3.1 Reálná funkce

Ústředním objektem našeho zájmu v tomto předmětu bude „reálná funkce“. Pod tímto slovním spojením máme na mysli následující obecný koncept.

Definice 3.1 (Reálná funkce / real function)

Mějme $n \in \N$ a $A \subset \R^n$ neprázdnou množinu. Zobrazení $f$ neprázdné množiny $A$ do množiny reálných čísel $\R$, tj. symbolicky $f\colon A \to \R$, nazýváme reálnou funkcí. O množině $A$ mluvíme jako o definičním oboru funkce $f$ a značíme ji $D_f$. Dále množinu $H_f$ všech $y \in \R$, pro která existuje $x \in A$ splňující $f(x) = y$, symbolicky

\begin{equation*} H_f \ceq \{ y \in \R \mid (\exists x \in A)(f(x) = y) \}, \end{equation*}

nazýváme oborem hodnot funkce $f$.

Připomeňme, že takovéto zobrazení $f$ je formálně zadáno jako podmnožina kartézského součinu $A \times \R$. Funkční hodnotu zobrazení $f$ v bodě $x \in A$ značíme standardně $f(x)$.

Poznámka 3.1 (Funkce vs. funkční hodnota)

Rozlišování mezi reálnou funkcí a její hodnotou je běžné i v programovacích jazycích. Například v Pythonu můžeme jediným příkazem vytvořit funkci $f$ působící na svém argumentu předpisem $f(x) = x + 10$,

f = lambda x: x + 10

V proměnné f je nyní uložen objekt typu funkce, příkaz type(f) nám vrátí function. f má smysl samo o sobě (an sich). Teprve voláme-li funkci f s konkrétním argumentem, tak získáme funkční hodnotu. Například položíme-li x=3 po vyhodnocení f(x) dostaneme 13.

Poznámka 3.2 (Není funkce jako funkce)

Z programátorského pohledu zde mluvíme o tzv. čisté funkci (pure function). Většina „funkcí“, které při programování používáte, nejsou funkce ve výše uvedeném smyslu (i kdybychom relaxovali požadavek na reálnou návratovou hodnotu – jejich výstup může být ovlivněn i něčím dalším, než hodnotou argumentů, a navíc mohou mít vedlejší efekty).

Poznámka 3.3

Uvedená Definice 3.1 je záměrně obecná a zastřešuje pojmy „reálná funkce reálné proměnné“, „reálná posloupnost“ a „reálná funkce více reálných proměnných“, s kterými se budeme postupně podrobněji seznamovat.

Poznámka 3.4 (Závisle a nezávisle proměnné, značení)

Reálnou funkci reálné proměnné $f$ také lze chápat jako formální popis závislosti dvou veličin (proměnných), např. $x$ a $y$, kterou znázorňujeme v grafu s horizontální osou $x$ a vertikální $y$, symbolicky v tomto případě píšeme $y = f(x)$. O $x$ pak mluvíme jako o nezávisle proměnné a o $y$ jako o závisle proměnné. Je-li totiž zadána hodnota proměnné $x$, pak pomocí $f$ lze jednoznačně určit hodnotu proměnné $y$, Proto hodnota $y$ závisí na hodnotě $x$, která je v tomto smyslu nezávislá. Tuto interpretaci často potkáte ve fyzice, ale pro její názornost ji občas budeme používat i zde.

Nezávisle proměnnou různých funkcí budeme označovat symboly $n$, $k$, či $\ell$ v situacích, kdy probíhají nějakou podmnožinu celých čísel („diskrétní proměnná“). Symboly $x$, $y$ a $z$ používáme pro „spojitou proměnnou“, nebo v situaci, kdy nemáme bližší informaci o definičním oboru.

Mezi reálnými funkcemi lze přirozeně provádět základní algebraické operace:

Definice 3.2 (Násobek, součet, součin a podíl reálných funkcí)

Mějme reálné funkce $f\colon A \to \R$ a $g\colon B \to \R$ a konstantu $c \in \R$.

  • Potom definujeme násobek reálné funkce $f$ konstantou $c$ jako funkci

    \begin{equation*} (cf)(x) \ceq c \cdot f(x), \quad x \in D_{cf} \ceq A. \end{equation*}

  • Pokud $C \ceq A \cap B \neq \emptyset$, pak definujeme součet funkcí $f + g\colon C \to \R$ a součin $f \cdot g\colon C \to \R$ těchto reálných funkcí předpisy

    \begin{equation*} (f+g)(x) \ceq f(x) + g(x) \quad \text{a} \quad (f\cdot g)(x) \ceq f(x) \cdot g(x) \quad \text{pro} \ x \in C. \end{equation*}

  • Dále pokud $D \ceq \{ x \in A \cap B \mid g(x) \neq 0 \} \neq \emptyset$, pak definujeme podíl funkcí $\frac{f}{g}\colon D \to \R$ předpisem

    \begin{equation*} \left( \frac{f}{g} \right)(x) \ceq \frac{f(x)}{g(x)} \quad \text{pro} \ x \in D. \end{equation*}

Poznámka 3.5

Pro ty z vás, kteří v letním semestru studujete i předmět  BI-LA2, poznamenejme, že množina všech reálných funkcí definovaných právě na nějaké neprázdné množině $A \subset \R^n$ a vybavená operací sčítání a násobení konstantou z Definice 3.2 tvoří vektorový prostor. Pokud je množina $A$ konečná, pak (a pouze pak) je prostor všech takovýchto funkcí konečnědimenzionální.

Otázka 3.1

Mějme funkce $f(x) = \sqrt{x}$ a $g(x) = \sqrt{-x}$. Najděte funkci $f + g$.

Zobrazit odpověď

$D_{f + g} = \{0\}$ a $(f+g)(0) = 0$.