7.3 Vlastnosti spojitých funkcí

Věta 7.4 má nejen praktické důsledky pro hledání nulových bodů funkcí, má ale i důležité důsledky pro spojité funkce. Přesněji, můžeme pomocí ní dokázat řadu vlastností spojitých funkcí.

Důsledek 7.1 (O nenulové spojité funkci)

Buď $f$ spojitá funkce na intervalu $J \subset D_f$ a nechť platí $f(x) \neq 0$ pro všechna $x\in J$. Potom pro všechna $x\in J$ platí buď $f(x) > 0$ nebo $f(x) < 0$.

Zobrazit důkaz

Pokud by existovalo $a$ a $b$ z intervalu $J$ takové, že $f(a)$ a $f(b)$ mají různá znaménka, pak by podle Věty 7.4 existovalo $c$ ležící někde mezi $a$ a $b$ a splňující $f(c) = 0$, což je spor s předpokladem nenulovosti $f$ na $J$.

$\square$

Další vlastností spojitých funkcí je, že zobrazují intervaly na intervaly. To pro nespojité funkce nemusí být pravda.

Otázka 7.1

Vymyslete příklad nekonstantní funkce $f$ a intervalu $J$ tak, aby obraz $f(J)$ nebyl interval.

Zobrazit odpověď

Možností je mnoho. Například pokud $f = \sgn$ a $J = (-1,1)$, pak $f(J) = \{-1,0,1\}$.

Věta 7.5 (O obrazu intervalu při spojitém zobrazení)

Buď $f$ funkce spojitá na intervalu $J$. Potom obraz $f(J)$ intervalu $J$ při zobrazení $f$ je buď interval, nebo jednoprvková množina.

Zobrazit důkaz

$f(J)$ je jednoprvková množina právě tehdy, když funkce $f$ je konstantní. Ve zbytku důkazu předpokládejme, že $f$ není konstantní.

Ukažme, že $f(J)$ je interval. K tomu je třeba ukázat, že pro libovolné dva prvky $\alpha,\beta \in f(J)$, $\alpha \neq \beta$, leží všechna $\gamma$ mezi $\alpha$ a $\beta$ také v $f(J)$.

Jistě existují $a,b\in J$, $f(a) = \alpha$, $f(b) = \beta$ a bez újmy na obecnosti $a < b$. Položme $g(x) \ceq f(x) - \gamma$. Funkce $g$ je spojitá na $\langle a, b \rangle$, $g(a) = \alpha - \gamma$ a $g(b) = \beta - \gamma$ jsou nenulová s rozdílným znaménkem. Podle Věty 7.4 existuje $c \in (a,b)$ takové, že $g(c) = 0$, tj. $f(c) = \gamma$.

$\square$

Spojitým obrazem intervalu pro nekonstantní funkci $f$ je tedy interval. Zachovává spojitost i uzavřenost, resp. otevřenost, intervalu? Není těžké si rozmyslet, že obrazem otevřeného intervalu nemusí být opět otevřený interval37. Spojitým obrazem uzavřeného intervalu už ale vždy bude uzavřený interval. Platí totiž následující věta.

Věta 7.6 (O obrazu uzavřeného intervalu při spojitém zobrazení)

Buď $f$ funkce spojitá na uzavřeném intervalu $J$. Potom obraz $f(J)$ intervalu $J$ je buď jednoprvková množina, nebo uzavřený interval.

Zobrazit důkaz

Podle Věty 7.5 již víme, že $f(J)$ je buď jednoprvková množina (pokud je funkce konstantní) a nebo interval (pokud je funkce nekonstantní). Ukažme nyní uzavřenost $f(J)$ pro nekonstantní $f$.

Označme $J = \langle a,b \rangle$. Postupujme sporem, bez újmy na obecnosti tedy předpokládejme, že obraz intervalu $J$ při zobrazení $f$ je třeba tvaru $(c,d\rangle$ kde $c\in\R$ nebo $c = -\infty$ a $d \in \R$. Tj. je to interval s alespoň jedním „otevřeným“ koncovým bodem. Existuje posloupnost $(y_n)$ konvergující k $c$ jejíž členy leží v $f(J)$. Skutečně, v případě $c\in\R$ můžeme volit $y_n = c + \frac{1}{n}$ od dostatečně velkého $n$ a v případě $c=-\infty$ lze volit $y_n = -n$ opět pro dostatečně velké $n$. Protože $y_n \in f(J)$, existují $x_n \in J$ splňující $y_n = f(x_n)$. Posloupnost $(x_n)_{n=1}^\infty$ patří do $\langle a, b \rangle$ a je proto omezená. Podle Bolzano–Weierstrassovy věty 5.9 lze z této posloupnosti vybrat konvergentní podposloupnost $(x_{k_n})_{n=1}^\infty$. Existuje tedy $x\in J = \langle a,b\rangle$ splňující $\lim x_{k_n} = x$. Ze spojitosti funkce $f$ dostáváme $c = \lim f(x_{k_n}) = f\big( \lim x_{k_n} \big) = f(x)$. Proto $c \in f(J) = (c, d \rangle$, což je spor.

$\square$

Na závěr této sekce s důsledky spojitosti ještě zformulujeme větu umožňující za jistých předpokladů odvodit spojitost inverzní funkce ke spojité funkci.

Věta 7.7 (O spojitosti inverzní funkce)

Buď $f\colon I \to \R$ ryze monotónníspojitá funkce na intervalu $I$. Potom její inverzní funkce $f^{-1}$ je také ryze monotónní a spojitá na intervalu $J \ceq f(I)$.

Zobrazit důkaz

Za uvedených předpokladů funkce $f^{-1}$ existuje a je ryze monotónní. $J$ je skutečně interval, jak tvrdí Věta 7.5. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že funkce $f$ je ostře rostoucí. Ukažme, že $f^{-1}$ je spojitá zprava v každém bodě $b\in J$, který není pravým koncovým bodem. Ozn. $a \ceq f^{-1}(b)$, tj. $f(a) = b$.

Buď $\veps > 0$. Potom pro $\delta := f(a + \veps) - b$ a $y \in (b, b + \delta)$ platí

\begin{align*} b < &y < b+\delta = f(a+\veps) \\ a = f^{-1}(b) < &f^{-1}(y) < a + \veps.\end{align*}

Pro lepší orientaci je dobré nakreslit si obrázek, viz Obrázek 7.5. Tedy $f^{-1}(y) \in U_a(\veps)$, $a = f^{-1}(b)$. Podobně pro spojitost zleva.

$\square$

Obrázek 7.5: K důkazu věty o vlastnostech inverzní funkce (Věta 7.7).

V souvislosti s předchozí větou se hodí uvést i následující užitečné pozorování, které často využíváme později při vyšetřování průběhu funkce.

Věta 7.8 (Monotonie na krajích)

Uvažme funkci definovanou na intervalu $\langle a,b)$, která je spojitá v bodě $a$ zprava a je (ostře) rostoucí (resp. klesající) na intervalu $(a,b)$. Pak má stejný typ monotonie i na intervalu $\langle a,b)$.

Zobrazit důkaz

Důkaz pro určitost uvedeme pro případ rostoucí funkce, ostatní typy monotonie se ošetří stejně.

Postupujme sporem. Máme tedy funkci, která je zprava spojitá v $a$, je rostoucí na intervalu $(a,b)$, ale není rostoucí na intervalu $\langle a,b)$. To znamená, že existuje $c \in (a,b)$ takové, že $f(a) > f(c)$. Potom ale pro každé $x \in (a,c)$ platí $f(x) \leq f(c) < f(a)$. Odtud plyne (definice limity), že limita funkce $f$ v bodě $a$ zprava je nejvýše rovna $f(c)$, ale současně díky spojitost zprava je rovna $f(a)$, ovšem $f(c) < f(a)$. Tato situace nemůže nastat, získáváme spor.

$\square$