5.9 Konvergence posloupností

Z pohledu existence limity rozlišujeme následující dva důležité typy posloupností.

Definice 5.5 (Konvergentní posloupnost / convergent sequence)

Buď $(a_n)_{n=1}^\infty$ posloupnost. Pokud pro její limitu platí $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n \in\R$, pak se nazývá konvergentní. V ostatních případech ji nazýváme divergentní.

O konvergentní posloupnosti někdy také ze zjevných důvodů hovorově říkáme, že „má konečnou limitu“. Na základě výsledků příkladů z předchozí podkapitoly 5.1.1 můžeme tvrdit následující: posloupnost $\left(\frac{1}{n}\right)_{n=1}^\infty$ je konvergentní, libovolná konstantní posloupnost je konvergentní, posloupnost $(n)_{n=1}^\infty$ je divergentní.

Shrňme si nejpodstatnější výsledek předchozího textu týkající se limit posloupností. Nejelementárnějším způsobem výpočtu limity posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$ je úspěšné provedení následujících dvou kroků.

  1. Uhodněme kandidáta na limitu, označme si ho $\alpha\in\overline{\R}$,

  2. Pomocí definice dokažme, že $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = \alpha$.

V další části tohoto textu si ukážeme sofistikovanější nástroje pro výpočet limit. Velmi často je nám hodnota limity (pokud vůbec existuje) neznámá. Typicky je její případná hodnota právě to, co hledáme. Vyvstává proto přirozená otázka: lze rozhodnout o konvergenci posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$ pouze na základě znalosti jejích členů, bez toho abychom museli operovat s hodnotou limity, kterou neznáme? Na tuto otázku zanedlouho kladně odpovíme.

Připomeňme si axiom úplnosti reálných čísel probíraný v podkapitole 2.2. Nyní již navíc můžeme podmínku, kladenou na délky intervalů, formulovat pomocí pojmu limity.

Poznámka 5.10 (Přeformulování axiomu úplnosti)

Každý smršťující se systém vnořených uzavřených intervalů má neprázdný průnik. Přesněji, pokud pro každé $n \in \N$ platí

\begin{equation*} \langle a_n, b_n \rangle \supset \langle a_{n+1}, b_{n+1} \rangle \end{equation*}

a navíc

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} (b_n - a_n) = 0, \end{equation*}

pak existuje reálné $x$ ležící v každém z intervalů $\langle a_n,b_n \rangle$, $n\in\N$.

Přistupme nyní k důležité větě nesoucí jméno po  Bernardovi Bolzanovi (matematik s italskými předky narozený a studující v Praze, 1781 – 1848) a  Karlovi Weierstrassovi (německý matematik, otec moderní matematické analýzy, 1815 – 1897). Její tvrzení není vůbec očividné a jak uvidíme v důkazu, plyne z axiomu úplnosti množiny reálných čísel.

Věta 5.9 (Bolzano–Weierstrass)

Každá omezená číselná posloupnost má hromadný bod $\alpha$ ležící v $\R$.

Zobrazit důkaz

Buď $(a_n)_{n=1}^\infty$ omezená posloupnost. Jistě existuje interval $\langle b_1, c_1 \rangle$ takový, že obsahuje všechny členy posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$. Rozdělíme-li interval $\langle b_1, c_1 \rangle$ na poloviční intervaly $\langle b_1, \frac{b_1+c_1}{2} \rangle$ a $\langle \frac{b_1 + c_1}{2}, c_1 \rangle$, pak aspoň jeden z těchto intervalů obsahuje nekonečně mnoho členů posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$, označme ho $\langle b_2, c_2 \rangle$.

Tímto způsobem induktivně sestrojíme systém vnořených intervalů $\langle b_n, c_n \rangle$ z nichž každý obsahuje nekonečně mnoho členů $(a_n)_{n=1}^\infty$ a pro jejichž délky platí

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} (c_n - b_n) = \lim_{n\to\infty} \frac{c_1-b_1}{2^{n-1}} = 0. \end{equation*}

Podle axiomu úplnosti existuje reálné $x$ patřící do každého z intervalů $\langle b_n, c_n\rangle$. Protože délky intervalů $\langle b_n, c_n \rangle$ konvergují k nule, lze pro libovolné okolí $U_x$ bodu $x$ nalézt $n$ dostatečně velké na to, aby celý interval $\langle b_n, c_n \rangle$ patřil do $U_x$ (zcela jistě do něj patří například všechny intervaly $\langle b_n, c_n \rangle$, jejichž délky jsou menší než čtvrtina délky $U_x$). Proto lze v $U_x$ nalézt nekonečně mnoho členů posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$ a $x$ je tedy hromadným bodem $(a_n)_{n=1}^\infty$.

$\square$

Poznámka 5.11

Jinak řečeno, předchozí Věta 5.9 tvrdí, že z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. Skutečně, vzpomeňte si na Větu 5.6.

Následující větu, která je důsledkem právě dokázané Bolzanovy–Weierstrassovy věty, budeme velmi často využívat. Dává nám totiž postačující podmínku pro konvergenci posloupnosti. Pokud ověříme tuto podmínku (v tomto případě monotonii a omezenost posloupnosti) pak je zaručena existence její konečné limity.

Věta 5.10 (O limitě monotónní posloupnosti)

Každá reálná monotónní posloupnost má limitu. Tato limita je konečná, právě když je daná posloupnost omezená.

Zobrazit důkaz

V případě, že je zkoumaná posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ neomezená, je z definice limity zřejmé, že $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = \pm\infty$ (znaménko $+$ pro neomezenost shora, $-$ pro zdola).

Předpokládejme, že $(a_n)_{n=1}^\infty$ je rostoucí a (shora) omezená. Potom podle Bolzanovy–Weierstrassovy věty má posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ hromadný bod, označme ho $x$. Buď $U_x$ libovolné okolí bodu $x$. Potom existuje jisté $a_{N}$ patřící do $U_x$. Do tohoto okolí ale musí patřit všechna $a_n$ s $n > N$, protože pro ně nutně platí $a_{N} \leq a_n \leq x$. Kdyby totiž $a_n$ přerostlo $x$, nemohl by $x$ být hromadným bodem $(a_n)_{n=1}^\infty$.

$\square$

Ukažme si použití hned několika nových konceptů na následujícím příkladě.

Příklad 5.21 (Limita posloupnosti harmonických čísel)

Zkoumejme limitu posloupnosti

\begin{equation}\label{eq_harmonicka_cisla}\tag{5.4} \left(\href{Součet všech \(\frac{1}{k}\) pro \(k\) probíhající přirozené čísla od \(1\) do \(n\).}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}}} \right)_{n=1}^\infty. \end{equation}

Této posloupnosti se pro její důležitost budeme věnovat ještě dále v semestru. Nyní si ukážeme jak je to s její limitou. Na první pohled se může zdát překvapivé, že limita této posloupnosti je $+\infty$.

Tato posloupnost je očividně ostře rostoucí (následující člen vznikne z předchozího přičtením kladného čísla). Podle věty o limitě monotónní posloupnosti tudíž existuje její limita. Vyberme posloupnost $(b_n)_{n\in\N}$,

\begin{equation*} b_n = \sum_{k=1}^{{\color{red}2^n}} \frac{1}{k}. \end{equation*}

Platí

\begin{equation*} b_{j+1} - b_j = \frac{1}{2^j + 1} + \frac{1}{2^j + 2} + \cdots + \frac{1}{2^j + 2^j} \href{Součet několika čísel je větší nebo roven počtu čísel krát nejmenší z nich.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\geq}} 2^j \frac{1}{2^{j+1}} = \frac{1}{2}. \end{equation*}

Odtud

\begin{equation*} b_n \href{Tzv. teleskopická suma. Všechny členy vzájemně odečtou, až na jeden.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} b_1 + \sum_{j=1}^{n-1} (b_{j+1} - b_j) \geq b_1 + \frac{n-1}{2} = 1 + \frac{n}{2}. \end{equation*}

Posloupnost $(b_n)_{n=1}^\infty$, a tedy i $(a_n)_{n=1}^\infty$, není omezená shora. Proto

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = +\infty. \end{equation*}

Poznámka 5.12

Tento výsledek zdaleka není zřejmý. Kdybyste s členy posloupnosti z předchozího příkladu experimentovali na počítači, tedy počítali v konečné přesnosti (typicky pomocí 64 bitových čísel s pohyblivou desetinnou čárkou), tak byste pravděpodobněji dospěli k závěru, že tato posloupnost konverguje. Rozmyslete proč! K této posloupnosti se později vrátíme a ukážeme si, že do nekonečna jde stejně rychle jako logaritmus.

Další věta nám dává nutnou a postačující podmínku pro konvergenci posloupnosti. Tedy podmínku ekvivalentní s definicí konvergence. Podstatnou výhodou této podmínky je, že vyžaduje pouze znalost členů zkoumané posloupnosti, nepotřebujeme se odvolávat na případnou hodnotu limity (srovnejte s Definicí 5.1).

Věta 5.11 (Bolzano–Cauchy)

Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ je konvergentní, právě když pro každé $\veps > 0$ existuje $N \in \N$ takové, že pro každé $n,m > N$ je $|a_n - a_m| < \veps$.

Zobrazit důkaz

Nejprve dokažme implikaci $\Rightarrow$: nechť má $(a_n)_{n=1}^\infty$ limitu $\alpha\in\R$. Buď $\veps > 0$ libovolné. Potom lze nalézt $N\in\N$ takové, že pro každé $n > N$ je $|a_n - \alpha| < \frac{\veps}{2}$. Takže pro libovolné $n,m > N$ platí

\begin{equation*} |a_n - a_m| = |a_n - \alpha + \alpha - a_m| \href{Trojúhelníková nerovnost.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\leq}} |a_n - \alpha| + |\alpha - a_m| < \frac{\veps}{2} + \frac{\veps}{2} = \veps. \end{equation*}

Při odhadu jsme využili znalosti trojúhelníkové nerovnosti.

Nyní se podívejme na implikaci $\Leftarrow$: nechť $(a_n)_{n=1}^\infty$ splňuje podmínku

\begin{equation*} (\forall \veps > 0)(\exists N \in\R )(\forall n,m \in \N) \big(n,m > N \, \Rightarrow \, |a_n - a_m| < \veps\big). \end{equation*}

Zvolme za $\veps = 1$, pak existuje index $N \in \N$ tak, že

\begin{equation*} |a_m - a_{N}| < 1 \quad \text{pro každé} \ m > N. \end{equation*}

Jinak řečeno, pro $m > N$ patří $a_m$ do intervalu $(a_{N} -1, a_{N} + 1) = U_{a_N}(1)$. Mimo tento interval může ležet pouze konečný počet prvků posloupnosti. Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ je proto omezená. Podle Bolzanovy–Weierstrassovy věty existuje $x \in \R$, hromadný bod posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$.

Buď $U_x(\veps/2)$ okolí bodu $x$. Pro $\veps/2$ existuje $N$ tak, že pokud $m,n > N$ pak platí $|a_n - a_m| < \veps/2$. Díky hromadnosti bodu $x$ ale existuje $m > N$ tak, že $a_m \in U_x(\veps/2)$. Tudíž pro $n > N$ je

\begin{equation*} |a_n - x| = |a_n - a_m + a_m - x| \leq |a_n - a_m| + |a_m - x| < \frac{\veps}{2} + \frac{\veps}{2} = \veps \end{equation*}

Tím je důkaz dokončen.

$\square$

Příklad 5.22

Vraťme se ještě jednou k posloupnosti harmonických čísel (5.4). Ukažme, že její limita je nekonečno alternativně pomocí Bolzanova–Cauchyova kritéria. Nejprve si opět povšimneme, že zkoumaná posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$, $a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$, je rostoucí a tedy má limitu (podle věty o limitě monotónní posloupnosti). Dokažme, že tato limita nemůže být konečná (tj. nemůže patřit do $\R$) a proto musí být nutně rovna $+\infty$. K tomu použijeme Bolzano–Cauchyova kritéria, chceme ukázat jeho negaci. Tedy

\begin{equation*} \big(\href{Existuje kladné \(\veps\) tak, že...}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\exists \veps > 0}} \big) \big(\href{...pro všechna přirozená \(N\)...}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\forall N \in \N}} \big) \big(\href{...existují přirozená \(n,m\) taková, že...}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{\exists n,m\in\N}} \big) \big(\href{...\(n\) a \(m\) jsou větší než \(N\) a vzdálenost \(a_n\) od \(a_m\) je větší nebo rovna \(\veps\).}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{n,m>N \ \text{a} \ |a_n - a_m| \geq \veps}} \big), \end{equation*}

kde $(a_n)_{n=1}^\infty$ je zkoumaná posloupnost. Zvolme $\veps = \frac{1}{2}$ a buď $N\in\N$ libovolné. Položme $n=4N$ a $m=2N$, potom $n > m > N$ a

\begin{equation*} |a_n - a_m| = \sum_{k=2N+1}^{4N} \frac{1}{k} \geq \frac{1}{4N} \cdot 2N = \frac{1}{2}. \end{equation*}

V odhadu jsme použili jednoduchého pozorování: součet $\ell\in\N$ kladných čísel je větší nebo roven nejmenšímu z nich krát $\ell$.