7.8 Shrnutí známých limit funkcí a posloupností

Tabulky 7.27.3 shrnují „známé“ limitní vztahy, které jsme odvodili v této a předchozí kapitole. Tyto výsledky lze v příkladech v písemkách považovat za známé (pokud ovšem zadání/otázka nemíří přímo na jejich odvození).

Důležité limity Hodnota Parametry
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} c\) \(c\) \(c \in \R\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n^a\) \(\begin{cases} +\infty & a > 0, \\ 1 & a = 0, \\ 0, & a < 0. \end{cases}\) \(a \in \R\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\) \(+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}\) \(1\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{c}\) \(1\) \(c \in (0, +\infty)\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n!}\) \(+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a^n\) \(\begin{cases} 0, & |a| < 1, \\ 1, & a = 1, \\ +\infty, & a > 1, \\ \text{neexistuje}, & a \leq -1. \end{cases}\) \(a\in\R\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n\) \(\mathrm{e}\)

Tabulka 7.2: Důležité limity posloupností odvozené v kapitolách 57.

Důležité limity Hodnota Parametry
\(\displaystyle\lim_{x\to a} c\) \(c\) \(c \in \R\), \(a \in \overline{\R}\)
\(\displaystyle\lim_{x\to a} x\) \(a\) \(a \in \overline{\R}\)
\(\displaystyle\lim_{x\to a\pm} \frac{1}{(x-a)^k}\) \(\begin{cases} \pm\infty, & k \ \text{liché}, \\ +\infty, & k \ \text{sudé}.\end{cases}\) \(a \in \R\), \(k \in \N\)
\(\displaystyle\lim_{x\to a} |x|\) \(|a|\) \(a \in \overline{\R}\), kde \(\left|+\infty\right| = \left|-\infty\right| = +\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0\pm} \sgn(x)\) \(\pm 1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to a} \sqrt[k]{x}\) \(\sqrt[k]{a}\) liché \(k \in \N\), \(a \in \overline{\R}\)
\(\displaystyle\lim_{x\to a} \sqrt[k]{x}\) \(\sqrt[k]{a}\) sudé \(k \in \N\), \(a \in \langle 0, +\infty) \cup \{+\infty\}\)
\(\displaystyle\lim_{x\to a} P(x)\) \(P(a)\) \(a \in \R\), \(P\) polynom
\(\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{e^x - 1}{x}\) \(1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{\ln(1+x)}{x}\) \(1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{\sin(x)}{x}\) \(1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to a} \sin(x)\) \(\sin(a)\) \(a \in \R\)
\(\displaystyle\lim_{x\to a} \cos(x)\) \(\cos(a)\) \(a \in \R\)
\(\displaystyle\lim_{x\to a} \mathrm{e}^x\) \(\mathrm{e}^a\) \(a \in \R\)
\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \mathrm{e}^x\) \(+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} \mathrm{e}^x\) \(0\)
\(\displaystyle\lim_{x\to a} \ln(x)\) \(\ln(a)\) \(a \in (0, +\infty)\)
\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \ln(x)\) \(+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0+} \ln(x)\) \(-\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\) \(\mathrm{e}\)
\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} \left(1+\frac{\alpha}{x}\right)^x\) \(\mathrm{e}^\alpha\) \(\alpha \in \R\)

Tabulka 7.3: Důležité limity funkcí odvozené v kapitolách 57.