Pro budoucí úvahy týkající se limit posloupností i funkcí je výhodné formálně rozšířit reálnou osu o dva další prvky „ležící v nekonečnu“ označované symboly „$+\infty$“ a „$-\infty$“.
Množinu reálných čísel spolu se symboly $+\infty$ a $-\infty$, tj. množinu $\R \cup \{+\infty, -\infty\}$, nazýváme rozšířenou množinou reálných čísel (případně též rozšířenou reálnou osou) a značíme ji symbolem $\eR$.
Každý prvek množiny $\eR$ je tedy buď reálné číslo, nebo jeden ze symbolů $+\infty$, $-\infty$. Na tyto body se můžeme dívat jako na idealizované „konce“ číselné osy („kompaktifikace“ $\R$). Nejčastěji o nich mluvíme jako o „plus nekonečnu“ a „minus nekonečnu“.
Na množině $\eR$ přirozeně a intuitivně zavádíme uspořádání následujícím způsobem: $a < +\infty$ pro každé $a\in\R\cup\{-\infty\}$ a $-\infty < a$ pro každé $a\in\R\cup\{+\infty\}$. Například platí $\pi < +\infty$, $6 > -\infty$ nebo $-\infty < +\infty$. Množina $\eR$ je tedy úplně uspořádaná, stejně jako $\R$ (nebo $\Q$).
Při počítání limit budeme chtít provádět algebraické operace nejen s reálnými čísly, ale i s některými výrazy obsahujícími právě zavedené symboly nekonečen. Proto musíme rozšířit i algebraické operace sčítání a násobení na $\eR$, tím se zabývá následující definice.
Nechť $a\in\eR$, v závislosti na jeho hodnotě klademe
Dále klademe $\frac{1}{+\infty} = \frac{1}{-\infty} \ceq 0$. Rozdíl definujeme vztahem $a-b \ceq a+(-b)$, podíl $\frac{a}{b} \ceq a\cdot\frac{1}{b}$, pouze v případě že výraz na pravé straně má smysl jakožto operace mezi reálnými čísly nebo je definován výše. Konečně pak $-(+\infty) \ceq -\infty$, $-(-\infty)\ceq+\infty$, $\left|+\infty\right| = \left|-\infty\right| \ceq +\infty$, $\sqrt[k]{+\infty}\ceq+\infty$ a $\sqrt[2k-1]{-\infty} \ceq -\infty$ pro libovolné $k\in\N$.
Motivací pro tuto definici je hlavně věta O limitě součtu, součinu a podílu (Věta 6.1), ke které se dostaneme později během semestru. Při druhém čtení doporučujeme na tomto místě čtenáři si rovnou připomenout poznámky u zmíněné věty.
Ukažme si nyní konkrétní příklad operací, které nyní můžeme v $\eR$ provádět.
Například tak v $\eR$ platí
Doporučuji v každé z těchto rovností rozmyslet, který bod v Definici 2.3 byl použit.
Pozor! Množina $\eR$ vybavená operacemi uvedenými v Definici 2.3 již netvoří těleso. Algebraické operace jsme totiž (z dobrých důvodů, jak uvidíme později) ani nedefinovali pro všechny možné hodnoty operandů.
Nedefinovány zůstávají mimo jiné následující výrazy:
Opravdu, v žádném z bodů Definice 2.3 nejsou takovéto situace definovány.
Patří symbol „$\infty$“ do množiny $\eR$?
Ne, do $\eR$ dle definice nepatří. Prvkem $\eR$ je buď reálné číslo, nebo „$+\infty$“ a „$-\infty$“.
Jaká je hodnota výrazu
Pečlivě svou odpověď zdůvodněte pomocí Definice 2.3.
$-\infty$.
Množinu reálných čísel $\R$ chápeme jako číselné těleso $(\R, +, \cdot)$, které je vybavené úplným uspořádáním $<$ a které splňuje axiom úplnosti.