Nyní se zaměříme na způsoby jak lze ze zobrazení vyrábět nová zobrazení. Připomeneme si nejprve operaci zúžení a poté skládání. I zúžení zobrazení jste již potkali v definici ( BI-DML, Definice). Dále některá zobrazení umíme sčítat a násobit, těmto operacím se ale věnujeme v hlavním textu v Definici 3.2 v případě funkcí.
Buď $f\colon A \to B$ a $M \subset A$. Zobrazení $g\colon M \to B$ definované předpisem $g(x) \ceq f(x)$ pro každé $x\in M$ nazýváme zúžením zobrazení $f$ na množinu $M$. Zapisujeme $g = f \big|_M$.
Nová zobrazení můžeme také vytvářet pomocí operace skládání. Ovšem pouze pokud jsou zobrazení správného typu. Zde se také lehce odchylujeme od definice zavedené v BI-DML, tj. ( BI-DML, Definice), která je pro naše účely příliš restriktivní.
Nechť $f\colon A \to B$ a $g\colon C \to D$ jsou zobrazení. Označíme-li $D_{f\circ g} = \{ x \in C \mid g(x) \in A \}$, pak je-li tato množina neprázdná definujeme složené zobrazení $f \circ g\colon D_{f\circ g} \to B$ předpisem
pro všechna $x \in D_{f\circ g}$.
Názorně je tato situace uvedena na obrázku 11.2. O zobrazení $f$ se často mluví jako o vnějším a o $g$ jako o vnitřním zobrazení složeného zobrazení $f \circ g$.
Definiční obor složeného zobrazení lze vyjádřit pomocí vzoru množiny při zobrazení. Při použití notace z Definice 11.8 platí $D_{f \circ g} = g^{-1}(A)$.
Pro názornost rozeberme rozdíl mezi Definicí 11.8 a Definicí BI-DML ( BI-DML, Definice).
Mějme zobrazení $f\colon (0,+\infty) \to \R$ definované předpisem $f(x) = \ln(x)$, $x \in (0, +\infty)$, a $g\colon \R \to \R$ definované předpisem $g(x) = (x-1)^3$, $x \in \R$. Chceme, aby $f$ hrálo při skládání roli vnějšího a $g$ vnitřního zobrazení, tj. snažíme se sestrojit $f \circ g$.
Dle definice ( BI-DML, Definice) tato zobrazení nemůžeme složit, protože $g$ zobrazuje mimo definiční obor $f$. Podle této definice bychom mohli složit třeba $f$ se zúžením $g|_{(1, +\infty)}$. Ale měli bychom i další možnosti, například vzít zúžení $g|_{(42, 1024\rangle}$. Které z nich máme vzít? To bychom vždy museli explicitně zmínit, než bychom se do skládání pustili.
„Naše“ Definice 11.8 nám rovnou umožňuje nad $f \circ g$ uvažovat, tj. napsat $\ln\big((x-1)^3\big)$ s jedním jasným významem. Prostě definiční obor zúžíme tak, aby operace měli dobrý smysl a vezmeme největší takovou množinu. Takto postupujeme v mnoha situacích a už nad tím ani příliš nepřemýšlíme.
Mějme dvě neprázdné množiny $A$ a $B$. Relaci $f \subset A \times B$ splňující podmínku
nazýváme (totálním) zobrazením množiny $A$ do množiny $B$ a tento fakt zapisujeme symbolicky jako $f\colon A \to B$. Pokud $(x,y) \in f$, pak píšeme $y = f(x)$ a o $x$ mluvíme jako o vzoru prvku $y$ a o $y$ jako o obrazu prvku $x$ při zobrazení $f$. O množině $A$ dále mluvíme jako o definičním oboru zobrazení $f$ a značíme ji $D_f$. Množinu $H_f \ceq \{ y \in B \mid (\exists x \in D_f)(f(x) = y) \}$ nazýváme oborem hodnot zobrazení $f$.
Mějme dvě neprázdné množiny $A$ a $B$. Relaci $f \subset A \times B$ splňující podmínku
nazýváme (totálním) zobrazením množiny $A$ do množiny $B$ a tento fakt zapisujeme symbolicky jako $f\colon A \to B$. Pokud $(x,y) \in f$, pak píšeme $y = f(x)$ a o $x$ mluvíme jako o vzoru prvku $y$ a o $y$ jako o obrazu prvku $x$ při zobrazení $f$. O množině $A$ dále mluvíme jako o definičním oboru zobrazení $f$ a značíme ji $D_f$. Množinu $H_f \ceq \{ y \in B \mid (\exists x \in D_f)(f(x) = y) \}$ nazýváme oborem hodnot zobrazení $f$.