2.2 Axiom úplnosti a reálná čísla

Nyní ukážeme, jak obecně zformulovat v tento okamžik vágní požadavek „bezděrovosti“ číselné osy. Předpokládejme, že máme množinu $\R$, která obsahuje racionální čísla, $\Q \subset \R$, a máme na ní definované operace násobení, sčítání, jejich „inverze“ (odčítání a dělení) a také uspořádání $<$ a všechny tyto operace mají stejné vlastnosti jako u racionálních čísel (tj. jedná se o úplně uspořádané číselné těleso, viz výše).

2.2.1 Absolutní hodnota a vzdálenost reálných čísel

Uspořádání $<$ množiny $\R$ nám nyní umožňuje definovat veledůležitý pojem absolutní hodnoty a vzdálenosti mezi body $\R$. Vzdá­le­nost dvou reálných čísel $a$ a $b$ definujeme jako hodnotu $|a-b|$, kde $|x|$ je absolutní hodnota $x\in\R$ definovaná vztahem

\begin{equation}\label{eq-def-absolutni-hodnota}\tag{2.3} |x| \href{Symbol na levé straně je definován výrazem na pravé straně.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\ceq}} \begin{cases} x, & \text{pro} \ x \geq 0, \\ -x, & \text{pro} \ x < 0. \end{cases} \end{equation}

Tento zápis je třeba číst takto: hodnota $|x|$ je definována jako $x$, pokud $x$ je nezáporné, a jako $-x$, pokud $x$ je záporné. Způsob zápisu použitý v rovnici (2.3) je poměrně častý a ještě na něj několikrát narazíme. V oblíbeném programovacím jazyce  Python bychom například psali

def abs(x):
  if x >= 0:
    return x
  elif x < 0:
    return -x

Otázka 2.6

Uvažme funkci

\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 1, & x^2 > 1, \\ 2, & x \in \left\langle -1, \frac{1}{2} \right), \\ 3, & \text{jinak}. \end{cases} \end{equation*}

Určete hodnoty $f(-1/2)$, $f(-2)$ a $f(1)$.

Zobrazit odpověď

$f(-2) = 1$, $f(-1/2) = 2$ a $f(1) = 3$.

Absolutní hodnota splňuje řadu důležitých vlastností, přímo z definiční rovnosti (2.3) snadno nahlédnete následující vztahy:

\begin{equation*} |a\cdot b| = |a| \cdot |b|, \quad |{-a}| = |a| \quad \text{a} \quad |a / c| = |a| / |c|, \end{equation*}

platné pro každé reálné $a$, $b$ a nenulové $c$. Dále z definice okamžitě plynou nerovnosti

\begin{equation}\label{eq-absolutni-hodnota-nerovnosti}\tag{2.4} -|a| \leq a\leq |a|, \end{equation}

platné pro každé $a\in\R$.

Další fundamentální vlastností absolutní hodnoty je tzv. trojúhelníková nerovnost, kterou během semestru několikrát v důležité okamžiky využijeme.

Věta 2.1 (Trojúhelníková nerovnost)

Pro libovolná reálná $a$ a $b$ platí nerovnost

\begin{equation}\label{eq_trojuhelnikova_nerovnost}\tag{2.5} |a+b| \leq |a|+|b|. \end{equation}

Zobrazit důkaz

Využijeme nerovností (2.4), tj. $a\leq |a|$ a $-a\leq |a|$ platné pro libovolné $a\in\R$. Uvažme libovolné $a, b\in\R$. Pokud $a + b \geq 0$, potom $|a + b| = a + b \leq |a| + |b|$. Je-li $a + b < 0$, potom $|a + b| = -(a + b) = -a + (-b) \leq |a| + |b|$.

$\square$

Absolutní hodnota oplývá ještě jednou užitečnou vlastností, kterou použijeme později během semestru. Jde o další nerovnost, kterou si zformulujeme jako tvrzení.

Tvrzení 2.1 (O absolutní hodnotě rozdílu absolutních hodnot)

Pro každé $x,y\in\R$ platí $\big||x| - |y|\big| \leq |x - y|$.

Zobrazit důkaz

Skutečně, díky trojúhelníkové nerovnosti platí

\begin{equation*} |x| - |y| \href{V argumentu první absolutní hodnoty jsme přičetli $0 = y - y$.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} |x - y + y | - |y| \href{Na první absolutní hodnotu jsme použili trojúhelníkovou nerovnost.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\leq}} |x-y| + |y| - |y| = |x - y| \end{equation*}

a po prohození $x$ za $y$ a jednoduché úpravě pak i $|x| - |y| \geq -|x - y|$. Čili dohromady $-|x-y| \leq |x| - |y| \leq |x - y|$, což je ekvivalentní dokazovanému tvrzení.

$\square$

2.2.2 Bezděrovost reálné osy

Než se pustíme do formulace axiomu úplnosti, musíme zavést, či připomenout, ještě jeden důležitý pojem. Pro $a, b \in \R$, $a < b$, označme $\langle a, b \rangle \ceq \{x \in \R \mid a \leq x \leq b\}$ a nazvěme tuto množinu uzavřeným intervalem a body $a,b$ koncovými body tohoto intervalu. Délkou intervalu $\langle a, b \rangle$ nazýváme číslo $|b - a|$, tj. vzdálenost jeho koncových bodů. K dalším typům intervalů se vrátíme ještě v Podkapitole 2.4.1. Z vlastností absolutní hodnoty, které jsou stejné jako pro racionální čísla, plyne nerovnost $|x - y| \leq |b - a|$ platná pro každé $x,y \in \langle a, b \rangle$.

Vraťme se nyní k Příkladu 2.1 a číslu $\sqrt{2}$. Předpokládejme, že $\R$ již obsahuje kladné řešení rovnice $x^2 = 2$, které značíme $\sqrt{2}$. Pro $\sqrt{2}$ musí platit $\sqrt{2}\in \langle 1,2 \rangle = I_1$ (protože $a < 1$ implikuje $a^2 < a \cdot 1 < 1$ a $a > 2$ implikuje $a^2 > a\cdot 2 > 2$, tudíž pro $\sqrt{2}$ nemůže platit ani $\sqrt{2}< 1$, ani $\sqrt{2} > 2$). Rozpůlením $I_1$ podobným způsobem zjistíme, že $\sqrt{2} \in \langle 1,\frac{3}{2} \rangle = I_2$ (protože $a > 3/2$ implikuje $a^2 > 9/4 > 2$). Pokračujeme dále půlením těchto uzavřených intervalů. Protože takto konstruované koncové body jsou vždy racionální čísla a $\sqrt{2}$ racionální není (viz Příklad 2.1), nikdy se nestane, že by po nějakém dělení byl bod $\sqrt{2}$ koncovým bodem intervalu, a postup tak lze libovolně opakovat. Dostáváme tudíž intervaly $I_n$, $n\in\N$, uvnitř kterých leží $\sqrt{2}$.

Pro takto zkonstruované intervaly $I_n$ platí inkluze $I_{n+1} \subset I_n$ a délka intervalu $I_n$ je $\frac{1}{2^{n-1}}$. Tudíž $\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n$ je nejvýše jednoprvková množina. Opravdu, pro každé $2$ různé body, mezi nimiž je nutně vzdálenost $d > 0$, existuje $m \in \N$ takové, že délka intervalu $I_{m}$ je menší než $d$, a nemohou tedy oba současně patřit do $I_{m}$ a tedy ani do průniku $\bigcap_{n=1}^\infty I_n$. Náš požadavek $\sqrt{2} \in \R$ v tomto případě znamená, že

\begin{equation*} \href{Množina všech čísel patřících do intervalu \(I_n\) pro každé přirozené \(n\).}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n}} = \left\{ \sqrt{2} \right\}. \end{equation*}

Grafickou ilustraci konstrukce těchto intervalů lze nalézt na Obrázku 2.3.

Obrázek 2.3: Ilustrace ke konstrukci intervalů $I_1$, $I_2$ a $I_3$ obsahujících $\sqrt{2}$ s racionálními koncovými body.

Obecný požadavek, aby množina $\R$ „neměla díry“, můžeme nyní přesně formulovat jako tzv. axiom úplnosti: Každý systém uzavřených a do sebe se vnořujících intervalů, jejichž délky jsou libovolně malé, má neprázdný průnik. Podrobněji, pokud jsou $I_n$, $n\in\N$, uzavřené intervaly splňující

  1. $I_n \supset I_{n+1}$ pro libovolné $n \in \N$, tj. $I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots$.

  2. pro každé $\varepsilon > 0$ existuje přirozené $n$ tak, že délka $I_n$ je menší než $\varepsilon$,

pak

\begin{equation}\label{eq_axiom_uplnosti_prunik}\tag{2.6} \bigcap_{n=1}^\infty I_n \neq \emptyset. \end{equation}

Je důležité si uvědomit, že axiom úplnosti je to jediné, co odlišuje reálná čísla od racionálních čísel. Jak bylo ukázáno výše na příkladu $\sqrt{2}$, racionální čísla tento axiom nesplňují. Algebraicky (vzhledem k $+$ a $\cdot$) mají jinak tyto množiny shodné vlastnosti. Pro úplnost dodejme, že reálná čísla také znázorňujeme jako body na číselné ose, přičemž nyní již každému bodu na této ose odpovídá právě jedno reálné číslo. Z tohoto důvodu číselnou osu nazýváme také reálnou osou.

Poznámka 2.5

V axiomu úplnosti je zásadní požadavek na neprázdnost průniku vzájemně do sebe vnořených uzavřených intervalů. Podmínka na jejich délku není nutná, ale zase pěkně vystihuje jádro problému a proto ji do axiomu zahrnujeme.

2.2.3 Reálná čísla: shrnutí vlastností

V tomto textu tedy využíváme axiomatickou definici množiny reálných čísel, která intuitivně představuje číselný analog geometrické představy přímky. Skutečná konstrukce8 takovéhoto tělesa je nad rámec tohoto kurzu. Klasická konstrukce pomocí tzv. Dedekindových9 řezů historicky spadá až do druhé poloviny devatenáctého století. Vlastnosti množiny reálných čísel shrnuje následující definice.

Definice 2.1 (Reálná čísla / Real numbers)

Množinu reálných čísel $\R$ chápeme jako číselné těleso $(\R, +, \cdot)$, které je vybavené úplným uspořádáním $<$ a které splňuje axiom úplnosti.

Pro pohodlí čtenáře explicitně vypíchněme, co vše za požadavky na operace $+$, $\cdot$ a $<$ je vlastně v předchozí definici nakladeno:

  • asociativní zákony pro $+$ a $\cdot$,

  • komutativní zákony pro $+$ a $\cdot$,

  • distributivní zákon ($\cdot$ vůči $+$),

  • existence nuly (neutrální prvek vůči $+$) a jedničky (neutrální prvek vůči $\cdot$),

  • existence opačných prvků (vůči $+$),

  • existence inverzních prvků (vůči $\cdot$ a pouze pro nenulové prvky) ,

  • úplné uspořádání $<$,

  • axiom úplnosti.