstantu lze při derivování vytknout. Přesněji, pro funkci $f$ diferencovatelnou v bodě $a$ a konstantu $c$ platí
Skutečně, pro konstantní funkci $g(x) = c$ z bodu o derivaci součinu ve Větě 8.2 plyne
protože derivace konstantní funkce je rovna nule.
Z Věty 8.2 (bod o derivaci součtu) a Pozorování 8.1 vlastně plyne, že pro dvě funkce $f$ a $g$ diferencovatelné v bodě $a$ a konstantu $c$ platí
Z tohoto úhlu pohledu lze o derivaci mluvit jako o lineárním zobrazení ve smyslu BI-LA2.
V tomto příkladu si ukážeme, jak funguje parabolické zrcadlo/anténa, či v opačném smyslu parabolický světlomet.
Pro jednoduchost si představme parabolu $y = \alpha x^2$, $\alpha > 0$ a paprsek rovnoběžný s osou $y$ přicházející z kladného směru osy $y$. Tento paprsek dopadá na parabolu v bodě o $x$-ové souřadnici $\beta > 0$ (parametr úlohy), odrazí se, a nás zajímá souřadnice jeho průsečíku s osou $y$. Chceme ukázat, že tento průsečík ve skutečnosti nezávisí na hodnotě $\beta$. Tj. všechny takovéto paprsky přicházející ze směru rovnoběžného s osou symetrie paraboly se soustředí v jejím ohnisku. Tato situace je graficky znázorněna na Obrázku 8.5.
Položme $f(x) = \alpha x^2$. Derivací této funkce je $f'(x) = 2\alpha x$. Tečna této funkce v bodě $\beta$ má rovnici
a má proto normálový vektor $\mathbf{u} = (-2\alpha\beta, 1)$ (míří doleva nahoru) a směrový vektor $\mathbf{v} = (1, 2\alpha\beta)$ (míří doprava nahoru), viz Obrázek 8.5.
Z vektorů $\mathbf{u}$ a $\mathbf{v}$ snadno nakombinujeme směrový vektor dopadajícího paprsku
Tento vektor $\mathbf{s}_1$ má tak vzhledem k bázi $(\mathbf{u},\mathbf{v})$ souřadnice $(1,2\alpha\beta)$.
Paprsek se od paraboly odrazí podle známého zákona o úhlu dopadu a odrazu vzhledem k tečně v bodě dopadu. Ekvivalentně řečeno, směrový vektor přímky reprezentující paprsek před a po odrazu získáme zrcadlením vůči přímce se směrovým vektorem $\mathbf{u}$ procházející bodem dopadu. K tomu stačí využít vyjádření směrového vektoru v bázi $(\mathbf{u},\mathbf{v})$, kde uvedené zrcadlení zachová první souřadnici a změní znaménko druhé souřadnice. Tj. odražený paprsek má směrový vektor
Vzhledem k tomu, že odražený paprsek také prochází bodem paraboly $(\beta,\alpha\beta^2)$, je jemu odpovídající přímka dána rovnicí
Souřadnice průsečíku této přímky a osou $y$ určíme konečně tak, že dosadíme za $x$ nulu a dopočteme souřadnici $y$, tedy
Vskutku vidíme, že ať už paprsek dopadal s jakoukoliv hodnotou $\beta$, tak tato souřadnice na $\beta$ nezávisí. Všechny paprsky se protnou v ohnisku, tedy bodu o souřadnicích $(0, 1/4\alpha)$.
Součet a součin dvou funkcí $f$ a $g$ definovaných na okolí bodu $a$ a spojitých v bodě $a$ je funkce spojitá v bodě $a$. Pokud navíc $g(a) \neq 0$, pak podíl $\frac{f}{g}$ je funkce spojitá v bodě $a$.