Shrňme si přehledně doposud odvozené vztahy pro derivace. Uvádíme tabulku 8.1 zatím známých derivací.
\(f(x)\) | \(f'(x)\) | podmínky |
---|---|---|
\(c\), \(x^0\) | \(0\) | \(c\) konstanta nezávislá na \(x\) |
\(x^n\) | \(nx^{n-1}\) | \(x\in\R\), \(n \in\mathbb{N}\) |
\(x^n\) | \(nx^{n-1}\) | \(x\in\R\smallsetminus\{0\}\), \(n = -1,-2,\ldots\) |
\(x^\alpha\) | \(\alpha x^{\alpha -1}\) | \(x>0\) a \(\alpha\in\R\) |
\(\ee^x\) | \(\ee^x\) | \(x\in\R\) |
\(a^x\) | \(a^x\ln a\) | \(x\in\R\), \(a>0\) |
\(\ln(x)\) | \(\frac{1}{x}\) | \(x>0\) |
\(\sin(x)\) | \(\cos(x)\) | \(x\in\R\) |
\(\cos(x)\) | \(-\sin(x)\) | \(x\in\R\) |
\(\tg(x)\) | \(\frac{1}{\cos^2(x)}\) | \(x\neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \ k\in\mathbb{Z}\) |
\(\cotg(x)\) | \(-\frac{1}{\sin^2(x)}\) | \(x\neq k\pi, \ k\in\mathbb{Z}\) |
\(\arcsin(x)\) | \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(x\in(-1,1)\) |
\(\arccos(x)\) | \(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(x\in(-1,1)\) |
\(\arctg(x)\) | \(\frac{1}{1+x^2}\) | \(x\in\R\) |
\(\arcctg(x)\) | \(-\frac{1}{1+x^2}\) | \(x\in\R\) |
Tabulka 8.1: Tabulka derivací elementárních funkcí.
Nalezněte derivaci funkce
Přímým výpočtem získáváme
V označených rovnostech jsme postupně použili
derivace součtu,
znalost derivace funkcí $\arctg(x)$, $x^{-1}$ a derivace složené funkce,
algebraické úpravy.
Nalezněte derivaci funkce
Zde nejde ani o funkci $a^x$, ani $x^a$. Mění se jak základ, tak exponent.
V tomto případě proto postupujeme následovně
Postupně jsme použili:
úprava výrazu před samotnou derivací,
derivace složené funkce, znalost derivace funkce $e^x$,
derivace součinu a znalost derivace $\ln x$, resp. $x$,
algebraické úpravy.
Úprava použitá v předchozím příkladě, tedy přepis na exponenciálu se často používá právě u takovýchto druhů funkcí. Jako další příklad ještě uveďme