5.8 Limity a asymptotické vztahy ($\sim$, $o$, $\mathcal{O}$, $\Omega$, $\Theta$ a $\omega$)

Následující věta je velmi užitečná. Umožňuje nám rozhodovat o platnosti vztahů $o$ a $\mathcal{O}$ bez nutnosti hledání konstant z definice $o$ a $\mathcal{O}$. Její použití si ukážeme hned jakmile budeme mít v ruce mocnější nástroje na výpočet limit, například v podkapitole o podílovém kritériu.

Věta 5.8 (O vztahu $o$, $\mathcal{O}$, $\sim$ a limit)

Mějme dvě funkce $f\colon A \to \R$, $g\colon B \to \R$ a bod $a\in\overline{\R}$. Dále předpokládejme, že

  • Bod $a$ je hromadným bodem množiny $A$ i $B$.

  • Existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že $(U_a \cap A) \smallsetminus \{a\} = (U_a \cap B) \smallsetminus \{a\}$.

  • Pro všechna $x$ z množiny $U_a \cap B$ různá od $a$ platí nerovnost $g(x) \neq 0$.

Potom platí následující tři implikace:

  • Pokud limita $\displaystyle \lim_{x\to a} \left| \frac{f(x)}{g(x)} \right| \in \R$, pak $f(x) = \mathcal{O}(g(x))$ pro $x \to a$.

  • Platí $\displaystyle \lim_{x\to a} \left| \frac{f(x)}{g(x)} \right| = 0$, právě když $f(x) = o(g(x))$ pro $x \to a$.

  • Platí $\displaystyle\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$, právě když $f(x) \sim g(x)$ pro $x \to a$.

Zobrazit důkaz

Stručně bychom se mohli odkázat na Tvrzení 3.23.4. Rozeberme důkaz ale podrobněji.

V prvním případě si stačí uvědomit, že existence konečné limity implikuje omezenost funkce na okolí: je-li $\lim_{x\to a} |f(x)/g(x)| = b \in \R$, pak dle definice limity pro okolí $U_b(1)$ existuje okolí $U_a$ takové, že pro každé $x \in U_a \smallsetminus \{a\}$ je $|f(x)/g(x)| \in U_b(1)$ a tedy $|f(x)| < (b+1)|g(x)|$.

V druhém případě je situace jednoduší, roli $c$ v definici $o$ přesně hraje $\veps$ z definice limity.

V třetím případě je potřeba dokázat dvě implikace. Implikace zprava do leva plyne přímo z definice $\sim$. Implikace zleva doprava vyplývá ze vztahu

\begin{equation*} f(x) = \frac{f(x)}{g(x)} g(x), \end{equation*}

platného na okolí bodu $a$, s možnou výjimkou bodu $a$.

$\square$

V podkapitole 4.7 jsme pro posloupnosti zavedli asymptotické vztahy $\Omega$, $\omega$ a $\Theta$. Pomocí limit můžeme zformulovat následující kritérium:

Tvrzení 5.2 (O vztahu limit a $\Omega$, $\omega$ a $\Theta$)

Mějme dvě posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$, $(b_n)_{n=1}^\infty$. Dále předpokládejme, že všechny členy posloupnosti $(b_n)_{n=1}^\infty$ jsou nenulové. Potom platí následující tvrzení.

  1. Pokud $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{b_n}\right| > 0$, potom $a_n = \Omega(b_n)$.

  2. Pokud $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{b_n}\right| = +\infty$, potom $a_n = \omega(b_n)$.

  3. Pokud $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{b_n}\right| \in (0, +\infty)$, potom $a_n = \Theta(b_n)$.

Zobrazit důkaz

Stačí si procvičit definici s pojmy limita a příslušnými asymptotickými vztahy.

  1. Předpokládejme tedy, že

    \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{b_n} \right| = \alpha > 0, \end{equation*}

    kde připouštíme i možnost $\alpha = +\infty$. Z definice limity posloupnosti použité pro $\varepsilon = \alpha / 4$, resp. $\varepsilon = 42$ v případě $\alpha = +\infty$, existuje $N \in \N$ takové, že pro každé přírozené $n > N$ platí

    \begin{equation*} \left| \frac{a_n}{b_n} \right| \in U_{\alpha}(\varepsilon), \end{equation*}

    tj. pro libovolné $n > N$ je

    \begin{equation*} \left| \frac{a_n}{b_n} \right| > c, \quad \text{tudíž i} \quad |a_n| \geq c |b_n|, \end{equation*}

    kde $c = \frac{3}{4}\alpha$, resp. $c = 42$ v případě $\alpha = +\infty$. Tím jsme ověřili vztah $a_n = \Omega(b_n)$.

  2. Nyní postupujme podobně jako v předchozím bodě. Z uvedeného předpokladu plyne: pro každé $c > 0$ existuje $N \in \N$ takové, že pro každé přirozené $n > N$ platí

    \begin{equation*} \left| \frac{a_n}{b_n} \right| > c, \end{equation*}

    čili

    \begin{equation*} |a_n| > c |b_n|. \end{equation*}

    Tím jsme ověřili vztah $a_n = \omega(b_n)$.

  3. Předpokládejme, že

    \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{b_n} \right| = \alpha \in (0,+\infty). \end{equation*}

    Existují tedy dvě reálné konstanty $c_1, c_2 > 0$ a $N \in \N$ takové, že pro každé $n > N$ je

    \begin{equation*} c_1 \leq \left| \frac{a_n}{b_n} \right| \leq c_2, \end{equation*}

    tedy

    \begin{equation*} c_1 |b_n| \leq |a_n| \leq c_2 |b_n|. \end{equation*}

    Tudíž $a_n = \Theta(b_n)$.

$\square$

Vztah mezi $\sim$ a $\Theta$ odhaluje následující tvrzení.

Tvrzení 5.3 (O vztahu $\sim$ a $\Theta$)

Pokud $a_n \sim b_n$ pro $n\to\infty$, pak i $a_n = \Theta(b_n)$ pro $n \to \infty$.

Pro ilustraci uvádíme několik příkladů.

Příklad 5.20

Platí $2^n = \Omega(n^2)$.

Zobrazit řešení

Skutečně, protože

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1} / (n+1)^2}{ 2^n / n^2} = 2 \lim_{n\to\infty} \frac{1}{(1 + \frac{1}{n})^2} = 2 \cdot \frac{1}{(1+0)^2} = 2 > 1, \end{equation*}

pak podle podílového kritéria platí

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \frac{2^n}{n^2} = +\infty > 0. \end{equation*}

V tomto případě vidíme, že platí i $2^n = \omega(n^2)$.