7.6 Další důležité limity a shrnutí

Na závěr této kapitoly pomocí vybudovaného aparátu odvodíme ještě dalších několik důležitých limitních vztahů, které budeme později využívat. Pro jejich důležitost je zformulujeme jako lemmata (pomocná tvrzení).

Vzhledem k inverznímu vztahu mezi exponenciálou a logaritmem jsme jistě schopni z limity (7.1) odvodit i podobné tvrzení pro logaritmus.

Lemma 7.1 (O limitě $\ln(1+x)/x$ v $0$)

Limita funkce $\frac{\ln(1+x)}{x}$ v bodě nula je rovna jedné, tj.

\begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1. \end{equation*}

Zobrazit důkaz

Nejprve zkoumaný výraz vhodně upravme,

\begin{equation*} \frac{\ln(1+x)}{x} = \frac{\ln(1+x)}{1+x - 1} = \frac{1}{\frac{e^{\ln(1+x)} - 1}{\ln(1+x)}}. \end{equation*}

Ze spojitosti logaritmu víme, že $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln(x+1) = 0$. Věta o limitě složené funkce (Věta 6.4) a rovnice (7.1) ihned dávají kýžený výsledek.

$\square$

V předchozích částech jsme se již zabývali limitami součtů, součinů a podílů funkcí (a posloupností) a dále limitami složených funkcí. V následující podkapitole se podrobněji podíváme na výpočet limit tvaru $f(x)^{g(x)}$. Nyní začneme speciálním případem, kdy základ $f(x) = 1 + \frac{1}{x}$ jde k $1$ a exponent $g(x) = x$ do $+\infty$, případně $-\infty$. Po prvním zamyšlení by člověka napadlo, že limita takovéto funkce bude rovna $1$. Následující lemma nás ovšem vyvádí z omylu.

Lemma 7.2 (O limitě $(1+1/x)^x$ v nekonečnu)

Limita funkce $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ je rovna $\mathrm{e}$ v $+\infty$ i $-\infty$, tj.

\begin{equation*} \lim_{x\to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x} \right)^x = \mathrm{e}\quad \text{a}\quad \lim_{x\to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x} \right)^x = \mathrm{e}. \end{equation*}

Zobrazit důkaz

Opět zkoumaný výraz nejprve upravme (definice $a^x$),

\begin{equation*} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = \mathrm{e}^{x \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right)}. \end{equation*}

Díky spojitosti exponenciály stačí zkoumat limitu jejího argumentu. Pro ten však platí

\begin{equation*} x \ln \left( 1+ \frac{1}{x} \right) = \frac{\ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right)}{ \frac{1}{x} }. \end{equation*}

O funkci $\frac{1}{x}$ víme, že má limitu v $+\infty$ i v $-\infty$ rovnou $0$. Z předchozího Lemmatu 7.1 a věty o limitě složené funkce (Věta č. 6.4) pak dostáváme

\begin{equation*} \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right)}{ \frac{1}{x} } = 1\quad \text{a}\quad \lim_{x\to-\infty} \frac{\ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right)}{ \frac{1}{x} } = 1. \end{equation*}

Tudíž

\begin{equation*} \lim_{x\to +\infty} \Big(1 + \frac{1}{x} \Big)^x = \mathrm{e}^1 = \mathrm{e} \quad \text{a}\quad \lim_{x\to -\infty} \Big(1 + \frac{1}{x} \Big)^x = \mathrm{e}^1 = \mathrm{e}. \end{equation*}

Tím je důkaz obou tvrzení dokončen.

$\square$

Obrázek 7.8: Ilustrace k Lemmatu 7.2, graf funkce $f(x) = (1+1/x)^x$.
Poznámka 7.6

Tento výsledek je často při prvním setkání překvapivý. Naivní intuice studentů je typicky takováto: základ jde k $1$ a $1^\infty$ (ať jedničku násobím kolikrát chci) je jednička. Předchozí Lemma odhaluje tuto intuici jako chybnou.

V čem je problém? Když například uvažujeme libovolné kladné $x$, tak $1 + \frac{1}{x}$ je vždy ostře větší než $1$ a se zvětšujícím se $x$ se zmenšuje a blíží shora k $1$. Naopak ale když pak toto číslo umocňujeme na (stále větší a větší) kladné $x$, tak se od $1$ vzdalujeme (pokud $z > 1$ pak $z^2 > z$). Základ se tedy snaží dostat k jedné, ale umocňování ho od jedné vzdaluje. Výsledek pak záleží na tom, která z těchto tendencí je silnější. Podrobně se tomuto jevu budeme věnovat v následující podkapitole 7.7.

Pro posloupnosti pak na základě předchozího lemmatu dostáváme následující důsledek.

Důsledek 7.2 (O limitě $(1 + 1/n)^n$)

Pro libovolnou posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ splňující $\displaystyle\lim_{n\to\infty} |a_n| = +\infty$ platí

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{a_n} \right)^{a_n} = \mathrm{e}. \end{equation*}

Speciálně platí

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = \mathrm{e}. \end{equation*}

Zobrazit důkaz

V důsledku Lemmatu 7.2 a Heineho věty 5.4 dostáváme

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{|a_n|} \right)^{|a_n|} = \mathrm{e} \quad \text{a}\quad \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{-|a_n|} \right)^{-|a_n|} = \mathrm{e}. \end{equation*}

Vezměme nyní libovolné $\veps > 0$. Z platnosti předchozích limit plyne existence $m_0 \in \mathbb N$ a $k_0 \in \mathbb N$ takových, že pro každé $n > m_0$ platí

\begin{equation*} \left|\left( 1 + \frac{1}{|a_n|} \right)^{|a_n|} - \mathrm{e}\right| < \veps \end{equation*}

a pro každé $n > k_0$ platí

\begin{equation*} \left|\left( 1 + \frac{1}{-|a_n|} \right)^{-|a_n|} - \mathrm{e}\right| < \veps. \end{equation*}

Položme $n_0 = \max(m_0,k_0)$. Pro každé $n \in \mathbb N$ je $a_n = |a_n|$ nebo $a_n = -|a_n|$. Tudíž pro každé $n > n_0$ dostáváme

\begin{equation*} \left|\left( 1 + \frac{1}{a_n} \right)^{a_n} - \mathrm{e}\right| < \veps, \end{equation*}

čímž je tvrzení dokázáno přímo z definice.

$\square$

Dalším zajímavým důsledkem je následující vyjádření exponenciální funkce.

Důsledek 7.3 (O limitě $(1+\alpha/x)^x$ v nekonečnu)

Pro libovolné $\alpha \in \R$ lze pomocí limity vyjádřit exponenciálu následovně

\begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{\alpha}{x} \right)^{x} = \mathrm{e}^\alpha \quad \text{a} \quad \lim_{x \to -\infty} \left( 1 + \frac{\alpha}{x} \right)^{x} = \mathrm{e}^\alpha. \end{equation*}

Zobrazit důkaz

Pro $\alpha = 0$ je tvrzení triviální (limita konstantní funkce s hodnotou $1$). Pro $\alpha \neq 0$ tento fakt snadno nahlédneme pomocí následující úpravy

\begin{equation*} \left(1 + \frac{\alpha}{x} \right)^x = e^{\alpha \cdot \frac{\ln(1 + \alpha / x)}{\alpha / x}} \end{equation*}

Pro $x$ jdoucí do $+\infty$ nebo $-\infty$ již víme, že výraz na pravé straně této rovnosti konverguje k $e^{\alpha \cdot 1} = e^\alpha$.

$\square$

Na závěr této podkapitoly vypočtěme pár příkladů.

Příklad 7.11

Vypočtěte limitu funkce

\begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{e^{\sin 2x} - e^{\sin x}}{\sin x}. \end{equation*}

Zobrazit řešení

Výraz nejprve upravíme,

\begin{equation*} \frac{e^{\sin 2x} - e^{\sin x}}{\sin x} = \frac{e^{\sin 2x} - 1}{\sin 2x} \cdot \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2x}{\sin x} - \frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x}. \end{equation*}

Použijeme-li nyní větu o limitě složené funkce a známé limity, pak

\begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{e^{\sin 2x} - e^{\sin x}}{\sin x} = 1\cdot 1 \cdot 2 - 1 = 1. \end{equation*}

Příklad 7.12

Vypočtěte limitu funkce

\begin{equation*} \lim_{x\to 1} \left( 2 - x \right)^{\frac{1}{x-1}}. \end{equation*}

Zobrazit řešení

Opět výraz nejprve upravme pomocí exponenciální funkce

\begin{equation*} \left( 2 - x \right)^{\frac{1}{x-1}} = \ee^{\frac{\ln(2 - x)}{x - 1}} = \ee^{-\frac{\ln(1 + (1 - x))}{1 - x}}. \end{equation*}

Funkce v argumentu exponenciály má za limitu $-1$ (ano, stačí použít větu o limitě složené funkce s vnější funkcí $\frac{\ln(1+x)}{x}$ a vnitřní funkcí $1 - x$). Použijeme-li nyní větu o limitě složené funkce a známé limity, pak

\begin{equation*} \lim_{x\to 1} \left( 2 - x \right)^{\frac{1}{x-1}} = \ee^{-1} = \frac{1}{\ee}. \end{equation*}