9 Extrémy funkcí více proměnných

Co mají následující úlohy společného?

  • Jak rovnoměrně rozmístit objekty na tiskovou podložku 3D tiskárny?

  • Jak „naučit“ neuronovou síť vykonávat jistý úkol?

  • Jak z několika potravin s různým složením vytvořit optimální jídelníček splňující zadaná dietologická kritéria?

  • Jak na desku optimálně rozmístit elektronické součástky při splnění zejména prostorových omezení a nákladnosti výroby?

  • Jak nalézt co nejkratší (nebo nejlevnější) trasu mezi zadanými místy?

Pod každou z těchto úloh ve skutečnosti leží optimalizační úloha, tedy úloha nalézt minimum/maximum jisté funkce (potenciálně opravdu mnoha proměnných) za jistých omezujících podmínek.

V maximální obecnosti by matematická formulace „obecné optimalizační úlohy“ mohla znít následovně:

Poznámka 9.1 (Obecná optimalizační úloha)

Nalezněte maximum, resp. minimum, (existuje-li; alespoň lokální) funkce $f: D_f \to \R$, kde $D_f \subset \R^n$, na množině

\begin{equation*} M = \{ \vx \in D_f \mid g_i(\vx) = 0, \ i \in \hat I, \ h_j(\vx) \leq 0, \ j \in \hat J \}, \end{equation*}

tj. $\max_M f$, resp. $\min_M f$, kde $I$ a $J$ jsou nezáporná celá čísla a $g_i$ a $h_j$ funkce s definičními obory ležícími v $\R^n$, $i \in \hat I$, $j \in \hat J$, připouštíme i $I$ nebo $J$ nulové a pak odpovídající podmínky nemáme ($\hat 0 = \emptyset$).

Podle různých situací rozlišujeme celé ZOO různých typů této optimalizační úlohy (pouze lineární funkce, pouze kvadratické funkce, konvexní funkce, funkce definované na $\Z^n$ nebo dokonce jenom $\{0,1\}^n$,…). Např. pod úlohou „lineárního programování“ se většinou myslí optimalizační úloha s lineární objektivní funkcí a lineárními rovnostními nebo nerovnostními omezeními.

V BI-MA2 se budeme věnovat pouze úvodu do problematiky a úlohám bez rovnostních i bez nerovnostních omezení a s reálnými proměnnými. Tj. úloze nalézt (lokální) minima/maxima reálné funkce více reálných proměnných.

Koncepty, které zde zavedeme, hrají ale důležitou roli i v případě úloh s omezeními, nebo v případě implementace numerických algoritmů snažících se tyto úlohy řešit. Úlohy s omezeními potkáte v magisterském povinném předmětu  NI-MPI nebo ve specializovaných předmětech  NI-LOM NI-NON, nebo  NI-KOP, ale i jinde.

9.1 Definice pojmů

9.2 Nutné podmínky existence lokálního extrému

9.3 Postačující podmínka existence lokálního extrému

9.4 Příklady

9.5 Spádové metody

9.6 Gradientová metoda / Gradientní sestup

9.7 Newtonova metoda