9.8 Kritéria pro hledání lokálních extrémů

Vedle definice (Definice 9.4) můžeme k hledání extrémů využít i dvě kritéria, která si nyní ukážeme. První z nich přirozeně využívá znalost monotonie, kterou jak už víme můžeme získat ze znalosti první derivace.

Věta 9.9 (O lokálních extrémech a monotonii)

Mějme funkci $f$ a bod $a \in D_f$ takové, že $f$ je spojitá v bodě $a$. Potom pokud

  • $f$ je (ostře) rostoucí na nějakém levém okolí bodu $a$ a (ostře) klesající na nějakém pravém okolí bodu $a$, potom má $f$ v bodě $a$ (ostré) lokální maximum.

  • $f$ je (ostře) klesající na nějakém levém okolí bodu $a$ a (ostře) rostoucí na nějakém pravém okolí bodu $a$, potom má $f$ v bodě $a$ (ostré) lokální minimum.

Zobrazit důkaz

Přímočaré ověření definice lokálního extrému (Definice 9.4).

$\square$

Důsledek 9.1 (O lokálních extrémech a první derivaci)

Mějme funkci $f$ diferencovatelnou na okolí bodu $a \in D_f$. Pokud derivace funkce $f$ v bodě $a$ mění znaménko, potom má v bodě $a$ ostrý lokální extrém.

Zobrazit důkaz

Stačí si vybavit větu spojující derivaci a monotonii (Věta 9.7) a využít předchozí Větu 9.9.

$\square$

Příklad 9.12

Požadavek spojitosti v předchozí větě je podstatný. Například funkce $f(x) = |x| + \sgn(x)$ je ostře rostoucí na $(0,+\infty)$ a ostře klesající na $(-\infty, 0)$, ale v bodě $0$ nemá (ostré) lokální minimum. Viz Obrázek 9.12.

Obrázek 9.12: Funkce $f(x) = |x| + \sgn(x)$ má vpravo od nuly derivaci $1$ (kladnou) a vlevo od nuly derivaci $-1$ (zápornou). V bodě $0$ ovšem nemá lokální extrém.
Příklad 9.13

Na funkci $f(x) = |x|$ je už předchozí věta (Věta 9.1) aplikovatelná:

  • $f$ je spojitá (jistě i v bodě $0$),

  • pro $x > 0$ je $f'(x) = 1$ a je proto ostře rostoucí na $(0, +\infty)$,

  • pro $x < 0$ je $f'(x) = -1$ a je proto ostře klesající na $(-\infty,0)$.

Funkce $f$ má v bodě $0$ ostré lokální minimum (což ale víme i jednodušeji přímo z definice).

Příklad 9.14

Nalezněte lokální extrémy funkce $f(x) = x \ee^{-2x^2}$.

Zobrazit řešení

Pro derivaci této spojité funkce platí

\begin{equation*} f'(x) = (1 - 4x^2) \ee^{-2x^2}. \end{equation*}

Proto je $f'(x) > 0$ pro $|x| < 1/2$ a $f'(x) < 0$ pro $|x| > 1/2$. Funkce $f$ je proto ostře klesající na intervalech $(-\infty,-1/2\rangle$ a $\langle 1/2,+\infty)$ a ostře rostoucí na $\langle -1/2,1/2\rangle$.

Má proto ostré lokální maximum v bodě $1/2$ a ostré lokální minimum v bodě $-1/2$. Pro ilustraci viz Obrázek 9.13

Obrázek 9.13: Graf funkce z Příkladu 9.14.

Dále lze k odhalení extrémů použít i konvexitu/konkavitu, resp. druhou derivaci.

Věta 9.10 (O lokálních extrémech a konvexitě/konkavitě)

Nechť pro funkci $f$ a bod $c \in D_f$ platí $f'(c) = 0$.

Zobrazit důkaz

Stačí si uvědomit, že tečna v bodě $c$ je za uvedených předpokladů dána přímkou $y = f(c)$ a využít definici konvexity/konkavity funkce $f$ v bodě $c$.

$\square$

Poznámka 9.3

Tato věta se často používá pokud víme, že $f$ má kladnou (nebo zápornou) druhou derivaci na okolí bodu $c$.

Příklad 9.15

K zorientování se mezi různými znaménky derivací a souvislostí s monotonií, resp. konvexitou/konkavitou, může pomoci jednoduchý příklad známé funkce.

Funkce $f(x) = x^2$ má první derivaci $f'(x) = 2x$, která je kladná pro $x > 0$ a záporná pro $x < 0$ a nulová pro $x = 0$. Druhá derivace $f''(x) = 2$ je vždy kladná. Funkce $f$ je ostře rostoucí na $\langle 0,+\infty)$ a ostře klesající na $(-\infty,0\rangle$. V bodě $0$ má ostré lokální minimum. Je konvexní na celém $\R$.

Obrázek 9.14: Ilustrace k Příkladu 9.15, tedy graf funkce $f(x) = x^2$ (červená) a její první (hnědá) a druhé (zelená) derivace.