5.2 Limita funkce

U posloupností $(a_n)_{n=1}^\infty$ jsme zkoumali, jak se chovají jejich členy pro velká $n$. Pokud se jejich členy „blížily“ k jistému $\alpha\in\overline{\R}$, pak jsme tuto hodnotu nazývali limitou této posloupnosti. Význam slova „blížit“ přesně popisovala Definice 5.1, která říkala, že v „každém“ okolí bodu $\alpha$ leží všechny členy posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$ až na konečný počet výjimek.

Nyní u funkcí se můžeme ptát, jak se zadaná funkce $f$ chová, když se nezávisle proměnná $x \in D_f$ blíží k zadanému bodu $a\in \R$, případně $\pm\infty$ (tj. pokud $x$ roste nad/pod všechny meze). V následující definici limity funkce si všimněte podobnosti s definicí limity posloupnosti (Definice 5.1).

Definice 5.2 (Limita funkce / limit of a function)

Mějme funkci $f\colon A \to \R$, hromadný bod $a\in\overline{\R}$ množiny $A$ a bod $b\in\overline{\R}$. Funkce $f$ má v bodě $a$ limitu rovnou $b$, právě když pro každé okolí $U_b$ bodu $b$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že pokud $x \in U_a \cap A$ a $x \neq a$, pak $f(x) \in U_b$.

Formálně tento požadavek vyjadřuje formule

\begin{equation*} \big(\href{Pro všechna okolí \(U_b\) bodu \(b\)...}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\forall U_b}} \big)\big(\href{...existuje okolí \(U_a\) bodu \(a\) tak, že...}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\exists U_a}} \big)\big(\href{...pro všechna \(x\) z \(A \cap U_a \smallsetminus \{a\}\) platí...}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\forall x \in (A \cap U_a) \smallsetminus \{a\}}} \big) \big(\href{...pak \(f(x)\) patří do \(U_b\).}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{f(x) \in U_b}} \big). \end{equation*}

Tuto skutečnost symbolicky zapisujeme následovně

\begin{equation*} \lim_{x\to a} f(x) = b, \quad \text{případně} \quad \lim_a f = b. \end{equation*}

Učiňme nejprve několik důležitých komentářů k této definici. Pro přehlednost je formálně oddělíme jako samostatné Poznámky.

Poznámka 5.3

Je možné, že z dřívějšího studia znáte pojmy „vlastní“ a „nevlastní“ limita ve „vlastním“ / „nevlastním“ bodě. V BI-MA1 tyto pojmy nepoužíváme. Definice všech těchto pojmů je obsažena v naší Definici 5.2. Dále, dříve zavedený pojem limity posloupnosti (Definice 5.1) je přirozeně zahrnut v Definici 5.2. Definiční obor každé posloupnosti, tj. $\N$, má pouze jeden hromadný bod, konkrétně $+\infty$.

Poznámka 5.4

Hromadnost bodu $a$ v Definici 5.2 zaručuje neprázdnost množiny $(A \cap U_a) \smallsetminus \{a\}$ pro libovolné okolí bodu $a$. Viz definici hromadného bodu množiny (Definice 2.9).

Poznámka 5.5

V případě, kdy $a$ (bod, kde se limita počítá) i $b$ (hodnota limity) jsou prvky $\R$ je podmínka

\begin{equation}\label{eq-poznamka-limita}\tag{5.3} \displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = b \end{equation}

ekvivalentní požadavku, aby bod $a$ byl hromadným bodem definičního oboru funkce $f$ a

\begin{equation*} \big(\forall\veps > 0\big)\big(\exists\delta > 0\big)\big( \forall x \in D_f \big)\big( 0 < |x - a| < \delta \ \Rightarrow \ |f(x) - b| < \veps\big). \end{equation*}

Analogické formule lze zformulovat pro různé kombinace případů $a,b\in\overline{\R}$.

Pokud bychom například měli situaci $a \in \R$ a $b = +\infty$, pak by podmínka (5.3) byla ekvivalentní požadavku hromadnosti $a$ ve vztahu k definičnímu oboru $f$ a dále

\begin{equation*} \big( \forall c \in \R \big)\big(\exists \delta > 0 \big)\big( \forall x \in D_f \big)\big(0 < |x - a| < \delta \ \Rightarrow \ f(x) > c \big). \end{equation*}

V případě $a = -\infty$ a $b = +\infty$ by pak podmínka v definici limity šla vyjádřit ve tvaru

\begin{equation*} \big( \forall c \in \R \big)\big( \exists d \in \R \big)\big( \forall x \in D_f \big)\big( x < d \ \Rightarrow \ f(x) > c \big). \end{equation*}

Poznámka 5.6 (Vztah limity funkce v bodě $a$ a funkční hodnoty v $a$)

Hodnota limity funkce $f$ v bodě $a$ závisí pouze na chování funkce $f$ na okolí bodu $a$ mimo bod $a$. Vysvětleme tento fakt pomocí následujících pozorování:

  • Limita funkce $f$ v bodě $a$ může být různá od funkční hodnoty $f(a)$, existuje-li. Příkladem budiž funkce $f(x) \ceq \sgn x^2$ definovaná na celém $\R$. Ačkoliv pro funkční hodnotu platí $f(0) = 0$, pro limitu máme $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = 1$.

  • Funkce $f$ v bodě $a$ ani nemusí být definovaná, přesto limita může existovat. Příkladem je funkce $f(x) \ceq \sgn \frac{1}{x^2}$, $D_f = \R \smallsetminus \{0\}$. Ačkoliv $0$ nepatří do $D_f$ platí $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = 1$.

Vztah mezi funkční hodnotou a limitou funkce v bodě $a$ později využijeme v definici spojitosti funkce.

Poznámka 5.7

Zanedlouho uvidíme (Věta 5.2), že každá funkce má v daném bodě maximálně jednu limitu a proto značení zavedené na konci Definice 5.2 je korektní.

K snazšímu vizuálnímu představení si požadavků v Definici 5.2 uvádíme Obrázek 5.3.

Obrázek 5.3: Ilustrace k definici limity funkce (Definice 5.2) pro případ $a,b\in\R$. Je vizuálně patrné, že ať zvolíme červené okolí bodu $b$ libovolné velikosti, pak budeme schopní nalézt modré okolí bodu $a$ s vlasností požadovanou ve zmíněné definici.

5.2.1 Jednoduché příklady

Pojďme si s definicí pohrát na několika jednoduchých, ale pro další počítání důležitých, příkladech.

Příklad 5.4

Limita konstantní funkce $f(x) = c$, $x \in \R$, v libovolném bodě je rovna dané konstantě. Symbolicky $\displaystyle\lim_{x\to a} c = c$ pro každé $a\in\overline{\R}$.

Zobrazit řešení

Je-li $c\in\R$ zadaná konstanta a $f(x) = c$ pro každé $x\in D_f = \R$, pak pro libovolný bod $a\in\R$ platí $\lim_{x\to a} f(x) = c$. Skutečně, buď $U_b(\varepsilon)$ libovolné okolí bodu $b$ s poloměrem $\varepsilon > 0$. V případě naší konstantní funkce můžeme zvolit libovolné okolí $U_a$ bodu $a$. Pak totiž pro $x\in U_a \smallsetminus \{a\}$ jistě platí $f(x) = b \in U_b(\varepsilon)$.

Příklad 5.5

Pro libovolné $a\in\overline{\R}$ platí

\begin{equation*} \lim_{x\to a} x = a. \end{equation*}

Zobrazit řešení

Skutečně, vezmeme-li libovolné okolí $U_a$ bodu $a$ pak pro $x\in U_a\smallsetminus\{a\}$ zcela jistě platí, že $x \in U_a$.

Příklad 5.6

Platí

\begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty. \end{equation*}

Zobrazit řešení

Skutečně, buď $U_{+\infty}(c) = (c, +\infty)$ okolí bodu $+\infty$ a $c > 0$. Hledáme okolí $U_0(\delta)$ bodu $0$ o poloměru $\delta > 0$ takové, že pokud $x \in U_0(\delta) \smallsetminus \{0\}$ pak $\frac{1}{x^2} \in U_{+\infty}(c)$. Požadujeme tedy aby

\begin{equation*} \frac{1}{x^2} > c \ \Leftrightarrow \ x^2 < \frac{1}{c} \ \Leftrightarrow \ |x| < \frac{1}{\sqrt{c}}. \end{equation*}

Stačí proto zvolit třeba $\delta := \frac{1}{\sqrt{c}}$.

Pokud bychom uvažovali $U_{+\infty}(d)$ s $d \leq 0$, pak zřejmě stačí za $\delta$ volit třeba $1$. Nerovnost $\frac{1}{x^2} > d$ platí pro taková $d$ vždy.

Příklad 5.7

Pro každé $a\in\overline{\R}$ platí $\displaystyle\lim_{x\to a} |x| = |a|$. Připomeňme naši konvenční definici $|\pm\infty| = +\infty$.

Zobrazit řešení

Případ $a = +\infty$ je prakticky totožný jako v Příkladu 5.5. Zabývejme se nyní případem $a = -\infty$. Mějme okolí $U_{+\infty}(c) = (c, +\infty)$, bez újmy na obecnosti s $c > 0$. Pak zvolíme-li $d \ceq -c$, tak pro $x \in U_{-\infty}(d) = (-\infty, d) = (-\infty, -c) \subset (-\infty, 0)$ jistě platí $|x| = -x > c$ (protože $x < -c$).

Nyní rozebereme případ $a \in \R$. Mějme libovolné $U_{|a|}(\veps)$ okolí bodu $a$. Vezmeme-li $\delta \ceq \veps/2$ a $x \in U_{a}(\delta)$ pak s využitím Tvrzení 2.1 platí

\begin{equation*} \big||x| - |a|\big| \leq |x - a| \leq \delta = \frac{\veps}{2} < \veps. \end{equation*}

Příklad 5.8

Pro druhou odmocninu $\sqrt{x}$ a $a\in\langle 0, +\infty) \cup \{+\infty\}$ platí $\displaystyle\lim_{x\to a} \sqrt{x} = \sqrt{a}$. Připomeňme naši konvenční definici $\sqrt{+\infty} = +\infty$.

Zobrazit řešení

Případ $a = 0$: mějme $U_0(\veps)$ libovolné okolí bodu $0$. Je-li $x \in U_0(\delta) \cap D_{\sqrt{x}} = \langle 0, \delta)$ nenulové, pak podmínka $\sqrt{x} < \veps$ je ekvivalentní podmínce $x < \veps^2$. Stačí proto volit $\delta \ceq \veps^2$.

Případ $a = +\infty$: mějme $U_{+\infty}(c)$ libovolné okolí bodu $+\infty$. Případ $c \leq 0$ je triviální (rozmyslete!). Pokud $c > 0$ pak pro libovolné kladné $x$ je podmínka $\sqrt{x} > c$ ekvivalentní podmínce $x > c^2$. Pro každé $x \in U_{+\infty}(c^2)$ tedy platí $\sqrt{x} \in U_{+\infty}(c)$.

Prozkoumejme nyní případ $a \in (0, +\infty)$. Mějme $\veps > 0$ a hledejme k němu $\delta > 0$ tak, aby platila implikace

\begin{equation*} |x - a| < \delta \ \Rightarrow \ |\sqrt{x} - \sqrt{a}| < \veps. \end{equation*}

Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že $\delta < a/2$, pak pro každé $x \in U_a(\delta)$ platí $x > a/2$ a díky monotonii odmocniny i $\sqrt{x} > \sqrt{a/2}$. Potom pro $x \in U_a(\delta)$ platí

\begin{equation*} |\sqrt{x} - \sqrt{a}| = \frac{|x - a|}{\sqrt{x} + \sqrt{a}} < \frac{\delta}{\sqrt{a/2} + \sqrt{a}} = c \cdot \delta, \end{equation*}

kde $c = \frac{1}{\sqrt{a/2} + \sqrt{a}}$ je kladná konstanta. Vidíme, že zvolíme-li $\delta < a/2$ a současně $\delta < \veps / c$, pak skutečně pro $x \in U_a(\delta)$ platí $|\sqrt{x} - \sqrt{a}| < \veps$.

V případě $k$-té odmocniny můžeme postupovat naprosto analogicky. Jen argumentace bude algebraicky náročnější, protože budeme muset použít známý algebraický vzorec

\begin{equation*} x^k - y^k = (x-y) \sum_{j=0}^{k-1} x^{k-1-j} y^j, \quad x,y \in \R. \end{equation*}

Doporučujeme studentům ale zkusit se poprat alespoň s případem třetí odmocniny.

Příklad 5.9

Nechť $k \in \N$. Pro každé $a \in \R$ platí

\begin{equation*} \lim_{x\to a} \sqrt[2k-1]{x} = \sqrt[2k-1]{a}, \quad \lim_{x\to\pm\infty} \sqrt[2k-1]{x} = \pm\infty. \end{equation*}

Pro každé $a \in \langle 0, +\infty) \cup \{+\infty\}$ platí

\begin{equation*} \lim_{x\to a} \sqrt[2k]{x} = \sqrt[2k]{a}. \end{equation*}