Věta 7.4 má nejen praktické důsledky pro hledání nulových bodů funkcí, má ale i důležité důsledky pro spojité funkce. Přesněji, můžeme pomocí ní dokázat řadu vlastností spojitých funkcí.
Pokud by existovalo $a$ a $b$ z intervalu $J$ takové, že $f(a)$ a $f(b)$ mají různá znaménka, pak by podle Věty 7.4 existovalo $c$ ležící někde mezi $a$ a $b$ a splňující $f(c) = 0$, což je spor s předpokladem nenulovosti $f$ na $J$.
$\square$
Další vlastností spojitých funkcí je, že zobrazují intervaly na intervaly. To pro nespojité funkce nemusí být pravda.
Vymyslete příklad nekonstantní funkce $f$ a intervalu $J$ tak, aby obraz $f(J)$ nebyl interval.
Možností je mnoho. Například pokud $f = \sgn$ a $J = (-1,1)$, pak $f(J) = \{-1,0,1\}$.
Buď $f$ funkce spojitá na intervalu $J$. Potom obraz $f(J)$ intervalu $J$ při zobrazení $f$ je buď interval, nebo jednoprvková množina.
$f(J)$ je jednoprvková množina právě tehdy, když funkce $f$ je konstantní. Ve zbytku důkazu předpokládejme, že $f$ není konstantní.
Ukažme, že $f(J)$ je interval. K tomu je třeba ukázat, že pro libovolné dva prvky $\alpha,\beta \in f(J)$, $\alpha \neq \beta$, leží všechna $\gamma$ mezi $\alpha$ a $\beta$ také v $f(J)$.
Jistě existují $a,b\in J$, $f(a) = \alpha$, $f(b) = \beta$ a bez újmy na obecnosti $a < b$. Položme $g(x) \ceq f(x) - \gamma$. Funkce $g$ je spojitá na $\langle a, b \rangle$, $g(a) = \alpha - \gamma$ a $g(b) = \beta - \gamma$ jsou nenulová s rozdílným znaménkem. Podle Věty 7.4 existuje $c \in (a,b)$ takové, že $g(c) = 0$, tj. $f(c) = \gamma$.
$\square$
Spojitým obrazem intervalu pro nekonstantní funkci $f$ je tedy interval. Zachovává spojitost i uzavřenost, resp. otevřenost, intervalu? Není těžké si rozmyslet, že obrazem otevřeného intervalu nemusí být opět otevřený interval37. Spojitým obrazem uzavřeného intervalu už ale vždy bude uzavřený interval. Platí totiž následující věta.
Buď $f$ funkce spojitá na uzavřeném intervalu $J$. Potom obraz $f(J)$ intervalu $J$ je buď jednoprvková množina, nebo uzavřený interval.
Podle Věty 7.5 již víme, že $f(J)$ je buď jednoprvková množina (pokud je funkce konstantní) a nebo interval (pokud je funkce nekonstantní). Ukažme nyní uzavřenost $f(J)$ pro nekonstantní $f$.
Označme $J = \langle a,b \rangle$. Postupujme sporem, bez újmy na obecnosti tedy předpokládejme, že obraz intervalu $J$ při zobrazení $f$ je třeba tvaru $(c,d\rangle$ kde $c\in\R$ nebo $c = -\infty$ a $d \in \R$. Tj. je to interval s alespoň jedním „otevřeným“ koncovým bodem. Existuje posloupnost $(y_n)$ konvergující k $c$ jejíž členy leží v $f(J)$. Skutečně, v případě $c\in\R$ můžeme volit $y_n = c + \frac{1}{n}$ od dostatečně velkého $n$ a v případě $c=-\infty$ lze volit $y_n = -n$ opět pro dostatečně velké $n$. Protože $y_n \in f(J)$, existují $x_n \in J$ splňující $y_n = f(x_n)$. Posloupnost $(x_n)_{n=1}^\infty$ patří do $\langle a, b \rangle$ a je proto omezená. Podle Bolzano–Weierstrassovy věty 5.9 lze z této posloupnosti vybrat konvergentní podposloupnost $(x_{k_n})_{n=1}^\infty$. Existuje tedy $x\in J = \langle a,b\rangle$ splňující $\lim x_{k_n} = x$. Ze spojitosti funkce $f$ dostáváme $c = \lim f(x_{k_n}) = f\big( \lim x_{k_n} \big) = f(x)$. Proto $c \in f(J) = (c, d \rangle$, což je spor.
$\square$
Na závěr této sekce s důsledky spojitosti ještě zformulujeme větu umožňující za jistých předpokladů odvodit spojitost inverzní funkce ke spojité funkci.
Buď $f\colon I \to \R$ ryze monotónní a spojitá funkce na intervalu $I$. Potom její inverzní funkce $f^{-1}$ je také ryze monotónní a spojitá na intervalu $J \ceq f(I)$.
Za uvedených předpokladů funkce $f^{-1}$ existuje a je ryze monotónní. $J$ je skutečně interval, jak tvrdí Věta 7.5. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že funkce $f$ je ostře rostoucí. Ukažme, že $f^{-1}$ je spojitá zprava v každém bodě $b\in J$, který není pravým koncovým bodem. Ozn. $a \ceq f^{-1}(b)$, tj. $f(a) = b$.
Buď $\veps > 0$. Potom pro $\delta := f(a + \veps) - b$ a $y \in (b, b + \delta)$ platí
Pro lepší orientaci je dobré nakreslit si obrázek, viz Obrázek 7.5. Tedy $f^{-1}(y) \in U_a(\veps)$, $a = f^{-1}(b)$. Podobně pro spojitost zleva.
$\square$
V souvislosti s předchozí větou se hodí uvést i následující užitečné pozorování, které často využíváme později při vyšetřování průběhu funkce.
Uvažme funkci definovanou na intervalu $\langle a,b)$, která je spojitá v bodě $a$ zprava a je (ostře) rostoucí (resp. klesající) na intervalu $(a,b)$. Pak má stejný typ monotonie i na intervalu $\langle a,b)$.
Důkaz pro určitost uvedeme pro případ rostoucí funkce, ostatní typy monotonie se ošetří stejně.
Postupujme sporem. Máme tedy funkci, která je zprava spojitá v $a$, je rostoucí na intervalu $(a,b)$, ale není rostoucí na intervalu $\langle a,b)$. To znamená, že existuje $c \in (a,b)$ takové, že $f(a) > f(c)$. Potom ale pro každé $x \in (a,c)$ platí $f(x) \leq f(c) < f(a)$. Odtud plyne (definice limity), že limita funkce $f$ v bodě $a$ zprava je nejvýše rovna $f(c)$, ale současně díky spojitost zprava je rovna $f(a)$, ovšem $f(c) < f(a)$. Tato situace nemůže nastat, získáváme spor.
$\square$
Funkce $f$ je spojitá na intervalu $J$, právě když $f\vert_J$ ($f$ zúženo na $J$) je spojitá v každém bodě intervalu $J$. Funkci $f$ nazýváme spojitou, právě když je $f$ spojitá v každém bodě svého definičního oboru. Množinu všech spojitých funkcí definovaných na intervalu $J$ značíme $\mathcal{C}(J)$.
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Funkce $f$ je spojitá na intervalu $J$, právě když $f\vert_J$ ($f$ zúženo na $J$) je spojitá v každém bodě intervalu $J$. Funkci $f$ nazýváme spojitou, právě když je $f$ spojitá v každém bodě svého definičního oboru. Množinu všech spojitých funkcí definovaných na intervalu $J$ značíme $\mathcal{C}(J)$.
Nechť je dáno zobrazení $f\colon A \to B$. Je-li $E \subset A$, pak množinu
nazveme obrazem množiny $E$ při zobrazení $f$. Je-li $G \subset B$, potom množinu
nazveme vzorem množiny $G$ při zobrazení $f$.
Funkce $f$ je spojitá na intervalu $J$, právě když $f\vert_J$ ($f$ zúženo na $J$) je spojitá v každém bodě intervalu $J$. Funkci $f$ nazýváme spojitou, právě když je $f$ spojitá v každém bodě svého definičního oboru. Množinu všech spojitých funkcí definovaných na intervalu $J$ značíme $\mathcal{C}(J)$.
Nechť je dáno zobrazení $f\colon A \to B$. Je-li $E \subset A$, pak množinu
nazveme obrazem množiny $E$ při zobrazení $f$. Je-li $G \subset B$, potom množinu
nazveme vzorem množiny $G$ při zobrazení $f$.
Funkci, která je rostoucí nebo klesající, nazýváme monotónní. Funkci, která je ostře rostoucí nebo ostře klesající, nazýváme ryze monotónní.
Funkce $f$ je spojitá na intervalu $J$, právě když $f\vert_J$ ($f$ zúženo na $J$) je spojitá v každém bodě intervalu $J$. Funkci $f$ nazýváme spojitou, právě když je $f$ spojitá v každém bodě svého definičního oboru. Množinu všech spojitých funkcí definovaných na intervalu $J$ značíme $\mathcal{C}(J)$.
Je-li $f\colon A \to B$ bijektivní zobrazení, pak inverzní zobrazení $f^{-1}\colon B \to A$ k zobrazení $f$ definujeme pro každé $x \in B = f(A)$ předpisem $f^{-1}(x) = y$, kde $y$ je (za uvedených předpokladů nutně jednoznačně daný) prvek $A$ splňující $x = f(y)$.