U posloupností $(a_n)_{n=1}^\infty$ jsme zkoumali, jak se chovají jejich členy pro velká $n$. Pokud se jejich členy „blížily“ k jistému $\alpha\in\overline{\R}$, pak jsme tuto hodnotu nazývali limitou této posloupnosti. Význam slova „blížit“ přesně popisovala Definice 5.1, která říkala, že v „každém“ okolí bodu $\alpha$ leží všechny členy posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$ až na konečný počet výjimek.
Nyní u funkcí se můžeme ptát, jak se zadaná funkce $f$ chová, když se nezávisle proměnná $x \in D_f$ blíží k zadanému bodu $a\in \R$, případně $\pm\infty$ (tj. pokud $x$ roste nad/pod všechny meze). V následující definici limity funkce si všimněte podobnosti s definicí limity posloupnosti (Definice 5.1).
Mějme funkci $f\colon A \to \R$, hromadný bod $a\in\overline{\R}$ množiny $A$ a bod $b\in\overline{\R}$. Funkce $f$ má v bodě $a$ limitu rovnou $b$, právě když pro každé okolí $U_b$ bodu $b$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že pokud $x \in U_a \cap A$ a $x \neq a$, pak $f(x) \in U_b$.
Formálně tento požadavek vyjadřuje formule
Tuto skutečnost symbolicky zapisujeme následovně
Učiňme nejprve několik důležitých komentářů k této definici. Pro přehlednost je formálně oddělíme jako samostatné Poznámky.
Je možné, že z dřívějšího studia znáte pojmy „vlastní“ a „nevlastní“ limita ve „vlastním“ / „nevlastním“ bodě. V BI-MA1 tyto pojmy nepoužíváme. Definice všech těchto pojmů je obsažena v naší Definici 5.2. Dále, dříve zavedený pojem limity posloupnosti (Definice 5.1) je přirozeně zahrnut v Definici 5.2. Definiční obor každé posloupnosti, tj. $\N$, má pouze jeden hromadný bod, konkrétně $+\infty$.
V případě, kdy $a$ (bod, kde se limita počítá) i $b$ (hodnota limity) jsou prvky $\R$ je podmínka
ekvivalentní požadavku, aby bod $a$ byl hromadným bodem definičního oboru funkce $f$ a
Analogické formule lze zformulovat pro různé kombinace případů $a,b\in\overline{\R}$.
Pokud bychom například měli situaci $a \in \R$ a $b = +\infty$, pak by podmínka (5.3) byla ekvivalentní požadavku hromadnosti $a$ ve vztahu k definičnímu oboru $f$ a dále
V případě $a = -\infty$ a $b = +\infty$ by pak podmínka v definici limity šla vyjádřit ve tvaru
Hodnota limity funkce $f$ v bodě $a$ závisí pouze na chování funkce $f$ na okolí bodu $a$ mimo bod $a$. Vysvětleme tento fakt pomocí následujících pozorování:
Limita funkce $f$ v bodě $a$ může být různá od funkční hodnoty $f(a)$, existuje-li. Příkladem budiž funkce $f(x) \ceq \sgn x^2$ definovaná na celém $\R$. Ačkoliv pro funkční hodnotu platí $f(0) = 0$, pro limitu máme $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = 1$.
Funkce $f$ v bodě $a$ ani nemusí být definovaná, přesto limita může existovat. Příkladem je funkce $f(x) \ceq \sgn \frac{1}{x^2}$, $D_f = \R \smallsetminus \{0\}$. Ačkoliv $0$ nepatří do $D_f$ platí $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = 1$.
Vztah mezi funkční hodnotou a limitou funkce v bodě $a$ později využijeme v definici spojitosti funkce.
K snazšímu vizuálnímu představení si požadavků v Definici 5.2 uvádíme Obrázek 5.3.
Pojďme si s definicí pohrát na několika jednoduchých, ale pro další počítání důležitých, příkladech.
Limita konstantní funkce $f(x) = c$, $x \in \R$, v libovolném bodě je rovna dané konstantě. Symbolicky $\displaystyle\lim_{x\to a} c = c$ pro každé $a\in\overline{\R}$.
Je-li $c\in\R$ zadaná konstanta a $f(x) = c$ pro každé $x\in D_f = \R$, pak pro libovolný bod $a\in\R$ platí $\lim_{x\to a} f(x) = c$. Skutečně, buď $U_b(\varepsilon)$ libovolné okolí bodu $b$ s poloměrem $\varepsilon > 0$. V případě naší konstantní funkce můžeme zvolit libovolné okolí $U_a$ bodu $a$. Pak totiž pro $x\in U_a \smallsetminus \{a\}$ jistě platí $f(x) = b \in U_b(\varepsilon)$.
Pro libovolné $a\in\overline{\R}$ platí
Skutečně, vezmeme-li libovolné okolí $U_a$ bodu $a$ pak pro $x\in U_a\smallsetminus\{a\}$ zcela jistě platí, že $x \in U_a$.
Platí
Skutečně, buď $U_{+\infty}(c) = (c, +\infty)$ okolí bodu $+\infty$ a $c > 0$. Hledáme okolí $U_0(\delta)$ bodu $0$ o poloměru $\delta > 0$ takové, že pokud $x \in U_0(\delta) \smallsetminus \{0\}$ pak $\frac{1}{x^2} \in U_{+\infty}(c)$. Požadujeme tedy aby
Stačí proto zvolit třeba $\delta := \frac{1}{\sqrt{c}}$.
Pokud bychom uvažovali $U_{+\infty}(d)$ s $d \leq 0$, pak zřejmě stačí za $\delta$ volit třeba $1$. Nerovnost $\frac{1}{x^2} > d$ platí pro taková $d$ vždy.
Pro každé $a\in\overline{\R}$ platí $\displaystyle\lim_{x\to a} |x| = |a|$. Připomeňme naši konvenční definici $|\pm\infty| = +\infty$.
Případ $a = +\infty$ je prakticky totožný jako v Příkladu 5.5. Zabývejme se nyní případem $a = -\infty$. Mějme okolí $U_{+\infty}(c) = (c, +\infty)$, bez újmy na obecnosti s $c > 0$. Pak zvolíme-li $d \ceq -c$, tak pro $x \in U_{-\infty}(d) = (-\infty, d) = (-\infty, -c) \subset (-\infty, 0)$ jistě platí $|x| = -x > c$ (protože $x < -c$).
Nyní rozebereme případ $a \in \R$. Mějme libovolné $U_{|a|}(\veps)$ okolí bodu $a$. Vezmeme-li $\delta \ceq \veps/2$ a $x \in U_{a}(\delta)$ pak s využitím Tvrzení 2.1 platí
Pro druhou odmocninu $\sqrt{x}$ a $a\in\langle 0, +\infty) \cup \{+\infty\}$ platí $\displaystyle\lim_{x\to a} \sqrt{x} = \sqrt{a}$. Připomeňme naši konvenční definici $\sqrt{+\infty} = +\infty$.
Případ $a = 0$: mějme $U_0(\veps)$ libovolné okolí bodu $0$. Je-li $x \in U_0(\delta) \cap D_{\sqrt{x}} = \langle 0, \delta)$ nenulové, pak podmínka $\sqrt{x} < \veps$ je ekvivalentní podmínce $x < \veps^2$. Stačí proto volit $\delta \ceq \veps^2$.
Případ $a = +\infty$: mějme $U_{+\infty}(c)$ libovolné okolí bodu $+\infty$. Případ $c \leq 0$ je triviální (rozmyslete!). Pokud $c > 0$ pak pro libovolné kladné $x$ je podmínka $\sqrt{x} > c$ ekvivalentní podmínce $x > c^2$. Pro každé $x \in U_{+\infty}(c^2)$ tedy platí $\sqrt{x} \in U_{+\infty}(c)$.
Prozkoumejme nyní případ $a \in (0, +\infty)$. Mějme $\veps > 0$ a hledejme k němu $\delta > 0$ tak, aby platila implikace
Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že $\delta < a/2$, pak pro každé $x \in U_a(\delta)$ platí $x > a/2$ a díky monotonii odmocniny i $\sqrt{x} > \sqrt{a/2}$. Potom pro $x \in U_a(\delta)$ platí
kde $c = \frac{1}{\sqrt{a/2} + \sqrt{a}}$ je kladná konstanta. Vidíme, že zvolíme-li $\delta < a/2$ a současně $\delta < \veps / c$, pak skutečně pro $x \in U_a(\delta)$ platí $|\sqrt{x} - \sqrt{a}| < \veps$.
V případě $k$-té odmocniny můžeme postupovat naprosto analogicky. Jen argumentace bude algebraicky náročnější, protože budeme muset použít známý algebraický vzorec
Doporučujeme studentům ale zkusit se poprat alespoň s případem třetí odmocniny.
Nechť $k \in \N$. Pro každé $a \in \R$ platí
Pro každé $a \in \langle 0, +\infty) \cup \{+\infty\}$ platí
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Bod $\alpha\in\eR$ nazýváme hromadným bodem množiny $M \subset \R$, právě když v každém okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ leží nějaký prvek množiny $M$ různý od $\alpha$.
Pod okolím bodu $a\in\eR$, ozn. $U_a$, máme na mysli buď okolí $U_a(\veps)$ pro nějaké $a\in\R$ a $\veps > 0$, nebo okolí $U_{\pm\infty}(c)$ pro nějaké $c\in\R$.