V souladu s tím, co bylo uvedeno na začátku této kapitoly, nyní definujeme:
Nechť $f$ je funkce definovaná na okolí bodu $a\in\R$. Pokud existuje limita
nazveme její hodnotu derivací funkce $f$ v bodě $a$ a označíme $f^\prime(a)$. Pokud je tato limita konečná (tj. $f^\prime(a) \in \R$) řekneme, že funkce $f$ je diferencovatelná v bodě $a$.
Derivaci funkce $f$ se můžeme pokoušet počítat ve všech bodech $D_f$. Získáváme tak novou funkci, derivaci funkce38:
Buď $f$ funkce s definičním oborem $D_f$. Nechť $M$ označuje množinu všech $a\in D_f$ takových, že $f$ má konečnou derivaci v bodě $a$, tj. $f^{\prime}(a) \in \R$. Derivací funkce $f$ nazýváme funkci s definičním oborem $M$, která každému $x\in M$ přiřadí $f^{\prime}(x)$. Tuto funkci značíme symbolem $f^{\prime}$.
Derivace funkce $f$ v bodě $a$ se z různých historických důvodů značí i následujícími ekvivalentními způsoby
V tomto textu se budeme důrazně držet značení derivace pomocí čárky v horním indexu.
Všimněte si, že limitu v definici derivace (8.1) lze ekvivalentně přepsat do tvaru
Tento tvar je často výhodný pro výpočty. Bod $a$ se vyskytuje pouze v předpisu funkce jejíž limitu počítáme.
Díky derivaci nyní můžeme zkonstruovat tečnu udáním její rovnice. Rozlišujeme dva kvalitativně rozdílné případy.
Mějme funkci $f$ a bod $a \in D_f$ a nechť existuje $f^{\prime}(a)$. Tečnou funkce $f$ v bodě $a$ nazýváme
přímku s rovnicí $x = a$ je-li funkce $f$ spojitá v bodě $a$ a $f^{\prime}(a) = +\infty$ nebo $f^{\prime}(a) = -\infty$.
přímku s rovnicí $y = f(a) + f^{\prime}(a) (x-a)$ je-li $f^{\prime}(a) \in\R$ (tj. je-li $f$ diferencovatelná v bodě $a$).
V prvním případě svírá tečna grafu funkce $f$ v bodě $a$ úhel $\frac{\pi}{2}$ s osou $x$, v druhém případě svírá s osou $x$ úhel $\alpha$ splňující $\tg \alpha = f'(a)$.
Na Obrázku 8.3 je modře znázorněn graf funkce $f(x) = \sqrt[3]{x-1} + 1$, $D_f = \R$. Pro její derivaci v bodě $2$ platí
Tečnou grafu funkce $f$ v bodě $2$ je proto přímka
na Obrázku 8.3 vynesena zeleně. Pro derivaci v bodě $1$ platí
Protože funkce $f$ je v bodě $1$ spojitá, je tečnou v bodě $1$ (červená) přímka $x = 1$.
Zdůrazněme, že požadavek spojitosti v prvním bodu Definice 8.3 je podstatný. Například funkce $f(x) = \sgn(x)$ má v bodě $0$ nekonečnou derivaci,
v nule není spojitá a o tečně v tomto bodě z geometrického pohledu příliš nemá smysl mluvit (viz Obrázek 7.7).
Nyní vypočtěme derivace některých funkcí přímo pomocí definice derivace (Definice 8.1). Uvažme nejprve funkci ze všech funkcí nejjednodušší.
Derivace konstantní funkce definované na celém $\R$ je rovna $0$ v každém bodě.
Je-li $f(x) = c \in\R$ pro každé $x\in\R$, pak
pro každé $a\in\R$.
Tento výsledek by nás neměl nijak překvapovat. Grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou $x$. Tečna tohoto grafu v libovolném bodě je pak opět tato přímka, jež je rovnoběžná s osou $x$ a svírá proto s osou $x$ úhel $0$, $\tg 0 = 0$.
Přistupme nyní k odvození vztahů pro derivace dalších elementárních funkcí.
Derivace funkce $\ee^x$ je opět funkce $\ee^x$. Tedy $\big( \ee^x \big)' = \ee^x$.
V minulé kapitole jsme postulovali39 vztah (Definice 7.3)
Pro libovolné $a\in\R$ podle věty o limitě složené funkce a o limitě součinu funkcí platí
Pro derivaci funkce $f(x) = \ee^x$ v bodě $a\in\R$ tedy skutečně platí $f'(a) = f(a)$.
Derivace funkce $\ln(x)$ je funkce $\frac{1}{x}$, kde $x > 0$.
Tedy pro každé $a > 0$ máme dokázat rovnost $\ln'(a) = \frac{1}{a}$. V minulé kapitole jsme odvodili vztah (Lemma 7.1)
Podobně jako v předchozím příkladu nyní pro kladné $a$ platí
Pro derivaci funkce $f(x) = \ln x$ v bodě $a > 0$ platí $f'(a) = \frac{1}{a}$.
Pro grafickou představu o funkci a její derivaci uvádíme Obrázek 8.4. V závislosti na bodu na ose $x$ si všimněte vztahu mezi sklonem modré křivky (logaritmus $\ln(x)$) a hodnotou červené křivky ($1 / x$)!
Všimněte si, že funkce $\ln x$ je definovaná na množině $(0,+\infty)$ a v každém bodě $x$ jejího definičního oboru je její derivace rovna $\frac{1}{x}$. Funkce $\frac{1}{x}$ je ale definována pro všechna nenulová $x$.
Označíme-li $f(x) = \ln |x|$, s definičním oborem $D_f = \R\smallsetminus\{0\}$, pak v každém bodě $D_f$ platí $f'(x) = \frac{1}{x}$. Pro kladná $x$ jsme to již ověřili. Pro záporná $x$ není těžké nahlédnout, že stále platí
Pro kladné přirozené $n\in\mathbb{N}$ je derivací funkce $x^n$ funkce $n x^{n-1}$.
Nejprve vhodně upravme zkoumaný výraz,
Proto
Speciálně pak například platí
Derivace funkce $\sin x$ je funkce $\cos x$ a derivace funkce $\cos x$ je funkce $-\sin x$.
Pomocí součtového vzorce pro $\sin$ dostáváme
Využili jsme znalosti již spočtených limit a věty o limitě složené funkce. Navíc
Podobným způsobem můžeme odvodit (proveďte!)
pro každé $a\in\R$.
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Mějme funkci $f\colon A \to \R$, hromadný bod $a\in\overline{\R}$ množiny $A$ a bod $b\in\overline{\R}$. Funkce $f$ má v bodě $a$ limitu rovnou $b$, právě když pro každé okolí $U_b$ bodu $b$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že pokud $x \in U_a \cap A$ a $x \neq a$, pak $f(x) \in U_b$.
Formálně tento požadavek vyjadřuje formule
Tuto skutečnost symbolicky zapisujeme následovně
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Nechť $f$ je funkce definovaná na okolí bodu $a\in\R$. Pokud existuje limita
nazveme její hodnotu derivací funkce $f$ v bodě $a$ a označíme $f^\prime(a)$. Pokud je tato limita konečná (tj. $f^\prime(a) \in \R$) řekneme, že funkce $f$ je diferencovatelná v bodě $a$.
Nechť $f$ je reálná funkce reálné proměnné a nechť bod $a \in D_f$. Řekneme, že funkce $f$ je spojitá v bodě $a$, právě když pro její limitu v bodě $a$ platí
Dále zavádíme dva další pojmy:
Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zprava, právě když pro jednostrannou limitu $\displaystyle\lim_{x\to a+} f(x) = f(a)$.
Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zleva, právě když $\displaystyle\lim_{x\to a-} f(x) = f(a)$.
Buďte $g$ funkce definovaná na okolí bodu $a$ a spojitá v bodě $a$ a $f$ funkce definovaná na okolí bodu $g(a)$ a spojitá v bodě $g(a)$. Potom složená funkce $f \circ g$ je spojitá v bodě $a$.
Součet a součin dvou funkcí $f$ a $g$ definovaných na okolí bodu $a$ a spojitých v bodě $a$ je funkce spojitá v bodě $a$. Pokud navíc $g(a) \neq 0$, pak podíl $\frac{f}{g}$ je funkce spojitá v bodě $a$.
Buďte $g$ funkce definovaná na okolí bodu $a$ a spojitá v bodě $a$ a $f$ funkce definovaná na okolí bodu $g(a)$ a spojitá v bodě $g(a)$. Potom složená funkce $f \circ g$ je spojitá v bodě $a$.