4.6 Asymptotické horní meze $o$ a $\mathcal{O}$

Jediným hromadným bodem definičního oboru posloupností, který mají všechny stejný, je $+\infty$ a proto chování posloupností pomocí asymptotických horních mezí $\mathcal{O}$ a $o$ můžeme porovnávat pouze pro $n\to+\infty$. Tuto specifikaci bodu proto můžeme bez hrozby zmatení u posloupností vynechávat (tj. například „$a_n = \mathcal{O}(b_n)$“ znamená „$a_n = \mathcal{O}(b_n)$ pro $n \to +\infty$“).

Uvážíme-li tvar okolí $+\infty$ a definiční obor posloupností, pak v případě posloupností $(a_n)_{n=1}^\infty$ a $(b_n)_{n=1}^\infty$ můžeme požadavek v Definicích 3.123.13 přeformulovat následovně

\begin{align*} a_n &= \mathcal{O}(b_n) & &\stackrel{\text{def}}{\Leftrightarrow} & &(\exists c > 0)(\exists N \in \N)(\forall n \in \N)\big(n > N \Rightarrow |a_n| \leq c |b_n|\big), \\ a_n &= o(b_n) & &\stackrel{\text{def}}{\Leftrightarrow} & &(\forall c > 0)(\exists N \in \N)(\forall n \in \N)\big(n > N \Rightarrow |a_n| < c |b_n|\big).\end{align*}

Pokud jsou členy $b_n$ posloupnosti zmíněné výše nenulové (na okolí $+\infty$ průnik $\N$), může být výhodné na uvedené nerovnosti nahlížet jako na $\left| \frac{a_n}{b_n} \right| < c$ (případně s neostrou nerovností). Odtud je ihned vidět, že posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ je omezená, právě když $a_n = \mathcal{O}(1)$.