12.4 Trigonometrické (také goniometrické) funkce

Mezi trigonometrické funkce počítáme funkce $\sin$, $\cos$, $\tg$, $\cotg$ a inverzní funkce k vhodným zúžením těchto funkcí.

12.4.1 Funkce $\sin$ a $\cos$

Konstrukce funkcí $\sin$ (sinus) a $\cos$ (kosinus) již není algebraická, jako u funkcí výše, ale vychází z geometrie. Funkce $\sin$ a $\cos$ definujeme pomocí jednotkové kružnice. Viz Obrázek 12.5 a Obrázek 12.6.

Proměnná $x$ má nyní význam úhlu měřeného od kladného směru vodorovné osy proti směru hodinových ručiček v obloukové míře (radiánech).

Obrázek 12.5: Konstrukce funkcí sinus a kosinus pomocí jednotkové kružnice, $x$ označuje délku znázorněného (červeného) oblouku.

Funkce $\sin$ a $\cos$ mají jako definiční obor celou reálnou osu. Jsou periodické s periodou $2\pi$ a omezené, jejich obor hodnot je $H_{\sin} = H_{\cos} = \langle -1,1\rangle$. Nejsou prosté, ani na, ani (ostře) rostoucí či klesající (na celém svém definičním oboru). Funkce $\sin$ je lichá a funkce $\cos$ je sudá.

Přímo z definice těchto funkcí plyne formulka $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ (Pythagoras!47). Dále tyto funkce splňují důležité součtové vzorce

\begin{align*} \sin(x+y) &= \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y), \\ \cos(x+y) &= \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)\end{align*}

a z nich plynoucí vzorce pro dvojnásobný úhel

\begin{equation*} \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \quad \text{a} \quad \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x). \end{equation*}

Existují i další vztahy, které na tomto místě vynecháme. Zde uvedené považujeme pro nás za nejdůležitější.

Obrázek 12.6: Grafy funkcí sinus a kosinus.

Všechny (a další) výsledky týkající se funkcí $\sin$ a $\cos$ plynou z jejich geometrické definice pomocí jednotkové kružnice.

Varování 12.1 (Jak počítat funkční hodnoty $\sin$ a $\cos$?)

Geometrická konstrukce se očividně nehodí například k výpočtu funkčních hodnot pomocí kalkulaček nebo počítačů! Jednou z možných metod výpočtu pomocí Taylorových polynomů se budeme zabývat příští semestr v BI-MA2.

Pokud si rozmyslíme geometrii ve vhodně zvolených rovnostranných a rovnoramenných trojúhelnících, dostaneme funkční hodnoty $\sin$ a $\cos$ pro některé význačné úhly, viz Obrázek 12.7.

Obrázek 12.7: Sinus a kosinus a jejich význačné funkční hodnoty.
Otázka 12.4

Shrňte základní vlastnosti funkce $\sin$.

Zobrazit odpověď

Definičním oborem funkce $\sin$ je množina $\R$, jejím oborem hodnot je interval $\langle -1,1 \rangle$. Tato funkce je omezená, není prostá ani na. Je periodická s minimální periodou $2\pi$. Není monotónní.

Otázka 12.5

Shrňte základní vlastnosti funkce $\cos$.

Zobrazit odpověď

Definičním oborem funkce $\cos$ je množina $\R$, jejím oborem hodnot je interval $\langle -1,1 \rangle$. Tato funkce je omezená, není prostá ani na. Je periodická s minimální periodou $2\pi$. Není monotónní.

12.4.2 Funkce $\tg$ a $\cotg$

Funkce $\tg$ (tangens) a $\cotg$ (kotangens) jsou odvozené od $\sin$ a $\cos$ pomocí vzorců

\begin{equation*} \tg(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \quad \text{a} \quad \cotg(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}. \end{equation*}

Tyto funkce již nejsou definované na celém $\R$, ale platí

\begin{equation*} D_{\tg} = \mathbb{R} \smallsetminus \{\pi/2 + k\pi \mid k \in \Z \} \quad \text{a} \quad D_{\cotg} = \mathbb{R} \smallsetminus \{k\pi \mid k \in \Z \}. \end{equation*}

Obě jsou periodické s periodou $\pi$, nejsou prosté ani omezené. Jsou na, jejich obor hodnot je $H_{\tg} = H_{\cotg} = \R$. Nejsou ani (ostře) rostoucí či klesající. Obě jsou liché funkce.

Obrázek 12.8: Funkce tangens a kotangens.
Otázka 12.6

Shrňte základní vlastnosti funkce $\tg$.

Zobrazit odpověď

Definičním oborem funkce $\tg$ je množina $\R \smallsetminus \{ \pi/2 + k\pi \mid k\in\Z \}$, jejím oborem hodnot je množina $\R$. Tato funkce není omezená ani prostá. Je surjektivní. Je periodická s minimální periodou $\pi$. Není monotónní.

Otázka 12.7

Shrňte základní vlastnosti funkce $\cotg$.

Zobrazit odpověď

Definičním oborem funkce $\cotg$ je množina $\R \smallsetminus \{ k\pi \mid k\in\Z \}$, jejím oborem hodnot je množina $\R$. Tato funkce není omezená ani prostá. Je surjektivní. Je periodická s minimální periodou $\pi$. Není monotónní.

12.4.3 Funkce $\arcsin$, $\arccos$, $\arctg$ a $\mathrm{arccotg}$

Trigonometrické funkce $\sin$, $\cos$, $\tg$ ani $\cotg$ nejsou prosté. Neexistují k nim tedy inverzní funkce.

Postupujeme proto tak, že tyto funkce zúžíme na vhodný interval, na kterém již tyto funkce prosté jsou a inverzi mají. Standardní volba je následující:

\begin{align*} \arcsin &\ceq \left( \sin \vert_{\langle -\pi/2, \pi/2 \rangle} \right)^{-1}, & \arccos &\ceq \left( \cos \vert_{\langle 0, \pi \rangle} \right)^{-1}, \\ \arctg &\ceq \left( \tg \vert_{(-\pi/2, \pi/2)} \right)^{-1}, & \operatorname{arccotg} &\ceq \left( \cotg \vert_{(0, \pi)} \right)^{-1}.\end{align*}

Obrázek 12.9: Funkce $\arcsin$, $\arccos$ a $\arctg$.
Poznámka 12.2

V různých zdrojích a prostředích nepanuje zcela jednota v konstrukci funkce $\operatorname{arccotg}$. My ji definujeme jako inverzi zúžení funkce $\cotg$ na interval $(0, \pi)$. Například ale Mathematica pod funkcí ArcCot chápe inverzi zúžení funkce $\cotg$ (v Mathematica k dispozici pod jménem Cot) na množinu $(-\pi/2, \pi/2) \smallsetminus \{0\}$. Výhodou „naší“ volby je, že funkce $\operatorname{arccotg}$ je definována na intervalu a je na něm spojitá a monotonní. Spojitostí funkcí se bude zabývat v Kapitole 7. Rozmyslete si, jaké vlastnosti má onen alternativní $\operatorname{arccotg}$.

Otázka 12.8

Shrňte základní vlastnosti funkce $\arcsin$.

Zobrazit odpověď

Tato funkce je definována jako inverze k zúžení funkce $\sin$ na interval $\langle -\pi/2, \pi/2\rangle$. Definičním oborem funkce $\arcsin$ je množina $\langle -1,1 \rangle$, jejím oborem hodnot je množina $\langle -\pi/2, \pi/2\rangle$. Tato funkce je omezená i prostá. Není surjektivní. Je ostře rostoucí.

Otázka 12.9

Shrňte základní vlastnosti funkce $\arccos$.

Zobrazit odpověď

Tato funkce je definována jako inverze k zúžení funkce $\cos$ na interval $\langle 0, \pi\rangle$. Definičním oborem funkce $\arccos$ je množina $\langle -1,1 \rangle$, jejím oborem hodnot je množina $\langle 0, \pi\rangle$. Tato funkce je omezená i prostá. Není surjektivní. Je ostře klesající.

Otázka 12.10

Shrňte základní vlastnosti funkce $\arctg$.

Zobrazit odpověď

Tato funkce je definována jako inverze k zúžení funkce $\tg$ na interval $( -\pi/2, \pi/2)$. Definičním oborem funkce $\arctg$ je množina $\R$, jejím oborem hodnot je množina $( -\pi/2, \pi/2 )$. Tato funkce je omezená i prostá. Není surjektivní. Je ostře rostoucí.