11.6 Uspořádání

Intuitivně si pod „uspořádáním“ představujeme vztah mezi objekty nějaké množiny. V BI-DML byl tento pojem zaveden pod heslem „částečné uspořádání“ v Definici ( BI-DML, Definice).

Definice 11.10 (Uspořádání)

Relaci $\mathcal{R}$ na množině $M$ splňující

  1. (reflexivita): pro každé $x\in M$ platí $x\mathcal{R} x$,

  2. (antisymetrie): pro každé $x,y \in M$ platí, že pokud $x\mathcal{R}y$ a $y\mathcal{R}x$ pak i $x=y$,

  3. (tranzitivita): pokud pro $x,y,z\in M$ platí $x\mathcal{R}y$ a $y\mathcal{R}z$, pak platí $x\mathcal{R}z$,

nazýváme uspořádáním na množině $M$.

Relaci $\mathcal{R}$, jež je uspořádáním, většinou značíme symbolem $\leq$.

Příklad 11.4

Je-li $M$ množina reálných čísel a $x\mathcal{R}y$ znamená „$x$ je menší nebo rovno $y$“, pak $\mathcal{R}$ představuje uspořádání na množině $\mathbb{R}$. Toto uspořádání je tzv. úplné. Pro každé $x,y\in M$ platí $x\mathcal{R}y$ nebo $y\mathcal{R}x$.

Příklad 11.5

Uvažme množinu kladných přirozených čísel $M = \{1,2,3,\ldots\}$ a nechť $m\mathcal{R}n$ právě když $m$ dělí $n$. Tato relace $\mathcal{R}$ na $M$ je uspořádáním.

Zobrazit řešení

Ověřme potřebné vlastnosti

  1. (reflexivita): Pro každé $n\in M$ platí, že $n$ dělí $n$, tedy $n\mathcal{R}n$.

  2. (antisimetrie): Uvažme $n,m\in M$ tak, že $n$ dělí $m$ a $m$ dělí $n$, pak existují $k,\ell \in M$ splňující $m = k \cdot n$ a $n = \ell \cdot m$. Tudíž $m = (k\ell) \cdot m$, což může nastat pouze v případě $k = \ell = 1$. Proto $m=n$.

  3. (tranzitivita): Podobně, pokud $n$ dělí $m$ a $m$ dělí $k$, pak $n$ dělí $k$.