9.5 L'Hospitalovo pravidlo

K výpočtu limit funkcí vedoucích k neurčitým výrazům $\frac{0}{0}$ a $\frac{\infty}{\infty}$ se často hodí l'Hospitalovo pravidlo. Na tomto místě ho uvádíme z toho důvodu, že jde o důsledek Rolleovy věty (Věta 9.4).

Pro tuto větu je vžité označení „pravidlo“. Jde ale o matematickou větu jako každou jinou. Někdy se uvádí i jako „l'Hôpitalovo pravidlo“.  Guillaume François Antoine, Marquis de l'Hôpital byl francouzský matematik žijící v sedmnáctém století.

Věta 9.6 (l'Hospitalovo pravidlo)

Nechť pro funkce $f$ a $g$ a bod $a\in\eR$ platí

  1. $\displaystyle\lim_a f = \lim_a g = 0$ nebo $\displaystyle\lim_a |g| = +\infty$

  2. existuje okolí $U_a$ bodu $a$ splňující $U_a \smallsetminus \{a\} \subset D_{f/g} \cap D_{f^{\prime}/g^{\prime}}$,

  3. existuje limita podílu derivací $\displaystyle\lim_a \frac{f^{\prime}}{g^{\prime}}$.

Potom existuje $\displaystyle \lim_a \frac{f}{g}$ a platí $\displaystyle \lim_a \frac{f}{g} = \lim_a \frac{f^{\prime}}{g^{\prime}}$.

V plném rozsahu důkaz provádět nebudeme. Podíváme se alespoň na případ neurčitého výrazu $\frac{0}{0}$.

Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že $f(a) = g(a) = 0$, tj. $f$ a $g$ jsou spojité v $a$.

Označme $b = \lim_a \frac{f'}{g'}$ a uvažme libovolné $U_b$ okolí bodu $b$. K němu existuje $V_a \subset U_a$ okolí bodu $a$ takové, že je-li $x \in V_a\smallsetminus \{a\}$, pak $f'(x)/g'(x) \in U_b$.

Pro libovolné $x \in V_a$, $x > a$, definujme funkci $h(t) \ceq f(t) - \frac{f(x)}{g(x)} g(t)$ (N.B.: $g(x) \neq 0$). Potom $h$ je spojitá na $\langle a, x \rangle$, pro její derivaci na $(a,x)$ platí $h'(t) = f'(t) - \frac{f(x)}{g(x)} g'(t)$ a navíc $h(a) = h(x) = 0$.

Podle Rolleovy věty existuje bod $c \in (a,x)$ takový, že $h'(c) = 0$, tj. $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} \in U_b$.

Celkem jsme ukázali, že $\displaystyle\lim_{x \to a_+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$. Důkaz pro limitu zleva se provede analogicky.

$\square$

Pojďme si nyní ukázat použití této věty na typických příkladech a poté rozebrat její záludnosti.

Příklad 9.7

Vypočtěte limitu

\begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{\arcsin(x)}{\sin(x)}. \end{equation*}

Zobrazit řešení

Pomocí l'Hospitalova pravidla

\begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{\arcsin(x)}{\sin(x)} \overset{\text{l'H.}}{=} \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\cos(x)} = 1. \end{equation*}

Použití l'Hospitalovala pravidla je korektní. Jednalo se o limitu typu $\frac{0}{0}$, limita podílů derivací existuje, oba podíly jsou definovány na okolí bodu $0$ vyjma bod $0$ samotný (podíl derivací dokonce definovaný i v $0$).

Příklad 9.8

Vypočtěte limitu

\begin{equation*} \lim_{x\to 0_+} x\ln(x). \end{equation*}

Zobrazit řešení

Nejprve musíme výraz upravit do tvaru kdy lze aplikovat l'Hospitalovo pravidlo.

\begin{equation*} \lim_{x\to 0_+} x\ln(x) = \lim_{x\to 0_+} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}} \overset{\text{l'H.}}{=} \lim_{x\to 0_+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to 0_+} (-x) = 0. \end{equation*}

Opět poznamenejme, že l'Hospitalovo pravidlo je použito korektně. Po vhodné úpravě se jedná o limitu typu $\frac{\infty}{\infty}$, limita podílu derivací existuje a oba podíly jsou definovány na pravém okolí bodu $0$ vyjma bod $0$ samotný (např. $(0,1)$).

K tomuto příkladu ještě poznamenejme, že pokud bychom výraz upravili takto,

\begin{equation*} x\ln x = \frac{x}{\frac{1}{\ln x}}, \end{equation*}

tak bychom sice získali limitu typu $\frac{0}{0}$, ale limitu podílu derivací bychom vypočítat nedokázali. Dostali bychom se tedy do slepé uličky.

Příklad 9.9

Vypočtěte limitu

\begin{equation*} \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x^2}. \end{equation*}

Zobrazit řešení

Nyní je třeba l'Hospitalovo pravidlo použít dvakrát,

\begin{equation*} \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x^2} \overset{\text{l'H.}}{=} \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{2x} \overset{\text{l'H.}}{=} \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{2} = +\infty. \end{equation*}

L'Hospitalovo pravidlo je použito korektně. Jedná se vždy o limitu typu $\frac{\infty}{\infty}$, podíly jsou definovány na okolí bodu $+\infty$ a poslední z limit existuje, tudíž existují i všechny předchozí.

Poznámka 9.1

Upozorněme na častý omyl vyskytující se u příkladů podobných předchozímu. Často se objevuje argument „limita je rovna $+\infty$ protože exponenciála roste rychleji než polynom“. To je sice dobrá intuice, ale není dostatečně přesná. Jak rychleji musí růst čitatel vůči jmenovateli, aby limita byla $+\infty$? Na to intuice vůbec nestačí. Například v limitě

\begin{equation*} \lim_{x\to+\infty} \frac{2x+\sqrt{x}}{x+1} \end{equation*}

také čitatel roste rychleji než jmenovatel, ale hodnota této limity je $2$ a ne nekonečno.

Na předchozí příklad je nutné se dívat právě naopak. Pomocí l'Hospitalova pravidla jsme vypočetli limitu

\begin{equation*} \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^2} = +\infty. \end{equation*}

Protože tato limita vyšla $+\infty$, můžeme tvrdit, že exponenciála $e^x$ roste rychleji než $x^2$. Všimněte si, že původní intuitivní úvaha jde přesně opačným směrem.

Příklad 9.10 (Důležitost předpokladů)

Při použití l'Hospitalova pravidla je nutné zkontrolovat předpoklady. Slepým použitím formule můžeme dostat špatný výsledek:

\begin{equation*} \lim_{x\to+\infty} \frac{2x+\sin(x)}{x+\sin(x)} \overset{\text{1}}{=} \lim_{x\to+\infty} \frac{2+\cos(x)}{1+\cos(x)} \overset{\text{2}}{=} \lim_{x\to+\infty} \frac{-\sin(x)}{-\sin(x)} = 1. \end{equation*}

Chyba v tomto výpočtu je dvojnásobná:

  1. Není splněn 2. ani 3. předpoklad l'Hospitalova pravidla.

  2. Limita nalevo od $\overset{\text{2}}{=}$ vůbec neexistuje. Nemá tedy smysl pokračovat ve výpočtu.

Limitu lze snadno spočíst bez l'Hospitalova pravidla,

\begin{equation*} \lim_{x\to+\infty} \frac{2x + \sin(x)}{x+\sin(x)} = \lim_{x\to+\infty} \frac{2+ \frac{\sin(x)}{x}}{1+\frac{\sin(x)}{x}} = 2. \end{equation*}

Příklad 9.11 (Bludný kruh)

V následujícím případě sice všechny předpoklady platí, ale ani opakované použití l'Hospitalova pravidla nevede k cíli

\begin{equation*} \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \overset{\text{l'H.}}{=} \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \overset{\text{l'H.}}{=} \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}. \end{equation*}

Po druhém použití dostaneme stejný výraz s kterým jsme začínali. Tuto limitu můžeme snadno spočítat bez použití l'Hospitalova pravidla,

\begin{equation*} \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} = \lim_{x\to+\infty} \frac{1 + e^{-2x}}{1 - e^{-2x}} = 1. \end{equation*}