Pomocí Lagrangeovy věty o přírůstku funkce (Věta 9.5) můžeme přesně zformulovat vztah mezi monotonií a první derivací funkce. Nejprve si zaveďme vhodné značení.
Nechť $J$ je interval s krajními body $a$ a $b$. Potom vnitřkem intervalu $J$ nazveme otevřený interval $(a, b)$. Značíme ho $J^\circ = (a, b)$.
Nechť $f$ je spojitá funkce na intervalu $J$ a nechť pro každé $x\in J^\circ$ existuje derivace $f^{\prime}(x)$. Potom platí následujících pět tvrzení o různých typech monotonie funkce,
$\big(\forall x\in J^\circ\big)\big(f^{\prime}(x) \geq 0\big)$ $\Rightarrow$ $f$ je rostoucí na $J$,
$\big(\forall x\in J^\circ\big)\big(f^{\prime}(x) \leq 0\big)$ $\Rightarrow$ $f$ je klesající na $J$,
$\big(\forall x\in J^\circ\big)\big(f^{\prime}(x) > 0\big)$ $\Rightarrow$ $f$ je ostře rostoucí na $J$,
$\big(\forall x\in J^\circ\big)\big(f^{\prime}(x) < 0\big)$ $\Rightarrow$ $f$ je ostře klesající na $J$,
$\big(\forall x\in J^\circ\big)\big(f^{\prime}(x) = 0\big)$ $\Rightarrow$ $f$ je konstantní na $J$.
Buďte $x_1,x_2 \in J$ taková, že $x_1 < x_2$. Podle Lagrangeovy věty o přírůstku funkce aplikované na interval $\langle x_1, x_2 \rangle$ existuje $c\in(x_1,x_2)$ tak, že
Protože $c \in J^\circ$, je $f'(c) \geq 0$. Tudíž
Což jsme měli dokázat.
$\square$
Hlavním výsledkem předchozí věty tedy je následující pozorování: je-li funkce $f$ diferencovatelná, pak o tom, zda roste či klesá, rozhoduje znaménko její derivace. Pro lepší představu uvažme funkci
pro jejíž derivaci platí
Porovnejte graf této funkce a její derivace na Obrázku 9.9.
Mějme funkci $f$ definovanou na intervalu $(-1,1)$, která je ostře rostoucí na intervalu $(-1,0)$ i $(0,1)$. Je $f$ ostře rostoucí i na intervalu $(-1,1)$?
Ne, viz např. funkci $f(x) = -1/x$, $x \neq 0$ a $f(0) = 0$.
Mějme funkci $f$ definovanou na intervalu $(-1,1)$, která je ostře rostoucí na intervalu $(-1,0\rangle$ i $\langle0,1)$. Je $f$ ostře rostoucí i na intervalu $(-1,1)$?
Ano, stačí využít čístě definici ostře rostoucí funkce.
Mějme funkci $f$ definovanou na intervalu $(-1,1)$, která je ostře rostoucí na intervalu $(-1,0)$ i $(0,1)$ a je spojitá v bodě $0$. Je $f$ ostře rostoucí i na intervalu $(-1,1)$?
Ano, stačí využít čístě definici ostře rostoucí funkce a spojitost dané funkce v bodě $0$ (postupujte například sporem).
Funkce $f$ je spojitá na intervalu $J$, právě když $f\vert_J$ ($f$ zúženo na $J$) je spojitá v každém bodě intervalu $J$. Funkci $f$ nazýváme spojitou, právě když je $f$ spojitá v každém bodě svého definičního oboru. Množinu všech spojitých funkcí definovaných na intervalu $J$ značíme $\mathcal{C}(J)$.
Nechť $f$ je funkce definovaná na okolí bodu $a\in\R$. Pokud existuje limita
nazveme její hodnotu derivací funkce $f$ v bodě $a$ a označíme $f^\prime(a)$. Pokud je tato limita konečná (tj. $f^\prime(a) \in \R$) řekneme, že funkce $f$ je diferencovatelná v bodě $a$.
Uvažme funkci $f\colon D_f \to \R$ a množinu $M \subset D_f$. Potom funkci $f$ nazýváme
rostoucí na množině $M$, právě když pro každé $x_1,x_2 \in M$ splňující $x_1 < x_2$ platí $f(x_1) \leq f(x_2)$,
klesající na množině $M$, právě když pro každé $x_1,x_2 \in M$ splňující $x_1 < x_2$ platí $f(x_1) \geq f(x_2)$,
ostře rostoucí na množině $M$, právě když pro každé $x_1,x_2 \in M$ splňující $x_1 < x_2$ platí $f(x_1) < f(x_2)$,
ostře klesající na množině $M$, právě když pro každé $x_1,x_2 \in M$ splňující $x_1 < x_2$ platí $f(x_1) > f(x_2)$.
Nechť funkce $f$ splňuje podmínky
$f$ je spojitá na intervalu $\langle a,b \rangle$,
$f$ má derivaci v každém bodě intervalu $(a,b)$.
Potom existuje bod $c\in(a,b)$ tak, že $\displaystyle f^\prime(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$, nebo ekvivalentně $f(b) - f(a) = f^\prime(c) (b-a)$.