6.4 Výpočet limit dalších význačných posloupností

V této podkapitole odvodíme několik základních limit posloupností, které se často hodí znát při výpočtech. V předešlé části textu jsme totiž odvodili několik vět, které však v podstatě nelze použít, neznáme-li limity aspoň některých jednoduchých posloupností.

Připomeňme, že hned po zavedení pojmu limity posloupnosti jsme si prakticky odvodili limitu

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} n^a = \begin{cases} +\infty, & a>0, \\ 1, & a=0, \\ 0, & a<0. \end{cases} \end{equation*}

Přistupme nyní k dalším příkladům.

Příklad 6.12

Platí

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1. \end{equation*}

Zobrazit řešení

Položme $h_n \ceq \sqrt[n]{n} - 1$. Z jedné strany platí $h_n \geq 0$ pro každé $n=1,2,3,\ldots$ Z binomické věty dostaneme pro $n \geq 2$

\begin{equation*} n = (1+h_n)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} h_n^k \href{Součet tří a více kladných čísel je větší než součet libovolných dvou z nich.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{>}} 1 + \binom{n}{2} h_n^2, \end{equation*}

a tedy pro $n \geq 2$ platí

\begin{equation*} n - 1 > \frac{n(n-1)}{2} h_n^2. \end{equation*}

Pro $n \geq 2$ je výraz $\frac{n(n-1)}{2}$ kladný a můžeme jím proto poslední nerovnost vydělit a díky nezápornosti $h_n$ poté i odmocnit. Po těchto úpravách dostáváme

\begin{equation*} 0 \leq h_n \leq \sqrt{\frac{2}{n}}. \end{equation*}

Odtud ihned pomocí věty o sevřené posloupnosti dostáváme $\displaystyle\lim_{n\to\infty} h_n = 0$. Graf této posloupnosti je pro názornost uveden na Obrázku 6.5.

Obrázek 6.5: Grafické znázornění členů posloupnosti $\big(\sqrt[n]{n}\big)_{n=1}^\infty$ a její konvergence k $1$. Jenom na základě tohoto obrázku nelze rozhodnout o tom, že tato posloupnost konverguje k $1$.
Příklad 6.13

Pro každé $a\in\R$, $a > 0$, je

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1. \end{equation*}

Zobrazit řešení

Případ $a \geq 1$: Pro každé celé $n > a$ platí

\begin{equation*} 1 \leq \sqrt[n]{a} \leq \sqrt[n]{n}. \end{equation*}

V předchozím příkladě jsme však ukázali rovnost $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1$. Tudíž podle věty o sevřené posloupnosti $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1$.

Případ $0 < a < 1$: Z předchozí bodu plyne $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{a}} = 1$, tudíž

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{\frac{1}{a}}} = 1. \end{equation*}

Pro ilustraci uvádíme Obrázek 6.6.

Obrázek 6.6: Grafické znázornění členů posloupnosti $\big(\sqrt[n]{a}\big)_{n=1}^\infty$ pro různé hodnoty $a$ a její konvergence k $1$.
Příklad 6.14

Platí

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n!} = +\infty. \end{equation*}

Zobrazit řešení

Při výpočtu této limity využijeme následující trik. Členy v součinu dvou faktoriálů promícháme v „zrcadlovém“ pořadí:

\begin{align*} (n!)^2 &= (1\cdot 2\cdot 3\cdots n) \cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdots n ) \\ &= \big(1 \cdot n\big) \cdot \big(2 \cdot (n-1) \big) \cdot \big( 3 \cdot (n-2) \big) \cdots \big( n \cdot 1\big) = \\ &= \prod_{k=1}^n k (n+1 -k)\end{align*}

Z grafu paraboly $f(x) = x(n+1-x)$ je zřejmé (viz Obrázek 6.7), že

\begin{equation*} f(k) \geq f(1) = f(n) = n, \quad k\in\{1,2,\ldots,n\}, \end{equation*}

a proto $(n!)^2 \geq n^n$. Konečně, $2n$-tá odmocnina dává

\begin{equation*} \sqrt[n]{n!} \geq \sqrt{n} \longrightarrow +\infty. \end{equation*}

Obrázek 6.7: Ilustrace k příkladu výpočtu limity posloupnosti $\sqrt[n]{n!}$.
Obrázek 6.8: Grafické znázornění členů posloupnosti $\big(\sqrt[n]{n!}\big)_{n=1}^\infty$.
Příklad 6.15

Nechť $a\in\R$. Pak pro limitu reálné posloupnosti $(a^n)_{n=1}^\infty$ platí:

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} a^n = \begin{cases} 0, & |a| < 1, \\ 1, & a = 1, \\ +\infty, & a > 1, \\ \text{neexistuje}, & a \leq -1. \end{cases} \end{equation*}

Zobrazit řešení

Jednoduché případy: Pokud $a=0$ nebo $a=1$, pak se jedná o konstantní posloupnost jejíž limita je rovna příslušné konstantě. Pro $a=-1$ jsme již ukázali, že limita $\big((-1)^n\big)_{n=1}^\infty$ neexistuje.

Nechť $0 < |a| < 1$. Platí

\begin{equation*} \big|a^{n+1}\big| = \big|a^n\big| \cdot |a| < \big| a^n \big|. \end{equation*}

Posloupnost $\Big( \big| a^n \big| \Big)_{n=1}^\infty$ je tedy ostře klesající a omezená, $0 < \big| a^n \big| < |a|$.věty o limitě monotónní posloupnosti plyne existence konečné limity, označme ji $\displaystyle L = \lim_{n\to\infty} \big| a^n \big|$. Posloupnost $\Big(\big| a^{n+1} \big|\Big)_{n=1}^\infty$ je vybraná z $\Big(\big| a^n \big|\Big)_{n=1}^\infty$ a proto mají stejnou limitu. Konečně

\begin{equation*} L = \lim_{n\to\infty} \big| a^{n+1} \big| = \lim_{n\to\infty} |a|\cdot\big| a^n \big| = |a| \cdot \lim_{n\to\infty} \big| a^n \big| = |a| \cdot L. \end{equation*}

Díky předpokladům nakladeným na $a$ odtud nutně plyne rovnost $L=0$.

Případ $a > 1$: Podobně jako v předchozím případě ukážeme, že $\big(a^n\big)_{n=1}^\infty$ je ostře rostoucí posloupnost zdola omezená např. číslem $1$. Existuje proto limita $\displaystyle L = \lim_{n\to\infty} a^n$. Protože posloupnost roste, musí nutně být $L > a$. Navíc platí

\begin{equation*} L = \lim_{n\to\infty} a^{n+1} = a \cdot \lim_{n\to\infty} a^n = a \cdot L. \end{equation*}

Protože ale $L > a > 1$ může tato nerovnost platit pouze v případě $L = +\infty$.

Případ $a < -1$: Pro vybranou posloupnost $\big( a^{2n} \big)_{n=1}^\infty = \Big( \big(a^2\big)^n \Big)_{n=1}^\infty$ nyní podle předchozího bodu platí $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a^{2n} = +\infty$, protože $a^2 > 1$. Limitu vybrané posloupnosti $\big( a^{2n+1} \big)_{n=1}^\infty$ snadno spočteme

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} a^{2n+1} = a \cdot \lim_{n\to\infty} a^{2n} = a \cdot (+ \infty) = -\infty. \end{equation*}

Našli jsme dvě vybrané posloupnosti s různými limitami. Původní limita, tj. $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a^n$, tedy neexistuje.

Shrňme si doposud odvozené limity v Tabulce 6.1.

posloupnost limita
\((n^a)_{n=1}^\infty\) \(\displaystyle\begin{cases} +\infty, & a > 0, \\ 1, & a=0, \\ 0, & a < 0. \end{cases}\)
\(\big(\sqrt[n]{n}\,\big)_{n=1}^\infty\) \(1\)
\(\big(\sqrt[n]{a}\,\big)_{n=1}^\infty\), \(1\) pro \(a>0\)
\(\big(\sqrt[n]{n!}\,\big)_{n=1}^\infty\) \(+\infty\)
\((a^n)_{n=1}^\infty\) \(\displaystyle\begin{cases} 0, & |a| < 1, \\ 1, & a = 1, \\ +\infty, & a > 1, \\ \text{neexistuje}, & a \leq -1. \end{cases}\)

Tabulka 6.1: Známé posloupnosti probírané v této sekci a jejich limity.