Body, kde se mění konvexita na konkavitu, případně naopak, jsou důležité pro tvar grafu funkce. Zavádí se pro ně proto zvláštní označení.
Nechť $f$ je spojitá v bodě $c$. Bod $c$ nazýváme inflexním bodem funkce $f$, právě když existuje $\delta > 0$ takové, že $f$ je ryze konvexní na intervalu $(c-\delta,c)$ a ryze konkávní na intervalu $(c,c+\delta)$, nebo naopak.
Nalezněte inflexní body funkce $f(x) = e^{-x^2}$.
Je potřeba vypočíst druhou derivaci zadané funkce,
Vidíme, že znaménko druhé derivace je kladné pro $|x| > \frac{1}{\sqrt{2}}$ a záporné pro $|x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$. Funkce $f$ je proto konvexní na $\big(-\infty,-\frac{1}{\sqrt{2}}\big)$ a $\big(\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty\big)$ a konkávní na $\big(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\big)$. Inflexními body tedy jsou body $\frac{1}{\sqrt{2}}$ a $-\frac{1}{\sqrt{2}}$. Funkce je znázorněna na Obrázku 9.15.
Konečně, poslední vlastností grafu, kterou budeme zkoumat, je existence asymptot. Rozlišujeme dva kvalitativně rozdílné případy zavedené v následující definici.
Řekneme, že funkce $f$ má v bodě $a \in \R$ asymptotu $x=a$, právě když limita $\displaystyle\lim_{x\to a+} f(x)$ nebo $\displaystyle\lim_{x\to a-} f(x)$ je rovna $+\infty$ nebo $-\infty$. Řekneme, že přímka $y=kx+q$ je asymptotou funkce $f$ v $+\infty$, resp. v $-\infty$, když
Má-li být přímka $y = kx + q$ asymptotou funkce $f$ v $+\infty$, pak nutně $0 = \lim\limits_{x\to+\infty} \frac{f(x) - (kx+q)}{x} = \lim\limits_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x} - k$ a proto
Podobně
kde $k$ jsme spočetli v předchozím bodu. Podobnou poznámku můžeme učinit i pro $-\infty$.
Nalezněte asymptoty funkce $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+2}{|x-1|} + 1$.
Proberme postupně možné body, kde může mít zadaná funkce asymptotu.
Bod $x=1$ nepatří do $D_f$ a $\displaystyle\lim_{x\to 1_\pm} f(x) = +\infty$. Tudíž přímka $x=1$ je asymptotou $f$ v bodě $1$.
Hledejme asymptotu v $+\infty$,
Podobně, pro asymptotu v $-\infty$ máme
Nalezené asymptoty jsou uvedeny na Obrázku 9.16.
Nepleťte si asymptoty a tečny! V obou případech jde o přímky, ale s poměrně odlišnými vlastnostmi.
Může se asymptota v $+\infty$ vícenásobně protínat s grafem dané funkce?
Ano, viz např. $f(x) = x + \frac{1}{x}\sin(x)$.
Nechť $f$ je reálná funkce reálné proměnné a nechť bod $a \in D_f$. Řekneme, že funkce $f$ je spojitá v bodě $a$, právě když pro její limitu v bodě $a$ platí
Dále zavádíme dva další pojmy:
Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zprava, právě když pro jednostrannou limitu $\displaystyle\lim_{x\to a+} f(x) = f(a)$.
Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zleva, právě když $\displaystyle\lim_{x\to a-} f(x) = f(a)$.
Funkci $f$ nazveme (ryze) konvexní (resp. konkávní) na intervalu $J$, právě když je na tomto intervalu spojitá a je (ryze) konvexní (resp. konkávní) v každém bodě intervalu $J^\circ$.
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Mějme funkci $f\colon A \to \R$, hromadný bod $a\in\overline{\R}$ množiny $A$ a bod $b\in\overline{\R}$. Funkce $f$ má v bodě $a$ limitu rovnou $b$, právě když pro každé okolí $U_b$ bodu $b$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že pokud $x \in U_a \cap A$ a $x \neq a$, pak $f(x) \in U_b$.
Formálně tento požadavek vyjadřuje formule
Tuto skutečnost symbolicky zapisujeme následovně