Velmi často potřebujeme porovnávat chování funkčních hodnot dvou funkcí, když se jejich argument blíží nějaké hodnotě. Například:
Funkce $f(x)$ „klesá“ v bodě $a=1$ „rychleji“ k nule než $(x-1)^2$.
Funkce $g(x)$ „neroste rychleji“ než $\sqrt{x}$ pro $x$ jdoucí do nekonečna.
Funkce $f(x)$ a $g(x)$ se „chovají stejně“, když $x$ jde k $0$.
Slovíčka jako „rychleji“ nebo „chovají“ jsou poměrně vágní. Co tím přesně míníme? Co to znamená?19
Tyto, a další asymptotické vztahy, nacházejí široké uplatnění v různých aplikacích. Studenti FITu na ně nejčastěji narazí při porovnávání výpočetních a paměťových složitostí algoritmů. Jedná se ale o šikovný nástroj umožňující efektivně mluvit o chování funkcí obecně, využijeme ho například i v BI-MA2 při studiu Taylorových polynomů.
V této části textu představíme dva způsoby ($o$ a $\mathcal{O}$), jak první dva body přesně kvantifikovat. K tomuto tématu se ovšem vrátíme i později během semestru. V Podkapitolách 5.7 a 4.7 zavedeme i další způsoby porovnávání asymptotického chování funkcí a posloupností ($\sim$, $\Theta$, $\Omega$ a $\omega$). Později i ukážeme, jak k zkoumání těchto vztahů využívat limity (Podkapitola 5.8).
Začneme asi nejznámějším asymptotickým symbolem $\mathcal{O}$. Tuto notaci rozšířil zejména Edmund Landau (německý matematik, 1877 – 1938). Tato notace nachází uplatnění nejen v teoretické informatice a matematice, ale i ve fyzice a obecně kdykoliv se snažíme vystihnout a popsat chování „komplikovaných“ funkcí pomocí „jednodušších“ funkcí (asymptotika).
Představme si, že zkoumáme počet operací $f(n)$, které musí jistý algoritmus vykonat, je-li jeho vstup délky $n \in \N$. Byli bychom rádi, kdyby se choval nejhůře lineárně „pro velká $n$“. To znamená, že bychom se spokojili se závislostmi jako $f(n) = n$, $f(n) = 2n -1$, $f(n) = 10n+1$, nebo ještě lépe $f(n) = \sqrt{n}$ nebo $f(n) = \ln(n)$. Už by nás ale nepotěšila závislost $f(n) = n^2$.
Ukažme si ještě jednu motivaci, ke které se dostaneme při studiu Taylorových polynomů v BI-MA2. Máme dvě funkce $f$ a $g$ a snažíme se vyjádřit, jak se chová velikost rozdílu $f(x) - g(x)$ pro $x$ na okolí nějakého bodu $a$, pro jednoduchost zde zvolme $a = 0$. Můžeme být například v situaci, kdy počítat funkční hodnoty jedné z nich je těžké, nebo nemožné, a snažíme se ji nahradit tou druhou funkcí. Zajímá nás, jak dobrá je tato aproximace pro $x \to 0$. Byli bychom spokojení, kdyby tento rozdíl šel k nule nejhůře kvadraticky. Tj. spokojíme se s $f(x) - g(x) = 2x^2$, nebo $f(x) - g(x) = 10 x^4$, ale už by se nám nelíbilo $f(x) - g(x) = x$ pro $x \to 0$.
Následující pojem souhrnně vystihuje tyto – na první pohled lehce různorodé – situace.
Mějme dvě funkce $f$, $g$ a bod $a \in \overline{\R}$ takový, že $a$ je hromadným bodem množiny $D_f \cap D_g$ a existuje okolí $V_a$ splňující20 $(V_a \cap D_f) \smallsetminus \{a\} = (V_a \cap D_g) \smallsetminus \{a\}$.
Řekneme, že funkce $f$ je asymptoticky shora omezená funkcí $g$ pro $x$ jdoucí k $a$, symbolicky
právě když existuje kladná konstanta $c \in \R$ a okolí $U_a$ bodu $a$ tak, že pro všechna $x \in (U_a \cap D_f \cap D_g) \smallsetminus \{a\}$ platí
Rovnost v zápise $f(x) = \mathcal{O}(g(x))$ je potřeba chápat spíše ve smyslu $f(x) \in \mathcal{O}(g(x))$. Tedy ve smyslu příslušnosti funkce $f$ k množině všech funkcí, které jsou shora asymptoticky omezené funkcí $g$ (pro $x$ jdoucí k jistému bodu). Zápis s rovností je ale zdaleka nejrozšířenější, vzhledem k použití této notace i vhodnější (viz dále). Také se v případě $\mathcal{O}$ často používá slovní spojení „$f(x)$ je nejvýše řádu $g(x)$ pro $x\to a$“.
Vraťme se k prvnímu motivačnímu odstavci před Definicí 3.12. V následujících bodech uvažujeme dvě funkce $f$ a $g$ definované na $D_f = D_g = \N$. Jediným hromadným bodem množiny $D_f \cap D_g = \N$ je bod $+\infty$ a porovnáváme proto chování těchto funkcí v bodě $+\infty$, v nekonečnu. Dále si povšimněte, že $+\infty$ nepatří do definičního oboru uvedených funkcí ani do okolí $+\infty$ a nemusíme se jím zabývat (v Definici 3.12 se v kvantifikaci nezávisle proměnné explicitně odstraňuje a první podmínka na podobnost definičních oborů je triviálně splněna).
Pro $f(n) = n$ a $g(n) = n$ platí $f(n) = \mathcal{O}(g(n))$, tj. $n = \mathcal{O}(n)$, pro $n \to +\infty$. Skutečně, v definici můžeme triviálně zvolit $c = 1$ a $U_{+\infty} = (0, +\infty)$. Pro všechna $n \in U_{+\infty} \cap \N = \N$ platí $|n| = n \leq 1 \cdot n = 1 \cdot |n|$.
Pro $f(n) = 2n + 1$ a $g(n) = n$ platí $f(n) = \mathcal{O}(g(n))$, tj. $2n+1 = \mathcal{O}(n)$, pro $n \to +\infty$. Skutečně, v definici můžeme triviálně zvolit $c = 3$ a $U_{+\infty} = (0, +\infty)$. Pro všechna $n \in U_{+\infty} \cap \N = \N$ platí $|2n+1| = 2n+1 \leq 2n+n = 3n = 3 \cdot |n|$.
Pro $f(n) = \sqrt{n}$ a $g(n) = n$ platí $f(n) = \mathcal{O}(g(n))$, tj. $\sqrt{n} = \mathcal{O}(n)$, pro $n \to +\infty$. Skutečně, v definici můžeme triviálně zvolit $c = 1$ a $U_{+\infty} = (0, +\infty)$. Pro všechna $n \in U_{+\infty} \cap \N = \N$ platí $\big|\sqrt{n}\big| = \sqrt{n} \leq \sqrt{n} \cdot \sqrt{n} = 1 \cdot |n|$.
Následující tvrzení plyne velmi přímočaře rovnou z Definice 3.12. Doporučujeme čtenáři, aby si jeho důkaz samostatně promyslel.
Mějme dvě funkce $f$, $g$ a bod $a$ splňující úvodní předpoklady uvedené v Definici 3.12 a dále předpokládejme, že hodnota $g(x)$ je nenulová na nějaké množině $(V_a \cap D_g) \smallsetminus \{a\}$, kde $V_a$ je okolí bodu $a$. Potom $f(x) = \mathcal{O}(g(x))$ pro $x \to a$, právě když existuje konstanta $c > 0$ taková, že nerovnost
platí pro každé $x \in (U_a \cap D_g \cap D_f) \smallsetminus \{a\}$, kde $U_a$ je nějaké okolí bodu $a$.
Jinak vágněji, nepřesněji a stručněji řečeno: pro funkci $g$ nenulovou na okolí bodu $a$ (s možnou výjimkou bodu $a$) je platnost $f(x) = \mathcal{O}(g(x))$ pro $x \to a$ ekvivalentní omezenosti podílu $f(x)/g(x)$ na okolí bodu $a$, s možnou výjimkou bodu $a$. Odtud je pěkně vidět, že nenulová multiplikativní konstanta, ať už násobící $f$ či $g$, nemá vliv na platnost vztahu $f(x) = \mathcal{O}(g(x))$.
Pro $x \to +\infty$ platí $\sin(x) = \mathcal{O}(1)$, ale neplatí $x^2 = \mathcal{O}(x)$ pro $x\to+\infty$.
Argumentovat můžeme využitím předchozího Tvrzení 3.1. Konstantní funkce s hodnotou $1$ i funkce $x$ jsou nenulové (dokonce kladné) třeba na $U_{+\infty}(1) = (1,+\infty)$. V případě prvního vztahu díky znalosti oboru hodnot funkce $\sin$ platí
Podíl $\sin(x) / 1$ je tedy omezený na zmíněném okolí a skutečně platí $\sin(x) = \mathcal{O}(1)$ pro $x \to +\infty$.
V druhém případně pro $x$ ze zmíněného okolí $U_{+\infty}(1)$ platí
Tento výraz může například nabývat libovolné přirozeněčíselné hodnoty (zde jednoduše $x = n \in \N$) a proto není omezený, tj. vztah $x^2 = \mathcal{O}(x)$ pro $x\to+\infty$ neplatí.
Pomocí vztahu $\mathcal{O}$ můžeme ovšem porovnávat chování funkcí i v jiných bodech, než v $+\infty$.
Platí vztah $10 x^2 = \mathcal{O}(x)$ pro $x \to 0$.
Skutečně, obě funkce jsou definované na celém $\R$ a vezmeme-li libovolné $x \in U_0(1) = (-1,1)$, pak platí
protože pro uvažované $x$ platí $|x| < 1$. Konstantu v Definici 3.12 lze tedy volit jako $c = 10$ (nebo jako libovolné jiné číslo větší než $10$). Ilustrace této situace je uvedena na Obrázku 3.8.
Platí vztah $2\sqrt{x} = \mathcal{O}(x)$ pro $x \to +\infty$.
Skutečně, obě funkce jsou definované alespoň na $(0,+\infty)$ – okolí bodu $+\infty$. Vezmeme-li nyní libovolné $x \in U_{+\infty}(1) = (1,+\infty)$, pak platí
Za konstantu v Definici 3.12 lze tedy volit $c = 2$. Pro ilustraci uvádíme Obrázek 3.9.
Grafy na Obrázcích 3.8 a 3.9 ilustrují grafické ověření nerovnosti požadované v Definici 3.12. Můžeme tam vidět volbu hledané konstanty $c$ a okolí zkoumaného bodu $a$. Obrázek samozřejmě nenahradí důkaz. Velmi ale studentům doporučuji při samostatném počítání svoje nerovnosti/odhady takto graficky testovat třeba pomocí Mathematica. Odhalíte tím velké množství chyb.
Intuitivně tedy pomocí $\mathcal{O}$ vyjadřujeme „neostrou horní mez“ až na multiplikativní konstantu (viz první bod následujícího Tvrzení 3.2). Všimněte si, že k tomu, aby platilo $f(x) = \mathcal{O}(g(x))$ pro $x\to a$, tak funkce $g$ nutně nemusí mít větší funkční hodnoty než $f$. Například uvažte pravdivý vztah $10x = \mathcal{O}(x)$ pro $x\to+\infty$. V tomto případě na okolí $U_{+\infty}(0)$ dokonce nikdy neplatí $10x \leq x$.
Učiňme ještě čtyři jednoduchá a užitečná pozorování. Jde opravdu o tvrzení plynoucí přímo z Definice 3.12.
Pro vztah $\mathcal{O}$ platí následující čtyři tvrzení.
Máme-li funkci $f$, hromadný bod $a \in D_f$ a libovolnou nenulovou konstantu $K$, pak platí
Pokud pro funkci $f$ a bod $a$ platí $f(x) = \mathcal{O}(1)$ pro $x\to a$, pak existuje okolí $U_a$ takové, že funkce $f|_{(U_a \cap D_f)\smallsetminus\{a\}}$ je omezená.
Vztah $\mathcal{O}$ je tranzitivní. Tj. pokud $f(x) = \mathcal{O}(g(x))$ a $g(x) = \mathcal{O}(h(x))$ v obou případech pro $x \to a$, pak $f(x) = \mathcal{O}(h(x))$ pro $x \to a$.
Pokud $f(x) = \mathcal{O}(g(x))$ a $h(x) = \mathcal{O}(g(x))$ pro $x \to a$, pak $f(x) + h(x) = \mathcal{O}(g(x))$ a $f(x) \cdot h(x) = \mathcal{O}\big(g(x)^2\big)$ pro $x \to a$.
Postupně dokážeme všechny čtyři body.
V Definici 3.12 stačí zvolit libovolné okolí $U_a$ bodu $a$. Potom pro $c = |K| > 0$ a libovolné $x \in (U_a \cap D_f)\smallsetminus\{a\}$ platí
Dále pro $c = \frac{1}{|K|} > 0$ a libovolné $x \in (U_a \cap D_f)\smallsetminus\{a\}$ platí
Za těchto předpokladů z Definice 3.12 plyne existence konstanty $c > 0$ a okolí bodu $U_a$ takových, že pro všechna $x \in (U_a \cap D_f)\smallsetminus\{a\}$ platí
tj. funkce $f$ zúženo na $(U_a \cap D_f)\smallsetminus\{a\}$ je omezená.
Z předpokladu $f(x) = \mathcal{O}(g(x))$ plyne existence konstanty $c_1 > 0$ a okolí $U_a$ bodu $a$ takového, že $(D_f \cap U_a) \smallsetminus \{a\} = (D_g \cap U_a) \smallsetminus \{a\}$ a pro každé $x \in D_f \cap U_a \smallsetminus \{a\} = D_g \cap U_a \smallsetminus \{a\}$ platí $|f(x)| \leq c_1 |g(x)|$. Z předpokladu $g(x) = \mathcal{O}(h(x))$ plyne existence konstanty $c_2 > 0$ a okolí $V_a$ bodu $a$ takového, že $(D_g \cap V_a) \smallsetminus \{a\} = (D_h \cap V_a) \smallsetminus\{a\}$ a pro každé $x \in D_g \cap V_a \smallsetminus \{a\} = D_h \cap V_a \smallsetminus \{a\}$ platí $|g(x)| \leq c_2 |h(x)|$. Položíme-li $W_a = U_a \cap V_a$, pak $W_a$ je okolím bodu $a$ a pak $D_f \cap W_a \smallsetminus \{a\} = D_h \cap W_a \smallsetminus \{a\}$ a pro $c \ceq c_1c_2$ platí $|f(x)| \leq c_1 |g(x)| \leq c_1c_2 |h(x)| = c |h(x)|$ pro každé $x \in D_f \cap W_a$.
Z předpokladu $f(x) = \mathcal{O}(g(x))$ plyne existence konstanty $c_1 > 0$ a okolí $U_a$ bodu $a$ takového, že $(D_f \cap U_a) \smallsetminus \{a\} = (D_g \cap U_a) \smallsetminus \{a\}$ a pro každé $x \in D_f \cap U_a \smallsetminus \{a\} = D_g \cap U_a \smallsetminus \{a\}$, platí $|f(x)| \leq c_1 |g(x)|$. Z předpokladu $h(x) = \mathcal{O}(g(x))$ plyne existence konstanty $c_2 > 0$ a okolí $V_a$ bodu $a$ takového, že $(D_h \cap V_a) \smallsetminus \{a\} = (D_g \cap V_a) \smallsetminus \{a\}$ a pro každé $x \in D_h \cap V_a \smallsetminus \{a\} = D_g \cap V_a \smallsetminus \{a\}$ platí $|h(x)| \leq c_2 |g(x)|$. Položíme-li $W_a = U_a \cap V_a$, pak $W_a$ je okolím bodu $a$ a pro $c = c_1 + c_2$ platí $|f(x) + h(x)| \leq |f(x)| + |h(x)| \leq (c_1 + c_2) |g(x)| = c |g(x)|$ pro každé $x \in W_a \cap D_f \smallsetminus \{a\} = W_a \cap D_g \smallsetminus \{a\} = W_a \cap D_h \smallsetminus \{a\}$. Podobně pro $c = c_1c_2$ platí $|f(x)h(x)| = |f(x)| |h(x)| \leq c_1c_2 |g(x)^2|$ pro $x \in W_a \cap D_f \smallsetminus \{a\} = W_a \cap D_g \smallsetminus \{a\} = W_a \cap D_h \smallsetminus \{a\}$.
Tím je důkaz všech bodů dokončen.
$\square$
Platí $\frac{\sin x + \cos x}{x} = \mathcal{O}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$ pro $x \to +\infty$.
Pro každé $x > 1$ s využitím trojúhelníkové nerovnosti a za uvedeného předpokladu platné nerovnosti $\sqrt{x} < x$ platí
Za konstantu v Definici 3.12 lze tedy volit $c = 2$.
Postupně si rozmysleme následující případy. Po prostudování předchozích příkladů a tvrzení by s těmito body neměla mít čtenářka žádný problém.
$\frac{1}{x} = \mathcal{O}(1)$ pro $x\to+\infty$,
$x = \mathcal{O}(x^2)$ pro $x\to+\infty$,
$\frac{1}{x} = \mathcal{O}\left(\frac{1}{x^2}\right)$ pro $x\to0$,
$10x = \mathcal{O}(x)$ pro $x\to+\infty$,
$10^{10}\cdot x^2 = \mathcal{O}(x^2)$ pro $x\to+\infty$,
$10x^3 + x^2 - 12 = \mathcal{O}(x^3)$ pro $x\to+\infty$,
$x^2 = \mathcal{O}(x)$ pro $x\to0$.
Nyní přejděme k druhému typu asymptotické horní meze, která je „ostřejší“ než předchozí $\mathcal{O}$. Rozdíl mezi $o$ a $\mathcal{O}$ je analogický rozdílu mezi ostrou nerovností $<$ a neostrou nerovností $\leq$.
Mějme dvě funkce $f$, $g$ a bod $a \in \overline{\R}$ takový, že $a$ je hromadným bodem množiny $D_f \cap D_g$ a existuje okolí $V_a$ splňující21 $(V_a \cap D_f) \smallsetminus \{a\} = (V_a \cap D_g) \smallsetminus \{a\}$.
Řekneme, že funkce $f$ je asymptoticky shora striktně omezená funkcí $g$ pro $x$ jdoucí k $a$, symbolicky
právě když pro každé kladné $c \in \R$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ tak, že pro všechna $x \in U_a \cap D_f \cap D_g$ různá od $a$ platí
Všimněte si jemných, ale zásadních rozdílů mezi Definicí 3.12 symbolu $\mathcal{O}$ a Definicí 3.13 symbolu $o$. Pouze jsme změnili kvantifikátor u konstanty $c$ a změnili typ nerovnosti! Pokud $f(x) = o(g(x))$ pro $x\to a$, pak se také často používá slovní spojení „$f(x)$ je striktně menšího řádu než $g(x)$ pro $x\to a$“.
Podobně jako v případě čísel platí „pokud $a< b$, pak $a\leq b$“, platí i následující očividný přímočarý důsledek Definic 3.12 a 3.13.
Pokud pro funkce $f$ a $g$ a bod $a$ platí $f(x) = o(g(x))$ pro $x\to a$, pak i $f(x) = \mathcal{O}(g(x))$ pro $x\to a$. Naopak ne.
Podobně jako v případě $\mathcal{O}$ můžeme získat alternativní formulaci definice v případě, že funkce $g$ je nenulová, viz Tvrzení 3.1. Za několik stránek toto tvrzení budeme moci interpretovat pomocí limity funkce a použít tak nástroje na výpočet limit i pro ověřování těchto asymptotických vztahů mezi funkcemi.
Mějme dvě funkce $f$, $g$ a bod $a$ splňující úvodní předpoklady uvedené v Definici 3.13 a dále předpokládejme, že hodnota $g(x)$ je nenulová na nějaké množině $V_a \cap D_g \smallsetminus \{a\}$, kde $V_a$ je okolí bodu $a$. Potom $f(x) = o(g(x))$ pro $x \to a$, právě když pro všechny konstanty $c > 0$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ tak, že platí nerovnost
pro každé $x \in U_a \cap D_g \cap D_f$, $x \neq a$.
Pouze bychom zde opakovali důkaz Tvrzení 3.1 s jinými kvantifikátory. Promyslete!
$\square$
Platí $\frac{1}{x^2} = o\left(\frac{1}{x}\right)$ pro $x \to +\infty$.
Skutečně, vezmeme-li libovolné $c > 0$ a $x \in U_{+\infty}(1/c) = (1/c,+\infty)$, pak platí
Grafická ilustrace této situace je na Obrázku 3.10.
Neplatí $x = o(2x)$ pro $x \to +\infty$, i když $x = \mathcal{O}(2x)$ by v tomto bodě platilo.
Skutečně, vezmeme-li například $c = \frac{1}{4}$ a libovolné $x > 0$, pak
Opačná nerovnost tedy nemůže platit na žádném okolí $+\infty$. Ilustrace k tomuto příkladu je uvedena na Obrázku 3.11.
V následujícím tvrzení shrnujeme ty nejzákladnější vlastnosti $o$ plynoucí takřka ihned přímo z Definice 3.13. Opět toto tvrzení porovnejte s Tvrzením 3.2.
Vztah $o$ oplývá následujícími vlastnostmi.
Vztah $o$ je tranzitivní. Tj. pokud $f(x) = o(g(x))$ a $g(x) = o(h(x))$ v obou případech pro $x \to a$, pak $f(x) = o(h(x))$ pro $x \to a$.
Pokud $f(x) = o(g(x))$ a $h(x) = o(g(x))$ pro $x \to a$, pak $f(x) + h(x) = o(g(x))$ a $f(x) \cdot h(x) = o\big(g(x)^2\big)$ pro $x \to a$.
Tento už opravdu zkuste provést sami. Jako vodítko lze použít důkaz Tvrzení 3.2.
$\square$
Rozmyslete si následující tvrzení.
$x^2 = o(x)$ pro $x\to0$,
$(x-1)^5 = o((x-1)^4)$ pro $x\to1$,
$\frac{2}{x} = o\left(\frac{1}{x^2}\right)$ pro $x\to0$,
$x^2 = o(x^3)$ pro $x\to+\infty$,
$\frac{1}{x^2} = o\left( \frac{1}{x} \right)$ pro $x\to+\infty$.
Jaká funkce splňuje $f(x) = o(1)$ pro $x\to+\infty$?
Udejte příklad dvou různých funkcí $f$ a $g$ pro které platí $f(x) = \mathcal{O}(g(x))$ pro $x\to 1$, ale neplatí $f(x) = o(g(x))$ pro $x \to 1$.
Například $f(x) = x$ a $g(x) = 2x$.
Na závěr této podkapitoly uvedeme ještě několik interaktivních ukázek. Na Obrázku 3.12 ilustrujeme grafický význam podmínky v definici $o$ v případě porovnávání funkcí v bodě $a\in\R$ (Definice 3.13).
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Bod $\alpha\in\eR$ nazýváme hromadným bodem množiny $M \subset \R$, právě když v každém okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ leží nějaký prvek množiny $M$ různý od $\alpha$.
Pod okolím bodu $a\in\eR$, ozn. $U_a$, máme na mysli buď okolí $U_a(\veps)$ pro nějaké $a\in\R$ a $\veps > 0$, nebo okolí $U_{\pm\infty}(c)$ pro nějaké $c\in\R$.
Mějme dvě funkce $f$, $g$ a bod $a \in \overline{\R}$ takový, že $a$ je hromadným bodem množiny $D_f \cap D_g$ a existuje okolí $V_a$ splňující $(V_a \cap D_f) \smallsetminus \{a\} = (V_a \cap D_g) \smallsetminus \{a\}$.
Řekneme, že funkce $f$ je asymptoticky shora omezená funkcí $g$ pro $x$ jdoucí k $a$, symbolicky
právě když existuje kladná konstanta $c \in \R$ a okolí $U_a$ bodu $a$ tak, že pro všechna $x \in (U_a \cap D_f \cap D_g) \smallsetminus \{a\}$ platí
Pro libovolná reálná $a$ a $b$ platí nerovnost
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Bod $\alpha\in\eR$ nazýváme hromadným bodem množiny $M \subset \R$, právě když v každém okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ leží nějaký prvek množiny $M$ různý od $\alpha$.
Pod okolím bodu $a\in\eR$, ozn. $U_a$, máme na mysli buď okolí $U_a(\veps)$ pro nějaké $a\in\R$ a $\veps > 0$, nebo okolí $U_{\pm\infty}(c)$ pro nějaké $c\in\R$.
Mějme dvě funkce $f$, $g$ a bod $a \in \overline{\R}$ takový, že $a$ je hromadným bodem množiny $D_f \cap D_g$ a existuje okolí $V_a$ splňující $(V_a \cap D_f) \smallsetminus \{a\} = (V_a \cap D_g) \smallsetminus \{a\}$.
Řekneme, že funkce $f$ je asymptoticky shora striktně omezená funkcí $g$ pro $x$ jdoucí k $a$, symbolicky
právě když pro každé kladné $c \in \R$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ tak, že pro všechna $x \in U_a \cap D_f \cap D_g$ různá od $a$ platí