9.1 Maximum, minimum, supremum a infimum

Než se v následující podkapitole pustíme do vyšetřování extrémů funkce, je vhodné připomenout pojem maxima a minima množiny.

Definice 9.1 (Maximum a minimum množiny)

Buď $M \subset \R$. Reálné číslo $\alpha \in M$ nazýváme

  • maximem množiny $M$, právě když pro všechna $x\in M$ platí $x \leq \alpha$,

  • minimem množiny $M$, právě když pro všechna $x\in M$ platí $\alpha \leq x$.

Maximum, resp. minimum, množiny $M$ značíme $\max M$, resp. $\min M$.

Každá konečná neprázdná množina má minimum i maximum, např. pro množinu $M = \{1,2,3\}$ platí $\max M = 3$ a $\min M = 1$.

Některé množiny $M\subset\R$ nemají minimum ani maximum. Například otevřený interval $M = (0,1)$. Čísla $0$ a $1$ nejsou minimem ani maximem, neboť $0,1\notin M$. Prázdná množina nemá maximum ani minimum.

Abychom tyto problémy odstranili, zavádíme pojem infima a suprema množiny. Tyto pojmy zobecňují pojmy minima a maxima. Čtenáři nabízíme grafickou ilustraci definice infima množiny na Obrázku 9.1.

Definice 9.2 (Infimum množiny)

Buď $M$ neprázdná zdola omezená podmnožina množiny reálných čísel. Číslo $\alpha\in\R$ nazveme infimem množiny $M$, značíme $\inf M$, právě když

  1. pro každé $x\in M$ platí $\alpha \leq x$ ($\alpha$ je dolní závora $M$),

  2. pokud $\beta \in \R$ také splňuje předchozí bod, pak $\beta \leq \alpha$ ($\alpha$ je největší dolní závora $M$).

Pokud množina $M$ není zdola omezená, pak klademe $\inf M \ceq -\infty$. Pro prázdnou množinu klademe $\inf \emptyset \ceq +\infty$.

Stručně můžeme říci, že infimum množiny $M$ je největší dolní závorou množiny $M$. Pokud má množina $M$ i minimum, pak je tato hodnota jistě největší dolní závorou množiny $M$ a tedy je současně i infimem (tj. infimum je skutečně zobecnění pojmu minima).

Obrázek 9.1: Ilustrace ke konstrukci infima množiny (Definice 9.2), zde $M = (1,2\rangle$. Množina dolních závor je $(-\infty, 1\rangle$, čili největší dolní závorou je $1$. Množina $M$ nemá minimum.

Zcela analogicky definujeme i pojem suprema množiny.

Definice 9.3 (Supremum množiny)

Buď $M$ neprázdná shora omezená podmnožina množiny reálných čísel. Číslo $\alpha\in\R$ nazveme supremem množiny $M$, značíme $\sup M$, právě když

  1. pro každé $x\in M$ platí $x \leq \alpha$ ($\alpha$ je horní závora $M$),

  2. pokud $\beta \in \R$ také splňuje předchozí bod, pak $\alpha \leq \beta$ ($\alpha$ je nejmenší horní závora $M$).

Pokud množina $M$ není shora omezená, pak klademe $\sup M \ceq +\infty$. Pro prázdnou množinu klademe $\sup \emptyset \ceq -\infty$.

Na rozdíl od minim a maxim už každá podmnožina množiny reálných čísel supremum i infimum má. Platí totiž následující věta.

Věta 9.1 (O existenci suprema a infima)

Buď $A$ podmnožina množiny reálných čísel. Potom existuje její infimum ($\inf A$) i supremum ($\sup A$).

Zobrazit důkaz

Předveďme důkaz pro supremum. Infimum se ošetří analogicky. Případy prázdné množiny $A$ a shora neomezené množiny $A$ jsou snadné přímo z definice (v prvním případě je supremem $-\infty$, v druhém případě $+\infty$).

Mějme tedy shora omezenou neprázdnou množinu $A$. Nechť $a_1$ je nějaký bod, který není horní závorou množiny $A$ a $b_1$ nějaká horní závora množiny $A$ (tj. existuje $x \in A$ takové, že $a_1 < x$ a $y \leq b_1$ pro každé $y \in A$). Uvažme bod $c = \frac{a_1+b_1}{2}$, pokud je tento bod stále horní závorou množiny $A$, pak položme $a_2 = a_1$ a $b_2 = c$, v opačném případě položme $a_2 = c$ a $b_2 = b_1$.

Nyní tento „půlící“ proces opakujme. Tím získáme posloupnost intervalů $\langle a_n, b_n \rangle$, $n\in\N$, pro jejichž délky platí

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} (b_n - a_n) = \lim_{n\to\infty} \frac{b_1 - a_1}{2^{n-1}} = 0. \end{equation*}

Pro libovolné $n\in\N$ je $b_n$ horní závorou množiny $A$ a $a_n$ není horní závorou množiny $A$.

Podle axiomu úplnosti proto existuje $\alpha \in \R$, které patří do každého z intervalů $\langle a_n, b_n \rangle$. Tvrdíme, že toto $\alpha$ je supremem množiny $A$. K tomu musíme ověřit dvě věci:

  • $\alpha$ je horní závorou množiny $A$: kdyby $\alpha$ horní závorou nebylo, pak by existovalo $x \in A$ ostře větší než $\alpha$. Protože ale $\lim_n b_n = \alpha$, pak by i nekonečně mnoho $b_n$ muselo být ostře menší než $x$, což je ve sporu s tím, že všechna $b_n$ jsou horní závory množiny $A$.

  • $\alpha$ je nejmenší horní závorou množiny $A$: kdyby existovala menší horní závora množiny $A$, označme si ji $\beta < \alpha$, pak protože $\lim_n a_n = \alpha$ tak by nekonečně mnoho $a_n$ muselo být ostře větší než $\beta$ a také by byly horními závorami množiny $A$. To ale není možné, žádné z $a_n$ není horní závorou množiny $A$.

Tím je důkaz dokončen.

$\square$

Příklad 9.1

Pro interval $J = (-2,1\rangle$ platí

\begin{equation*} \begin{aligned} \max J &= 1, & \sup J &= 1, & \min J \ &\text{neexistuje}, & \inf J &= -2. \end{aligned} \end{equation*}

V dalším textu nás budou zajímat hodnoty funkce nabývané na různých množinách. Zavádíme proto následující značení. Pro $f\colon D_f \to \R$ a množinu $M \subset D_f$ klademe

\begin{equation}\label{eq-def-sup-inf-f}\tag{9.1} \begin{aligned} \inf_M f &= \inf_{x\in M} f(x) \ceq \inf \{f(x) \mid x \in M \}, \\ \sup_M f &= \sup_{x\in M} f(x) \ceq \sup \{f(x) \mid x \in M \}. \end{aligned} \end{equation}

Pro $f\colon D_f \to \R$ a množinu $M \subset D_f$ dále klademe

\begin{equation}\label{eq-def-max-min-f}\tag{9.2} \begin{aligned} \max_M f &= \max_{x\in M} f(x) \ceq \max \{ f(x) \mid x \in M \}, \\ \min_M f &= \min_{x\in M} f(x) \ceq \min \{ f(x) \mid x \in M \}, \end{aligned} \end{equation}

za předpokladu, že uvedená maxima a minima existují. Připomeňme, že postačující podmínkou pro jejich existenci je například situace spojitosté $f$ a uzavřeného intervalu $M$.