Již jsme zavedli dvě lokální vlastnosti funkcí. Máme-li zadánu funkci $f$ a bod $a$ v jejím definičním oboru, můžeme zkoumat spojitost funkce $f$ v bodě $a$ a diferencovatelnost funkce $f$ v bodě $a$, resp. existenci derivace funkce $f$ v bodě $a$. Jak spolu všechny tyto pojmy souvisí? Průzkum začněme následující větou.
Je-li $f$ funkce diferencovatelná v bodě $a$, pak je spojitá v bodě $a$. Tj. platí implikace
Elementární úpravou a použitím věty o limitě součtu a součinu
Tedy $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$. Poznamenejme, že „diferencovatelnost“ znamená $f'(a) \in \R$ a výraz na konci výpočtu proto má za uvedených předpokladů smysl.
$\square$
Předchozí věta je pouze implikace jedním směrem. Obrácené tvrzení neplatí. Přesněji, ze spojitosti funkce $f$ v bodě $a$ neplyne její diferencovatelnost v bodě $a$. Jako příklad lze uvážit funkci $f(x) = |x|$ a bod $a = 0$. Skutečně, protože
oboustranná limita (tedy derivace funkce $f$ v bodě $0$, $f'(0)$)
neexistuje. Funkce $f$ je však v bodě $0$ spojitá, jak snadno nahlédneme vypočtením její limity v bodě $0$. Geometricky by mělo být zřejmé, v čem je problém. Představte si graf absolutní hodnoty a podívejte se co se děje v bodě $0$, nachází se zde ostrý „zlom“, kde pojem tečny nemá dobrý smysl.
Dokonce existují funkce spojité na celém $\R$ nemající derivaci ani v jednom bodě. Předběhneme-li do témat předmětu BI-MA2, pak příkladem takovéto spojité funkce nemající derivaci ani v jednom bodě je funkce
kde $\{x\}$ značí vzdálenost reálného čísla $x$ od nejbližšího celého čísla. Protože $0 \leq \{x\} < 1$ konverguje řada absolutně pro každé $x$. Definičním oborem funkce $f$ je proto celá reálná osa $D_f = \R$. Ukázat spojitost a vyvrátit diferencovatelnost je však už složitější. Tato poznámka je hodně na okraj BI-MA1.
Pokud má funkce v daném bodě nekonečnou derivaci, nemusí v něm být spojitá. Požadavek diferencovatelnosti ve Větě 8.1 je podstatný. Například o funkci $f(x) = \sgn(x)$ víme, že není spojitá v bodě $a = 0$, protože obě jednostranné limity v tomto bodě jsou navzájem různé. V bodě $a = 0$ ale má tato funkce derivaci a její hodnota je
Má funkce $f$ definovaná po částech předpisy $f(0) = 0$ a $f(x) = -1/x$ pro $x \neq 0$ derivaci v bodě $0$? Jaká je její případná hodnota? Jak by to bylo s funkcí $g(x) = 1/x$?
$f'(0) = -\infty$, $g'(0)$ neexistuje.
Nechť $f$ je funkce definovaná na okolí bodu $a\in\R$. Pokud existuje limita
nazveme její hodnotu derivací funkce $f$ v bodě $a$ a označíme $f^\prime(a)$. Pokud je tato limita konečná (tj. $f^\prime(a) \in \R$) řekneme, že funkce $f$ je diferencovatelná v bodě $a$.
Nechť $f$ je reálná funkce reálné proměnné a nechť bod $a \in D_f$. Řekneme, že funkce $f$ je spojitá v bodě $a$, právě když pro její limitu v bodě $a$ platí
Dále zavádíme dva další pojmy:
Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zprava, právě když pro jednostrannou limitu $\displaystyle\lim_{x\to a+} f(x) = f(a)$.
Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zleva, právě když $\displaystyle\lim_{x\to a-} f(x) = f(a)$.
Nechť $f$ a $g$ jsou funkce a $a$ je hromadným bodem $D_f \cap D_g$. Nechť dále existují limity $\lim_a f$ a $\lim_a g$. Potom rovnosti
platí v případě, že jsou algebraické operace na pravé straně definovány.