2.3 Integrace per partes

V předchozí podkapitole jsme zjistili jak hledat primitivní funkci k součtu dvou funkcí a konstantnímu násobku funkce. Nyní se pokusíme hledat primitivní funkci k součinu dvou funkcí. Vyjdeme z věty  o derivaci součinu dvou funkcí.

Věta 2.4 (Metoda per partes (neurčitý integrál) / Integration by parts)

Nechť funkce $f$ je diferencovatelná na intervalu $(a,b)$ a $G$ je primitivní funkce k funkci $g$ na intervalu $(a,b)$ a konečně nechť existuje primitivní funkce k funkci $f^{\prime}G$. Potom existuje primitivní funkce k funkci $fg$ a platí

\begin{equation}\label{eq_per_partes}\tag{2.2} \int fg = f G - \int f^{\prime} G. \end{equation}

Zobrazit důkaz

Tvrzení věty můžeme přímo ověřit derivováním. Podle rovnice (2.1) platí

\begin{equation*} \left( fG - \int f' G \right)' = (fG)' - f'G = f'G + fG' - f'G = fG' = fg. \end{equation*}

Ve výpočtu jsme dále použili známého Leibnizova pravidla pro derivování součinu funkcí.

$\square$

Poznámka 2.5

V některých materiálech naleznete předchozí větu formulovanou pro integrand tvaru součinu funkce a součinu derivace druhé funkce, tj.

\begin{equation*} \int u v' = u v - \int u' v. \end{equation*}

Samozřejmě s vhodnými předpoklady pro funkce $u$ a $v'$ (doplňte!). Naše formulace ve Větě 2.4 je „symetričtější“ vůči funkcím v prvním integrandu. Obě verze jsou ale ekvivalentní a je spíš otázka vkusu a zvyku, kterou použijete.

Poznamenejme, že metoda integrace per partes může být úspěšná pouze pokud budeme schopni dále pracovat s novým integrálem na pravé straně rovnice (2.2), který je obecně stále ve tvaru součinu. Nejedná se o metodu, která „zabere“ na libovolný součin, k tomuto tématu se vrátíme později v podkapitole 2.6. Latinský výraz „per partes“ v češtině znamená „po částech“. Ukažme si použití této metody podrobně na jednoduchých příkladech.

Příklad 2.7

Vypočtěte neurčitý integrál $\displaystyle\int x\sin x \,\dx$.

Pomocí integrace per partes (věta 2.4) dostáváme

\begin{align*} \int x \sin x \,\dx &= -x\cos x + \int \cos x \,\dx = \\ &= -x\cos x + \sin x + C.\end{align*}

Na tomto místě je dobré si uvědomit, že správnost výsledku výpočtu můžeme vždy snadno ověřit pomocí Definice 2.1, tedy derivováním:

\begin{equation*} \big( -x \cos x + \sin x + C \big)' = - \cos x + x \sin x + \cos x + 0 = x \sin x. \end{equation*}

Příklad 2.8

Vypočtěte neurčitý integrál $\displaystyle\int x^2 e^x \,\dx$.

Nyní je potřeba per partes (Věta 2.4) použít dvakrát. Dostáváme

\begin{align*} \int x^2 e^x \,\dx &= x^2 e^x - \int 2x e^x \,\dx = x^2 e^x -2 \int x e^x \,\dx = \\ &= x^2 e^x -2 \left( x e^x - \int e^x \,\dx \right) = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C = \\ &= \big( x^2 - 2x + 2 \big) e^x + C.\end{align*}

V každém použití metody per partes jsme integrovali exponenciální funkci a derivovali zbytek v integrandu.

Příklad 2.9

Vypočtěte neurčitý integrál $\displaystyle\int \arctg x\,\dx$. Integrand sice na první pohled není ve tvaru součinu, ale můžeme postupovat následovně (vzpomeňte si, že $(x)' = 1$):

\begin{align*} \int \arctg x\,\dx &= \int {\color{red}1} \cdot \arctg x\,\dx = x \arctg x - \int \frac{x}{1+x^2} \,\dx = \\ &= x \arctg x - \frac{1}{2} \int \!\!\! \underbrace{\frac{2x}{1+x^2}}_{\left( \ln(1+x^2) \right)'} \!\!\! \dx = x \arctg x - \frac{1}{2} \ln\big( 1 + x^2 \big) + C.\end{align*}

Při výpočtu jsme dále využili Poznámku 2.3.

Otázka 2.2

Pomocí metody integrace per partes nalezněte primitivní funkci k funkci $\ln(x)$.

Zobrazit odpověď

Primitivní funkcí je funkce $x \cdot \ln(x) - x + C$.

Otázka 2.3

Předpokládejme, že po (i několikanásobné) integraci per partes dojdeme v novém integrálu k tomu, s kterým jsme začali, tedy dostaneme vztah

\begin{equation*} \int f(x) g(x) \,\dx = h(x) + \alpha \int f(x) g(x) \,\dx, \end{equation*}

kde $h$ je jistá funkce a $\alpha$ konstanta. Za jakého předpokladu o $\alpha$ můžeme rovnou učinit závěr o hodnotě hledaného integrálu? A jaký tento závěr je?

Zobrazit odpověď

Pokud $\alpha \neq 1$, pak $\displaystyle \int f(x) g(x) \,\dx = \frac{h(x)}{1 - \alpha} + C$.