Často nás bude zajímat největší, resp. nejmenší, hodnota, kterou může zadaná funkce na zadaném intervalu nabývat. Proto zavádíme následující pojem.
V této definici zdůrazňujeme funkční hodnotu, maximální/minimální hodnota může být nabyta ve více bodech. Například funkce $f(x) = \cos(x)$ nabývá na intervalu $\langle 0,2\pi \rangle$ svou maximální hodnotu $1$ ve dvou bodech, v $0$ a $2\pi$.
Rozmyslete si následující jednoduchá tvrzení o funkci $f(x) = 2x$:
Funkce $f$ nemá globální maximum ani minimum (nemá globální extrém).
Na množině $M = \langle -1, \infty)$ má $f$ globální minimum v bodě $-1$ s hodnotou $-2$ a nemá globální maximum.
Na množině $M = (-1, 2\rangle$ nemá $f$ globální minimum a má globální maximum v bodě $2$ s hodnotou $4$.
Obecně ani nevíme, jestli daná funkce vůbec lokální či globální extrém má. Jedná-li se ale o funkci spojitou na uzavřeném intervalu, pak je existence globálních extrémů na tomto intervalu zaručena následující větou.
Funkce $f$ spojitá a definovaná právě na uzavřeném intervalu $\langle a,b \rangle$ nabývá globálního maxima a minima na tomto intervalu, přesněji existují $\alpha,\beta\in\langle a,b \rangle$ splňující $f(\alpha) = \max_{\langle a,b \rangle} f$ a $f(\beta) = \min_{\langle a,b \rangle} f$. Tento extrém může být nabyt pouze v krajních bodech $a$, $b$ a v bodech, kde je derivace rovna $0$ nebo neexistuje.
Již víme, že je-li $f$ spojitá, pak obrazem uzavřeného intervalu $J = \langle a,b \rangle$ je opět uzavřený interval $f(J)$ (nebo jednoprvková množina, v tom případě je situace triviální). Vzpomeňte na Větu 7.6. Krajní body tohoto intervalu $f(J)$ pak jsou příslušným maximem, resp. minimem, dané funkce na intervalu $J$.
$\square$
Tuto větu lze s výhodou použít, hledáme-li pouze největší a nejmenší hodnotu spojité funkce $f$ na uzavřeném intervalu $J$ a nezajímají nás další detaily o průběhu funkce $f$. Stačí pouze porovnat funkční hodnoty v bodech podezřelých z extrému, tedy bodech kde je derivace funkce $f$ nulová nebo neexistuje, nebo v krajních bodech intervalu na kterém extrémy funkce zkoumáme.
Jako příklad uvažme funkci
na intervalu $\langle 0,2 \rangle$. Derivace je nulová v bodě $\frac{3}{2}$, porovnáním funkčních hodnot
uzavíráme že globální maximum je v bodě $0$ s hodnotou $2$ a globální minimum je v bodě $\frac{3}{2}$ s hodnotou $-\frac{1}{4}$. Graf uvažované funkce je na Obrázku 9.4. Povšimněte si ale, že jsme extrémní hodnoty nalezli bez jakékoliv grafické představy (kterou často nemáme k dispozici), využili jsme pouze spojitost dané funkce a uzavřenost zadaného intervalu!
Z papíru tvaru obdélníka se stranami $8$ cm a $3$ cm vyrobíme krabičku tak, že vystřihneme ze všech čtyř rohů stejné čtverce. Krabička bude mít výšku rovnou straně tohoto čtverce. Viz Obrázek 9.5. Nalezněte délku strany čtverce, při níž bude objem krabičky největší.
Označme stranu vystřihnutých čtverců symbolem $x$. Pro objem krabičky $O(x)$ platí
kde $x\in\langle 0,\frac{3}{2}\rangle$. Derivace $O(x)$ je nula pouze v bodech $3$ a $\frac{2}{3}$, ovšem pouze $\frac{2}{3} \in \langle 0,\frac{3}{2}\rangle$. V tomto bodě nastává i maximum $O(\frac{2}{3}) = \frac{200}{27}\,\mathrm{cm}^3$, protože $O(0) = O(\frac{3}{2}) = 0$.
Na závěr této podkapitoly ještě poznamenejme, že uzavřenost intervalu v předchozí Větě 9.3 je podstatná. Jako příklad uvažme funkci
spojitou na otevřeném intervalu $J = (0,4)$. Tato funkce nemá na $J$ ani maximum ani minimum. Skutečně, platí totiž
Díky její spojitosti pak platí $f(J) = \R$, čili $\sup_J f = +\infty$ a $\inf_J = -\infty$. Graf této funkce je uveden na Obrázku 9.6.
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Buď $M \subset \R$. Reálné číslo $\alpha \in M$ nazýváme
maximem množiny $M$, právě když pro všechna $x\in M$ platí $x \leq \alpha$,
minimem množiny $M$, právě když pro všechna $x\in M$ platí $\alpha \leq x$.
Maximum, resp. minimum, množiny $M$ značíme $\max M$, resp. $\min M$.
Funkce $f$ je spojitá na intervalu $J$, právě když $f\vert_J$ ($f$ zúženo na $J$) je spojitá v každém bodě intervalu $J$. Funkci $f$ nazýváme spojitou, právě když je $f$ spojitá v každém bodě svého definičního oboru. Množinu všech spojitých funkcí definovaných na intervalu $J$ značíme $\mathcal{C}(J)$.
Buď $M \subset \R$. Reálné číslo $\alpha \in M$ nazýváme
maximem množiny $M$, právě když pro všechna $x\in M$ platí $x \leq \alpha$,
minimem množiny $M$, právě když pro všechna $x\in M$ platí $\alpha \leq x$.
Maximum, resp. minimum, množiny $M$ značíme $\max M$, resp. $\min M$.
Mějme funkci $f$ a množinu $M \subset D_f$. Globálním maximem (resp. minimem) funkce $f$ na množině $M$ nazýváme hodnotu $\displaystyle\max_M f$ (resp. $\displaystyle\min_M f$), existují-li. Pokud vynecháme specifikaci množiny $M$, pak máme na mysli případ $M = D_f$.