11.2 Injekce, surjekce a bijekce

Podle dodatečných vlastností zobrazení vyčleňujeme následující tři důležité typy zobrazení. Opět jde o terminologii, kterou již důvěrně známe minimálně z definice ( BI-DML, Definice).

Definice 11.5 (Důležité typy zobrazení)

Zobrazení $f\colon A \to B$ je

  • prosté (injektivní), jestliže pro každou dvojici $x_1,x_2 \in A$ pro kterou platí rovnost $f(x_1) = f(x_2)$ platí i rovnost $x_1 = x_2$.

  • na (surjektivní), jestliže $f(A) = B$, to jest pro každé $y \in B$ existuje $x \in A$ splňující $f(x) = y$.

  • vzájemně jednoznačné (bijektivní), jestliže $f$ je prosté a na.

Pomocí kvantifikátorů lze tyto podmínky zapsat následovně:

\begin{align*} f \text{ je prosté}\qquad& \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}& & (\forall x_1,x_2 \in A)\big( f(x_1) = f(x_2) \, \Rightarrow \, x_1 = x_2 \big), \\ f \text{ je na}\qquad& \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}& & (\forall y \in B)(\exists x \in A) (f(x) = y).\end{align*}

Podmínku prostoty zobrazení lze ekvivalentně vyjádřit41 i takto:

\begin{equation*} f \text{ je prosté} \qquad \Longleftrightarrow \qquad (\forall x_1,x_2 \in A)\big( x_1 \neq x_2 \, \Rightarrow \, f(x_1) \neq f(x_2) \big). \end{equation*}

Jako jednoduchý, ale obecný, příklad konkrétního zobrazení čtenáři připomeňme indentické zobrazení.

Příklad 11.1 (Identické zobrazení)

Buď $A$ libovolná množina. Zobrazení $\mathrm{id}_A\colon A \to A$ definované předpisem

\begin{equation*} \mathrm{id}_A(x) \ceq x, \quad x\in A, \end{equation*}

nazýváme identické zobrazení. Zobrazení $\mathrm{id}_A$ je injektivní, surjektivní a tedy i bijektivní.