4.2 Vlastnosti posloupností

Posloupnosti, jakožto speciální případy funkcí, automaticky získávají celou řadu vlastností zavedených v předchozí kapitole. S posloupnostmi dále můžeme přirozeně provádět algebraické operace ve smyslu Definice 3.2, jen u dělení musíme být jako obvykle opatrní. Množinu všech reálných číselných posloupností značíme $\R^\infty$.

Podobně jako u funkcí (viz Definice 3.83.9), máme několik typů posloupností podle vlastností jejich sousedních členů23. V našem pojetí jsou posloupnosti speciálním případem funkcí a tak se následující definice může zdát redundantní. Pro úplnost ji zde ale uvádíme. Rozmyslete si, že není v rozporu s Definicemi 3.83.9 (tj. že každá ostře rostoucí posloupnost je i ostře rostoucí jakožto funkce atd.).

Definice 4.2 (Typy monotonie posloupností)

Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ je rostoucí (resp. klesající) pokud $a_n \leq a_{n+1}$ (resp. $a_n \geq a_{n+1}$) pro každé $n\in\N$. Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ je ostře rostoucí (resp. ostře klesající) pokud $a_n < a_{n+1}$ (resp. $a_n > a_{n+1}$) pro každé $n\in\N$. Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ nazýváme monotónní jestliže je rostoucí nebo klesající. Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ nazýváme ryze monotónní jestliže je ostře rostoucí nebo ostře klesající.

Různí autoři používají dále termín „neklesající“ místo našeho „rostoucí“ (a podobně „nerostoucí“ v případě „klesající“). V tomto textu a v předmětech  BI-MA1 BI-MA2 se budeme důrazně držet názvosloví zavedeného v Definici 4.2.

Varování 4.1

Všimněte si, že různé typy monotonie v předchozí definici zavádíme čistě jako vlastnosti celé posloupnosti.

Dále se nám při diskuzi o posloupnostech může hodit pojem konstantní posloupnosti. Patrně je jasné co si pod ním představit, ale pro úplnost si ho formálně zavedeme.

Definice 4.3 (Konstantní posloupnost)

Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ nazýváme konstantní, právě když existuje konstanta $c\in\R$ splňující $a_n = c$ pro každé $n\in\N$.

Příklad 4.2

Posloupnost $\big(\sin(5)\big)_{n=1}^\infty$ je konstantní, každý její člen je roven číslu $\sin(5)$. Naproti tomu posloupnost $(n)_{n=1}^\infty$ není konstantní, její první člen je roven číslu $1$ a druhý číslu $2$, třetí člen je roven číslu $3$, atd.

Příklad 4.3

Rozmysleme si následující jednoduché tvrzení: posloupnost je konstantní, právě když je současně rostoucí i klesající.

Zobrazit řešení

Tvrzení má formu ekvivalence. K jeho důkazu proto dokážeme obě implikace.

Důkaz $\Rightarrow$: Předpokládejme, že máme konstantní posloupnost $a_n = c$, $n\in\N$, kde $c$ je reálná konstanta. Potom jistě platí $a_{n+1} = c \geq c = a_n$ pro každé $n\in\N$. Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ je proto dle Definice 4.2 rostoucí. Stejný argument ukazuje, že se jedná i o klesající posloupnost.

Důkaz $\Leftarrow$: Naopak nyní předpokládejme, že máme posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$, která je rostoucí i klesající zároveň. Dle Definice 4.2 tedy platí nerovnosti $a_n \geq a_{n+1} \geq a_n$ pro každé $n\in\N$. To je možné pouze v případě, že platí $a_n = a_{n+1}$ pro každé $n\in\N$. Jinak řečeno, $a_n = a_1$ pro každé $n\in\N$ a posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ je tedy konstantní. Číslo $a_1$ hraji roli konstanty $c$ v definici konstantní posloupnosti.

Otázka 4.4

Rozmyslete si, které posloupnosti uvedené na Obrázku 4.2 jsou rostoucí, klesající, ostře rostoucí, ostře klesající, či monotónní.

Zobrazit odpověď

$(a_n)_{n=1}^\infty$ je konstantní, tedy současně rostoucí i klesající, $(b_n)_{n=1}^\infty$ je klesající, $(c_n)_{n=1}^\infty$ není ani jednoho typu z definice 4.2.

Obrázek 4.2: Tři posloupnosti uvedené v Otázce 4.4.

Pokud máme pomocí definice rozhodnout jakého (a jestli vůbec) typu zadaná posloupnost je, musíme ověřit/vyvrátit podmínky uvedené v Definici 4.2. To samo o sobě může být komplikovaná úloha závisející na zadané posloupnosti. Ukažme si to na jednoduchých příkladech.

Příklad 4.4

Uvažme posloupnost $a_n = (n+1)^2 - n^2$, $n\in\N$. Rozhodněte o případném typu její monotonie.

Zobrazit řešení

Nejprve je vhodné výraz lehce upravit,

\begin{equation*} a_n = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1, \quad n\in\N. \end{equation*}

Tato posloupnost je ostře rostoucí, protože

\begin{equation*} a_{n+1} = 2(n+1) + 1 = 2n + 1 + 2 > 2n + 1 = a_n, \quad n\in\N, \end{equation*}

a tedy není klesající, ale je i rostoucí.

Příklad 4.5

Uvažme následující posloupnost: pro zadané $n\in\N$ nechť $b_n$ označuje největší faktor v prvočíselném rozkladu čísla $n \geq 2$, resp. $1$ pro $n = 1$. Rozhodněte o případném typu její monotonie.

Zobrazit řešení

Rozmysleme si nejprve definici posloupnosti $(b_n)_{n=1}^\infty$ prozkoumáním prvních několika členů:

\begin{align*} 1 = 1 &\Rightarrow b_1 = 1, \\ 2 = 2 &\Rightarrow b_2 = 2, \\ 3 = 3 &\Rightarrow b_3 = 3, \\ 4 = 2\cdot 2 &\Rightarrow b_4 = 2.\end{align*}

Vidíme, že $b_1 < b_2$, ale $b_3 > b_4$. Proto nemůže platit ani jedna z podmínek v Definici 4.2. Uvedená posloupnost proto není (ostře) rostoucí ani (ostře) klesající.

Příklad 4.6

Uvažme posloupnost $c_n = n^2 - n$, $n\in\N$. Rozhodněte o případném typu její monotonie.

Zobrazit řešení

Prvních několik členů má hodnotu

\begin{equation*} c_1 = 0, \quad c_2 = 2, \quad c_3 = 6, \quad c_4 = 12. \end{equation*}

„Zdá se“, že posloupnost bude ostře rostoucí. To ale nemůžeme tvrdit na základě porovnání jejích prvních čtyř členů! Srovnejte to se situací v předchozím příkladě, kde jsme růst/klesání vyvraceli. Nyní ho chceme prokázat, musíme proto ověřit platnost nerovnosti $a_n < a_{n+1}$ pro všechna $n\in\N$. Tato nerovnost je v našem konkrétním případě ekvivalentní nerovnosti

\begin{equation*} n^2 - n < (n+1)^2 - (n + 1), \quad n\in\N. \end{equation*}

Po jednoduchých ekvivalentních úpravách získáváme nerovnost

\begin{equation*} 0 < 2n, \quad n\in\N, \end{equation*}

která je očividně pravdivá (dvojnásobek libovolného přirozeného čísla je jistě kladný). Posloupnost $(c_n)_{n=1}^\infty$ je proto ostře rostoucí.

Příklad 4.7

Uvažme posloupnost s členy $b_n = n^2 - 8n$, $n\in\N$. Rozhodněte o případném typu její monotonie.

Zobrazit řešení

Pokud se nyní podíváme na několik prvních pár členů, pak dostaneme

\begin{equation*} b_1 = -7, \quad b_2 = -12, \quad b_3 = -15. \end{equation*}

Pouze z těchto prvních členů by se mohlo zdát, že jde o ostře klesající posloupnost. Pro každé přirozené $n$ je ale nerovnost

\begin{equation*} b_n > b_{n+1} \end{equation*}

ekvivalentní nerovnosti

\begin{equation*} n < \frac{7}{2}, \end{equation*}

která jistě neplatí pro všechna $n$. Konkrétně platí pro $n=1,2,3$, která jsme shodou okolností použili výše. Pro zbývající přirozená $n$ už platí opačná ostrá nerovnost.

Tato posloupnost proto není monotonní. Ano, toto pozorování se dá odtušit ze samotného zadání a pak ho prokázat spočtením tří vhodných členů.

Otázka 4.5

Mějme rostoucí posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$ a $(b_n)_{n=1}^\infty$. Která z následujících posloupností je nutně rostoucí?

  1. $(a_n + 3 b_n)_{n=1}^\infty$

  2. $(1000 a_n - b_n)_{n=1}^\infty$

  3. $(a_n \cdot b_n)_{n=1}^\infty$

  4. $\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n=1}^\infty$

Zobrazit odpověď

a. je rostoucí, b. nemusí být rostoucí, např. $a_n = 0$, $b_n = n$, c. nemusí být rostoucí, např. $a_n = -1$, $b_n = n$, d. nemusí být ani dobře definována, natož rostoucí.

Protože každá posloupnost je současně i funkce, máme i pro posloupnosti koncept „omezenosti“, viz Definici 3.6. Pro úplnost tento pojem explicitně zavádíme i pro posloupnosti.

Definice 4.4 (Omezená posloupnost / bounded sequence)

Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ nazýváme omezenou, právě když existuje konstanta $K > 0$ taková, že pro všechna $n \in \N$ platí nerovnost $|a_n| < K$. Posloupnost, která není omezená, nazýváme neomezenou.

Otázka 4.6

Která z posloupností na Obrázku 4.2 je omezená a která je neomezená?

Zobrazit odpověď

$(a_n)_{n=1}^\infty$ a $(c_n)_{n=1}^\infty$ jsou omezené, $(b_n)_{n=1}^\infty$ je neomezená.