11.4 Zúžení a skládání zobrazení

Nyní se zaměříme na způsoby jak lze ze zobrazení vyrábět nová zobrazení. Připomeneme si nejprve operaci zúžení a poté skládání. I zúžení zobrazení jste již potkali v definici ( BI-DML, Definice). Dále některá zobrazení umíme sčítat a násobit, těmto operacím se ale věnujeme v hlavním textu v Definici 3.2 v případě funkcí.

Definice 11.7 (Zúžení zobrazení)

Buď $f\colon A \to B$ a $M \subset A$. Zobrazení $g\colon M \to B$ definované předpisem $g(x) \ceq f(x)$ pro každé $x\in M$ nazýváme zúžením zobrazení $f$ na množinu $M$. Zapisujeme $g = f \big|_M$.

Nová zobrazení můžeme také vytvářet pomocí operace skládání. Ovšem pouze pokud jsou zobrazení správného typu. Zde se také lehce odchylujeme od definice zavedené v BI-DML, tj. ( BI-DML, Definice), která je pro naše účely příliš restriktivní.

Definice 11.8 (Složené zobrazení)

Nechť $f\colon A \to B$ a $g\colon C \to D$ jsou zobrazení. Označíme-li $D_{f\circ g} = \{ x \in C \mid g(x) \in A \}$, pak je-li tato množina neprázdná definujeme složené zobrazení $f \circ g\colon D_{f\circ g} \to B$ předpisem

\begin{equation*} (f \circ g)(x) \ceq f\big( g(x) \big) \end{equation*}

pro všechna $x \in D_{f\circ g}$.

Názorně je tato situace uvedena na obrázku 11.2. O zobrazení $f$ se často mluví jako o vnějším a o $g$ jako o vnitřním zobrazení složeného zobrazení $f \circ g$.

Definiční obor složeného zobrazení lze vyjádřit pomocí vzoru množiny při zobrazení. Při použití notace z Definice 11.8 platí $D_{f \circ g} = g^{-1}(A)$.

Obrázek 11.2: Ilustrace k složenému zobrazení.
Poznámka 11.2

Pro názornost rozeberme rozdíl mezi Definicí 11.8 a Definicí BI-DML ( BI-DML, Definice).

Mějme zobrazení $f\colon (0,+\infty) \to \R$ definované předpisem $f(x) = \ln(x)$, $x \in (0, +\infty)$, a $g\colon \R \to \R$ definované předpisem $g(x) = (x-1)^3$, $x \in \R$. Chceme, aby $f$ hrálo při skládání roli vnějšího a $g$ vnitřního zobrazení, tj. snažíme se sestrojit $f \circ g$.

Dle definice ( BI-DML, Definice) tato zobrazení nemůžeme složit, protože $g$ zobrazuje mimo definiční obor $f$. Podle této definice bychom mohli složit třeba $f$ se zúžením $g|_{(1, +\infty)}$. Ale měli bychom i další možnosti, například vzít zúžení $g|_{(42, 1024\rangle}$. Které z nich máme vzít? To bychom vždy museli explicitně zmínit, než bychom se do skládání pustili.

„Naše“ Definice 11.8 nám rovnou umožňuje nad $f \circ g$ uvažovat, tj. napsat $\ln\big((x-1)^3\big)$ s jedním jasným významem. Prostě definiční obor zúžíme tak, aby operace měli dobrý smysl a vezmeme největší takovou množinu. Takto postupujeme v mnoha situacích a už nad tím ani příliš nepřemýšlíme.