V této podkapitole prozkoumáme základní vlastnosti limity funkce (a tedy i posloupnosti).
Začněme zcela základním postřehem. Funkce v daném bodě buď limitu nemá, nebo ji má a její hodnota je pak dána jednoznačně. Jinak řečeno, žádná funkce v daném bodě nemůže mít dvě různé limity. Pokud tedy dva lidé počítají jeden příklad a vyjde jim rozdílný výsledek, pak alespoň jeden z nich musel někde ve výpočtu udělat chybu.
Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že máme funkci $f$, hromadný bod $a$ jejího definičního oboru a tato funkce má v tomto bodě dvě různé limity $b\in\overline{\R}$ a $c\in\overline{\R}$. Protože body $b$ a $c$ jsou různé, nutně existují dvě jejich okolí, označme si je $U_b$ a $U_c$, která jsou disjunktní, tj. $U_b \cap U_c = \emptyset$. Podle definice limity funkce existují ke každému z těchto okolí jistá okolí bodu $a$, označme si jejich průnik jako $V_a$, tato množina je stále okolím bodu $a$. Potom stále dle definice pro každé $x \in (V_a \cap D_f) \smallsetminus \{ a \}$ je $f(x) \in U_b$ a současně $f(x) \in U_c$. To ale není možné, protože tyto množiny jsou disjunktní!
$\square$
Následující pozorování plyne velmi přímočaře přímo z definice přeformulováním jedné jediné podmínky. Pro počítání a elementární úvahy může být velmi užitečné.
Buďte $f: A \to \R$ funkce, $a\in\overline{\R}$ hromadný bod jejího definičního oboru a $b \in \R$. Potom platí následující dvě ekvivalence.
$\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$, právě když $\lim\limits_{x \to a} |f(x) - b| = 0$.
$\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0$, právě když $\lim\limits_{x\to a} |f(x)| = 0$.
Druhý bod plyne z prvního. V prvním bodě stačí položit $b = 0$. Ekvivalence v prvním bodě vychází z definice limity funkce a jednoduchých ekvivalencí
platných pro libovolné $\varepsilon > 0$. Pozor, všimněte si, že zde předpokládáme $b \in \R$, nepřipouštíme nekonečné $b$.
$\square$
Dále je užitečné a přímočaré následující tvrzení ukazující chování limity vůči zúžení definičního oboru funkce.
Mějme funkci $f$ a bod $a\in\overline{\R}$, který je hromadným bodem definičního oboru $D_f$ funkce $f$. Dále uvažme množinu $M \subset D_f$ takovou, že bod $a$ je stále jejím hromadným bodem.
Potom pokud limita $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = b \in \overline{\R}$, pak i pro funkci $g \ceq f|_M$, zúžení funkce $f$ na množinu $M$, platí $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = b$.
Pouhé přepsání definice a využití pozorování: pokud nějaká vlastnost $V(x)$ platí pro všechna $x \in A$, pak platí i pro všechna $x \in B \subset A$.
$\square$
Tato věta není přímo použitelná pro posloupnosti (jedna z nich by neměla definiční obor celé $\N$, což nepřipouštíme). Jistou analogií pro posloupnosti je věta o limitě vybrané posloupnosti, ke které se dostaneme zanedlouho.
Další věta nám ukazuje důležitou souvislost pojmů „limita posloupnosti“ a „limita funkce“. Díky této větě můžeme některé limity posloupností počítat pomocí znalosti limity funkcí. Výhoda tohoto postupu spočívá v tom, že na limity funkcí můžeme použít nástroje diferenciálního počtu (jako například l'Hospitalovo pravidlo), které pro posloupnosti nemáme k dispozici.
Limita $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)$ je rovna $b \in \overline{\R}$, právě když $a$ je hromadným bodem $D_f$ a pro každou posloupnost $(x_n)_{n=1}^\infty$ s limitou $a$, jejíž členy splňují $\{x_n \mid n\in\N\} \subset D_f \smallsetminus \{a\}$, platí $\displaystyle\lim_{n\to\infty} f(x_n) = b$.
Implikace $\Rightarrow$ již byla dokázána, jde v podstatě o Větu 5.3. Důkaz druhé implikace $\Leftarrow$ v tomto textu vynecháváme.
$\square$
Pomocí Heineho31 věty, resp. věty o limitě zúžení, můžeme snadno počítat limity posloupností na základě znalosti limity funkce v $+\infty$. V předchozí části textu (Příklad 5.8) jsme například odvodili, že
Odtud ihned plyne, že i pro limitu posloupnosti $\Big(\sqrt{n}\Big)_{n=1}^\infty$ platí
Proč? Máme k dispozici dokonce tři způsoby argumentace:
Funkci $\sqrt{x}$ jsme zúžili na $\N$ (a získali tak onu posloupnost) a použili větu o limitě zúžení.
V Heineho větě jsme použili posloupnost s členy $x_n = n$, $n\in\N$.
V tomto případě bychom samozřejmě mohli i vyjít přímo z definice limity posloupnosti.
Heineho věta, resp. věta o limitě zúžení, má jeden velmi důležitý důsledek, pomocí kterého budeme moci naopak existenci limity funkce vyvracet.
Nechť $a \in \overline{\R}$ je hromadným bodem definičního oboru funkce $f$. Dále nechť $(x_n)_{n=1}^\infty$, $(z_n)_{n=1}^\infty$ jsou dvě posloupnosti s členy z $D_f$, mající limitu $a$ a splňující podmínky $x_n \neq a$ a $z_n \neq a$ pro všechna $n\in\N$.
Pokud limity $\displaystyle\lim_{n\to\infty} f(x_n)$ a $\displaystyle\lim_{n\to\infty} f(z_n)$ existují a jsou různé, nebo alespoň jedna z nich neexistuje, potom limita $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)$ neexistuje.
Sporem: kdyby limita $\lim\limits_{x\to a} f(x)$ existovala a měla hodnotu $\alpha$, pak by podle Heineho věty (Věta 5.4) pro libovolné dvě posloupnosti $(x_n)_{n=1}^\infty$ a $(z_n)_{n=1}^\infty$ s uvedenými vlastnostmi existovaly i limity posloupností $(f(x_n))_{n=1}^\infty$ a $(f(z_n))_{n=1}^\infty$ a obě měly stejnou hodnotu $\alpha$.
$\square$
Ukažme si použití Heineho věty a jejího důsledku na několika příkladech.
Limita funkce $f(x) = \sin(x)$ v $+\infty$ neexistuje. Srovnejte tento příklad s Příkladem 5.18
Intuitivně by tvrzení mělo být nepřekvapivé, zamyslíme-li se nad netriviálním periodickým chováním funkce $\sin$. Krásně této představy můžeme využít při volbě dvou „testovacích“ posloupností:
Obě posloupnosti $(x_n)_{n=1}^\infty$ a $(y_n)_{n=1}^\infty$ jsou tvořeny prvky definičního oboru funkce $\sin$ (tj. $\R$) a jsou různé od $+\infty$ a mají limitu $+\infty$. Pro obrazy jejích členů ale platí
Posloupnosti obrazů mají různé limity a proto dle Důsledku 5.2 limita $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \sin(x)$ neexistuje.
$\square$
Příklady 5.14 a 5.18 je vhodné doplnit ještě dvěma ukázkami. Rozmyslete si, že limita funkce
neexistuje, ale limita posloupnosti
existuje a je rovna $0$ (jde o limitu konstantní posloupnosti s všemi členy rovnými $0$).
Limita
neexistuje.
Označme $f(x) \ceq \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ a položme
Tyto posloupnosti splňují
Konečně
Pro představu uvádíme Obrázek 5.5. Z obrázku je patrné, že limita posloupnosti obrazů závisí na způsobu, resp. konkrétních krocích, jakým se k bodu $0$ blížíme32.
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Mějme funkci $f\colon A \to \R$, hromadný bod $a\in\overline{\R}$ množiny $A$ a bod $b\in\overline{\R}$. Funkce $f$ má v bodě $a$ limitu rovnou $b$, právě když pro každé okolí $U_b$ bodu $b$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že pokud $x \in U_a \cap A$ a $x \neq a$, pak $f(x) \in U_b$.
Formálně tento požadavek vyjadřuje formule
Tuto skutečnost symbolicky zapisujeme následovně
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Bod $\alpha\in\eR$ nazýváme hromadným bodem množiny $M \subset \R$, právě když v každém okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ leží nějaký prvek množiny $M$ různý od $\alpha$.
Mějme funkci $f\colon A \to \R$, hromadný bod $a\in\overline{\R}$ množiny $A$ a bod $b\in\overline{\R}$. Funkce $f$ má v bodě $a$ limitu rovnou $b$, právě když pro každé okolí $U_b$ bodu $b$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že pokud $x \in U_a \cap A$ a $x \neq a$, pak $f(x) \in U_b$.
Formálně tento požadavek vyjadřuje formule
Tuto skutečnost symbolicky zapisujeme následovně
Bod $\alpha\in\eR$ nazýváme hromadným bodem množiny $M \subset \R$, právě když v každém okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ leží nějaký prvek množiny $M$ různý od $\alpha$.
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Mějme funkci $f\colon A \to \R$, hromadný bod $a\in\overline{\R}$ množiny $A$ a bod $b\in\overline{\R}$. Funkce $f$ má v bodě $a$ limitu rovnou $b$, právě když pro každé okolí $U_b$ bodu $b$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že pokud $x \in U_a \cap A$ a $x \neq a$, pak $f(x) \in U_b$.
Formálně tento požadavek vyjadřuje formule
Tuto skutečnost symbolicky zapisujeme následovně
Buď $f\colon A \to B$ a $M \subset A$. Zobrazení $g\colon M \to B$ definované předpisem $g(x) \ceq f(x)$ pro každé $x\in M$ nazýváme zúžením zobrazení $f$ na množinu $M$. Zapisujeme $g = f \big|_M$.
Nechť pro funkce $f$ a $g$ a bod $a\in\eR$ platí
$\displaystyle\lim_a f = \lim_a g = 0$ nebo $\displaystyle\lim_a |g| = +\infty$
existuje okolí $U_a$ bodu $a$ splňující $U_a \smallsetminus \{a\} \subset D_{f/g} \cap D_{f^{\prime}/g^{\prime}}$,
existuje limita podílu derivací $\displaystyle\lim_a \frac{f^{\prime}}{g^{\prime}}$.
Potom existuje $\displaystyle \lim_a \frac{f}{g}$ a platí $\displaystyle \lim_a \frac{f}{g} = \lim_a \frac{f^{\prime}}{g^{\prime}}$.
Mějme funkci $f\colon A \to \R$, hromadný bod $a\in\overline{\R}$ množiny $A$ a bod $b\in\overline{\R}$. Funkce $f$ má v bodě $a$ limitu rovnou $b$, právě když pro každé okolí $U_b$ bodu $b$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že pokud $x \in U_a \cap A$ a $x \neq a$, pak $f(x) \in U_b$.
Formálně tento požadavek vyjadřuje formule
Tuto skutečnost symbolicky zapisujeme následovně
Bod $\alpha\in\eR$ nazýváme hromadným bodem množiny $M \subset \R$, právě když v každém okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ leží nějaký prvek množiny $M$ různý od $\alpha$.
Reálná posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ má limitu $\alpha\in\overline{\R}$, právě když pro každé okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ lze nalézt $N \in\N$ takové, že pro všechna $n\in\N$ větší nebo rovno než $N$ platí $a_n\in U_\alpha$. V symbolech
Tuto skutečnost můžeme zapsat několika možnými ekvivalentními způsoby: