2.3 Rozšířená reálná osa

Pro budoucí úvahy týkající se limit posloupností i funkcí je výhodné formálně rozšířit reálnou osu o dva další prvky „ležící v nekonečnu“ označované symboly „$+\infty$“ a „$-\infty$“.

Definice 2.2 (Rozšířená reálná osa / extended real number line)

Množinu reálných čísel spolu se symboly $+\infty$ a $-\infty$, tj. množinu $\R \cup \{+\infty, -\infty\}$, nazýváme rozšířenou množinou reálných čísel (případně též rozšířenou reálnou osou) a značíme ji symbolem $\eR$.

Každý prvek množiny $\eR$ je tedy buď reálné číslo, nebo jeden ze symbolů $+\infty$, $-\infty$. Na tyto body se můžeme dívat jako na idealizované „konce“ číselné osy („kompaktifikace“ $\R$). Nejčastěji o nich mluvíme jako o „plus nekonečnu“ a „minus nekonečnu“.

Na množině $\eR$ přirozeně a intuitivně zavádíme uspořádání následujícím způsobem: $a < +\infty$ pro každé $a\in\R\cup\{-\infty\}$ a $-\infty < a$ pro každé $a\in\R\cup\{+\infty\}$. Například platí $\pi < +\infty$, $6 > -\infty$ nebo $-\infty < +\infty$. Množina $\eR$ je tedy úplně uspořádaná, stejně jako $\R$ (nebo $\Q$).

Při počítání limit budeme chtít provádět algebraické operace nejen s reálnými čísly, ale i s některými výrazy obsahujícími právě zavedené symboly nekonečen. Proto musíme rozšířit i algebraické operace sčítání a násobení na $\eR$, tím se zabývá následující definice.

Definice 2.3 (Algebraické operace na $\eR$)

Nechť $a\in\eR$, v závislosti na jeho hodnotě klademe

\begin{align*} \text{pro} \ a> -\infty&: & a+(+\infty)=(+\infty)+a &\ceq +\infty, \\ \text{pro} \ a< +\infty&: & a+(-\infty)=(-\infty)+a &\ceq -\infty, \\ \text{pro} \ a> 0&: & a\cdot(+\infty)=(+\infty)\cdot a &\ceq +\infty, \\ \text{pro} \ a< 0&: & a\cdot(+\infty)=(+\infty)\cdot a &\ceq -\infty, \\ \text{pro} \ a> 0&: & a\cdot(-\infty)=(-\infty)\cdot a &\ceq -\infty, \\ \text{pro} \ a< 0&: & a\cdot(-\infty)=(-\infty)\cdot a &\ceq +\infty.\end{align*}

Dále klademe $\frac{1}{+\infty} = \frac{1}{-\infty} \ceq 0$. Rozdíl definujeme vztahem $a-b \ceq a+(-b)$, podíl $\frac{a}{b} \ceq a\cdot\frac{1}{b}$, pouze v případě že výraz na pravé straně má smysl jakožto operace mezi reálnými čísly nebo je definován výše. Konečně pak $-(+\infty) \ceq -\infty$, $-(-\infty)\ceq+\infty$, $\left|+\infty\right| = \left|-\infty\right| \ceq +\infty$, $\sqrt[k]{+\infty}\ceq+\infty$ a $\sqrt[2k-1]{-\infty} \ceq -\infty$ pro libovolné $k\in\N$.

Motivací pro tuto definici je hlavně věta O limitě součtu, součinu a podílu (Věta 6.1), ke které se dostaneme později během semestru. Při druhém čtení doporučujeme na tomto místě čtenáři si rovnou připomenout poznámky u zmíněné věty.

Ukažme si nyní konkrétní příklad operací, které nyní můžeme v $\eR$ provádět.

Příklad 2.2

Například tak v $\eR$ platí

\begin{align*} 4 + (+\infty) &= +\infty, & -2\cdot (-\infty) &= +\infty, \\ \frac{10^{10^{10}}}{-\infty} &= 0, & +\infty - (-\infty) &= +\infty, \\ \frac{1}{+\infty} &= 0, & 10 \cdot (+\infty) + (+\infty) &= +\infty.\end{align*}

Doporučuji v každé z těchto rovností rozmyslet, který bod v Definici 2.3 byl použit.

Pozor! Množina $\eR$ vybavená operacemi uvedenými v Definici 2.3 již netvoří těleso. Algebraické operace jsme totiž (z dobrých důvodů, jak uvidíme později) ani nedefinovali pro všechny možné hodnoty operandů.

Varování 2.2 (Nedefinované výrazy)

Nedefinovány zůstávají mimo jiné následující výrazy:

\begin{gather*} +\infty - (+\infty), \quad +\infty + (-\infty), \quad 0\cdot(\pm\infty), \quad \frac{\pm\infty}{\pm\infty}, \\ -\infty - (-\infty), \quad -\infty + (+\infty), \quad \frac{a}{0} \ \ \text{pro} \ a\in\eR.\end{gather*}

Opravdu, v žádném z bodů Definice 2.3 nejsou takovéto situace definovány.

Otázka 2.7

Patří symbol „$\infty$“ do množiny $\eR$?

Zobrazit odpověď

Ne, do $\eR$ dle definice nepatří. Prvkem $\eR$ je buď reálné číslo, nebo „$+\infty$“ a „$-\infty$“.

Otázka 2.8

Jaká je hodnota výrazu

\begin{equation*} \frac{(-\infty)^3 + \pi}{2 + \frac{1}{\sqrt{+\infty}}}\,? \end{equation*}

Pečlivě svou odpověď zdůvodněte pomocí Definice 2.3.

Zobrazit odpověď

$-\infty$.