V rámci této shrnující kapitoly se hodí uvést i několik užitečných algebraických vztahů.
Pro libovolná reálná $a, b \in \R$ a nezáporné celé $n \in \N$ platí
Symbolem $\binom{n}{k}$ pro $n \in \N$ a $k \in \{0,1,\ldots,n\}$ zde označujeme kombinační číslo definované předpisem
Toto číslo označuje počet možností, jak lze z $n$-prvkové množiny vybrat $k$ prvků, nezávisle na jejich pořadí. Například $\binom{3}{2} = 3$, protože $\{1,2\}, \{2,3\}, \{1,3\} \subset \{1,2,3\}$ a jiné dvouprvkové podmnožiny neexistují. Pravá strana v rovnici ve Větě 12.1 je s touto interpretací v souladu. Pokud si levou stranu této rovnice představíme jako součin $n$ závorek $(a + b)$ a roznásobíme je, pak koeficient u členu $a^k b^{n-k}$ udává počet způsobů, jak z uvedených závorek vybrat právě $k$ členů $a$ a $n-k$ členů $b$, což lze právě $\binom{n}{k}$ způsoby.
Důkaz Věty 12.1 lze snadno provést indukcí. Tvrzení očividně platí pro $n = 0$ ve tvaru $1 = 1$ a i pro $n = 1$ ve tvaru $(a + b) = a + b$. Předpokládejme, že tvrzení platí pro $n \in \N$, $n \geq 2$. Potom
Pro libovolné $n \in \N$ a $k \in \hat n$ ovšem platí
Takže celkem dostáváme, vzhledem k rovnostem $\binom{n+1}{0} = \binom{n+1}{n+1} = 1$,
$\square$
Dalším neméně důležitým vztahem je rovnost uvedená v následujícím tvrzení.
Pro libovolná reálná $a,b\in\R$ a nezáporné celé $n \in \N_0$ platí rovnost
Tvrzení lze ověřit přímým výpočtem. Vyjdeme z pravé strany, kterou roznásobíme a upravíme,
což je přesně levá strana dokazované rovnosti.
$\square$
Vzorec z předchozího Tvrzení 12.1 často používáme za účelem „zbavení se rozdílu odmocnin“. Například nás může zajímat výraz $\sqrt{x} - \sqrt{y}$, pro nějaká kladná $x$ a $y$. Chtěli bychom velikost tohoto výrazu nějak vyjádřit pomocí rozdílu argumentů odmocnin, s kterým třeba jsme schopni pracovat. K tomu přesně použijeme uvedené Tvrzení 12.1, kde zvolíme $a = \sqrt{x}$, $b = \sqrt{y}$ a drobnou úpravu uvedené rovnosti
Dostáváme tak rovnost
Alternativně, ale lehce uměle, lze tuto úpravu interpretovat jako využití Tvrzení 12.1 a vynásobení vhodnou jedničkou, konkrétně
V čitateli je již rozdíl $x$ a $y$, v jmenovateli součet, který nás většinou netrápí. Analogicky v případě třetích odmocnin bychom například dostali
Tato úprava není samoúčelná. Oceníme ji v některých výpočtech. Vedle toho lze pomocí ní v některých případech částečně řešit tzv. katastrofické krácení při počítání se strojovými čísly.