7.7 Limity funkcí tvaru $f(x)^{g(x)}$ se speciálním přihlédnutím k limitám typu $0^0$ a $1^\infty$

Věta o limitě součtu, součinu a podílu nám dávala nástroj na výpočet limit součtu, součinu a podílu funkcí za předpokladu, že součet, součin či podíl byl definován v $\overline{\R}$. Pokud limita byla například typu $+\infty-(+\infty)$, nebo $0\cdot+\infty$, tak jsme s danou funkcí ještě museli dále zacvičit.

Nyní se podíváme jak je to s výpočty limit funkcí ve tvaru $f(x)^{g(x)}$. Hlavním výsledkem této podkapitoly bude Věta 7.9. Tato věta na první pohled může vypadat komplikovaně, protože ošetřuje několik možných situací, které mohou nastat a navíc některé vynechává (viz příklady níže v této podkapitole). I z toho důvodu je toto pěkný příklad věty, kde je důležité pochopit důkaz, protože v konkrétním příkladě je jednoduší uvedený důkaz provést, než si tuto větu pamatovat. Celé tvrzení stojí na tom, že výraz $f(x)^{g(x)}$ přepíšeme pomocí exponenciální funkce na výraz $e^{g(x) \ln f(x)}$ a poté řešíme už limitu součinu $g(x) \ln f(x)$. Pojďme nejprve zformulovat hlavní větu.

Věta 7.9 (O limitě funkcí tvaru $f(x)^{g(x)}$)

Uvažme funkce $f$ a $g$ definované na okolí bodu $a\in\overline{\R}$ s možnou výjimkou bodu $a$ samotného a nechť funkce $f$ je kladná na nějakém okolí bodu $a$. Předpokládejme dále, že existují limity

\begin{equation*} \alpha \ceq \lim_{x \to a} f(x) \quad \text{a} \quad \beta \ceq \lim_{x \to a} g(x). \end{equation*}

Potom platí následující tři tvrzení:

  1. Pokud $0 < \alpha < +\infty$ a $|\beta| < +\infty$, potom $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = \alpha^\beta$.

  2. Pokud $\alpha = 0$ a $\beta > 0$ (připouštíme i $\beta = +\infty$), potom $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = 0$.

  3. Pokud $\alpha = +\infty$ a $\beta \neq 0$, potom $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)}$ existuje a je rovna $0$ pokud $\beta < 0$ a $+\infty$ pokud $\beta > 0$.

Zobrazit důkaz

Důkaz stojí na využití vlastností exponenciální a logaritmické funkce a spojitosti exponenciální funkce. Navíc není nijak komplikovaný, takto bychom danou limitu jednoduše i počítali.

Nejprve si povšimněme, že za uvedených předpokladů je funkce

\begin{equation*} h(x) = f(x)^{g(x)} \end{equation*}

definovaná na okolí bodu $a$, s možnou výjimkou bodu $a$ samotného, a má tedy smysl počítat její limitu v bodě $a$. Nyní provedeme úpravu

\begin{equation*} h(x) = \mathrm{e}^{g(x) \ln f(x)} \end{equation*}

a budeme zkoumat limitu argumentu exponenciály v bodě $a$, tj. limitu

\begin{equation*} \lim_{x \to a} g(x) \cdot \ln f(x). \end{equation*}

Postupně nyní projdeme uvedené předpoklady:

  1. V tomto případě podle věty o limitě součinu platí $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) \cdot \ln f(x) = \beta \cdot \ln\alpha$ (tento výraz je definovaný a patří do $\R$) a proto díky spojitosti exponenciální funkce máme $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = \mathrm{e}^{\beta \cdot \ln\alpha} = \alpha^\beta$.

  2. Za těchto předpokladů platí $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) \cdot \ln f(x) = \beta \cdot (-\infty) = -\infty$ a proto $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = 0$.

  3. Nyní platí $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) \cdot \ln f(x) = \beta \cdot (+\infty)$, což je $+\infty$ (resp. $-\infty$) pro kladné (resp. záporné) $\beta$. Z limit exponenciální funkce v $+\infty$ (resp. $-\infty$) pak plyne dokazované tvrzení.

Tím jsou všechna tvrzení věty dokázána.

$\square$

Ukažme si použití věty, resp. myšlenky jejího důkazu, na konkrétních příkladech.

Příklad 7.13 (Limita typu $1^\infty$)

Pokud je limita

\begin{equation*} \lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} \end{equation*}

typu $1^\infty$ (tj. $\lim_a f = 1$ a $\lim_a g$ je $+\infty$ nebo $-\infty$), pak případný výsledek závisí na samotných $f$ a $g$. Například (ve výpočtech využíváme znalosti známých limit odvozených v předchozí podkapitole 7.6):

\begin{align*} \lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x^2} &= \lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^{x \cdot \frac{\ln(1 + 1/x)}{1/x}} = +\infty, \\ \lim_{x \to 0} \left(1 + x^3\right)^{1/x^2} &= \lim_{x \to 0} \mathrm{e}^{x \cdot \frac{\ln(1 + x^3)}{x^3}} = \mathrm{e}^{0 \cdot 1} = 1, \\ \lim_{x \to -\infty} \left( 1 + \frac{\alpha}{x} \right)^x &= \mathrm{e}^{\alpha}, \\ \lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{-x^2} &= \lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^{-x \cdot \frac{\ln(1 + 1/x)}{1/x}} = 0.\end{align*}

Všechny tyto limity jsou typu $1^\infty$. Jako výsledek můžeme dostat libovolný prvek množiny $\langle 0, +\infty) \cup \{+\infty\}$.

Příklad 7.14 (Limita typu $0^0$)

Pokud je limita

\begin{equation*} \lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} \end{equation*}

typu $0^0$ (tj. $\lim_a f = 0$ a $\lim_a g = 0$), pak případný výsledek závisí na konkrétním chování funkcí $f$ a $g$. Například pro libovolné reálné $\alpha$ máme

\begin{align*} \lim_{x \to +\infty} \left( \mathrm{e}^{-x} \right)^{-\alpha/x} &= \mathrm{e}^\alpha, \\ \lim_{x \to +\infty} \left( \mathrm{e}^{-x^2} \right)^{1/x} &= \lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^{-x} = 0, \\ \lim_{x \to +\infty} \left( \mathrm{e}^{-x^2} \right)^{-1/x} &= \lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^{x} = +\infty.\end{align*}

Z těchto příkladů vidíme, že i když je limita typu $0^0$, tak výsledek může být libovolný prvek $\langle 0,+\infty) \cup \{+\infty\}$.

Na tomto místě se hodí zmínit i limitu

\begin{equation*} \lim_{x \to 0+} x^x = \lim_{x\to 0+} \mathrm{e}^{x \ln x} = \mathrm{e}^0 = 1. \end{equation*}

K jejímu výpočtu ale potřebujeme znát limitu $\displaystyle\lim_{x \to 0+} x \ln(x) = 0$, kterou odvodíme zanedlouho v Příkladu 9.8.