9.1 Definice pojmů

Následující definice různých typů extrémů jako by z oka vypadla té z BI-MA1. Opět s úspěchem použijeme dříve zobecněný koncept okolí.

Definice 9.1 (Extrémy funkcí více proměnných)

Mějme funkci $f: D_f \to \R$, $D_f \subset \R^n$, a bod $\va \in D_f$. Funkce $f$ má v bodě $\va$

  • ostré lokální minimum, právě když existuje okolí $U_\va$ bodu $\va$ takové, že pro všechna $\vx \in U_\va \cap D_f$ různá od $\va$ platí $f(\vx) > f(\va)$.

  • ostré lokální maximum, právě když existuje okolí $U_\va$ bodu $\va$ takové, že pro všechna $\vx \in U_\va \cap D_f$ různá od $\va$ platí $f(\vx) < f(\va)$.

  • lokální minimum, právě když existuje okolí $U_\va$ bodu $\va$ takové, že pro všechna $\vx \in U_\va \cap D_f$ platí $f(\vx) \geq f(\va)$.

  • lokální maximum, právě když existuje okolí $U_\va$ bodu $\va$ takové, že pro všechna $\vx \in U_\va \cap D_f$ platí $f(\vx) \leq f(\va)$.

Hodnota tohoto extrému je ve všech případech rovna $f(\va)$. Souhrnně budeme mluvit o (ostrém) lokálním extrému.

Nejprve se budeme soustředit na analytické hledání lokálních extrémů. Odvodíme nutné i postačující podmínky pro jejich existenci. K tomu využijeme pojmy diferenciálního počtu a typy definitností probrané v dřívější části textu.

Poznámka 9.2

Nutnou i postačující podmínku pro existenci lokálního extrému uvádí sama Definice 9.1. Nezapomínejte na ni. Pokud analytická metoda hledání selže, vždy se můžete pomocí definice pokusit existenci extrému vyvrátit, nebo prokázat.

V pozdější části přednášky si ukážeme i jeden z možných numerických přístupů k řešení tohoto problému spočívající v tzv. „spádové“ metodě.

Je dobré si uvědomit, že struktura množiny bodů, kde je nabýván extrém, může být poměrně komplikovaná. Zamyslete se co lze řící o extrémech funkcí uvedených na Obrázku 9.1.

Obrázek 9.1: Vizualizace dvou funkcí dvou proměnných. Co dokážete říct o jejich extrémech čistě na základě vizualizace a znalosti Definice 9.1?