6.1 Věta o limitě součtu/součinu/podílu

Velmi často se setkáváme se součtem, součinem, či podílem funkcí a posloupností. U takovýchto funkcí a posloupností se přímo nabízí použití strategie „rozděl a panuj“, tedy pokusit se ze znalosti jednoduchých limit „sestavit“ hledanou limitu. Tento přístup ovšem nemusí být úplně jednoduchý a většinou vyžaduje jistou přípravu. Zformulujme nejprve ústřední větu této podkapitoly, kde k „sestavování“ používáme algebraické operace sčítání, násobení a dělení.

Věta 6.1 (Věta o limitě součtu/součinu/podílu)

Nechť $f$ a $g$ jsou funkce a $a$ je hromadným bodem $D_f \cap D_g$. Nechť dále existují limity $\lim_a f$ a $\lim_a g$. Potom rovnosti

\begin{align*} \lim_a (f + g) &= \lim_a f + \lim_a g, \\ \lim_a f \cdot g &= \lim_a f \cdot \lim_a g, \\ \lim_a \frac{f}{g} &= \frac{\lim_a f}{\lim_a g},\end{align*}

platí v případě, že jsou algebraické operace na pravé straně definovány.

Tato věta je také známa jako Věta o aritmetice limit.

Poznámka 6.2

V případě posloupností a jejich limit v nekonečnu tato věta samozřejmě platí také, předpoklady o hromadných bodech budou automaticky splněny. Analogická věta platí i pro jednostranné limity.

Důkaz této věty není komplikovaný, je spíše pracný. Zejména vzhledem k nutnosti rozebrat všechny možné situace. Zde v textu si ukážeme alespoň dva případy.

Ukážeme pouze případ součtu konečných limit, $\lim_a f = c \in \R$, $\lim_a g = d \in \R$. Pro libovolné $\veps > 0$ existuje okolí $U_a$ tak, že

\begin{equation*} \forall x\in (U_a \cap D_f \cap D_g) \smallsetminus \{a\}: \quad |f(x) - c| < \frac{\veps}{2} \ \text{a} \ |g(x) - d | < \frac{\veps}{2}. \end{equation*}

Je-li tedy $x\in (U_a \cap D_f \cap D_g) \smallsetminus \{a\}$, pak pomocí trojúhelníkové nerovnosti platí

\begin{equation*} |f(x) + g(x) - c - d| = \big|\big(f(x) - c\big) + \big(g(x) - d\big)\big| \leq |f(x) - c| + |g(x) - d| < \frac{\veps}{2} + \frac{\veps}{2} = \veps. \end{equation*}

Tudíž $\lim_a (f + g) = c + d$.

$\square$

Předpokládejme, že $\lim_a f = b \in \R$, $b > 0$, a $\lim_a g = +\infty$. Označme $C \ceq D_f \cap D_g$.

Chceme dokázat rovnost $\lim_a(f \cdot g) = +\infty$. Mějme $c \in \R$. Potřebujeme odhadnout $f(x) \cdot g(x)$ zespoda hodnotou $c$. Dle předpokladů ovšem postupně platí

  • pro $b/2 > 0$ existuje $U_a$ takové, že pro $x\in (C \cap U_a) \smallsetminus \{a\}$ je $f(x) \in U_b(b/2)$, tj. $f(x) > b/2$,

  • pro $c/(b/2) \in \R$ existuje $V_a$ takové, že pro $x \in (C \cap V_a) \smallsetminus \{a\}$ je $g(x) \in U_{+\infty}\big(c/(b/2)\big)$, tj. $g(x) > c/(b/2)$.

Položíme-li $W_a \ceq U_a \cap V_a$, pak pro $x \in (C \cap W_a) \smallsetminus \{a\}$ máme

\begin{equation*} f(x) \cdot g(x) > \frac{b}{2} \cdot \frac{c}{\frac{b}{2}} = c, \end{equation*}

tj, $f(x) \cdot g(x) \in U_{+\infty}(c)$.

$\square$

Nyní se můžeme vrátit k definici algebraických operací na $\overline{\R}$, vzpomeňte na Definici 2.3. Některé operace mezi prvky $\overline{\R}$ jsme nedefinovali, což bylo právě motivováno touto Větou 6.1. Pro nedefinované operace by takovouto větu nešlo zformulovat. Ukažme si na konkrétních případech.

Příklad 6.1 (Nemožnost smysluplné definice $+\infty + (-\infty)$)

Nedefinovaný (neurčitý) výraz $+\infty + (-\infty)$ může vzniknout v různých situacích, které vyústí v různé limity. Ukažme si to na posloupnostech $(a_n)_{n=1}^\infty$ a $(b_n)_{n=1}^\infty$:

  • Je-li $a_n = n$ a $b_n = -n$, pak $\lim_n a_n + \lim b_n$ je skutečně tvaru $+\infty + (-\infty)$. Pro limitu součtu ale jednoduše platí $\lim_n (a_n + b_n) = \lim_n 0 = 0$.

  • Je-li $a_n = n$ a $b_n = -n+1$, pak $\lim a_n + \lim b_n$ je skutečně tvaru $+\infty + (-\infty)$. Pro limitu součtu ale jednoduše platí $\lim (a_n + b_n) = \lim 1 = 1$.

  • Je-li $a_n = 2n$ a $b_n = -n$, pak $\lim_n a_n + \lim b_n$ je skutečně tvaru $+\infty + (-\infty)$. Pro limitu součtu ale jednoduše platí $\lim (a_n + b_n) = \lim n = +\infty$.

  • Je-li $a_n = n$ a $b_n = -2n$, pak $\lim a_n + \lim b_n$ je skutečně tvaru $+\infty + (-\infty)$. Pro limitu součtu ale jednoduše platí $\lim (a_n + b_n) = \lim (-n) = -\infty$.

  • Je-li $a_n = n$ a $b_n = -n + (-1)^n$, pak $\lim_n a_n + \lim_n b_n$ je skutečně tvaru $+\infty + (-\infty)$. Pro limitu součtu ale dostáváme $\lim(a_n + b_n) = \lim (-1)^n$ a ta neexistuje (Příklad 5.17).

Otázka 6.1

Vymyslete příklady posloupností $(a_n)_{n=1}^\infty$ a $(b_n)_{n=1}^\infty$ takových, aby $\lim_n a_n = 0$ a $\lim_n b_n = +\infty$, tj. součin limit v tomto případě je nedefinovaný (neurčitý) výraz $0 \cdot (+\infty)$ a přesto aby platilo

  1. $\displaystyle\lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) = 0$,

  2. $\displaystyle\lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) = 1$,

  3. $\displaystyle\lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) = +\infty$.

Zobrazit odpověď

1. $a_n = 0$, $b_n = n$, 2. $a_n = \frac{1}{n}$, $b_n = n$, 3. $a_n = \frac{1}{n}$, $b_n = n^2$.

Počítat limitu polynomů je díky předcházející větě velmi jednoduché.

Příklad 6.2

Buď $P(x)$ libovolný polynom a $a\in\R$. Potom

\begin{equation*} \lim_{x\to a} P(x) = P(a). \end{equation*}

Již jsme ukázali, že $\displaystyle\lim_{x \to a} x = a$ a víme $\displaystyle\lim_{x \to a} c = c$. Použijeme-li mnohonásobně větu o limitě součtu a součinu funkcí (Věta 6.1), ihned dostaneme tvrzení uvedené na začátku našeho příkladu. Například tedy platí

\begin{equation*} \lim_{x\to 2} \big( x^2-3x+1 \big) = 2^2 - 3\cdot 2 + 1 = -1. \end{equation*}

O něco složitější je počítat limitu racionálních lomených funkcí. Zde už může nastat více možných situací. Veškeré nástroje už ale máme připravené a následující příklad jen demonstruje jejich aplikaci.

Příklad 6.3

Vypočtěte limitu funkce

\begin{equation*} f(x) = \frac{x^4 + 2x^2 - 3}{x^3 -3x^2 + 2x} \end{equation*}

v bodech $a = -1$, $b = 1$, $c = 2$ a $d=-\infty$.

Zobrazit řešení

Nejprve si všimněme, že jmenovatel lze rozložit na kořenové činitele

\begin{equation*} x^3 - 3x^2 + 2x = x(x-1)(x-2), \end{equation*}

tudíž $D_f = \R \smallsetminus \{0,1,2\}$. Pro výpočet limity v bodě $a = -1$ můžeme proto použít větu o limitě podílu,

\begin{equation*} \lim_{x\to a} f(x) = \frac{\lim_{x\to a} x^4 + 2x^2 - 3}{\lim_{x\to a} x^3 - 3x^2+2x} = \frac{0}{-6} = 0. \end{equation*}

Dále, před výpočtem limity v bodě $d$ upravme výraz pro $f(x)$ následovně

\begin{equation*} f(x) = \frac{x^4\left( 1 + \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^4} \right)}{x^3\left( 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} \right)} = x \cdot \frac{1+\frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^4}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}. \end{equation*}

Použijeme-li nyní větu o limitě součtu a podílu, dostáváme

\begin{equation*} \lim_{x\to d} f(x) = -\infty \cdot \frac{1}{1} = - \infty. \end{equation*}

Pro výpočet limit v bodech $b$ a $c$ je vhodné upravit na součin kořenových činitelů i čitatel,

\begin{equation*} f(x) = \frac{(x^2 + 3)(x^2 - 1)}{x(x-1)(x-2)} = \frac{(x^2+3)(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x-2)} = \frac{(x^2+3)(x+1)}{x(x-2)}, x\in D_f. \end{equation*}

Tudíž, opět pomocí předešlých vět,

\begin{equation*} \lim_{x\to b} = \frac{8}{-1} = -8, \quad \lim_{x\to c} f(x) \ \text{neexistuje}. \end{equation*}

Neexistence poslední limity plyne z nerovnosti jednostranných limit,

\begin{equation*} \lim_{x\to c+} f(x) = \frac{21}{2} \cdot (+\infty) = +\infty, \quad \lim_{x\to c-} f(x) = \frac{21}{2} \cdot (-\infty) = -\infty \end{equation*}

Je dobré porovnat naše výsledky s grafem uvažované funkce, viz Obrázek 6.1.

Obrázek 6.1: Graf racionální funkce z Příkladu 6.3.
Příklad 6.4

Vypočtěte limitu

\begin{equation*} \lim_{x\to 2} \frac{x^2 + x - 2}{x^3 - x^2 - x + 1}. \end{equation*}

Zobrazit řešení

V bodě $x=2$ je jmenovatel roven $3$, což je nenulové číslo. Podle věty o limitě podílu proto ihned dostáváme

\begin{equation*} \lim_{x\to 2} \frac{x^2 + x - 2}{x^3 - x^2 - x +1} = \frac{4}{3}. \end{equation*}

Příklad 6.5

Vypočtěte limitu

\begin{equation*} \lim_{x\to 1} \frac{x^2 + x - 2}{x^3 - x^2 - x + 1}. \end{equation*}

Zobrazit řešení

Nyní je limita typu $\frac{0}{0}$. Z polynomů v čitateli a jmenovateli proto můžeme vytknout kořenový činitel $x-1$,

\begin{equation*} \lim_{x\to 1} \frac{x^2 + x - 2}{x^3 - x^2 - x + 1} = \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x^2-1)} = \lim_{x\to 1} \frac{x+2}{x+1} \cdot \frac{1}{x-1}. \end{equation*}

Protože ale pro jednostranné limity platí

\begin{equation*} \lim_{x\to 1_\pm} \frac{x+2}{x+1} \cdot \frac{1}{x-1} = \frac{3}{2} \cdot (\pm\infty) = \pm\infty, \end{equation*}

původní limita podle Důsledku 5.1 neexistuje.

Příklad 6.6

Vypočtěte limity

  1. $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{2n^3 - 4n + 5}{n-n^3}$,

  2. $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{2n^2 - 4n + 5}{n - n^3}$,

  3. $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{2n^3 - 4n + 5}{n - n^2}$.

Zobrazit řešení

Je potřeba použít Větu 6.1, ale před tím je třeba výrazy za limitou vhodně upravit. V prvním příkladě platí

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \frac{2n^3 - 4n + 5}{n - n^3} = \lim_{n\to\infty} \frac{2 - \frac{4}{n^2} + \frac{5}{n^3}}{\frac{1}{n^2} - 1} \href{Teprve zde používáme větu o součinu/součtu/podílu limit. Vše vlevo jsou čistě algebraické úpravy.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} \frac{2 - 0 + 0}{0 - 1} = -2. \end{equation*}

Všimněte si, že předchozí větu jsme použili hned několikrát (podíl limit, výpočet limity čitatele a jmenovatele pomocí součtu/rozdílu limit). Ve druhém příkladě podobně máme

\begin{equation*} \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - 4n + 5}{n-n^3} = \lim_{n\to\infty} \frac{2 - \frac{4}{n} + \frac{5}{n^2}}{\frac{1}{n} - n} \href{Teprve zde používáme větu o součinu/součtu/podílu limit. Vše vlevo jsou čistě algebraické úpravy.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} \frac{2 - 0 + 0}{0 - \infty} = 0. \end{equation*}

A konečně ve třetím

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \frac{2n^3 - 4n + 5}{n - n^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{2n - \frac{4}{n} + \frac{5}{n^2}}{\frac{1}{n} - 1} \href{Teprve zde používáme větu o součinu/součtu/podílu limit. Vše vlevo jsou čistě algebraické úpravy.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} \frac{+\infty - 0 + 0}{0 - 1} = -\infty. \end{equation*}

Samozřejmě způsobů jak provést úpravu těchto typů zlomků, tak aby bylo možné použít větu na podíl/součin/součet limit, je více možných.