Přímo z definice limity posloupnosti ihned nahlédneme následující pozorování, které pro jeho důležitost ale formulujeme jako větu.
Nechť posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ má limitu $\alpha\in\overline{\mathbb{R}}$. Pak každá podposloupnost vybraná z $(a_n)_{n=1}^\infty$ má také limitu $\alpha$.
Platí $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{4n! + n^2} = 0$. Posloupnost $\Big(\frac{1}{4n!+n^2}\Big)_{n=1}^\infty$ je totiž vybraná posloupnost z $\Big(\frac{1}{n}\Big)_{n=1}^\infty$ a již víme, že $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$.
Lze-li z posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$ vybrat dvě podposloupnosti s různými limitami, pak limita původní posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$ neexistuje.
Pomocí podposloupností tak můžeme prozkoumávat limitní chování komplikovanějších posloupností. Tento důsledek v kombinaci s Větou 5.6 implikuje následující pozorování:
Má-li posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ alespoň dva různé hromadné body, pak nemá limitu.
Limita posloupnosti $\big( (-1)^n \big)_{n=1}^\infty$ neexistuje.
Vybereme podposloupnosti se sudými a lichými indexy. Tj. položíme $k_n \ceq 2n$ a $\ell_n \ceq 2n - 1$ pro $n=1,2,\ldots$ Potom obě odpovídající vybrané podposloupnosti jsou konstantní s různými limitami:
Také vidíme, že tato posloupnost má dva hromadné body.
V tomto příkladu ukážeme, že limita posloupnosti $(\sin n)_{n=1}^\infty$ neexistuje. Srovnejte tento příklad s Příkladem 5.14.
K tomu dospějeme sporem. Předpokládejme, že limita této posloupnosti existuje a označme ji $\alpha \in \overline{\R}$, tedy
Protože nerovnost $-1 \leq \sin n \leq 1$ platí pro všechna $n\in\N$, je jistě $\alpha \in \langle -1,1\rangle$ (speciálně, není to některé z nekonečen).
Protože je posloupnost $(\sin 2n)_{n=1}^\infty$ vybraná z posloupnosti $(\sin n)_{n=1}^\infty$, má dle věty o limitě vybrané posloupnosti také za limitu $\alpha$. Ze známých trigonometrických vzorců nyní plyne následující vztah
a proto posloupnost $(\cos 2n)_{n=1}^\infty$ má za limitu $1-2\alpha^2$. Odtud ovšem plyne, s využitím součtových vzorců pro funkci $\sin$, že
protože $(\sin(2n+2))_{n=1}^\infty$, resp. $(\cos(2n+2))_{n=1}^\infty$, jsou vybrané z $(\sin 2n)_{n=1}^\infty$, resp. $(\cos 2n)_{n=1}^\infty$. Celkem jsme dospěli k rovnosti $\sin 2 = 0$, což je spor.
Zobrazení množiny přirozených čísel $\N$ do množiny reálných čísel $\R$ nazýváme reálná číselná posloupnost (pokud nebude hrozit zmatení, budeme zkráceně mluvit o posloupnosti).
Reálná posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ má limitu $\alpha\in\overline{\R}$, právě když pro každé okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ lze nalézt $N \in\N$ takové, že pro všechna $n\in\N$ větší nebo rovno než $N$ platí $a_n\in U_\alpha$. V symbolech
Tuto skutečnost můžeme zapsat několika možnými ekvivalentními způsoby:
Nechť $(a_n)_{n=1}^\infty$ je libovolná posloupnost a $(k_n)_{n=1}^\infty$ je ostře rostoucí posloupnost přirozených čísel. Pak posloupnost $(a_{k_n})_{n=1}^\infty$ nazýváme posloupností vybranou z posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$. Posloupnost $(a_{k_n})_{n=1}^\infty$ nazýváme také podposloupností posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$.
Nechť posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ má limitu $\alpha\in\overline{\mathbb{R}}$. Pak každá podposloupnost vybraná z $(a_n)_{n=1}^\infty$ má také limitu $\alpha$.