6 Výpočet limit posloupností a funkcí

V předchozí kapitole jsme zavedli pojem limity a ukázali jeho základní vlastnosti. Také jsme vypočetli celou řadu limit jednoduchých funkcí a posloupností. V této kapitole si ukážeme, jak tyto základní výsledky využívat při výpočtu komplikovanějších limit.

Poznámka 6.1 (Zjednodušující poznámka)

Naše definice limity funkce (Definice 5.2) je záměrně obecná a využívá pojmu hromadného bodu (Definice 2.9). U funkcí, na které typicky narazíme, budeme počítat limity v bodech $a$, na jejichž (jednostranných) okolích, s případnou výjimkou bodu $a$, jsou funkce definovány. Například, máme-li

\begin{equation*} f(x) = \ln(x) \quad \text{a} \quad g(x) = \frac{\sin(x - 2)}{x - 2}, \end{equation*}

pak nás může zajímat limita $f$ v bodě $0$ zprava ($f$ je definována na $(0, 1) = U_0^+(1) \smallsetminus \{0\}$) nebo limita $g$ v bodě $2$ ($g$ je definována na $(1,3) \smallsetminus \{2\} = U_2(1) \smallsetminus \{2\}$). Samozřejmě by nás u obou funkcí mohla zajímat třeba i limita v bodě $10$, jehož celé okolí o poloměru třeba $1$ patří do příslušných definičních oborů.

Je dobré si rozmyslet, jaké důsledky tato situace má. Je-li funkce $f$ definována na okolí bodu $a \in \R$, s možnou výjimkou bodu $a$ (tj. $U_a(\varepsilon) \subset D_f$ nebo $U_a(\varepsilon) \smallsetminus \{a\} \subset D_f$, pro nějaké $\varepsilon > 0$), pak je bod $a$ automaticky hromadným bodem množiny $D_f$. Máme-li dvě takovéto funkce, tak i jejich součet a součin má takovouto vlastnost.

6.1 Věta o limitě součtu/součinu/podílu

6.2 Nerovnosti a limity

6.3 Věta o limitě složené funkce

6.4 Výpočet limit dalších význačných posloupností

6.5 Podílové kritérium pro posloupnosti