Často je výhodné, nebo dokonce nutné, k odvození limity jedné funkce použít její srovnání s jinou, jednodušší, funkcí se známou limitou. V této kapitole si ukážeme dvě variace na toto téma. Začněme nejprve velmi přímočarým důsledkem definice limity.
Mějme dvě funkce $f$, $g$ a bod $a \in \overline{\R}$. Nechť existuje okolí $U_a$ bodu $a$ splňující
$D_f \cap U_a = D_g \cap U_a$, označme tuto množinu $M$,
$a$ je hromadným bodem množiny $M$,
pro všechna $x \in M \smallsetminus \{a\}$ platí nerovnost $f(x) \leq g(x)$.
Potom platí následující dvě tvrzení:
Pokud $\lim_a f = +\infty$, potom i $\lim_a g = +\infty$.
Pokud $\lim_a g = -\infty$, potom i $\lim_a f = -\infty$.
Vezměme okolí $U_{+\infty} = (c, +\infty)$. Protože $\lim_{a} f = +\infty$, máme pro toto $c$ k dispozici jisté okolí $U_a$ takové, že pro všechna $x \in (U_a \cap M) \smallsetminus \{a\}$ platí $f(x) > c$. Vezmeme-li proto nyní libovolné $x \in (U_a \cap M) \smallsetminus \{a\}$, pak platí i $c < f(x) \leq g(x)$ a $g(x) \in (c,+\infty)$. Tudíž $\lim_a g = +\infty$.
$\square$
Uvažme například posloupnost
Na výpočet limity této posloupnosti nelze použít větu o limitě součinu, protože člen v závorce nemá limitu. Vzhledem ke kladnosti a omezenosti této závorky ale očekáváme, že limitou posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$ bude $+\infty$. Každý člen této posloupnosti můžeme odhadnout zespoda takto:
O posloupnosti $(n)_{n=1}^\infty$ víme, že její limitou je $+\infty$. Odtud pak podle předcházející věty ihned plyne $\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty$.
Nyní se dostáváme k velmi důležité větě, kterou často použijeme. Její myšlenka spočívá v tom, že dokážeme-li „dobře odhadnout“ chování dané funkce pomocí funkcí se známými shodnými limitami ve stejném bodě, pak známe i limitu zkoumané funkce v daném bodě.
Mějme tři funkce $f$, $g$ a $h$ a bod $a \in \overline{\R}$. Nechť existuje okolí $U_a$ bodu $a$ splňující
$D_f \cap U_a = D_g \cap U_a = D_h \cap U_a$, označme tuto množinu $M$,
$a$ je hromadným bodem množiny $M$,
pro všechna $x \in M \smallsetminus \{a\}$ platí nerovnosti $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$.
Nechť dále existují limity funkcí $f$ a $h$ v bodě $a$ mající společnou hodnotu $b \in \overline{\R}$, tj.
Potom existuje i limita $g$ v bodě $a$ a je také rovna $b$, tj. $\displaystyle\lim_{x\to a} g(x) = b$.
Mějme okolí $V_b$ bodu $b$. Dle předpokladů existuje $V_a$ okolí bodu $a$ takové, že $V_a \subset U_a$ a pro každé $x\in (M \cap V_a) \smallsetminus \{a\}$ patří $f(x)$ i $h(x)$ do $V_b$. Protože ale pro tato $x$ platí $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$, je nutně i $g(x)$ prvkem $V_b$.
$\square$
Tato věta také často bývá označována jako „věta o dvou policajtech“, v angličtině ji lze také nalézt pod heslem squeeze theorem. Grafická ilustrace k větě o limitě sevřené funkce je uvedena na Obrázku 6.2.
Pro úplnost zde explicitně zmiňme i důležitý důsledek plynoucí z předchozí věty pro posloupnosti. Připomeňme si, že všechny naše posloupnosti jsou definovány na množině $\N$. Proto lze pro tento konkrétní případ dostat pouhým přeformulováním předchozí věty následující tvrzení.
Mějme tři posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$, $(b_n)_{n=1}^\infty$ a $(c_n)_{n=1}^\infty$ a nechť platí
existuje $N \in \N$ takové, že pro všechna $n \geq N$ platí nerovnosti $a_n \leq b_n \leq c_n$,
existují limity posloupností $(a_n)_{n=1}^\infty$ a $(c_n)_{n=1}^\infty$ a jsou rovné $b \in \overline{\R}$, tj. $\lim a_n = \lim c_n = b$.
Potom existuje i limita posloupnosti $(b_n)_{n=1}^\infty$ a je také rovna $b$.
Vypočtěte limitu $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n}$.
Funkce $\sin$ má obor hodnot $H_{\sin} = \langle -1,1 \rangle$. Tedy platí nerovnost
Tudíž pro každé přirozené $n$ platí
Protože ale $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{-1}{n} = 0$, je podle věty o limitě sevřené posloupnosti
Vypočtěte $\displaystyle\lim_{x\to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right)$.
Zřejmě nelze použít větu o součinu limit, limita $\lim_{x\to 0} \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ totiž neexistuje. Ovšem nerovnost
platí pro libovolné $x\in\mathbb{R} \smallsetminus \{0\}$. Zvolíme-li např. $U_a = (-1,1)$ okolí bodu $a = 0$, pak
nerovnost $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ platí pro každé $x \in (-1,1) \smallsetminus \{0\}$,
existují $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = \lim_{x\to 0} h(x) = 0$.
Podle věty o limitě sevřené funkce pak $\displaystyle\lim_{x\to 0} g(x) = \lim_{x\to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0$.
Ověřte správnost následujících tvrzení
V tento okamžik máme k dispozici pouze geometrickou definici goniometrických funkcí, viz Obrázek 6.4. Pro $x\in\Big(0,\frac{\pi}{2}\Big)$ platí
Skutečně, porovnejte obsahy trojúhelníku $OAB$, výseče $OAB$ a trojúhelníku $OAC$ na Obrázku 6.4. Funkce $\sin$ je lichá a tudíž
Potom $\displaystyle\lim_{x\to 0} \sin x = 0$. A z rovnosti $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ pak i $\displaystyle\lim_{x\to 0} \cos x = 1$. (Rozmyslete znaménko!) Funkce $\sin$ i $\tg$ jsou liché a proto z nerovnosti
plyne nerovnost
Odtud pomocí Věty 6.3 dostáváme poslední hledanou limitu
Funkce $\frac{\sin x}{x}$ je totiž kladná na jistém okolí nuly.
Zobrazení $f\colon D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R$ je neprázdná množina reálných čísel, nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné.
Pod okolím bodu $a\in\eR$, ozn. $U_a$, máme na mysli buď okolí $U_a(\veps)$ pro nějaké $a\in\R$ a $\veps > 0$, nebo okolí $U_{\pm\infty}(c)$ pro nějaké $c\in\R$.
Bod $\alpha\in\eR$ nazýváme hromadným bodem množiny $M \subset \R$, právě když v každém okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ leží nějaký prvek množiny $M$ různý od $\alpha$.
Mějme funkci $f\colon A \to \R$, hromadný bod $a\in\overline{\R}$ množiny $A$ a bod $b\in\overline{\R}$. Funkce $f$ má v bodě $a$ limitu rovnou $b$, právě když pro každé okolí $U_b$ bodu $b$ existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že pokud $x \in U_a \cap A$ a $x \neq a$, pak $f(x) \in U_b$.
Formálně tento požadavek vyjadřuje formule
Tuto skutečnost symbolicky zapisujeme následovně
Zobrazení množiny přirozených čísel $\N$ do množiny reálných čísel $\R$ nazýváme reálná číselná posloupnost (pokud nebude hrozit zmatení, budeme zkráceně mluvit o posloupnosti).
Reálná posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ má limitu $\alpha\in\overline{\R}$, právě když pro každé okolí $U_\alpha$ bodu $\alpha$ lze nalézt $N \in\N$ takové, že pro všechna $n\in\N$ větší nebo rovno než $N$ platí $a_n\in U_\alpha$. V symbolech
Tuto skutečnost můžeme zapsat několika možnými ekvivalentními způsoby:
Mějme tři posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$, $(b_n)_{n=1}^\infty$ a $(c_n)_{n=1}^\infty$ a nechť platí
existuje $N \in \N$ takové, že pro všechna $n \geq N$ platí nerovnosti $a_n \leq b_n \leq c_n$,
existují limity posloupností $(a_n)_{n=1}^\infty$ a $(c_n)_{n=1}^\infty$ a jsou rovné $b \in \overline{\R}$, tj. $\lim a_n = \lim c_n = b$.
Potom existuje i limita posloupnosti $(b_n)_{n=1}^\infty$ a je také rovna $b$.
Nechť $f$ a $g$ jsou funkce a $a$ je hromadným bodem $D_f \cap D_g$. Nechť dále existují limity $\lim_a f$ a $\lim_a g$. Potom rovnosti
platí v případě, že jsou algebraické operace na pravé straně definovány.
Mějme tři funkce $f$, $g$ a $h$ a bod $a \in \overline{\R}$. Nechť existuje okolí $U_a$ bodu $a$ splňující
$D_f \cap U_a = D_g \cap U_a = D_h \cap U_a$, označme tuto množinu $M$,
$a$ je hromadným bodem množiny $M$,
pro všechna $x \in M \smallsetminus \{a\}$ platí nerovnosti $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$.
Nechť dále existují limity funkcí $f$ a $h$ v bodě $a$ mající společnou hodnotu $b \in \overline{\R}$, tj.
Potom existuje i limita $g$ v bodě $a$ a je také rovna $b$, tj. $\displaystyle\lim_{x\to a} g(x) = b$.