4.3 Významné posloupnosti

Čtenáři i čtenářce jsou jistě dobře známy následující dva speciální příklady velmi jednoduchých posloupností.

Příklad 4.8 (Aritmetická posloupnost)

Aritmetická posloupnost je definována rekurentním vztahem $a_{n+1} = a_n + d$, kde parametr $d \in \mathbb R$ se nazývá diference.

Aby tento rekurentní vztah jednoznačně zadával posloupnost je nutné zafixovat první člen $a_1$. Je-li dán první člen $a_1$ pak očividně24 platí

\begin{equation*} a_n = a_1 +(n-1)d\,,\quad n = 1,2,3,\ldots \end{equation*}

Aritmetická posloupnost je ostře rostoucí pokud $d > 0$, ostře klesající pokud $d < 0$ a konstantní pokud $d = 0$. Pro všechny hodnoty uvažovaných parametrů je proto monotónní.

Pro součet jejích prvních $k\in\N$ členů platí

\begin{equation*} \sum_{n=1}^k a_n = k \cdot \frac{a_1 + a_k}{2}. \end{equation*}

Tento vztah se pamatuje snadno, jde totiž o průměr hodnoty prvního a $k$-tého členu této posloupnosti vynásobený počtem členů.

Příklad 4.9 (Geometrická posloupnost)

Geometrická posloupnost je dána rekurentním vztahem

\begin{equation*} a_{n+1} = a_n \cdot q, \quad n = 1,2,3,\ldots \end{equation*}

kde parametr $q \in \R$ se nazývá kvocient. Je-li dán první člen $a_1$, pak je $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$. Snadno nahlédneme, že geometrická posloupnost je

  • ostře rostoucí pokud $a_1 > 0$, $q > 1$ nebo $a_1 < 0$, $0 < q < 1$ a

  • ostře klesající pokud $a_1 > 0$, $0 < q < 1$ nebo $a_1 < 0$, $q > 1$.

  • V případě kdy $a_1 \neq 0$ a $q < 0$ ale není ani monotónní.

V „extrémních“ případech pak

  • konstantní, tedy rostoucí i klesající současně, pokud $a_1 = 0$ nebo $q = 1$ a

  • klesající (resp. rostoucí) pokud $a_1 > 0$ (resp. $a_1 < 0$) a $q = 0$, v obou případech ne ostře.

Připomeňme čtenářům známý vzorec pro součet jejích prvních $k \in \N$ členů,

\begin{equation*} \sum_{n=1}^k a_n = a_1 \frac{1-q^k}{1-q}, \quad q \neq 1. \end{equation*}

V případě $q = 1$ platí

\begin{equation*} \sum_{n=1}^k a_n = k \cdot a_1. \end{equation*}

Dále existuje celá řada posloupností, o kterých čtenáři již pravděpodobně slyšeli. Za všechny uveďme alespoň dvě.

Příklad 4.10 (Fibonacciho posloupnost)

Fibonacciho25 posloupnost je zadána rekurentně pomocí hodnoty prvních dvou členů $F_1 = 0$, $F_2 = 1$ a rekurentního vztahu

\begin{equation*} F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2}, \quad n \in \N \ \text{a} \ n \geq 3. \end{equation*}

Tj. několik dalších členů je rovno $F_3 = 1$, $F_4 = 2$, $F_5 = 3$, $F_6 = 5$, atd. I pro členy této posloupnosti existuje explicitní předpis, jehož odvození lze nalézt ve studijním textu k BI-LA1. Platí

\begin{equation*} F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \bigg( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \bigg)^{n-1} - \bigg( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \bigg)^{n-1} \right), \quad n\in\N. \end{equation*}

Další detailní informace o této posloupnosti lze nalézt třeba v On-line databázi celočíselných posloupností ( OEIS) pod číslem  A000045.

Příklad 4.11 (Collatzova posloupnost)

Collatzova26 posloupnost je opět rekurentní posloupnost, která je zadána hodnotou prvního členu $a_1$ a rekurentním vztahem

\begin{equation*} a_n = \begin{cases} \frac{a_{n-1}}{2}, & a_{n-1} \ \text{je sudé}, \\ 3a_{n-1} + 1, & a_{n-1} \ \text{je liché}. \end{cases} \end{equation*}

Pro $a_1 = 5$ například platí: $a_2 = 16$, $a_3 = 8$, $a_4 = 4$, $a_5 = 2$ a $a_6 = 1$. Toto chování je pro tuto posloupnost notorické, zkuste si jinou počáteční hodnotu a po chvilce iterování byste se měli dostat k hodnotě $1$. Přesně toto tvrzení je obsahem tzv. Collatzovy hypotézy (1937, zvědavý čtenář či čtenářka se může dozvědět více základních informací  zde). Je ověřena pro obrovské množství (ale pořád jen konečný počet) počátečních hodnot, ale přes svou jednoduchost dlouhá desetiletí odolává snaze ji dokázat.