Než se pustíme do následující Podkapitoly 3.4, která se zabývá asymptotickými horními mezemi, je vhodné čtenáře a čtenářky seznámit s konceptem „odhadu“. Schopnost provádět vhodné „odhady“ neuplatníme jenom ve zmíněné kapitole, ale konkrétně i
při studiu limit (Definice 5.2 a Definice 5.1) a dalších asymptotických vztahů (Podkapitola 4.7),
při používání Věty o limitě sevřené funkce (resp. posloupnosti),
při používání srovnávacího kritéria pro konvergenci řad ( BI-MA2, Věta),
při odhadování chyby aproximace pomocí Taylorova polynomu ( BI-MA2, Věta),
a v mnoha dalších situacích.
Toto téma dělá často studentům problémy. Tato část textu se snaží vyjasnit základní princip. Z výše uvedeného seznamu je patrné, že k procvičování této techniky bude mnoho příležitostí.
Během svého předchozího studia jste se jistě setkali s řešením nerovnic. Máme na mysli příklady typu15
kde $f(x)$ je jistý výraz v proměnné $x$ (reálné, celočíselné, atp.). Naším úkolem je pak nalézt všechny hodnoty proměnné $x$, pro které daná nerovnost platí/neplatí. Tuto úlohu lze ale zpravidla exaktně vyřešit k plné spokojenosti pouze v několika málo (školních) příkladech. Řešení těchto úloh tak lze často chápat jako cvičení se v ekvivalentních úpravách a využívání vlastností funkcí16, které se v úloze vyskytují.
Uvedené úlohy lze i velmi pěkně a názorně graficky interpretovat. Řešíme-li např. nerovnici $f(x) > 0$, tak se ptáme, pro jaká $x$ je bod $(x, f(x))$ grafu funkce $f$ nad osou $x$.
Zásadní u těchto úloh ovšem je, že zadání (ona nerovnice), je dáno předem. Řešitel (tj. student) rovnou dostává úlohu, kterou má řešit, v tomto směru se od něj nevyžaduje další mentální aktivita.
Při odhadování se také zabýváme nerovnicemi a nerovnostmi, ale více „kreativním“ způsobem. Pokusme se koncept „odhadu“ přiblížit na konkrétním jednoduchém případě, který svou strukturou velmi odpovídá případům, které budeme řešit později.
Mějme opět funkci $f$ a zkoumejme, kdy platí nerovnost $f(x) < 5$ (číslo $5$ zde volíme uměle, nechceme tuto část výkladu zatěžovat zaváděním dalšího parametru). Proměnná (reálná či celočíselná) zde případně může být nějakým způsobem omezena. Třeba nás platnost této nerovnosti zajímá pro velká $x$, nebo pro $x$ z nějakého okolí nějakého bodu. V typickém případě bude úloha $f(x) < 5$ prakticky neřešitelná technikami, které jste využívali dříve během svého studia (ve smyslu poznámek z předchozí podkapitoly). Ať budeme s nerovnicí $f(x) < 5$ cvičit libovolně, tak se nám zkrátka nepodaří ji převézt do tvaru, kdy bychom mohli jednoduše určit (všechna) vyhovující $x$.
Jak se tedy s problémem vypořádat? Použijeme odhad! Předchozí odstavec v podstatě říká, že výraz $f(x)$ je často příliš komplikovaný, než aby se s ním dalo nějak rozumně pracovat. Klíčem k úspěchu (pokud ho lze dosáhnout, to samozřejmě nemusí být jisté) je využít tranzitivity nerovnosti. Pokud pro všechna vhodná $x$ platí nerovnost $f(x) < g(x)$ a následně nalezneme mezi těmito vhodnými $x$ všechna taková, pro která platí $g(x) < 5$, pak $f(x) < 5$ pro ta samá $x$! Cílem odhadu samozřejmě je, aby úloha $g(x) < 5$ byla už jednodušší a řešitelná známými prostředky.
Funkci $g$, resp. výrazu $g(x)$, říkáme horní odhad funkce $f$, resp. výrazu $f(x)$, na množině $M$, právě když nerovnost $f(x) < g(x)$ platí pro všechna $x \in M$ (případně lze povolit i neostrou nerovnost, tím se nic zásadního nezmění). Stejným způsobem bychom mohli mluvit o dolním odhadu. Nyní se ovšem nabízí otázka, jak onen odhad nalézt. V podstatě se lze vydat následujícími dvěma cestami:
Horní odhad $g(x)$ si tipneme, je nám nějak prozrazen (vidíme ho zmíněný ve studijním textu, v poznámkách od kamaráda, atp.), a poté se pokusíme standardními technikami dokázat, že nerovnost $f(x) < g(x)$ platí pro všechna požadovaná $x$. Tento přístup má ale mnoho možností k selhání. Třeba jsme špatně tipovali, třeba uvedenou nerovnici opět nelze jen tak jednoduše vyřešit ve středoškolském smyslu. Toto je častá past, či slepá ulička.
Horní odhad $g(x)$ cíleně zkonstruujeme tak, abychom automaticky věděli, že nerovnost $f(x) < g(x)$ platí pro všechna uvažovaná $x$. K tomu využijeme základních vlastností nerovností a vlastností funkcí vyskytující se ve výrazu $f(x)$. Tj. místo pasivního přístupu popsaného v předchozím bodě je na naší straně vyžadována nějaká myšlenka, která nám umožní prvotní výraz zjednodušit a zároveň zajistit platnost potřebné nerovnosti.
Odhadů v dané situaci typicky existuje vícero. Ne všechny ale musí vést při řešení původní úlohy k cíli. Ty, které jsou sice pravdivé (ve smyslu platnosti oné nerovnosti), ale k cíli nevedou, často nazýváme „příliš hrubé“, už jsou moc vzdálené od počátečního výrazu.
Naším cílem je osvojit si schopnost provádění horních i dolních odhadů. V této části textu se pokusíme demonstrovat výše zmíněné koncepty na konkrétních příkladech.
Při odhadování používáme základní vlastnosti absolutních hodnot, zlomků, atp. Rozmyslete si například následující jednoduchá tvrzení o reálných číslech $a,b,A,B$:
Pokud $|a| \leq A$ a $|b| \leq B$, potom podle trojúhelníkové nerovnosti platí $|a + b| \leq A + B$. Například $|\sin(x) + \cos(2x)| \leq 1 + 1 = 2$ pro všechna reálná $x$.
Pokud $a < b$, potom $2a < a + b < 2b$.
Pokud $0 < a < A$ a $b > B > 0$, potom $0 < \frac{1}{b} < \frac{1}{B}$ a proto i
Pokud chceme zvětšit hodnotu zlomku, tak zvětšujeme hodnotu čitatele a zmenšujeme hodnotu jmenovatele. Naopak, pokud chceme hodnotu zlomku zmenšit, pak postupujeme opačně. Například pro všechna reálná $x$ platí
Musíme si také dávat pozor na znaménka, kdyby například $B$ bylo záporné a $b$ kladné, tak uvedený odhad jistě neplatí (záporné číslo nemůže být větší, než kladné).
Ve zbytku této části ukážeme několik komplikovanějších příkladů.
Pro každé $|x| < 1$ (tj. $x \in U_0(1) = (-1, 1)$) platí
$\frac{1}{2 + x} < \frac{1}{2 - 1} = 1$ (zmenšili jsme jmenovatel).
$\frac{1}{2 + x} > \frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$ (zvětšili jsme jmenovatel).
$\frac{1 + x}{2 + x^2} < \frac{1 + 1}{2 + 0} = 1$ (zvětšili jsme čitatel a zmenšili jmenovatel17).
$\frac{1 + x}{2 + x^2} > 0$ (dolní odhad pro čitatel je $0$).
Zdůrazněme, že všechny vysvětlivky v závorkách, a tedy i uvedené odhady, vycházejí z předpokladu $|x| < 1$, ekvivalentně $-1 < x < 1$.
Pro každé $x > 1$ (tj. $x \in U_{+\infty}(1) = (1, +\infty)$) platí
$\frac{1}{2 + x} < \frac{1}{0 + x} = \frac{1}{x}$, nebo $\frac{1}{2+x} < \frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$ (zmenšili jsme jmenovatel).
$\frac{1}{2 + x} > \frac{1}{2x + x} = \frac{1}{3x}$ (zvětšili jsme jmenovatel: když $x > 1$, pak $2x > 2$ a tedy i $2x + x > 2 + x$).
$\frac{1 + x}{2 + x^2} < \frac{x + x}{0 + x^2} = \frac{2}{x}$ (zvětšili jsme čitatel a zmenšili jmenovatel).
$\frac{1 + x}{2 + x^2} > \frac{1 + 1}{2x^2 + x^2} = \frac{2}{3x^2}$ (zmenšili jsme čitatel a zvětšili jmenovatel).
Zdůrazněme, že všechny vysvětlivky v závorkách, a tedy i uvedené odhady, vycházejí z předpokladu $x > 1$.
Nalezněte nějaké okolí $U_{+\infty}(c)$ bodu $+\infty$ tak, aby
Kdybychom postupovali „klasickým“ způsobem, tak bychom pro $x \neq -1$ zmíněnou nerovnici převedli na ekvivalentní nerovnici $2 x^3 - 6 x + 2 \geq 0$. Poté bychom hledali kořeny polynomu třetího stupně na levé straně. Zde by ovšem nastal problém, protože onen kořen nelze jen tak uhodnout. Intuitivně (případně i z prozkoumání obrázku) je ovšem zřejmé, že jistě existuje okolí $+\infty$, na kterém tato nerovnost platí. To nám ovšem nedává žádnou kvantitativní informaci o tom, jaké to okolí je.
Naštěstí tuto úlohu ale dokážeme velmi snadno vyřešit i pomocí odhadu. V zadání se po nás nechce největší takové okolí a tak můžeme skutečně nalézt nějaké libovolné vyhovující požadavkům. Navíc by čtenáři mělo být jasné, že úlohu (3.1) lze vyřešit (zamyslete se nad chováním jmenovatele a čitatele zlomku na levé straně této nerovnosti).
Hledáme okolí $+\infty$, a proto se z počátku omezme třeba na $x > 0$. Za tohoto předpokladu je čitatel kladný. A při snaze o zmenšení jmenovatele (hodnotu zlomku chceme zvětšit) můžeme použít nerovnost $1 + x^3 > x^3 > 0$. Jinak řečeno, pro všechna $x > 0$ platí
To je náš odhad. Nyní stačí vyřešit pro jaká $x > 0$ platí nerovnost
To už je výrazně jednodušší úloha, která je ekvivalentní úloze $x^2 \geq 3$, které mezi kladnými čísly $x$ vyhovují právě $x \in \langle \sqrt{3}, +\infty)$, ale klidně bychom mohli použít i $x \in (3, +\infty)$. Uvědomte si, že vzhledem k zadání nemusíme hledat největší možné okolí.
Požadovaná nerovnost (3.1) tak platí určitě18 na okolí $(\sqrt{3}, +\infty)$.