3.2 Reálná funkce reálné proměnné

BI-MA1 se budeme zabývat reálnými funkcemi s pouze jednou reálnou proměnnou. Reálným funkcím více proměnných se budeme věnovat v zimním semestru v navazujícím předmětu  BI-MA2.

Definice 3.3 (Reálná funkce reálné proměnné)

Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.

Poznámka 3.6

V celém kurzu  BI-MA1 budeme termín reálná funkce reálné proměnné povětšinou zkracovat na termín funkce. Nebezpečí zmatení nehrozí, s funkcemi více proměnných se podrobněji setkáme až v  BI-MA2.

Reálná funkce reálné proměnné je často zadána tzv. explicitně. Tedy pomocí funkčního předpisu typu $f(x) = V(x)$, kde $V(x)$ je nějaký výraz v proměnné $x$ a bez explicitního udání definičního oboru. Např. „$f(x) = x^2 + 1$“. Tímto způsobem ovšem funkce není plně zadána. Jaký je její definiční obor? Buď musíme explicitně říci, jaký definiční obor uvažujeme, nebo konvenčně zvolíme největší možný definiční obor vzhledem k danému výrazu:

Definice 3.4 (Maximální definiční obor)

Funkci $f$ zadanou pouze předpisem $V(x)$ chápeme definovanou na maximálním13 definičním oboru, tedy na množině všech reálných $x$, pro které má výraz $V(x)$ smysl jakožto reálné číslo, a lze mu tedy jednoznačně přiřadit reálné číslo.

Pro připomenutí uvádíme Tabulku 3.1 s definičními obory několika známých funkcí. Podrobný přehled vlastností elementárních funkcí, včetně jejich definičních oborů, nalezne čtenář v dodatkové Kapitole 12.

Příklad 3.1

Pod funkcí $f$ zadanou explicitně vzorcem $f(x) \ceq \sqrt{x + 1}$ si tedy představíme funkci $f\colon D_f \to \mathbb R$ určenou tímto předpisem na maximálním definičním oboru, kterým je množina $D_f$ takových $x \in \R$, že $\sqrt{x + 1}$ má smysl a dává reálné číslo. Z požadavku $x + 1 \geq 0$ pak hned dostáváme maximální definiční obor $D_f = \langle -1, +\infty)$.

Tato funkce $f$ je různá od funkce $g$ zadané předpisem $g(x) \ceq \sqrt{x + 1}$ s definičním oborem $D_g \ceq \langle 0, +\infty)$.

Příklad 3.2

Uvažme předpis $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x-1}$. Přirozeným definičním oborem $f$ je množina

\begin{equation*} D_f = \langle 0,1) \cup (1,+\infty). \end{equation*}

Podmínky na „smysluplnost“ daného výrazu jsou totiž v tomto případě nenulovost jmenovatele a nezápornost argumentu odmocniny. Konkrétně $x-1 \neq 0$ a $x \geq 0$.

Otázka 3.2

Zadává předpis $f(x) = \ln \Big( \ln \big(\sin(x)\big)\Big)$ funkci?

Zobrazit odpověď

Ne.

funkce parametr podmínka popisující definiční obor
\(\frac{1}{x^k}\) \(k\in\N\) \(x \neq 0\)
\(\sqrt[2k]{x}\) \(k\in\N\) \(x \geq 0\)
\(\sqrt[2k+1]{x}\) \(k\in\N_0\) \(x \in \R\)
\(\ee^x\) \(x \in \R\)
\(\ln(x)\) \(x > 0\)
\(\sin(x)\) \(x \in \R\)
\(\cos(x)\) \(x \in \R\)
\(\tg(x)\) \(x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k\) pro \(k\in\Z\)
\(\cotg(x)\) \(x \neq k\pi\) pro \(k\in\Z\)
\(\arcsin(x)\) \(-1 \leq x \leq 1\)
\(\arccos(x)\) \(-1 \leq x \leq 1\)
\(\arctg(x)\) \(x \in \R\)

Tabulka 3.1: Maximální definiční obory některých elementárních funkcí.

Funkci $f\colon D_f \to \R$ si často můžeme také představit, respektive nakreslit, pomocí jejího grafu. Tím máme na mysli podmnožinu roviny $\R^2$ zadanou předpisem $\Gamma_f \ceq \{ (x,y) \mid y = f(x), \ \text{pro} \ x \in D_f \}$. Všimněte si, že graf funkce $f$, tj. množina $\Gamma_f$, představuje relaci ( BI-DML, Definice), která formálně tuto funkci (zobrazení) definuje. V našem konkrétním případě reálné funkce reálné proměnné ovšem lze tuto množinu velmi názorně vizualizovat v rovině.

Velké množství ukázek grafů různých funkcí může čtenář nalézt v dodatkové Kapitole 12. Dále zde na Obrázku 3.1 čtenářstvu nabízíme interaktivní ukázku grafu funkce a souvisejících pojmů.

Obrázek 3.1: Interaktivní ilustrace k základním vlastnostem funkcí. Pomocí služby Geogebra vizualizujeme graf funkce $f(x) = 1 + \sqrt{x} + \sqrt{(x-1)(2-x)}$. Jejím maximálním definičním oborem je množina $D_f = \langle 1,2 \rangle \subset \R$, oborem hodnot je množina $H_f = \langle 1, 1 + 3\sqrt{3} / 4 \rangle$ (netriviální, budete umět odvodit pomocí diferenciálního počtu na konci semestru). Na obrázku můžete pohybovat bodem $a \in D_f$ a sledovat změnu funkční hodnoty $f(a) \in H_f$ a bodu $(a, f(a)) \in \Gamma_f$.

Protože jsou funkce speciálními případy zobrazení, přenáší se na ně pojmy prostá (injektivní), na (surjektivní) a vzájemně jednoznačná (bijektivní) funkce. Také ihned po zobrazeních zdědíme operace zúžení zobrazenískládání zobrazeníinverzní zobrazení, a koncept rovnosti zobrazení. Viz Kapitolu 11.

V případě inverze se ovšem s prostým podědění pojmu od zobrazení nespokojíme. Pro (nejen pouze) naše účely studia vlastností reálných funkcí reálné proměnné je přístup v BI-DML Definici 11.9 příliš striktní. Naše „funkce“ (Definice 3.3) chápeme jako zobrazení $A \to \R$, kde $A \subset \R$ je neprázdná množina a vždy zobrazujeme do $\R$. Například exponenciála, $\ee^x$, tak standardně není chápána jako surjektivní (na $\R$), není bijekcí a neměla by tak inverzi, i když je prostá. Zavádíme proto následující koncept inverzní funkce.

Definice 3.5 (Inverzní funkce)

Je-li $f\colon D_f \to \R$ prostá funkce, pak inverzní funkcí $f^{-1}\colon H_f \to \R$ k zobrazení $f$ definujeme pro každé $x \in H_f = f(D_f)$ předpisem $f^{-1}(x) \ceq y$, kde $y$ je (za uvedených předpokladů nutně jednoznačně daný) prvek množiny $D_f$ splňující $x = f(y)$.

Příklad 3.3

S touto definicí je skutečně $\ln: (0, +\infty) \to \R$ inverzní funkcí k $\ee^x: \R \to \R$. Obě funkce jsou prosté. Pouze $\ln$ je surjektivní.

Otázka 3.3

Existuje funkce, pro kterou by platilo $f^{-1}(x) = \frac{1}{f(x)}$ pro všechna $x \in D_{f^{-1}}$?

Zobrazit odpověď

Ano, například $f(1) = 1$, $D_f = \{1\}$. Vymyslíte méně triviální příklad?

Pro popis chování funkcí se nám ještě mohou hodit následující dva pojmy.

Definice 3.6 (Omezená funkce / bounded function)

Funkci $f\colon D_f \to \R$ nazýváme omezenou, právě když existuje konstanta $K \geq 0$ taková, že pro všechna $x \in D_f$ platí nerovnost $|f(x)| \leq K$.

Alternativně, přesněji ekvivalentně, bychom mohli říci, že funkce $f$ je omezená, právě když její obor hodnot je omezená množina. Vzpomeňte si, že omezenost množiny $M \subset \R$ znamená existenci konstanty $K > 0$ takové, že $|x| \leq K$ pro všechna $x \in M$.

Otázka 3.4

Udejte příklad dvou funkcí, jedné omezené a jedné neomezené. Své volby řádně zdůvodněte.

Zobrazit odpověď

Funkce $\sin$ je omezená jedničkou, pro všechna reálná $x$ platí $|\sin(x)| \leq 1$. Funkce $x$ není omezená: každou hypotetickou mez $K \geq 0$ překonáme volbou $x = K + 1$.

Vedle omezenosti funkce zavedené v Definici 3.6 je pro popis funkcí užitečný i následující pojem.

Definice 3.7 (Konstantní funkce / constant function)

Funkci $f\colon D_f \to \R$ nazýváme konstantní, právě když existuje konstanta $c \in \R$ taková, že pro všechna $x \in D_f$ platí $f(x) = c$.

Otázka 3.5

Dala by se konstantnost funkce $f\colon D_f \to \R$ vyjádřit podmínkou nakladenou na její obor hodnot? Podobně jako jsme to výše udělali pro omezenost?

Zobrazit odpověď

Ano, funkce $f$ je konstantní, právě když její obor hodnot je jednoprvková množina.

Otázka 3.6

Vymyslete funkci zadanou předpisem, který na první pohled formálně závisí na nezávisle proměnné $x$, ale která je ve skutečnosti konstantní.

Zobrazit odpověď

Například $f(x) = 0 \cdot x$, nebo méně triviálně $g(x) = \sin^2(x) + \cos^2(x)$.

Dále uvádíme pouze několik příkladů demonstrujících právě zmíněné pojmy v případě funkcí.

Příklad 3.4

Určete, zda je následující funkce $f: \R \to \R$ prostá, na, případně bijektivní.

\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} \end{equation*}

Zobrazit řešení

Funkce $f$ je prostá. Vskutku, předpokládejme, že existují $x_1 \neq x_2$ taková, že $f(x_1) = f(x_2)$. Protože $f(x)$ má dle definice výše vždy stejné znaménko jako $x$ (tj. $\sgn(x) = \sgn(f(x))$, platí i pro $x = 0$), tak musí mít $x_1$ stejné znaménko jako $x_2$ a zjevně též musí být obě nenulová (protože $x_1 \neq x_2$ a $f(x)$ je nulová pouze pro $x = 0$). Předpokládejme, že jsou obě kladná. Potom $1/x_1 = 1/x_2$ je ekvivalentní $x_2 = x_1$ a dostáváme spor s předpokladem $x_1 \neq x_2$. Analogicky postupujeme, pokud by byla obě záporná.

Funkce $f$ je také na. Pro $y = 0$ platí $f(0) = 0$ a pro $y \neq 0$ platí $f(1/y) = y$, tedy ke každému $y \in \R$ najdeme bod $x$ takový, že $f(x) = y$. Celkově je tedy $f$ bijektivní. Graf této funkce je znázorněn na Obrázku 3.2.

Obrázek 3.2: Graf funkce z Příkladu 3.4. Tato funkce je bijekcí množiny $\R$ se sebou samou.
Příklad 3.5

Uvažme funkce $f(x) = \sqrt{x}$ a $g(x) = \sqrt{|x|}$ jejichž maximálními definičními obory jsou $D_{f} = \langle 0,+\infty )$ a $D_{g} = \R$. Funkce $f$ je zúžením funkce $g$ na množinu $\langle 0,+\infty)$. Platí tedy $f = g \big|_{\langle 0, +\infty)}$.

Funkce $f$ je prostá a příslušná inverzní funkce $f^{-1}$ má definiční obor $D_{f^{-1}} = \langle 0,+\infty)$ a pro každé $x \geq 0$ platí $f^{-1}(x) = x^2$. Funkce $g$ prostá není, protože např. $g(-1) = g(1) = 1$.

Příklad 3.6

Uvažujme funkce $f(x) = x^2$ a $g(x) = \sqrt{x}$. Maximálními definičními obory jsou $D_f = \mathbb R$ a $D_g = \langle 0,+\infty)$.

Složená funkce $g \circ f$ má definiční obor $D_{g\circ f} = f^{-1}\big(\langle 0,+\infty)\big) = \mathbb R$ a pro každé $x \in D_{g\circ f}$ platí $(g\circ f)(x) = g(f(x)) = \sqrt{x^2} = |x|$. Složená funkce $f \circ g$ má definiční obor $D_{f\circ g} = g^{-1}\big(\mathbb R\big) = \langle 0,+\infty)$ a pro každé $x \in D_{f\circ g}$ platí $(f\circ g)(x) = f(g(x)) = (\sqrt{x})^2 = x$. Je tedy zřejmé, že $f \circ g \neq g \circ f$. Pokud ale zúžíme $f$ na $\langle 0,+\infty)$, dostaneme už prostou funkci, ke které je funkce $g$ inverzní. Tj. $\big(f \big|_{\langle 0,+\infty)}\big)^{-1} = g$.

Příklad 3.7

Funkce $f(x) = \sin^2(x) + \cos^2(x)$ je konstantní.

Skutečně, pro všechna $x \in D_f = \R$ platí známá trigonometrická rovnost $f(x) = 1$.

Příklad 3.8

Funkce $g(x) = \frac{1}{x}$, $D_g = (1, +\infty)$ je omezená. Funkce $h(x) = \frac{1}{x}$ omezená není.

Otázka 3.7

Mějme tři funkce $f$, $g$ a $h$ s definičními obory

\begin{equation*} D_f = \R, \quad D_g = \langle 0,+\infty), \quad D_h = \langle 0,+\infty) \end{equation*}

dané předpisy

\begin{align*} f(x) &= x, \quad x \in D_f, \\ g(x) &= x, \quad x \in D_g, \\ h(x) &= |x|, \quad x \in D_h.\end{align*}

Které jsou si vzájemně rovny?

Zobrazit odpověď

Platí $f \neq g$, $g = h$ a $f \neq h$.

3.2.1 Typy monotonie funkce

Vedle známých vlastností funkcí (prostá, na, bijektivní) rozeznáváme několik typů monotonie funkcí. Tyto vlastnosti už využívají toho, že definiční obory i obory hodnot našich funkcí jsou podmnožiny reálných čísel, na kterých máme zavedené úplné uspořádání. Pro obecná zobrazení analog těchto pojmů nemáme.

Definice 3.8 (Typy monotonie funkcí)

Uvažme funkci $f\colon D_f \to \R$ a množinu $M \subset D_f$. Potom funkci $f$ nazýváme

  • rostoucí na množině $M$, právě když pro každé $x_1,x_2 \in M$ splňující $x_1 < x_2$ platí $f(x_1) \leq f(x_2)$,

  • klesající na množině $M$, právě když pro každé $x_1,x_2 \in M$ splňující $x_1 < x_2$ platí $f(x_1) \geq f(x_2)$,

  • ostře rostoucí na množině $M$, právě když pro každé $x_1,x_2 \in M$ splňující $x_1 < x_2$ platí $f(x_1) < f(x_2)$,

  • ostře klesající na množině $M$, právě když pro každé $x_1,x_2 \in M$ splňující $x_1 < x_2$ platí $f(x_1) > f(x_2)$.

Pokud některý z výše zmíněných pojmů použijeme bez reference na množinu $M$, pak za $M$ bereme celý definiční obor uvažované funkce. Následující příklady ilustrují zcela elementární použití výše uvedené definice. Později během semestru si ukážeme i sofistikovanější metody umožňující odhalit typ monotonie funkce pomocí derivace.

Příklad 3.9

Například $f(x) = x^2$ pro $x\in D_f = \R$ je funkce rostoucí na $\langle 0,+\infty)$, ale nejedná se o rostoucí funkci.

Zobrazit řešení

Funkce $f$ jistě není rostoucí: její definiční obor je $\R$ a pro $x_1 = -2$ a $x_2 = 0$ splňující $x_1 < x_2$ platí $f(x_1) = 4 > 0 = f(x_2)$.

Bavíme-li se ovšem o intervalu $\langle 0,+\infty)$, pak jsou-li $x_1$ a $x_2$ dvě nezáporná čísla splňující $x_1 < x_2$ platí $f(x_1) = x_1^2 < x_1 x_2 < x_2^2 = f(x_2)$ (dvojnásobné násobení nerovnosti nezáporným číslem).

Příklad 3.10

Funkce $g(x) = -x^3$, $x\in D_f = \R$, je ostře klesající.

Zobrazit řešení

Mějme $x_1,x_2 \in \R$ splňující $x_1 < x_2$. Rozmysleme si tři možné situace pokrývající všechny možnosti:

  • Pokud $x_1 < 0$ a $x_2 > 0$, pak $g(x_1) = -x_1^3 > 0 > -x_2^3 = g(x_2)$.

  • Pokud $0 \leq x_1 < x_2$, pak $x_1^3 < x_2^3$ a tedy $g(x_1) = - x_1^3 > -x_2^3 = g(x_2)$.

  • Pokud $x_1 < x_2 \leq 0$, pak $x_1^3 < x_2^3$ a tedy $g(x_1) = -x_1^3 > -x_2^3 = g(x_2)$.

Není těžké si rozmyslet, že každá ostře rostoucí (nebo ostře klesající) funkce je prostá. Opak ale neplatí, ne každá prostá funkce je ostře klesající (nebo ostře rostoucí). Skutečně, podívejte se na funkci z Příkladu 3.4.

Otázka 3.8

Pokud pro nějaká $a,b\in\R$ platí $a< b$, plyne odtud i nerovnost $a\leq b$?

Zobrazit odpověď

Ano. Dle definice $a\leq b$ platí právě tehdy, když $a=b$ nebo $a< b$.

Poznámka 3.7 (Různé terminologie)

Ve světě neexistuje celková shoda na terminologii zavedené v Definici 3.8. Je možné, ze střední školy jsou zvyklí na konvenci, ve které se rozlišují „rostoucí“ (naše ostře rostoucí) „neklesající“ (naše rostoucí), „klesající“ (naše ostře klesající) a „nerostoucí“ (naše klesající). Volba, kterou činíme zde, je rozšířenější v anglických materiálech a navíc, jak později uvidíme, lépe ladí se vztahem těchto typů monotonie a znaménka derivace.

Často chceme souhrnně mluvit o (ostře) rostoucích nebo klesajících funkcích. Proto zavádíme následující dva pojmy.

Definice 3.9 (Monotónní funkce)

Funkci, která je rostoucí nebo klesající, nazýváme monotónní. Funkci, která je ostře rostoucí nebo ostře klesající, nazýváme ryze monotónní.

Otázka 3.9

Existuje funkce, která je současně rostoucí i klesající?

Zobrazit odpověď

Ano, například konstantní funkce.

Otázka 3.10

Je každá ryze monotónní funkce i monotónní?

Zobrazit odpověď

Ano, pokud platí $a < b$, pak platí i $a \leq b$.

Otázka 3.11

Je každá ostře rostoucí funkce i rostoucí?

Zobrazit odpověď

Ano.

Příklad 3.11 (Častý omyl)

Zřejmě pod vlivem definice typů monotonie pro posloupnosti (Definice 4.2) mají občas studenti tendenci komolit podmínky v Definici 3.8. Například vlastnost funkce být ostře rostoucí na intervalu $I$ by mylně vyjádřili požadavkem: pro každé $x$ z $I$ platí nerovnost $f(x) < f(x+1)$.

Tento požadavek jistě nelze splnit pro intervaly, jejichž pravý krajní bod není $+\infty$. Ale to není zásadní problém. Kvantifikaci přes dvě hodnoty $x_1$ a $x_2$ omezené pouze podmínkou $x_1 < x_2$ nelze nahradit volbou dvou bodů $x$ a $x+1$ posunutých o jedničku.

Názorně to lze ukázat například na následující funkci. Konkrétní předpis není tak zásadní, hlavní pointa je patrná z Obrázku 3.3. Uvažme funkci definovanou předpisem $f(x) = \lfloor x \rfloor + \lceil x \rceil - x$, $x \in D_f = \R$. Přímým dosazením pro libovolné $x \in \R$ dostáváme

\begin{equation*} f(x + 1) = \lfloor x \rfloor + 1 + \lceil x \rceil + 1 - x - 1 = f(x) + 1 > f(x). \end{equation*}

Tj. tato funkce splňuje uvedenou mylnou podmínku. Porovnáme-li ale funkční hodnoty v bodech $1/4$ a $1/2$ pak dostaneme opačnou nerovnost,

\begin{align*} f(1/4) &= 0 + 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}, \\ f(1/2) &= 0 + 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2},\end{align*}

tj. $f(1/4) > f(1/2)$. Názorně tuto situaci ilustruje Obrázek 3.3.

Obrázek 3.3: Graf funkce $f(x) = \lfloor x \rfloor + \lceil x \rceil - x$ z Příkladu 3.11. Tato funkce sice splňuje podmínku $f(x) < f(x + 1)$ pro každé reálné $x$, ale není ostře rostoucí.

3.2.2 Parita funkcí: sudost a lichost

Dalšími užitečnými vlastnostmi funkcí je sudost a lichost. Tyto vlastnosti vyjadřují symetričnost grafu vůči zrcadlení vzhledem k ose $y$, resp. bodové symetrii vůči počátku souřadného systému. Mohou nám tedy z poloviny zjednodušit například problém kreslení grafu dané funkce. Ukázku sudé a liché funkce najde čtenář na Obrázku 3.4.

Definice 3.10 (Sudá a lichá funkce / even and odd functions)

Mějme funkci $f\colon A \to \R$, jejíž definiční obor je symetrický vůči počátku, tedy pro každé $x \in D_f$ je i $-x \in D_f$. Funkci $f$ nazýváme

  • sudou, právě když pro každé $x\in D_f$ platí $f(-x) = f(x)$.

  • lichou, právě když pro každé $x\in D_f$ platí $f(-x) = -f(x)$.

Obrázek 3.4: Grafická ukázka sudé (vlevo) a liché (vpravo) funkce.

Při určování sudosti, resp. lichosti, dané funkce bývá výhodné využít chování těchto vlastností vůči součtu a součinu funkcí. To je obsahem následujícího pozorování.

Pozorování 3.1 (Chování sudosti/lichosti funkce vůči součinu/součtu.)

Platí následující dvě tvrzení, jejichž důkaz plyne velmi přímočaře přímo z definice14. V obou tvrzeních uvažujeme takové funkce, jejichž definiční obory mají neprázdný průnik.

  • Součet dvou sudých funkcí je sudá funkce. Součet dvou lichých funkcí je lichá funkce.

  • Součin dvou sudých, nebo lichých, funkcí je sudá funkce. Součin sudé a liché funkce je lichá funkce.

Otázka 3.12

Jsou-li $f$ sudá funkce a $g$ lichá funkce definované na $\R$, jsou pak funkce

\begin{equation*} F(x) = f(x) \cdot g(x), \quad G(x) = x \cdot g(x)^2, \quad H(x) = f(x) + g(x) \end{equation*}

sudé nebo liché?

Zobrazit odpověď

$F$ je lichá, $G$ je lichá, $H$ nemusí být ani sudá ani lichá.

Otázka 3.13

Existuje funkce, která by byla sudá i lichá zároveň?

Zobrazit odpověď

Ano, například $f(x) = 0$.

3.2.3 Periodicita funkce

Poslední zajímavou vlastností, kterou zde budeme občas potřebovat, je periodicita funkce.

Definice 3.11 (Periodická funkce / periodic function)

Mějme funkci $f\colon A \to \R$, konstantu $T > 0$ a nechť pro každé $x\in A$ je i $x + T,\, x - T \in A$. Pokud pro každé $x \in A$ platí $f(x \pm T) = f(x)$, pak funkci $f$ nazýváme periodickou funkcíperiodou $T$.

Ukázku periodické funkce najde čtenář na Obrázku 3.5.

Obrázek 3.5: Periodická funkce s periodou $\pi$.
Poznámka 3.8

Pozor, periodická funkce nutně nemusí mít nejmenší periodu. Příkladem je libovolná konstantní funkce definovaná na $\R$ nebo tzv. Dirichletova funkce $D\colon \R \to \R$ definovaná předpisem

\begin{equation*} D(x) = \begin{cases} 0, & x \in \Q, \\ 1, & x \in \R \smallsetminus \Q. \end{cases} \end{equation*}

Zkuste se zamyslet nad tím, jak vypadá graf této funkce $D$. Je také dobré poznamenat, že pro každé strojové číslo $x$ platí $D(x) = 0$.