V této sekci připomeneme definici různých typů intervalů a dále zadefinujeme nový pojem „okolí bodu“ na reálné ose. Tento pojem budeme intenzivně využívat v dalším výkladu a i v dalších předmětech. Nejprve si připomeňme známé intervaly.
Výše v textu, v Podkapitole 2.2.2, jsme připomněli pojem uzavřeného intervalu. Tuto definici nyní zopakujme a rozšiřme i o další známé typy intervalů. Nechť pro $a, b \in \R$ platí $a < b$. Potom definujeme
Dále definujeme neomezené intervaly
Ve všech těchto intervalech mluvíme o $a$ jako o počátečním bodu a o $b$ jako o koncovém bodu intervalu. O bodech $a$ a $b$ souhrnně mluvíme jako o krajních bodech daných intervalů. Grafickou ilustraci jednoho polouzavřeného intervalu uvádíme na Obrázku 2.4.
Pro neomezené intervaly s krajním bodem $0$ navíc občas používáme speciální značení:
tedy popořadě kladná, záporná, nezáporná a nekladná reálná čísla.
V některých zdrojích lze narazit na alternativní značení otevřených a uzavřených intervalů využívající hranatých závorek. Například „$[1, 2]$“ by představoval náš uzavřený interval $\langle 1, 2 \rangle$ a „$]-1, 1[$“ pak náš otevřený interval $(-1, 1)$.
Aby to nebylo tak jednoduché, tak existuje ještě „kompromisní“ varianta značení, která používá hranaté závorky k označení uzavřených intervalů (např. $[1,2]$) a kulaté závorky k označení otevřených intervalů (např. $(1,2)$).
Ani jedno z těchto značení zde v tomto textu, resp. celém předmětu, nevyužíváme a striktně se držíme kulatých a špičatých závorek.
V předchozích odstavcích jsme o některých podmnožinách reálné osy mluvili jako o „omezených“, resp. „neomezených“. Tento pojem je zřejmě intuitivně uchopitelný, ale pro úplnost uveďme i jeho formální definici.
Množinu reálných čísel $A \subset \R$ nazýváme omezenou, právě když existuje reálná konečná konstanta $K > 0$ taková, že pro každé $x \in A$ platí nerovnost $|x| < K$. Množinu $A \subset \R$ nazýváme neomezenou, právě když není omezená. Tedy pro každé reálné konečné $K > 0$ existuje $x \in A$ splňující $|x| \geq K$.
Například množina $\N$ je neomezená. Naproti tomu množina $\{\sin(n) \mid n \in \N\}$ je omezená. Jistě pro všechna přirozená čísla platí $|\sin(n)| < 4$ nebo $|\sin(n)| < 1$. Všimněte si, že v Definici 2.4 se nevyžaduje, aby konstanta $K$ byla nejmenší možná, stačí libovolná splňující uvedenou podmínku10.
Změnil by se význam pojmu „omezená množina“ zavedený v Definici 2.4, pokud bychom podmínku $|x| < K$ nahradili za $|x| \leq K$?
Ne.
Které z následujících množin jsou omezené a které neomezené?
$\Big\{\frac{1}{n}\,\Big|\, n\in\N\Big\}$,
$\{\tg\,x \mid x \in (-\pi/4,\pi/4)\}$,
$\{\tg\,x \mid x \in (-\pi/4,\pi/2)\}$,
$\{x\in\R \mid \sin(x) = 0\}$,
množina všech prvočísel,
množina všech cifer v desítkovém zápisu čísla $\pi$.
Svou argumentaci pečlivě založte na Definici 2.4, tj. buď nalezněte vhodnou omezující konstantu, nebo dokažte, že taková neexistuje.
a. omezená, b. omezená, c. neomezená, d. neomezená, e. neomezená, f. omezená.
Dalším důležitým pojmem, který pro čtenáře může být novým, je okolí bodu. Tento pojem je pro náš výklad poměrně ústřední, spousta dalších důležitých pojmů, jako hromadný bod, limita nebo derivace, tohoto pojmu využívají (ať už přímo, nebo nepřímo). Okolí bodu máme k dispozici ve dvou typech: podle toho, jestli oním bodem je reálné číslo nebo $\pm\infty$. V této části textu se věnujeme případu $a \in \R$.
Nechť $a \in \R$ je reálné číslo a $\veps \in \R$ je kladné, $\veps > 0$. Otevřený interval $(a-\veps, \ a+\veps)$ nazýváme okolím bodu $a$ o poloměru $\veps$ a značíme $U_a(\veps)$. Někdy též o této množině mluvíme jako o $\veps$-okolí bodu $a$.
Alternativně můžeme tato okolí popsat pomocí vzdálenosti bodů na reálné ose, resp. absolutní hodnoty. Je-li $a\in\R$ a $\veps > 0$, pak $x \in U_a(\veps)$ platí právě, když $|x-a| < \veps$. Bod $x$ tedy patří do okolí $U_a(\veps)$ bodu $a\in\R$ právě tehdy, když jeho vzdálenost od $a$ je menší než $\veps$, symbolicky
O parametru $\veps$ se z očividných důvodů často mluví jako o poloměru a o bodu $a$ jako o středu okolí $U_a(\veps)$.
Okolí $U_a(\veps)$ zavedená v Definice 2.5 též často nazýváme oboustranná, tyto množiny se totiž „rozprostírají“ na obě strany od bodu $a$, tedy okolo bodu $a$ (odtud by měla být patrná motivace pro volbu názvu „okolí“). Značení pomocí symbolu „$U$“ pochází z německého slovíčka die Umgebung pro „okolí“. Grafické znázornění tohoto typu okolí na reálné ose je uvedeno na Obrázku 2.5.
Dále zavádíme tzv. jednostranná okolí bodu $a\in\R$. Grafickou reprezentaci tohoto typu okolí uvádíme na Obrázku 2.5.
Nechť $a\in\R$ a $\veps \in \R$ splňuje $\veps > 0$. Polouzavřený interval $\langle a, a+\veps)$, resp. $(a-\veps, a\rangle$, nazýváme pravým, resp. levým, $\veps$-okolím bodu $a$ a značíme ho $U_a^+(\veps)$, resp. $U_a^-(\veps)$.
Důvod pro použití slovíčka „jednostranné“ je patrně očividné. Pro větší názornost i tento typ okolí naleznete ilustrovaný na Obrázku 2.5.
Pro další výklad (zejména o limitách posloupností a funkcí) je vhodné definovat i okolí bodů $+\infty$ a $-\infty$ patřících do množiny $\eR$. Následující definice přesně tento další druh okolí zavádí.
Nechť $c \in \R$. Otevřený interval $(c, \ +\infty)$, resp. $(-\infty, c)$, nazýváme okolím bodu $+\infty$, resp. $-\infty$, v $\R$ a značíme $U_{+\infty}(c)$, resp. $U_{-\infty}(c)$.
Pro zadané $c \in \R$ tedy do množiny $U_{+\infty}(c)$ patří všechna reálná čísla, která jsou ostře větší než $c$. Grafická reprezentace takovéhoto typu okolí je uvedena na Obrázku 2.6.
Všimněte si, že pro všechna zavedená okolí bodů $a\in \R$ platí $a \in U_a(\veps)$, $a \in U_a^+(\veps)$ a $a \in U_a^-(\veps)$. Naopak ovšem $+\infty \notin U_{+\infty}(c)$ a $-\infty \notin U_{-\infty}(c)$.
„Okolí bodu“ teď tedy máme definované pro libovolné $a\in\eR$. Všimněte si, že toto okolí je vždy podmnožinou $\R$. V zájmu zjednodušení značení zavádíme následující zastřešující pojem.
Procvičme si výše zavedené názvosloví,
interval $(-1,1)$ je okolím bodu $0$ s poloměrem $1$, jedná se o $U_0(1)$,
interval $\langle -1,1 \rangle$ není okolím bodu $0$, ale obsahuje jakožto podmnožiny nekonečně mnoho okolí bodu $0$ nebo i bodu $1/2$,
interval $(-1,2)$ není okolím bodu $0$, jedná se ovšem o okolí bodu $1/2$ s poloměrem $3/2$,
interval $(-10,+\infty)$ je okolím bodu $+\infty$, jedná se o $U_{+\infty}(-10)$,
interval $(-\infty, 1\rangle$ není okolím bodu $+\infty$ ani $-\infty$,
interval $\langle 2, 3)$ je pravým okolím bodu $2$, jedná se o $U_2^+(1)$.
Laskavé čtenářstvo si v tento okamžik jistě rádo vymyslí další příklady. U těchto úvah silně doporučujeme si situaci graficky znázornit na reálné ose.
Který z následujících intervalů
není okolím bodu $-\infty$?
Poslední možnost dle naší definice nepředstavuje okolí bodu $-\infty$.
Množinu reálných čísel $\R$ chápeme jako číselné těleso $(\R, +, \cdot)$, které je vybavené úplným uspořádáním $<$ a které splňuje axiom úplnosti.
Množinu reálných čísel $\R$ chápeme jako číselné těleso $(\R, +, \cdot)$, které je vybavené úplným uspořádáním $<$ a které splňuje axiom úplnosti.
Nechť $a \in \R$ je reálné číslo a $\veps \in \R$ je kladné, $\veps > 0$. Otevřený interval $(a-\veps, \ a+\veps)$ nazýváme okolím bodu $a$ o poloměru $\veps$ a značíme $U_a(\veps)$. Někdy též o této množině mluvíme jako o $\veps$-okolí bodu $a$.
Nechť $c \in \R$. Otevřený interval $(c, \ +\infty)$, resp. $(-\infty, c)$, nazýváme okolím bodu $+\infty$, resp. $-\infty$, v $\R$ a značíme $U_{+\infty}(c)$, resp. $U_{-\infty}(c)$.