Hromadné body množiny můžeme plně charakterizovat33 také pomocí posloupností a jejich limit.
Mějme množinu $M \subset \R$. Bod $b \in \overline{\R}$ je hromadným bodem množiny $M$, právě když existuje posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$, jejíž členy všechny leží v $M$, jsou různé od $b$ a pro její limitu platí $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = b$.
K důkazu ekvivalence stačí dokázat obě implikace.
$\Rightarrow$: Pro každé $n \in \N$ zvolme nějaké $a_n \in M$ patřící do $U_b(1/n)$ a různé od $b$ – to lze, $b$ je hromadným bodem množiny $M$. Je-li $U_b(\veps)$ nějaké okolí bodu $b$, tak pro $n \geq N = \lceil 1/\veps \rceil$ platí $a_n \in U_b(1/n) \subset U_b(\veps)$. Tudíž $a_n \to b$.
$\Leftarrow$: Mějme posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ uvedených vlastností. Uvážíme-li libovolné $U_b$, pak jistě existuje (dokonce je jich nekonečně mnoho) nějaké $a_n \in M$ patřící do tohoto okolí různé od $b$. Bod $b$ je tedy hromadným bodem množiny $M$.
Tím je důkaz dokončen.
$\square$
Stačí vhodně modifikovat předchozí případ. Tento důkaz přenecháváme čtenáři.
$\square$
Vztah mezi hromadnými body posloupností a vybranými posloupnostmi popisuje následující věta.
Bod $\alpha\in\overline{\R}$ je hromadným bodem posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$, právě když existuje vybraná posloupnost $(a_{k_n})_{n=1}^\infty$ mající limitu $\alpha \in \overline{\R}$.
Opět ukážeme obě implikace.
$\Leftarrow$: V každém okolí $U_\alpha$ leží nekonečně mnoho členů posloupnosti $(a_{k_n})_{n=1}^\infty$ a tím pádem i posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$.
Provedeme důkaz $\Rightarrow$ pouze pro $\alpha\in\mathbb{R}$: Uvažme okolí $U_\alpha(1)$, existuje $k_1$ takové, že $a_{k_1} \in U_\alpha(1)$. Je-li $n\in\N$, $n > 1$, pak pro okolí $U_\alpha(1/n)$ existuje $k_n > k_{n-1}$ splňující $a_{k_n} \in U_\alpha(1/n)$. Takto zkonstruovaná posloupnost $(a_{k_n})_{n=1}^\infty$ je vybraná z $(a_n)_{n=1}^\infty$ a konverguje k $\alpha$. Skutečně, je-li $U_\alpha(\veps)$ libovolné okolí bodu $\alpha$, pak pro všechna $n > N := \lceil 1/\veps \rceil$ je $\frac{1}{n} < \frac{1}{N} < \veps$ a proto $a_{k_n} \in U_\alpha(1/n) \subset U_\alpha(1/N) \subset U_\alpha(\veps)$.
Tím je důkaz dokončen.
$\square$
Bod $\alpha\in\eR$ nazýváme hromadným bodem množiny $M \subset \R$, právě když v každém okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ leží nějaký prvek množiny $M$ různý od $\alpha$.
Zobrazení množiny přirozených čísel $\N$ do množiny reálných čísel $\R$ nazýváme reálná číselná posloupnost (pokud nebude hrozit zmatení, budeme zkráceně mluvit o posloupnosti).
Reálná posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ má limitu $\alpha\in\overline{\R}$, právě když pro každé okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ lze nalézt $N \in\N$ takové, že pro všechna $n\in\N$ větší nebo rovno než $N$ platí $a_n\in U_\alpha$. V symbolech
Tuto skutečnost můžeme zapsat několika možnými ekvivalentními způsoby:
Bod $\alpha \in \overline{\R}$ nazýváme hromadným bodem posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$, právě když v každém okolí bodu $\alpha$ leží nekonečně mnoho členů posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$.
Nechť $(a_n)_{n=1}^\infty$ je libovolná posloupnost a $(k_n)_{n=1}^\infty$ je ostře rostoucí posloupnost přirozených čísel. Pak posloupnost $(a_{k_n})_{n=1}^\infty$ nazýváme posloupností vybranou z posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$. Posloupnost $(a_{k_n})_{n=1}^\infty$ nazýváme také podposloupností posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$.
Reálná posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ má limitu $\alpha\in\overline{\R}$, právě když pro každé okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ lze nalézt $N \in\N$ takové, že pro všechna $n\in\N$ větší nebo rovno než $N$ platí $a_n\in U_\alpha$. V symbolech
Tuto skutečnost můžeme zapsat několika možnými ekvivalentními způsoby: