8.6 Derivace inverzní funkce

V poslední části této podkapitoly budeme hledat vzorečky pro derivace zbývajících elementárních funkcí (viz dodatek 12). K nim patří i jejich inverzní funkce. Nyní proto musíme podrobněji prozkoumat vlastnosti inverzních funkcí a ukázat, jak hledat jejich derivace.

Znění následující věty může na první čtení znít komplikovaně. Graf funkce a její inverzní funkce jsou osově symetrické vůči ose prvního kvadrantu. Zkuste si rozmyslet, co se stane se směrnicí tečny grafu funkce, pokud ji osově překlopíme vzhledem k ose prvního kvadrantu? To vlastně říká následující věta.

Věta 8.4 (Derivace inverzní funkce)

Buďte $f$ spojitáryze monotónní funkce na intervalu $I = (a,b)$ a bod $c\in I$. Má-li inverzní funkce $f^{-1}$ konečnou nenulovou derivaci v bodě $f(c)$, potom má $f$ derivaci v bodě $c$ a platí

\begin{equation}\label{eq_derivace_inverzni_fce}\tag{8.2} f^{\prime}(c) = \frac{1}{(f^{-1})^{\prime}(f(c))}. \end{equation}

Zobrazit důkaz

Označme $d = f(c)$. Všimněme si, že pro $x\in I$, $x\neq c$ platí

\begin{equation*} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} = \Bigg( \frac{f^{-1}\big({f(x)}\big) - f^{-1}(d)}{{f(x)} - d} \Bigg)^{-1} = \Big( g\big({f(x)}\big) \Big)^{-1}, \end{equation*}

kde

\begin{equation*} g(x) = \frac{f^{-1}(x) - f^{-1}(d)}{x - d}, \quad \text{pro} \ x \in f(I), \ x\neq d. \end{equation*}

Podle předpokladu je ale

\begin{equation*} \lim_{x \to d} g(x) = \big(f^{-1}\big)'(d) \end{equation*}

konečná nenulová, $\displaystyle\lim_{x\to c} f(x) = d$ a $f(x) \neq d$ pro $x\neq c$. Podle Věty 6.4 o limitě složené funkce pak tedy

\begin{equation*} \lim_{x\to c} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} = \frac{1}{\big(f^{-1}\big)'(d)}. \end{equation*}

Což jsme chtěli dokázat.

$\square$

Poznámka 8.6

Vzorec pro derivaci inverzní funkce uvedený v předchozí větě může být problematické si zapamatovat. Ukažme si jednoduchý formální trik jak si ho případně odvodit. Funkce $f$ a její inverze formálně splňuje rovnici

\begin{equation*} f^{-1}\big( f(x) \big) = x. \end{equation*}

Zderivujeme-li obě strany této rovnosti podle $x$ a využijeme-li větu o derivaci složené funkce, dostaneme

\begin{equation*} (f^{-1})'\big(f(x)\big) \cdot f'(x) = 1 \end{equation*}

odkud ihned „plyne“ (8.2).

Upozorněme čtenáře, že tato poznámka není důkazem věty o derivaci inverzní funkce. Vůbec jsme například neověřili existenci hledané derivace!

Příklad 8.13

Již víme, že derivace $\ln$ je funkce $\frac{1}{x}$. Funkce $\ln$ je ale inverzní funkce k funkci $\ee^x$. Zkusme si na tomto příkladě ukázat použití předcházející věty.

Zobrazit řešení

Chceme derivovat $f(x) = \ln(x)$ na intervalu $I=(0,+\infty)$. Tato funkce je spojitá, ryze monotónní a její inverzní funkcí je $f^{-1}(x) = \ee^x$. Je-li $x\in I$, pak pro derivaci $f^{-1}$ v bodě $f(x)$ platí

\begin{equation*} \big(f^{-1}\big)'\big(f(x)\big) = \ee^{\ln(x)} = x \in I. \end{equation*}

Podle předcházející věty o derivaci inverzní funkce tedy je

\begin{equation*} \ln'(x) = f'(x) = \frac{1}{\big(f^{-1}\big)'(f(x))} = \frac{1}{x}, \end{equation*}

což jsme očekávali.

Nyní konečně odvodíme derivace elementárních funkcí, které nám ještě chybí.

Příklad 8.14

Pro derivaci funkce $\arcsin$ platí

\begin{equation*} \arcsin'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad x\in(-1,1). \end{equation*}

Zobrazit řešení

Funkce $f = \arcsin$ je inverzní funkcí k funkci $\sin$ zúžené na interval $\left\langle-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\rangle$. Tj. $f^{-1} = \sin \big|_{\langle -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\rangle}$. Pro každé $x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ již víme, že platí

\begin{equation*} \big( f^{-1} \big)'(x) = \cos x \neq 0. \end{equation*}

Podle věty o derivaci inverzní funkce máme pro každé $x \in (-1,1)$ rovnost

\begin{equation*} \arcsin'(x) = f'(x) = \frac{1}{(f^{-1})'(f(x))} = \frac{1}{\cos(\arcsin(x))}. \end{equation*}

Pro $x\in(-1,1)$ je ale

\begin{equation*} \cos\big(\arcsin(x)\big) = \sqrt{1-\sin^2\big(\arcsin(x)\big)} = \sqrt{1-x^2} \neq 0, \end{equation*}

a tudíž

\begin{equation*} \arcsin'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad x\in(-1,1). \end{equation*}

Příklad 8.15

Pro derivaci funkce $\arctg$ platí

\begin{equation*} \arctg'(x) = \frac{1}{1+x^2}, \quad x\in\R. \end{equation*}

Zobrazit řešení

Chceme derivovat $f = \arctg$ na $I = \R$, kde je spojitá a ryze monotónní. Její inverzní funkce je $f^{-1} = \tg \big|_{(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})}$. Pro každé $x\in I$ platí

\begin{equation*} \big(f^{-1}\big)'\big(f(x)\big) = \tg'\big(\arctg(x)\big) = \frac{1}{\cos^2 \big( \arctg(x)\big)} \neq 0, \end{equation*}

protože $\arctg(x) \in \Big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Big)$. Navíc je

\begin{equation*} \cos^2\big(\arctg x\big) = \frac{\cos^2\big(\arctg x\big)}{\sin^2\big(\arctg x\big)+\cos^2\big(\arctg x\big)} = \frac{1}{1+\tg^2\big(\arctg x\big)} = \frac{1}{1+x^2}. \end{equation*}

Odtud

\begin{equation*} \arctg'(x) = \frac{1}{1+x^2}, \quad x\in\R. \end{equation*}

Velmi podobným způsobem bychom odvodili derivace zbývajících funkcí $\arccos$ a $\arcctg$. Jejich derivace budou uvedeny níže v přehledné Tabulce 8.1.