12.6 Další funkce

Definici absolutní hodnoty jsme připomněli již dříve, viz podkapitolu 2.2.1. Zde ještě stručněji zmíníme dolní a horní celé části a znaménko reálného čísla.

Dolní celou část reálného čísla $x$, kterou ze středních škol asi znáte jako celou část, definujeme jako největší celé číslo, které je menší nebo rovno $x$ a značíme $\lfloor x \rfloor$. Tj.

\begin{equation*} \lfloor x \rfloor \ceq \max\{k \in \Z \mid k \leq x\}. \end{equation*}

Horní celou část reálného čísla $x$ definujeme jako nejmenší celé číslo, které je větší nebo rovno $x$ a značíme $\lceil x \rceil$. Tj.

\begin{equation*} \lceil x \rceil \ceq \min\{k \in \Z \mid k \geq x\}. \end{equation*}

Všimněte si, že pro každé $x\in\R$ platí

\begin{equation*} \lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1 \quad \text{a} \quad \lceil x \rceil - 1 < x \leq \lceil x \rceil. \end{equation*}

Dolní i horní celá část jsou rostoucí funkce definované na celém $\R$ jejichž obor hodnot je množina celých čísel $\Z$. Nejsou prosté ani na.

Poznámka 12.3

Dolní celá část reálného čísla $\lfloor x \rfloor$ v některých materiálech bývá značena pomocí hranatých závorek, tedy symbolem $[x]$. Toto značení v našich materiálech nepoužíváme, hranaté závorky tím nechceme ještě více přetěžovat.

Znaménko reálného čísla $x\in\R$ je definováno předpisem

\begin{equation}\label{eq-sgn}\tag{12.1} \sgn(x) \ceq \begin{cases} 1, & x > 0, \\ 0, & x = 0, \\ -1, & x < 0. \end{cases} \end{equation}

Graf funkce $\sgn$ uvádíme na Obrázku 7.7. Konvenčně tedy klademe $\sgn(0) = 0$. Znaménko $\sgn$ je tak lichá rostoucí funkce definovaná na celém $\R$ s oborem hodnot $\{-1,0,1\}$, která není prostá ani na.