Velmi často se setkáváme se součtem, součinem, či podílem funkcí a posloupností. U takovýchto funkcí a posloupností se přímo nabízí použití strategie „rozděl a panuj“, tedy pokusit se ze znalosti jednoduchých limit „sestavit“ hledanou limitu. Tento přístup ovšem nemusí být úplně jednoduchý a většinou vyžaduje jistou přípravu. Zformulujme nejprve ústřední větu této podkapitoly, kde k „sestavování“ používáme algebraické operace sčítání, násobení a dělení.
Nechť $f$ a $g$ jsou funkce a $a$ je hromadným bodem $D_f \cap D_g$. Nechť dále existují limity $\lim_a f$ a $\lim_a g$. Potom rovnosti
platí v případě, že jsou algebraické operace na pravé straně definovány.
Tato věta je také známa jako Věta o aritmetice limit.
V případě posloupností a jejich limit v nekonečnu tato věta samozřejmě platí také, předpoklady o hromadných bodech budou automaticky splněny. Analogická věta platí i pro jednostranné limity.
Důkaz této věty není komplikovaný, je spíše pracný. Zejména vzhledem k nutnosti rozebrat všechny možné situace. Zde v textu si ukážeme alespoň dva případy.
Ukážeme pouze případ součtu konečných limit, $\lim_a f = c \in \R$, $\lim_a g = d \in \R$. Pro libovolné $\veps > 0$ existuje okolí $U_a$ tak, že
Je-li tedy $x\in (U_a \cap D_f \cap D_g) \smallsetminus \{a\}$, pak pomocí trojúhelníkové nerovnosti platí
Tudíž $\lim_a (f + g) = c + d$.
$\square$
Předpokládejme, že $\lim_a f = b \in \R$, $b > 0$, a $\lim_a g = +\infty$. Označme $C \ceq D_f \cap D_g$.
Chceme dokázat rovnost $\lim_a(f \cdot g) = +\infty$. Mějme $c \in \R$. Potřebujeme odhadnout $f(x) \cdot g(x)$ zespoda hodnotou $c$. Dle předpokladů ovšem postupně platí
pro $b/2 > 0$ existuje $U_a$ takové, že pro $x\in (C \cap U_a) \smallsetminus \{a\}$ je $f(x) \in U_b(b/2)$, tj. $f(x) > b/2$,
pro $c/(b/2) \in \R$ existuje $V_a$ takové, že pro $x \in (C \cap V_a) \smallsetminus \{a\}$ je $g(x) \in U_{+\infty}\big(c/(b/2)\big)$, tj. $g(x) > c/(b/2)$.
Položíme-li $W_a \ceq U_a \cap V_a$, pak pro $x \in (C \cap W_a) \smallsetminus \{a\}$ máme
tj, $f(x) \cdot g(x) \in U_{+\infty}(c)$.
$\square$
Nyní se můžeme vrátit k definici algebraických operací na $\overline{\R}$, vzpomeňte na Definici 2.3. Některé operace mezi prvky $\overline{\R}$ jsme nedefinovali, což bylo právě motivováno touto Větou 6.1. Pro nedefinované operace by takovouto větu nešlo zformulovat. Ukažme si na konkrétních případech.
Nedefinovaný (neurčitý) výraz $+\infty + (-\infty)$ může vzniknout v různých situacích, které vyústí v různé limity. Ukažme si to na posloupnostech $(a_n)_{n=1}^\infty$ a $(b_n)_{n=1}^\infty$:
Je-li $a_n = n$ a $b_n = -n$, pak $\lim_n a_n + \lim b_n$ je skutečně tvaru $+\infty + (-\infty)$. Pro limitu součtu ale jednoduše platí $\lim_n (a_n + b_n) = \lim_n 0 = 0$.
Je-li $a_n = n$ a $b_n = -n+1$, pak $\lim a_n + \lim b_n$ je skutečně tvaru $+\infty + (-\infty)$. Pro limitu součtu ale jednoduše platí $\lim (a_n + b_n) = \lim 1 = 1$.
Je-li $a_n = 2n$ a $b_n = -n$, pak $\lim_n a_n + \lim b_n$ je skutečně tvaru $+\infty + (-\infty)$. Pro limitu součtu ale jednoduše platí $\lim (a_n + b_n) = \lim n = +\infty$.
Je-li $a_n = n$ a $b_n = -2n$, pak $\lim a_n + \lim b_n$ je skutečně tvaru $+\infty + (-\infty)$. Pro limitu součtu ale jednoduše platí $\lim (a_n + b_n) = \lim (-n) = -\infty$.
Je-li $a_n = n$ a $b_n = -n + (-1)^n$, pak $\lim_n a_n + \lim_n b_n$ je skutečně tvaru $+\infty + (-\infty)$. Pro limitu součtu ale dostáváme $\lim(a_n + b_n) = \lim (-1)^n$ a ta neexistuje (Příklad 5.17).
Vymyslete příklady posloupností $(a_n)_{n=1}^\infty$ a $(b_n)_{n=1}^\infty$ takových, aby $\lim_n a_n = 0$ a $\lim_n b_n = +\infty$, tj. součin limit v tomto případě je nedefinovaný (neurčitý) výraz $0 \cdot (+\infty)$ a přesto aby platilo
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) = 0$,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) = 1$,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) = +\infty$.
1. $a_n = 0$, $b_n = n$, 2. $a_n = \frac{1}{n}$, $b_n = n$, 3. $a_n = \frac{1}{n}$, $b_n = n^2$.
Počítat limitu polynomů je díky předcházející větě velmi jednoduché.
Buď $P(x)$ libovolný polynom a $a\in\R$. Potom
Již jsme ukázali, že $\displaystyle\lim_{x \to a} x = a$ a víme $\displaystyle\lim_{x \to a} c = c$. Použijeme-li mnohonásobně větu o limitě součtu a součinu funkcí (Věta 6.1), ihned dostaneme tvrzení uvedené na začátku našeho příkladu. Například tedy platí
O něco složitější je počítat limitu racionálních lomených funkcí. Zde už může nastat více možných situací. Veškeré nástroje už ale máme připravené a následující příklad jen demonstruje jejich aplikaci.
Vypočtěte limitu funkce
v bodech $a = -1$, $b = 1$, $c = 2$ a $d=-\infty$.
Nejprve si všimněme, že jmenovatel lze rozložit na kořenové činitele
tudíž $D_f = \R \smallsetminus \{0,1,2\}$. Pro výpočet limity v bodě $a = -1$ můžeme proto použít větu o limitě podílu,
Dále, před výpočtem limity v bodě $d$ upravme výraz pro $f(x)$ následovně
Použijeme-li nyní větu o limitě součtu a podílu, dostáváme
Pro výpočet limit v bodech $b$ a $c$ je vhodné upravit na součin kořenových činitelů i čitatel,
Tudíž, opět pomocí předešlých vět,
Neexistence poslední limity plyne z nerovnosti jednostranných limit,
Je dobré porovnat naše výsledky s grafem uvažované funkce, viz Obrázek 6.1.
Vypočtěte limitu
V bodě $x=2$ je jmenovatel roven $3$, což je nenulové číslo. Podle věty o limitě podílu proto ihned dostáváme
Vypočtěte limitu
Nyní je limita typu $\frac{0}{0}$. Z polynomů v čitateli a jmenovateli proto můžeme vytknout kořenový činitel $x-1$,
Protože ale pro jednostranné limity platí
původní limita podle Důsledku 5.1 neexistuje.
Vypočtěte limity
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{2n^3 - 4n + 5}{n-n^3}$,
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{2n^2 - 4n + 5}{n - n^3}$,
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{2n^3 - 4n + 5}{n - n^2}$.
Je potřeba použít Větu 6.1, ale před tím je třeba výrazy za limitou vhodně upravit. V prvním příkladě platí
Všimněte si, že předchozí větu jsme použili hned několikrát (podíl limit, výpočet limity čitatele a jmenovatele pomocí součtu/rozdílu limit). Ve druhém příkladě podobně máme
A konečně ve třetím
Samozřejmě způsobů jak provést úpravu těchto typů zlomků, tak aby bylo možné použít větu na podíl/součin/součet limit, je více možných.
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Bod $\alpha\in\eR$ nazýváme hromadným bodem množiny $M \subset \R$, právě když v každém okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ leží nějaký prvek množiny $M$ různý od $\alpha$.
Mějme funkci $f\colon A \to \R$, hromadný bod $a\in\overline{\R}$ množiny $A$ a bod $b\in\overline{\R}$. Funkce $f$ má v bodě $a$ limitu rovnou $b$, právě když pro každé okolí $U_b$ bodu $b$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že pokud $x \in U_a \cap A$ a $x \neq a$, pak $f(x) \in U_b$.
Formálně tento požadavek vyjadřuje formule
Tuto skutečnost symbolicky zapisujeme následovně
Nechť $a\in\eR$, v závislosti na jeho hodnotě klademe
Dále klademe $\frac{1}{+\infty} = \frac{1}{-\infty} \ceq 0$. Rozdíl definujeme vztahem $a-b \ceq a+(-b)$, podíl $\frac{a}{b} \ceq a\cdot\frac{1}{b}$, pouze v případě že výraz na pravé straně má smysl jakožto operace mezi reálnými čísly nebo je definován výše. Konečně pak $-(+\infty) \ceq -\infty$, $-(-\infty)\ceq+\infty$, $\left|+\infty\right| = \left|-\infty\right| \ceq +\infty$, $\sqrt[k]{+\infty}\ceq+\infty$ a $\sqrt[2k-1]{-\infty} \ceq -\infty$ pro libovolné $k\in\N$.
Pro libovolná reálná $a$ a $b$ platí nerovnost
Nechť $f$ a $g$ jsou funkce a $a$ je hromadným bodem $D_f \cap D_g$. Nechť dále existují limity $\lim_a f$ a $\lim_a g$. Potom rovnosti
platí v případě, že jsou algebraické operace na pravé straně definovány.