V této podkapitole si ukážeme, jak v některých případech lze počítat Riemannův integrál numericky. Na tomto místě je ale vhodné poznamenat, že Riemannova konstrukce uvedená v předchozích částech této kapitoly přímo nabádá k numerickému výpočtu pomocí počítače. Nejvhodnější k tomuto účelu použít integrálních součtů, viz rovnici (3.1).
Téma numerické integrace zde jenom „nakousneme“, pro zvídavé čtenáře a čtenářky může představovat zajímavé doplnění hlavního textu. Postupně si zde ukážeme tři metody.
Buď $f$ spojitá na intervalu $\langle a, b \rangle$. Pro $n \in \mathbb{N}$ a $\Delta \ceq \frac{b-a}{n}$ použijeme ekvidistantní dělení $x_i \ceq a + i\cdot\Delta$, $i = 0,1,\ldots,n$, tedy
Zde $\alpha_i$ v integrálním součtu volíme jako středy dělících intervalů, tedy
Odtud je i patrné, proč mluvíme o středovém pravidlu. Hodnotu integrálu $\int^b_a f(x) \dx$ pak aproximujeme pomocí integrálního součtu
Pro dané $a,b \in \mathbb{R}$ a $n \in \mathbb{N}$ označme aproximaci integrálu $\int^b_a f(x) \dx$ jako
Následující věta nám předem umožňuje při zadané přesnosti určit potřebný počet dělících bodů.
Nechť funkce $f$ má na intervalu $\langle a, b \rangle$ druhou derivaci a existuje $M \in \mathbb{R}$ takové, že $|f''(x)| \leq M$ pro všechna $x \in \langle a, b \rangle$. Potom
Důkaz nyní vynecháváme (potřebujeme k němu Taylorovy polynomy, které ještě nemáme probrané).
Na dílčích intervalech se můžeme pokusit integrovanou funkci aproximovat lineární funkcí, která prochází body $(x_{i-1}, f(x_{i-1}))$ a $(x_{i}, f(x_{i}))$. „Obsah“ plochy pod grafem funkce, resp. $\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x) \,\mathrm{d}x$, pak lze aproximovat obsahem lichoběžníku
Buď $f$ spojitá na intervalu $\langle a, b \rangle$. Pro $n \in \mathbb{N}$ a $\Delta \ceq \frac{b-a}{n}$ použijeme ekvidistantní dělení $x_i \ceq a + i\cdot\Delta$, $i = 0,1,\ldots,n,$ tedy
Hodnotu integrálu $\int^b_a f(x) \dx$ aproximujeme pomocí součtu obsahů lichoběžníků
Pro dané $a,b \in \mathbb{R}$ a $n \in \mathbb{N}$ označme aproximaci integrálu $\int^b_a f(x) \dx$ jako
Nechť funkce $f$ má na intervalu $\langle a, b \rangle$ druhou derivaci a existuje $M \in \mathbb{R}$ takové, že $|f''(x)| \leq M$ pro všechna $x \in \langle a, b \rangle$. Potom
Porovnejte tento výsledek s Větou 3.10. I když se z konstrukce zdá, že jsme od po částech konstantních funkcí přešli k „lepším“ po částech lineárním funkcím, tak odhad chyby je horší!
Na tomto místě zmiňme aspoň jeden sofistikovanější způsob známý jako Simpsonovo pravidlo. Jeho myšlenka opět spočívá v konstrukci dělení $\{ a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b \}$ intervalu $\langle a,b \rangle$. Nyní nahradíme funkci $f$ nad intervalem $\langle x_{i-1}, x_i \rangle$ její kvadratickou interpolací procházející body $\big(x_{i-1}, f(x_{i-1})\big)$, $\big(x_{i}, f(x_{i})\big)$ a $\big((x_{i-1}+x_i)/2, f((x_{i-1}+x_i)/2)\big)$. Hledáme proto kvadratickou funkci $\alpha x^2 + \beta x + \gamma$ splňující
Tyto tři lineární rovnice pro tři neznámé $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ lze vyřešit (explicitní vzorečky pro ně lze nalézt v bi-ma2-m-integrace.nb
notebooku na oficiální stránkách předmětu BI-MA2).
Příspěvek k integrálu na intervalu $\langle x_{i-1}, x_i \rangle$ pak nahradíme skutečným integrálem z této kvadratické funkce (viz Newtonovu formuli 3.6 dále),
Tudíž podle Simpsonova pravidla je přibližnou hodnotou integrálu
hodnota součtu
kde $\sigma = \{a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b \}$ je dělení intervalu $\langle a,b \rangle$.
Pro sudý počet dílčích intervalů (${\color{red}n}$) lze pro odhad integrálu $\int^{b}_{a} f(x) \dx$ použít výraz
Odhad chyby nyní skutečně dostaneme lepší než v předchozích případech.
Nechť funkce $f$ má na intervalu $\langle a, b \rangle$ čtvrtou derivaci a existuje $M \in \mathbb{R}$ takové, že $|f^{(4)}(x)| \leq M$ pro všechna $x \in \langle a, b \rangle$. Potom
Thomas Simpson byl britský matematik žijící v osmnáctém století (1710 – 1761). Přesnost numerických aproximací lze dále vylepšovat použitím interpolací pomocí polynomů vyšších stupňů. My jsme zde použili stupeň $0$ (midpoint), $1$ (trapezoid) a $2$ (Simpson).
Dále lze využívat adaptivní dělení, ne jen ekvidistantní. Tj. snažit se mít více dělících bodů v oblasti, kde se funkce více „mění“.