9.3 Globální extrémy funkce

Často nás bude zajímat největší, resp. nejmenší, hodnota, kterou může zadaná funkce na zadaném intervalu nabývat. Proto zavádíme následující pojem.

Definice 9.5 (Globální extrém funkce)

Mějme funkci $f$ a množinu $M \subset D_f$. Globálním maximem (resp. minimem) funkce $f$ na množině $M$ nazýváme hodnotu $\displaystyle\max_M f$ (resp. $\displaystyle\min_M f$), existují-li. Pokud vynecháme specifikaci množiny $M$, pak máme na mysli případ $M = D_f$.

V této definici zdůrazňujeme funkční hodnotu, maximální/minimální hodnota může být nabyta ve více bodech. Například funkce $f(x) = \cos(x)$ nabývá na intervalu $\langle 0,2\pi \rangle$ svou maximální hodnotu $1$ ve dvou bodech, v $0$ a $2\pi$.

Příklad 9.4

Rozmyslete si následující jednoduchá tvrzení o funkci $f(x) = 2x$:

  • Funkce $f$ nemá globální maximum ani minimum (nemá globální extrém).

  • Na množině $M = \langle -1, \infty)$ má $f$ globální minimum v bodě $-1$ s hodnotou $-2$ a nemá globální maximum.

  • Na množině $M = (-1, 2\rangle$ nemá $f$ globální minimum a má globální maximum v bodě $2$ s hodnotou $4$.

Obecně ani nevíme, jestli daná funkce vůbec lokální či globální extrém má. Jedná-li se ale o funkci spojitou na uzavřeném intervalu, pak je existence globálních extrémů na tomto intervalu zaručena následující větou.

Věta 9.3 (O globálním extrému spojité funkce na uzavřeném intervalu)

Funkce $f$ spojitá a definovaná právě na uzavřeném intervalu $\langle a,b \rangle$ nabývá globálního maxima a minima na tomto intervalu, přesněji existují $\alpha,\beta\in\langle a,b \rangle$ splňující $f(\alpha) = \max_{\langle a,b \rangle} f$ a $f(\beta) = \min_{\langle a,b \rangle} f$. Tento extrém může být nabyt pouze v krajních bodech $a$, $b$ a v bodech, kde je derivace rovna $0$ nebo neexistuje.

Zobrazit důkaz

Již víme, že je-li $f$ spojitá, pak obrazem uzavřeného intervalu $J = \langle a,b \rangle$ je opět uzavřený interval $f(J)$ (nebo jednoprvková množina, v tom případě je situace triviální). Vzpomeňte na Větu 7.6. Krajní body tohoto intervalu $f(J)$ pak jsou příslušným maximem, resp. minimem, dané funkce na intervalu $J$.

$\square$

Tuto větu lze s výhodou použít, hledáme-li pouze největší a nejmenší hodnotu spojité funkce $f$ na uzavřeném intervalu $J$ a nezajímají nás další detaily o průběhu funkce $f$. Stačí pouze porovnat funkční hodnoty v bodech podezřelých z extrému, tedy bodech kde je derivace funkce $f$ nulová nebo neexistuje, nebo v krajních bodech intervalu na kterém extrémy funkce zkoumáme.

Příklad 9.5

Jako příklad uvažme funkci

\begin{equation*} f(x) = (x-1)(x-2) \end{equation*}

na intervalu $\langle 0,2 \rangle$. Derivace je nulová v bodě $\frac{3}{2}$, porovnáním funkčních hodnot

\begin{equation*} f(0) = 2, \quad f\left(\frac{3}{2}\right) = -\frac{1}{4}, \quad f(2) = 0 \end{equation*}

uzavíráme že globální maximum je v bodě $0$ s hodnotou $2$ a globální minimum je v bodě $\frac{3}{2}$ s hodnotou $-\frac{1}{4}$. Graf uvažované funkce je na Obrázku 9.4. Povšimněte si ale, že jsme extrémní hodnoty nalezli bez jakékoliv grafické představy (kterou často nemáme k dispozici), využili jsme pouze spojitost dané funkce a uzavřenost zadaného intervalu!

Obrázek 9.4: Ukázka globálních extrémů spojité funkce na uzavřeném intervalu.
Příklad 9.6

Z papíru tvaru obdélníka se stranami $8$ cm a $3$ cm vyrobíme krabičku tak, že vystřihneme ze všech čtyř rohů stejné čtverce. Krabička bude mít výšku rovnou straně tohoto čtverce. Viz Obrázek 9.5. Nalezněte délku strany čtverce, při níž bude objem krabičky největší.

Zobrazit řešení

Označme stranu vystřihnutých čtverců symbolem $x$. Pro objem krabičky $O(x)$ platí

\begin{equation*} O(x) = x(8-2x)(3-2x) = 4x^3 - 22x^2 + 24x, \end{equation*}

kde $x\in\langle 0,\frac{3}{2}\rangle$. Derivace $O(x)$ je nula pouze v bodech $3$ a $\frac{2}{3}$, ovšem pouze $\frac{2}{3} \in \langle 0,\frac{3}{2}\rangle$. V tomto bodě nastává i maximum $O(\frac{2}{3}) = \frac{200}{27}\,\mathrm{cm}^3$, protože $O(0) = O(\frac{3}{2}) = 0$.

Obrázek 9.5: Konstrukce krabičky z papíru tvaru obdélníka v Příkladu 9.6.

Na závěr této podkapitoly ještě poznamenejme, že uzavřenost intervalu v předchozí Větě 9.3 je podstatná. Jako příklad uvažme funkci

\begin{equation*} f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-4} \end{equation*}

spojitou na otevřeném intervalu $J = (0,4)$. Tato funkce nemá na $J$ ani maximum ani minimum. Skutečně, platí totiž

\begin{align*} \lim_{x\to 0+} f(x) &= +\infty - \frac{1}{4} = +\infty, \\ \lim_{x\to 4-} f(x) &= \frac{1}{4} + (-\infty) = -\infty.\end{align*}

Díky její spojitosti pak platí $f(J) = \R$, čili $\sup_J f = +\infty$ a $\inf_J = -\infty$. Graf této funkce je uveden na Obrázku 9.6.

Obrázek 9.6: Funkce spojitá na otevřeném intervalu nemusí mít minimum ani maximum.