7.5 Typy nespojitostí

Zamysleme se nyní jakým způsobem může spojitost funkce v bodě „selhat“. Rozlišujeme několik „úrovní“ nespojitosti.

7.5.1 Odstranitelná nespojitost

Mějme funkci $f$, která je definována na okolí bodu $a\in\R$ vyjma bod $a$ (tj. $a \notin D_f$), ale platí $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = c \in \R$.

Potom se takovéto nespojitosti můžeme zbavit dodefinováním této funkce v bodě $a$ hodnotou $c$, tj. nová funkce

\begin{equation*} g(x) \ceq \begin{cases} f(x), & x \in D_f, \\ c, & x = a, \end{cases} \end{equation*}

s definičním oborem $D_g = D_f \cup \{a\}$ je již spojitá v bodě $a$ a funkce $f$ je zúžením funkce $g$ na množinu $D_f$, tj. $f = g\vert_{D_f}$. Tato funkce $g$ je tzv. spojité rozšíření (nebo dodefinování) funkce $f$ v bodě $a$. Někdy se také v tomto případě mluví jako o odstranitelné nespojitosti funkce $f$ v bodě $a$.

Příklad 7.10

Typickým příkladem funkce s odstranitelnou nespojitostí je funkce

\begin{equation*} f(x) = \frac{\sin(x)}{x}, \quad D_f = \R \smallsetminus \{0\}. \end{equation*}

Tato funkce není spojitá v bodě $0$.

Z předchozího výkladu (Příklad 6.10) již víme, že

\begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1. \end{equation*}

Proto funkce

\begin{equation}\label{eq-sinc}\tag{7.2} \mathrm{sinc}(x) \ceq \begin{cases} \frac{\sin(x)}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x = 0 \end{cases} \end{equation}

je již spojitá na celém $D_\mathrm{sinc} = \R$. Ilustrace této situace je čtenáři k dispozici na Obrázku 7.6.

Poznámka 7.5

Funkce $\mathrm{sinc}$ je důležitá nejen z matematického pohledu, ale nachází uplatnění i v různých inženýrských aplikacích, například ve zpracování signálu (filtry, wavelety, …).

Obrázek 7.6: Funkce $\mathrm{sinc}$ (viz rovnici (7.2)) jakožto spojité dodefinování funkce $\frac{\sin x}{x}$ v bodě $0$ hodnotou $1$

7.5.2 Konečný skok

Opět mějme funkci definovanou na okolí bodu $a$, s možnou výjimkou bodu $a$ samotného. Nyní ovšem předpokládejme, že existují jednostranné limity v bodě $a$, ale

\begin{equation*} c_+ \ceq \lim_{x \to a+} f(x) \neq c_- \ceq \lim_{x\to a-} f(x). \end{equation*}

Takovouto funkci již nelze spojitě dodefinovat, případně předefinovat, v bodě $a$. Zadáním funkční hodnoty v bodě $a$ bychom maximálně mohli získat funkci spojitou v bodě $a$ zprava, nebo zleva.

Na Obrázku 7.7 uvádíme příklad dvou funkcí s takovouto vlastností.

Obrázek 7.7: Funkce $\sgn$ a $\arctg(1/x)$ mající neodstranitelnou nespojitost v bodě $0$ s konečnými jednostrannými limitami v bodě $0$ (konečný skok).

7.5.3 Nekonečno a neexistence limity

Dále může spojitost selhat následujícími třemi zásadními způsoby.

  • Mějme opět funkci $f$ definovanou na okolí bodu $a$ s možnou výjimkou bodu $a$ samotného. Funkce $f$ má limitu (alespoň zleva nebo zprava) v bodě $a$ rovnou $+\infty$ nebo $-\infty$. Například funkce $\frac{1}{x}$ v nule má „nekonečný skok“ a funkce $\frac{1}{x^2}$ má v nule limitu $+\infty$. Ani jednu z nich nelze spojitě dodefinovat a to ani zleva, ani zprava.

  • Mějme opět funkci $f$ definovanou na okolí bodu $a$ s možnou výjimkou bodu $a$ samotného. Funkce $f$ nemá limitu (alespoň zleva nebo zprava) v bodě $a$. Například $\sin(\frac{1}{x})$ v nule.