11.1 Zobrazení

Následující tři pojmy jste studovali v předmětu  BI-DML. Pro účely tohoto studijního textu používáme následující formulace definic ( BI-DML, Definice), ( BI-DML, Definice) a ( BI-DML, Definice).

Definice 11.1 (Kartézský součin / cartesian product)

Mějme dvě množiny $A$ a $B$. Množinu všech uspořádaných dvojic $(a, b)$, kde $a \in A$ a $b \in B$ nazýváme kartézským součinem množin $A$ a $B$ a značíme ji $A \times B$.

Definice 11.2 (Relace / relation)

Mějme dvě množiny $A$ a $B$. Podmnožinu $R$ kartézského součinu $A$ a $B$, tj. $R \subset A \times B$, nazýváme relací mezi množinami $A$ a $B$.

Definice 11.3 (Zobrazení / mapping)

Mějme dvě neprázdné množiny $A$ a $B$. Relaci $f \subset A \times B$ splňující podmínku

\begin{equation*} \text{pro každé} \ x\in A \ \text{existuje právě jedno} \ y \in B \ \text{tak, že} \ (x, y) \in f, \end{equation*}

nazýváme (totálním) zobrazením množiny $A$ do množiny $B$ a tento fakt zapisujeme symbolicky jako $f\colon A \to B$. Pokud $(x,y) \in f$, pak píšeme $y = f(x)$ a o $x$ mluvíme jako o vzoru prvku $y$ a o $y$ jako o obrazu prvku $x$ při zobrazení $f$. O množině $A$ dále mluvíme jako o definičním oboru zobrazení $f$ a značíme ji $D_f$. Množinu $H_f \ceq \{ y \in B \mid (\exists x \in D_f)(f(x) = y) \}$ nazýváme oborem hodnot zobrazení $f$.

Diagram ilustrující tento pojem lze nalézt prezentovaný v Obrázku 11.1.

Obrázek 11.1: Zobrazení množiny $A$ do množiny $B$. Oborem hodnot zobrazení $f$ je množina $f(A)$, tj. obraz definičního oboru $A$ při zobrazení $f$.
Varování 11.1

Obor hodnot zobrazení $f\colon A \to B$ není nutně celá množina $B$. Například pro zobrazení $f\colon \R \to \R$ působící dle předpisu $f(x) = 1$, $x\in D_f = \R$, platí $H_f = \{1\}$, což jistě není celá množina $\R$.

I koncept rovnosti dvou zobrazení můžeme převzít z  BI-DML, konkrétně z ( BI-DML, Definice).

Definice 11.4 (Rovnost zobrazení)

Máme-li dvě zobrazení $f\colon A \to C$ a $g\colon B \to C$ pak říkáme, že se rovnají a píšeme $f = g$, právě když $A = B$ a pro každé $x \in A = D_f = D_g$ platí $f(x) = g(x)$.

Poznámka 11.1

Vraťme se k příkladu zobrazení zmíněnému ve Varování 11.1. Definujeme-li dále zobrazení $g\colon \R \to \{1\}$ předpisem $g(x) = 1$, $x \in D_g = \R$, pak toto zobrazení není rovné (není shodné s) zobrazením $f$ definovaným ve Varování 11.1, ačkoliv obě jsou na první pohled dané stejným předpisem.