7.1 Definice a kritéria spojitosti

Jak již bylo řečeno (vzpomeňte na Poznámku 5.6), hodnota limity funkce v bodě $a\in\R$ nezávisí na funkční hodnotě funkce $f$ v tomto bodě (funkce v daném bodě ani nemusí být definována a přesto v něm může mít limitu). Zavádíme proto pojem „spojité funkce“, který se vztahem mezi limitou a funkční hodnotou funkce $f$ v bodě zabývá.

Definice 7.1 (Spojitost funkce v bodě / continuity at a point)

Nechť $f$ je reálná funkce reálné proměnné a nechť bod $a \in D_f$. Řekneme, že funkce $f$ je spojitá v bodě $a$, právě když pro její limitu v bodě $a$ platí

\begin{equation*} \lim_{x\to a} f(x) = f(a). \end{equation*}

Dále zavádíme dva další pojmy:

  • Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zprava, právě když pro jednostrannou limitu $\displaystyle\lim_{x\to a+} f(x) = f(a)$.

  • Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zleva, právě když $\displaystyle\lim_{x\to a-} f(x) = f(a)$.

Spojitost funkce je velmi důležitá pro praktické aplikace36. Intuitivně lze požadavek spojitosti funkce $f$ v bodě $a$ chápat takto: „$f(x)$ je blízko $f(a)$, pokud $x$ je blízko $a$“. Přesně to totiž korektně říká Definice 7.1.

Pozorování 7.1

Jako první pozorování uveďme, že pokud $a\notin D_f$, pak takováto funkce nemůže být z definice spojitá i kdyby $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)$ existovala. V definici spojitosti se totiž předpokládá, že funkce je definována v bodě $a$. Jinak bychom vůbec nemohli mluvit o funkční hodnotě $f(a)$. Různými způsoby „selhání“ spojitosti se budeme zabývat v podkapitole 7.5.

Protože v Definici 7.1 uvažujeme $a\in D_f\subset\R$ a tím pádem i $f(a)\in\R$, dostáváme přeformulováním definice limity (viz Poznámku 5.5) následující $\varepsilon$ – $\delta$ vyjádření spojitosti pro funkce definované na okolí bodu $a$:

Poznámka 7.1

Funkce $f$ mající v definičním oboru okolí bodu $a$ je spojitá v bodě $a \in D_f$, právě když pro každé $\varepsilon > 0$ existuje $\delta > 0$ tak, že pro každé $x\in\R$ splňující $|x - a| < \delta$ platí $|f(x) - f(a)| < \varepsilon$.

Jako první příklad spojité funkce zmiňme příklad libovolného polynomu.

Příklad 7.1

V předchozí podkapitole jsme ukázali (viz Příklad 6.2), že pro libovolné reálná $a$ a libovolný polynom $P(x)$ platí

\begin{equation*} \lim_{x\to a} P(x) = P(a). \end{equation*}

Každý polynom je proto spojitou funkcí v každém bodě $a \in \R$.

Všimněte si, že díky znalosti vlastností pojmu limity (konkrétně věty o limitě součtu a součinu) a pouze znalosti spojitosti funkce $f(x) = x$ a konstantní funkce jsme odvodili spojitost libovolného polynomu. Vůbec jsme nepotřebovali explicitně použít definici spojitosti/limity.

Dále se podívejme na komplikovanější příklad, který pěkně ilustruje všechny možné druhy spojitosti (zleva/zprava).

Příklad 7.2

Zkoumejte spojitost funkce $f(x) = x - \lfloor x \rfloor$.

Zobrazit řešení

Přirozeným definičním oborem funkce $f$ je $D_f = \R$. Funkce $f$ je spojitá v každém bodě $a \in \R \smallsetminus \mathbb{Z}$. V bodech $a \in \mathbb{Z}$ je spojitá zprava, ale ne zleva.

\begin{equation*} \lim_{x\to a+} f(x) = f(a) \quad \text{a} \quad \lim_{x\to a-} f(x) = f(a) + 1. \end{equation*}

Graf této funkce je uveden na Obrázku 7.1.

Obrázek 7.1: Graf funkce $f(x) = x - \lfloor x \rfloor$ z Příkladu 7.2.

Doposud jsme pojem spojitosti měli zaveden pouze v jednom jediném bodě, tedy šlo o „lokální vlastnost funkce“. Nyní ho rozšíříme na celý interval.

Definice 7.2 (Spojitá funkce (na intervalu) / continuous function)

Funkce $f$ je spojitá na intervalu $J$, právě když $f\vert_J$ ($f$ zúženo na $J$) je spojitá v každém bodě intervalu $J$. Funkci $f$ nazýváme spojitou, právě když je $f$ spojitá v každém bodě svého definičního oboru. Množinu všech spojitých funkcí definovaných na intervalu $J$ značíme $\mathcal{C}(J)$.

Poznámka 7.2

Speciálně tedy platí

  • spojitá na intervalu $(a, b)$, právě když $f$ je spojitá v každém bodě $x\in(a, b)$.

  • spojitá na intervalu $\langle a, b)$, právě když $f$ je spojitá v každém bodě $x\in(a, b)$ a v bodě $a$ je spojitá zprava.

  • spojitá na intervalu $(a, b\rangle$, právě když $f$ je spojitá v každém bodě $x\in(a, b)$ a v bodě $b$ je spojitá zleva.

  • spojitá na intervalu $\langle a, b \rangle$, právě když $f$ je spojitá v každém bodě $x\in(a, b)$, v bodě $a$ je spojitá zprava a v bodě $b$ je spojitá zleva.

Příklad 7.3

Funkce $f(x) = \frac{1}{x}$ je …

  • … spojitá v každém bodě množiny $\R\smallsetminus\{0\} = (-\infty,0) \cup (0,+\infty) = D_f$.

  • … spojitá na intervalu $(-\infty,0)$.

  • … spojitá na intervalu $(0,+\infty)$.

  • … spojitá.

  • … není spojitá v bodě $a = 0$.

  • … není spojitá na intervalu $(-1,1)$.

Prozkoumejte graf této funkce na Obrázku 7.2.

Obrázek 7.2: Graf funkce $f(x) = \frac{1}{x}$ z Příkladu 7.3.

7.1.1 Kritéria spojitosti

V dalším textu i dalších kapitolách se budeme už často věnovat funkcím, které jsou definované na intervalech. Tj. speciálně, pokud se budeme bavit o „spojitosti v bodě“, tak typicky naše funkce budou definovány na celém (oboustranném) okolí takovéhoto bodu.

Následující tvrzení umožňují snadno rozhodnout o spojitosti funkcí v jistých bodech. Jsou bezprostředním důsledkem vlastností limity funkce, které jsme probírali v minulé kapitole.

Věta 7.1 (O vztahu různých typů spojitostí)

Funkce $f$ definovaná na okolí bodu $a \in D_f$ je spojitá v bodě $a \in D_f$, právě když je spojitá v bodě $a$ zleva i zprava.

Zobrazit důkaz

Viz Větu 5.1.

$\square$

Příklad 7.4

Vzpomeňte si na funkci $\sgn$ definovanou v rovnici (12.1). Pro každé nenulové $a$ platí, že $\sgn$ je konstantní na jistém okolí bodu $a$ a proto

\begin{equation*} \lim_{x\to a} \sgn(x) = \lim_{x\to a\pm} \sgn(x) = \sgn(a). \end{equation*}

Vrátíme-li se zpět k Příklad 5.11, pak víme, že

\begin{equation*} \lim_{x\to 0+} \sgn(x) = 1 \quad \text{a} \quad \lim_{x\to 0-} \sgn(x) = -1. \end{equation*}

Funkce $\sgn$ je proto spojitá v každém bodě $a\neq 0$ a je nespojitá v bodě $0$. V bodě $0$ není spojitá ani zleva ani zprava, protože $\sgn(0) = 0 \neq \pm 1$. Graf funkce $\sgn$ naleznete v Obrázku 7.7.

Funkce často zadáváme jako součty, součiny, podíly a složení dalších funkcí. Následující věty umožňují v některých případech rozhodnout o spojitosti takovýchto funkcí v jistých bodech.

Věta 7.2 (O spojitosti součtu, součinu a podílu funkcí)

Součet a součin dvou funkcí $f$ a $g$ definovaných na okolí bodu $a$ a spojitých v bodě $a$ je funkce spojitá v bodě $a$. Pokud navíc $g(a) \neq 0$, pak podíl $\frac{f}{g}$ je funkce spojitá v bodě $a$.

Zobrazit důkaz

Viz Větu 6.1.

$\square$

Věta 7.3 (O spojitosti složené funkce)

Buďte $g$ funkce definovaná na okolí bodu $a$ a spojitá v bodě $a$ a $f$ funkce definovaná na okolí bodu $g(a)$ a spojitá v bodě $g(a)$. Potom složená funkce $f \circ g$ je spojitá v bodě $a$.

Zobrazit důkaz

Viz Větu 6.4. Povšimněte si, že druhá možnost ve čtvrtém předpokladu Věty 6.4 je pro spojité funkce automaticky splněna.

$\square$

Příklad 7.5

Funkce

\begin{equation*} f(x) = \frac{x^4 - x^3}{x^2 - 4} \end{equation*}

je spojitá v každém bodě svého definičního oboru $D_f = \R \smallsetminus \{-2,2\}$.

Zobrazit řešení

Skutečně, polynomy v čitateli a jmenovateli jsou spojité funkce v každém bodě $\R$ (vzpomeňte si na příklad 7.1). Jediné body, v kterých je polynom v jmenovateli nulový jsou $-2$ a $2$. Podle Věty 7.2 je pak tedy funkce $f$ spojitá v každém bodě množiny $\R \smallsetminus \{-2, 2\}$.

Poznamenejme, že v bodech $-2$ a $2$ tato funkce není spojitá, tyto body ani nepatří do definičního oboru!

Další příklady použití vět z této podkapitoly si ukážeme hned jak odvodíme spojitost i dalších elementárních funkcí (podkapitola 7.4). Pouze s polynomy příliš zajímavých příkladů vymyslet nelze. Nejprve je ale vhodné ještě prozkoumat obecné vlastnosti a důsledky spojitosti.