8.3 Vztah diferencovatelnosti a spojitosti

Již jsme zavedli dvě lokální vlastnosti funkcí. Máme-li zadánu funkci $f$ a bod $a$ v jejím definičním oboru, můžeme zkoumat spojitost funkce $f$ v bodě $a$ a diferencovatelnost funkce $f$ v bodě $a$, resp. existenci derivace funkce $f$ v bodě $a$. Jak spolu všechny tyto pojmy souvisí? Průzkum začněme následující větou.

Věta 8.1 (O vztahu diferencovatelnosti a spojitosti)

Je-li $f$ funkce diferencovatelná v bodě $a$, pak je spojitá v bodě $a$. Tj. platí implikace

\begin{equation*} f^{\prime}(a) \in \R \quad \Rightarrow \quad \lim_{x\to a} f(x) = f(a). \end{equation*}

Zobrazit důkaz

Elementární úpravou a použitím věty o limitě součtu a součinu

\begin{align*} \lim_{x\to a} f(x) &= \lim_{x\to a} \left( \frac{f(x) - f(a)}{x-a} \cdot (x-a) + f(a) \right) = \\ &= \lim_{x\to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} \cdot \lim_{x\to a} (x-a) + f(a) = f'(a) \cdot 0 + f(a) = f(a).\end{align*}

Tedy $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$. Poznamenejme, že „diferencovatelnost“ znamená $f'(a) \in \R$ a výraz na konci výpočtu proto má za uvedených předpokladů smysl.

$\square$

Předchozí věta je pouze implikace jedním směrem. Obrácené tvrzení neplatí. Přesněji, ze spojitosti funkce $f$ v bodě $a$ neplyne její diferencovatelnost v bodě $a$. Jako příklad lze uvážit funkci $f(x) = |x|$ a bod $a = 0$. Skutečně, protože

\begin{align*} \lim_{h \to 0+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0+} \sgn(h) = +1, \\ \lim_{h \to 0-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0-} \sgn(h) = -1\end{align*}

oboustranná limita (tedy derivace funkce $f$ v bodě $0$, $f'(0)$)

\begin{equation*} \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} \end{equation*}

neexistuje. Funkce $f$ je však v bodě $0$ spojitá, jak snadno nahlédneme vypočtením její limity v bodě $0$. Geometricky by mělo být zřejmé, v čem je problém. Představte si graf absolutní hodnoty a podívejte se co se děje v bodě $0$, nachází se zde ostrý „zlom“, kde pojem tečny nemá dobrý smysl.

Poznámka 8.4

Dokonce existují funkce spojité na celém $\R$ nemající derivaci ani v jednom bodě. Předběhneme-li do témat předmětu  BI-MA2, pak příkladem takovéto spojité funkce nemající derivaci ani v jednom bodě je funkce

\begin{equation*} f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\{10^n \cdot x\}}{10^n}, \end{equation*}

kde $\{x\}$ značí vzdálenost reálného čísla $x$ od nejbližšího celého čísla. Protože $0 \leq \{x\} < 1$ konverguje řada absolutně pro každé $x$. Definičním oborem funkce $f$ je proto celá reálná osa $D_f = \R$. Ukázat spojitost a vyvrátit diferencovatelnost je však už složitější. Tato poznámka je hodně na okraj  BI-MA1.

Pokud má funkce v daném bodě nekonečnou derivaci, nemusí v něm být spojitá. Požadavek diferencovatelnosti ve Větě 8.1 je podstatný. Například o funkci $f(x) = \sgn(x)$ víme, že není spojitá v bodě $a = 0$, protože obě jednostranné limity v tomto bodě jsou navzájem různé. V bodě $a = 0$ ale má tato funkce derivaci a její hodnota je

\begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = \lim_{x\to 0} \frac{\sgn x - \sgn 0}{x - 0} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{|x|} = +\infty. \end{equation*}

Otázka 8.1

Má funkce $f$ definovaná po částech předpisy $f(0) = 0$ a $f(x) = -1/x$ pro $x \neq 0$ derivaci v bodě $0$? Jaká je její případná hodnota? Jak by to bylo s funkcí $g(x) = 1/x$?

Zobrazit odpověď

$f'(0) = -\infty$, $g'(0)$ neexistuje.