8.8 Jednostranné derivace a derivace vyšších řádů

Ještě uvedeme malou poznámku k jednostranné derivaci a k derivacím vyšších řádů.

Lze definovat derivaci funkce $f$ v bodě $a$ zprava i zleva jako limity

\begin{equation*} f'_+(a) = \lim_{x\to a+} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} \quad \text{a} \quad f'_-(a) = \lim_{x\to a-} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}. \end{equation*}

Příklad 8.18

Uvažme funkci $f(x) = |x|$. Pro $x\neq 0$ a $a = 0$ platí

\begin{equation*} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = \frac{|x|}{x} = \sgn x. \end{equation*}

Tudíž

\begin{equation*} f'_+(0) = 1 \quad \text{a} \quad f'_-(0) = -1, \end{equation*}

ale $f'(0)$ neexistuje.

Derivací funkce $f$ dostáváme novou funkci $f'$, jejíž definiční obor ovšem může být menší než původní $D_f$. Nyní můžeme znovu derivovat $f'$, tj. sestrojit $f''$. Rekurzivně tedy definujeme derivace vyšších řádů (dokud existují)

\begin{align*} f^{(0)}(x) = f(x), \quad f^{(n)}(x) = \big( f^{(n-1)} \big)'(x), \quad n \geq 1.\end{align*}

Příklad 8.19

Například pro $f(x) = x^3-2x+4$ máme

\begin{equation*} f'(x) = 3x^2 - 2, \quad f''(x) = 6x, \quad f'''(x) = 6, \quad f^{(n)}(x) = 0 \ n \geq 4. \end{equation*}

Poznámka 8.7 (Mathematica)

K výpočtu derivace lze využít příkazu D[f, x], zde $f$ je derivovaná funkce (výraz) a $x$ proměnná, podle které se derivuje. Derivaci vyššího, konkrétně $n$-tého, řádu lze zapsat například takto D[f, {x, n}].

V BI-MA1 si ve většině praktických příkladů vystačíme s první a druhou derivací (viz kapitolu o vyšetřování průběhu funkce). Příští semestr v BI-MA2 budeme při studiu Taylorových polynomů a řad potřebovat derivace ideálně libovolného řádu.