Následující kritérium je nedocenitelné při počítání některých „očividných“ limit posloupností. Podívejme se například na limitu
Zamysleme se nad tvarem členů této posloupnosti. Jedná se o podíl polynomu (v čitateli) a exponenciály o základu větším než $1$ (ve jmenovateli). Pokud si člověk představí grafy těchto posloupností, ihned získá dojem, že „exponenciála ve jmenovateli roste podstatně rychleji“ 35 než polynom v čitateli. Tušíme tedy, že pro velká $n$ bude tento podíl velmi malý. Intuitivně limita (6.1) existuje a je rovna nule.
Bohužel, úvaha v předchozím odstavci má hliněné nohy, je to pouze naše domněnka. Podobné pozorování bychom přeci také z grafu učinili, kdybychom studovali limitu
jmenovatel této posloupnosti také přece roste podstatně rychleji než její čitatel. Přesto je tato limita rovna $10^{-10^{10}}$, což není nula. Takovýto argument je tedy sám o sobě nepoužitelný.
Když se nad těmito komentáři zamyslíte, tak uvidíte, že problém je vlastně v tom, co to přesně znamená „roste podstatně rychleji“. Co tímto slovním spojením vlastně chceme popsat? Přirozeně bychom mohli říci, že máme-li dvě posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$ a $(b_n)_{n=1}^\infty$ obě mající za limitu $+\infty$ pak o $(a_n)_{n=1}^\infty$ řekneme, že „roste podstatně rychleji“ než $(b_n)_{n=1}^\infty$ právě když
Zde ale ihned vidíme problém. Toto je požadavek ekvivalentní tomu co máme spočítat! Nemůžeme přece říci, že limita podílů je nula, protože limita podílů je nula!
Diskuze v předchozím odstavci dále rozvíjí motivaci v úvodu podkapitoly 3.4. Také zde krásně vidíme, jak jsme přirozenými úvahami dospěli přesně k jednomu z tvrzení Věty 5.8.
Vraťme se k limitě v rovnici (6.1). Mohli bychom se pokusit dokázat pomocí definice, že tato limita je rovna nule (zkuste!). Na tomto místě zvolíme ale jiný postup, který se nám bude hodit i v dalších příkladech. Platí totiž následující věta.
Buď $(a_n)_{n=1}^\infty$ posloupnost kladných čísel a nechť existuje limita
Potom platí následující dvě implikace:
pokud $q < 1$, pak limita posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$ je rovna nule, tj. $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0$,
pokud $q > 1$, pak $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty$.
Proveďme důkaz bodu a. Protože $q < 1$ určitě existuje $r$ splňující $q < r < 1$. Díky tomu pak i
Z definice limity posloupnosti pak existuje $N\in\N$ takové, že nerovnost
platí pro všechna $n > N$. Díky nezápornosti členů posloupnosti pak platí i nerovnost $a_{n+1} < r a_n$ pro libovolné $n > N$. To ovšem znamená, že pro $n > N$ je
Protože $0 < r < 1$ je limita pravé strany nerovnosti rovna nule (viz příklad v předchozí podkapitole). Dle věty o limitě sevřené posloupnosti (věta 6.3) pak ihned dostáváme kýžený výsledek $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0$.
Bod b. se dokáže naprosto analogicky.
$\square$
Aplikujme podílové kritérium na příklad uvedený na začátku této podkapitoly. Teprve až tuto limitu vypočteme, budeme moc tvrdit, že „$2^n$ roste do nekonečna podstatně rychleji, než $n^2$“. Přesněji, že $2^n$ je asymptotickou strikní horní mezí $n^2$ pro $n \to \infty$. Teprve po tomto výpočtu bude tato vlastnost těchto dvou funkcí odvozena.
Vypočtěme limitu
Pro limitu podílů platí
Podle podílového kritéria proto původní posloupnost konverguje k nule. Podle Věty 5.8 proto platí
První bod Věty 6.5 lze relativně snadno formulovat i pro některé posloupnosti nemající pouze kladné členy. Skutečně, pokud pomocí podílového kritéra zjistíme, že posloupnost s nezápornými členy $(|a_n|)_{n=1}^\infty$ konverguje k nule, pak k nule konverguje i posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$. Stačí vzít do úvahy nerovnosti $-|a_n| \leq a_n \leq |a_n|$ a větu o limitě sevřené posloupnosti. Alternativně se lze odvolat na Pozorování 5.1.
Pokud limita podílů vyjde rovna $1$, pak podílové kritérium nelze použít. Například pro posloupnost $(n)_{n=1}^\infty$ platí
a $\displaystyle \lim_{n\to\infty} n = +\infty$. Avšak pro limitu $(1/n)_{n=1}^\infty$ platí
ale $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$.
Podílové kritérium jsme ve Větě 6.5 formulovali v tzv. limitním tvaru. Z důkazu je zřejmé, že platí i silnější nelimitní verze: Jestliže pro posloupnost kladných čísel $(a_n)_{n=1}^\infty$ existují $N \in \mathbb N$ a $q \in \mathbb R$ takové, že
pro každé $n > N$, potom $\displaystyle\lim_{n\to \infty} a_n = 0$, resp. $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty$.
Existuje i mnoho dalších tvrzení a kritérií pomáhajících při výpočtech limit. V tomto textu se omezujeme na pár úžitečných tvrzení, která přímo použijeme v našem dalším bádání. Pokud studujete z alternativních zdrojů, tak se stačí omezit na zde probíraná tvrzení.
V BI-MA1 se snažíme naučit studenty umět ověřit a správně vysvětlit svá tvrzení. Proto argument „roste rychleji než“ při počítání příkladů je neakceptovatelný. V těchto příkladech je to typicky argumentace kruhem, jak bylo výše zmíněno. Ano, je to dobrá intuice, ale je potřeba umět si ji obhájit, například právě podílovým kritériem (to nemusí být vždy jediná možnost).
Dokažte, že platí vztah
To je nyní snadné, nemusíme bojovat s definicí $o$. Skutečně, hodnoty $3^n/n!$ jsou kladné pro každé přirozené $n$ a platí
Podle podílového kritéria proto platí
a podle Věty 5.8 pak skutečně $3^n = o(n!)$ pro $n\to\infty$.
Vypočtěte limitu
Tento příklad lze řešit dvěma způsoby. Nejprve se pokusme použít podílové kritérium. Uvedená posloupnost je tvořena kladnými členy a platí
Tudíž hodnota limity v zadání je $+\infty$.
Alternativně lze použít jednoduchou úpravu, není nutné se odvolávat na podílové kritérium. Pro libovolné přirozené $n \geq 3$ platí
Zobrazení množiny přirozených čísel $\N$ do množiny reálných čísel $\R$ nazýváme reálná číselná posloupnost (pokud nebude hrozit zmatení, budeme zkráceně mluvit o posloupnosti).
Reálná posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ má limitu $\alpha\in\overline{\R}$, právě když pro každé okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ lze nalézt $N \in\N$ takové, že pro všechna $n\in\N$ větší nebo rovno než $N$ platí $a_n\in U_\alpha$. V symbolech
Tuto skutečnost můžeme zapsat několika možnými ekvivalentními způsoby:
Mějme tři funkce $f$, $g$ a $h$ a bod $a \in \overline{\R}$. Nechť existuje okolí $U_a$ bodu $a$ splňující
$D_f \cap U_a = D_g \cap U_a = D_h \cap U_a$, označme tuto množinu $M$,
$a$ je hromadným bodem množiny $M$,
pro všechna $x \in M \smallsetminus \{a\}$ platí nerovnosti $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$.
Nechť dále existují limity funkcí $f$ a $h$ v bodě $a$ mající společnou hodnotu $b \in \overline{\R}$, tj.
Potom existuje i limita $g$ v bodě $a$ a je také rovna $b$, tj. $\displaystyle\lim_{x\to a} g(x) = b$.
Buď $(a_n)_{n=1}^\infty$ posloupnost kladných čísel a nechť existuje limita
Potom platí následující dvě implikace:
pokud $q < 1$, pak limita posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$ je rovna nule, tj. $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0$,
pokud $q > 1$, pak $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty$.