5.7 Asymptotická ekvivalence $\sim$

Tento vztah definujeme pro funkce, definice níže ale přirozeně zahrnuje i případ posloupností, ke kterým se dostaneme v následující kapitole.

Definice 5.4 (Asymptotická ekvivalence $\sim$)

Mějme dvě funkce $f$, $g$ a bod $a \in \overline{\R}$ takový, že $a$ je hromadným bodem množiny $D_f \cap D_g$ a existuje okolí $V_a$ splňující34 $(V_a \cap D_f) \smallsetminus \{a\} = (V_a \cap D_g) \smallsetminus \{a\}$.

Řekneme, že funkce $f$ je asymptoticky ekvivalentní funkci $g$ pro $x$ jdoucí k $a$, symbolicky „$f(x) \sim g(x)$ pro $x \to a$“, právě když existuje okolí $U_a$ bodu $a$ a funkce $u$ definovaná na $U_a$ pro jejíž limitu v bodě $a$ platí $\displaystyle\lim_{x\to a} u(x) = 1$ tak, že pro všechna $x \in U_a \cap D_f \cap D_g$ různá od $a$ platí

\begin{equation*} f(x) = u(x) g(x). \end{equation*}

Tento asymptotický vztah $\sim$ je v jistém smyslu nejpřesnější. Za jistých dodatečných předpokladů lze vztah $f(x) \sim g(x)$ pro $x \to a$ vyjádřit pomocí limity podílu $f(x) / g(x)$ pro $x \to a$, tímto často používaným pozorováním se zabývá Věta 5.8 níže. Zamysleme se nad základními vlastnostmi tohoto pojmu.

Tvrzení 5.1

Platí následující tvrzení:

  • Vztah $\sim$ je symetrický, tranzitivní a reflexivní, jde skutečně o ekvivalenci.

  • Mějme dvě funkce $f$ a $g$ a bod $a$. Pokud $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ existuje a je rovna $\alpha$ a $f$ je asymptoticky ekvivalentní $g$ pro $x \to a$, pak existuje i $\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)$ a je také rovna $\alpha$.

Příklad 5.19

Mějme dva polynomy $P$ a $Q$. Potom $P$ je asymptoticky ekvivalentní $Q$ pro $x\to+\infty$ (tj. $P(x) \sim Q(x)$ pro $x \to +\infty$), právě když polynomy $P$ a $Q$ mají stejný stupeň a stejný koeficient u nejvyšší mocniny.