Vedle problému třídění lze uvést další jednoduchou ilustraci na problému umocňování.
Vstup: reálné číslo $\alpha$ a přirozené číslo $N \in \N$.
Výstup: Hodnota $\alpha^N$.
Elementární operace: aritmetická operace (sčítání, odčítání, násobení, dělení).
Naivní implementace dle definice $\alpha^N = \underbrace{\alpha \cdot \alpha \cdots \alpha}_{N\times}$ vyžaduje přesně $N-1$ operací násobení. Řádově jde tedy o $\mathcal{O}(N)$ (resp. $\Omega(N)$ a $\Theta(N)$) algoritmus.
Všechny tyto poznámky platí třeba i pro násobení matic, nebo čísel v konečných tělesech, chápeme-li elementární operaci jako násobení příslušných objektů.
Typicky ale máme k dispozici binární reprezentaci čísla $N = (N_k N_{k-1} \dots N_1 N_0)_2$, kde $N_0,\ldots,N_{k-1} \in \{0,1\}$ a $N_k = 1$, tj.
Za tohoto předpokladu pak platí
Pro výpočet $\alpha^N$ je pak tedy potřeba získat opakovaným umocňováním $\alpha^{2^k}$ – to je $k-1$ operací násobení – a násobit mezivýsledek pokud $N_j \neq 0$ – to je také nejhůře $k$ operací násobení.
Pro square-and-multiply algoritmus tak dostáváme operační složitost řádově $2k = \mathcal{O}(\log_2 N) = \mathcal{O}(\ln N)$. Skutečně, stačí si uvědomit implikaci