Nejprve zformalizujme pozorování učiněné před definicí charakteristického polynomu.
Jestliže $\lambda$ je charakteristickým číslem homogenní LRR s konstantními koeficienty řádu $k\in\N$
pak posloupnost $(\lambda^n)_{n=n_0}^\infty$ je jejím řešením.
Číslo $\lambda$ splňuje $p(\lambda) = \lambda^k + c_{k-1} \lambda^{k-1} + \cdots + c_1 \lambda + c_0 = 0$ a proto
pro každé $n \geq n_0$.
$\square$
Pomocí charakteristických čísel můžeme zkonstruovat bázi $S_0$. Nejprve prozkoumejme jednoduchý případ, kdy všechna mají násobnost15 $1$, tj. když jsou všechna tzv. jednoduchá.
Uvažujme homogenní LRR s konstantními koeficienty řádu $k \in \N$
Jestliže má $k$ vzájemně různých charakteristických čísel $\lambda_i$, $i\in\hat{k}$, pak soubor posloupností $(\lambda_i^n)_{n=n_0}^\infty$, $i\in\hat{k}$, tvoří bázi $S_0$, tedy libovolné řešení $(x_n)_{n=n_0}^\infty \in S_0$ je tvaru
pro nějaké konstanty $\alpha_1, \ldots, \alpha_k$.
V důkazu budeme potřebovat následující lineárně–algebraické pomocné tvrzení.
Mějme vzájemně různá čísla $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ a označme (tzv. Vandermondův determinant)
Potom $\displaystyle V(\lambda_1,\ldots,\lambda_k) = \prod_{1 \leq i < j \leq k} (\lambda_j - \lambda_i) \neq 0$.
Postupně učiňme následující pozorování:
Z vlastností determinantu plyne, že funkce $\lambda \mapsto V(\lambda_1,\ldots,\lambda_{k-1},\lambda)$ je polynom stupně $k-1$ v proměnné $\lambda$ a má kořeny $\lambda_1,\ldots,\lambda_{k-1}$. Platí proto
kde $\alpha$ je zatím neznámá konstanta.
Rozvojem podle posledního sloupce determinantu (6.9) ihned vidíme, že koeficient $\alpha$ u nejvyšší mocniny (tj. $\lambda^{k-1}$) splňuje $\alpha = V(\lambda_1, \ldots, \lambda_{k-1})$.
Hledaný determinant proto splňuje rekurenci
a počáteční podmínku $V(\lambda_1, \lambda_2) = \lambda_2 - \lambda_1$.
Odtud už vidíme platnost dokazovaného tvrzení.
$\square$
Z Věty 6.4 již víme, že každá z posloupností $(\lambda_i^n)_{n=n_0}^\infty$, $i\in\hat{k}$, patří do $S_0$. Všechna $\lambda_i$ jsou nenulová, protože $c_0 \neq 0$. Tvoří těchto $k$ posloupností LN soubor? Pokud ano, pak bude důkaz dokončen, protože dimenze $S_0$ je rovna $k$ (viz Větu 6.3).
Nechť lineární kombinace $(x_n)_{n=n_0}^\infty = \left(\sum_{i=1}^k \alpha_i \lambda_i^n\right)_{n=n_0}^\infty$ je nulová posloupnost. Zapíšeme-li rovnosti $x_{n_0} = 0$, $x_{n_0 + 1} = 0$, …, $x_{n_0 + k - 1} = 0$ vzhledem k neznámým $\alpha_1 \lambda_1^{n_0},\ldots,\alpha_k \lambda_k^{n_0}$, dostaneme homogenní lineární soustavu
kde matice soustavy je regulární (Vandermondova matice, Lemma 6.1) a proto řešením této soustavy je pouze $\alpha_i \lambda_i^{n_0} = 0$, $i \in \hat{k}$, a díky nenulovosti $\lambda_i$ pak nutně i $\alpha_i = 0$ pro $i \in \hat{k}$.
$\square$
Uvažme homogenní LRR druhého řádu s konstantními koeficienty
Pro její charakteristický polynom platí
A má proto dva vzájemně různé kořeny $\lambda_1 = -1$ a $\lambda_2 = -2$, každý násobnosti $1$.
Množina $S_0$ všech řešení výše uvedené LRR má proto tvar
Tj. každé řešení $(x_n)_{n=0}^\infty$ z $S_0$ je tvaru $x_n = \alpha (-1)^n + \beta (-2)^n$, $n \in \N_0$, kde $\alpha,\beta$ jsou nějaké konstanty.
Charakteristický polynom může mít přirozeně kořeny vyšší násobnosti, než je $1$. Jak zkonstruovat bázi $S_0$ v tomto případě? Dimenze prostoru $S_0$ pro LRR řádu $k$ bude stále $k$, ale vzájemně různých charakteristických čísel budeme mít méně než $k$. Otázkou vytvoření dalších řešení v této situaci se zabývá následující věta.
Jestliže $\lambda$ je charakteristickým číslem homogenní LRR řádu $k\in\N$ s konstantními koeficienty
a jeho násobnost je $m$, pak posloupnosti $(\lambda^n)_{n=n_0}^\infty$, $(n\lambda^n)_{n=n_0}^\infty$, …, $(n^{m-1}\lambda^n)_{n=n_0}^\infty$ jsou jejím řešením a tvoří LN soubor.
Na tomto místě důkaz v plné podrobnosti dělat nebudeme. Spokojíme se s ilustrací klíčové myšlenky v případě dvojnásobného charakteristického čísla.
Mějme $\lambda$ dvojnásobný kořen charakteristického polynomu $p(z) = z^k + \sum_{i=0}^{k-1} c_i z^i$. Protože $c_0 \neq 0$, je i $\lambda \neq 0$
Ve faktorizaci polynomu $p(z)$ se kořenový činitel $(z - \lambda)$ vyskytuje v druhé mocnině a proto nutně platí i $p'(\lambda) = 0$ (představte si derivování součinu kořenových činitelů, v každém sčítanci zbude alespoň jedna mocnina $(z - \lambda)$). Proto platí $p(\lambda) = 0$ a i $p'(\lambda) = 0$.Z dřívější diskuze již víme, že $(\lambda^n)_{n=n_0}^\infty$ je řešení. Nyní ověřme to samé pro $(n\lambda^n)_{n=n_0}^\infty$. Dosazením do levé strany rekurence a využitím nenulovosti $\lambda$ dostáváme
Zbývá rozmyslet lineární nezávislost. Platí-li $\alpha \lambda^n + \beta n\lambda^n = 0$, $n \geq n_0$ a $\lambda \neq 0$ pak nutně (napište si první dvě rovnice) $\alpha = \beta = 0$.
$\square$
Poznamenejme, že pro vyšší násobnosti bude potřeba využít vyšších derivací charakteristického polynomu. Důkaz lineární nezávislosti obecně vede na podobné úvahy jako v případě Vandermondova determinantu.
V obecném případě můžeme konstrukci řešení homogenní LRR shrnout v následující větě.
Uvažujme homogenní LRR řádu $k \in \N$ s konstantními koeficienty
Jestliže má $K$ vzájemně různých charakteristických čísel $\lambda_i$, $i\in\hat{K}$, každé s násobností $m_i \in \hat{k}$, pak soubor posloupností
tvoří bázi $S_0$.
Využíváme dřívějších tvrzení. Formální ověření LN vynecháváme.
$\square$
Uvažme homogenní LRR třetího řádu s konstantními koeficienty
Pro její charakteristický polynom platí
A má proto dva vzájemně různé kořeny $\lambda_1 = -2$ (dvojnásobný) a $\lambda_2 = 2$ (jednoduchý). Množina $S_0$ všech řešení výše uvedené LRR má proto tvar
Tj. každé řešení $(x_n)_{n=0}^\infty$ z $S_0$ je tvaru $x_n = \alpha 2^n + \beta (-2)^n + \gamma n(-2)^n$, $n \in \N_0$, kde $\alpha,\beta,\gamma$ jsou nějaké konstanty.
Nalezněte všechna řešení homogenní LRR druhého řádu s konstantními koeficienty
Charakteristickým polynomem je v tomto případě
a má dva čistě imaginární (komplexní) kořeny $\lambda_\pm = \pm i$. Dříve zmíněná tvrzení stále platí (komplexnost kořenů nehraje roli). Libovolné řešení této LRR je tvaru
To ale není pěkné! Začneme-li s reálnými počátečními podmínkami, tak původní „reálný“ problém bude mít jistě reálné řešení! Nutnost vyjadřovat pomocí výrazů s imaginárními jednotkami bychom se tedy měli být schopni zbavit.
A to skutečně jde, vzpomeneme-li si na Moivreovu větu
a vyjádříme-li řešení ve tvaru
Místo posloupnosti $(i^n)_{n=0}^\infty$ a $\big((-i)^n\big)_{n=0}^\infty$ proto v této situaci použijeme lineární kombinaci $\big(\sin \frac{\pi n}{2}\big)_{n=0}^\infty$ a $\big(\cos \frac{\pi n}{2}\big)_{n=0}^\infty$ k vyjádření obecného řešení ve tvaru
kde $\tilde\alpha$ a $\tilde\beta$ jsou nějaké konstanty.
Lze postup v předchozím příkladu zobecnit? Ano! Postup lze shrnout do následujících bodů.
Mějme LRR s konstantními koeficienty a buď $p(\lambda)$ její charakteristický polynom (mající reálné koeficienty, viz definice LRR).
Je-li $\lambda$ charakteristické číslo, které je komplexní a není reálné, pak i $\bar{\lambda}$ (číslo komplexně sdružené k $\lambda$) je charakteristické číslo naší LRR.
Vyjádřeme toto $\lambda$ v polárním tvaru jako
kde $r > 0$ a $\varphi \in \langle 0, 2\pi)$. Potom $\bar{\lambda} = r \cdot (\cos \varphi - i\sin \varphi)$.
Použijeme-li opět Moivreovu větu, pak vidíme, že při konstrukci $S_0$ můžeme místo posloupností $(\lambda^n)_{n=n_0}^\infty$ a $(\bar{\lambda}^n)_{n=n_0}^\infty$ použít dvojici posloupností
V případě vyšších násobností stačí vše navíc ještě vynásobit příslušnými mocninami $n$.
Uvažme LRR $k$-tého řádu s konstantními koeficienty a nulovou pravou stranou. Bázi $\mathcal{B}$ podprostoru $S_0$ konstruujeme v následujících krocích:
Sestavme charakteristický polynom $p(\lambda)$ a nalezněme jeho kořeny.
Za každé reálné charakteristické číslo $\lambda$ přidáme do $\mathcal{B}$ posloupnost $(\lambda^n)_{n=n_0}^\infty$.
Za každé reálné charakteristické číslo $\lambda$ násobnosti $m > 1$ přidáme do $\mathcal{B}$ posloupnosti $(n \lambda^n)_{n=n_0}^\infty$, …, $(n^{m-1}\lambda^n)_{n=n_0}^\infty$.
Za každá dvě komplexně sdružená charakteristická čísla $\lambda = r(\cos \varphi \pm i \sin \varphi)$, která nejsou reálná, přidáme do souboru $\mathcal{B}$ dvě reálné posloupnosti $(r^n \cos n\varphi)_{n=n_0}^\infty$ a $(r^n \sin n\varphi)_{n=n_0}^\infty$.
Za každá dvě komplexně sdružená charakteristická čísla $\lambda = r(\cos \varphi \pm i \sin \varphi)$, která nejsou reálná a mají násobnost $m > 1$, přidáme do souboru $\mathcal{B}$ reálné posloupnosti $(n r^n \cos n\varphi)_{n=n_0}^\infty$, …, $(n^{m-1} r^n \cos n\varphi)_{n=n_0}^\infty$ a dále $(n r^n \sin n\varphi)_{n=n_0}^\infty$, …, $(n^{m-1} r^n \sin n\varphi)_{n=n_0}^\infty$.
Uvažme homogenní LRR druhého řádu s konstantními koeficienty
s počátečními podmínkami $x_0 = x_1 = 1$. Tj. Fibonacciho posloupnost. Nalezněme explicitní vyjádření jejího $n$-tého členu.
Charakteristickým polynomem této LRR je polynom $p(\lambda) = \lambda^2 - \lambda - 1$, který má dva vzájemně různé reálné kořeny $\lambda_\pm = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Libovolné řešení naší homogenní LRR je tedy tvaru
Vhodnou volbou konstant $\alpha_\pm$ nyní splníme počáteční podmínky. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých $\alpha_\pm$
má právě jedno řešení $\alpha_+ = \frac{\lambda_+}{\sqrt{5}}$ a $\alpha_- = - \frac{\lambda_-}{\sqrt{5}}$.
Závěr: Pro $n$-tý člen Fibonacciho posloupnosti platí
K řešení předchozího příkladu, explicitnímu vyjádření $n$-tého členu Fibonacciho posloupnosti, uveďme několik komentářů.
Pro hodnoty $\lambda_\pm$ platí
Hodnota $\lambda_+$ je také známá jako tzv. zlatý řez a označuje se často symbolem $\varphi$.
Povedlo se nám od rekurentní definice Fibonacciho posloupnosti přejít k jejímu vyjádření v uzavřeném tvaru. Vedle toho máme i přesnou informaci o jejím asymptotickém chování, konkrétně
Tato informace není na první pohled na definiční rekurenci vůbec patrná!
Charakteristickým polynomem rovnice (6.8) nazýváme polynom stupně $k$ tvaru
Kořeny tohoto polynomu se nazývají charakteristická (nebo vlastní) čísla rovnice (6.8).
Lineární rekurentní rovnice řádu $k \in \N$ s konstantními koeficienty je lineární rekurentní rovnice řádu $k$ tvaru
kde $n_0 \in \Z$ a $c_{i} \in \R$, $i = 0,1,\ldots,k-1$, $c_0 \neq 0$, jsou zadané konstanty a $(b_n)_{n=n_0}^\infty$ je zadaná posloupnost.
Nechť je dána lineární rekurentní rovnice řádu $k \in \N$,
Jejím řešením nazveme libovolnou posloupnost $(x_n)_{n=n_0}^\infty$ takovou, že dosazením jejích členů do (6.3) dostaneme pravdivé rovnosti pro každé celočíselné $n \geq n_0$.
Lineární rekurentní rovnice řádu $k \in \N$ s konstantními koeficienty je lineární rekurentní rovnice řádu $k$ tvaru
kde $n_0 \in \Z$ a $c_{i} \in \R$, $i = 0,1,\ldots,k-1$, $c_0 \neq 0$, jsou zadané konstanty a $(b_n)_{n=n_0}^\infty$ je zadaná posloupnost.
Charakteristickým polynomem rovnice (6.8) nazýváme polynom stupně $k$ tvaru
Kořeny tohoto polynomu se nazývají charakteristická (nebo vlastní) čísla rovnice (6.8).
Charakteristickým polynomem rovnice (6.8) nazýváme polynom stupně $k$ tvaru
Kořeny tohoto polynomu se nazývají charakteristická (nebo vlastní) čísla rovnice (6.8).
Lineární rekurentní rovnice řádu $k \in \N$ s konstantními koeficienty je lineární rekurentní rovnice řádu $k$ tvaru
kde $n_0 \in \Z$ a $c_{i} \in \R$, $i = 0,1,\ldots,k-1$, $c_0 \neq 0$, jsou zadané konstanty a $(b_n)_{n=n_0}^\infty$ je zadaná posloupnost.
Lineární rekurentní rovnice řádu $k \in \N$ s konstantními koeficienty je lineární rekurentní rovnice řádu $k$ tvaru
kde $n_0 \in \Z$ a $c_{i} \in \R$, $i = 0,1,\ldots,k-1$, $c_0 \neq 0$, jsou zadané konstanty a $(b_n)_{n=n_0}^\infty$ je zadaná posloupnost.
Charakteristickým polynomem rovnice (6.8) nazýváme polynom stupně $k$ tvaru
Kořeny tohoto polynomu se nazývají charakteristická (nebo vlastní) čísla rovnice (6.8).