9.6 Důsledky pro monotonii funkce

Pomocí Lagrangeovy věty o přírůstku funkce (Věta 9.5) můžeme přesně zformulovat vztah mezi monotonií a první derivací funkce. Nejprve si zaveďme vhodné značení.

Definice 9.6 (Vnitřek intervalu)

Nechť $J$ je interval s krajními body $a$ a $b$. Potom vnitřkem intervalu $J$ nazveme otevřený interval $(a, b)$. Značíme ho $J^\circ = (a, b)$.

Věta 9.7 (O vztahu první derivace a monotonie funkce)

Nechť $f$ je spojitá funkce na intervalu $J$ a nechť pro každé $x\in J^\circ$ existuje derivace $f^{\prime}(x)$. Potom platí následujících pět tvrzení o různých typech monotonie funkce,

  1. $\big(\forall x\in J^\circ\big)\big(f^{\prime}(x) \geq 0\big)$ $\Rightarrow$ $f$ je rostoucí na $J$,

  2. $\big(\forall x\in J^\circ\big)\big(f^{\prime}(x) \leq 0\big)$ $\Rightarrow$ $f$ je klesající na $J$,

  3. $\big(\forall x\in J^\circ\big)\big(f^{\prime}(x) > 0\big)$ $\Rightarrow$ $f$ je ostře rostoucí na $J$,

  4. $\big(\forall x\in J^\circ\big)\big(f^{\prime}(x) < 0\big)$ $\Rightarrow$ $f$ je ostře klesající na $J$,

  5. $\big(\forall x\in J^\circ\big)\big(f^{\prime}(x) = 0\big)$ $\Rightarrow$ $f$ je konstantní na $J$.

Buďte $x_1,x_2 \in J$ taková, že $x_1 < x_2$. Podle Lagrangeovy věty o přírůstku funkce aplikované na interval $\langle x_1, x_2 \rangle$ existuje $c\in(x_1,x_2)$ tak, že

\begin{equation*} f'(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}. \end{equation*}

Protože $c \in J^\circ$, je $f'(c) \geq 0$. Tudíž

\begin{equation*} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad f(x_2) - f(x_1) \geq 0 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \leq f(x_2). \end{equation*}

Což jsme měli dokázat.

$\square$

Hlavním výsledkem předchozí věty tedy je následující pozorování: je-li funkce $f$ diferencovatelná, pak o tom, zda roste či klesá, rozhoduje znaménko její derivace. Pro lepší představu uvažme funkci

\begin{equation}\label{eq-ex-blue-f}\tag{9.3} f(x) \ceq 2x^3 - 9x^2 + 12 x - \frac{9}{2} \end{equation}

pro jejíž derivaci platí

\begin{equation}\label{eq-ex-red-f-prime}\tag{9.4} f'(x) = 6x^2-18x+12 = 6(x-1)(x-2). \end{equation}

Porovnejte graf této funkce a její derivace na Obrázku 9.9.

Obrázek 9.9: Funkce $f$ z rovnice (9.3) (modrá) a její derivace z rovnice (9.4) (červená). Znaménko derivace rozhoduje o monotonii funkce.
Otázka 9.1

Mějme funkci $f$ definovanou na intervalu $(-1,1)$, která je ostře rostoucí na intervalu $(-1,0)$ i $(0,1)$. Je $f$ ostře rostoucí i na intervalu $(-1,1)$?

Zobrazit odpověď

Ne, viz např. funkci $f(x) = -1/x$, $x \neq 0$ a $f(0) = 0$.

Otázka 9.2

Mějme funkci $f$ definovanou na intervalu $(-1,1)$, která je ostře rostoucí na intervalu $(-1,0\rangle$ i $\langle0,1)$. Je $f$ ostře rostoucí i na intervalu $(-1,1)$?

Zobrazit odpověď

Ano, stačí využít čístě definici ostře rostoucí funkce.

Otázka 9.3

Mějme funkci $f$ definovanou na intervalu $(-1,1)$, která je ostře rostoucí na intervalu $(-1,0)$ i $(0,1)$ a je spojitá v bodě $0$. Je $f$ ostře rostoucí i na intervalu $(-1,1)$?

Zobrazit odpověď

Ano, stačí využít čístě definici ostře rostoucí funkce a spojitost dané funkce v bodě $0$ (postupujte například sporem).