V této podkapitole se budeme zabývat zobecněním Riemannova integrálu pro případy některých nespojitých funkcí, neomezených funkcí, či neomezených intervalů.
Pokud je funkce $f$ definována na intervalu $\langle a,b \rangle$, avšak není na něm spojitá, stále může mít Riemannův integrál. Nejjednodušším případem je situace s jedním bodem skokové nespojitosti:
existuje $c\in (a,b)$ tak, že $f$ je spojitá na $\langle a,c )$ a $(c,b\rangle$,
existují konečné jednostranné limity funkce $f$ v bodě $c$.
Potom platí
Integrály na pravé straně rovnosti jsou již ze spojitých funkcí na uzavřených intervalech. Podobně lze postupovat, má-li příslušná funkce konečný počet bodů nespojitostí tohoto typu (s konečnými jednostrannými limitami).
Vypočtěte integrál $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \,\mathrm{d} x$, kde $f(x) = |x| - x + \sgn(x)$.
Funkce $f$ není spojitá v bodě $0$:
Pro podrobnější představu viz Obrázek 3.14. Takže
Riemannův integrál jsme konstruovali pro funkce omezené na omezených uzavřených intervalech. Často je však potřeba integrovat funkce na neomezených množinách případně integrovat neomezené funkce (například $e^{-x^2}$ na $\R$ v BI-PST). Zavádíme proto pojem zobecněného Riemannova integrálu. V následujícím textu nastíníme způsob jeho konstrukce.
Nechť $f$ je funkce definovaná na intervalu $\langle a, b)$ pro nějaké $a \in \R$ a $b \in (a, +\infty) \cup \{+\infty\}$, která má Riemannův integrál na intervalu $\langle a, c \rangle$ pro každé $c \in (a,b)$. Pokud existuje konečná limita
pak její hodnotu značíme
nazýváme zobecněným Riemannovým integrálem funkce $f$ na intervalu $\langle a, b)$ a říkáme, že integrál $\int_a^b f(x)\, \dx$ konverguje.
Pokud $\int_a^b |f(x)|\, \dx$ konverguje, tak lze ukázat, že i $\int_a^b f(x)\, \dx$ konverguje. V takovém případě říkáme, že $f$ má absolutně konvergentní zobecněný Riemannův integrál na $\langle a, b)$.
Analogicky definujeme předchozí pojmy pro interval $(a, b\rangle$ a pro $(a,b)$.
Uvedená definice zobecněného Riemannova integrálu tedy řeší zajímavou situaci, když $b = +\infty$, anebo když funkci v bodě $b$ nejde spojitě dodefinovat.
Například
Například
Dále se můžeme zabývat situací, kdy chceme dát smysl integrálu $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \dx$. Zde se omezíme pouze na absolutně konvergentní případy pro spojité funkce.
Buď $f$ spojitá funkce definovaná na $\R$. Pokud existuje konečná limita
pak tuto její hodnotu značíme
a o $f$ říkáme, že má absolutně konvergentní zobecněný Riemannův integrál na $\R$. Pokud má funkce absolutně konvergentní zobecněný Riemannův integrál na $\R$, pak i limita
existuje a značíme ji
Tuto hodnotu pak nazýváme zobecněným Riemannovým integrálem $f$ na $\R$.
Absolutní konvergence zajišťuje, že hodnota zobecněného Riemannova integrálu nezávisí na způsobu, jakým meze „posíláme“ do nekonečna.
Vypočtěte
Integrand je zjevně kladnou spojitou funkcí. Dále platí
Funkce $\frac{1}{1+x^2}$ má tedy absolutně konvergentní zobecněný Riemannův integrál na $\R$ a