V poslední části této podkapitoly budeme hledat vzorečky pro derivace zbývajících elementárních funkcí (viz dodatek 12). K nim patří i jejich inverzní funkce. Nyní proto musíme podrobněji prozkoumat vlastnosti inverzních funkcí a ukázat, jak hledat jejich derivace.
Znění následující věty může na první čtení znít komplikovaně. Graf funkce a její inverzní funkce jsou osově symetrické vůči ose prvního kvadrantu. Zkuste si rozmyslet, co se stane se směrnicí tečny grafu funkce, pokud ji osově překlopíme vzhledem k ose prvního kvadrantu? To vlastně říká následující věta.
Buďte $f$ spojitá a ryze monotónní funkce na intervalu $I = (a,b)$ a bod $c\in I$. Má-li inverzní funkce $f^{-1}$ konečnou nenulovou derivaci v bodě $f(c)$, potom má $f$ derivaci v bodě $c$ a platí
Označme $d = f(c)$. Všimněme si, že pro $x\in I$, $x\neq c$ platí
kde
Podle předpokladu je ale
konečná nenulová, $\displaystyle\lim_{x\to c} f(x) = d$ a $f(x) \neq d$ pro $x\neq c$. Podle Věty 6.4 o limitě složené funkce pak tedy
Což jsme chtěli dokázat.
$\square$
Vzorec pro derivaci inverzní funkce uvedený v předchozí větě může být problematické si zapamatovat. Ukažme si jednoduchý formální trik jak si ho případně odvodit. Funkce $f$ a její inverze formálně splňuje rovnici
Zderivujeme-li obě strany této rovnosti podle $x$ a využijeme-li větu o derivaci složené funkce, dostaneme
odkud ihned „plyne“ (8.2).
Upozorněme čtenáře, že tato poznámka není důkazem věty o derivaci inverzní funkce. Vůbec jsme například neověřili existenci hledané derivace!
Již víme, že derivace $\ln$ je funkce $\frac{1}{x}$. Funkce $\ln$ je ale inverzní funkce k funkci $\ee^x$. Zkusme si na tomto příkladě ukázat použití předcházející věty.
Chceme derivovat $f(x) = \ln(x)$ na intervalu $I=(0,+\infty)$. Tato funkce je spojitá, ryze monotónní a její inverzní funkcí je $f^{-1}(x) = \ee^x$. Je-li $x\in I$, pak pro derivaci $f^{-1}$ v bodě $f(x)$ platí
Podle předcházející věty o derivaci inverzní funkce tedy je
což jsme očekávali.
Nyní konečně odvodíme derivace elementárních funkcí, které nám ještě chybí.
Pro derivaci funkce $\arcsin$ platí
Funkce $f = \arcsin$ je inverzní funkcí k funkci $\sin$ zúžené na interval $\left\langle-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\rangle$. Tj. $f^{-1} = \sin \big|_{\langle -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\rangle}$. Pro každé $x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ již víme, že platí
Podle věty o derivaci inverzní funkce máme pro každé $x \in (-1,1)$ rovnost
Pro $x\in(-1,1)$ je ale
a tudíž
Pro derivaci funkce $\arctg$ platí
Chceme derivovat $f = \arctg$ na $I = \R$, kde je spojitá a ryze monotónní. Její inverzní funkce je $f^{-1} = \tg \big|_{(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})}$. Pro každé $x\in I$ platí
protože $\arctg(x) \in \Big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Big)$. Navíc je
Odtud
Velmi podobným způsobem bychom odvodili derivace zbývajících funkcí $\arccos$ a $\arcctg$. Jejich derivace budou uvedeny níže v přehledné Tabulce 8.1.
Funkce $f$ je spojitá na intervalu $J$, právě když $f\vert_J$ ($f$ zúženo na $J$) je spojitá v každém bodě intervalu $J$. Funkci $f$ nazýváme spojitou, právě když je $f$ spojitá v každém bodě svého definičního oboru. Množinu všech spojitých funkcí definovaných na intervalu $J$ značíme $\mathcal{C}(J)$.
Funkci, která je rostoucí nebo klesající, nazýváme monotónní. Funkci, která je ostře rostoucí nebo ostře klesající, nazýváme ryze monotónní.
Je-li $f\colon A \to B$ bijektivní zobrazení, pak inverzní zobrazení $f^{-1}\colon B \to A$ k zobrazení $f$ definujeme pro každé $x \in B = f(A)$ předpisem $f^{-1}(x) = y$, kde $y$ je (za uvedených předpokladů nutně jednoznačně daný) prvek $A$ splňující $x = f(y)$.
Nechť $f$ je funkce definovaná na okolí bodu $a\in\R$. Pokud existuje limita
nazveme její hodnotu derivací funkce $f$ v bodě $a$ a označíme $f^\prime(a)$. Pokud je tato limita konečná (tj. $f^\prime(a) \in \R$) řekneme, že funkce $f$ je diferencovatelná v bodě $a$.
Nechť $g$ je funkce diferencovatelná v bodě $a$, $f$ je diferencovatelná v bodě $g(a)$. Potom funkce $f\circ g$ je diferencovatelná v bodě $a$ a platí
Buďte $f$ spojitá a ryze monotónní funkce na intervalu $I = (a,b)$ a bod $c\in I$. Má-li inverzní funkce $f^{-1}$ konečnou nenulovou derivaci v bodě $f(c)$, potom má $f$ derivaci v bodě $c$ a platí
Buďte $f$ spojitá a ryze monotónní funkce na intervalu $I = (a,b)$ a bod $c\in I$. Má-li inverzní funkce $f^{-1}$ konečnou nenulovou derivaci v bodě $f(c)$, potom má $f$ derivaci v bodě $c$ a platí