8.2 Derivace funkce

V souladu s tím, co bylo uvedeno na začátku této kapitoly, nyní definujeme:

Definice 8.1 (Derivace funkce v bodě)

Nechť $f$ je funkce definovaná na okolí bodu $a\in\R$. Pokud existuje limita

\begin{equation}\label{eq-definice-derivace}\tag{8.1} \lim_{x\to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} \end{equation}

nazveme její hodnotu derivací funkce $f$ v bodě $a$ a označíme $f^\prime(a)$. Pokud je tato limita konečná (tj. $f^\prime(a) \in \R$) řekneme, že funkce $f$ je diferencovatelná v bodě $a$.

Derivaci funkce $f$ se můžeme pokoušet počítat ve všech bodech $D_f$. Získáváme tak novou funkci, derivaci funkce38:

Definice 8.2 (Derivace)

Buď $f$ funkce s definičním oborem $D_f$. Nechť $M$ označuje množinu všech $a\in D_f$ takových, že $f$ má konečnou derivaci v bodě $a$, tj. $f^{\prime}(a) \in \R$. Derivací funkce $f$ nazýváme funkci s definičním oborem $M$, která každému $x\in M$ přiřadí $f^{\prime}(x)$. Tuto funkci značíme symbolem $f^{\prime}$.

Poznámka 8.1

Derivace funkce $f$ v bodě $a$ se z různých historických důvodů značí i následujícími ekvivalentními způsoby

\begin{equation*} f'(a), \quad \dot{f}(a), \quad \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(a). \end{equation*}

V tomto textu se budeme důrazně držet značení derivace pomocí čárky v horním indexu.

Všimněte si, že limitu v definici derivace (8.1) lze ekvivalentně přepsat do tvaru

\begin{equation*} \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}. \end{equation*}

Tento tvar je často výhodný pro výpočty. Bod $a$ se vyskytuje pouze v předpisu funkce jejíž limitu počítáme.

Díky derivaci nyní můžeme zkonstruovat tečnu udáním její rovnice. Rozlišujeme dva kvalitativně rozdílné případy.

Definice 8.3 (Tečna)

Mějme funkci $f$ a bod $a \in D_f$ a nechť existuje $f^{\prime}(a)$. Tečnou funkce $f$ v bodě $a$ nazýváme

  • přímku s rovnicí $x = a$ je-li funkce $f$ spojitá v bodě $a$ a $f^{\prime}(a) = +\infty$ nebo $f^{\prime}(a) = -\infty$.

  • přímku s rovnicí $y = f(a) + f^{\prime}(a) (x-a)$ je-li $f^{\prime}(a) \in\R$ (tj. je-li $f$ diferencovatelná v bodě $a$).

V prvním případě svírá tečna grafu funkce $f$ v bodě $a$ úhel $\frac{\pi}{2}$ s osou $x$, v druhém případě svírá s osou $x$ úhel $\alpha$ splňující $\tg \alpha = f'(a)$.

Obrázek 8.3: Dva typy tečny grafu funkce.

Na Obrázku 8.3 je modře znázorněn graf funkce $f(x) = \sqrt[3]{x-1} + 1$, $D_f = \R$. Pro její derivaci v bodě $2$ platí

\begin{equation*} f'(2) = \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + h} - 1}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{1 + h - 1}{h \cdot \big( (1+h)^{\frac{2}{3}} + (1+h)^{\frac{1}{3}} + 1 \big)} = \frac{1}{3}. \end{equation*}

Tečnou grafu funkce $f$ v bodě $2$ je proto přímka

\begin{equation*} y = f(2) + f'(2) (x - 2) = 2 + \frac{1}{3} (x-2), \end{equation*}

na Obrázku 8.3 vynesena zeleně. Pro derivaci v bodě $1$ platí

\begin{equation*} f'(1) = \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt[3]{h} - 0}{h} = \lim_{h\to 0} h^{-\frac{2}{3}} = +\infty. \end{equation*}

Protože funkce $f$ je v bodě $1$ spojitá, je tečnou v bodě $1$ (červená) přímka $x = 1$.

Poznámka 8.2

Zdůrazněme, že požadavek spojitosti v prvním bodu Definice 8.3 je podstatný. Například funkce $f(x) = \sgn(x)$ má v bodě $0$ nekonečnou derivaci,

\begin{equation*} f'(0) = \lim_{x\to0} \frac{\sgn(x) - \sgn(0)}{x - 0} = \lim_{x\to0} \frac{1}{|x|} = +\infty, \end{equation*}

v nule není spojitá a o tečně v tomto bodě z geometrického pohledu příliš nemá smysl mluvit (viz Obrázek 7.7).

8.2.1 Výpočet derivace jednoduchých funkcí

Nyní vypočtěme derivace některých funkcí přímo pomocí definice derivace (Definice 8.1). Uvažme nejprve funkci ze všech funkcí nejjednodušší.

Příklad 8.1

Derivace konstantní funkce definované na celém $\R$ je rovna $0$ v každém bodě.

Zobrazit řešení

Je-li $f(x) = c \in\R$ pro každé $x\in\R$, pak

\begin{equation*} \lim_{x\to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = \lim_{x\to a} \frac{c - c }{x - a} = \lim_{x\to a} 0 = 0 \end{equation*}

pro každé $a\in\R$.

Tento výsledek by nás neměl nijak překvapovat. Grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou $x$. Tečna tohoto grafu v libovolném bodě je pak opět tato přímka, jež je rovnoběžná s osou $x$ a svírá proto s osou $x$ úhel $0$, $\tg 0 = 0$.

Přistupme nyní k odvození vztahů pro derivace dalších elementárních funkcí.

Příklad 8.2

Derivace funkce $\ee^x$ je opět funkce $\ee^x$. Tedy $\big( \ee^x \big)' = \ee^x$.

Zobrazit řešení

V minulé kapitole jsme postulovali39 vztah (Definice 7.3)

\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \frac{\ee^x - 1}{x} = 1. \end{equation*}

Pro libovolné $a\in\R$ podle věty o limitě složené funkceo limitě součinu funkcí platí

\begin{equation*} \lim_{x\to a} \frac{\ee^x - \ee^a}{x - a} = \lim_{x\to a} \ee^a \cdot \frac{\ee^{x-a} - 1}{x-a} = \ee^a \cdot 1 = \ee^a. \end{equation*}

Pro derivaci funkce $f(x) = \ee^x$ v bodě $a\in\R$ tedy skutečně platí $f'(a) = f(a)$.

Příklad 8.3

Derivace funkce $\ln(x)$ je funkce $\frac{1}{x}$, kde $x > 0$.

Zobrazit řešení

Tedy pro každé $a > 0$ máme dokázat rovnost $\ln'(a) = \frac{1}{a}$. V minulé kapitole jsme odvodili vztah (Lemma 7.1)

\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1. \end{equation*}

Podobně jako v předchozím příkladu nyní pro kladné $a$ platí

\begin{equation*} \lim_{x\to a} \frac{\ln(x) - \ln(a)}{x-a} = \lim_{x\to a} \frac{\ln\frac{x}{a}}{x - a} = \lim_{x\to a} \frac{\ln\left(1 + {\frac{x}{a} - 1}\right)}{a\left({\frac{x}{a} - 1}\right)} = \frac{1}{a} \cdot 1 = \frac{1}{a}. \end{equation*}

Pro derivaci funkce $f(x) = \ln x$ v bodě $a > 0$ platí $f'(a) = \frac{1}{a}$.

Pro grafickou představu o funkci a její derivaci uvádíme Obrázek 8.4. V závislosti na bodu na ose $x$ si všimněte vztahu mezi sklonem modré křivky (logaritmus $\ln(x)$) a hodnotou červené křivky ($1 / x$)!

Obrázek 8.4: Grafy funkcí $f(x) = \ln(x)$ a $g(x) = \frac{1}{x}$ pro $x > 0$.
Poznámka 8.3

Všimněte si, že funkce $\ln x$ je definovaná na množině $(0,+\infty)$ a v každém bodě $x$ jejího definičního oboru je její derivace rovna $\frac{1}{x}$. Funkce $\frac{1}{x}$ je ale definována pro všechna nenulová $x$.

Označíme-li $f(x) = \ln |x|$, s definičním oborem $D_f = \R\smallsetminus\{0\}$, pak v každém bodě $D_f$ platí $f'(x) = \frac{1}{x}$. Pro kladná $x$ jsme to již ověřili. Pro záporná $x$ není těžké nahlédnout, že stále platí

\begin{align*} \lim_{h\to 0} \frac{\ln |x+h| - \ln |x|}{h} &= -\lim_{h\to 0} \frac{\ln (-x{\color{red}-h}) - \ln (-x)}{\color{red}-h} = \\ &= - \lim_{t\to 0} \frac{\ln (-x + t) - \ln(-x)}{t} = - \frac{1}{-x} = \frac{1}{x}.\end{align*}

Příklad 8.4

Pro kladné přirozené $n\in\mathbb{N}$ je derivací funkce $x^n$ funkce $n x^{n-1}$.

Zobrazit řešení

Nejprve vhodně upravme zkoumaný výraz,

\begin{align*} \frac{x^n - a^n}{x - a} &= \frac{1}{x-a} \cdot (x-a) \big( x^{n-1} + x^{n-2} a + \cdots + x a^{n-2} + a^{n-1} \big) \\ &= \underbrace{x^{n-1} + x^{n-2} a + \cdots + x a^{n-2} + a^{n-1}}_{n \ \text{členů}}.\end{align*}

Proto

\begin{equation*} \lim_{x\to a} \frac{x^n - a^n}{x - a} = \lim_{x\to a} x^{n-1} + x^{n-2} a + \cdots + x a^{n-2} + a^{n-1} = na^{n-1}. \end{equation*}

Příklad 8.5

Speciálně pak například platí

\begin{equation*} \big(x^2\big)' = 2x, \quad \text{nebo} \quad \big( x^{22} \big)' = 22 x^{21}. \end{equation*}

Příklad 8.6

Derivace funkce $\sin x$ je funkce $\cos x$ a derivace funkce $\cos x$ je funkce $-\sin x$.

Zobrazit řešení

Pomocí součtového vzorce pro $\sin$ dostáváme

\begin{align*} \lim_{x\to a} \frac{\sin(x) - \sin(a)}{x - a} &= \lim_{x\to a} \frac{\sin(x-a + a) - \sin(a)}{x-a} = \\ &= \lim_{x\to a} \frac{\sin(x-a)\cos(a) + \cos(x-a)\sin(a) - \sin(a)}{x-a} = \\ &= \cos(a)\lim_{x\to a} \frac{\sin(x-a)}{x-a} + \sin(a) \lim_{x\to a} \frac{\cos(x-a) - 1}{x-a} = \\ &= \cos(a) \cdot 1 +\sin(a) \cdot 0 = \cos (a).\end{align*}

Využili jsme znalosti již spočtených limit a věty o limitě složené funkce. Navíc

\begin{align*} \lim_{h\to 0} \frac{\cos h - 1}{h} &= \lim_{h\to 0} \frac{\cos^{2} h - 1}{h} \cdot \frac{1}{\cos h + 1} = \\ &= - \lim_{h\to 0} \frac{\sin^2 h}{h^2} \cdot \frac{h}{\cos h + 1} = -1 \cdot \frac{0}{1+1} = 0.\end{align*}

Podobným způsobem můžeme odvodit (proveďte!)

\begin{equation*} \lim_{x\to a} \frac{\cos(x) - \cos(a)}{x-a} = -\sin(a), \end{equation*}

pro každé $a\in\R$.