12.7 Užitečné vztahy

V rámci této shrnující kapitoly se hodí uvést i několik užitečných algebraických vztahů.

Věta 12.1 (Binomická)

Pro libovolná reálná $a, b \in \R$ a nezáporné celé $n \in \N$ platí

\begin{equation*} (a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}. \end{equation*}

Symbolem $\binom{n}{k}$ pro $n \in \N$ a $k \in \{0,1,\ldots,n\}$ zde označujeme kombinační číslo definované předpisem

\begin{equation*} \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}. \end{equation*}

Toto číslo označuje počet možností, jak lze z $n$-prvkové množiny vybrat $k$ prvků, nezávisle na jejich pořadí. Například $\binom{3}{2} = 3$, protože $\{1,2\}, \{2,3\}, \{1,3\} \subset \{1,2,3\}$ a jiné dvouprvkové podmnožiny neexistují. Pravá strana v rovnici ve Větě 12.1 je s touto interpretací v souladu. Pokud si levou stranu této rovnice představíme jako součin $n$ závorek $(a + b)$ a roznásobíme je, pak koeficient u členu $a^k b^{n-k}$ udává počet způsobů, jak z uvedených závorek vybrat právě $k$ členů $a$ a $n-k$ členů $b$, což lze právě $\binom{n}{k}$ způsoby.

Důkaz Věty 12.1 lze snadno provést indukcí. Tvrzení očividně platí pro $n = 0$ ve tvaru $1 = 1$ a i pro $n = 1$ ve tvaru $(a + b) = a + b$. Předpokládejme, že tvrzení platí pro $n \in \N$, $n \geq 2$. Potom

\begin{align*} (a + b)^{n+1} &= (a + b) (a + b)^n \href{Zde využíváme indukční předpoklad.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} (a + b) \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k} \\ & \href{Roznásobení sumy závorkou.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{k+1} b^{n-k} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n+1-k} \\ & \href{Posunutí indexu v první sumě.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} \sum_{k=1}^{n+1} \binom{n}{k-1} a^k b^{n+1-k} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n+1-k} \\ & \href{Vyčlenění přebývající členů, sčítací index obou sum tak má stejný rozsah.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} a^{n+1} + \sum_{k=1}^n \left( \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} \right) a^k b^{n+1-k} + b^{n+1}.\end{align*}

Pro libovolné $n \in \N$ a $k \in \hat n$ ovšem platí

\begin{align*} \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} &= \frac{n!}{(k-1)!(n+1-k)!} + \frac{n!}{k!(n-k)!} \\ &= \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} \cdot \left( \frac{1}{n + 1 - k} + \frac{1}{k} \right) \\ &= \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} \cdot \frac{k + n + 1 - k}{k(n+1-k)} \\ &= \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!} = \binom{n+1}{k}.\end{align*}

Takže celkem dostáváme, vzhledem k rovnostem $\binom{n+1}{0} = \binom{n+1}{n+1} = 1$,

\begin{equation*} (a+b)^{n+1} = a^{n+1} + \sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k} a^k b^{n+1-k} + b^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} a^k b^{n+1-k}. \end{equation*}

$\square$

Dalším neméně důležitým vztahem je rovnost uvedená v následujícím tvrzení.

Tvrzení 12.1 (O rozdílu $n$-tých mocnin)

Pro libovolná reálná $a,b\in\R$ a nezáporné celé $n \in \N_0$ platí rovnost

\begin{equation*} a^n - b^n = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k}. \end{equation*}

Zobrazit důkaz

Tvrzení lze ověřit přímým výpočtem. Vyjdeme z pravé strany, kterou roznásobíme a upravíme,

\begin{align*} (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k} &= \sum_{k=0}^{n-1} a^{k+1} b^{n-1-k} - \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-k} \\ &= \sum_{k=1}^n a^k b^{n-k} - \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-k} \\ &= \sum_{k=1}^{n-1} a^k b^{n-k} + a^n - b^n - \sum_{k=1}^{n-1} a^k b^{n-k} = a^n - b^n,\end{align*}

což je přesně levá strana dokazované rovnosti.

$\square$

Poznámka 12.4 (Rozdíl odmocnin)

Vzorec z předchozího Tvrzení 12.1 často používáme za účelem „zbavení se rozdílu odmocnin“. Například nás může zajímat výraz $\sqrt{x} - \sqrt{y}$, pro nějaká kladná $x$ a $y$. Chtěli bychom velikost tohoto výrazu nějak vyjádřit pomocí rozdílu argumentů odmocnin, s kterým třeba jsme schopni pracovat. K tomu přesně použijeme uvedené Tvrzení 12.1, kde zvolíme $a = \sqrt{x}$, $b = \sqrt{y}$ a drobnou úpravu uvedené rovnosti

\begin{equation*} a - b = \frac{a^2 - b^2}{a + b}. \end{equation*}

Dostáváme tak rovnost

\begin{equation*} \sqrt{x} - \sqrt{y} = \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}. \end{equation*}

Alternativně, ale lehce uměle, lze tuto úpravu interpretovat jako využití Tvrzení 12.1 a vynásobení vhodnou jedničkou, konkrétně

\begin{align*} \sqrt{x} - \sqrt{y} &= \big(\sqrt{x} - \sqrt{y}\big) \cdot 1 \\ &= \big(\sqrt{x} - \sqrt{y}\big) \cdot \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \\ &= \frac{\sqrt{x}^2 - \sqrt{y}^2}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}.\end{align*}

V čitateli je již rozdíl $x$ a $y$, v jmenovateli součet, který nás většinou netrápí. Analogicky v případě třetích odmocnin bychom například dostali

\begin{equation*} \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = \frac{x - y}{x^{2/3} + (xy)^{1/3} + y^{2/3}}. \end{equation*}

Tato úprava není samoúčelná. Oceníme ji v některých výpočtech. Vedle toho lze pomocí ní v některých případech částečně řešit tzv. katastrofické krácení při počítání se strojovými čísly.