Jak již bylo řečeno (vzpomeňte na Poznámku 5.6), hodnota limity funkce v bodě $a\in\R$ nezávisí na funkční hodnotě funkce $f$ v tomto bodě (funkce v daném bodě ani nemusí být definována a přesto v něm může mít limitu). Zavádíme proto pojem „spojité funkce“, který se vztahem mezi limitou a funkční hodnotou funkce $f$ v bodě zabývá.
Nechť $f$ je reálná funkce reálné proměnné a nechť bod $a \in D_f$. Řekneme, že funkce $f$ je spojitá v bodě $a$, právě když pro její limitu v bodě $a$ platí
Dále zavádíme dva další pojmy:
Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zprava, právě když pro jednostrannou limitu $\displaystyle\lim_{x\to a+} f(x) = f(a)$.
Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zleva, právě když $\displaystyle\lim_{x\to a-} f(x) = f(a)$.
Spojitost funkce je velmi důležitá pro praktické aplikace36. Intuitivně lze požadavek spojitosti funkce $f$ v bodě $a$ chápat takto: „$f(x)$ je blízko $f(a)$, pokud $x$ je blízko $a$“. Přesně to totiž korektně říká Definice 7.1.
Jako první pozorování uveďme, že pokud $a\notin D_f$, pak takováto funkce nemůže být z definice spojitá i kdyby $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)$ existovala. V definici spojitosti se totiž předpokládá, že funkce je definována v bodě $a$. Jinak bychom vůbec nemohli mluvit o funkční hodnotě $f(a)$. Různými způsoby „selhání“ spojitosti se budeme zabývat v podkapitole 7.5.
Protože v Definici 7.1 uvažujeme $a\in D_f\subset\R$ a tím pádem i $f(a)\in\R$, dostáváme přeformulováním definice limity (viz Poznámku 5.5) následující $\varepsilon$ – $\delta$ vyjádření spojitosti pro funkce definované na okolí bodu $a$:
Funkce $f$ mající v definičním oboru okolí bodu $a$ je spojitá v bodě $a \in D_f$, právě když pro každé $\varepsilon > 0$ existuje $\delta > 0$ tak, že pro každé $x\in\R$ splňující $|x - a| < \delta$ platí $|f(x) - f(a)| < \varepsilon$.
Jako první příklad spojité funkce zmiňme příklad libovolného polynomu.
V předchozí podkapitole jsme ukázali (viz Příklad 6.2), že pro libovolné reálná $a$ a libovolný polynom $P(x)$ platí
Každý polynom je proto spojitou funkcí v každém bodě $a \in \R$.
Všimněte si, že díky znalosti vlastností pojmu limity (konkrétně věty o limitě součtu a součinu) a pouze znalosti spojitosti funkce $f(x) = x$ a konstantní funkce jsme odvodili spojitost libovolného polynomu. Vůbec jsme nepotřebovali explicitně použít definici spojitosti/limity.
Dále se podívejme na komplikovanější příklad, který pěkně ilustruje všechny možné druhy spojitosti (zleva/zprava).
Zkoumejte spojitost funkce $f(x) = x - \lfloor x \rfloor$.
Přirozeným definičním oborem funkce $f$ je $D_f = \R$. Funkce $f$ je spojitá v každém bodě $a \in \R \smallsetminus \mathbb{Z}$. V bodech $a \in \mathbb{Z}$ je spojitá zprava, ale ne zleva.
Graf této funkce je uveden na Obrázku 7.1.
Doposud jsme pojem spojitosti měli zaveden pouze v jednom jediném bodě, tedy šlo o „lokální vlastnost funkce“. Nyní ho rozšíříme na celý interval.
Funkce $f$ je spojitá na intervalu $J$, právě když $f\vert_J$ ($f$ zúženo na $J$) je spojitá v každém bodě intervalu $J$. Funkci $f$ nazýváme spojitou, právě když je $f$ spojitá v každém bodě svého definičního oboru. Množinu všech spojitých funkcí definovaných na intervalu $J$ značíme $\mathcal{C}(J)$.
Speciálně tedy platí
spojitá na intervalu $(a, b)$, právě když $f$ je spojitá v každém bodě $x\in(a, b)$.
spojitá na intervalu $\langle a, b)$, právě když $f$ je spojitá v každém bodě $x\in(a, b)$ a v bodě $a$ je spojitá zprava.
spojitá na intervalu $(a, b\rangle$, právě když $f$ je spojitá v každém bodě $x\in(a, b)$ a v bodě $b$ je spojitá zleva.
spojitá na intervalu $\langle a, b \rangle$, právě když $f$ je spojitá v každém bodě $x\in(a, b)$, v bodě $a$ je spojitá zprava a v bodě $b$ je spojitá zleva.
Funkce $f(x) = \frac{1}{x}$ je …
… spojitá v každém bodě množiny $\R\smallsetminus\{0\} = (-\infty,0) \cup (0,+\infty) = D_f$.
… spojitá na intervalu $(-\infty,0)$.
… spojitá na intervalu $(0,+\infty)$.
… spojitá.
… není spojitá v bodě $a = 0$.
… není spojitá na intervalu $(-1,1)$.
Prozkoumejte graf této funkce na Obrázku 7.2.
V dalším textu i dalších kapitolách se budeme už často věnovat funkcím, které jsou definované na intervalech. Tj. speciálně, pokud se budeme bavit o „spojitosti v bodě“, tak typicky naše funkce budou definovány na celém (oboustranném) okolí takovéhoto bodu.
Následující tvrzení umožňují snadno rozhodnout o spojitosti funkcí v jistých bodech. Jsou bezprostředním důsledkem vlastností limity funkce, které jsme probírali v minulé kapitole.
Viz Větu 5.1.
$\square$
Vzpomeňte si na funkci $\sgn$ definovanou v rovnici (12.1). Pro každé nenulové $a$ platí, že $\sgn$ je konstantní na jistém okolí bodu $a$ a proto
Vrátíme-li se zpět k Příklad 5.11, pak víme, že
Funkce $\sgn$ je proto spojitá v každém bodě $a\neq 0$ a je nespojitá v bodě $0$. V bodě $0$ není spojitá ani zleva ani zprava, protože $\sgn(0) = 0 \neq \pm 1$. Graf funkce $\sgn$ naleznete v Obrázku 7.7.
Funkce často zadáváme jako součty, součiny, podíly a složení dalších funkcí. Následující věty umožňují v některých případech rozhodnout o spojitosti takovýchto funkcí v jistých bodech.
Součet a součin dvou funkcí $f$ a $g$ definovaných na okolí bodu $a$ a spojitých v bodě $a$ je funkce spojitá v bodě $a$. Pokud navíc $g(a) \neq 0$, pak podíl $\frac{f}{g}$ je funkce spojitá v bodě $a$.
Viz Větu 6.1.
$\square$
Buďte $g$ funkce definovaná na okolí bodu $a$ a spojitá v bodě $a$ a $f$ funkce definovaná na okolí bodu $g(a)$ a spojitá v bodě $g(a)$. Potom složená funkce $f \circ g$ je spojitá v bodě $a$.
Funkce
je spojitá v každém bodě svého definičního oboru $D_f = \R \smallsetminus \{-2,2\}$.
Skutečně, polynomy v čitateli a jmenovateli jsou spojité funkce v každém bodě $\R$ (vzpomeňte si na příklad 7.1). Jediné body, v kterých je polynom v jmenovateli nulový jsou $-2$ a $2$. Podle Věty 7.2 je pak tedy funkce $f$ spojitá v každém bodě množiny $\R \smallsetminus \{-2, 2\}$.
Poznamenejme, že v bodech $-2$ a $2$ tato funkce není spojitá, tyto body ani nepatří do definičního oboru!
Další příklady použití vět z této podkapitoly si ukážeme hned jak odvodíme spojitost i dalších elementárních funkcí (podkapitola 7.4). Pouze s polynomy příliš zajímavých příkladů vymyslet nelze. Nejprve je ale vhodné ještě prozkoumat obecné vlastnosti a důsledky spojitosti.
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Mějme funkci $f\colon A \to \R$, hromadný bod $a\in\overline{\R}$ množiny $A$ a bod $b\in\overline{\R}$. Funkce $f$ má v bodě $a$ limitu rovnou $b$, právě když pro každé okolí $U_b$ bodu $b$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že pokud $x \in U_a \cap A$ a $x \neq a$, pak $f(x) \in U_b$.
Formálně tento požadavek vyjadřuje formule
Tuto skutečnost symbolicky zapisujeme následovně
Buď $f\colon A \to \R$ funkce, $a \in \R$ a označme $M_+ \ceq A \cap (a, +\infty)$ a $M_- \ceq A \cap (-\infty, a)$. Potom limitu funkce $f$ v bodě $a$ zprava definujeme jako limitu zúžení funkce $f$ na množinu $M_+$ a značíme ji
Podobně limitu funkce $f$ v bodě $a$ zleva definujeme jako limitu zúžení funkce $f$ na množinu $M_{-}$ a značíme ji
Funkci $P\colon \R \to \R$ nazveme polynomem, právě když existuje $n\in\N_0$ a konstanty $a_0,a_1,\ldots,a_n\in\R$ takové, že pro všechna $x\in\R$ platí
Nechť $f$ a $g$ jsou funkce a $a$ je hromadným bodem $D_f \cap D_g$. Nechť dále existují limity $\lim_a f$ a $\lim_a g$. Potom rovnosti
platí v případě, že jsou algebraické operace na pravé straně definovány.
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Buď $f\colon A \to B$ a $M \subset A$. Zobrazení $g\colon M \to B$ definované předpisem $g(x) \ceq f(x)$ pro každé $x\in M$ nazýváme zúžením zobrazení $f$ na množinu $M$. Zapisujeme $g = f \big|_M$.
Nechť $f$ je reálná funkce reálné proměnné a nechť bod $a \in D_f$. Řekneme, že funkce $f$ je spojitá v bodě $a$, právě když pro její limitu v bodě $a$ platí
Dále zavádíme dva další pojmy:
Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zprava, právě když pro jednostrannou limitu $\displaystyle\lim_{x\to a+} f(x) = f(a)$.
Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zleva, právě když $\displaystyle\lim_{x\to a-} f(x) = f(a)$.
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Nechť $a \in \R$ je reálné číslo a $\veps \in \R$ je kladné, $\veps > 0$. Otevřený interval $(a-\veps, \ a+\veps)$ nazýváme okolím bodu $a$ o poloměru $\veps$ a značíme $U_a(\veps)$. Někdy též o této množině mluvíme jako o $\veps$-okolí bodu $a$.
Nechť $f$ je reálná funkce reálné proměnné a nechť bod $a \in D_f$. Řekneme, že funkce $f$ je spojitá v bodě $a$, právě když pro její limitu v bodě $a$ platí
Dále zavádíme dva další pojmy:
Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zprava, právě když pro jednostrannou limitu $\displaystyle\lim_{x\to a+} f(x) = f(a)$.
Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zleva, právě když $\displaystyle\lim_{x\to a-} f(x) = f(a)$.
Mějme reálné funkce $f\colon A \to \R$ a $g\colon B \to \R$ a konstantu $c \in \R$.
Potom definujeme násobek reálné funkce $f$ konstantou $c$ jako funkci
Pokud $C \ceq A \cap B \neq \emptyset$, pak definujeme součet funkcí $f + g\colon C \to \R$ a součin $f \cdot g\colon C \to \R$ těchto reálných funkcí předpisy
Dále pokud $D \ceq \{ x \in A \cap B \mid g(x) \neq 0 \} \neq \emptyset$, pak definujeme podíl funkcí $\frac{f}{g}\colon D \to \R$ předpisem
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Nechť $a \in \R$ je reálné číslo a $\veps \in \R$ je kladné, $\veps > 0$. Otevřený interval $(a-\veps, \ a+\veps)$ nazýváme okolím bodu $a$ o poloměru $\veps$ a značíme $U_a(\veps)$. Někdy též o této množině mluvíme jako o $\veps$-okolí bodu $a$.
Nechť $f$ je reálná funkce reálné proměnné a nechť bod $a \in D_f$. Řekneme, že funkce $f$ je spojitá v bodě $a$, právě když pro její limitu v bodě $a$ platí
Dále zavádíme dva další pojmy:
Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zprava, právě když pro jednostrannou limitu $\displaystyle\lim_{x\to a+} f(x) = f(a)$.
Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zleva, právě když $\displaystyle\lim_{x\to a-} f(x) = f(a)$.
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Nechť $a \in \R$ je reálné číslo a $\veps \in \R$ je kladné, $\veps > 0$. Otevřený interval $(a-\veps, \ a+\veps)$ nazýváme okolím bodu $a$ o poloměru $\veps$ a značíme $U_a(\veps)$. Někdy též o této množině mluvíme jako o $\veps$-okolí bodu $a$.
Nechť $f$ je reálná funkce reálné proměnné a nechť bod $a \in D_f$. Řekneme, že funkce $f$ je spojitá v bodě $a$, právě když pro její limitu v bodě $a$ platí
Dále zavádíme dva další pojmy:
Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zprava, právě když pro jednostrannou limitu $\displaystyle\lim_{x\to a+} f(x) = f(a)$.
Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zleva, právě když $\displaystyle\lim_{x\to a-} f(x) = f(a)$.
Nechť $f\colon A \to B$ a $g\colon C \to D$ jsou zobrazení. Označíme-li $D_{f\circ g} = \{ x \in C \mid g(x) \in A \}$, pak je-li tato množina neprázdná definujeme složené zobrazení $f \circ g\colon D_{f\circ g} \to B$ předpisem
pro všechna $x \in D_{f\circ g}$.