Díky Newtonově formuli (Věta 3.6) můžeme nyní relativně snadno přeformulovat metodu integrace pomocí per partes a substituce i pro určitý integrál.
Nechť $f$ a $g$ jsou funkce spojité na $\langle a,b \rangle$, $f$ má spojitou derivaci na intervalu $\langle a,b \rangle$ a nechť $G$ je primitivní funkce k funkci $g$ na intervalu $\langle a,b \rangle$. Potom
Funkce $fG$ je primitivní funkcí k funkci $f'G+fg$ na intervalu $(a,b)$ a spojitá na $\langle a,b \rangle$. Předpoklady spojitosti na intervalu $\langle a,b \rangle$ zaručují existenci integrálů $\int_a^b f'G$ a $\int_a^b fg$. Použijeme-li linearitu integrálu a Newtonovu formuli dostáváme
Čímž je důkaz dokončen.
$\square$
Vypočtěte
Derivujeme $\ln(1+x)$ a integrujeme $1$,
Než se pustíme do formulace substituce v určitém integrálu, tak je vhodné zavést následující značení:
$\displaystyle \int_a^a f \ceq 0$,
pro $a > b$ klademe $\int_a^b f \ceq -\int_b^a f$.
Dále si připomeňte Větu 2.5, jejímž zkombinováním s Větou 3.6 dostaneme následující tvrzení.
Nechť pro funkce $f$ a $\varphi$ platí
$\varphi$ a její derivace $\varphi'$ jsou spojité na $\langle \alpha,\beta \rangle$,
$f$ je spojitá na $\varphi\big(\langle\alpha,\beta\rangle\big)$.
Potom pro Riemannův integrál platí
Podobně lze formulovat i druhou větu o substituci pro určitý integrál.
Vypočtěte integrál
Použijeme substituci $y = \varphi(x) = \frac{1}{2}+e^{-x}$. Potom
Vypočtěte integrál
Pomocí substituce $y=x^4$, $\mathrm{d}y = 4 x^3\dx$, ihned dostáváme
Při integraci lze často využít symetrie integrované funkce. Následující věta mluví o integraci sudých či lichých funkcí na symetrických intervalech a o integraci periodických funkcí.
Nechť $f$ je funkce spojitá na uvažovaných intervalech.
Je-li $f$ sudá funkce na $\langle -a,a \rangle$, pak $\displaystyle\int_{-a}^a f(x) \dx = 2 \int_0^a f(x) \dx$.
Je-li $f$ lichá funkce na $\langle -a,a \rangle$, pak $\displaystyle\int_{-a}^a f(x) \dx = 0$.
Je-li $f$ periodická na $\R$ s periodou $T$, pak pro každé $a,b\in\R$ platí $\displaystyle\int_a^{a+T} f(x)\dx = \int_b^{b+T} f(x) \dx$.
Případ 1. Pomocí substituce $y=-x$ dostáváme
Případ 2. Stejným způsobem jako v prvním bodě odvodíme
Případ 3. Pomocí substituce $y=x+T$ a periodicity $f$ nahlédneme, že
Tím jsme dokázali i poslední bod tvrzení a důkaz je tak dokončen.
$\square$
Vypočítejte integrály
Postupně vypočteme všechny integrály a použijeme předchozí větu.
Pro druhý integrál můžeme psát
V posledním případě je integrand funkce periodická s periodou $\pi$ a navíc sudá, proto
Nechť $f$ je funkce definovaná na intervalu $(a,b)$, kde $-\infty \leq a < b \leq +\infty$. Funkci $F$ splňující podmínku
nazýváme primitivní funkcí k funkci $f$ na intervalu $(a,b)$.
Nechť $f$ je funkce spojitá na intervalu $\langle a,b \rangle$ s primitivní funkcí $F$. Pak pro Riemannův integrál funkce $f$ na intervalu $\langle a,b \rangle$ platí rovnost
Mějme funkci $f$ definovanou a omezenou na uzavřeném intervalu $J$. Pokud pro její dolní a horní integrál na intervalu $J$ platí
pak jejich společnou hodnotu nazýváme Riemannovým integrálem funkce $f$ na intervalu $J$ a toto číslo značíme symboly