12.2 Odmocniny

Uvažme $k\in\N$ a zamysleme se nad existencí inverzní funkce k funkci $f(x) = x^k$. Musíme rozlišit dva případy:

Pokud je $k$ sudé, tj. $k = 2\ell$ pro nějaké $\ell \in \N$, pak funkce $f$ není prostá, ale $f|_{\langle 0,+\infty)}$ je a její inverzí dostáváme funkci $\sqrt[2\ell]{x}$, která má definiční obor i obor hodnot roven $\langle 0, +\infty)$. Funkce $\sqrt[2\ell]{x}$ je ostře rostoucí. Grafická ukázka této situace je znázorněna na Obrázku 12.2.

Obrázek 12.2: Ilustrace grafu sudé odmocniny: $x^{2\ell}$ zúžené na $\langle 0,+\infty)$ modře a $\sqrt[2\ell]{x}$ červeně.

Pokud je $k$ liché, pak existuje $\ell \in \N$ takové, že $k = 2\ell-1$. V tomto případě je funkce $f$ prostá a její inverzí dostáváme funkci $\sqrt[2\ell-1]{x}$, která má definiční obor i obor hodnot roven $\R$. Funkce $\sqrt[2\ell-1]{x}$ je ostře rostoucí. Grafická ilustrace této situace je znázorněna na Obrázku 12.3.

Obrázek 12.3: Ilustrace grafu liché odmocniny: $x^{2\ell-1}$ hnědě a $\sqrt[2\ell-1]{x}$ zeleně.
Otázka 12.1

Definujte druhou odmocninu z nezáporného čísla $x$.

Zobrazit odpověď

Druhou odmocninou z nezáporného čísla $x$ je nezáporné číslo $y$ splňující $y^2 = x$, značíme ho $y = \sqrt{x}$.

Otázka 12.2

Shrňte základní vlastnosti sudých odmocnin, tj. funkcí tvaru $f(x) = \sqrt[2k]{x}$ pro $k\in\N$.

Zobrazit odpověď

Každá taková funkce má definiční obor i obor hodnot roven množině $\langle 0,+\infty)$. Je ostře rostoucí a tedy i ryze monotonní a prostá, není surjektivní.

Otázka 12.3

Shrňte základní vlastnosti lichých odmocnin, tj. funkcí tvaru $f(x) = \sqrt[2k-1]{x}$ pro $k\in\N$.

Zobrazit odpověď

Každá taková funkce má definiční obor i obor hodnot roven množině $\R$. Je ostře rostoucí a tedy i ryze monotonní a prostá, je surjektivní.