Metoda integrace per partes byla založena na znalosti derivace součinu dvou funkcí. Ze znalosti derivace složené funkce nyní odvodíme metodu integrace pomocí substituce.
Nechť pro funkce $f$ a $\varphi$ platí
$f$ má primitivní funkci $F$ na intervalu $(a,b)$,
$\varphi$ je na intervalu $(\alpha,\beta)$ diferencovatelná,
$\varphi\big((\alpha,\beta)\big) \subset (a,b)$.
Pak funkce $f\big(\varphi(x)\big)\cdot\varphi^{\prime}(x)$ má primitivní funkci na intervalu $(\alpha,\beta)$ a platí
kde $C$ je integrační konstanta.
$F$ je primitivní funkcí k funkci $f$, tj. $F'(x) = f(x)$ pro každé $x\in(a,b)$. Podle věty o derivaci složené funkce dostaneme
pro každé $x\in(\alpha,\beta)$.
$\square$
Vypočtěte
Použijeme substituci $y=\varphi(x) = \frac{1}{x}$. Potom $\varphi'(x) = - \frac{1}{x^2}$. Proto
Čímž je výpočet dokončen. Výsledek platí na libovolném otevřeném intervalu ležícím v $\R \smallsetminus \{0\}$.
Vypočtěte neurčitý integrál
Výpočet provedeme na intervalu $(0, +\infty)$ což je největší interval, na kterém je integrand definován. Pro substituci použijeme $y = \varphi(x) = \sqrt{x}$, pro jejíž derivaci platí $\varphi'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Tudíž,
Výsledek platí na intervalu $(0, +\infty)$, protože funkce $\arctg y$ je primitivní funkcí k $\frac{1}{1 + y^2}$ na $\varphi((0,+\infty)) = (0,+\infty)$.
Nalezněte primitivní funkci k funkci $f(x) = \tg(x)$ na intervalu $J = \Big( \frac{\pi}{2}, \ \frac{3\pi}{2} \Big)$.
Funkce $f$ je na intervalu $J$ spojitá a má zde tedy primitivní funkci. Nejprve upravme integrand
Použijeme větu o substituci (2.5), kde zvolíme $f(y) = \frac{1}{y}$ a $y=\varphi(x) = \color{red}\cos(x)$. Funkce $\varphi$ zobrazuje interval $J$ na interval $(-1,0)$ kde má $f$ primitivní funkci $F(y) = \ln(-y)$. Navíc $\varphi'(x) = {\color{blue}- \sin(x)}$. Větu lze tudíž použít a dostáváme
Často se též substituce zapisuje jako $y=\cos x$, $\mathrm{d}y = -\sin x \,\dx$ a
V předchozí Větě 2.5 (O substituci I) byla stará integrační proměnná $x$ s novou integrační proměnnou $y$ svázána předpisem tvaru $y = \varphi(x)$. V následující větě naopak klademe $x = \varphi(y)$, čili $y = \varphi^{-1}(x)$. Tato varianta substituce bude tedy zřejmě založena na schopnosti derivovat inverzní funkci (viz větu O derivaci inverzní funkce).
Nechť $f$ je definována na intervalu $(a,b)$ a nechť $\varphi$ je bijekce intervalu $(\alpha,\beta)$ na $(a,b)$ s nenulovou konečnou derivací. Pak platí
kde $C$ je integrační konstanta.
Pomocí věty o derivaci složené funkce a věty o derivaci inverzní funkce ověříme správnost tvrzení. Platí
Rozmyslete splnění předpokladů uvedených vět plynoucí z předpokladů právě dokazované věty.
$\square$
Pomocí předchozí věty vypočtěte (již známý) integrál
Integrand
je definován na intervalu $(a,b) = (-1,1)$. Abychom se zbavili odmocniny ve jmenovateli položme
Funkce $\sin$ je na intervalu $(\alpha,\beta)$ rostoucí s nenulovou derivací $\varphi'(t) = \cos t$. Dále
Protože $t = \varphi^{-1}(x) = \arcsin(x)$ uzavíráme,
Vypočtěte
Podobně jako v předchozím případě se lze zbavit odmocniny. Nyní je však integrand definován na $\R$. Zvolíme-li
pak
Protože $\varphi'(t) = \frac{e^t + e^{-t}}{2}$ dostáváme
Funkce $\varphi$ zobrazuje $\R$ na $\R$ a je monotónně rostoucí s nenulovou derivací. K dokončení příkladu je nutné nalézt její inverzi. Pokud $x = \varphi(t)$, pak
Odtud
Smysl v našem případě má pouze znaménko plus, protože $e^t > 0$. Tudíž,
Uzavíráme