Zjistili jsme, že první derivace funkce $f$ souvisí s monotonií funkce $f$. Nyní ukážeme, že druhá derivace funkce $f$ dále souvisí s tvarem grafu funkce $f$. Nejprve zaveďme potřebné pojmy.
Nechť funkce $f$ je diferencovatelná v bodě $a\in D_f$. Pokud existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že pro všechna $x\in U_a\smallsetminus\{a\}$ leží body $(x, f(x))$ nad (resp. pod) tečnou funkce $f$ v bodě $a$, tj.
pak $f$ nazveme ryze konvexní (resp. konkávní) v bodě $a$.
Pokud pro body $(x,f(x))$ výše připustíme možnost ležet na tečně (tj. připustíme neostré nerovnosti), pak $f$ nazveme konvexní (resp. konkávní) v bodě $a$.
Vybaveni pojmem konvexity/konkavity v bodě zavádíme i konvexitu/konkavitu na intervalu. Podobně jsme postupovali i v případě spojitosti (viz Definici 7.1 a Definici 7.2).
Funkci $f$ nazveme (ryze) konvexní (resp. konkávní) na intervalu $J$, právě když je na tomto intervalu spojitá a je (ryze) konvexní (resp. konkávní) v každém bodě intervalu $J^\circ$.
Očividně, $f$ je konkávní na intervalu $J$, právě když $-f$ je konvexní na intervalu $J$. Stačí se tedy soustředit například na konvexní funkce.
K osvětlení terminologie uveďme etymologický význam obou pojmů. Convexum má v latině význam údolí a concavum význam výdutě. Ukázka konvexní a konkávní funkce je dále uvedena na Obrázku 9.10.
V předchozí podkapitole jsme se zabývali vztahem první derivace a různými typy monotonie funkce. Nyní si ukážeme jak konvexita a konkavita souvisí s druhou derivací funkce.
Buď $f$ funkce spojitá na intervalu $J$, která má druhou derivaci v každém bodě intervalu $J^\circ$. Potom platí dvě následující tvrzení:
$f^{\prime\prime}(x) \geq 0$ pro každé $x\in J^\circ$, právě když $f$ je konvexní na intervalu $J$.
Je-li $f^{\prime\prime}(x) > 0$ v každém bodě $x\in J^\circ$, pak je $f$ ryze konvexní na $J$.
Stejná tvrzení platí pro konkávnost pokud otočíme znaménka nerovností (tj. v prvním tvrzení bude derivace nekladná v druhém záporná).
Funkce $f(x) = x^4$ je ryze konvexní na $\R$, ale $f''(0) = 0$. Implikaci v druhém bodě předchozí věty proto nelze obrátit.
Nejprve proveďme důkaz implikací $\Rightarrow$ v obou bodech (konkrétně pro $\geq$, nerovnost $>$ stejně).
Z předpokladu $f''(x) \geq 0$, $x\in J^\circ$ plyne, že $f'$ je rostoucí na $J^\circ$. Mějme $a \in J^\circ$ a $x \in J^\circ$ takové, že $x > a$. Potom dle Lagrangeovy věty existuje $c \in (a,x)$ takové, že
Skutečně: $a < c$ a proto $f'(a) \leq f'(c)$ a $x - a > 0$.
Máme-li teď $x \in J^\circ$ takové, že $x < a$, pak existuje $c \in (x,a)$ takové, že
Skutečně: $c < a$ a proto $f'(c) \leq f'(a)$ a $f'(c) (x-a) \geq f'(a) (x-a)$, neboť nyní $x - a < 0$.
Nyní proveďme důkaz implikace $\Leftarrow$ v prvním bodě. Postupujme sporem. Předpokládejme, že $f$ je konvexní na $J$ a současně existuje bod $a \in J^\circ$ splňující
Existuje tedy $U_a(\delta) \subset J$ takové, že
Celkem tedy $f'(a) > f'(x)$ kdykoliv $x \in (a,a + \delta)$. Z Lagrangeovy věty aplikované na interval $\langle a, x\rangle$ a funkci $f$ plyne existence $c$ takového, že
pro libovolné $x \in (a,a+\delta)$, což je ve sporu s konvexitou $f$ v bodě $a$.
$\square$
Pojem konvexity a konkavity lze zavést i obecněji bez potřeby využívat pojem tečny a tedy diferencovatelnosti. Například v pojetí předchozího textu funkce $|x|$ není konvexní (na $\R$), v nule nemá derivaci. Tento problém odstraňuje následující definice, na které v různých zdrojích také můžete narazit.
Funkci $f$ definovanou na intervalu $J$ nazveme konvexní na intervalu (resp. konkávní na intervalu) $J$, právě když pro každé $x_1,x_2,x_3\in J$ splňující $x_1 < x_2 < x_3$, leží bod $(x_2,f(x_2))$ buďto pod (resp. nad) přímkou spojující body $(x_1,f(x_1))$ a $(x_3,f(x_3))$, nebo na ní.
Funkci $f$ definovanou na intervalu $J$ nazveme ryze konvexní na intervalu (resp. ryze konkávní na intervalu) $J$, právě když pro každé $x_1,x_2,x_3\in J$ splňující $x_1 < x_2 < x_3$, leží bod $(x_2,f(x_2))$ pod (resp. nad) přímkou spojující body $(x_1,f(x_1))$ a $(x_3,f(x_3))$.
Nechť $f$ je funkce definovaná na okolí bodu $a\in\R$. Pokud existuje limita
nazveme její hodnotu derivací funkce $f$ v bodě $a$ a označíme $f^\prime(a)$. Pokud je tato limita konečná (tj. $f^\prime(a) \in \R$) řekneme, že funkce $f$ je diferencovatelná v bodě $a$.
Pod okolím bodu $a\in\eR$, ozn. $U_a$, máme na mysli buď okolí $U_a(\veps)$ pro nějaké $a\in\R$ a $\veps > 0$, nebo okolí $U_{\pm\infty}(c)$ pro nějaké $c\in\R$.
Mějme funkci $f$ a bod $a \in D_f$ a nechť existuje $f^{\prime}(a)$. Tečnou funkce $f$ v bodě $a$ nazýváme
přímku s rovnicí $x = a$ je-li funkce $f$ spojitá v bodě $a$ a $f^{\prime}(a) = +\infty$ nebo $f^{\prime}(a) = -\infty$.
přímku s rovnicí $y = f(a) + f^{\prime}(a) (x-a)$ je-li $f^{\prime}(a) \in\R$ (tj. je-li $f$ diferencovatelná v bodě $a$).
Funkce $f$ je spojitá na intervalu $J$, právě když $f\vert_J$ ($f$ zúženo na $J$) je spojitá v každém bodě intervalu $J$. Funkci $f$ nazýváme spojitou, právě když je $f$ spojitá v každém bodě svého definičního oboru. Množinu všech spojitých funkcí definovaných na intervalu $J$ značíme $\mathcal{C}(J)$.
Nechť $f$ je funkce definovaná na okolí bodu $a\in\R$. Pokud existuje limita
nazveme její hodnotu derivací funkce $f$ v bodě $a$ a označíme $f^\prime(a)$. Pokud je tato limita konečná (tj. $f^\prime(a) \in \R$) řekneme, že funkce $f$ je diferencovatelná v bodě $a$.
Funkci $f$ nazveme (ryze) konvexní (resp. konkávní) na intervalu $J$, právě když je na tomto intervalu spojitá a je (ryze) konvexní (resp. konkávní) v každém bodě intervalu $J^\circ$.
Nechť funkce $f$ splňuje podmínky
$f$ je spojitá na intervalu $\langle a,b \rangle$,
$f$ má derivaci v každém bodě intervalu $(a,b)$.
Potom existuje bod $c\in(a,b)$ tak, že $\displaystyle f^\prime(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$, nebo ekvivalentně $f(b) - f(a) = f^\prime(c) (b-a)$.