I pro posloupnosti má smysl zavést pojem hromadného bodu. Od hromadného bodu množiny se ale drobně liší. Tento pojem jistým způsobem vystihuje dlouhodobé chování členů posloupnosti a jak brzy uvidíme, úzce souvisí s pojmem limity posloupnosti.
Bod $\alpha \in \overline{\R}$ nazýváme hromadným bodem posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$, právě když v každém okolí bodu $\alpha$ leží nekonečně mnoho členů posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$.
Rozmysleme si následující jednoduché případy:
Konstantní posloupnost $(c)_{n=1}^\infty$ má právě jeden hromadný bod $c$: v každém okolí $U_c$ leží dokonce všechny členy této posloupnosti, těch je nekonečno mnoho, jeden pro každé $n\in\N$.
Posloupnost $((-1)^n)_{n=1}^\infty$ má právě dva hromadné body a to $-1$ a $1$.
Posloupnost $(\sin(n))_{n=1}^\infty$ má nekonečně mnoho hromadných bodů, které dohromady tvoří27 množinu $\langle -1,1\rangle$.
Je potřeba důsledně rozlišovat dva zavedené pojmy hromadný bod posloupnosti a hromadný bod množiny. Tento rozdíl lze pěkně ilustrovat na konkrétních posloupnostech z předchozího příkladu.
Posloupnost $(c)_{n=1}^\infty$ má právě jeden hromadný bod $c$. Množina $\{c\}$ nemá hromadný bod.
Posloupnost $((-1)^n)_{n=1}^\infty$ má právě dva hromadné body $1$ a $-1$. Množina $\{-1,1\}$ nemá ani jeden hromadný bod.
Naopak ale posloupnost $(1/n)_{n=1}^\infty$ i množina $\{1/n\mid n\in\N\}$ mají právě jeden hromadný bod $0$. Tato pozorování jen opět ukazují, že posloupnost je daleko více, než jen množina jejích členů.
V příští kapitole si ukážeme, jak hromadné body posloupností charakterizovat pomocí limit jejích podposloupností, viz Větu 5.6.
Zobrazení množiny přirozených čísel $\N$ do množiny reálných čísel $\R$ nazýváme reálná číselná posloupnost (pokud nebude hrozit zmatení, budeme zkráceně mluvit o posloupnosti).
Pod okolím bodu $a\in\eR$, ozn. $U_a$, máme na mysli buď okolí $U_a(\veps)$ pro nějaké $a\in\R$ a $\veps > 0$, nebo okolí $U_{\pm\infty}(c)$ pro nějaké $c\in\R$.
Bod $\alpha \in \overline{\R}$ nazýváme hromadným bodem posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$, právě když v každém okolí bodu $\alpha$ leží nekonečně mnoho členů posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$.
Bod $\alpha\in\eR$ nazýváme hromadným bodem množiny $M \subset \R$, právě když v každém okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ leží nějaký prvek množiny $M$ různý od $\alpha$.