Mnoho funkcí, na které narazíme, jsou složené funkce. Následující důležitá věta nám umožňuje počítat jejich limity, aniž bychom se museli obracet na definici limity.
Nechť $f$ a $g$ jsou funkce, $a$, $b$, $c$ jsou prvky $\overline{\mathbb{R}}$ a platí čtyři podmínky
$\displaystyle\lim_{x\to a} g(x) = b$,
$\displaystyle\lim_{x\to b} f(x) = c$,
bod $a$ je hromadným bodem množiny $D_{f\circ g}$.
buď $(\exists U_a)(\forall x\in D_g\cap U_a \smallsetminus \{a\})(g(x) \neq b)$ nebo $(b\in D_f \ \text{a} \ f(b) = c)$.
Potom pro limitu složené funkce $f \circ g$ platí $\displaystyle\lim_{x\to a} (f \circ g)(x) = c$.
Mějme libovolné okolí $U_c$ bodu $c$. Potom dle předpokladů postupně platí:
existuje $V_b$ okolí bodu $b$ takové, že pro každé $x \in (V_b \cap D_f) \smallsetminus \{b\}$ platí $f(x) \in U_c$,
existuje $W_a$ okolí bodu $a$ takové, že pro každé $x \in (W_a \cap D_g) \smallsetminus \{a\}$ platí $g(x) \in V_b$.
Vezměme nyní libovolné $x \in (W_a \cap D_{f \circ g}) \smallsetminus \{a\}$ (dle předpokladu je toto neprázdná množina). Takovéto $x$ oplývá následujícími vlastnostmi: $x \in W_a$, $x \in D_g$, $g(x) \in D_f$ a $x \neq a$. Konečně zbývá využít podmínek v bodě čtyři.
První možnost: bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že $W_a \subset U_a$ a tedy $g(x) \neq b$ a tudíž $f(g(x)) \in U_c$.
Druhá možnost: pokud $g(x) \neq b$, pak $f(g(x)) \in U_c$, ale v tomto případě i pokud $g(x) = b$, pak $f(g(x)) = f(b) = c \in U_c$.
Tím je důkaz dokončen.
$\square$
Podmínka v bodě čtyři je důležitá. Demonstrujme to na následujícím lehce extrémním případě,
Pro tyto funkce platí $D_{f\circ g} = \R$ a
Podmínky v bodě jedna a dva i tři jsou tedy splněny, ale ani jedna podmínka v bodě čtyři neplatí. Dále, složená funkce $f\circ g$ existuje a platí $(f \circ g)(x) = 2$. Její limita v bodě $0$ je zřejmě $2$, což není $1$.
Hrubě řečeno lze říci, že pokud se vnitřní funkce na okolí bodu $a$ nechová „pěkně“, nesplňuje bod čtyři předchozí věty, pak věta o limitě složené funkce nemusí platit.
Vypočtěte limitu
Označme
Z předchozího výkladu víme, že
Dále $D_{f\circ g} = \R$ a $1$ je hromadným bodem této množiny. Konečně $3$ patří do definičního oboru $D_f$ a $f(3) = \sqrt[4]{3}$. Dle předchozí věty proto
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Mějme funkci $f\colon A \to \R$, hromadný bod $a\in\overline{\R}$ množiny $A$ a bod $b\in\overline{\R}$. Funkce $f$ má v bodě $a$ limitu rovnou $b$, právě když pro každé okolí $U_b$ bodu $b$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že pokud $x \in U_a \cap A$ a $x \neq a$, pak $f(x) \in U_b$.
Formálně tento požadavek vyjadřuje formule
Tuto skutečnost symbolicky zapisujeme následovně
Nechť $f\colon A \to B$ a $g\colon C \to D$ jsou zobrazení. Označíme-li $D_{f\circ g} = \{ x \in C \mid g(x) \in A \}$, pak je-li tato množina neprázdná definujeme složené zobrazení $f \circ g\colon D_{f\circ g} \to B$ předpisem
pro všechna $x \in D_{f\circ g}$.