Věta o limitě součtu, součinu a podílu nám dávala nástroj na výpočet limit součtu, součinu a podílu funkcí za předpokladu, že součet, součin či podíl byl definován v $\overline{\R}$. Pokud limita byla například typu $+\infty-(+\infty)$, nebo $0\cdot+\infty$, tak jsme s danou funkcí ještě museli dále zacvičit.
Nyní se podíváme jak je to s výpočty limit funkcí ve tvaru $f(x)^{g(x)}$. Hlavním výsledkem této podkapitoly bude Věta 7.9. Tato věta na první pohled může vypadat komplikovaně, protože ošetřuje několik možných situací, které mohou nastat a navíc některé vynechává (viz příklady níže v této podkapitole). I z toho důvodu je toto pěkný příklad věty, kde je důležité pochopit důkaz, protože v konkrétním příkladě je jednoduší uvedený důkaz provést, než si tuto větu pamatovat. Celé tvrzení stojí na tom, že výraz $f(x)^{g(x)}$ přepíšeme pomocí exponenciální funkce na výraz $e^{g(x) \ln f(x)}$ a poté řešíme už limitu součinu $g(x) \ln f(x)$. Pojďme nejprve zformulovat hlavní větu.
Uvažme funkce $f$ a $g$ definované na okolí bodu $a\in\overline{\R}$ s možnou výjimkou bodu $a$ samotného a nechť funkce $f$ je kladná na nějakém okolí bodu $a$. Předpokládejme dále, že existují limity
Potom platí následující tři tvrzení:
Pokud $0 < \alpha < +\infty$ a $|\beta| < +\infty$, potom $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = \alpha^\beta$.
Pokud $\alpha = 0$ a $\beta > 0$ (připouštíme i $\beta = +\infty$), potom $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = 0$.
Pokud $\alpha = +\infty$ a $\beta \neq 0$, potom $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)}$ existuje a je rovna $0$ pokud $\beta < 0$ a $+\infty$ pokud $\beta > 0$.
Důkaz stojí na využití vlastností exponenciální a logaritmické funkce a spojitosti exponenciální funkce. Navíc není nijak komplikovaný, takto bychom danou limitu jednoduše i počítali.
Nejprve si povšimněme, že za uvedených předpokladů je funkce
definovaná na okolí bodu $a$, s možnou výjimkou bodu $a$ samotného, a má tedy smysl počítat její limitu v bodě $a$. Nyní provedeme úpravu
a budeme zkoumat limitu argumentu exponenciály v bodě $a$, tj. limitu
Postupně nyní projdeme uvedené předpoklady:
V tomto případě podle věty o limitě součinu platí $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) \cdot \ln f(x) = \beta \cdot \ln\alpha$ (tento výraz je definovaný a patří do $\R$) a proto díky spojitosti exponenciální funkce máme $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = \mathrm{e}^{\beta \cdot \ln\alpha} = \alpha^\beta$.
Za těchto předpokladů platí $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) \cdot \ln f(x) = \beta \cdot (-\infty) = -\infty$ a proto $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = 0$.
Nyní platí $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) \cdot \ln f(x) = \beta \cdot (+\infty)$, což je $+\infty$ (resp. $-\infty$) pro kladné (resp. záporné) $\beta$. Z limit exponenciální funkce v $+\infty$ (resp. $-\infty$) pak plyne dokazované tvrzení.
Tím jsou všechna tvrzení věty dokázána.
$\square$
Ukažme si použití věty, resp. myšlenky jejího důkazu, na konkrétních příkladech.
Pokud je limita
typu $1^\infty$ (tj. $\lim_a f = 1$ a $\lim_a g$ je $+\infty$ nebo $-\infty$), pak případný výsledek závisí na samotných $f$ a $g$. Například (ve výpočtech využíváme znalosti známých limit odvozených v předchozí podkapitole 7.6):
Všechny tyto limity jsou typu $1^\infty$. Jako výsledek můžeme dostat libovolný prvek množiny $\langle 0, +\infty) \cup \{+\infty\}$.
Pokud je limita
typu $0^0$ (tj. $\lim_a f = 0$ a $\lim_a g = 0$), pak případný výsledek závisí na konkrétním chování funkcí $f$ a $g$. Například pro libovolné reálné $\alpha$ máme
Z těchto příkladů vidíme, že i když je limita typu $0^0$, tak výsledek může být libovolný prvek $\langle 0,+\infty) \cup \{+\infty\}$.
Na tomto místě se hodí zmínit i limitu
K jejímu výpočtu ale potřebujeme znát limitu $\displaystyle\lim_{x \to 0+} x \ln(x) = 0$, kterou odvodíme zanedlouho v Příkladu 9.8.
Nechť $f$ a $g$ jsou funkce a $a$ je hromadným bodem $D_f \cap D_g$. Nechť dále existují limity $\lim_a f$ a $\lim_a g$. Potom rovnosti
platí v případě, že jsou algebraické operace na pravé straně definovány.
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Mějme funkci $f\colon A \to \R$, hromadný bod $a\in\overline{\R}$ množiny $A$ a bod $b\in\overline{\R}$. Funkce $f$ má v bodě $a$ limitu rovnou $b$, právě když pro každé okolí $U_b$ bodu $b$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že pokud $x \in U_a \cap A$ a $x \neq a$, pak $f(x) \in U_b$.
Formálně tento požadavek vyjadřuje formule
Tuto skutečnost symbolicky zapisujeme následovně