3.4 Výpočet obsahů plošných útvarů

Z geometrické interpretace Riemannova integrálu přímo plyne následující tvrzení umožňující počítat obsahy různých zakřivených rovinných útvarů. Pro ilustraci uvádíme i Obrázek 3.10.

Poznámka 3.3

Určitý integrál interpretujeme jako obsah plochy mezi grafem funkce a osou $x$. Ovšem tento obsah se počítá i se znaménkem:

\begin{equation*} \int_0^\pi \sin(x) \mathrm{d} x = 2, \quad \int_0^{2\pi} \sin(x) \mathrm{d} x = 0, \quad \int_\pi^{2\pi} \sin(x) \mathrm{d} x = -2. \end{equation*}

Viz Obrázek 3.9.

Obrázek 3.9: Určitý integrál funkce $\sin$ na intervalu $\langle 0,2\pi \rangle$ je roven nule!

Snadno ale můžeme počítat i obsah plochy ohraničené dvěma grafy (vhodně odečteme plochy pod příslušnými grafy).

Pozorování 3.1 (O obsahu plochy ohraničené grafy funkcí)

Nechť $f$ a $g$ jsou funkce spojité na $\langle a,b \rangle$ takové, že $f(x) \geq g(x)$ pro každé $x\in\langle a,b \rangle$. Pak obsah plochy $P$ ohraničené přímkami $x = a$ a $x = b$ a grafy funkcí $f$ a $g$ je roven

\begin{equation*} P = \int_a^b \big( f(x) - g(x) \big) \,\dx. \end{equation*}

Obrázek 3.10: Obsah plochy ohraničené dvěma grafy funkcí.
Příklad 3.11

Vypočtěte obsah $S$ elipsy s hlavní poloosou $a$ a vedlejší poloosou $b$.

Rovnice elipsy je $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. Vzhledem k osovým symetriím stačí spočítat čtvrtinu obsahu (viz Obrázek 3.11). Vrchní oblouk elipsy patřící do prvního kvadrantu je popsán funkcí ${\color{red}f}(x) = b \sqrt{1-x^2/a^2}$, $D_{\color{red}f} = \langle 0,a \rangle$. Tudíž, použijeme-li substituci $x = a \sin t$,

\begin{equation*} \begin{aligned} \frac{1}{4} S &= \int_0^a f(x) \,\dx = b \int_0^a \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\,\dx = b \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin^2(t)} \cdot a\cos(t)\,\dt = \\ &= ab\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(t) \,\dt = \frac{\pi}{4} ab. \end{aligned} \end{equation*}

Pro celkovou plochu tak dostáváme $S=\pi ab$.

Obrázek 3.11: K výpočtu plošného obsahu elipsy.
Příklad 3.12

Spočítejte obsah plochy ohraničené křivkami $y = x^3$ a $y = x$. Tato plocha je vyobrazena na Obrázku 3.12.

Nejprve nalezneme průsečíky grafů. Řešením rovnice $x^3 = x$ jsou $x=-1$, $x=1$ a $x=0$. Dostáváme proto průsečíky

\begin{equation*} (-1,-1), \ (1,1) \ \text{a} \ (0,0). \end{equation*}

Z náčrtku (resp. průběhu) je pak patrné, že obsah plochy je

\begin{equation*} S = 2 \int_{0}^1 \big( x - x^3 \big) \dx = 2 \bigg[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \bigg]_0^1 = 2 \bigg( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \bigg) = \frac{1}{2}. \end{equation*}

Obrázek 3.12: Plocha ohraničená křivkami $y=x^3$ a $y=x$.
Příklad 3.13

Nalezněte obsah plochy ohraničené křivkami

\begin{equation*} y = \frac{1}{4} x^2 - 1, \quad y = 1 - \frac{1}{4} x^2, \quad x^2 + y^2 = 1, \end{equation*}

která je vyobrazena na Obrázku 3.13.

Obsah útvaru bez vyjmuté kružnice je

\begin{equation*} \int_{-2}^2 \bigg( 1 - \frac{1}{4} x^2 \bigg) - \bigg( \frac{1}{4} x^2 - 1 \bigg) \,\dx = 2\int_0^2 2 - \frac{1}{2} x^2 \,\dx = 2\Big[ 2x - \frac{x^3}{6} \Big]_0^2 = \frac{16}{3}. \end{equation*}

Takže plocha našeho útvaru je

\begin{equation*} S = \frac{16}{3} - \pi. \end{equation*}

Obrázek 3.13: Sauronovo oko. Červená křivka představuje graf funkce $y = \frac{1}{4} x^2 - 1$, modrá křivka graf funkce $y = 1 - \frac{1}{4} x^2$.