6.3 Věta o limitě složené funkce

Mnoho funkcí, na které narazíme, jsou složené funkce. Následující důležitá věta nám umožňuje počítat jejich limity, aniž bychom se museli obracet na definici limity.

Věta 6.4 (O limitě složené funkce)

Nechť $f$ a $g$ jsou funkce, $a$, $b$, $c$ jsou prvky $\overline{\mathbb{R}}$ a platí čtyři podmínky

  1. $\displaystyle\lim_{x\to a} g(x) = b$,

  2. $\displaystyle\lim_{x\to b} f(x) = c$,

  3. bod $a$ je hromadným bodem množiny $D_{f\circ g}$.

  4. buď $(\exists U_a)(\forall x\in D_g\cap U_a \smallsetminus \{a\})(g(x) \neq b)$ nebo $(b\in D_f \ \text{a} \ f(b) = c)$.

Potom pro limitu složené funkce $f \circ g$ platí $\displaystyle\lim_{x\to a} (f \circ g)(x) = c$.

Zobrazit důkaz

Mějme libovolné okolí $U_c$ bodu $c$. Potom dle předpokladů postupně platí:

  • existuje $V_b$ okolí bodu $b$ takové, že pro každé $x \in (V_b \cap D_f) \smallsetminus \{b\}$ platí $f(x) \in U_c$,

  • existuje $W_a$ okolí bodu $a$ takové, že pro každé $x \in (W_a \cap D_g) \smallsetminus \{a\}$ platí $g(x) \in V_b$.

Vezměme nyní libovolné $x \in (W_a \cap D_{f \circ g}) \smallsetminus \{a\}$ (dle předpokladu je toto neprázdná množina). Takovéto $x$ oplývá následujícími vlastnostmi: $x \in W_a$, $x \in D_g$, $g(x) \in D_f$ a $x \neq a$. Konečně zbývá využít podmínek v bodě čtyři.

  • První možnost: bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že $W_a \subset U_a$ a tedy $g(x) \neq b$ a tudíž $f(g(x)) \in U_c$.

  • Druhá možnost: pokud $g(x) \neq b$, pak $f(g(x)) \in U_c$, ale v tomto případě i pokud $g(x) = b$, pak $f(g(x)) = f(b) = c \in U_c$.

Tím je důkaz dokončen.

$\square$

Poznámka 6.3

Podmínka v bodě čtyři je důležitá. Demonstrujme to na následujícím lehce extrémním případě,

\begin{align*} f(x) &= \begin{cases} 1, & x \neq 0, \\ 2, & x = 0, \end{cases} \\ g(x) &= 0.\end{align*}

Pro tyto funkce platí $D_{f\circ g} = \R$ a

\begin{equation*} \lim_{x\to 0} g(x) = 0 \quad \text{a} \quad \lim_{x\to 0} f(x) = 1. \end{equation*}

Podmínky v bodě jedna a dva i tři jsou tedy splněny, ale ani jedna podmínka v bodě čtyři neplatí. Dále, složená funkce $f\circ g$ existuje a platí $(f \circ g)(x) = 2$. Její limita v bodě $0$ je zřejmě $2$, což není $1$.

Hrubě řečeno lze říci, že pokud se vnitřní funkce na okolí bodu $a$ nechová „pěkně“, nesplňuje bod čtyři předchozí věty, pak věta o limitě složené funkce nemusí platit.

Příklad 6.11

Vypočtěte limitu

\begin{equation*} \lim_{x \to 1} \sqrt[4]{x^2 + x + 1}. \end{equation*}

Zobrazit řešení

Označme

\begin{equation*} f(x) = \sqrt[4]{x} \quad \text{a} \quad g(x) = x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + 3/4 > 0. \end{equation*}

Z předchozího výkladu víme, že

\begin{equation*} \lim_{x\to 1} g(x) = \lim_{x\to 1} (x^2 + x + 1) = 3 \quad \text{a} \quad \lim_{x\to 3} \sqrt[4]{x} = \sqrt[4]{3}. \end{equation*}

Dále $D_{f\circ g} = \R$ a $1$ je hromadným bodem této množiny. Konečně $3$ patří do definičního oboru $D_f$ a $f(3) = \sqrt[4]{3}$. Dle předchozí věty proto

\begin{equation*} \lim_{x \to 1} \sqrt[4]{x^2 + x + 1} = \sqrt[4]{3}. \end{equation*}