8.3 Dodatek

Sylvesterovo kritérium lze zobecnit i na případ PSD a NSD forem, ale ne pouhým přepsáním ostrých nerovností na neostré. Pro zájemce zde toto kritérium bez důkazu alespoň zformulujme.

Pro matici $\mM \in \R^{n,n}$ a množinu $I \subset \hat n$, $I \neq \hat n$, označme jako $\mM_I$ matici, která vznikne z matice $\mM$ smazáním řádků a sloupců s indexy patřícími do $I$.

Příklad 8.8

Je-li

\begin{equation*} \mM = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & -4 \\ 3 & -4 & -1 \end{pmatrix} \end{equation*}

potom například

\begin{align*} \mM_{\{2\}} &= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}, \\ \mM_{\{1, 3\}} &= \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}, \\ \mM_{\{1\}} &= \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -4 & -1 \end{pmatrix}\end{align*}

Vždy platí $\mM_{\emptyset} = \mM$.

Věta 8.4 (Obecné Sylvestrovo kritérium)

Nechť $\mM \in \R^{n,n}$ je symetrická matice. Potom

  1. $\mM$ je PD, právě když $\det \mM_{\{k+1,\ldots,n\}} > 0$ pro každé přirozené $k$ splňující $0 < k \leq n$,

  2. $\mM$ je ND, právě když $(-1)^k \det \mM_{\{k+1,\ldots,n\}} > 0$ pro každé přirozené $k$ splňující $0 < k \leq n$,

  3. $\mM$ je PSD, právě když $\det \mM_I \geq 0$ pro všechna $I \subsetneq \hat n$.

  4. $\mM$ je NSD, právě když $(-1)^{n - \# I}\det \mM_I \geq 0$ pro všechna $I \subsetneq \hat n$.

  5. $\mM$ je ID, právě když $\det \mM_I < 0$ pro nějaké $I \subsetneq \hat n$, kde $n - \# I$ je sudé, nebo $\det \mM_I < 0$ a $\det \mM_J > 0$ pro nějaké $I,J \subsetneq \hat n$, kde $n - \# I$ a $n - \# J$ jsou lichá.

Toto tvrzení má dva užitečné důsledky.

Důsledek 8.2

Nechť $\mM \in \R^{n,n}$ je symetrická matice. Pokud existuje sudé $k$ takové, že $\det M_k < 0$, nebo pokud existují lichá $k, \ell$ taková, že $\det \mM_k < 0$ a $\det \mM_\ell > 0$, pak je matice $\mM$ ID.

Důsledek 8.3

Nechť $\mM \in \R^{n,n}$ je symetrická matice. Pokud $\mM$ není PD ani ND a pro každé $k\in\hat n$ je $\det \mM_k \neq 0$, pak je matice $\mM$ ID.