Posloupnosti, jakožto speciální případy funkcí, automaticky získávají celou řadu vlastností zavedených v předchozí kapitole. S posloupnostmi dále můžeme přirozeně provádět algebraické operace ve smyslu Definice 3.2, jen u dělení musíme být jako obvykle opatrní. Množinu všech reálných číselných posloupností značíme $\R^\infty$.
Podobně jako u funkcí (viz Definice 3.8 a 3.9), máme několik typů posloupností podle vlastností jejich sousedních členů23. V našem pojetí jsou posloupnosti speciálním případem funkcí a tak se následující definice může zdát redundantní. Pro úplnost ji zde ale uvádíme. Rozmyslete si, že není v rozporu s Definicemi 3.8 a 3.9 (tj. že každá ostře rostoucí posloupnost je i ostře rostoucí jakožto funkce atd.).
Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ je rostoucí (resp. klesající) pokud $a_n \leq a_{n+1}$ (resp. $a_n \geq a_{n+1}$) pro každé $n\in\N$. Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ je ostře rostoucí (resp. ostře klesající) pokud $a_n < a_{n+1}$ (resp. $a_n > a_{n+1}$) pro každé $n\in\N$. Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ nazýváme monotónní jestliže je rostoucí nebo klesající. Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ nazýváme ryze monotónní jestliže je ostře rostoucí nebo ostře klesající.
Různí autoři používají dále termín „neklesající“ místo našeho „rostoucí“ (a podobně „nerostoucí“ v případě „klesající“). V tomto textu a v předmětech BI-MA1 i BI-MA2 se budeme důrazně držet názvosloví zavedeného v Definici 4.2.
Všimněte si, že různé typy monotonie v předchozí definici zavádíme čistě jako vlastnosti celé posloupnosti.
Dále se nám při diskuzi o posloupnostech může hodit pojem konstantní posloupnosti. Patrně je jasné co si pod ním představit, ale pro úplnost si ho formálně zavedeme.
Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ nazýváme konstantní, právě když existuje konstanta $c\in\R$ splňující $a_n = c$ pro každé $n\in\N$.
Posloupnost $\big(\sin(5)\big)_{n=1}^\infty$ je konstantní, každý její člen je roven číslu $\sin(5)$. Naproti tomu posloupnost $(n)_{n=1}^\infty$ není konstantní, její první člen je roven číslu $1$ a druhý číslu $2$, třetí člen je roven číslu $3$, atd.
Rozmysleme si následující jednoduché tvrzení: posloupnost je konstantní, právě když je současně rostoucí i klesající.
Tvrzení má formu ekvivalence. K jeho důkazu proto dokážeme obě implikace.
Důkaz $\Rightarrow$: Předpokládejme, že máme konstantní posloupnost $a_n = c$, $n\in\N$, kde $c$ je reálná konstanta. Potom jistě platí $a_{n+1} = c \geq c = a_n$ pro každé $n\in\N$. Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ je proto dle Definice 4.2 rostoucí. Stejný argument ukazuje, že se jedná i o klesající posloupnost.
Důkaz $\Leftarrow$: Naopak nyní předpokládejme, že máme posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$, která je rostoucí i klesající zároveň. Dle Definice 4.2 tedy platí nerovnosti $a_n \geq a_{n+1} \geq a_n$ pro každé $n\in\N$. To je možné pouze v případě, že platí $a_n = a_{n+1}$ pro každé $n\in\N$. Jinak řečeno, $a_n = a_1$ pro každé $n\in\N$ a posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ je tedy konstantní. Číslo $a_1$ hraji roli konstanty $c$ v definici konstantní posloupnosti.
Pokud máme pomocí definice rozhodnout jakého (a jestli vůbec) typu zadaná posloupnost je, musíme ověřit/vyvrátit podmínky uvedené v Definici 4.2. To samo o sobě může být komplikovaná úloha závisející na zadané posloupnosti. Ukažme si to na jednoduchých příkladech.
Uvažme posloupnost $a_n = (n+1)^2 - n^2$, $n\in\N$. Rozhodněte o případném typu její monotonie.
Nejprve je vhodné výraz lehce upravit,
Tato posloupnost je ostře rostoucí, protože
a tedy není klesající, ale je i rostoucí.
Uvažme následující posloupnost: pro zadané $n\in\N$ nechť $b_n$ označuje největší faktor v prvočíselném rozkladu čísla $n \geq 2$, resp. $1$ pro $n = 1$. Rozhodněte o případném typu její monotonie.
Rozmysleme si nejprve definici posloupnosti $(b_n)_{n=1}^\infty$ prozkoumáním prvních několika členů:
Vidíme, že $b_1 < b_2$, ale $b_3 > b_4$. Proto nemůže platit ani jedna z podmínek v Definici 4.2. Uvedená posloupnost proto není (ostře) rostoucí ani (ostře) klesající.
Uvažme posloupnost $c_n = n^2 - n$, $n\in\N$. Rozhodněte o případném typu její monotonie.
Prvních několik členů má hodnotu
„Zdá se“, že posloupnost bude ostře rostoucí. To ale nemůžeme tvrdit na základě porovnání jejích prvních čtyř členů! Srovnejte to se situací v předchozím příkladě, kde jsme růst/klesání vyvraceli. Nyní ho chceme prokázat, musíme proto ověřit platnost nerovnosti $a_n < a_{n+1}$ pro všechna $n\in\N$. Tato nerovnost je v našem konkrétním případě ekvivalentní nerovnosti
Po jednoduchých ekvivalentních úpravách získáváme nerovnost
která je očividně pravdivá (dvojnásobek libovolného přirozeného čísla je jistě kladný). Posloupnost $(c_n)_{n=1}^\infty$ je proto ostře rostoucí.
Uvažme posloupnost s členy $b_n = n^2 - 8n$, $n\in\N$. Rozhodněte o případném typu její monotonie.
Pokud se nyní podíváme na několik prvních pár členů, pak dostaneme
Pouze z těchto prvních členů by se mohlo zdát, že jde o ostře klesající posloupnost. Pro každé přirozené $n$ je ale nerovnost
ekvivalentní nerovnosti
která jistě neplatí pro všechna $n$. Konkrétně platí pro $n=1,2,3$, která jsme shodou okolností použili výše. Pro zbývající přirozená $n$ už platí opačná ostrá nerovnost.
Tato posloupnost proto není monotonní. Ano, toto pozorování se dá odtušit ze samotného zadání a pak ho prokázat spočtením tří vhodných členů.
Mějme rostoucí posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$ a $(b_n)_{n=1}^\infty$. Která z následujících posloupností je nutně rostoucí?
$(a_n + 3 b_n)_{n=1}^\infty$
$(1000 a_n - b_n)_{n=1}^\infty$
$(a_n \cdot b_n)_{n=1}^\infty$
$\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n=1}^\infty$
a. je rostoucí, b. nemusí být rostoucí, např. $a_n = 0$, $b_n = n$, c. nemusí být rostoucí, např. $a_n = -1$, $b_n = n$, d. nemusí být ani dobře definována, natož rostoucí.
Protože každá posloupnost je současně i funkce, máme i pro posloupnosti koncept „omezenosti“, viz Definici 3.6. Pro úplnost tento pojem explicitně zavádíme i pro posloupnosti.
Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ nazýváme omezenou, právě když existuje konstanta $K > 0$ taková, že pro všechna $n \in \N$ platí nerovnost $|a_n| < K$. Posloupnost, která není omezená, nazýváme neomezenou.
Která z posloupností na Obrázku 4.2 je omezená a která je neomezená?
$(a_n)_{n=1}^\infty$ a $(c_n)_{n=1}^\infty$ jsou omezené, $(b_n)_{n=1}^\infty$ je neomezená.
Zobrazení množiny přirozených čísel $\N$ do množiny reálných čísel $\R$ nazýváme reálná číselná posloupnost (pokud nebude hrozit zmatení, budeme zkráceně mluvit o posloupnosti).
Zobrazení množiny přirozených čísel $\N$ do množiny reálných čísel $\R$ nazýváme reálná číselná posloupnost (pokud nebude hrozit zmatení, budeme zkráceně mluvit o posloupnosti).
Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ nazýváme konstantní, právě když existuje konstanta $c\in\R$ splňující $a_n = c$ pro každé $n\in\N$.
Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ je rostoucí (resp. klesající) pokud $a_n \leq a_{n+1}$ (resp. $a_n \geq a_{n+1}$) pro každé $n\in\N$. Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ je ostře rostoucí (resp. ostře klesající) pokud $a_n < a_{n+1}$ (resp. $a_n > a_{n+1}$) pro každé $n\in\N$. Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ nazýváme monotónní jestliže je rostoucí nebo klesající. Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ nazýváme ryze monotónní jestliže je ostře rostoucí nebo ostře klesající.
Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ nazýváme konstantní, právě když existuje konstanta $c\in\R$ splňující $a_n = c$ pro každé $n\in\N$.
Zobrazení množiny přirozených čísel $\N$ do množiny reálných čísel $\R$ nazýváme reálná číselná posloupnost (pokud nebude hrozit zmatení, budeme zkráceně mluvit o posloupnosti).