Nejprve si ukážeme vyšetřování průběhu na velmi jednoduchých příkladech.
Vyšetřete průběh funkce $f(x) = e^x$.
Protože $f'(x)=f''(x) > 0$ pro každé $x\in\R$ je funkce $f(x)$ rostoucí a konvexní na celém $\R$. Asymptota funkce existuje pouze v $-\infty$ a její přímkou je $y=0$. Graf této známé funkce uvádíme na obrázku 9.18.
Vyšetřete průběh funkce $f(x) = \ln x$.
Nyní $D_f = (0,+\infty)$ a $f'(x) = \frac{1}{x} > 0$ a $f''(x) = - \frac{1}{x^2} < 0$ pro každé $x > 0$. Tudíž $f$ je rostoucí a konkávní, jedinou asymptotou je přímka $x=0$. Graf této známé funkce uvádíme na obrázku 9.19.
Vyšetřete průběh funkce
Odmocnina je lichá, tedy $D_f = \R$. Průsečík s osou $y$ je $f(0) = 0$. Průsečíky s osou $x$ jsou řešením rovnice
Odtud ihned plyne, že funkce nemůže být sudá, lichá ani periodická (ve všech těchto případech by muselo být průsečíkem i $x=-3$).
Funkce je spojitá na celém $\R$. Zkoumejme existenci asymptot v $\pm\infty$,
Přímka $y=-x+1$ je tedy asymptotou v $+\infty$ i $-\infty$.
Pro derivaci funkce $f$ platí
Nulovým bodem derivace je $2$. Kandidáty na lokální extrém jsou tudíž body $0$ (derivace neexistuje) a $2$ (derivace je $0$). Z první derivace podle znaménka určíme typ monotonie.
interval | \((-\infty,0)\) | \((0,2)\) | \((2,3)\) | \((3,+\infty)\) |
---|---|---|---|---|
znaménko \(f'\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
monotonie \(f\) | klesá | roste | klesá | klesá |
Spojitost funkce na celém $\R$ implikuje lokální minimum v bodě $0$ ($f(0) = 0$) a maximum v bodě $2$ ($f(2) = \sqrt[3]{4}$). Navíc ze spojitosti na $\R$ a z limit $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\mp\infty$ plyne $H_f = \R$.
Pro druhou derivaci v bodech $x\neq 0,3$ dostáváme
Znaménko závisí pouze na znaménku jmenovatele (čitatel je kladný),
interval | \((-\infty,0)\) | \((0,3)\) | \((3,+\infty)\) |
---|---|---|---|
znaménko \(f''\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
konkávní | konkávní | konvexní |
Nyní můžeme načrtnout graf funkce $f$, viz Obrázek 9.20.
Tuhost $T$ trámu s obdélníkovým průřezem je úměrná součinu jeho šířky (horizontální rozměr) $w$ a třetí mocnině tloušťky (vertikální rozměr) $t$. Při jakých rozměrech lze dosáhnout největší tuhosti trámu, máme-li k dispozici strom o kruhovém průřezu s poloměrem $R$?
Parametrizujme trám pomocí parametru $x$ podle Obrázku 9.21. Tedy $w = 2x$ a $t = 2 \sqrt{R^2 - x^2}$. Uvažujeme $2x=w \in \big\langle 0,\,2R \big\rangle$, resp. $x \in \big\langle 0, R \big\rangle$.
Tudíž,
Hledáme extrém této funkce, derivací je
Nulovým bode derivace je bod $x_* = \frac{R}{2}$. Funkci $T$ vyšetřujeme pouze na intervalu $J$. Vidíme, že na intervalu $\big( 0, \, \frac{R}{2} \big)$ funkce $T$ roste a na intervalu $\big( \frac{R}{2}\,, R\big)$ klesá. V bodě $x_*$ tudíž nastává lokální maximum. Pro extremální rozměry trámu platí
Vyšetřete průběh funkce (včetně konvexnosti/konkávnosti)
Načrtněte graf této funkce.
Definičním oborem je očividně množina $D_f = \R \smallsetminus \{0\}$. $f$ je spojitá v každém bodě množiny $D_f$. Vypočtěme derivaci,
Znaménko derivace je, vzhledem ke kladnosti jmenovatele, kontrolováno výrazem $2x^3 - 1$. Dostáváme
Funkce $f$ je rostoucí na intervalu $(2^{-1/3},+\infty)$ a klesající na intervalech $(-\infty,0)$ a $(0,2^{-1/3})$. V bodě $a= 2^{-1/3}$ má tedy funkce $f$ lokální minimum (na pravém okolí bodu $a$ je rostoucí, na levém okolí bodu $a$ je klesající a je spojitá v bodě $a$). Podívejme se na limity v nekonečnech a v bodě $0$,
Funkce $f$ není spojitě dodefinovatelná v bodě $0$. Přímka s rovnicí $x=0$ je asymptotou funkce $f$ v bodě $0$. Asymptoty v nekonečnech neexistují,
Vyšetřeme konvexitu a konkavitu. Pro druhou derivaci platí
Odtud vidíme, že
Funkce $f$ je proto konvexní na intervalech $(-\infty,-1)$ a $(0,+\infty)$, konkávní na intervalu $(-1,0)$. V bodě $x=-1$ má inflexní bod.
Na základě těchto informací nyní můžeme nakreslit graf (viz Obrázek 9.22).
Mějme $n\in\N$ reálných hodnot $x_1, \ldots, x_n \in \R$, které se mohou i opakovat. Označme
průměr těchto hodnot. Ukažte, že průměr $\bar x$ minimalizuje funkci
tedy součet kvadrátů odchylek $t$ od všech $x_1, \ldots, x_n$.
Uvedené tvrzení si lze rozmyslet dvěma způsoby. První využívá pouze znalostí vlastností paraboly. Stačí si totiž povšimnout, že funkční hodnotu $E(t)$ lze po roznásobení závorek a změně pořadí sčítání přepsat do tvaru
Jedná se tedy o kvadratickou funkci v proměnné $t$. Protože $n > 0$, tedy koeficient u kvadratického členu je kladný, má tato funkce právě jedno ostré globální minimum v bodě $t_*$ (stačí použít vzorec pro horizontální souřadnici vrcholu paraboly)
který je právě zmíněným průměrem.
Druhý způsob argumentace rovnou využívá diferenciálního počtu. Pro derivaci funkce $E$ v bodě $t$ zřejmě platí (derivace součtu a složené funkce)
a je proto nulová právě v bodě
neboli průměru $\bar x$. Jde skutečně o ostré minimum, neboť
Žádný jiný extrém tato funkce nemá.
Následující příklad tento úhel pohledu rozvíjí i pro medián.
Mějme $n\in\N$ reálných hodnot $x_1, \ldots, x_n \in \R$, které se mohou i opakovat. Označme jako $x_*$ jejich medián. Ukažte, že medián $x_*$ minimalizuje funkci
tedy součet absolutních odchylek $t$ od všech $x_1, \ldots, x_n$.
Na rozdíl od Příkladu 9.23 se v tomto případě už nemůžeme opřít o jednoduchou geometrii (znalost tvaru paraboly). Diferenciální počet nás ovšem zachrání. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že máme zadané hodnoty setříděné podle velikosti, tj. platí $x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n$.
Nejprve si povšimněme, že $E$ je spojitá funkce (součet spojitých funkcí). V bodech $t = x_k$, $k \in \hat{n}$, nemá derivaci (stejný problém jako $|\cdot|$ v nule). Pro $t$ různé od všech $x_k$, $k\in\hat{n}$, platí
V první sumě zde sčítáme pouze přes ta $k$, pro které $x_k > t$. V druh0 sumě pak naopak pouze přes ta $k$, pro která $x_k < t$. Proto pro derivaci funkce $E$ v bodě $t$, různém od všech $x_k$, $k\in\hat{n}$, dostáváme
Speciálně platí $E'(t) = -n$ pro $t < x_1$ a $E'(t) = n$ pro $t > x_n$. Dále z předpisu pro derivaci vidíme, že derivace je mimo $x_k$ konstantní a překročení hodnoty $x_k$ (zleva doprava) má za následek změnu derivace o dvojnásobek počtu $\ell \in \hat{n}$, pro které $x_k = x_\ell$.
Nyní mohou nastat dvě kvalitativně rozdílné situace.
Počet hodnot, $n$, je sudý a současně jsou hodnoty $a \ceq x_{\frac{n}{2}}$ a $b \ceq x_{\frac{n}{2} + 1}$ vzájemně různé. V tomto případě z rovnice (9.7) ihned vidíme, že kdykoliv je $t$ mez těmito hodnotami $a$ a $b$, pak $E'(t)$ = 0. Funkce $E$ je konstantní na intervalu $\langle a, b\rangle$ a v každém bodě tohoto intervalu má neostré lokální (globální) minimum. V tomto případě se většinou medián uvedených hodnot bere jako průměr $x_* = \frac{a+b}{2}$. Ale vidíme, že to je jen jedna z možných hodnot minimalizujících $E$.
Nechť nenastává předchozí situace. Tj. $n$ je liché, nebo je sice sudé, ale $x_{\frac{n}{2}} = x_{\frac{n}{2}+1}$. V takovém případě se nám nepodaří přesně vynulovat $E'(t)$ a ta při přechodu přes $x_{\frac{n}{2}}$ v případě sudého $n$ a $x_{\frac{n+1}{2}}$ v případě lichého $n$ mění znaménko. V uvedených bodech tak má funkce lokální (globální) ostré lokální minimum. Příslušná hodnota je právě mediánem $x_*$ uvedených hodnot.
Tím je příklad dokončen.