8.7 Derivace elementárních funkcí: přehled a příklady

Shrňme si přehledně doposud odvozené vztahy pro derivace. Uvádíme tabulku 8.1 zatím známých derivací.

\(f(x)\) \(f'(x)\) podmínky
\(c\), \(x^0\) \(0\) \(c\) konstanta nezávislá na \(x\)
\(x^n\) \(nx^{n-1}\) \(x\in\R\), \(n \in\mathbb{N}\)
\(x^n\) \(nx^{n-1}\) \(x\in\R\smallsetminus\{0\}\), \(n = -1,-2,\ldots\)
\(x^\alpha\) \(\alpha x^{\alpha -1}\) \(x>0\) a \(\alpha\in\R\)
\(\ee^x\) \(\ee^x\) \(x\in\R\)
\(a^x\) \(a^x\ln a\) \(x\in\R\), \(a>0\)
\(\ln(x)\) \(\frac{1}{x}\) \(x>0\)
\(\sin(x)\) \(\cos(x)\) \(x\in\R\)
\(\cos(x)\) \(-\sin(x)\) \(x\in\R\)
\(\tg(x)\) \(\frac{1}{\cos^2(x)}\) \(x\neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \ k\in\mathbb{Z}\)
\(\cotg(x)\) \(-\frac{1}{\sin^2(x)}\) \(x\neq k\pi, \ k\in\mathbb{Z}\)
\(\arcsin(x)\) \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(x\in(-1,1)\)
\(\arccos(x)\) \(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(x\in(-1,1)\)
\(\arctg(x)\) \(\frac{1}{1+x^2}\) \(x\in\R\)
\(\arcctg(x)\) \(-\frac{1}{1+x^2}\) \(x\in\R\)

Tabulka 8.1: Tabulka derivací elementárních funkcí.

Příklad 8.16

Nalezněte derivaci funkce

\begin{equation*} f(x) = \arctg \left(\frac{1}{x}\right) + \arctg x, \quad x \neq 0. \end{equation*}

Zobrazit řešení

Přímým výpočtem získáváme

\begin{equation*} f'(x) \overset{1}{=} \Bigg( \arctg\frac{1}{x} \Bigg)' + \arctg'( x) \overset{2}{=} \frac{1}{1+ \frac{1}{x^2}}\cdot \Bigg( -\frac{1}{x^2} \Bigg) + \frac{1}{1+x^2} \overset{3}{=} 0 \end{equation*}

V označených rovnostech jsme postupně použili

  1. derivace součtu,

  2. znalost derivace funkcí $\arctg(x)$, $x^{-1}$ a derivace složené funkce,

  3. algebraické úpravy.

Příklad 8.17

Nalezněte derivaci funkce

\begin{equation*} f(x) = x^x, \quad x > 0. \end{equation*}

Zobrazit řešení

Zde nejde ani o funkci $a^x$, ani $x^a$. Mění se jak základ, tak exponent.

V tomto případě proto postupujeme následovně

\begin{equation*} f'(x) \overset{1}{=} \Big( \ee^{x\ln x} \Big)' \overset{2}{=} \ee^{x\ln x} \cdot \big( x\ln x \big)' \overset{3}{=} \ee^{x\ln x} \cdot \Bigg( 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} \Bigg) \overset{4}{=} x^x \big( 1 + \ln x \big). \end{equation*}

Postupně jsme použili:

  1. úprava výrazu před samotnou derivací,

  2. derivace složené funkce, znalost derivace funkce $e^x$,

  3. derivace součinu a znalost derivace $\ln x$, resp. $x$,

  4. algebraické úpravy.

Úprava použitá v předchozím příkladě, tedy přepis na exponenciálu se často používá právě u takovýchto druhů funkcí. Jako další příklad ještě uveďme

\begin{align*} \Big( (2+\sin x)^{\cos x} \Big)' &= \Big( e^{\cos(x) \ln(2+\sin x)} \Big)' = \\ &= e^{\cos(x) \ln(2+\sin x)} \cdot \left( -\sin(x) \ln(2+\sin x) + \frac{\cos^2(x)}{2+\sin x} \right).\end{align*}