Následující věta je velmi užitečná. Umožňuje nám rozhodovat o platnosti vztahů $o$ a $\mathcal{O}$ bez nutnosti hledání konstant z definice $o$ a $\mathcal{O}$. Její použití si ukážeme hned jakmile budeme mít v ruce mocnější nástroje na výpočet limit, například v podkapitole o podílovém kritériu.
Mějme dvě funkce $f\colon A \to \R$, $g\colon B \to \R$ a bod $a\in\overline{\R}$. Dále předpokládejme, že
Bod $a$ je hromadným bodem množiny $A$ i $B$.
Existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že $(U_a \cap A) \smallsetminus \{a\} = (U_a \cap B) \smallsetminus \{a\}$.
Pro všechna $x$ z množiny $U_a \cap B$ různá od $a$ platí nerovnost $g(x) \neq 0$.
Potom platí následující tři implikace:
Pokud limita $\displaystyle \lim_{x\to a} \left| \frac{f(x)}{g(x)} \right| \in \R$, pak $f(x) = \mathcal{O}(g(x))$ pro $x \to a$.
Platí $\displaystyle \lim_{x\to a} \left| \frac{f(x)}{g(x)} \right| = 0$, právě když $f(x) = o(g(x))$ pro $x \to a$.
Platí $\displaystyle\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$, právě když $f(x) \sim g(x)$ pro $x \to a$.
Stručně bychom se mohli odkázat na Tvrzení 3.2 a 3.4. Rozeberme důkaz ale podrobněji.
V prvním případě si stačí uvědomit, že existence konečné limity implikuje omezenost funkce na okolí: je-li $\lim_{x\to a} |f(x)/g(x)| = b \in \R$, pak dle definice limity pro okolí $U_b(1)$ existuje okolí $U_a$ takové, že pro každé $x \in U_a \smallsetminus \{a\}$ je $|f(x)/g(x)| \in U_b(1)$ a tedy $|f(x)| < (b+1)|g(x)|$.
V druhém případě je situace jednoduší, roli $c$ v definici $o$ přesně hraje $\veps$ z definice limity.
V třetím případě je potřeba dokázat dvě implikace. Implikace zprava do leva plyne přímo z definice $\sim$. Implikace zleva doprava vyplývá ze vztahu
platného na okolí bodu $a$, s možnou výjimkou bodu $a$.
$\square$
V podkapitole 4.7 jsme pro posloupnosti zavedli asymptotické vztahy $\Omega$, $\omega$ a $\Theta$. Pomocí limit můžeme zformulovat následující kritérium:
Mějme dvě posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$, $(b_n)_{n=1}^\infty$. Dále předpokládejme, že všechny členy posloupnosti $(b_n)_{n=1}^\infty$ jsou nenulové. Potom platí následující tvrzení.
Pokud $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{b_n}\right| > 0$, potom $a_n = \Omega(b_n)$.
Pokud $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{b_n}\right| = +\infty$, potom $a_n = \omega(b_n)$.
Pokud $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{b_n}\right| \in (0, +\infty)$, potom $a_n = \Theta(b_n)$.
Stačí si procvičit definici s pojmy limita a příslušnými asymptotickými vztahy.
Předpokládejme tedy, že
kde připouštíme i možnost $\alpha = +\infty$. Z definice limity posloupnosti použité pro $\varepsilon = \alpha / 4$, resp. $\varepsilon = 42$ v případě $\alpha = +\infty$, existuje $N \in \N$ takové, že pro každé přírozené $n > N$ platí
tj. pro libovolné $n > N$ je
kde $c = \frac{3}{4}\alpha$, resp. $c = 42$ v případě $\alpha = +\infty$. Tím jsme ověřili vztah $a_n = \Omega(b_n)$.
Nyní postupujme podobně jako v předchozím bodě. Z uvedeného předpokladu plyne: pro každé $c > 0$ existuje $N \in \N$ takové, že pro každé přirozené $n > N$ platí
čili
Tím jsme ověřili vztah $a_n = \omega(b_n)$.
Předpokládejme, že
Existují tedy dvě reálné konstanty $c_1, c_2 > 0$ a $N \in \N$ takové, že pro každé $n > N$ je
tedy
Tudíž $a_n = \Theta(b_n)$.
$\square$
Vztah mezi $\sim$ a $\Theta$ odhaluje následující tvrzení.
Pokud $a_n \sim b_n$ pro $n\to\infty$, pak i $a_n = \Theta(b_n)$ pro $n \to \infty$.
Pro ilustraci uvádíme několik příkladů.
Platí $2^n = \Omega(n^2)$.
Skutečně, protože
pak podle podílového kritéria platí
V tomto případě vidíme, že platí i $2^n = \omega(n^2)$.
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Bod $\alpha\in\eR$ nazýváme hromadným bodem množiny $M \subset \R$, právě když v každém okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ leží nějaký prvek množiny $M$ různý od $\alpha$.
Pod okolím bodu $a\in\eR$, ozn. $U_a$, máme na mysli buď okolí $U_a(\veps)$ pro nějaké $a\in\R$ a $\veps > 0$, nebo okolí $U_{\pm\infty}(c)$ pro nějaké $c\in\R$.
Mějme funkci $f\colon A \to \R$, hromadný bod $a\in\overline{\R}$ množiny $A$ a bod $b\in\overline{\R}$. Funkce $f$ má v bodě $a$ limitu rovnou $b$, právě když pro každé okolí $U_b$ bodu $b$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že pokud $x \in U_a \cap A$ a $x \neq a$, pak $f(x) \in U_b$.
Formálně tento požadavek vyjadřuje formule
Tuto skutečnost symbolicky zapisujeme následovně
Mějme dvě funkce $f$, $g$ a bod $a \in \overline{\R}$ takový, že $a$ je hromadným bodem množiny $D_f \cap D_g$ a existuje okolí $V_a$ splňující $(V_a \cap D_f) \smallsetminus \{a\} = (V_a \cap D_g) \smallsetminus \{a\}$.
Řekneme, že funkce $f$ je asymptoticky shora omezená funkcí $g$ pro $x$ jdoucí k $a$, symbolicky
právě když existuje kladná konstanta $c \in \R$ a okolí $U_a$ bodu $a$ tak, že pro všechna $x \in (U_a \cap D_f \cap D_g) \smallsetminus \{a\}$ platí
Mějme dvě funkce $f$, $g$ a bod $a \in \overline{\R}$ takový, že $a$ je hromadným bodem množiny $D_f \cap D_g$ a existuje okolí $V_a$ splňující $(V_a \cap D_f) \smallsetminus \{a\} = (V_a \cap D_g) \smallsetminus \{a\}$.
Řekneme, že funkce $f$ je asymptoticky shora striktně omezená funkcí $g$ pro $x$ jdoucí k $a$, symbolicky
právě když pro každé kladné $c \in \R$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ tak, že pro všechna $x \in U_a \cap D_f \cap D_g$ různá od $a$ platí