V této podkapitole se budeme podrobně věnovat exponenciální funkci, která představuje jednu z nejdůležitějších matematických funkcí. Dále zavedeme Eulerovo číslo ( Leonhard Euler, švýcarský matematik, 1707 – 1783). Jak uvidíme, oba tyto matematické objekty stojí na pojmu číselné řady, který jsme zavedli v předcházející sekci.
Pro každé reálné $x$ uvažme číselnou řadu 5
Pomocí d'Alembertova kritéria se snadno přesvědčíme o absolutní konvergenci této řady. Pro $x=0$ řada (4.7) očividně absolutně konverguje. Pro $x\neq 0$ pro limitu podílů platí
Podle d'Alembertova kritéria proto řada $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{|x|^k}{k!}$ konverguje, a tudíž řada (4.7) konverguje absolutně pro libovolné $x\in\R$. Výraz (4.7) má tedy pro každé $x\in\R$ jednoznačný smysl jakožto reálné číslo.
Po těchto počátečních úvahách můžeme přejít k formální definici exponenciální funkce.
Zobrazení, které každému $x\in\R$ přiřazuje součet konvergentní řady
nazýváme exponenciální funkcí. Její funkční hodnotu v bodě $x$ značíme symbolem $e^x$. Platí tedy
Nyní se budeme zabývat vlastnostmi funkce definované vztahem (4.8). Ukážeme, že takováto funkce splňuje všechny vztahy, které bychom od exponenciální funkce očekávali.
Exponenciální funkce oplývá následujícími vlastnostmi:
$e^0 = 1$,
pro všechna $x,y\in\R$ platí $e^{x+y} = e^x e^y$,
pro všechna $x\in\R$ platí $e^x > 0$ a dále $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$,
exponenciála je ostře rostoucí funkce, pro všechna $x,y \in \R$ splňující nerovnost $x < y$ platí nerovnost $e^x < e^y$.
a. Plyne přímo z dosazení6 $x=0$ do definičního vztahu (4.8),
b. Uvažme $x,y\in\R$. Potom7
c. Z předchozích, již dokázaných, bodů a. a b. plyne rovnost
platná pro libovolné $x\in\R$. Tato rovnost implikuje nenulovost $e^x$ pro libovolné $x\in\R$ (můžeme argumentovat sporem: kdyby $e^x = 0$ pro jisté $x\in\R$, pak z odvozené rovnosti dostáváme $0=1$, což je spor). Z rovnosti (4.9) pak ihned dostáváme $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$.
Buď dále $x \geq 0$. Potom přímo z definice exponenciály dostáváme
Předpoklad $x \geq 0$ je zde podstatný, díky němu víme, že posloupnost částečných součtů konvergentní řady $\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$ je rostoucí a její součet proto můžeme zdola odhadnout prvním členem posloupnosti částečných součtů, což je číslo $1$.
Máme-li nyní $x < 0$, pak z předchozího odstavce a (4.9) plyne
Celkem proto nerovnost $e^x > 0$ platí pro každé $x \in \mathbb R$.
d. Uvažujme $z > 0$. Nerovnost $e^z > 1$ odvozená v důkazu předchozího bodu dále implikuje, že pro záporné $z$ platí
Je-li nyní $x < y$, pak $e^y = e^{y-x} e^x > 1 \cdot e^x = e^x$, protože $y-x > 0$.
$\square$
V BI-MA1 jsme využívali ještě jednu zásadní limitní vlastnost exponenciály, z které například plynula spojitost a vztah pro derivaci exponenciály. Tato vlastnost je obsahem následujícího lemmatu.
Platí
Uvažme $x \in (-1,1)$, $x \neq 0$, a $n\in\mathbb{N}$, $n \geq 2$. Potom
Z těchto rovností plyne odhad
platný pro všechna přirozená $n$. Odtud ihned plyne nerovnost
pro každé $x \in (-1,1)$, $x \neq 0$. Konečně věta O limitě sevřené funkce implikuje
čili
$\square$
Limity exponenciály v $+\infty$, resp. $-\infty$, je nyní také snadné odvodit. Neboť pro $z > 0$ platí $\ee^z > 1 + z$, plyne z věty O vytlačení do nekonečna
Což dále použitím věty o limitě složené funkce
Pomocí exponenciální funkce můžeme přirozeně definovat Eulerovo číslo jakožto funkční hodnotu exponenciální funkce v bodě $1$.
Eulerovo číslo definujeme pomocí exponenciální funkce předpisem
Nyní, vybaveni skutečnou definicí Eulerova čísla, se můžeme pustit do prozkoumávání jeho vlastností. Odhadneme jeho hodnotu, jen velmi přibližně, a poté ukážeme jeho iracionalitu.
V této poznámce provedeme první hrubý odhad hodnoty Eulerova čísla. Označme $(s_n)_{n=1}^\infty$ posloupnost částečných součtů řady (4.10), tedy
Tato posloupnost je očividně rostoucí a omezená. Skutečně,
Součet řady (4.10), tedy Eulerovo číslo, leží mezi čísly $2.5$ (součet prvních tří členů řady) a $3$ (horní odhad provedený výše).
Eulerovo číslo je iracionální.
Uvedeme důkaz sporem připisovaný Josephu Fourierovi (francouzský matematik a fyzik, 1768–1830) z roku 1815.
Předpokládejme, že Eulerovo číslo je racionální, tj. platí rovnost $e = \frac{m}{n}$ pro nějaká přirozená $m$ a $n > 1$ (už víme, že $e$ je kladné). Potom $e \cdot n! = m \cdot (n-1)!$ je přirozené číslo, stejně jako
Rozdíl těchto dvou přirozených čísel je nezáporné celé číslo a pro jeho hodnotu (ozn. $R$) s využitím definiční rovnosti (4.10) dostáváme
a dále pak
Tj. $R$ je celé číslo ležící v intervalu $(0, 1)$. Takové číslo neexistuje, dosáhli jsme sporu.
$\square$
Připomeňme si výsledek předchozí sekce. Exponenciální funkce $x \mapsto e^x$ je ostře rostoucí (a tedy i prostá). Z bodu c. Věty 4.9 dále víme, že $e^x$ je kladné pro každé reálné $x$. Platí ale víc, oborem hodnot exponenciální funkce je množina $(0,+\infty)$.
Existuje tedy inverzní funkce k exponenciále, která je také ostře rostoucí a zobrazuje $(0,+\infty)$ na $\R$. Tuto funkci nazýváme přirozeným logaritmem a značíme symbolem $\ln$.
Přirozený logaritmus $\ln$ oplývá následujícími vlastnostmi:
pro každé $x\in\R$ platí $\ln e^x = x$ a pro každé $x\in(0,+\infty)$ platí $e^{\ln x} = x$,
$\ln e = 1$ a $\ln 1 = 0$,
pro $x,y \in (0,+\infty)$ platí $\ln(xy) = \ln x + \ln y$.
Plyne přímo z definice inverzní funkce (připomeňte si definici inverzního zobrazení).
Plyne přímo z definice inverzní funkce a vztahů $e^1 = e$ a $e^0 = 1$.
Uvažme $x,y \in (0,+\infty)$ a označme $x' \ceq \ln x$ a $y' \ceq \ln y$, čili $e^{x'} = x$ a $e^{y'} = y$. Dle bodu b. věty 4.9 platí $xy = e^{x'+y'}$, neboli $\ln(xy) = x' + y' = \ln x + \ln y$.
$\square$
Pomocí exponenciální a logaritmické funkce zavedené v předchozí sekci nyní definujeme obecnou mocninu (definice 4.6). Jinak řečeno, cílem této sekce je dát korektní význam symbolu $a^x$, kde $a > 0$ a $x\in\R$.
Připomeňme, že pro $a\in\R$ a kladné $n\in\mathbb{N}$ definujeme
Pro záporné celé $n$ a nenulové $a$ pak klademe
Tato definice má smysl neboť ve jmenovateli je $-n$ kladné a můžeme proto použít vztah (4.11). Konečně položíme8 $a^0 \ceq 1$
Symbol $a^n$ má tedy dobrý smysl pro libovolné $n\in\mathbb{Z}$ a nenulové $a\in\R$. Čtenář jistě snadno nahlédne, že při uvedené definici platí rovnosti
pro libovolná $n,m\in\mathbb{N}_0$ a $a \in \R$ (resp. $n,m\in\mathbb{Z}$ a $0 \neq a$).
Nyní se zbavíme požadavku na celočíselnost exponentu. Klíčem k úspěchu je následující definice.
Pro $a\in(0,+\infty)$ a $x\in\R$ definujeme
Poznamenejme, že tato definice není v kolizi s dříve zavedenou exponenciální funkcí. Pro $a=e$ totiž máme
Na levé straně symbol $e^x$ chápeme jako obecnou mocninu a na pravé straně jako exponenciální funkci.
Pojďme si nyní rozmyslet, jaké vlastnosti má námi zavedená obecná mocnina a zda-li rozšiřuje celočíselnou mocninu zmíněnou na začátku této sekce.
Pro $a,b > 0$ platí
$a^{x+y} = a^x a^y$,
$\big(a^x\big)^y = a^{xy}$,
$(ab)^x = a^x b^x$.
pro libovolná $x,y\in\R$.
Uvažme tedy $a,b > 0$ a $x,y \in \R$. Potom dle definice 4.6 platí
Podobně
Na konec s využitím věty 4.10
$\square$
Obdobně jako u exponenciální funkce se můžeme na obecnou mocninu dívat jako na funkci $x \mapsto a^x$. V tomto případě její vlastnosti závisí na konkrétní hodnotě $a$.
Funkce definovaná předpisem $a^x$ je:
ostře rostoucí pokud $a>1$,
konstantní pokud $a = 1$,
ostře klesající pokud $0 < a < 1$.
Obor hodnot funkce $a^x$ je interval $(0,+\infty)$ pro $a \neq 1$ a $\{1\}$ pro $a = 1$.
Pokud je $a=1$, pak $a^x = e^{x\ln a} = e^{x\ln 1} = e^0 = 1$. Uvažme $a > 1$. Z definice logaritmu víme, že $\ln a > 0$. Je-li $x < y$ pak $x \ln a < y \ln a$ a růst exponenciální funkce implikuje
Zbývající případ $0 < a < 1$ lze vyšetřit analogicky.Pokud $a = 1$ pak je oborem hodnot množina $\{1\}$. V ostatních případech má $a^x$ stejný obor hodnot jako exponenciála, tedy $(0,+\infty)$.
$\square$
Funkce $a^x$ je tedy pro $0 < a \neq 1$ ryze monotonní a tudíž prostá. Její inverzní funkci nazýváme logaritmem o základu $a$ a značíme $\log_a$.
Pro každé $a, x > 0$ dostáváme
Z prostoty exponenciální funkce tudíž dostáváme $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$. Z tohoto vztahu již plynou všechny ostatní notoricky známé vlastnosti logaritmu.Podobným způsobem (viz cvičení) lze dokázat známou rovnost
platnou pro libovolné $0 < a \neq 1$, $b>0$ a $x\in\R$.
Formální výraz tvaru
kde $(a_k)_{k=n_0}^\infty$ je zadaná číselná posloupnost, nazýváme číselnou řadou. Pokud je posloupnost částečných součtů $(s_n)_{n=n_0}^\infty$ definovaná předpisem
konvergentní, nazýváme příslušnou řadu také konvergentní. V opačném případě o ní mluvíme jako o divergentní číselné řadě. Součtem konvergentní řady $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ nazýváme hodnotu limity $\displaystyle\lim_{n\to\infty} s_n$.
Formální výraz tvaru
kde $(a_k)_{k=n_0}^\infty$ je zadaná číselná posloupnost, nazýváme číselnou řadou. Pokud je posloupnost částečných součtů $(s_n)_{n=n_0}^\infty$ definovaná předpisem
konvergentní, nazýváme příslušnou řadu také konvergentní. V opačném případě o ní mluvíme jako o divergentní číselné řadě. Součtem konvergentní řady $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ nazýváme hodnotu limity $\displaystyle\lim_{n\to\infty} s_n$.
Nechť $a_k > 0$ pro každé $k\in\mathbb{N}_0$. Pokud
potom řada $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k$ diverguje. Pokud ovšem
potom řada $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k$ konverguje.
Formální výraz tvaru
kde $(a_k)_{k=n_0}^\infty$ je zadaná číselná posloupnost, nazýváme číselnou řadou. Pokud je posloupnost částečných součtů $(s_n)_{n=n_0}^\infty$ definovaná předpisem
konvergentní, nazýváme příslušnou řadu také konvergentní. V opačném případě o ní mluvíme jako o divergentní číselné řadě. Součtem konvergentní řady $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ nazýváme hodnotu limity $\displaystyle\lim_{n\to\infty} s_n$.
Zobrazení, které každému $x\in\R$ přiřazuje součet konvergentní řady
nazýváme exponenciální funkcí. Její funkční hodnotu v bodě $x$ značíme symbolem $e^x$. Platí tedy
Zobrazení, které každému $x\in\R$ přiřazuje součet konvergentní řady
nazýváme exponenciální funkcí. Její funkční hodnotu v bodě $x$ značíme symbolem $e^x$. Platí tedy