4.1 Definice reálné posloupnosti

Pojďme nejprve formálně zavést pojem posloupnosti jakožto jistý typ zobrazení.

Definice 4.1 (Posloupnost / sequence)

Zobrazení množiny přirozených čísel $\N$ do množiny reálných čísel $\R$ nazýváme reálná číselná posloupnost (pokud nebude hrozit zmatení, budeme zkráceně mluvit o posloupnosti).

Dále budeme používat následující standardní značení. Je-li $a\colon \N \to \R$ posloupnost, pak funkční hodnotu $a$ v bodě $n\in \N$, tj. reálné číslo $a(n)$, označujeme pomocí dolního indexu22 symbolem $a_n$ a nazýváme $n$-tým členem posloupnosti $a$. Skutečnost, že $a\colon \N \to \R$ je posloupnost, zapisujeme také zkráceně symbolem $(a_n)_{n=1}^\infty$.

Otázka 4.1

Vyzýváme čtenářky a čtenáře, aby vlastními slovy zformulovali, jaký je rozdíl mezi symbolem $a_n$ a $(a_n)_{n=1}^\infty$. Srovnejte s podobnou symbolikou u funkcí, tedy rozdílem mezi $f(x)$ a $f$ v případě funkce $f\colon D_f \to \R$.

Zobrazit odpověď

Jedná se o stejný rozdíl jako mezi funkční hodnotou a funkcí. Symbol $a_n$ označuje $n$-tý člen posloupnosti, kdežto symbol $(a_n)_{n=1}^\infty$ celou posloupnost (zobrazení $a\colon \N \to \R$).

Zdůrazněme, že číselné posloupnosti uvažované v tomto textu jsou vždy nekonečné. Někdy zaváděný pojem „konečné posloupnosti“ je pro nás prostě jistá uspořádaná $n$-tice (s pevně daným $n$) a nemáme proto pro něj jakoukoliv potřebu.

V tomto textu nejčastěji narazíme na posloupnosti zadané explicitně vzorcem pro $n$-tý člen. Dalším způsobem zadání posloupností je pomocí rekurencí (tedy zadáním vztahu mezí $n$-tým členem a několika předchozími členy). Rekurentně zadanými posloupnostmi se budeme věnovat zejména v BI-MA2, ale na důležité příklady narazíme i zde (viz Newtonovu metodu v Podkapitole 10.1). Tyto způsoby ale nejsou jediné možné způsoby zadání posloupností.

Poznámka 4.1 (Indexace)

V Definici 4.1 jsme se omezili na indexovou množinu $\N$. Obecně bychom mohli index posloupnosti $n$ nechat probíhat libovolnou nekonečnou podmnožinou množiny $\N$. Takovou množinu ovšem vždy můžeme přeindexovat, nejde tedy o žádnou velkou újmu na obecnosti. Nejčastěji narazíme na praktickou potřebu indexovat prvky posloupností od nuly, pak přirozeně píšeme $(a_n)_{n=0}^\infty$.

Příklad 4.1

Uvažme posloupnost $a\colon\N \to \R$ definovanou předpisem $a_n \ceq (-1)^n$ pro každé $n\in\N$. Například tedy platí rovnosti $a_1 = -1$, $a_2 = 1$, či $a_{321} = -1$. Tuto posloupnost jsme mohli zadat i ekvivalentním způsobem:

\begin{equation*} a = \big( (-1)^n \big)_{n=1}^\infty. \end{equation*}

Oborem hodnot posloupnosti $a$ je množina obsahující pouze dva prvky, $\{-1,1\}$. Jinak řečeno, členy této posloupnosti nabývají pouze dvou hodnot, buď $1$ nebo $-1$. Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ má ale nekonečně mnoho členů. Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ je graficky znázorněna na Obrázku 4.1.

Otázka 4.2

Uvažme posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ zadanou hodnotou prvního členu $a_1 = \alpha$ a rekurentním vztahem $a_{n+1} = 2 a_{n} + 1$, $n \in \N$. Určete hodnotu $\alpha$ tak, aby $a_4 = -1$.

Zobrazit odpověď

$\alpha = -1$

Otázka 4.3

Kolik členů má posloupnost $\left( \sin \frac{n\pi}{2} \right)_{n=1}^\infty$? Kolika různých hodnot nabývají její členy?

Zobrazit odpověď

Každá posloupnost má nekonečně mnoho členů. Členy této konkrétní posloupnosti nabývají právě tří hodnot $\{-1,0,1\}$.

Obrázek 4.1: Příklad posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$, kde $a_n = (-1)^n$, $n\in\N$.