V této podkapitole zavedeme pojem limity posloupnosti. Hlavní myšlenkou je vyjádření intuitivního požadavku, aby se „členy posloupnosti $a_n$ blížily libovolně blízko k jistému číslu $\alpha$.“ Proč by nás takováto otázka měla zajímat? V praxi je často potřeba zjistit, jestli proces, který členy dané posloupnosti popisují, někam spěje (např. jestli posloupnost jistých aproximací konverguje k hledanému řešení jistého problému).
Poznamenejme, že limita není jediným nástrojem pro zkoumání chování členů posloupností pro velké indexy $n$. Již dříve jsme se setkali s asymptotickými mezemi $o$ a $\mathcal{O}$ a hromadnými body posloupností.
Přistupme nyní bez dalších okolků k definici limity číselné posloupnosti.
Reálná posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ má limitu $\alpha\in\overline{\R}$, právě když pro každé okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ lze nalézt $N \in\N$ takové, že pro všechna $n\in\N$ větší nebo rovno než $N$ platí $a_n\in U_\alpha$. V symbolech
Tuto skutečnost můžeme zapsat několika možnými ekvivalentními způsoby:
Slovně můžeme Definici 5.1 přeformulovat i takto: $\alpha\in\overline{\R}$ je limitou posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$, právě když v každém okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ leží všechny členy posloupnosti s dostatečně velkým indexem, tj. všechny až na konečný počet výjimek. Na druhou stranu, k tomu aby $\lim a_n = \alpha$ ale nestačí, aby v každém okolí bodu $\alpha$ leželo nekonečně mnoho členů posloupnosti. Uvažte například posloupnost
V každém okolí bodu $0$ leží nekonečně mnoho jejích členů, ale tato posloupnost nemůže mít $0$ jako limitu, protože mimo toto okolí leží taktéž nekonečně mnoho jejích členů. Podobně tomu je s případem $+\infty$. Prvních několik členů této posloupnosti je znázorněno na Obrázku 5.1. Na druhou stranu ale platí, že $0$ i $+\infty$ jsou hromadnými body této posloupnosti (rozmyslete!).
Zanedlouho uvidíme (Věta 5.2), že každá posloupnost má maximálně jednu limitu a proto značení zavedené na konci Definice 5.1 je korektní.
Pokud bychom v definici limity zaměnili „$N\in\N$“ za „$N\in\R$“, pak se její smysl nezmění. Význam zůstane také zachován připustíme-li „$n > N$“ místo „$n \geq N$“. Index $N$ totiž vyjadřuje pouze to, že inkluze $a_n \in U_\alpha$ platí pro všechna dostatečně velká $n$.
Jinak řečeno, nerovnosti $n \geq 4$, $n > 3$ a $n \geq 3.75$ pro přirozená $n$ popisují stejné množiny přirozených čísel.
Pokud uvažujeme $\alpha\in\R$, můžeme definici přeformulovat bez použití pojmu okolí. Každé okolí $U_\alpha$ je v tomto případě tvaru $(\alpha-\veps, \ \alpha+\veps)$ pro nějaké kladné $\veps$. Dále inkluze $a_n \in U_\alpha$ platí, právě když $|a_n - \alpha| < \veps$. Dostáváme tedy ekvivalentní formulaci definice,
Podobnou úvahou pro případ $\alpha = +\infty$ obdržíme následující tvrzení
Okolí bodu $+\infty$ totiž jsou intervaly tvaru $(c,+\infty)$. Rozmyslete si podmínku pro $\alpha = -\infty$.
Nyní si pochopení významu Definice 5.1 ozkoušíme na několika jednoduchých příkladech. Poté tento pojem zobecníme i na funkce a budeme zkoumat obecné vlastnosti limit posloupností i funkcí.
Při počítání limit většinou (přímo) nepoužíváme Definici 5.1, ale výpočet zakládáme na znalosti jednoduchých (či elementárních) limit. Limity těchto posloupností samozřejmě musíme korektně odvodit. V této podkapitole si proto ukážeme použití Definice 5.1 na jednoduchých příkladech a tím snad i více osvětlíme pojem samotný.
Limita konstantní posloupnosti $a_n = \alpha \in \R$, $n\in\N$, je rovna $\alpha$.
Při argumentaci postupujeme přesně podle Definice 5.1, stejně tomu bude i v dalších podobných příkladech. Buď $\veps > 0$ libovolné. Zvolíme-li jakékoliv $N\in\N$, třeba $N := 42$, potom pro $n \geq N$ triviálně platí
Limita posloupnosti $a_n = n^2$ je rovna $+\infty$.
Buď $c > 0$ libovolné. Zvolíme-li přirozené $N > \sqrt{c}$, pak pro každé $n \geq N$ platí $n \geq N > \sqrt{c}$ a tudíž $a_n = n^2 > c$.
Pro $c \leq 0$ je situace jednoduchá. Pro každé přirozené $n$ pak platí $n^2 > c$.
Dokažte tvrzení $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$.
Buď $\veps > 0$ libovolné. Požadavek28
je ekvivalentní podmínce $n > \frac{1}{\veps}$. Stačí tedy k danému $\veps$ volit libovolné $N\in\N$ splňující $N > \frac{1}{\veps}$. Explicitně bychom mohli brát například $N \ceq \lceil \frac{1}{\veps} \rceil + 1$, kde $\lceil x \rceil$ označuje horní celou část reálného čísla $x$, tj. nejmenší celé číslo, které je větší nebo rovno $x$.
Potom pro $n \geq N$ platí $\frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \veps$. Pro ilustraci viz Obrázek 5.2. Všimněte si, že čím menší okolí zvolíme (čím menší je $\varepsilon$) tím větší musíme $N$ zvolit, aby všechny členy za ním padly do zadaného okolí.
Z předchozích tří příkladů by mělo být patrné, že platí
Toto tvrzení je poměrně snadné ověřit29 na základě definice stejně jako v předchozích příkladech.
Pomocí definice si rozmyslete (pro daná okolí $0$, resp. $+\infty$ nalezněte příslušná $N$) následující tvrzení
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} n^{5/2} = +\infty$,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{7/3}} = 0$.
Dokažte nebo vyvraťte následující tvrzení: limita každé ostře rostoucí posloupnosti je $+\infty$.
Tvrzení není pravdivé, stačí vzít například ostře rostoucí posloupnost $a_n = 1 - \frac{1}{n}$, $n\in\N$. Členy této posloupnosti splňují $a_n < 1$ pro každé $n\in\N$ a proto tato posloupnost nemůže mít jako limitu $+\infty$. Například interval $(2,+\infty)$, tedy jedno z okolí $+\infty$, neobsahuje ani jeden bod této posloupnosti.
Zobrazení množiny přirozených čísel $\N$ do množiny reálných čísel $\R$ nazýváme reálná číselná posloupnost (pokud nebude hrozit zmatení, budeme zkráceně mluvit o posloupnosti).
Pod okolím bodu $a\in\eR$, ozn. $U_a$, máme na mysli buď okolí $U_a(\veps)$ pro nějaké $a\in\R$ a $\veps > 0$, nebo okolí $U_{\pm\infty}(c)$ pro nějaké $c\in\R$.
Bod $\alpha \in \overline{\R}$ nazýváme hromadným bodem posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$, právě když v každém okolí bodu $\alpha$ leží nekonečně mnoho členů posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$.