V této podkapitole rozebereme spojitost některých elementárních funkcí. Připomeňme, že v dřívějším textu jsme již odvodili spojitost libovolného polynomu (Příklad 7.1). Pojďme se postupně zamyslet nad ostatními elementárními funkcemi (viz dodatek 12).
Podívejme se nyní na spojitost některých trigonometrických funkcí (viz podkapitolu 12.4).
Funkce $\sin$ a $\cos$ jsou spojité v každém bodě $a\in\R$.
Připomeňme známé, v minulé podkapitole v Příkladu 6.10 vypočtené, limity
Podle součtového vzorce pro funkci $\sin$ platí
Tudíž podle věty o limitě složené funkce (Věta 6.4) a součinu/součtu limit (Věta 6.1) platí
Což ukazuje spojitost funkce $\sin$. Spojitost funkce $\cos$ se ukáže analogicky.
Z posledního příkladu a z věty o spojitosti podílu dvou funkcí (Věta 6.1) ihned plyne, že funkce $\tg$ a $\cotg$ jsou spojité v každém bodě svého definičního oboru.
Protože teď už víme, že funkce $\sin$, $\cos$, $\tg$ a $\cotg$ jsou spojité na svých definičních oborech, a vhodně zúžené jsou i ryze monotónní, ihned pomocí Věty 7.7 dostáváme spojitost inverzních funkcí
Jak jsme už varovali v podkapitole 12.5.1, jednu vlastnost exponenciální funkce o základu $\mathrm{e}$ (exponenciály) budeme muset v tento okamžik postulovat, než tuto funkci v příštím semestru korektně zavedeme.
Navíc k „algebraickým“ vlastnostem $\mathrm{e}^x$ přidáváme „limitní“ vlastnost. Pro úplnost formálně vlastnosti exponenciální funkce shrneme v následující definici:
Pod exponenciální funkcí máme na mysli funkci oplývající následujícími vlastnostmi:
$\mathrm{e}^x$ je ostře rostoucí funkce s definičním oborem $\R$ a oborem hodnot $(0,+\infty)$.
Pro každé $x,y\in\R$ platí
Platí rovnost $\mathrm{e}^0 = 1$.
Platí rovnost
V další kapitole tohoto textu vysvětlíme význam požadavku (7.1), v podstatě zde předepisujeme požadavek na derivaci funkce $\mathrm{e}^x$.
Funkce $\mathrm{e}^x$ je spojitá v každém bodě $a\in\R$.
Argumentace v tomto případě sleduje podobné kroky jako u trigonometrických funkcí:
Spojitost v $0$: Nejprve ukážeme rovnost $\displaystyle\lim_{x\to 0} \mathrm{e}^x = 1$. Pro libovolné $\veps > 0$ ze vztahu
plyne existence $\delta > 0$, bez újmy na obecnosti $\delta < \frac{\veps}{1+\veps}$, takového, že pro $x\in U_0(\delta)\smallsetminus\{0\}$ platí $|(\mathrm{e}^x - 1) / x - 1 | < \veps$ a pro tato $x$ pak i
Tedy $\displaystyle\lim_{x\to 0} \mathrm{e}^x = 1 = \mathrm{e}^0$.
Spojitost v $a \in \R$: Nyní stačí použít základní vlastnosti exponenciály, větu o limitě součinu a větu o limitě složené funkce. Pro libovolné $x \in \R$ platí
U exponenciály (tj. $\mathrm{e}^x$) se ještě na chvíli zastavme a zformulujme několik s ní souvisejících pozorování.
Exponenciální funkci o základu $a \in \R^+\smallsetminus\{1\}$ jsme definovali předpisem $a^x \ceq \mathrm{e}^{x\ln(a)}$, $x \in \R$. Proto nám věta o limitě složené funkce a spojitost exponenciály dává
a i funkce $a^x$ je proto spojitá v každém bodě $b \in \R$.
Pro limity funkce $\mathrm{e}^x$ v nekonečnech platí (stejně pro základ $a > 1$, opačně pro $a < 1$)
K tomu je potřeba si připomenout následující fakta, stručně:
Dle axiomatické definice $\mathrm{e}^x$ platí $\mathrm{e}^1 > \mathrm{e}^0 = 1$ a $\mathrm{e}^n = \mathrm{e} \cdots \mathrm{e}$ ($n$ krát).
Limity geometrických posloupností počítat umíme, konkrétně
Využijeme-li navíc monotonii $\mathrm{e}^x$, dostaneme dokazované tvrzení.
Funkce $\ln$ je spojitá v každém bodě $a\in\R^+$.
Již víme, že exponenciála je spojitá funkce v každém bodě svého definičního oboru. Navíc víme, že je ostře rostoucí (tedy i ryze monotónní).
Z věty O spojitosti inverzní funkce ihned plyne spojitost logaritmu $\ln$ v libovolném bodě jejího definičního oboru.
Díky spojitosti funkce $\ln$ tedy platí rovnost
pro každé $a\in (0, +\infty)$. Navíc z vlastností exponenciály zmíněných v Pozorování 7.2 plynou vztahy
Analogicky lze ověřit spojitost logaritmu o základu $a \in \R^+ \smallsetminus \{ 1 \}$, alternativně lze využít jeho vyjádření pomocí $\ln$.
Z dřívějšího výkladu okamžitě plyne spojitost odmocnin (Příklad 5.9) a absolutní hodnoty (Příklad 5.7). Pro úplnost zde tento výsledek explicitně uveďme.
Konkrétně z Příkladu 5.9 víme, že platí vztahy
pro $a > 0$ a $k = 2, 3,\ldots$ To znamená, že $\sqrt[k]{x}$ je spojitá funkce na intervalu $\langle 0, + \infty)$.
Obdobně, Příklad 5.7 zaručuje platnost vztahu
pro $a \in \R$. Což ihned implikuje spojitost $|x|$ na $\R$.
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Pod exponenciální funkcí máme na mysli funkci oplývající následujícími vlastnostmi:
$\mathrm{e}^x$ je ostře rostoucí funkce s definičním oborem $\R$ a oborem hodnot $(0,+\infty)$.
Pro každé $x,y\in\R$ platí
Platí rovnost $\mathrm{e}^0 = 1$.
Platí rovnost