Nyní tedy umíme derivovat součty, součiny a podíly funkcí, jejichž derivace již známe. Je možné derivovat i složené funkce, s kterými často přicházíme do styku? Odpověď na tuto otázku je kladná.
Nechť $g$ je funkce diferencovatelná v bodě $a$, $f$ je diferencovatelná v bodě $g(a)$. Potom funkce $f\circ g$ je diferencovatelná v bodě $a$ a platí
Důkaz je založen na úpravě
platné pro každé $x \neq a$ pro které navíc $g(x) \neq g(a)$ a větě o limitě složené funkce. Funkce $f$ je diferencovatelná v bodě $g(a)$ a proto je jistě i definována na okolí tohoto bodu, dejme tomu $U_{g(a)}$. Definujme funkci
Tato funkce je definována na $U_{g(a)}$, podle předpokladů pro ni platí
a je proto spojitá v bodě $g(a)$. Díky spojitosti funkce $g$ v bodě $a$ nyní platí rovnost
pro všechna $x \neq a$ z nějakého okolí bodu $a$ (speciálně i ve tvaru $0=0$ pro ta, pro která případně platí $g(x) = g(a)$). Podle věty o limitě složené funkce je limita funkce $h(g(x))$ v bodě $a$ rovna $f'(g(a))$. Skutečně, $g$ v bodě $a$ má za limitu $g(a)$, $h$ v bodě $g(a)$ má za limitu $f'(g(a))$ a třetí předpoklad této věty je splněn díky spojitosti $h$ v bodě $g(a)$. Konečně podle věty o limitě součinu (Věta 6.1) z poslední rovnice dostaneme
Tím je důkaz dokončen.
$\square$
Platí tedy například:
Skutečně, v prvním příkladě je vnější funkcí $f(x) = e^x$ a vnitřní funkcí $g(x) = x^2$. Pak totiž
A podle věty o derivaci složené funkce
Podobně lze postupovat i v druhém příkladě.
Derivace funkce $h(x) = x^\alpha$, $x > 0$ a $\alpha\in\R$, je opět $h'(x) = \alpha x^{\alpha - 1}$.
Víme, že pro kladné $x > 0$ platí $x^\alpha = e^{\alpha\ln x}$. Označme $f(x) = e^x$ vnější funkci a $g(x) = \alpha\ln(x)$ vnitřní funkcí, tedy $x^{\alpha} = f(g(x))$. Potom podle věty o derivaci složené funkce máme
Lichá odmocnina, tedy funkce $f(x) = \sqrt[2k+1]{x}$ pro $k\in\N$, je definována na celém $\R$ a pro její derivaci platí $f'(x) = \frac{1}{2k+1} \frac{1}{\sqrt[2k+1]{x^{2k}}}$ pro všechna nenulová $x$. V bodě $0$ má tato funkce derivaci rovnou $+\infty$.
Využijeme výsledku předchozího Příkladu 8.10. Pro kladná $x$ platí $f(x) = x^{\frac{1}{2k+1}}$ a proto už víme, že
Pro záporná $x$ platí $f(x) = - \sqrt[2k+1]{-x}$. Při derivování proto lze nyní použít již odvozený výsledek a Větu o derivaci složené funkce (Věta 8.3). Dostáváme v tomto případě
čili stejný výraz jako v případě kladných $x$.
Konečně v bodě $0$ pro derivaci této funkce platí (využíváme známou limitu $\lim_{x\to0} \frac{1}{x^{2k}} = +\infty$, pro $k\in\N$)
Derivace funkce $f(x) = a^x$, $x\in\R$, kde $a>0$ je $f'(x) = a^x \ln a$.
Platí $h(x) = e^{x\ln a}$. Označme vnější funkci $f(x) = e^x$ a vnitřní funkci $g(x) = x\ln a$. Potom podle věty o derivaci složené funkce platí
Nechť $f$ je funkce definovaná na okolí bodu $a\in\R$. Pokud existuje limita
nazveme její hodnotu derivací funkce $f$ v bodě $a$ a označíme $f^\prime(a)$. Pokud je tato limita konečná (tj. $f^\prime(a) \in \R$) řekneme, že funkce $f$ je diferencovatelná v bodě $a$.
Buďte $g$ funkce definovaná na okolí bodu $a$ a spojitá v bodě $a$ a $f$ funkce definovaná na okolí bodu $g(a)$ a spojitá v bodě $g(a)$. Potom složená funkce $f \circ g$ je spojitá v bodě $a$.
Nechť $g$ je funkce diferencovatelná v bodě $a$, $f$ je diferencovatelná v bodě $g(a)$. Potom funkce $f\circ g$ je diferencovatelná v bodě $a$ a platí
Nechť $g$ je funkce diferencovatelná v bodě $a$, $f$ je diferencovatelná v bodě $g(a)$. Potom funkce $f\circ g$ je diferencovatelná v bodě $a$ a platí
Nechť $g$ je funkce diferencovatelná v bodě $a$, $f$ je diferencovatelná v bodě $g(a)$. Potom funkce $f\circ g$ je diferencovatelná v bodě $a$ a platí