8.4 Derivace součtu, součinu a podílu

Přistupme nyní k problému výpočtu derivace za předpokladu znalosti derivací funkcí, z kterých je derivovaná funkce „složena“. Nejprve opět prozkoumáme algebraické operace sčítání, násobení a dělení. V další podkapitole se podíváme na skutečné složení. Opět se jedná o aplikaci vět o limitách funkcí probraných v předchozí části textu.

Věta 8.2 (Derivace součtu, součinu a podílu)

Nechť funkce $f$ a $g$ jsou diferencovatelné v bodě $a$. Potom platí

  • $(f+g)^{\prime}(a) = f^{\prime}(a) + g^{\prime}(a)$,

  • $(f\cdot g)^{\prime}(a) = f^{\prime}(a) g(a) + f(a) g^{\prime}(a)$,

  • $\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}(a) = \frac{f^{\prime}(a)g(a) - f(a)g^{\prime}(a)}{g(a)^2}$, pokud $g(a) \neq 0$.

Pravidlo pro derivaci součinu se někdy též nazývá Leibnizovo pravidlo ( Gottfried Wilhelm von Leibniz, německý matematik a filozof, 1646 – 1716). Platí tedy například

\begin{align*} \left(\sin(x)\cos(x)\right)' &= \cos(x)\cos(x) - \sin(x)\sin(x) = \cos(2x), \\ \left(x\sin(x)\right)' &= 1\cdot \sin(x) + x\cdot\cos(x).\end{align*}

Ukažme si, jak dokázat pravidla pro derivaci součtu a součinu funkcí. Předpokládejme, že funkce $f$ a $g$ jsou diferencovatelné v bodě $a$. Potom

\begin{align*} (f+g)'(a) &= \lim_{x\to a} \frac{f(x) + g(x) - f(a) - g(a)}{x - a} = \\ &= \lim_{x\to a} \left(\frac{f(x) - f(a)}{x-a} + \frac{g(x) - g(a)}{x-a}\right) = f'(a) + g'(a), \\ (f\cdot g)'(a) &= \lim_{x\to a} \frac{f(x)g(x) - f(a) g(a)}{x-a} = \\ &= \lim_{x\to a} \frac{f(x) (g(x) - g(a)) + g(a)(f(x) - f(a))}{x - a} = \\ &= f(a) \cdot g'(a) + g(a) \cdot f'(a).\end{align*}

Zde jsme použili Větu 7.2 o limitě součtu a součinu (výrazy jsou díky diferencovatelnosti definovány) a navíc jsme použili spojitost $f$ a $g$, která, jak víme z Věty 8.1, plyne z diferencovatelnosti.

$\square$

Důkaz vzorečku pro podíl se provede stejným způsobem. Ukažme si nyní použití věty č. 8.2 na několika důležitých příkladech.

Příklad 8.7

Pro derivace funkcí $\tg$ a $\cotg$ platí

\begin{align*} \tg'(x) &= \frac{1}{\cos^2(x)}, \quad x\in\R\smallsetminus\Big\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \Big| k\in\mathbb{Z}\Big\}, \\ \cotg'(x) &= -\frac{1}{\sin^2(x)}, \quad x\in\R\smallsetminus\big\{ k\pi \big| k\in\mathbb{Z}\big\}.\end{align*}

Pomocí pravidla pro derivaci podílu z Věty 8.2 dostáváme vztahy

\begin{align*} \tg'(x) &= \left(\frac{\sin}{\cos} \right)'(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)}, \\ \cotg'(x) &= \left( \frac{\cos}{\sin} \right)'(x) = \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)} = - \frac{1}{\sin^2(x)},\end{align*}

platné na příslušných definičních oborech.

Pozorování 8.1

Multiplikativní konstantu lze při derivování vytknout. Přesněji, pro funkci $f$ diferencovatelnou v bodě $a$ a konstantu $c$ platí

\begin{equation*} (c \cdot f)'(a) = c \cdot f'(a). \end{equation*}

Skutečně, pro konstantní funkci $g(x) = c$ z bodu o derivaci součinu ve Větě 8.2 plyne

\begin{equation*} (c \cdot f)'(a) = (g \cdot f)'(a) = g'(a) f(a) + g(a) f'(a) = 0 \cdot f(a) + c \cdot f'(a) = c \cdot f'(a), \end{equation*}

protože derivace konstantní funkce je rovna nule.

Poznámka 8.5

Z Věty 8.2 (bod o derivaci součtu) a Pozorování 8.1 vlastně plyne, že pro dvě funkce $f$ a $g$ diferencovatelné v bodě $a$ a konstantu $c$ platí

\begin{equation*} (f + c \cdot g)'(a) = f'(a) + c \cdot g'(a). \end{equation*}

Z tohoto úhlu pohledu lze o derivaci mluvit jako o lineárním zobrazení ve smyslu  BI-LA2.

Příklad 8.8 (Parabolické zrcadlo)

V tomto příkladu si ukážeme, jak funguje parabolické zrcadlo/anténa, či v opačném smyslu parabolický světlomet.

Pro jednoduchost si představme parabolu $y = \alpha x^2$, $\alpha > 0$ a paprsek rovnoběžný s osou $y$ přicházející z kladného směru osy $y$. Tento paprsek dopadá na parabolu v bodě o $x$-ové souřadnici $\beta > 0$ (parametr úlohy), odrazí se, a nás zajímá souřadnice jeho průsečíku s osou $y$. Chceme ukázat, že tento průsečík ve skutečnosti nezávisí na hodnotě $\beta$. Tj. všechny takovéto paprsky přicházející ze směru rovnoběžného s osou symetrie paraboly se soustředí v jejím ohnisku. Tato situace je graficky znázorněna na Obrázku 8.5.

Položme $f(x) = \alpha x^2$. Derivací této funkce je $f'(x) = 2\alpha x$. Tečna této funkce v bodě $\beta$ má rovnici

\begin{equation*} y = 2\alpha\beta(x-\beta) + \alpha\beta^2, \quad \text{resp.} \quad 2\alpha\beta x - y - \alpha\beta^2 = 0 \end{equation*}

a má proto normálový vektor $\mathbf{u} = (-2\alpha\beta, 1)$ (míří doleva nahoru) a směrový vektor $\mathbf{v} = (1, 2\alpha\beta)$ (míří doprava nahoru), viz Obrázek 8.5.

Z vektorů $\mathbf{u}$ a $\mathbf{v}$ snadno nakombinujeme směrový vektor dopadajícího paprsku

\begin{equation*} \mathbf{s}_1 = 1 \cdot \mathbf{u} + 2\alpha\beta \cdot \mathbf{v} = (0, 1 + 4\alpha^2\beta^2). \end{equation*}

Tento vektor $\mathbf{s}_1$ má tak vzhledem k bázi $(\mathbf{u},\mathbf{v})$ souřadnice $(1,2\alpha\beta)$.

Paprsek se od paraboly odrazí podle známého zákona o úhlu dopadu a odrazu vzhledem k tečně v bodě dopadu. Ekvivalentně řečeno, směrový vektor přímky reprezentující paprsek před a po odrazu získáme zrcadlením vůči přímce se směrovým vektorem $\mathbf{u}$ procházející bodem dopadu. K tomu stačí využít vyjádření směrového vektoru v bázi $(\mathbf{u},\mathbf{v})$, kde uvedené zrcadlení zachová první souřadnici a změní znaménko druhé souřadnice. Tj. odražený paprsek má směrový vektor

\begin{equation*} \mathbf{s}_2 = 1 \cdot \mathbf{u} - 2\alpha\beta \cdot \mathbf{v} = (-4\alpha\beta,1-4\alpha^2\beta^2). \end{equation*}

Vzhledem k tomu, že odražený paprsek také prochází bodem paraboly $(\beta,\alpha\beta^2)$, je jemu odpovídající přímka dána rovnicí

\begin{equation*} (1-4\alpha^2\beta^2)x + 4\alpha\beta y = (1-4\alpha^2\beta^2)\beta + 4\alpha^2\beta^3 = \beta. \end{equation*}

Souřadnice průsečíku této přímky a osou $y$ určíme konečně tak, že dosadíme za $x$ nulu a dopočteme souřadnici $y$, tedy

\begin{equation*} 4\alpha\beta y = \beta \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1}{4\alpha}. \end{equation*}

Vskutku vidíme, že ať už paprsek dopadal s jakoukoliv hodnotou $\beta$, tak tato souřadnice na $\beta$ nezávisí. Všechny paprsky se protnou v ohnisku, tedy bodu o souřadnicích $(0, 1/4\alpha)$.

Obrázek 8.5: Parabolické zrcadlo: všechny paprsky přicházející rovnoběžně s osou $y$ ze shora se od paraboly $y = \alpha x^2$ odráží do ohniska $E = (0,1/4\alpha)$. Viz Příklad 8.8.