Nyní ukážeme, jak obecně zformulovat v tento okamžik vágní požadavek „bezděrovosti“ číselné osy. Předpokládejme, že máme množinu $\R$, která obsahuje racionální čísla, $\Q \subset \R$, a máme na ní definované operace násobení, sčítání, jejich „inverze“ (odčítání a dělení) a také uspořádání $<$ a všechny tyto operace mají stejné vlastnosti jako u racionálních čísel (tj. jedná se o úplně uspořádané číselné těleso, viz výše).
Uspořádání $<$ množiny $\R$ nám nyní umožňuje definovat veledůležitý pojem absolutní hodnoty a vzdálenosti mezi body $\R$. Vzdálenost dvou reálných čísel $a$ a $b$ definujeme jako hodnotu $|a-b|$, kde $|x|$ je absolutní hodnota $x\in\R$ definovaná vztahem
Tento zápis je třeba číst takto: hodnota $|x|$ je definována jako $x$, pokud $x$ je nezáporné, a jako $-x$, pokud $x$ je záporné. Způsob zápisu použitý v rovnici (2.3) je poměrně častý a ještě na něj několikrát narazíme. V oblíbeném programovacím jazyce Python bychom například psali
def abs(x):
if x >= 0:
return x
elif x < 0:
return -x
Uvažme funkci
Určete hodnoty $f(-1/2)$, $f(-2)$ a $f(1)$.
$f(-2) = 1$, $f(-1/2) = 2$ a $f(1) = 3$.
Absolutní hodnota splňuje řadu důležitých vlastností, přímo z definiční rovnosti (2.3) snadno nahlédnete následující vztahy:
platné pro každé reálné $a$, $b$ a nenulové $c$. Dále z definice okamžitě plynou nerovnosti
platné pro každé $a\in\R$.
Další fundamentální vlastností absolutní hodnoty je tzv. trojúhelníková nerovnost, kterou během semestru několikrát v důležité okamžiky využijeme.
Pro libovolná reálná $a$ a $b$ platí nerovnost
Využijeme nerovností (2.4), tj. $a\leq |a|$ a $-a\leq |a|$ platné pro libovolné $a\in\R$. Uvažme libovolné $a, b\in\R$. Pokud $a + b \geq 0$, potom $|a + b| = a + b \leq |a| + |b|$. Je-li $a + b < 0$, potom $|a + b| = -(a + b) = -a + (-b) \leq |a| + |b|$.
$\square$
Absolutní hodnota oplývá ještě jednou užitečnou vlastností, kterou použijeme později během semestru. Jde o další nerovnost, kterou si zformulujeme jako tvrzení.
Pro každé $x,y\in\R$ platí $\big||x| - |y|\big| \leq |x - y|$.
Skutečně, díky trojúhelníkové nerovnosti platí
a po prohození $x$ za $y$ a jednoduché úpravě pak i $|x| - |y| \geq -|x - y|$. Čili dohromady $-|x-y| \leq |x| - |y| \leq |x - y|$, což je ekvivalentní dokazovanému tvrzení.
$\square$
Než se pustíme do formulace axiomu úplnosti, musíme zavést, či připomenout, ještě jeden důležitý pojem. Pro $a, b \in \R$, $a < b$, označme $\langle a, b \rangle \ceq \{x \in \R \mid a \leq x \leq b\}$ a nazvěme tuto množinu uzavřeným intervalem a body $a,b$ koncovými body tohoto intervalu. Délkou intervalu $\langle a, b \rangle$ nazýváme číslo $|b - a|$, tj. vzdálenost jeho koncových bodů. K dalším typům intervalů se vrátíme ještě v Podkapitole 2.4.1. Z vlastností absolutní hodnoty, které jsou stejné jako pro racionální čísla, plyne nerovnost $|x - y| \leq |b - a|$ platná pro každé $x,y \in \langle a, b \rangle$.
Vraťme se nyní k Příkladu 2.1 a číslu $\sqrt{2}$. Předpokládejme, že $\R$ již obsahuje kladné řešení rovnice $x^2 = 2$, které značíme $\sqrt{2}$. Pro $\sqrt{2}$ musí platit $\sqrt{2}\in \langle 1,2 \rangle = I_1$ (protože $a < 1$ implikuje $a^2 < a \cdot 1 < 1$ a $a > 2$ implikuje $a^2 > a\cdot 2 > 2$, tudíž pro $\sqrt{2}$ nemůže platit ani $\sqrt{2}< 1$, ani $\sqrt{2} > 2$). Rozpůlením $I_1$ podobným způsobem zjistíme, že $\sqrt{2} \in \langle 1,\frac{3}{2} \rangle = I_2$ (protože $a > 3/2$ implikuje $a^2 > 9/4 > 2$). Pokračujeme dále půlením těchto uzavřených intervalů. Protože takto konstruované koncové body jsou vždy racionální čísla a $\sqrt{2}$ racionální není (viz Příklad 2.1), nikdy se nestane, že by po nějakém dělení byl bod $\sqrt{2}$ koncovým bodem intervalu, a postup tak lze libovolně opakovat. Dostáváme tudíž intervaly $I_n$, $n\in\N$, uvnitř kterých leží $\sqrt{2}$.
Pro takto zkonstruované intervaly $I_n$ platí inkluze $I_{n+1} \subset I_n$ a délka intervalu $I_n$ je $\frac{1}{2^{n-1}}$. Tudíž $\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n$ je nejvýše jednoprvková množina. Opravdu, pro každé $2$ různé body, mezi nimiž je nutně vzdálenost $d > 0$, existuje $m \in \N$ takové, že délka intervalu $I_{m}$ je menší než $d$, a nemohou tedy oba současně patřit do $I_{m}$ a tedy ani do průniku $\bigcap_{n=1}^\infty I_n$. Náš požadavek $\sqrt{2} \in \R$ v tomto případě znamená, že
Grafickou ilustraci konstrukce těchto intervalů lze nalézt na Obrázku 2.3.
Obecný požadavek, aby množina $\R$ „neměla díry“, můžeme nyní přesně formulovat jako tzv. axiom úplnosti: Každý systém uzavřených a do sebe se vnořujících intervalů, jejichž délky jsou libovolně malé, má neprázdný průnik. Podrobněji, pokud jsou $I_n$, $n\in\N$, uzavřené intervaly splňující
$I_n \supset I_{n+1}$ pro libovolné $n \in \N$, tj. $I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots$.
pro každé $\varepsilon > 0$ existuje přirozené $n$ tak, že délka $I_n$ je menší než $\varepsilon$,
pak
Je důležité si uvědomit, že axiom úplnosti je to jediné, co odlišuje reálná čísla od racionálních čísel. Jak bylo ukázáno výše na příkladu $\sqrt{2}$, racionální čísla tento axiom nesplňují. Algebraicky (vzhledem k $+$ a $\cdot$) mají jinak tyto množiny shodné vlastnosti. Pro úplnost dodejme, že reálná čísla také znázorňujeme jako body na číselné ose, přičemž nyní již každému bodu na této ose odpovídá právě jedno reálné číslo. Z tohoto důvodu číselnou osu nazýváme také reálnou osou.
V axiomu úplnosti je zásadní požadavek na neprázdnost průniku vzájemně do sebe vnořených uzavřených intervalů. Podmínka na jejich délku není nutná, ale zase pěkně vystihuje jádro problému a proto ji do axiomu zahrnujeme.
V tomto textu tedy využíváme axiomatickou definici množiny reálných čísel, která intuitivně představuje číselný analog geometrické představy přímky. Skutečná konstrukce8 takovéhoto tělesa je nad rámec tohoto kurzu. Klasická konstrukce pomocí tzv. Dedekindových9 řezů historicky spadá až do druhé poloviny devatenáctého století. Vlastnosti množiny reálných čísel shrnuje následující definice.
Množinu reálných čísel $\R$ chápeme jako číselné těleso $(\R, +, \cdot)$, které je vybavené úplným uspořádáním $<$ a které splňuje axiom úplnosti.
Pro pohodlí čtenáře explicitně vypíchněme, co vše za požadavky na operace $+$, $\cdot$ a $<$ je vlastně v předchozí definici nakladeno:
asociativní zákony pro $+$ a $\cdot$,
komutativní zákony pro $+$ a $\cdot$,
distributivní zákon ($\cdot$ vůči $+$),
existence nuly (neutrální prvek vůči $+$) a jedničky (neutrální prvek vůči $\cdot$),
existence opačných prvků (vůči $+$),
existence inverzních prvků (vůči $\cdot$ a pouze pro nenulové prvky) ,
úplné uspořádání $<$,
axiom úplnosti.
Množinu reálných čísel $\R$ chápeme jako číselné těleso $(\R, +, \cdot)$, které je vybavené úplným uspořádáním $<$ a které splňuje axiom úplnosti.