11.3 Obraz a vzor množiny při zobrazení

Zobrazení $f\colon A \to B$ prvky množiny $A$ zobrazuje42 na prvky množiny $B$. Často chceme ale sledovat „globálnější“ působení daného zobrazení na celých podmnožinách množiny $A$. Přirozeně se tak dostáváme k následujícím dvěma pojmům, se kterými jste si setkali už v ( BI-DML, Definice). Ovšem pozor, v BI-DML se používá lehce odlišné značení. Není v tom ovšem problém, v daný okamžik byste měli vědět, jestli v kulatých závorkách máte uvedený jeden prvek množiny $B$, nebo jistou její podmnožinu.

Definice 11.6 (Obraz a vzor množiny)

Nechť je dáno zobrazení $f\colon A \to B$. Je-li $E \subset A$, pak množinu

\begin{equation*} f(E) \ceq \href{Množina všech prvků tvaru \(f(x)\) kde \(x\) probíhá celou množinu \(E\).}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\big\{ f(x)\in B \mid x \in E \big\}}} \end{equation*}

nazveme obrazem množiny $E$ při zobrazení $f$. Je-li $G \subset B$, potom množinu

\begin{equation*} f^{-1}(G) \ceq \href{Množina všech \(x\) z množiny \(A\) takových, že \(f(x)\) patří do množiny \(G\).}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\big\{ x \in A \mid f(x) \in G \big\}}} \end{equation*}

nazveme vzorem množiny $G$ při zobrazení $f$.

Symbol pro vzor množiny, $f^{-1}(G)$, je nutno chápat jako nedělitelný. Netvrdíme nic o existenci inverzního zobrazení (tj. $f^{-1}$, viz Definici 11.9 níže). Všimněte si, že obrazem jednoprvkové množiny $\{x\}$ pro nějaké $x \in A$ je $f(\{x\}) = \{f(x)\}$ a tedy jednoprvková množina, opačně tak tomu být nemusí. Obor hodnot zobrazení $f\colon A \to B$ je v této terminologii obrazem definičního oboru, tj. $f(A) = H_f \subset B$.

Příklad 11.2

Mějme zobrazení $f\colon \Z \to \Z$ definované předpisem $f(n) = n^2$ pro každé $n \in D_f = \Z$. Potom platí

\begin{equation*} f\big(\{-1,0,1,2\}\big) = \{ f(-1), f(0), f(1), f(2) \} = \{1, 0, 1, 4 \} = \{0,1,4\}. \end{equation*}

Tento výpočet obrazu množiny v takovémto diskrétním případě je zřejmě poměrně názorný. Pojďme určit vzor množiny $N = \{-1, 0, 3, 4\}$. Hledáme tedy všechna celočíselná $n$ splňující $f(n) \in N$, tj. vlastně v tomto případě postupně řešíme sadu rovnic:

\begin{equation*} \begin{aligned} f(n) = n^2 &= -1 & & \href{Tato rovnice nemá ani reálná řešení, natož celočíselná.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\Rightarrow}} & n &\in \emptyset, \\ f(n) = n^2 &= 0 & & \href{Tuto rovnici řeší právě $0$.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\Rightarrow}} & n &\in \{0\}, \\ f(n) = n^2 &= 3 & & \href{Tato rovnice má pouze reálná řešení $\pm\sqrt{3}$, my ale hledáme celočíselná.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\Rightarrow}} & n &\in \emptyset, \\ f(n) = n^2 &= 4 & & \href{Tato rovnice má dvě celočíselná řešení $\pm 2$.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\Rightarrow}} & n &\in \{-2, 2\}. \end{aligned} \end{equation*}

Příklad tak uzavíráme s výsledkem $f^{-1}(N) = \{-2,0,2\}$.

Příklad 11.3

Koncept obrazu množiny při zobrazení je často využívaný v programovacích jazycích podporujících funkcionální paradigma. Například množinu43 všech druhých mocnin všech přirozených čísel mezi $0$ a $5$ v Pythonu vytvoříme příkazem44

[ n ** 2 for n in range(6) ]

Srovnejte tento zápis s matematičtějším zápisem45

\begin{equation*} \big\{ n^2 \,\big|\, n \in \{0,1,2,3,4,5\} \big\}. \end{equation*}

Tato množina představuje obraz množiny $E = \{0,1,2,3,4,5\}$ při zobrazení definovaným předpisem $f(n) = n^2$, $n \in D_f \ceq \mathbb{N}$. Jedná se tedy o množinu $f(E)$. V jazyce Python tohoto faktu také můžeme využít následovně:

map(lambda x: x ** 2, range(6))

Tento zápis může být přehlednější, na rozdíl od konstrukce listu pomocí for cyklu.