Vedle definice (Definice 9.4) můžeme k hledání extrémů využít i dvě kritéria, která si nyní ukážeme. První z nich přirozeně využívá znalost monotonie, kterou jak už víme můžeme získat ze znalosti první derivace.
Mějme funkci $f$ a bod $a \in D_f$ takové, že $f$ je spojitá v bodě $a$. Potom pokud
$f$ je (ostře) rostoucí na nějakém levém okolí bodu $a$ a (ostře) klesající na nějakém pravém okolí bodu $a$, potom má $f$ v bodě $a$ (ostré) lokální maximum.
$f$ je (ostře) klesající na nějakém levém okolí bodu $a$ a (ostře) rostoucí na nějakém pravém okolí bodu $a$, potom má $f$ v bodě $a$ (ostré) lokální minimum.
Přímočaré ověření definice lokálního extrému (Definice 9.4).
$\square$
Mějme funkci $f$ diferencovatelnou na okolí bodu $a \in D_f$. Pokud derivace funkce $f$ v bodě $a$ mění znaménko, potom má v bodě $a$ ostrý lokální extrém.
Požadavek spojitosti v předchozí větě je podstatný. Například funkce $f(x) = |x| + \sgn(x)$ je ostře rostoucí na $(0,+\infty)$ a ostře klesající na $(-\infty, 0)$, ale v bodě $0$ nemá (ostré) lokální minimum. Viz Obrázek 9.12.
Na funkci $f(x) = |x|$ je už předchozí věta (Věta 9.1) aplikovatelná:
$f$ je spojitá (jistě i v bodě $0$),
pro $x > 0$ je $f'(x) = 1$ a je proto ostře rostoucí na $(0, +\infty)$,
pro $x < 0$ je $f'(x) = -1$ a je proto ostře klesající na $(-\infty,0)$.
Funkce $f$ má v bodě $0$ ostré lokální minimum (což ale víme i jednodušeji přímo z definice).
Nalezněte lokální extrémy funkce $f(x) = x \ee^{-2x^2}$.
Pro derivaci této spojité funkce platí
Proto je $f'(x) > 0$ pro $|x| < 1/2$ a $f'(x) < 0$ pro $|x| > 1/2$. Funkce $f$ je proto ostře klesající na intervalech $(-\infty,-1/2\rangle$ a $\langle 1/2,+\infty)$ a ostře rostoucí na $\langle -1/2,1/2\rangle$.
Má proto ostré lokální maximum v bodě $1/2$ a ostré lokální minimum v bodě $-1/2$. Pro ilustraci viz Obrázek 9.13
Dále lze k odhalení extrémů použít i konvexitu/konkavitu, resp. druhou derivaci.
Nechť pro funkci $f$ a bod $c \in D_f$ platí $f'(c) = 0$.
Pokud je $f$ (ryze) konvexní v bodě $c$, pak má funkce $f$ v bodě $c$ (ostré) lokální minimum.
Pokud je $f$ (ryze) konkávní v bodě $c$, pak má funkce $f$ v bodě $c$ (ostré) lokální maximum.
Stačí si uvědomit, že tečna v bodě $c$ je za uvedených předpokladů dána přímkou $y = f(c)$ a využít definici konvexity/konkavity funkce $f$ v bodě $c$.
$\square$
Tato věta se často používá pokud víme, že $f$ má kladnou (nebo zápornou) druhou derivaci na okolí bodu $c$.
K zorientování se mezi různými znaménky derivací a souvislostí s monotonií, resp. konvexitou/konkavitou, může pomoci jednoduchý příklad známé funkce.
Funkce $f(x) = x^2$ má první derivaci $f'(x) = 2x$, která je kladná pro $x > 0$ a záporná pro $x < 0$ a nulová pro $x = 0$. Druhá derivace $f''(x) = 2$ je vždy kladná. Funkce $f$ je ostře rostoucí na $\langle 0,+\infty)$ a ostře klesající na $(-\infty,0\rangle$. V bodě $0$ má ostré lokální minimum. Je konvexní na celém $\R$.
Nechť $f$ je reálná funkce reálné proměnné a nechť bod $a \in D_f$. Řekneme, že funkce $f$ je spojitá v bodě $a$, právě když pro její limitu v bodě $a$ platí
Dále zavádíme dva další pojmy:
Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zprava, právě když pro jednostrannou limitu $\displaystyle\lim_{x\to a+} f(x) = f(a)$.
Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zleva, právě když $\displaystyle\lim_{x\to a-} f(x) = f(a)$.
Uvažme funkci $f\colon D_f \to \R$ a množinu $M \subset D_f$. Potom funkci $f$ nazýváme
rostoucí na množině $M$, právě když pro každé $x_1,x_2 \in M$ splňující $x_1 < x_2$ platí $f(x_1) \leq f(x_2)$,
klesající na množině $M$, právě když pro každé $x_1,x_2 \in M$ splňující $x_1 < x_2$ platí $f(x_1) \geq f(x_2)$,
ostře rostoucí na množině $M$, právě když pro každé $x_1,x_2 \in M$ splňující $x_1 < x_2$ platí $f(x_1) < f(x_2)$,
ostře klesající na množině $M$, právě když pro každé $x_1,x_2 \in M$ splňující $x_1 < x_2$ platí $f(x_1) > f(x_2)$.
Řekneme, že funkce $f$ má v bodě $a\in D_f$
lokální maximum,
lokální minimum,
ostré lokální maximum,
ostré lokální minimum,
právě když existuje okolí (v případném krajním bodě definičního oboru jednostranné) $U_a \subset D_f$ bodu $a$ tak, že (popořadě)
pro všechna $x\in U_a$ platí $f(x) \leq f(a)$,
pro všechna $x\in U_a$ platí $f(x) \geq f(a)$,
pro všechna $x\in U_a\smallsetminus\{a\}$ platí $f(x) < f(a)$,
pro všechna $x\in U_a\smallsetminus\{a\}$ platí $f(x) > f(a)$.
Nechť $f$ je funkce definovaná na okolí bodu $a\in\R$. Pokud existuje limita
nazveme její hodnotu derivací funkce $f$ v bodě $a$ a označíme $f^\prime(a)$. Pokud je tato limita konečná (tj. $f^\prime(a) \in \R$) řekneme, že funkce $f$ je diferencovatelná v bodě $a$.
Pod okolím bodu $a\in\eR$, ozn. $U_a$, máme na mysli buď okolí $U_a(\veps)$ pro nějaké $a\in\R$ a $\veps > 0$, nebo okolí $U_{\pm\infty}(c)$ pro nějaké $c\in\R$.
Řekneme, že funkce $f$ má v bodě $a\in D_f$
lokální maximum,
lokální minimum,
ostré lokální maximum,
ostré lokální minimum,
právě když existuje okolí (v případném krajním bodě definičního oboru jednostranné) $U_a \subset D_f$ bodu $a$ tak, že (popořadě)
pro všechna $x\in U_a$ platí $f(x) \leq f(a)$,
pro všechna $x\in U_a$ platí $f(x) \geq f(a)$,
pro všechna $x\in U_a\smallsetminus\{a\}$ platí $f(x) < f(a)$,
pro všechna $x\in U_a\smallsetminus\{a\}$ platí $f(x) > f(a)$.
Nechť funkce $f$ je diferencovatelná v bodě $a\in D_f$. Pokud existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že pro všechna $x\in U_a\smallsetminus\{a\}$ leží body $(x, f(x))$ nad (resp. pod) tečnou funkce $f$ v bodě $a$, tj.
pak $f$ nazveme ryze konvexní (resp. konkávní) v bodě $a$.
Pokud pro body $(x,f(x))$ výše připustíme možnost ležet na tečně (tj. připustíme neostré nerovnosti), pak $f$ nazveme konvexní (resp. konkávní) v bodě $a$.
Řekneme, že funkce $f$ má v bodě $a\in D_f$
lokální maximum,
lokální minimum,
ostré lokální maximum,
ostré lokální minimum,
právě když existuje okolí (v případném krajním bodě definičního oboru jednostranné) $U_a \subset D_f$ bodu $a$ tak, že (popořadě)
pro všechna $x\in U_a$ platí $f(x) \leq f(a)$,
pro všechna $x\in U_a$ platí $f(x) \geq f(a)$,
pro všechna $x\in U_a\smallsetminus\{a\}$ platí $f(x) < f(a)$,
pro všechna $x\in U_a\smallsetminus\{a\}$ platí $f(x) > f(a)$.