2.5 Hromadný bod množiny

Pomocí pojmu okolí můžeme formalizovat užitečný jev „hromadění se“ prvků množiny. Tento pojem bude zásadní pro pozdější definici limity funkce/posloupnosti.

Definice 2.9 (Hromadný bod množiny / Cluster point of a set)

Bod $\alpha\in\eR$ nazýváme hromadným bodem množiny $M \subset \R$, právě když v každém okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ leží nějaký prvek množiny $M$ různý od $\alpha$.

Povšimněte si, že hromadný bod $\alpha$ množiny $M$ nemusí nutně být prvkem množiny $M$. Názorně toto uvidíme na následujícím příkladu.

Příklad 2.5

Jako ilustrační příklad uvažme množinu $M = \{ 1/n \mid n\in\N \}$ (viz Obrázek 2.7). Tato množina má jediný hromadný bod $\alpha = 0$.

  • Ukažme, že $\alpha = 0$ je opravdu hromadný bod množiny $M$. Je-li $U_{0}(\veps)$ okolí bodu $\alpha = 0$ o poloměru $\veps > 0$, pak $\frac{1}{n} \in M$ leží v tomto okolí pro libovolné $n > \frac{1}{\veps}$ (ano, tato nerovnost je ekvivalentní podmínce $\frac{1}{n} < \veps$). Každé okolí bodu $0$ tak skutečně obsahuje nějaký prvek množiny $M$ různý od $0$.

  • Nyní ukažme, že libovolné nenulové $\alpha$ není hromadným bodem množiny $M$. Musíme postupně prozkoumat tři situace. Je-li $\alpha$ záporné, potom okolí $U_{\alpha}\big(|\alpha|/2\big)$ zřejmě celé leží na záporné části reálné osy a tedy neobsahuje žádný prvek množiny $M$. Je-li $\alpha = \frac{1}{k} \in M$, pak vezmeme-li $\veps = \frac{1}{2k(k+1)}$ (polovina vzdálenosti k nejbližšímu dalšímu prvku množiny $M$), pak $U_\alpha(\veps) \cap M = \{\alpha\}$, což vylučuje hromadnost tohoto $\alpha$. Konečně, je-li $\alpha \notin M$ kladné, pak je-li opět $\frac{1}{m}$ prvek $M$ nejblíže $\alpha$ (a takový jistě existuje, v případě existence dvou takových prvků zvolme libovolný z nich), pak $U_\alpha(\veps) \cap M$ s $\veps = |\alpha - 1/m|/2$ je dokonce prázdná množina a toto $\alpha$ tedy není hromadným bodem množiny $M$.

V rámci procvičování osvojení si pojmů hromadný bod a okolí bodu doporučuji nakreslit si všechny situace o kterých se mluví v předchozích bodech na reálné ose.

Obrázek 2.7: Hromadný bod množiny $M = \{ 1/n \mid n \in \N \}$ je $0$. Je to jediný hromadný bod, který tato množina má.
Příklad 2.6

Množina $M = \{1\}$ nemá ani jeden hromadný bod. Opravdu, pokud vezmeme $\alpha = 1$, pak každé okolí $U_\alpha$ obsahuje pouze $1$, ale žádný jiný prvek množiny $M$. Pokud vezmeme $\alpha \neq 1$, tak pro $\veps = |\alpha - 1| / 2$, tj. polovinu vzdálenosti $\alpha$ od $1$, je průnik $U_\alpha(\veps)$ a $M$ dokonce prázdný a neobsahuje žádný prvek množiny $M$.

V Definici 2.9 se v každém okolí vyžaduje existence alespoň jednoho bodu množiny $M$. Není těžké si rozmyslet následující jednoduché tvrzení dávající další důvod pro označení hromadných bodů množiny jakožto „hromadných“.

Tvrzení 2.2 (O hromadění bodů kolem hromadných bodů)

Bod $\alpha \in \eR$ je hromadným bodem množiny $M$, právě když v každém okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ leží nekonečně mnoho bodů množiny $M$.

Zobrazit důkaz

Dokážeme postupně obě implikace.

  • $\Rightarrow$: Mějme okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$. Bod $\alpha$ je hromadným bodem množiny $M$ a proto existuje bod $x_1$ různý od $\alpha$ patřící do $M$ i $U_\alpha$, tj. $x_1 \in M \cap U_\alpha$ a $x_1 \neq \alpha$. Nyní zvolme okolí $V_\alpha$ bodu $\alpha$ o poloměru menším, než vzdálenost $\alpha$ od $x_1$. I v tomto okolí nutně leží bod $x_2$ patřící do $M$, $V_\alpha$ a tedy i $U_\alpha$, různý od $\alpha$. Tímto způsobem induktivně sestrojíme nekonečně mnoho vzájemně různých bodů $x_1$, $x_2$,… množiny $M$ ležících v $U_\alpha$.

  • $\Leftarrow$: Tento směr je snadný. Máme-li okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ v kterém leží nekonečně mnoho členů množiny $M$, pak v něm jistě leží nějaký (alespoň jeden) bod množiny $M$ různý od $\alpha$.

Tím je důkaz ekvivalence dokončen.

$\square$

Z předchozího tvrzení také ihned plyne, že každá konečná množina nemá ani jeden hromadný bod. Aby množina mohla mít hromadný bod, musí být nutně nekonečná.

Otázka 2.12

Kolik hromadných bodů má množina $A = \{1 \mid n \in \N \}$?

Zobrazit odpověď

Ani jeden.

Příklad 2.7

Rozmyslete následující situace:

  • Každý bod množiny $\langle 0,1 \rangle$ je hromadným bodem množiny $M = (0,1)$.

  • Množina $M = \N$ má právě jeden hromadný bod, $+\infty$.

  • Množina $M = \Z$ má právě dva hromadné body, $+\infty$ a $-\infty$.

  • Množina $M = \R$ má jako hromadný bod libovolný prvek z $\eR$.

  • Každá množina $M$ s konečným počtem prvků nemá ani jeden hromadný bod.

Své závěry pečlivě vysvětlete s využitím Definice 2.9, případně Tvrzení 2.2.

Poznámka 2.7

K tomu, aby bod $\alpha$ byl hromadným bodem sjednocení dvou množin $M$ a $N$ stačí, aby byl hromadným bodem jedné z nich. Pozor ovšem, máme-li $\alpha$ hromadný bod množiny $M$ i $N$, pak ještě nutně nemusí být hromadným bodem průniku $M$ a $N$, například množiny

\begin{equation*} M = \Big\{ \frac{1}{n} \,\Big|\, n \in \N \Big\} \quad \text{a} \quad N = \Big\{ -\frac{1}{n} \,\Big|\, n \in \N \Big\} \end{equation*}

mají obě hromadný bod $0$, ale jejich průnik je dokonce prázdná množina, která nemá žádný hromadný bod.

Poznámka 2.8

Množina racionálních čísel $\Q$ má jako hromadné body libovolné reálné číslo $\R$ (toto je sice intuitivní, ale netriviální výsledek plynoucí z axiomu úplnosti) a dále body $+\infty$ a $-\infty$.

Otázka 2.13

V předchozím příkladu jsme viděli množinu s dvěma hromadnými body i s nekonečně mnoha hromadnými body. Vymyslete příklad množiny mající právě tři hromadné body.

Zobrazit odpověď

Například množina $\Z \cup \{1/n \mid n \in \N\}$ má jako hromadné body $-\infty$, $0$ a $+\infty$.

Otázka 2.14

Nechť $\alpha$ je hromadným bodem množiny $A \subset \R$. Mějme nějakou množinu $B \subset \R$, která obsahuje množinu $A$, tj. $A \subset B$. Je $\alpha$ hromadným bodem množiny $B$?

Zobrazit odpověď

Ano, rozmyslete si toto tvrzení přímo z definice!