4.4 Hromadný bod posloupnosti

I pro posloupnosti má smysl zavést pojem hromadného bodu. Od hromadného bodu množiny se ale drobně liší. Tento pojem jistým způsobem vystihuje dlouhodobé chování členů posloupnosti a jak brzy uvidíme, úzce souvisí s pojmem limity posloupnosti.

Definice 4.5 (Hromadný bod posloupnosti / cluster point of a sequence)

Bod $\alpha \in \overline{\R}$ nazýváme hromadným bodem posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$, právě když v každém okolí bodu $\alpha$ leží nekonečně mnoho členů posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$.

Příklad 4.12

Rozmysleme si následující jednoduché případy:

  • Konstantní posloupnost $(c)_{n=1}^\infty$ má právě jeden hromadný bod $c$: v každém okolí $U_c$ leží dokonce všechny členy této posloupnosti, těch je nekonečno mnoho, jeden pro každé $n\in\N$.

  • Posloupnost $((-1)^n)_{n=1}^\infty$ má právě dva hromadné body a to $-1$ a $1$.

  • Posloupnost $(\sin(n))_{n=1}^\infty$ má nekonečně mnoho hromadných bodů, které dohromady tvoří27 množinu $\langle -1,1\rangle$.

Je potřeba důsledně rozlišovat dva zavedené pojmy hromadný bod posloupnostihromadný bod množiny. Tento rozdíl lze pěkně ilustrovat na konkrétních posloupnostech z předchozího příkladu.

  • Posloupnost $(c)_{n=1}^\infty$ má právě jeden hromadný bod $c$. Množina $\{c\}$ nemá hromadný bod.

  • Posloupnost $((-1)^n)_{n=1}^\infty$ má právě dva hromadné body $1$ a $-1$. Množina $\{-1,1\}$ nemá ani jeden hromadný bod.

Naopak ale posloupnost $(1/n)_{n=1}^\infty$ i množina $\{1/n\mid n\in\N\}$ mají právě jeden hromadný bod $0$. Tato pozorování jen opět ukazují, že posloupnost je daleko více, než jen množina jejích členů.

V příští kapitole si ukážeme, jak hromadné body posloupností charakterizovat pomocí limit jejích podposloupností, viz Větu 5.6.