5.3 Jednostranná limita funkce

V Definici 5.2 jsme nerozlišovali mezi body z definičního oboru ležícími vlevo, či vpravo, od bodu $a$. Často je ale takové rozlišení potřeba a přesně z toho důvodu se zavádí následující pojem.

Definice 5.3 (Jednostranná limita funkce / one-sided limit of a function)

Buď $f\colon A \to \R$ funkce, $a \in \R$ a označme $M_+ \ceq A \cap (a, +\infty)$ a $M_- \ceq A \cap (-\infty, a)$. Potom limitu funkce $f$ v bodě $a$ zprava definujeme jako limitu zúžení funkce $f$ na množinu $M_+$ a značíme ji

\begin{equation*} \lim_{x \to a+} f(x) \ceq \lim_{x \to a} (f\vert_{M_+})(x). \end{equation*}

Podobně limitu funkce $f$ v bodě $a$ zleva definujeme jako limitu zúžení funkce $f$ na množinu $M_{-}$ a značíme ji

\begin{equation*} \lim_{x \to a-} f(x) \ceq \lim_{x \to a} (f\vert_{M_-})(x). \end{equation*}

V definici výše je implicitně obsažen požadavek, aby bod $a$ byl hromadným bodem množiny $M_+$, resp. $M_-$. V opačném případě uvedené limity samozřejmě neexistují. Dále stojí za povšimnutí, že pro $a\in\R$ platí $U_a \cap (a, \infty) = U_a^+ \smallsetminus \{a\}$.

Pro lepší představu odkazujeme čtenáře na Obrázek 5.4. Na závěr této podkapitoly uveďme několik příkladů výpočtů limit jednoduchých funkcí.

Obrázek 5.4: Ilustrace k definici jednostranné limity funkce (Definice 5.3) pro případ $a,b\in\R$ a limity zprava. Je vizuálně patrné, že ať zvolíme červené okolí bodu $b$ libovolné velikosti, pak budeme schopní nalézt modré pravé okolí bodu $a$ s vlasností požadovanou ve zmíněné definici.
Příklad 5.10

Platí

\begin{equation*} \lim_{x\to 0+} \frac{1}{x} = +\infty \quad \text{a} \quad \lim_{x\to 0-} \frac{1}{x} = -\infty. \end{equation*}

Zobrazit řešení

Ukažme nejprve první z limit. Buď $U_{+\infty}(c)$ libovolné okolí bodu $+\infty$ dané konstantou $c>0$ (nekladné $c$ můžeme ošetřit podobně jako v předchozím příkladu). Zvolíme-li $\delta = \frac{1}{c} > 0$, pak pro $x\in (0,\delta) = U_0^+(\delta)\smallsetminus\{0\}$ platí

\begin{equation*} 0 < x < \delta \ \Rightarrow \ \frac{1}{x} > \frac{1}{\delta} = c. \end{equation*}

Podobně v druhém příkladě pro libovolné okolí $U_{-\infty}(c)$ bodu $-\infty$ zadané konstantou $c < 0$ stačí položit $\delta = \frac{1}{|c|} > 0$. Pak pro libovolné $x \in U_0^-(\delta) \smallsetminus \{0\} = (-\delta,0)$ platí

\begin{equation*} -\delta < x < 0 \ \Rightarrow \ \frac{1}{x} < -\frac{1}{\delta} = - |c| = c. \end{equation*}

Vzpomeňte, že $c < 0$. Na tomto místě je dobré si připomenout graf hyperboly $y = \frac{1}{x}$.

Nyní se přirozeně nabízí otázka, jestli existuje nějaká souvislost mezi jednostrannou limitou a („oboustrannou“) limitou. Tento vztah zachycuje následující věta.

Věta 5.1 (O vztahu limit a jednostranných limit)

Mějme funkci $f\colon D_f \to \R$ a nechť $a\in\R$ je hromadným bodem množiny $D_f \cap (a, +\infty)$ i $D_f \cap (-\infty, a)$. Potom limita $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)$ existuje a je rovna $b\in\overline{\R}$, právě když existují obě jednostranné limity $\displaystyle\lim_{x\to a+} f(x)$ a $\displaystyle\lim_{x\to a-} f(x)$ a obě jsou rovny $b$.

Zobrazit důkaz

K důkazu si stačí rozmyslet obě implikace.

  • Nechť existuje limita $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = c$. Je-li $U_c$ libovolné okolí bodu $c$, pak existuje $U_a$ okolí bodu $a$ takové, že je-li $x\in (U_a \cap D_f)\smallsetminus\{a\}$, pak $f(x) \in U_c$. Tudíž pro $x\in (U_a \cap D_f) \smallsetminus \{a\}$ je $f(x) \in U_c$ nezávisle na tom, jestli $x > a$ nebo $x < a$. Jednostranné limity $\displaystyle\lim_{x\to a\pm} f(x)$ proto obě existují a obě jsou rovny $c$.

  • Naopak. Nechť obě jednostranné limity existují a obě jsou rovny $c$. Buď $U_c$ libovolné okolí bodu $c$. Pak existuje levé okolí $U_a^-(\veps_1)$ bodu $a$ a pravé okolí $U_a^+(\veps_2)$ bodu $a$ tak, že pokud $x\in (U_a^-(\veps_1) \cap D_f)\smallsetminus\{a\}$ nebo $x\in (U_a^+(\veps_2) \cap D_f)\smallsetminus\{a\}$, pak $f(x) \in U_c$. Položíme-li $\veps = \min\{\veps_1, \veps_2\}$, pak pro $x\in (U_a(\veps) \cap D_f)\smallsetminus\{a\}$ platí $f(x) \in U_c$. Oboustranná limita funkce $f$ v bodě $a$ tedy existuje je rovna $c$.

Tím je důkaz dokončen.

$\square$

Důsledek 5.1 (O vyvrácení existence limity)

Nechť $f$ je funkce a bod $a\in\R$ s vlastnostmi uvedenými v předpokladech předchozí věty. Platí-li alespoň jedna z podmínek

  • obě jednostranné limity funkce $f$ v bodě $a$ existují a jsou různé,

  • alespoň jedna z jednostranných limit funkce $f$ v bodě $a$ neexistuje,

potom limita funkce $f$ v bodě $a$ neexistuje.

Zobrazit důkaz

Jednoduchým sporem s tvrzením Věty 5.1.

$\square$

Příklad 5.11

Limita

\begin{equation*} \lim_{x\to 0} \sgn x \end{equation*}

neexistuje. Přesvědčte se o tomto faktu studiem vhodných jednostranných limit.

Zobrazit řešení

Pro jednostranné limity platí (rozmyslete!)

\begin{align*} \lim_{x\to 0+} \sgn x &= 1, \\ \lim_{x\to 0-} \sgn x &= -1.\end{align*}

Podle Důsledku 5.1 oboustranná limita nemůže existovat ($1\neq -1$).

Příklad 5.12

Limita

\begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \end{equation*}

neexistuje.

Zobrazit řešení

Opravdu, již jsme odvodili, že

\begin{equation*} \lim_{x\to0 +} \frac{1}{x} = +\infty \quad \text{a} \quad \lim_{x\to 0-} \frac{1}{x} = -\infty \end{equation*}

a proto uvedená limita neexistuje.

Situaci popsanou v předchozím příkladu můžeme zobecnit na následující pozorování.

Příklad 5.13

Mějme $a\in\R$ a $k\in\N$. Potom

\begin{equation*} \lim_{x \to a\pm} \frac{1}{(x-a)^k} = \begin{cases} \pm\infty, & k \ \text{je liché}, \\ +\infty, & k \ \text{je sudé}. \end{cases} \end{equation*}