12.1 Polynomy

Polynomy jsou v jistém smyslu z elementárních funkcí ty „nejelementárnější“. K vyhodnocení jejich funkční hodnoty si vystačíme pouze se sčítáním a násobením reálných čísel! Přesná definice polynomu, v češtině taktéž mnohočlenu, je následující.

Definice 12.1 (Polynom – mnohočlen / polynomial)

Funkci $P\colon \R \to \R$ nazveme polynomem, právě když existuje $n\in\N_0$ a konstanty $a_0,a_1,\ldots,a_n\in\R$ takové, že pro všechna $x\in\R$ platí

\begin{equation*} P(x) = \href{Součet výrazů uvedených vpravo pro $k$ probíhající celá čísla od $0$ do $n$ včetně.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\sum_{k=0}^n}} a_k x^k. \end{equation*}

Pokud je v definici výše $a_n \neq 0$, pak o $n$ mluvíme jako o stupni polynomu $P$. Polynom $P(x) = 0$ nazýváme nulovým polynomem a jeho stupeň nedefinujeme (pozor, polynom stupně nula nikdy není nulový polynom). Kořenem polynomu $P$ nazýváme libovolné reálné číslo $x$ splňující $P(x) = 0$. Dále si všimněte, že každý polynom je dle definice definován na celé množině $\R$.

Nulový polynom a polynomy stupně nejvýše $1$ můžeme vyjádřit ve tvaru $P(x) = ax + b$ pro nějaké reálné konstanty $a$ a $b$. O takovýchto funkcích mluvíme jako o lineárních (nebo afinních) funkcích. Pozor, v tomto kontextu je slovíčko „lineárních“ použito v jiném významu, než je obvyklé v Lineární algebře.

Grafem lineární funkce je přímka. Ne každá přímka v rovině ovšem je grafem nějaké lineární funkce (rozmyslete!). Je-li $f(x) = ax + b$ lineární funkce, pak jejím grafem je přímka s rovnicí $y - ax - b = 0$. O parametru $a$ mluvíme jako o směrnici této přímky. Tato přímka pak má normálový vektor (například) $(-a, 1)$ a směrový vektor $(1, a)$.

Existují vzorce pro kořeny polynomů stupně $1$, $2$, $3$ a $4$. Je dokázáno, že podobné vzorce pro polynomy stupně ostře většího než $4$ neexistují. Obyčejný smrtelník si z praktických důvodů pamatuje vzorce pro kořeny polynomů stupně dva, tedy pro kvadratické polynomy. Vzorce pro polynomy vyšších stupňů ($3$ a $4$) jsou poměrně komplikované, viz např.  zde.

Kořeny kvadratického polynomu $P(x) = ax^2 + bx + c$, $a \neq 0$, umíme snadno nalézt. Jsou jimi $x_+$ a $x_-$ splňující

\begin{equation*} x_\pm = \frac{1}{2a} \Big( -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} \Big). \end{equation*}

Tyto kořeny jsou reálné pouze pokud je diskriminant $D = b^2 - 4ac$ nezáporný. Díky úpravě na čtverec,

\begin{equation*} P(x) = a x^2 + bx + c = a \Big( x + \frac{b}{2a} \Big)^2 + c - \frac{b^2}{4a}, \end{equation*}

víme, že vrchol paraboly (graf funkce $P$) se nachází v bodě $\big( -\frac{b}{2a},\, c - \frac{b^2}{4a} \big)$, viz Obrázek 12.1.

Poznámka 12.1 (O stupni nulového polynomu)

Jak bylo řečeno výše, stupeň nulového polynomu v našem kurzu nedefinujeme. Z tohoto úhlu pohledu jde o výjimečný okrajový případ, „stupeň“ tedy u nás mají pouze nenulové polynomy.

V některých materiálech se stupeň nulového polynomu klade roven $-1$, v dalších zase $-\infty$. Každá z těchto tří uvedených možností má svou motivaci a může v některých případech zjednodušit značení, či argumentaci.

Obrázek 12.1: Parabola jakožto graf kvadratické funkce $f(x) = a x^2 + b x + c$ s dvěma průsečíky osy $x$ (tedy s kladným diskriminantem) a znázorněnými souřadnicemi vrcholu.