5.5 Vztah hromadných bodů množin a limit

Hromadné body množiny můžeme plně charakterizovat33 také pomocí posloupností a jejich limit.

Věta 5.5 (O vztahu limity a hromadných bodů množiny)

Mějme množinu $M \subset \R$. Bod $b \in \overline{\R}$ je hromadným bodem množiny $M$, právě když existuje posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$, jejíž členy všechny leží v $M$, jsou různé od $b$ a pro její limitu platí $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = b$.

K důkazu ekvivalence stačí dokázat obě implikace.

  • $\Rightarrow$: Pro každé $n \in \N$ zvolme nějaké $a_n \in M$ patřící do $U_b(1/n)$ a různé od $b$ – to lze, $b$ je hromadným bodem množiny $M$. Je-li $U_b(\veps)$ nějaké okolí bodu $b$, tak pro $n \geq N = \lceil 1/\veps \rceil$ platí $a_n \in U_b(1/n) \subset U_b(\veps)$. Tudíž $a_n \to b$.

  • $\Leftarrow$: Mějme posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ uvedených vlastností. Uvážíme-li libovolné $U_b$, pak jistě existuje (dokonce je jich nekonečně mnoho) nějaké $a_n \in M$ patřící do tohoto okolí různé od $b$. Bod $b$ je tedy hromadným bodem množiny $M$.

Tím je důkaz dokončen.

$\square$

Stačí vhodně modifikovat předchozí případ. Tento důkaz přenecháváme čtenáři.

$\square$

Vztah mezi hromadnými body posloupností a vybranými posloupnostmi popisuje následující věta.

Věta 5.6 (O vztahu podposloupností a hromadných bodů posloupnosti)

Bod $\alpha\in\overline{\R}$ je hromadným bodem posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$, právě když existuje vybraná posloupnost $(a_{k_n})_{n=1}^\infty$ mající limitu $\alpha \in \overline{\R}$.

Zobrazit důkaz

Opět ukážeme obě implikace.

  • $\Leftarrow$: V každém okolí $U_\alpha$ leží nekonečně mnoho členů posloupnosti $(a_{k_n})_{n=1}^\infty$ a tím pádem i posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$.

  • Provedeme důkaz $\Rightarrow$ pouze pro $\alpha\in\mathbb{R}$: Uvažme okolí $U_\alpha(1)$, existuje $k_1$ takové, že $a_{k_1} \in U_\alpha(1)$. Je-li $n\in\N$, $n > 1$, pak pro okolí $U_\alpha(1/n)$ existuje $k_n > k_{n-1}$ splňující $a_{k_n} \in U_\alpha(1/n)$. Takto zkonstruovaná posloupnost $(a_{k_n})_{n=1}^\infty$ je vybraná z $(a_n)_{n=1}^\infty$ a konverguje k $\alpha$. Skutečně, je-li $U_\alpha(\veps)$ libovolné okolí bodu $\alpha$, pak pro všechna $n > N := \lceil 1/\veps \rceil$ je $\frac{1}{n} < \frac{1}{N} < \veps$ a proto $a_{k_n} \in U_\alpha(1/n) \subset U_\alpha(1/N) \subset U_\alpha(\veps)$.

Tím je důkaz dokončen.

$\square$