7.4 Spojitost elementárních funkcí

V této podkapitole rozebereme spojitost některých elementárních funkcí. Připomeňme, že v dřívějším textu jsme již odvodili spojitost libovolného polynomu (Příklad 7.1). Pojďme se postupně zamyslet nad ostatními elementárními funkcemi (viz dodatek 12).

7.4.1 Spojitost trigonometrických funkcí

Podívejme se nyní na spojitost některých trigonometrických funkcí (viz podkapitolu 12.4).

Příklad 7.7

Funkce $\sin$ a $\cos$ jsou spojité v každém bodě $a\in\R$.

Zobrazit řešení

Připomeňme známé, v minulé podkapitole v Příkladu 6.10 vypočtené, limity

\begin{equation*} \lim_{x\to 0} \sin x = 0 \quad \text{a} \quad \lim_{x\to 0} \cos x = 1. \end{equation*}

Podle součtového vzorce pro funkci $\sin$ platí

\begin{align*} \sin x &= \sin\big( (x - a) + a \big) \\ &= \sin (x-a) \cos (a) + \cos (x-a) \sin (a)\end{align*}

Tudíž podle věty o limitě složené funkce (Věta 6.4) a součinu/součtu limit (Věta 6.1) platí

\begin{equation*} \lim_{x\to a} \sin x = 0 \cdot \cos(a) + 1 \cdot \sin a = \sin a. \end{equation*}

Což ukazuje spojitost funkce $\sin$. Spojitost funkce $\cos$ se ukáže analogicky.

Z posledního příkladu a z věty o spojitosti podílu dvou funkcí (Věta 6.1) ihned plyne, že funkce $\tg$ a $\cotg$ jsou spojité v každém bodě svého definičního oboru.

Protože teď už víme, že funkce $\sin$, $\cos$, $\tg$ a $\cotg$ jsou spojité na svých definičních oborech, a vhodně zúžené jsou i ryze monotónní, ihned pomocí Věty 7.7 dostáváme spojitost inverzních funkcí

\begin{align*} \arcsin &= \Big( \sin \Big|_{\langle -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \rangle} \Big)^{-1}, \\ \arccos &= \Big( \cos \Big|_{\langle 0,\pi \rangle} \Big)^{-1}, \\ \arctg &= \Big( \tg \Big|_{( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} )} \Big)^{-1}, \\ \mathrm{arccotg} &= \Big( \cotg \Big|_{( 0,\pi )} \Big)^{-1}.\end{align*}

7.4.2 Exponenciální funkce a logaritmus

Jak jsme už varovali v podkapitole 12.5.1, jednu vlastnost exponenciální funkce o základu $\mathrm{e}$ (exponenciály) budeme muset v tento okamžik postulovat, než tuto funkci v příštím semestru korektně zavedeme.

Navíc k „algebraickým“ vlastnostem $\mathrm{e}^x$ přidáváme „limitní“ vlastnost. Pro úplnost formálně vlastnosti exponenciální funkce shrneme v následující definici:

Definice 7.3 (Exponenciální funkce / exponential function)

Pod exponenciální funkcí máme na mysli funkci oplývající následujícími vlastnostmi:

  • $\mathrm{e}^x$ je ostře rostoucí funkce s definičním oborem $\R$ a oborem hodnot $(0,+\infty)$.

  • Pro každé $x,y\in\R$ platí

    \begin{equation*} \mathrm{e}^{x+y} = \mathrm{e}^x \mathrm{e}^y \quad \text{a} \quad (\mathrm{e}^{x})^{y} = \mathrm{e}^{xy}. \end{equation*}

  • Platí rovnost $\mathrm{e}^0 = 1$.

  • Platí rovnost

    \begin{equation}\label{eq-lim-exp}\tag{7.1} \lim_{x\to 0} \frac{\mathrm{e}^x - 1}{x} = 1. \end{equation}

V další kapitole tohoto textu vysvětlíme význam požadavku (7.1), v podstatě zde předepisujeme požadavek na derivaci funkce $\mathrm{e}^x$.

Příklad 7.8

Funkce $\mathrm{e}^x$ je spojitá v každém bodě $a\in\R$.

Zobrazit řešení

Argumentace v tomto případě sleduje podobné kroky jako u trigonometrických funkcí:

  • Spojitost v $0$: Nejprve ukážeme rovnost $\displaystyle\lim_{x\to 0} \mathrm{e}^x = 1$. Pro libovolné $\veps > 0$ ze vztahu

    \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{\mathrm{e}^x - 1}{x} = 1 \end{equation*}

    plyne existence $\delta > 0$, bez újmy na obecnosti $\delta < \frac{\veps}{1+\veps}$, takového, že pro $x\in U_0(\delta)\smallsetminus\{0\}$ platí $|(\mathrm{e}^x - 1) / x - 1 | < \veps$ a pro tato $x$ pak i

    \begin{equation*} |\mathrm{e}^x - 1| = \left| \frac{\mathrm{e}^x - 1}{x} \right| \cdot |x| < (1 + \veps) \cdot \delta < (1 + \veps) \cdot \frac{\veps}{1+\veps} = \veps. \end{equation*}

    Tedy $\displaystyle\lim_{x\to 0} \mathrm{e}^x = 1 = \mathrm{e}^0$.

  • Spojitost v $a \in \R$: Nyní stačí použít základní vlastnosti exponenciály, větu o limitě součinuvětu o limitě složené funkce. Pro libovolné $x \in \R$ platí

    \begin{equation*} \lim_{x\to a} \mathrm{e}^x = \lim_{x\to a} \mathrm{e}^{a + x - a} = \mathrm{e}^a \lim_{x\to a} \mathrm{e}^{x-a} = \mathrm{e}^a \cdot 1 = \mathrm{e}^a. \end{equation*}

Pozorování 7.2

U exponenciály (tj. $\mathrm{e}^x$) se ještě na chvíli zastavme a zformulujme několik s ní souvisejících pozorování.

  • Exponenciální funkci o základu $a \in \R^+\smallsetminus\{1\}$ jsme definovali předpisem $a^x \ceq \mathrm{e}^{x\ln(a)}$, $x \in \R$. Proto nám věta o limitě složené funkce a spojitost exponenciály dává

    \begin{equation*} \lim_{x\to b} a^x = \lim_{x\to b} \mathrm{e}^{x \ln(a)} = \mathrm{e}^{b \ln(a)} = a^b \end{equation*}

    a i funkce $a^x$ je proto spojitá v každém bodě $b \in \R$.

  • Pro limity funkce $\mathrm{e}^x$ v nekonečnech platí (stejně pro základ $a > 1$, opačně pro $a < 1$)

    \begin{equation*} \lim_{x\to+\infty} \mathrm{e}^x = +\infty \quad \text{a} \quad \lim_{x\to-\infty} \mathrm{e}^x = 0. \end{equation*}

    K tomu je potřeba si připomenout následující fakta, stručně:

    • Dle axiomatické definice $\mathrm{e}^x$ platí $\mathrm{e}^1 > \mathrm{e}^0 = 1$ a $\mathrm{e}^n = \mathrm{e} \cdots \mathrm{e}$ ($n$ krát).

    • Limity geometrických posloupností počítat umíme, konkrétně

      \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \mathrm{e}^n = +\infty \quad \text{a} \quad \lim_{n\to\infty} \mathrm{e}^{-n} = 0. \end{equation*}

    • Využijeme-li navíc monotonii $\mathrm{e}^x$, dostaneme dokazované tvrzení.

Příklad 7.9

Funkce $\ln$ je spojitá v každém bodě $a\in\R^+$.

Zobrazit řešení

Již víme, že exponenciála je spojitá funkce v každém bodě svého definičního oboru. Navíc víme, že je ostře rostoucí (tedy i ryze monotónní).

Z věty O spojitosti inverzní funkce ihned plyne spojitost logaritmu $\ln$ v libovolném bodě jejího definičního oboru.

Díky spojitosti funkce $\ln$ tedy platí rovnost

\begin{equation*} \lim_{x\to a} \ln x = \ln a, \end{equation*}

pro každé $a\in (0, +\infty)$. Navíc z vlastností exponenciály zmíněných v Pozorování 7.2 plynou vztahy

\begin{equation*} \lim_{x\to 0+} \ln x = -\infty \quad \text{a} \quad \lim_{x\to +\infty} \ln x = +\infty. \end{equation*}

Analogicky lze ověřit spojitost logaritmu o základu $a \in \R^+ \smallsetminus \{ 1 \}$, alternativně lze využít jeho vyjádření pomocí $\ln$.

7.4.3 Odmocniny a absolutní hodnota

Z dřívějšího výkladu okamžitě plyne spojitost odmocnin (Příklad 5.9) a absolutní hodnoty (Příklad 5.7). Pro úplnost zde tento výsledek explicitně uveďme.

Konkrétně z Příkladu 5.9 víme, že platí vztahy

\begin{equation*} \lim_{x\to a} \sqrt[k]{x} = \sqrt[k]{a} \quad \text{a} \lim_{x\to 0+} \sqrt[k]{x} = 0, \end{equation*}

pro $a > 0$ a $k = 2, 3,\ldots$ To znamená, že $\sqrt[k]{x}$ je spojitá funkce na intervalu $\langle 0, + \infty)$.

Obdobně, Příklad 5.7 zaručuje platnost vztahu

\begin{equation*} \lim_{x\to a} |x| = |a| \end{equation*}

pro $a \in \R$. Což ihned implikuje spojitost $|x|$ na $\R$.