K výpočtu limit funkcí vedoucích k neurčitým výrazům $\frac{0}{0}$ a $\frac{\infty}{\infty}$ se často hodí l'Hospitalovo pravidlo. Na tomto místě ho uvádíme z toho důvodu, že jde o důsledek Rolleovy věty (Věta 9.4).
Pro tuto větu je vžité označení „pravidlo“. Jde ale o matematickou větu jako každou jinou. Někdy se uvádí i jako „l'Hôpitalovo pravidlo“. Guillaume François Antoine, Marquis de l'Hôpital byl francouzský matematik žijící v sedmnáctém století.
Nechť pro funkce $f$ a $g$ a bod $a\in\eR$ platí
$\displaystyle\lim_a f = \lim_a g = 0$ nebo $\displaystyle\lim_a |g| = +\infty$
existuje okolí $U_a$ bodu $a$ splňující $U_a \smallsetminus \{a\} \subset D_{f/g} \cap D_{f^{\prime}/g^{\prime}}$,
existuje limita podílu derivací $\displaystyle\lim_a \frac{f^{\prime}}{g^{\prime}}$.
Potom existuje $\displaystyle \lim_a \frac{f}{g}$ a platí $\displaystyle \lim_a \frac{f}{g} = \lim_a \frac{f^{\prime}}{g^{\prime}}$.
V plném rozsahu důkaz provádět nebudeme. Podíváme se alespoň na případ neurčitého výrazu $\frac{0}{0}$.
Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že $f(a) = g(a) = 0$, tj. $f$ a $g$ jsou spojité v $a$.
Označme $b = \lim_a \frac{f'}{g'}$ a uvažme libovolné $U_b$ okolí bodu $b$. K němu existuje $V_a \subset U_a$ okolí bodu $a$ takové, že je-li $x \in V_a\smallsetminus \{a\}$, pak $f'(x)/g'(x) \in U_b$.
Pro libovolné $x \in V_a$, $x > a$, definujme funkci $h(t) \ceq f(t) - \frac{f(x)}{g(x)} g(t)$ (N.B.: $g(x) \neq 0$). Potom $h$ je spojitá na $\langle a, x \rangle$, pro její derivaci na $(a,x)$ platí $h'(t) = f'(t) - \frac{f(x)}{g(x)} g'(t)$ a navíc $h(a) = h(x) = 0$.
Podle Rolleovy věty existuje bod $c \in (a,x)$ takový, že $h'(c) = 0$, tj. $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} \in U_b$.
Celkem jsme ukázali, že $\displaystyle\lim_{x \to a_+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$. Důkaz pro limitu zleva se provede analogicky.
$\square$
Pojďme si nyní ukázat použití této věty na typických příkladech a poté rozebrat její záludnosti.
Vypočtěte limitu
Pomocí l'Hospitalova pravidla
Použití l'Hospitalovala pravidla je korektní. Jednalo se o limitu typu $\frac{0}{0}$, limita podílů derivací existuje, oba podíly jsou definovány na okolí bodu $0$ vyjma bod $0$ samotný (podíl derivací dokonce definovaný i v $0$).
Vypočtěte limitu
Nejprve musíme výraz upravit do tvaru kdy lze aplikovat l'Hospitalovo pravidlo.
Opět poznamenejme, že l'Hospitalovo pravidlo je použito korektně. Po vhodné úpravě se jedná o limitu typu $\frac{\infty}{\infty}$, limita podílu derivací existuje a oba podíly jsou definovány na pravém okolí bodu $0$ vyjma bod $0$ samotný (např. $(0,1)$).
K tomuto příkladu ještě poznamenejme, že pokud bychom výraz upravili takto,
tak bychom sice získali limitu typu $\frac{0}{0}$, ale limitu podílu derivací bychom vypočítat nedokázali. Dostali bychom se tedy do slepé uličky.
Vypočtěte limitu
Nyní je třeba l'Hospitalovo pravidlo použít dvakrát,
L'Hospitalovo pravidlo je použito korektně. Jedná se vždy o limitu typu $\frac{\infty}{\infty}$, podíly jsou definovány na okolí bodu $+\infty$ a poslední z limit existuje, tudíž existují i všechny předchozí.
Upozorněme na častý omyl vyskytující se u příkladů podobných předchozímu. Často se objevuje argument „limita je rovna $+\infty$ protože exponenciála roste rychleji než polynom“. To je sice dobrá intuice, ale není dostatečně přesná. Jak rychleji musí růst čitatel vůči jmenovateli, aby limita byla $+\infty$? Na to intuice vůbec nestačí. Například v limitě
také čitatel roste rychleji než jmenovatel, ale hodnota této limity je $2$ a ne nekonečno.
Na předchozí příklad je nutné se dívat právě naopak. Pomocí l'Hospitalova pravidla jsme vypočetli limitu
Protože tato limita vyšla $+\infty$, můžeme tvrdit, že exponenciála $e^x$ roste rychleji než $x^2$. Všimněte si, že původní intuitivní úvaha jde přesně opačným směrem.
Při použití l'Hospitalova pravidla je nutné zkontrolovat předpoklady. Slepým použitím formule můžeme dostat špatný výsledek:
Chyba v tomto výpočtu je dvojnásobná:
Není splněn 2. ani 3. předpoklad l'Hospitalova pravidla.
Limita nalevo od $\overset{\text{2}}{=}$ vůbec neexistuje. Nemá tedy smysl pokračovat ve výpočtu.
Limitu lze snadno spočíst bez l'Hospitalova pravidla,
V následujícím případě sice všechny předpoklady platí, ale ani opakované použití l'Hospitalova pravidla nevede k cíli
Po druhém použití dostaneme stejný výraz s kterým jsme začínali. Tuto limitu můžeme snadno spočítat bez použití l'Hospitalova pravidla,
Pod okolím bodu $a\in\eR$, ozn. $U_a$, máme na mysli buď okolí $U_a(\veps)$ pro nějaké $a\in\R$ a $\veps > 0$, nebo okolí $U_{\pm\infty}(c)$ pro nějaké $c\in\R$.
Mějme funkci $f\colon A \to \R$, hromadný bod $a\in\overline{\R}$ množiny $A$ a bod $b\in\overline{\R}$. Funkce $f$ má v bodě $a$ limitu rovnou $b$, právě když pro každé okolí $U_b$ bodu $b$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že pokud $x \in U_a \cap A$ a $x \neq a$, pak $f(x) \in U_b$.
Formálně tento požadavek vyjadřuje formule
Tuto skutečnost symbolicky zapisujeme následovně
Buď $f$ funkce s definičním oborem $D_f$. Nechť $M$ označuje množinu všech $a\in D_f$ takových, že $f$ má konečnou derivaci v bodě $a$, tj. $f^{\prime}(a) \in \R$. Derivací funkce $f$ nazýváme funkci s definičním oborem $M$, která každému $x\in M$ přiřadí $f^{\prime}(x)$. Tuto funkci značíme symbolem $f^{\prime}$.
Nechť funkce $f$ splňuje podmínky
$f$ je spojitá na intervalu $\langle a,b \rangle$,
$f$ má derivaci v každém bodě intervalu $(a,b)$,
$f(a) = f(b)$.
Potom existuje $c\in(a,b)$ tak, že $f^{\prime}(c) = 0$.
Nechť pro funkce $f$ a $g$ a bod $a\in\eR$ platí
$\displaystyle\lim_a f = \lim_a g = 0$ nebo $\displaystyle\lim_a |g| = +\infty$
existuje okolí $U_a$ bodu $a$ splňující $U_a \smallsetminus \{a\} \subset D_{f/g} \cap D_{f^{\prime}/g^{\prime}}$,
existuje limita podílu derivací $\displaystyle\lim_a \frac{f^{\prime}}{g^{\prime}}$.
Potom existuje $\displaystyle \lim_a \frac{f}{g}$ a platí $\displaystyle \lim_a \frac{f}{g} = \lim_a \frac{f^{\prime}}{g^{\prime}}$.
Nechť pro funkce $f$ a $g$ a bod $a\in\eR$ platí
$\displaystyle\lim_a f = \lim_a g = 0$ nebo $\displaystyle\lim_a |g| = +\infty$
existuje okolí $U_a$ bodu $a$ splňující $U_a \smallsetminus \{a\} \subset D_{f/g} \cap D_{f^{\prime}/g^{\prime}}$,
existuje limita podílu derivací $\displaystyle\lim_a \frac{f^{\prime}}{g^{\prime}}$.
Potom existuje $\displaystyle \lim_a \frac{f}{g}$ a platí $\displaystyle \lim_a \frac{f}{g} = \lim_a \frac{f^{\prime}}{g^{\prime}}$.
Nechť pro funkce $f$ a $g$ a bod $a\in\eR$ platí
$\displaystyle\lim_a f = \lim_a g = 0$ nebo $\displaystyle\lim_a |g| = +\infty$
existuje okolí $U_a$ bodu $a$ splňující $U_a \smallsetminus \{a\} \subset D_{f/g} \cap D_{f^{\prime}/g^{\prime}}$,
existuje limita podílu derivací $\displaystyle\lim_a \frac{f^{\prime}}{g^{\prime}}$.
Potom existuje $\displaystyle \lim_a \frac{f}{g}$ a platí $\displaystyle \lim_a \frac{f}{g} = \lim_a \frac{f^{\prime}}{g^{\prime}}$.