9.9 Inflexní body a asymptoty

Body, kde se mění konvexita na konkavitu, případně naopak, jsou důležité pro tvar grafu funkce. Zavádí se pro ně proto zvláštní označení.

Definice 9.11 (Inflexní bod)

Nechť $f$ je spojitá v bodě $c$. Bod $c$ nazýváme inflexním bodem funkce $f$, právě když existuje $\delta > 0$ takové, že $f$ je ryze konvexní na intervalu $(c-\delta,c)$ a ryze konkávní na intervalu $(c,c+\delta)$, nebo naopak.

Příklad 9.16

Nalezněte inflexní body funkce $f(x) = e^{-x^2}$.

Zobrazit řešení

Je potřeba vypočíst druhou derivaci zadané funkce,

\begin{equation*} \begin{aligned} f'(x) &= -2x e^{-x^2}, \\ f''(x) &= -2 e^{-x^2} + 4x^2 e^{-x^2} = 2 (2x^2 - 1)e^{-x^2}. \end{aligned} \end{equation*}

Vidíme, že znaménko druhé derivace je kladné pro $|x| > \frac{1}{\sqrt{2}}$ a záporné pro $|x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$. Funkce $f$ je proto konvexní na $\big(-\infty,-\frac{1}{\sqrt{2}}\big)$ a $\big(\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty\big)$ a konkávní na $\big(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\big)$. Inflexními body tedy jsou body $\frac{1}{\sqrt{2}}$ a $-\frac{1}{\sqrt{2}}$. Funkce je znázorněna na Obrázku 9.15.

Obrázek 9.15: Inflexní body.

Konečně, poslední vlastností grafu, kterou budeme zkoumat, je existence asymptot. Rozlišujeme dva kvalitativně rozdílné případy zavedené v následující definici.

Definice 9.12 (Asymptoty funkce)

Řekneme, že funkce $f$ má v bodě $a \in \R$ asymptotu $x=a$, právě když limita $\displaystyle\lim_{x\to a+} f(x)$ nebo $\displaystyle\lim_{x\to a-} f(x)$ je rovna $+\infty$ nebo $-\infty$. Řekneme, že přímka $y=kx+q$ je asymptotou funkce $f$ v $+\infty$, resp. v $-\infty$, když

\begin{equation*} \lim_{x\to+\infty} \big( f(x) - kx - q \big) = 0 \ \text{resp.} \ \lim_{x\to-\infty} \big( f(x) - kx-q \big) = 0. \end{equation*}

Poznámka 9.4

Má-li být přímka $y = kx + q$ asymptotou funkce $f$ v $+\infty$, pak nutně $0 = \lim\limits_{x\to+\infty} \frac{f(x) - (kx+q)}{x} = \lim\limits_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x} - k$ a proto

\begin{equation}\label{eq_asy_k}\tag{9.5} k = \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}. \end{equation}

Podobně

\begin{equation}\label{eq_asy_q}\tag{9.6} q = \lim_{x\to +\infty} f(x) - kx, \end{equation}

kde $k$ jsme spočetli v předchozím bodu. Podobnou poznámku můžeme učinit i pro $-\infty$.

Příklad 9.17

Nalezněte asymptoty funkce $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+2}{|x-1|} + 1$.

Zobrazit řešení

Proberme postupně možné body, kde může mít zadaná funkce asymptotu.

Bod $x=1$ nepatří do $D_f$ a $\displaystyle\lim_{x\to 1_\pm} f(x) = +\infty$. Tudíž přímka $x=1$ je asymptotou $f$ v bodě $1$.

Hledejme asymptotu v $+\infty$,

\begin{align*} k &= \lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{x^2 + 2}{x^2 - x} + \frac{1}{x} = 1, \\ q &= \lim_{x\to+\infty} f(x) - \clr{blue}{k}x = \lim_{x\to+\infty} \frac{x^2+2}{x-1} + 1 - \clr{blue}{1}\cdot x = \lim_{x\to+\infty} \frac{2 + x}{x-1} +1 = 2.\end{align*}

Podobně, pro asymptotu v $-\infty$ máme

\begin{equation*} \begin{aligned} k &= \lim_{x\to-\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to-\infty} \frac{x^2 + 2}{-x^2 + x} + \frac{1}{x} = -1, \\ q &= \lim_{x\to-\infty} f(x) - \clr{blue}{k}x = \lim_{x\to-\infty} \frac{x^2+2}{-x+1} + 1 - \clr{blue}{(-1)}\cdot x = 0. \end{aligned} \end{equation*}

Nalezené asymptoty jsou uvedeny na Obrázku 9.16.

Obrázek 9.16: Asymptoty funkce.
Varování 9.2

Nepleťte si asymptoty a tečny! V obou případech jde o přímky, ale s poměrně odlišnými vlastnostmi.

Otázka 9.4

Může se asymptota v $+\infty$ vícenásobně protínat s grafem dané funkce?

Zobrazit odpověď

Ano, viz např. $f(x) = x + \frac{1}{x}\sin(x)$.