Chování posloupností lze dále zkoumat pomocí tzv. vybraných posloupností, či podposloupností. Jde o jeden ze způsobů, jak z dané posloupnosti vytvořit novou posloupnost. Přesná definice je následující.
Nechť $(a_n)_{n=1}^\infty$ je libovolná posloupnost a $(k_n)_{n=1}^\infty$ je ostře rostoucí posloupnost přirozených čísel. Pak posloupnost $(a_{k_n})_{n=1}^\infty$ nazýváme posloupností vybranou z posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$. Posloupnost $(a_{k_n})_{n=1}^\infty$ nazýváme také podposloupností posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$.
Ve výrazu „$a_{k_n}$“ v předchozí definici se vyskytuje dvojitý dolní index. V podstatě jde o zápis složeného zobrazení, tj. ve funkční notaci bychom psali $a(k(n))$ místo $a_{k_n}$. Přesně řečeno se jedná o $k_n$-tý člen posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$. Pomocí $n$ nejprve určíme $k_n$ a potom $a_{k_n}$. Je-li například $a_n = 2n$, $n\in\N$ a $k_n = 3n$, $n\in\N$, pak platí $a_{k_n} = 6n$ pro každé $n\in\N$.
Rozhodnout o tom, zda-li je jistá posloupnost $(b_n)_{n=1}^\infty$ vybraná z posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$, znamená nalézt ostře rostoucí posloupnost přirozených čísel $(k_n)_{n=1}^\infty$ tak, aby rovnost $b_n = a_{k_n}$ platila pro každé $n\in\N$.
Posloupnost $(1)_{n=1}^\infty$ je vybraná z $\big((-1)^n\big)_{n=1}^\infty$.
Skutečně, stačí vzít sudé členy, tedy $k_n = 2n$ pro $n=1,2,\ldots$
Posloupnost $(1)_{n=1}^\infty$ není vybraná z posloupnosti $(n)_{n=1}^\infty$.
I přesto, že se člen s hodnotou $1$ v posloupnosti $(n)_{n=1}^\infty$ vyskytuje, nelze z posloupnosti $(n)_{n=1}^\infty$ vybrat podposloupnost $(1)_{n=1}^\infty$. Museli bychom totiž volit $k_n = 1$ a to není ostře rostoucí posloupnost (vybírali bychom stále stejný člen).
Na první setkání může být předešlá Definice 4.6 pro studenty nejasná. Členy posloupnosti $(k_n)_{n=1}^\infty$ pouze udávají indexy členů vybíraných z $(a_n)_{n=1}^\infty$. Požadavek aby $(k_n)_{n=1}^\infty$ byla ostře rostoucí znamená, že při výběru členů se nesmím vracet k předchozím členům ani nemohu vybrat stejný člen dvakrát. Pro názornost uvádíme Obrázek 4.3.
Uvažme posloupnost $a_n = (-1)^n n$, $n=1,2,3,\ldots$. Prvních pár členů tedy je $-1,2,-3,4,\ldots$ Posloupnost $(2n)_{n=1}^\infty$ je vybraná z $(a_n)_{n=1}^\infty$. Posloupnost $(2)_{n=1}^\infty$ není vybraná z $(a_n)_{n=1}^\infty$.
Ano, stačí volit ostře rostoucí $k_n = 2n$ a pak $a_{k_n} = 2n$ pro každé $n\in\N$.
Sice platí, že když položíme $k_n = 2$, pak $a_{k_n} = 2$ pro každé $n\in\N$, ale $(k_n)_{n=1}^\infty$ není ostře rostoucí (je konstantní s hodnotou $2$).
Lze z posloupnosti $((-1)^n)_{n=1}^\infty$ vybrat libovolnou posloupnost s členy nabývajícími hodnot pouze $1$ a $-1$?
Ano, zadaná posloupnost totiž obsahuje nekonečně mnoho členů majících hodnotu $1$ i $-1$.
Zobrazení množiny přirozených čísel $\N$ do množiny reálných čísel $\R$ nazýváme reálná číselná posloupnost (pokud nebude hrozit zmatení, budeme zkráceně mluvit o posloupnosti).
Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ je rostoucí (resp. klesající) pokud $a_n \leq a_{n+1}$ (resp. $a_n \geq a_{n+1}$) pro každé $n\in\N$. Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ je ostře rostoucí (resp. ostře klesající) pokud $a_n < a_{n+1}$ (resp. $a_n > a_{n+1}$) pro každé $n\in\N$. Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ nazýváme monotónní jestliže je rostoucí nebo klesající. Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ nazýváme ryze monotónní jestliže je ostře rostoucí nebo ostře klesající.