Na závěr této kapitoly pomocí vybudovaného aparátu odvodíme ještě dalších několik důležitých limitních vztahů, které budeme později využívat. Pro jejich důležitost je zformulujeme jako lemmata (pomocná tvrzení).
Vzhledem k inverznímu vztahu mezi exponenciálou a logaritmem jsme jistě schopni z limity (7.1) odvodit i podobné tvrzení pro logaritmus.
Limita funkce $\frac{\ln(1+x)}{x}$ v bodě nula je rovna jedné, tj.
Nejprve zkoumaný výraz vhodně upravme,
Ze spojitosti logaritmu víme, že $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln(x+1) = 0$. Věta o limitě složené funkce (Věta 6.4) a rovnice (7.1) ihned dávají kýžený výsledek.
$\square$
V předchozích částech jsme se již zabývali limitami součtů, součinů a podílů funkcí (a posloupností) a dále limitami složených funkcí. V následující podkapitole se podrobněji podíváme na výpočet limit tvaru $f(x)^{g(x)}$. Nyní začneme speciálním případem, kdy základ $f(x) = 1 + \frac{1}{x}$ jde k $1$ a exponent $g(x) = x$ do $+\infty$, případně $-\infty$. Po prvním zamyšlení by člověka napadlo, že limita takovéto funkce bude rovna $1$. Následující lemma nás ovšem vyvádí z omylu.
Limita funkce $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ je rovna $\mathrm{e}$ v $+\infty$ i $-\infty$, tj.
Opět zkoumaný výraz nejprve upravme (definice $a^x$),
Díky spojitosti exponenciály stačí zkoumat limitu jejího argumentu. Pro ten však platí
O funkci $\frac{1}{x}$ víme, že má limitu v $+\infty$ i v $-\infty$ rovnou $0$. Z předchozího Lemmatu 7.1 a věty o limitě složené funkce (Věta č. 6.4) pak dostáváme
Tudíž
Tím je důkaz obou tvrzení dokončen.
$\square$
Tento výsledek je často při prvním setkání překvapivý. Naivní intuice studentů je typicky takováto: základ jde k $1$ a $1^\infty$ (ať jedničku násobím kolikrát chci) je jednička. Předchozí Lemma odhaluje tuto intuici jako chybnou.
V čem je problém? Když například uvažujeme libovolné kladné $x$, tak $1 + \frac{1}{x}$ je vždy ostře větší než $1$ a se zvětšujícím se $x$ se zmenšuje a blíží shora k $1$. Naopak ale když pak toto číslo umocňujeme na (stále větší a větší) kladné $x$, tak se od $1$ vzdalujeme (pokud $z > 1$ pak $z^2 > z$). Základ se tedy snaží dostat k jedné, ale umocňování ho od jedné vzdaluje. Výsledek pak záleží na tom, která z těchto tendencí je silnější. Podrobně se tomuto jevu budeme věnovat v následující podkapitole 7.7.
Pro posloupnosti pak na základě předchozího lemmatu dostáváme následující důsledek.
Pro libovolnou posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ splňující $\displaystyle\lim_{n\to\infty} |a_n| = +\infty$ platí
Speciálně platí
V důsledku Lemmatu 7.2 a Heineho věty 5.4 dostáváme
Vezměme nyní libovolné $\veps > 0$. Z platnosti předchozích limit plyne existence $m_0 \in \mathbb N$ a $k_0 \in \mathbb N$ takových, že pro každé $n > m_0$ platí
a pro každé $n > k_0$ platí
Položme $n_0 = \max(m_0,k_0)$. Pro každé $n \in \mathbb N$ je $a_n = |a_n|$ nebo $a_n = -|a_n|$. Tudíž pro každé $n > n_0$ dostáváme
čímž je tvrzení dokázáno přímo z definice.
$\square$
Dalším zajímavým důsledkem je následující vyjádření exponenciální funkce.
Pro libovolné $\alpha \in \R$ lze pomocí limity vyjádřit exponenciálu následovně
Pro $\alpha = 0$ je tvrzení triviální (limita konstantní funkce s hodnotou $1$). Pro $\alpha \neq 0$ tento fakt snadno nahlédneme pomocí následující úpravy
Pro $x$ jdoucí do $+\infty$ nebo $-\infty$ již víme, že výraz na pravé straně této rovnosti konverguje k $e^{\alpha \cdot 1} = e^\alpha$.
$\square$
Na závěr této podkapitoly vypočtěme pár příkladů.
Vypočtěte limitu funkce
Výraz nejprve upravíme,
Použijeme-li nyní větu o limitě složené funkce a známé limity, pak
Vypočtěte limitu funkce
Opět výraz nejprve upravme pomocí exponenciální funkce
Funkce v argumentu exponenciály má za limitu $-1$ (ano, stačí použít větu o limitě složené funkce s vnější funkcí $\frac{\ln(1+x)}{x}$ a vnitřní funkcí $1 - x$). Použijeme-li nyní větu o limitě složené funkce a známé limity, pak
Mějme funkci $f\colon A \to \R$, hromadný bod $a\in\overline{\R}$ množiny $A$ a bod $b\in\overline{\R}$. Funkce $f$ má v bodě $a$ limitu rovnou $b$, právě když pro každé okolí $U_b$ bodu $b$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že pokud $x \in U_a \cap A$ a $x \neq a$, pak $f(x) \in U_b$.
Formálně tento požadavek vyjadřuje formule
Tuto skutečnost symbolicky zapisujeme následovně
Mějme funkci $f\colon A \to \R$, hromadný bod $a\in\overline{\R}$ množiny $A$ a bod $b\in\overline{\R}$. Funkce $f$ má v bodě $a$ limitu rovnou $b$, právě když pro každé okolí $U_b$ bodu $b$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že pokud $x \in U_a \cap A$ a $x \neq a$, pak $f(x) \in U_b$.
Formálně tento požadavek vyjadřuje formule
Tuto skutečnost symbolicky zapisujeme následovně
Zobrazení množiny přirozených čísel $\N$ do množiny reálných čísel $\R$ nazýváme reálná číselná posloupnost (pokud nebude hrozit zmatení, budeme zkráceně mluvit o posloupnosti).
Mějme funkci $f\colon A \to \R$, hromadný bod $a\in\overline{\R}$ množiny $A$ a bod $b\in\overline{\R}$. Funkce $f$ má v bodě $a$ limitu rovnou $b$, právě když pro každé okolí $U_b$ bodu $b$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že pokud $x \in U_a \cap A$ a $x \neq a$, pak $f(x) \in U_b$.
Formálně tento požadavek vyjadřuje formule
Tuto skutečnost symbolicky zapisujeme následovně
Nechť $f$ a $g$ jsou funkce, $a$, $b$, $c$ jsou prvky $\overline{\mathbb{R}}$ a platí čtyři podmínky
$\displaystyle\lim_{x\to a} g(x) = b$,
$\displaystyle\lim_{x\to b} f(x) = c$,
bod $a$ je hromadným bodem množiny $D_{f\circ g}$.
buď $(\exists U_a)(\forall x\in D_g\cap U_a \smallsetminus \{a\})(g(x) \neq b)$ nebo $(b\in D_f \ \text{a} \ f(b) = c)$.
Potom pro limitu složené funkce $f \circ g$ platí $\displaystyle\lim_{x\to a} (f \circ g)(x) = c$.
Nechť $f$ a $g$ jsou funkce, $a$, $b$, $c$ jsou prvky $\overline{\mathbb{R}}$ a platí čtyři podmínky
$\displaystyle\lim_{x\to a} g(x) = b$,
$\displaystyle\lim_{x\to b} f(x) = c$,
bod $a$ je hromadným bodem množiny $D_{f\circ g}$.
buď $(\exists U_a)(\forall x\in D_g\cap U_a \smallsetminus \{a\})(g(x) \neq b)$ nebo $(b\in D_f \ \text{a} \ f(b) = c)$.
Potom pro limitu složené funkce $f \circ g$ platí $\displaystyle\lim_{x\to a} (f \circ g)(x) = c$.