Na začátku semestru (Kapitola 3) jsme v tomto předmětu zkonstruovali Riemannův integrál reálné funkce jedné reálné proměnné na intervalu $\langle a,b \rangle$.
Analogem intervalu v $\R^2$ je obdélník, tedy kartézský součin dvou intervalů $\langle a_1, b_1 \rangle \times \langle a_2, b_2 \rangle$. Analogem intervalu v $\R^3$ je kvádr, tedy kartézský součin tří intervalů $\langle a_1, b_1 \rangle \times \langle a_2, b_2 \rangle \times \langle a_3, b_3 \rangle$. Obecně, v $\R^n$ se nejprve zabýváme integrací funkcí na množinách tvaru
tedy přes tzv. hyperkvádr (hypercuboid).
Pro jednoduchost a snazší představitelnost se při stručném popisu Riemannovy konstrukce integrálu omezíme na dvě proměnné. V následujících bodech shrneme modifikace Riemannovy konstrukce (Kapitola 3) do světa funkcí více (dvou) proměnných.
Mějme funkci dvou proměnných $f$ definovanou a omezenou na obdélníku $D := \langle a_1, b_1 \rangle \times \langle a_2, b_2 \rangle$.
Pro dělení $\sigma_x = \{x_0 = a_1 < x_1 < \cdots < x_n = b_1\}$ intervalu $\langle a_1, b_1 \rangle$ a $\sigma_y = \{y_0 = a_2 < y_1 < \cdots < y_m = b_2 \}$ intervalu $\langle a_2, b_2 \rangle$ definujme
Množinu $\sigma = \sigma_x \times \sigma_y$ nazveme dělením obdélníku $D$.
Dále definujme dolní a horní součty funkce $f$ na obdélníku $D$ při dělení $\sigma$ předpisy
Nyní pro funkci $f$ a obdélník $D$ definujeme horní a dolní integrál funkce $f$ na obdélníku $D$ následujícím předpisem
Omezenou funkci $f$ nazveme Riemannovsky integrabilní na obdélníku $D$, právě když
Tuto společnou reálnou hodnotu potom nazýváme Riemannovým integrálem funkce $f$ na obdélníku $D$ a značíme ji
Pokud bychom měli funkci $f$ definovanou na hyperkvádru $K \subset \R^n$, pak příslušný Riemannův integrál značíme
Jeho konstrukce probíhá analogicky.
Někdy se vícerozměrnost integrálu zdůrazňuje použitím více symbolů $\int$, tj. například integrál přes obdélník $D \subset \R^2$ nebo kvádr $K \subset \R^3$ bychom označili
Pro větší počet rozměrů než tři to není moc praktické.
Poznamenejme, že Riemannova konstrukce opět dává návod, jak případnou hodnotu Riemannova integrálu hledat numericky. Velmi podobným způsobem jako v případě jedné proměnné. Více se touto problematikou na tomto místě zabírat nebudeme.
Než se pustíme do diskuze vlastností Riemannova integrálu, tak musíme zvětšit množinu množin, přes které má smysl integrovat. S integrací přes hyperkvádry bychom si nevystačili.
Omezíme se opět na dvourozměrný případ $D \subset \R^2$ a zavedeme dva typy množin.
O množině $D \subset \R^2$ řekneme, že
je typu 1, právě když existuje interval $J = \langle a, b \rangle$ a dvě spojité funkce $\varphi_1$ a $\varphi_2$ definované na $J$ a splňující $\varphi_1(x) \leq \varphi_2(x)$ pro všechna $x \in J$ tak, že
je typu 2, právě když existuje interval $J = \langle a, b \rangle$ a dvě spojité funkce $\psi_1$ a $\psi_2$ definované na $J$ a splňující $\psi_1(y) \leq \psi_2(y)$ pro všechna $y \in J$ tak, že
Grafickou ilustraci uvádíme na Obrázku 10.1.
Máme-li nyní množinu $D \subset \R^2$ typu 1 nebo 2, pak Riemannův integrál definujeme takto: množinu $D$ vnoříme do vhodného obdélníku $K$, tj. $D \subset K$, a funkci vně $D$ dodefinujeme/předefinujeme nulou.
Na obdélníku $K \supset D$ definujme funkci
A klademe
kde integrál na pravé straně je definován na začátku této podkapitoly.