V tomto textu symbol $\subset$ používáme ve smyslu neostré inkluze, tj. každá množina $A$ je pro nás podmnožinou sama sebe, platí $A \subset A$. Pokud chceme zdůraznit, že dvě množiny v tomto vztahu jsou vzájemně různé, tak použijeme symbolu $\subsetneq$. Tj. žádná množina $A$ nesplní $A \subsetneq A$. V tomto textu tento symbol používáme ale jen velmi výjimečně.
Označme $\N = \{1,2,3,\ldots\}$ množinu přirozených čísel, $\Z = \{\ldots,-2, -1, 0, 1, 2,\ldots\}$ množinu celých čísel a $\Q = \big\{\frac{p}{q} \mid p \in \Z, q \in \N\text{ a } p,q \text{ jsou nesoudělná}\big\}$ množinu racionálních čísel. Na těchto množinách, které jsou v množinovém vztahu $\N \subsetneq \Z \subsetneq \Q$, umíme přirozeně sčítat a násobit, přičemž všechny tři množiny jsou vůči těmto operacím uzavřené4. Tyto operace dále pro každé $a,b,c \in \Q$ (nebo $\Z$ a $\N$) splňují:
V souladu se zažitou konvencí zavádíme přednost násobení před sčítáním a distributivitu, proto bez nebezpečí nedorozumění můžeme zkráceně zapsat také bez uzávorkování na pravé straně, tedy
Priorita operací je v programovacích jazycích známa pod termínem operator precedence. Viz např. prioritu operátorů v jazyce C. Uvědomte si, že bez zavedení této konvence například výraz $3\cdot 5 + 7$ nemá smysl – nelze ho jednoznačně interpretovat. Tento postřeh není vázán pouze na sčítání a násobení reálných čísel. I když tato poznámka může znít triviálně, existuje řada studentů, kteří se ve svých úvahách právě kvůli lajdáckému závorkování dostanou do potíží5.
„Inverzními“ operacemi ke sčítání a násobení jsou odčítání a dělení nenulovým číslem. Vůči nim však nejsou všechny výše uvedené množiny uzavřené. Jak už víme, přirozená čísla můžeme bez omezení pouze sčítat a násobit, aniž bychom množinu přirozených čísel opustili. Celá čísla můžeme bez omezení navíc odčítat a racionální čísla odčítat a dělit jakýmkoli nenulovým racionálním číslem. Znamená to tedy, že v $\Z$ můžeme (jednoznačně) řešit rovnice typu
pro neznámou $x\in\Z$. Toto nelze říct o množině přirozených čísel (rovnice $x + 5 = 3$ pro neznámou $x$ nemá mezi přirozenými čísly řešení). Podobně v $\Q$ můžeme řešit rovnice typu
pro neznámou $x\in\Q$. Toto tvrzení ale neplatí o celých číslech (rovnice $4x=5$ nemá celočíselné řešení $x$).
Za tímto rozšiřováním číselných množin je možné vidět praktickou potřebu popisu stále sofistikovanějších reálných situací. Přirozená čísla nám postačí k popisu počtu stejných objektů (deset krav, jeden vlk atp.). V jejich rámci už ale snadno nevyjádříme např. koncept „dluhu“. Tento problém odstraňují celá čísla. Pomocí celých čísel ale nejsme jednoduše schopni popisovat části celků (půl koláče, tři pětiny senátu atp.). Tento nedostatek odstraňují racionální čísla. S jejich pomocí můžeme snadno pracovat se zlomky (částmi) celků. Za chvilku si ukážeme i motivaci pro přechod od racionálních k reálným číslům. Tento přechod bude motivován v podstatě geometrickými úvahami.
Podívejme se nyní podrobněji na algebraickou6 strukturu racionálních čísel. Mezi racionálními čísly existují čísla $0$ (nula) a $1$ (jedna) splňující
pro každé $a\in\Q$. Dále ke každému $a = \frac{q}{p} \in \Q$ existuje číslo $-a = \frac{-q}{p} \in \Q$ splňující $a + (-a) = (-a) + a = 0$. Podobně, ke každému nenulovému číslu $a = \frac{q}{p} \in \Q$ existuje číslo $a^{-1} = \frac{p \sgn q}{|q|} \in \Q$ splňující $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1$.
V předchozích odstavcích jsme si ukázali, že množina racionálních čísel spolu s operacemi sčítání a násobení splňuje asociativní, distributivní a komutativní zákony, existují v ní prvky $0$ a $1$ a opačné, resp. inverzní, prvky popsané výše. To znamená, že racionální čísla spolu s operacemi sčítání a násobení tvoří číselné těleso. S tímto pojmem jste se již setkali v ( BI-LA1, Definice).
Všechny tyto vlastnosti tělesa $(\Q,+,\cdot)$ lze pomocí grupové terminologie (viz BI-LA1) kompaktně vyjádřit následujícími požadavky:
$(\Q, +)$ je Abelovská grupa s neutrálním prvkem $0$ (nula),
$(\Q \smallsetminus \{0\}, \cdot)$ je Abelovská grupa s neutrálním prvkem $1$ (jednička),
platí distributivita násobení vůči sčítání.
Tvoří přirozená čísla spolu s operacemi sčítání a násobení těleso? A jak je tomu v případě celých čísel?
Přirozená čísla i celá čísla lze sčítat a násobit, jsou splněny asociativní, distributivní i komutativní zákony, ale v přirozených číslech neexistuje $0$ (neutrální prvek vůči sčítání) a v celých číslech k některým nenulovým prvkům neexistují inverze vůči násobení (např. k $3$). Tyto množiny spolu s uvedenými operacemi proto tělesa netvoří.
Vraťme se zpět k racionálním číslům. Vedle výše zmíněných algebraických vlastností mají racionální čísla další zajímavé vlastnosti. Racionální čísla lze porovnávat podle velikosti. Jsou-li $a$ a $b$ racionální čísla, pak zápisem $a < b$ vyjadřujeme, že číslo $a$ je (ostře) menší než číslo $b$, a tuto vlastnost definujeme jako
přičemž pro racionální číslo $c = b - a$ zapsané v základním tvaru jako $c = \frac{p}{q}$ platí $c > 0$, právě když $p, q \in \N$ (čitatel i jmenovatel jsou kladná přirozená čísla). Takto zavedené porovnání (označované symbolem $<$) představuje relaci (ostrého) uspořádání na $\Q$, která je úplná, tj. pro libovolná dvě různá racionální čísla $a$ a $b$ lze rozhodnout, zdali $a < b$, nebo $b < a$. Když $b < a$, tak říkáme, že $a$ je (ostře) větší než $b$, a zapisujeme $a > b$.
Tato relace uspořádání $<$ je svázána s operací sčítání a násobení známými středoškolskými pravidly pro počítání s nerovnicemi. Připomeňme, že pro každé $a,b,c \in \Q$ platí tvrzení
a
Z těchto vlastností lze snadno odvodit další známé vztahy, jako například
a
platné pro každé racionální $a$, $b$ a $c$. Vzpomeňte si na středoškolské úlohy na řešení nerovnic.
Pokud platí nerovnost $a< b$ pro dvě reálná čísla $a,b\in\R$, plyne odtud pak nerovnost $a^2 < b^2$?
Ne, uvažte například $a = -2$ a $b = 1$.
Pomocí výše definovaného uspořádání $<$ na množině racionálních čísel (viz rovnici (2.1) a text hned pod ní) dokažte implikaci (2.2).
Připomeňme definici ostrého uspořádání: pro dvě $a,b\in\Q$ platí $a < b$, právě když $0 < b-a$. Máme-li $a,b,c\in\Q$ a platí $a < b$, pak podmínka $a+c < b+c$ je ekvivalentní podmínce $(b+c) - (a+c) > 0$. S využitím distributivního, asociativního a komutativního zákona a předpokladu $a < b$ dostáváme $(b+c) - (a+c) = (b+c) + (-a-c) = (b-a) + (c-c) = b-a > 0$.
Pomocí výše zmíněné definice uspořádání prvků množiny $\Q$ dokažte, že $\frac{7}{8} < \frac{8}{7}$.
$7^2 = 49 < 8^2 = 64$.
Pomocí uspořádání $<$ můžeme zavést také (neostré) uspořádání $a \leq b$, ekvivalentní platnosti $a < b$ nebo $a = b$. Pod $a \geq b$ máme pak přirozeně na mysli $b \leq a$.
Předpokládejme, že máme racionální čísla $a$ a $b$ splňující $a< b$. Platí potom nutně i nerovnost $a\leq b$?
Ano, podívejte se znovu na definici neostré nerovnosti prvků v $\Q$ (Poznámka 2.3).
Díky existenci úplného uspořádání $<$ na množině $\Q$ si můžeme racionální čísla geometricky představovat jako body na číselné ose, viz Obrázek 2.1. Skutečně, protože umíme každé racionální číslo porovnat s každým jiným racionálním číslem, můžeme je tímto způsobem uspořádat na přímce. Bez tohoto úplného uspořádání bychom k takovémuto lineárnímu znázornění racionálních čísel neměli žádné opodstatnění.
Jak již bylo zmíněno, racionální čísla obvykle graficky znázorňujeme jako body na tzv. číselné ose, tj. na přímce s vyznačeným počátkem odpovídajícím číslu $0$. Na Obrázku 2.1 je tímto způsobem znázorněno uspořádání dvou racionálních čísel a jejich vzdálenost.
V tomto geometrickém znázornění racionálních čísel je každému racionálnímu číslu přiřazen jeden bod na číselné ose. Opak však neplatí. Existují body na této idealizované přímce7, které neodpovídají žádnému racionálnímu číslu. Pokud by číselná osa byla tvořena pouze racionálními čísly, byla by „děravá“. Ilustrujme toto tvrzení na následujícím příkladu.
Neexistuje kladné racionální řešení rovnice $x^2 = 2$. Geometricky toto tvrzení odpovídá nemožnosti popsat bod odpovídající konci úhlopříčky čtverce o straně s velikostí $1$ otočeného o $45^\circ$ a s vrcholem v bodě $0$ pomocí racionálního čísla, viz Obrázek 2.2.
Dokažme toto tvrzení sporem. Předpokládejme opak, tj. že existují nesoudělná $p,q\in\N$ splňující $p/q = \sqrt{2}$. Potom $(p / q)^2 = 2$ a tudíž $p^2$ ($=2q^2$) je nutně sudé číslo, čili i $p$ je sudé. Lze ho proto vyjádřit ve tvaru $p = 2k$, kde $k\in\N$. Potom ale platí $p^2=4k^2=2q^2$, resp. $2k^2 = q^2$. Číslo $q^2$ a tedy i $q$ je proto sudé. To ale znamená, že $p$ a $q$ jsou soudělná (obě jsou dělitelná číslem $2$), což je ale spor s naším předpokladem nesoudělnosti $p$ a $q$.
Dále si povšimněme, že ačkoliv symbol $\sqrt{2}$ pro nás má dobrý geometrický význam (délka úhlopříčky čtverce o straně délky $1$) a označujeme jím kladné reálné řešení algebraické rovnice $x^2 = 2$, tak vůbec v tento okamžik není jasné, jakou má vlastně numerickou hodnotu! Tomuto důležitému tématu se budeme věnovat později během semestru.