2.6 Poznámky k integraci

Jenom malá část elementárních funkcí má primitivní funkci, která by byla elementární. Víme jen, že primitivní funkce existuje, ale nelze ji vyjádřit pomocí konečně mnoha operací (součet, součin, podíl, skládání a invertování) z elementárních funkcí. Jako příklad uveďme1

\begin{equation*} \int e^{-x^2} \,\dx, \quad \int \frac{\sin(x)}{x} \,\dx, \quad \int \frac{1}{\ln(x)} \,\dx. \end{equation*}

Důkaz tohoto tvrzení v této přednášce nebude podán. Uvidíme však, jak vyjádřit a použít libovolnou primitivní funkci (Věta 3.6).

Rozpoznat, kdy funkce má „rozumnou“ primitivní funkci, je často složité. Obecný návod „jak integrovat“ lze dát například v případě racionálních funkcí a funkcí, které lze na racionální vhodnou substitucí převést.

Integrace, na rozdíl od rutinního derivování, vyžaduje cvik a zkušenost. Stará anekdota praví, že „derivování je jako mačkat pastu z tuby a integrování je naopak jako cpaní pasty zpět do tuby“. U školních příkladů lze ale vždy pomocí rutinního derivování ověřit, zda jsme ve výpočtu neudělali chybu!

Příklad 2.16

Vypočtěte $\displaystyle\int xe^{x^2}\dx$ a ověřte správnost výsledku.

Pomocí substituce $y = x^2$,

\begin{equation*} \int x e^{x^2} \dx = \frac{1}{2} \int e^{y} \mathrm{d}y = \frac{1}{2} e^y + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C. \end{equation*}

Ověření,

\begin{equation*} \bigg( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \bigg)' =\frac{1}{2} \Big( e^{x^2} \Big)' +0 = \frac{1}{2}\cdot 2x e^{x^2} = xe^{x^2}. \end{equation*}