Pomocí pojmu okolí můžeme formalizovat užitečný jev „hromadění se“ prvků množiny. Tento pojem bude zásadní pro pozdější definici limity funkce/posloupnosti.
Bod $\alpha\in\eR$ nazýváme hromadným bodem množiny $M \subset \R$, právě když v každém okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ leží nějaký prvek množiny $M$ různý od $\alpha$.
Povšimněte si, že hromadný bod $\alpha$ množiny $M$ nemusí nutně být prvkem množiny $M$. Názorně toto uvidíme na následujícím příkladu.
Jako ilustrační příklad uvažme množinu $M = \{ 1/n \mid n\in\N \}$ (viz Obrázek 2.7). Tato množina má jediný hromadný bod $\alpha = 0$.
Ukažme, že $\alpha = 0$ je opravdu hromadný bod množiny $M$. Je-li $U_{0}(\veps)$ okolí bodu $\alpha = 0$ o poloměru $\veps > 0$, pak $\frac{1}{n} \in M$ leží v tomto okolí pro libovolné $n > \frac{1}{\veps}$ (ano, tato nerovnost je ekvivalentní podmínce $\frac{1}{n} < \veps$). Každé okolí bodu $0$ tak skutečně obsahuje nějaký prvek množiny $M$ různý od $0$.
Nyní ukažme, že libovolné nenulové $\alpha$ není hromadným bodem množiny $M$. Musíme postupně prozkoumat tři situace. Je-li $\alpha$ záporné, potom okolí $U_{\alpha}\big(|\alpha|/2\big)$ zřejmě celé leží na záporné části reálné osy a tedy neobsahuje žádný prvek množiny $M$. Je-li $\alpha = \frac{1}{k} \in M$, pak vezmeme-li $\veps = \frac{1}{2k(k+1)}$ (polovina vzdálenosti k nejbližšímu dalšímu prvku množiny $M$), pak $U_\alpha(\veps) \cap M = \{\alpha\}$, což vylučuje hromadnost tohoto $\alpha$. Konečně, je-li $\alpha \notin M$ kladné, pak je-li opět $\frac{1}{m}$ prvek $M$ nejblíže $\alpha$ (a takový jistě existuje, v případě existence dvou takových prvků zvolme libovolný z nich), pak $U_\alpha(\veps) \cap M$ s $\veps = |\alpha - 1/m|/2$ je dokonce prázdná množina a toto $\alpha$ tedy není hromadným bodem množiny $M$.
V rámci procvičování osvojení si pojmů hromadný bod a okolí bodu doporučuji nakreslit si všechny situace o kterých se mluví v předchozích bodech na reálné ose.
Množina $M = \{1\}$ nemá ani jeden hromadný bod. Opravdu, pokud vezmeme $\alpha = 1$, pak každé okolí $U_\alpha$ obsahuje pouze $1$, ale žádný jiný prvek množiny $M$. Pokud vezmeme $\alpha \neq 1$, tak pro $\veps = |\alpha - 1| / 2$, tj. polovinu vzdálenosti $\alpha$ od $1$, je průnik $U_\alpha(\veps)$ a $M$ dokonce prázdný a neobsahuje žádný prvek množiny $M$.
V Definici 2.9 se v každém okolí vyžaduje existence alespoň jednoho bodu množiny $M$. Není těžké si rozmyslet následující jednoduché tvrzení dávající další důvod pro označení hromadných bodů množiny jakožto „hromadných“.
Bod $\alpha \in \eR$ je hromadným bodem množiny $M$, právě když v každém okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ leží nekonečně mnoho bodů množiny $M$.
Dokážeme postupně obě implikace.
$\Rightarrow$: Mějme okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$. Bod $\alpha$ je hromadným bodem množiny $M$ a proto existuje bod $x_1$ různý od $\alpha$ patřící do $M$ i $U_\alpha$, tj. $x_1 \in M \cap U_\alpha$ a $x_1 \neq \alpha$. Nyní zvolme okolí $V_\alpha$ bodu $\alpha$ o poloměru menším, než vzdálenost $\alpha$ od $x_1$. I v tomto okolí nutně leží bod $x_2$ patřící do $M$, $V_\alpha$ a tedy i $U_\alpha$, různý od $\alpha$. Tímto způsobem induktivně sestrojíme nekonečně mnoho vzájemně různých bodů $x_1$, $x_2$,… množiny $M$ ležících v $U_\alpha$.
$\Leftarrow$: Tento směr je snadný. Máme-li okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ v kterém leží nekonečně mnoho členů množiny $M$, pak v něm jistě leží nějaký (alespoň jeden) bod množiny $M$ různý od $\alpha$.
Tím je důkaz ekvivalence dokončen.
$\square$
Z předchozího tvrzení také ihned plyne, že každá konečná množina nemá ani jeden hromadný bod. Aby množina mohla mít hromadný bod, musí být nutně nekonečná.
Rozmyslete následující situace:
Každý bod množiny $\langle 0,1 \rangle$ je hromadným bodem množiny $M = (0,1)$.
Množina $M = \N$ má právě jeden hromadný bod, $+\infty$.
Množina $M = \Z$ má právě dva hromadné body, $+\infty$ a $-\infty$.
Množina $M = \R$ má jako hromadný bod libovolný prvek z $\eR$.
Každá množina $M$ s konečným počtem prvků nemá ani jeden hromadný bod.
Své závěry pečlivě vysvětlete s využitím Definice 2.9, případně Tvrzení 2.2.
K tomu, aby bod $\alpha$ byl hromadným bodem sjednocení dvou množin $M$ a $N$ stačí, aby byl hromadným bodem jedné z nich. Pozor ovšem, máme-li $\alpha$ hromadný bod množiny $M$ i $N$, pak ještě nutně nemusí být hromadným bodem průniku $M$ a $N$, například množiny
mají obě hromadný bod $0$, ale jejich průnik je dokonce prázdná množina, která nemá žádný hromadný bod.
Množina racionálních čísel $\Q$ má jako hromadné body libovolné reálné číslo $\R$ (toto je sice intuitivní, ale netriviální výsledek plynoucí z axiomu úplnosti) a dále body $+\infty$ a $-\infty$.
V předchozím příkladu jsme viděli množinu s dvěma hromadnými body i s nekonečně mnoha hromadnými body. Vymyslete příklad množiny mající právě tři hromadné body.
Například množina $\Z \cup \{1/n \mid n \in \N\}$ má jako hromadné body $-\infty$, $0$ a $+\infty$.
Nechť $\alpha$ je hromadným bodem množiny $A \subset \R$. Mějme nějakou množinu $B \subset \R$, která obsahuje množinu $A$, tj. $A \subset B$. Je $\alpha$ hromadným bodem množiny $B$?
Ano, rozmyslete si toto tvrzení přímo z definice!