9.11 Příklady

Nejprve si ukážeme vyšetřování průběhu na velmi jednoduchých příkladech.

Příklad 9.18

Vyšetřete průběh funkce $f(x) = e^x$.

Zobrazit řešení

Protože $f'(x)=f''(x) > 0$ pro každé $x\in\R$ je funkce $f(x)$ rostoucí a konvexní na celém $\R$. Asymptota funkce existuje pouze v $-\infty$ a její přímkou je $y=0$. Graf této známé funkce uvádíme na obrázku 9.18.

Obrázek 9.18: Graf funkce $e^x$.
Příklad 9.19

Vyšetřete průběh funkce $f(x) = \ln x$.

Zobrazit řešení

Nyní $D_f = (0,+\infty)$ a $f'(x) = \frac{1}{x} > 0$ a $f''(x) = - \frac{1}{x^2} < 0$ pro každé $x > 0$. Tudíž $f$ je rostoucí a konkávní, jedinou asymptotou je přímka $x=0$. Graf této známé funkce uvádíme na obrázku 9.19.

Obrázek 9.19: Grafu funkce $\ln x$.
Příklad 9.20

Vyšetřete průběh funkce

\begin{equation*} f(x) = \sqrt[3]{3x^2-x^3}. \end{equation*}

Zobrazit řešení

Odmocnina je lichá, tedy $D_f = \R$. Průsečík s osou $y$ je $f(0) = 0$. Průsečíky s osou $x$ jsou řešením rovnice

\begin{equation*} f(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2(3-x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x_1 = 0 \ \text{a} \ x_2 = 3. \end{equation*}

Odtud ihned plyne, že funkce nemůže být sudá, lichá ani periodická (ve všech těchto případech by muselo být průsečíkem i $x=-3$).

Funkce je spojitá na celém $\R$. Zkoumejme existenci asymptot v $\pm\infty$,

\begin{equation*} \begin{aligned} k &= \lim_{x\to\pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\pm\infty} \sqrt[3]{\frac{3}{x} - 1} = -1, \\ q &= \lim_{x\to\pm\infty} \big( f(x) - kx \big) = \lim_{x\to\pm\infty} \sqrt[3]{3x^2-x^3} + x = 1. \end{aligned} \end{equation*}

Přímka $y=-x+1$ je tedy asymptotou v $+\infty$ i $-\infty$.

Pro derivaci funkce $f$ platí

\begin{equation*} f'(x) = \begin{cases} \frac{2x-x^2}{(3x^2-x^3)^{2/3}}, & x \neq 0,3, \\ -\infty, & x = 3, \\ \text{neexistuje}, & x = 0. \end{cases} \end{equation*}

Nulovým bodem derivace je $2$. Kandidáty na lokální extrém jsou tudíž body $0$ (derivace neexistuje) a $2$ (derivace je $0$). Z první derivace podle znaménka určíme typ monotonie.

interval \((-\infty,0)\) \((0,2)\) \((2,3)\) \((3,+\infty)\)
znaménko \(f'\) \(-\) \(+\) \(-\) \(-\)
monotonie \(f\) klesá roste klesá klesá

Spojitost funkce na celém $\R$ implikuje lokální minimum v bodě $0$ ($f(0) = 0$) a maximum v bodě $2$ ($f(2) = \sqrt[3]{4}$). Navíc ze spojitosti na $\R$ a z limit $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\mp\infty$ plyne $H_f = \R$.

Pro druhou derivaci v bodech $x\neq 0,3$ dostáváme

\begin{equation*} f''(x) = \frac{2 x^{-4/3}}{(x-3)^{5/3}}. \end{equation*}

Znaménko závisí pouze na znaménku jmenovatele (čitatel je kladný),

interval \((-\infty,0)\) \((0,3)\) \((3,+\infty)\)
znaménko \(f''\) \(-\) \(-\) \(+\)
konkávní konkávní konvexní

Nyní můžeme načrtnout graf funkce $f$, viz Obrázek 9.20.

Obrázek 9.20: Průběh funkce $f(x) = \sqrt[3]{3x^2-x^3}$.
Příklad 9.21

Tuhost $T$ trámu s obdélníkovým průřezem je úměrná součinu jeho šířky (horizontální rozměr) $w$ a třetí mocnině tloušťky (vertikální rozměr) $t$. Při jakých rozměrech lze dosáhnout největší tuhosti trámu, máme-li k dispozici strom o kruhovém průřezu s poloměrem $R$?

Zobrazit řešení

Parametrizujme trám pomocí parametru $x$ podle Obrázku 9.21. Tedy $w = 2x$ a $t = 2 \sqrt{R^2 - x^2}$. Uvažujeme $2x=w \in \big\langle 0,\,2R \big\rangle$, resp. $x \in \big\langle 0, R \big\rangle$.

Tudíž,

\begin{equation*} T(x) = c \cdot w \cdot t^3 = 2^4 \cdot c \cdot x \big( R^2 - x^2 \big)^{\frac{3}{2}}\,. \end{equation*}

Hledáme extrém této funkce, derivací je

\begin{equation*} T'(x) = 2^4 \cdot c \cdot \bigg( \big( R^2 - x^2 \big)^{\frac{3}{2}} - 3x^2 \cdot \sqrt{R^2 - x^2} \bigg) = 2^4\cdot c\cdot \sqrt{R^2 - x^2} \cdot \Big( R^2 - 4 x^2 \Big). \end{equation*}

Nulovým bode derivace je bod $x_* = \frac{R}{2}$. Funkci $T$ vyšetřujeme pouze na intervalu $J$. Vidíme, že na intervalu $\big( 0, \, \frac{R}{2} \big)$ funkce $T$ roste a na intervalu $\big( \frac{R}{2}\,, R\big)$ klesá. V bodě $x_*$ tudíž nastává lokální maximum. Pro extremální rozměry trámu platí

\begin{equation*} w_* = 2x_* = R \quad \text{a} \quad t_* = 2 \sqrt{R^2 - x^2_*} = \sqrt{3} R. \end{equation*}

Obrázek 9.21: Parametrizace problému s trámem.
Příklad 9.22 (Newtonův trojzubec)

Vyšetřete průběh funkce (včetně konvexnosti/konkávnosti)

\begin{equation*} f(x) = \frac{1}{x} + x^2. \end{equation*}

Načrtněte graf této funkce.

Zobrazit řešení

Definičním oborem je očividně množina $D_f = \R \smallsetminus \{0\}$. $f$ je spojitá v každém bodě množiny $D_f$. Vypočtěme derivaci,

\begin{equation*} f'(x) = -\frac{1}{x^2} + 2x = \frac{2x^3 - 1}{x^2}. \end{equation*}

Znaménko derivace je, vzhledem ke kladnosti jmenovatele, kontrolováno výrazem $2x^3 - 1$. Dostáváme

\begin{equation*} \begin{aligned} f'(x) &> 0 \ \Leftrightarrow \ x > 2^{-1/3}, \\ f'(x) &< 0 \ \Leftrightarrow \ x < 2^{-1/3} \ \text{a} \ x\neq 0, \\ f'(x) &= 0 \ \Leftrightarrow \ x = 2^{-1/3}. \end{aligned} \end{equation*}

Funkce $f$ je rostoucí na intervalu $(2^{-1/3},+\infty)$ a klesající na intervalech $(-\infty,0)$ a $(0,2^{-1/3})$. V bodě $a= 2^{-1/3}$ má tedy funkce $f$ lokální minimum (na pravém okolí bodu $a$ je rostoucí, na levém okolí bodu $a$ je klesající a je spojitá v bodě $a$). Podívejme se na limity v nekonečnech a v bodě $0$,

\begin{equation*} \lim_{x\to\pm\infty} \frac{1}{x} + x^2 = +\infty, \quad \lim_{x\to 0_\pm} \frac{1}{x} + x^2 = \pm\infty. \end{equation*}

Funkce $f$ není spojitě dodefinovatelná v bodě $0$. Přímka s rovnicí $x=0$ je asymptotou funkce $f$ v bodě $0$. Asymptoty v nekonečnech neexistují,

\begin{equation*} \lim_{x\to\pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\pm\infty} \frac{1}{x^2} + x = \pm\infty. \end{equation*}

Vyšetřeme konvexitu a konkavitu. Pro druhou derivaci platí

\begin{equation*} f''(x) = \frac{6x^2 \cdot x^2 - (2x^3 - 1) \cdot 2x}{x^4} = 2\frac{x^3 + 1}{x^3}. \end{equation*}

Odtud vidíme, že

\begin{equation*} \begin{aligned} f''(x) &> 0 \ \Leftrightarrow \ x < -1 \ \text{nebo} \ 0 < x, \\ f''(x) &< 0 \ \Leftrightarrow \ -1 < x < 0, \\ f''(x) &= 0 \ \Leftrightarrow \ x = -1. \end{aligned} \end{equation*}

Funkce $f$ je proto konvexní na intervalech $(-\infty,-1)$ a $(0,+\infty)$, konkávní na intervalu $(-1,0)$. V bodě $x=-1$ má inflexní bod.

Na základě těchto informací nyní můžeme nakreslit graf (viz Obrázek 9.22).

Obrázek 9.22: Newtonův trojzubec.
Příklad 9.23 (O průměru)

Mějme $n\in\N$ reálných hodnot $x_1, \ldots, x_n \in \R$, které se mohou i opakovat. Označme

\begin{equation*} \bar x \ceq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k \end{equation*}

průměr těchto hodnot. Ukažte, že průměr $\bar x$ minimalizuje funkci

\begin{equation*} E(t) \ceq \sum_{k=1}^n (t - x_k)^2, \quad t \in \R, \end{equation*}

tedy součet kvadrátů odchylek $t$ od všech $x_1, \ldots, x_n$.

Zobrazit řešení

Uvedené tvrzení si lze rozmyslet dvěma způsoby. První využívá pouze znalostí vlastností paraboly. Stačí si totiž povšimnout, že funkční hodnotu $E(t)$ lze po roznásobení závorek a změně pořadí sčítání přepsat do tvaru

\begin{equation*} E(t) = n t^2 - 2 t \sum_{k=1}^n x_k + \sum_{k=1}^n x_k^2. \end{equation*}

Jedná se tedy o kvadratickou funkci v proměnné $t$. Protože $n > 0$, tedy koeficient u kvadratického členu je kladný, má tato funkce právě jedno ostré globální minimum v bodě $t_*$ (stačí použít vzorec pro horizontální souřadnici vrcholu paraboly)

\begin{equation*} t_* = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k, \end{equation*}

který je právě zmíněným průměrem.

Druhý způsob argumentace rovnou využívá diferenciálního počtu. Pro derivaci funkce $E$ v bodě $t$ zřejmě platí (derivace součtu a složené funkce)

\begin{equation*} E'(t) = 2 \sum_{k=1}^n (t - x_k) = 2nt - 2 \sum_{k=1}^n x_k \end{equation*}

a je proto nulová právě v bodě

\begin{equation*} t_* = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k, \end{equation*}

neboli průměru $\bar x$. Jde skutečně o ostré minimum, neboť

\begin{equation*} E''(t) = 2n > 0. \end{equation*}

Žádný jiný extrém tato funkce nemá.

Následující příklad tento úhel pohledu rozvíjí i pro medián.

Příklad 9.24 (O mediánu)

Mějme $n\in\N$ reálných hodnot $x_1, \ldots, x_n \in \R$, které se mohou i opakovat. Označme jako $x_*$ jejich medián. Ukažte, že medián $x_*$ minimalizuje funkci

\begin{equation*} E(t) \ceq \sum_{k=1}^n |t - x_k|, \quad t \in \R, \end{equation*}

tedy součet absolutních odchylek $t$ od všech $x_1, \ldots, x_n$.

Zobrazit řešení

Na rozdíl od Příkladu 9.23 se v tomto případě už nemůžeme opřít o jednoduchou geometrii (znalost tvaru paraboly). Diferenciální počet nás ovšem zachrání. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že máme zadané hodnoty setříděné podle velikosti, tj. platí $x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n$.

Nejprve si povšimněme, že $E$ je spojitá funkce (součet spojitých funkcí). V bodech $t = x_k$, $k \in \hat{n}$, nemá derivaci (stejný problém jako $|\cdot|$ v nule). Pro $t$ různé od všech $x_k$, $k\in\hat{n}$, platí

\begin{equation*} E(t) = \sum_{\substack{k = 1 \\ x_k > t}}^n (-t + x_k) + \sum_{\substack{k = 1 \\ x_k < t}}^n (t - x_k). \end{equation*}

V první sumě zde sčítáme pouze přes ta $k$, pro které $x_k > t$. V druh0 sumě pak naopak pouze přes ta $k$, pro která $x_k < t$. Proto pro derivaci funkce $E$ v bodě $t$, různém od všech $x_k$, $k\in\hat{n}$, dostáváme

\begin{equation}\label{eq-o-medianu-1}\tag{9.7} E'(t) = \sum_{\substack{k = 1 \\ x_k > t}}^n (-1) + \sum_{\substack{k = 1 \\ x_k < t}}^n 1. \end{equation}

Speciálně platí $E'(t) = -n$ pro $t < x_1$ a $E'(t) = n$ pro $t > x_n$. Dále z předpisu pro derivaci vidíme, že derivace je mimo $x_k$ konstantní a překročení hodnoty $x_k$ (zleva doprava) má za následek změnu derivace o dvojnásobek počtu $\ell \in \hat{n}$, pro které $x_k = x_\ell$.

Nyní mohou nastat dvě kvalitativně rozdílné situace.

  1. Počet hodnot, $n$, je sudý a současně jsou hodnoty $a \ceq x_{\frac{n}{2}}$ a $b \ceq x_{\frac{n}{2} + 1}$ vzájemně různé. V tomto případě z rovnice (9.7) ihned vidíme, že kdykoliv je $t$ mez těmito hodnotami $a$ a $b$, pak $E'(t)$ = 0. Funkce $E$ je konstantní na intervalu $\langle a, b\rangle$ a v každém bodě tohoto intervalu má neostré lokální (globální) minimum. V tomto případě se většinou medián uvedených hodnot bere jako průměr $x_* = \frac{a+b}{2}$. Ale vidíme, že to je jen jedna z možných hodnot minimalizujících $E$.

  2. Nechť nenastává předchozí situace. Tj. $n$ je liché, nebo je sice sudé, ale $x_{\frac{n}{2}} = x_{\frac{n}{2}+1}$. V takovém případě se nám nepodaří přesně vynulovat $E'(t)$ a ta při přechodu přes $x_{\frac{n}{2}}$ v případě sudého $n$ a $x_{\frac{n+1}{2}}$ v případě lichého $n$ mění znaménko. V uvedených bodech tak má funkce lokální (globální) ostré lokální minimum. Příslušná hodnota je právě mediánem $x_*$ uvedených hodnot.

Tím je příklad dokončen.