12.5 Exponenciální a logaritmické funkce

Exponenciální a logaritmické funkce jsou důležité samy o sobě, ale nacházejí i uplatnění v přírodních aplikacích. Pomocí exponenciálních funkcí můžeme například vyjádřit fyzikální zákon popisující radioaktivní rozpad. Logaritmické funkce pak často najdeme ve „stupnicích vnímání“, například Richterova škála popisující intenzitu zemětřesení nebo decibely popisující hlasitost zvuku jsou logaritmické škály.

V této části textu se budeme ovšem více zabývat matematickými vlastnostmi těchto funkcí a později během studia se k nim ještě několikrát vrátíme a budeme je využívat.

12.5.1 Exponenciála

Exponenciální funkce o základu $\mathrm{e}$ (exponenciála), tj. $\mathrm{e}^x$, je funkce s definičním oborem $\R$, oborem hodnot $(0, +\infty)$, ostře rostoucí a splňující

\begin{equation*} \mathrm{e}^{x+y} = \mathrm{e}^x \mathrm{e}^y, \quad (\mathrm{e}^x)^y = \mathrm{e}^{xy}, \quad \mathrm{e}^0 = 1, \end{equation*}

pro každé $x,y\in\R$.

Varování 12.2 (Jak je exponenciála vlastně definována?)

Jak se počítají funkční hodnoty $\mathrm{e}^x$? Tímto problémem se budeme zabývat v BI-MA2. Už v BI-MA1 si ale s tímto popisem $\mathrm{e}^x$ nevystačíme, jedna důležitá vlastnost nám zde chybí, konkrétně viz rovnost (7.1)!

Otázka 12.11

Shrňte základní vlastnosti funkce $\ee^x$.

Zobrazit odpověď

Tato funkce má definiční obor $\R$ a obor hodnot $(0,+\infty)$. Není omezená ani periodická. Je prostá, ale není na. Je ostře rostoucí. Splňuje veledůležitý vztah $\ee^{x+y} = \ee^x \ee^y$, $x,y\in\R$.

12.5.2 Přirozený logaritmus

Inverzní funkci k exponenciále nazýváme přirozeným logaritmem a značíme ji $\ln$. Z vlastností exponenciály plynou vlastnosti přirozeného logaritmu: jeho definičním oborem je $(0,+\infty)$, oborem hodnot $\R$, je ostře rostoucí a splňuje vztahy

\begin{equation*} \ln(\mathrm{e}^z) = z, \quad \ln(xy) = \ln(x) + \ln(y), \quad \ln(1) = 0, \quad \ln(\mathrm{e}) = 1, \end{equation*}

kde $x, y > 0$ a $z\in\R$.

Otázka 12.12

Shrňte základní vlastnosti funkce $\ln(x)$.

Zobrazit odpověď

Tato funkce má definiční obor $(0,+\infty)$ a obor hodnot $\R$. Není omezená ani periodická. Je prostá a je na. Je ostře rostoucí. Splňuje vztah $\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)$, $x,y>0$.

12.5.3 Exponenciální funkce o základu $a > 0$

Exponenciální funkci s jiným základem než $\mathrm{e}$ můžeme odvodit od exponenciální funkce. Nejprve si připomeňme umocňování na celočíselný exponent:

\begin{equation*} a^n \ceq \begin{cases} 1, & \text{pro} \ n = 0 \ \text{a libovolné} \ a \in \R, \\ \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n\times}, & \text{pro} \ n \in \N \ \text{a libovolné} \ a \in \R, \\ \frac{1}{a^{-n}}, & \text{pro záporné celé} \ n \ \text{a nenulové} \ a. \end{cases} \end{equation*}

Exponenciální funkce o základu $a$ představuje zobecnění tohoto umocňování i na neceločíselné exponenty, značíme ji $a^x$ a lze ji definovat pro $a > 0$ a libovolné $x\in\R$ předpisem

\begin{equation*} a^x \ceq \mathrm{e}^{x\ln(a)}. \end{equation*}

Definičním oborem $a^x$ je $\R$, oborem hodnot $(0,+\infty)$, je neomezená, pro $x = 0$ má hodnotu $1$, je ostře rostoucí (resp. klesající) pro $a > 1$ (resp. $a < 1$). Pro všechna $x,y\in\R$ splňuje

\begin{equation*} \ln(a^x) = x\ln(a), \quad a^{x+y} = a^x a^y \quad \text{a} \quad \big(a^{x}\big)^y = a^{xy}. \end{equation*}

Grafickou ilustraci funkce $a^x$ pro různé hodnoty $a$ uvádíme na Obrázku 12.10.

Obrázek 12.10: Exponenciální funkce o základu $a > 0$: grafy.

12.5.4 Logaritmus

Exponenciální funkce $a^x$ je prostá pro $0 < a \neq 1$, existuje k ní proto inverzní funkce, kterou nazýváme logaritmem o základu $a$ a značíme $\log_a$.

Funkce $\log_a$ je definována na $(0,+\infty)$, jejím oborem hodnot je $\R$. Je prostá, ostře rostoucí (resp. klesající) pro $a > 1$ (resp. $a\in(0,1)$).

Z vlastností exponenciálních funkcí poměrně přímočaře plynou následující vlastnosti logaritmu o základu $a$:

\begin{align*} \log_a(a) = 1&, \ \log_a(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}, & &\text{pro} \ x > 0, \ \text{a} \ 0 < a,b \neq 1, \\ \log_a(xy) &= \log_a(x) + \log_a(y), & &\text{pro} \ x,y > 0, \\ \log_a(x^y) &= y \log_a(x), & &\text{pro} \ x > 0 \ \text{a} \ y \in \R.\end{align*}

Odtud i (mimo jiné) plyne

\begin{equation*} \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y), \quad \text{pro} \ x,y>0. \end{equation*}

Grafickou ilustraci funkce $\log_a x$ pro různé hodnoty $a$ uvádíme na Obrázku 12.11.

Logaritmus o základu $\mathrm{e}$ nazýváme přirozeným logaritmem a značíme $\ln$ (pozor, v řadě jazyků/CAS je tento značen rovnou jako $\log$).

Obrázek 12.11: Logaritmus o základu $a > 0$, $a \neq 1$: grafy.