Zamysleme se nyní jakým způsobem může spojitost funkce v bodě „selhat“. Rozlišujeme několik „úrovní“ nespojitosti.
Mějme funkci $f$, která je definována na okolí bodu $a\in\R$ vyjma bod $a$ (tj. $a \notin D_f$), ale platí $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = c \in \R$.
Potom se takovéto nespojitosti můžeme zbavit dodefinováním této funkce v bodě $a$ hodnotou $c$, tj. nová funkce
s definičním oborem $D_g = D_f \cup \{a\}$ je již spojitá v bodě $a$ a funkce $f$ je zúžením funkce $g$ na množinu $D_f$, tj. $f = g\vert_{D_f}$. Tato funkce $g$ je tzv. spojité rozšíření (nebo dodefinování) funkce $f$ v bodě $a$. Někdy se také v tomto případě mluví jako o odstranitelné nespojitosti funkce $f$ v bodě $a$.
Typickým příkladem funkce s odstranitelnou nespojitostí je funkce
Tato funkce není spojitá v bodě $0$.
Z předchozího výkladu (Příklad 6.10) již víme, že
Proto funkce
je již spojitá na celém $D_\mathrm{sinc} = \R$. Ilustrace této situace je čtenáři k dispozici na Obrázku 7.6.
Funkce $\mathrm{sinc}$ je důležitá nejen z matematického pohledu, ale nachází uplatnění i v různých inženýrských aplikacích, například ve zpracování signálu (filtry, wavelety, …).
Opět mějme funkci definovanou na okolí bodu $a$, s možnou výjimkou bodu $a$ samotného. Nyní ovšem předpokládejme, že existují jednostranné limity v bodě $a$, ale
Takovouto funkci již nelze spojitě dodefinovat, případně předefinovat, v bodě $a$. Zadáním funkční hodnoty v bodě $a$ bychom maximálně mohli získat funkci spojitou v bodě $a$ zprava, nebo zleva.
Na Obrázku 7.7 uvádíme příklad dvou funkcí s takovouto vlastností.
Dále může spojitost selhat následujícími třemi zásadními způsoby.
Mějme opět funkci $f$ definovanou na okolí bodu $a$ s možnou výjimkou bodu $a$ samotného. Funkce $f$ má limitu (alespoň zleva nebo zprava) v bodě $a$ rovnou $+\infty$ nebo $-\infty$. Například funkce $\frac{1}{x}$ v nule má „nekonečný skok“ a funkce $\frac{1}{x^2}$ má v nule limitu $+\infty$. Ani jednu z nich nelze spojitě dodefinovat a to ani zleva, ani zprava.
Mějme opět funkci $f$ definovanou na okolí bodu $a$ s možnou výjimkou bodu $a$ samotného. Funkce $f$ nemá limitu (alespoň zleva nebo zprava) v bodě $a$. Například $\sin(\frac{1}{x})$ v nule.