V Definici 5.2 jsme nerozlišovali mezi body z definičního oboru ležícími vlevo, či vpravo, od bodu $a$. Často je ale takové rozlišení potřeba a přesně z toho důvodu se zavádí následující pojem.
Buď $f\colon A \to \R$ funkce, $a \in \R$ a označme $M_+ \ceq A \cap (a, +\infty)$ a $M_- \ceq A \cap (-\infty, a)$. Potom limitu funkce $f$ v bodě $a$ zprava definujeme jako limitu zúžení funkce $f$ na množinu $M_+$ a značíme ji
Podobně limitu funkce $f$ v bodě $a$ zleva definujeme jako limitu zúžení funkce $f$ na množinu $M_{-}$ a značíme ji
V definici výše je implicitně obsažen požadavek, aby bod $a$ byl hromadným bodem množiny $M_+$, resp. $M_-$. V opačném případě uvedené limity samozřejmě neexistují. Dále stojí za povšimnutí, že pro $a\in\R$ platí $U_a \cap (a, \infty) = U_a^+ \smallsetminus \{a\}$.
Pro lepší představu odkazujeme čtenáře na Obrázek 5.4. Na závěr této podkapitoly uveďme několik příkladů výpočtů limit jednoduchých funkcí.
Platí
Ukažme nejprve první z limit. Buď $U_{+\infty}(c)$ libovolné okolí bodu $+\infty$ dané konstantou $c>0$ (nekladné $c$ můžeme ošetřit podobně jako v předchozím příkladu). Zvolíme-li $\delta = \frac{1}{c} > 0$, pak pro $x\in (0,\delta) = U_0^+(\delta)\smallsetminus\{0\}$ platí
Podobně v druhém příkladě pro libovolné okolí $U_{-\infty}(c)$ bodu $-\infty$ zadané konstantou $c < 0$ stačí položit $\delta = \frac{1}{|c|} > 0$. Pak pro libovolné $x \in U_0^-(\delta) \smallsetminus \{0\} = (-\delta,0)$ platí
Vzpomeňte, že $c < 0$. Na tomto místě je dobré si připomenout graf hyperboly $y = \frac{1}{x}$.
Nyní se přirozeně nabízí otázka, jestli existuje nějaká souvislost mezi jednostrannou limitou a („oboustrannou“) limitou. Tento vztah zachycuje následující věta.
Mějme funkci $f\colon D_f \to \R$ a nechť $a\in\R$ je hromadným bodem množiny $D_f \cap (a, +\infty)$ i $D_f \cap (-\infty, a)$. Potom limita $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)$ existuje a je rovna $b\in\overline{\R}$, právě když existují obě jednostranné limity $\displaystyle\lim_{x\to a+} f(x)$ a $\displaystyle\lim_{x\to a-} f(x)$ a obě jsou rovny $b$.
K důkazu si stačí rozmyslet obě implikace.
Nechť existuje limita $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = c$. Je-li $U_c$ libovolné okolí bodu $c$, pak existuje $U_a$ okolí bodu $a$ takové, že je-li $x\in (U_a \cap D_f)\smallsetminus\{a\}$, pak $f(x) \in U_c$. Tudíž pro $x\in (U_a \cap D_f) \smallsetminus \{a\}$ je $f(x) \in U_c$ nezávisle na tom, jestli $x > a$ nebo $x < a$. Jednostranné limity $\displaystyle\lim_{x\to a\pm} f(x)$ proto obě existují a obě jsou rovny $c$.
Naopak. Nechť obě jednostranné limity existují a obě jsou rovny $c$. Buď $U_c$ libovolné okolí bodu $c$. Pak existuje levé okolí $U_a^-(\veps_1)$ bodu $a$ a pravé okolí $U_a^+(\veps_2)$ bodu $a$ tak, že pokud $x\in (U_a^-(\veps_1) \cap D_f)\smallsetminus\{a\}$ nebo $x\in (U_a^+(\veps_2) \cap D_f)\smallsetminus\{a\}$, pak $f(x) \in U_c$. Položíme-li $\veps = \min\{\veps_1, \veps_2\}$, pak pro $x\in (U_a(\veps) \cap D_f)\smallsetminus\{a\}$ platí $f(x) \in U_c$. Oboustranná limita funkce $f$ v bodě $a$ tedy existuje je rovna $c$.
Tím je důkaz dokončen.
$\square$
Nechť $f$ je funkce a bod $a\in\R$ s vlastnostmi uvedenými v předpokladech předchozí věty. Platí-li alespoň jedna z podmínek
obě jednostranné limity funkce $f$ v bodě $a$ existují a jsou různé,
alespoň jedna z jednostranných limit funkce $f$ v bodě $a$ neexistuje,
potom limita funkce $f$ v bodě $a$ neexistuje.
Jednoduchým sporem s tvrzením Věty 5.1.
$\square$
Limita
neexistuje. Přesvědčte se o tomto faktu studiem vhodných jednostranných limit.
Pro jednostranné limity platí (rozmyslete!)
Podle Důsledku 5.1 oboustranná limita nemůže existovat ($1\neq -1$).
Limita
neexistuje.
Opravdu, již jsme odvodili, že
a proto uvedená limita neexistuje.
Situaci popsanou v předchozím příkladu můžeme zobecnit na následující pozorování.
Mějme $a\in\R$ a $k\in\N$. Potom
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Mějme funkci $f\colon A \to \R$, hromadný bod $a\in\overline{\R}$ množiny $A$ a bod $b\in\overline{\R}$. Funkce $f$ má v bodě $a$ limitu rovnou $b$, právě když pro každé okolí $U_b$ bodu $b$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že pokud $x \in U_a \cap A$ a $x \neq a$, pak $f(x) \in U_b$.
Formálně tento požadavek vyjadřuje formule
Tuto skutečnost symbolicky zapisujeme následovně
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Bod $\alpha\in\eR$ nazýváme hromadným bodem množiny $M \subset \R$, právě když v každém okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ leží nějaký prvek množiny $M$ různý od $\alpha$.
Mějme funkci $f\colon A \to \R$, hromadný bod $a\in\overline{\R}$ množiny $A$ a bod $b\in\overline{\R}$. Funkce $f$ má v bodě $a$ limitu rovnou $b$, právě když pro každé okolí $U_b$ bodu $b$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že pokud $x \in U_a \cap A$ a $x \neq a$, pak $f(x) \in U_b$.
Formálně tento požadavek vyjadřuje formule
Tuto skutečnost symbolicky zapisujeme následovně
Buď $f\colon A \to \R$ funkce, $a \in \R$ a označme $M_+ \ceq A \cap (a, +\infty)$ a $M_- \ceq A \cap (-\infty, a)$. Potom limitu funkce $f$ v bodě $a$ zprava definujeme jako limitu zúžení funkce $f$ na množinu $M_+$ a značíme ji
Podobně limitu funkce $f$ v bodě $a$ zleva definujeme jako limitu zúžení funkce $f$ na množinu $M_{-}$ a značíme ji
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Buď $f\colon A \to \R$ funkce, $a \in \R$ a označme $M_+ \ceq A \cap (a, +\infty)$ a $M_- \ceq A \cap (-\infty, a)$. Potom limitu funkce $f$ v bodě $a$ zprava definujeme jako limitu zúžení funkce $f$ na množinu $M_+$ a značíme ji
Podobně limitu funkce $f$ v bodě $a$ zleva definujeme jako limitu zúžení funkce $f$ na množinu $M_{-}$ a značíme ji