6.2 Nerovnosti a limity

Často je výhodné, nebo dokonce nutné, k odvození limity jedné funkce použít její srovnání s jinou, jednodušší, funkcí se známou limitou. V této kapitole si ukážeme dvě variace na toto téma. Začněme nejprve velmi přímočarým důsledkem definice limity.

Věta 6.2 (O vytlačení do nekonečna)

Mějme dvě funkce $f$, $g$ a bod $a \in \overline{\R}$. Nechť existuje okolí $U_a$ bodu $a$ splňující

  1. $D_f \cap U_a = D_g \cap U_a$, označme tuto množinu $M$,

  2. $a$ je hromadným bodem množiny $M$,

  3. pro všechna $x \in M \smallsetminus \{a\}$ platí nerovnost $f(x) \leq g(x)$.

Potom platí následující dvě tvrzení:

  • Pokud $\lim_a f = +\infty$, potom i $\lim_a g = +\infty$.

  • Pokud $\lim_a g = -\infty$, potom i $\lim_a f = -\infty$.

Vezměme okolí $U_{+\infty} = (c, +\infty)$. Protože $\lim_{a} f = +\infty$, máme pro toto $c$ k dispozici jisté okolí $U_a$ takové, že pro všechna $x \in (U_a \cap M) \smallsetminus \{a\}$ platí $f(x) > c$. Vezmeme-li proto nyní libovolné $x \in (U_a \cap M) \smallsetminus \{a\}$, pak platí i $c < f(x) \leq g(x)$ a $g(x) \in (c,+\infty)$. Tudíž $\lim_a g = +\infty$.

$\square$

Příklad 6.7

Uvažme například posloupnost

\begin{equation*} a_n = \big(2 + (-1)^n\big)n, \quad n=1,2,3,\ldots \end{equation*}

Na výpočet limity této posloupnosti nelze použít větu o limitě součinu, protože člen v závorce nemá limitu. Vzhledem ke kladnosti a omezenosti této závorky ale očekáváme, že limitou posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$ bude $+\infty$. Každý člen této posloupnosti můžeme odhadnout zespoda takto:

\begin{equation*} a_n = \big(2 + (-1)^n\big)n \geq (2 - 1) n = n, \quad n\in\N. \end{equation*}

O posloupnosti $(n)_{n=1}^\infty$ víme, že její limitou je $+\infty$. Odtud pak podle předcházející věty ihned plyne $\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty$.

Nyní se dostáváme k velmi důležité větě, kterou často použijeme. Její myšlenka spočívá v tom, že dokážeme-li „dobře odhadnout“ chování dané funkce pomocí funkcí se známými shodnými limitami ve stejném bodě, pak známe i limitu zkoumané funkce v daném bodě.

Věta 6.3 (O limitě sevřené funkce)

Mějme tři funkce $f$, $g$ a $h$ a bod $a \in \overline{\R}$. Nechť existuje okolí $U_a$ bodu $a$ splňující

  1. $D_f \cap U_a = D_g \cap U_a = D_h \cap U_a$, označme tuto množinu $M$,

  2. $a$ je hromadným bodem množiny $M$,

  3. pro všechna $x \in M \smallsetminus \{a\}$ platí nerovnosti $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$.

Nechť dále existují limity funkcí $f$ a $h$ v bodě $a$ mající společnou hodnotu $b \in \overline{\R}$, tj.

\begin{equation*} \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x\to a} h(x) = b. \end{equation*}

Potom existuje i limita $g$ v bodě $a$ a je také rovna $b$, tj. $\displaystyle\lim_{x\to a} g(x) = b$.

Zobrazit důkaz

Mějme okolí $V_b$ bodu $b$. Dle předpokladů existuje $V_a$ okolí bodu $a$ takové, že $V_a \subset U_a$ a pro každé $x\in (M \cap V_a) \smallsetminus \{a\}$ patří $f(x)$ i $h(x)$ do $V_b$. Protože ale pro tato $x$ platí $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$, je nutně i $g(x)$ prvkem $V_b$.

$\square$

Tato věta také často bývá označována jako „věta o dvou policajtech“, v angličtině ji lze také nalézt pod heslem squeeze theorem. Grafická ilustrace k větě o limitě sevřené funkce je uvedena na Obrázku 6.2.

Obrázek 6.2: Ilustrace k větě o limitě sevřené funkce, případ konečné limity (Věta 6.3; barvy grafů odpovídají ve větě $f$ (modrá), $g$ (červená) a $h$ (hnědá)).

Pro úplnost zde explicitně zmiňme i důležitý důsledek plynoucí z předchozí věty pro posloupnosti. Připomeňme si, že všechny naše posloupnosti jsou definovány na množině $\N$. Proto lze pro tento konkrétní případ dostat pouhým přeformulováním předchozí věty následující tvrzení.

Důsledek 6.1 (O limitě sevřené posloupnosti)

Mějme tři posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$, $(b_n)_{n=1}^\infty$ a $(c_n)_{n=1}^\infty$ a nechť platí

  1. existuje $N \in \N$ takové, že pro všechna $n \geq N$ platí nerovnosti $a_n \leq b_n \leq c_n$,

  2. existují limity posloupností $(a_n)_{n=1}^\infty$ a $(c_n)_{n=1}^\infty$ a jsou rovné $b \in \overline{\R}$, tj. $\lim a_n = \lim c_n = b$.

Potom existuje i limita posloupnosti $(b_n)_{n=1}^\infty$ a je také rovna $b$.

Příklad 6.8

Vypočtěte limitu $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n}$.

Zobrazit řešení

Funkce $\sin$ má obor hodnot $H_{\sin} = \langle -1,1 \rangle$. Tedy platí nerovnost

\begin{equation*} -1 \leq \sin x \leq 1, \quad \text{pro každé} \, x\in\R. \end{equation*}

Tudíž pro každé přirozené $n$ platí

\begin{equation*} -\frac{1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n}. \end{equation*}

Protože ale $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{-1}{n} = 0$, je podle věty o limitě sevřené posloupnosti

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n} = 0. \end{equation*}

Příklad 6.9

Vypočtěte $\displaystyle\lim_{x\to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right)$.

Zobrazit řešení

Zřejmě nelze použít větu o součinu limit, limita $\lim_{x\to 0} \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ totiž neexistuje. Ovšem nerovnost

\begin{equation*} f(x) := -|x| \leq g(x) := x \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq |x| =: h(x) \end{equation*}

platí pro libovolné $x\in\mathbb{R} \smallsetminus \{0\}$. Zvolíme-li např. $U_a = (-1,1)$ okolí bodu $a = 0$, pak

  • nerovnost $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ platí pro každé $x \in (-1,1) \smallsetminus \{0\}$,

  • existují $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = \lim_{x\to 0} h(x) = 0$.

Podle věty o limitě sevřené funkce pak $\displaystyle\lim_{x\to 0} g(x) = \lim_{x\to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0$.

Obrázek 6.3: Ilustrace k Příkladu 6.9, graf funkce $x \sin\left(\frac{1}{x}\right)$.
Příklad 6.10

Ověřte správnost následujících tvrzení

\begin{equation*} \lim_{x\to 0} \sin x = 0, \quad \lim_{x\to 0} \cos x = 1, \quad \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1. \end{equation*}

Zobrazit řešení

V tento okamžik máme k dispozici pouze geometrickou definici goniometrických funkcí, viz Obrázek 6.4. Pro $x\in\Big(0,\frac{\pi}{2}\Big)$ platí

\begin{equation*} \frac{1}{2} \sin x < \frac{x}{2} < \frac{1}{2} \tg x. \end{equation*}

Skutečně, porovnejte obsahy trojúhelníku $OAB$, výseče $OAB$ a trojúhelníku $OAC$ na Obrázku 6.4. Funkce $\sin$ je lichá a tudíž

\begin{equation*} -|x| \leq \sin x \leq |x|, \quad x \in \Big( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \Big). \end{equation*}

Potom $\displaystyle\lim_{x\to 0} \sin x = 0$. A z rovnosti $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ pak i $\displaystyle\lim_{x\to 0} \cos x = 1$. (Rozmyslete znaménko!) Funkce $\sin$ i $\tg$ jsou liché a proto z nerovnosti

\begin{equation*} \frac{1}{2} \sin x < \frac{x}{2} < \frac{1}{2} \tg x, \quad x \in \left(0,\frac{\pi}{2} \right) \end{equation*}

plyne nerovnost

\begin{equation*} 1 < \left\vert \frac{x}{\sin x} \right\vert < \left\vert \frac{1}{\cos x} \right\vert, \quad x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \smallsetminus \{0\}. \end{equation*}

Odtud pomocí Věty 6.3 dostáváme poslední hledanou limitu

\begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1. \end{equation*}

Funkce $\frac{\sin x}{x}$ je totiž kladná na jistém okolí nuly.

Obrázek 6.4: Jednotková kružnice a výpočet funkcí sinus a tangens.