Zobrazení $f\colon A \to B$ prvky množiny $A$ zobrazuje42 na prvky množiny $B$. Často chceme ale sledovat „globálnější“ působení daného zobrazení na celých podmnožinách množiny $A$. Přirozeně se tak dostáváme k následujícím dvěma pojmům, se kterými jste si setkali už v ( BI-DML, Definice). Ovšem pozor, v BI-DML se používá lehce odlišné značení. Není v tom ovšem problém, v daný okamžik byste měli vědět, jestli v kulatých závorkách máte uvedený jeden prvek množiny $B$, nebo jistou její podmnožinu.
Nechť je dáno zobrazení $f\colon A \to B$. Je-li $E \subset A$, pak množinu
nazveme obrazem množiny $E$ při zobrazení $f$. Je-li $G \subset B$, potom množinu
nazveme vzorem množiny $G$ při zobrazení $f$.
Symbol pro vzor množiny, $f^{-1}(G)$, je nutno chápat jako nedělitelný. Netvrdíme nic o existenci inverzního zobrazení (tj. $f^{-1}$, viz Definici 11.9 níže). Všimněte si, že obrazem jednoprvkové množiny $\{x\}$ pro nějaké $x \in A$ je $f(\{x\}) = \{f(x)\}$ a tedy jednoprvková množina, opačně tak tomu být nemusí. Obor hodnot zobrazení $f\colon A \to B$ je v této terminologii obrazem definičního oboru, tj. $f(A) = H_f \subset B$.
Mějme zobrazení $f\colon \Z \to \Z$ definované předpisem $f(n) = n^2$ pro každé $n \in D_f = \Z$. Potom platí
Tento výpočet obrazu množiny v takovémto diskrétním případě je zřejmě poměrně názorný. Pojďme určit vzor množiny $N = \{-1, 0, 3, 4\}$. Hledáme tedy všechna celočíselná $n$ splňující $f(n) \in N$, tj. vlastně v tomto případě postupně řešíme sadu rovnic:
Příklad tak uzavíráme s výsledkem $f^{-1}(N) = \{-2,0,2\}$.
Koncept obrazu množiny při zobrazení je často využívaný v programovacích jazycích podporujících funkcionální paradigma. Například množinu43 všech druhých mocnin všech přirozených čísel mezi $0$ a $5$ v Pythonu vytvoříme příkazem44
[ n ** 2 for n in range(6) ]
Srovnejte tento zápis s matematičtějším zápisem45
Tato množina představuje obraz množiny $E = \{0,1,2,3,4,5\}$ při zobrazení definovaným předpisem $f(n) = n^2$, $n \in D_f \ceq \mathbb{N}$. Jedná se tedy o množinu $f(E)$. V jazyce Python tohoto faktu také můžeme využít následovně:
map(lambda x: x ** 2, range(6))
Tento zápis může být přehlednější, na rozdíl od konstrukce listu pomocí for cyklu.
Mějme dvě neprázdné množiny $A$ a $B$. Relaci $f \subset A \times B$ splňující podmínku
nazýváme (totálním) zobrazením množiny $A$ do množiny $B$ a tento fakt zapisujeme symbolicky jako $f\colon A \to B$. Pokud $(x,y) \in f$, pak píšeme $y = f(x)$ a o $x$ mluvíme jako o vzoru prvku $y$ a o $y$ jako o obrazu prvku $x$ při zobrazení $f$. O množině $A$ dále mluvíme jako o definičním oboru zobrazení $f$ a značíme ji $D_f$. Množinu $H_f \ceq \{ y \in B \mid (\exists x \in D_f)(f(x) = y) \}$ nazýváme oborem hodnot zobrazení $f$.
list
.**
v Pythonu představuje umocňování.