Intuitivně (z geometrické interpretace derivace jako tečny) tušíme, že pokud je derivace funkce kladná na intervalu $I$, pak je funkce rostoucí na intervalu $I$. Pomocí Lagrangeovy věty, kterou zanedlouho zformulujeme, bude snadné správnost této intuice ověřit.
Pozorování: pro „pěknou“ funkci, mající v krajních bodech jistého intervalu stejné funkční hodnoty, existuje uvnitř tohoto intervalu bod, kde má její graf tečnu rovnoběžnou s osou $x$. Viz Obrázek 9.7.
Nechť funkce $f$ splňuje podmínky
$f$ je spojitá na intervalu $\langle a,b \rangle$,
$f$ má derivaci v každém bodě intervalu $(a,b)$,
$f(a) = f(b)$.
Potom existuje $c\in(a,b)$ tak, že $f^{\prime}(c) = 0$.
Pokud je funkce $f$ konstantní na intervalu $\langle a,b\rangle$, pak lze za $c$ volit libovolné číslo z intervalu $(a,b)$.
V případě, že $f$ není konstantní na intervalu $\langle a,b \rangle$, je $f(\langle a,b \rangle) = \langle A,B \rangle$ uzavřený interval (to, jak víme, plyne ze spojitosti $f$, viz Větu 7.6). Existují tedy $\alpha,\beta\in\langle a,b \rangle$ tak, že $A = f(\alpha) < f(\beta) = B$.
Protože $f(a) = f(b)$, leží alespoň jeden z bodů $\alpha$, $\beta$ uvnitř $(a,b)$. Označme tento bod $c$. Funkce $f$ má v bodě $c$ lokální extrém, derivace v tomto bodě existuje, a proto podle Věty 9.2 platí $f'(c) = 0$.
$\square$
Přírůstek funkce $f$ na intervalu $\langle a,b \rangle$ je roven hodnotě $f(b) - f(a)$ (tj. změna funkční hodnoty mezi $a$ a $b$). Lze ho nějak odhadnout, či kontrolovat, pomocí derivace funkce $f$? Odpověď na tuto otázku je obsahem následující věty40.
Nechť funkce $f$ splňuje podmínky
$f$ je spojitá na intervalu $\langle a,b \rangle$,
$f$ má derivaci v každém bodě intervalu $(a,b)$.
Potom existuje bod $c\in(a,b)$ tak, že $\displaystyle f^\prime(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$, nebo ekvivalentně $f(b) - f(a) = f^\prime(c) (b-a)$.
Položme $\displaystyle g(x) \ceq f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a}(x-a)$. Tato funkce je spojitá na $\langle a,b \rangle$, má derivaci v každém bodě intervalu $(a,b)$ a navíc $g(a) = g(b) = f(a)$. Proto podle Rolleovy věty existuje $c\in(a,b)$ tak, že
$\square$
Přírůstek funkce $f$ na intervalu $\langle a,b \rangle$ tak máme vyjádřen pomocí délky daného intervalu a hodnoty derivace funkce $f$. Tvrzení Lagrangeovy věty je existenční, o $c$ pouze víme, že leží někde v intervalu $(a, b)$.
Lagrangeova věta nám umožňuje z vlastností první derivace odvozovat vlastnosti funkce samotné. Například: pokud bychom věděli, že derivace $f'(x)$ je kladná na $(a,b)$, pak i $f'(c) > 0$ ať už je $c$ jaké chce a tudíž $f(b) > f(a)$, protože $f(b) - f(a) = f'(c)(b-a) > 0$! Toto (a analogická) pozorování budou mít důležité důsledky pro monotonii a konvexitu/konkavitu funkce. Systematicky se jimi budeme zabývat ve zbytku této kapitoly. Nejprve ale ještě učiňme odbočku k počítání limit, konkrétně k l'Hospitalově pravidlu, které je důsledkem Rolleovy věty.
Funkce $f$ je spojitá na intervalu $J$, právě když $f\vert_J$ ($f$ zúženo na $J$) je spojitá v každém bodě intervalu $J$. Funkci $f$ nazýváme spojitou, právě když je $f$ spojitá v každém bodě svého definičního oboru. Množinu všech spojitých funkcí definovaných na intervalu $J$ značíme $\mathcal{C}(J)$.
Nechť $f$ je funkce definovaná na okolí bodu $a\in\R$. Pokud existuje limita
nazveme její hodnotu derivací funkce $f$ v bodě $a$ a označíme $f^\prime(a)$. Pokud je tato limita konečná (tj. $f^\prime(a) \in \R$) řekneme, že funkce $f$ je diferencovatelná v bodě $a$.
Funkce $f$ je spojitá na intervalu $J$, právě když $f\vert_J$ ($f$ zúženo na $J$) je spojitá v každém bodě intervalu $J$. Funkci $f$ nazýváme spojitou, právě když je $f$ spojitá v každém bodě svého definičního oboru. Množinu všech spojitých funkcí definovaných na intervalu $J$ značíme $\mathcal{C}(J)$.
Nechť $f$ je funkce definovaná na okolí bodu $a\in\R$. Pokud existuje limita
nazveme její hodnotu derivací funkce $f$ v bodě $a$ a označíme $f^\prime(a)$. Pokud je tato limita konečná (tj. $f^\prime(a) \in \R$) řekneme, že funkce $f$ je diferencovatelná v bodě $a$.
Nechť funkce $f$ splňuje podmínky
$f$ je spojitá na intervalu $\langle a,b \rangle$,
$f$ má derivaci v každém bodě intervalu $(a,b)$,
$f(a) = f(b)$.
Potom existuje $c\in(a,b)$ tak, že $f^{\prime}(c) = 0$.