Tuto kapitolu uzavřeme několika řešenými příklady, které ukazují mnohostranné použití Taylorovy věty (Věta 5.4).
Nalezněte vzorec pro výpočet hodnoty funkce $\sin$ pro všechna reálná $x$ s přesností $10^{-7}$. Díky periodicitě a tvaru11 funkce $f = \sin$ stačí nalézt vzorec s požadovanou přesností pro $x$ z intervalu $(0,\frac{\pi}{2})$.
Podle Taylorovy věty pro $(2n+2)$-tý Taylorův polynom se středem v $0$ platí
Indexy u symbolu $\xi_{n,x}$ nám připomínají, že tento závisí na $x$ a $n$.
Protože derivace lichého řádu funkce $\sin$ je – až na střídající se znaménko – funkce $\cos$, můžeme zbytek pro $x\in\big(0,\frac{\pi}{2}\big)$ odhadnout:
Hodnoty $a_n$ jsou uvedeny v tabulce 5.2. Vidíme, že pro $n=5$ je $a_n$ poprvé menší než $10^{-7}$. Tudíž můžeme uzavřít, že se pro každé $x\in\big(0,\frac{\pi}{2}\big)$ hodnota $\sin(x)$ liší od výrazu
nejvýše o $10^{-7}$.
O úskalích implementace funkce $\sin$ využívající právě zde uvedený přístup se můžete dozvědět více v tomto článku na MARASTu.
\(n\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|
\(a_n\) | \(8.0\cdot10^{-2}\) | \(4.7\cdot10^{-3}\) | \(1.6\cdot10^{-4}\) | \(3.6\cdot10^{-6}\) | \(5.7\cdot10^{-8}\) | \(6.7\cdot10^{-10}\) |
Tabulka 5.2: K příkladu 5.10 o aproximaci funkce sinus.
Následující příklad ukazuje, že situace není vždy zcela růžová a pokus o aproximaci pomocí Taylorových polynomů nikam nevede.
Z předchozího výkladu by mohl čtenář získat dojem, že k zlepšení přesnosti aproximace funkce $f$ pomocí jejího Taylorova polynomu $T_n$ je vždy dostačující zvolit vhodně velké $n$. V tomto příkladu si ukážeme příklad funkce, která tuto domněnku vyvrací. Uvažme funkci
Graf této funkce je uveden na obrázku 5.7. Čtenář si samozřejmě průběh této funkce může vyšetřit sám.
Pojďme vypočítat její $n$-tý Taylorův polynom v bodě $a=0$. Její derivaci v nule musíme spočítat z definice (pokud bychom zderivovali funkční předpis pro $f(x)$ pro nenulová $x$, tak dostaneme derivaci jen pro nenulová $x$), tedy
Nyní se zamysleme nad tím, jak budou vypadat derivace funkce $f$ vyšších řádů pro nenulová $x$. Tvrdíme, že pro $x \neq 0$ a $k \in \mathbb{N}$ platí
kde $P_k(z)$ je polynom stupně $2k-2$. Toto tvrzení můžeme snadno dokázat indukcí. Pro $k = 1$ máme
tj. $P_k(z) = 1$. Nechť nyní tvrzení platí pro $k \in \mathbb{N}$, proveďme indukční krok
na pravé straně opravdu vidíme, že $P_{k+1}(z)$ je polynom stupně $2 + 2k-2 = 2k$.
Nyní opět matematickou indukcí dokažme, že $f^{(k)}(0) = 0$ pro přirozené $k$. Pro $k = 1$ jsme toto tvrzení již ověřili. předpokládejme, že tvrzení platí pro $k\in\mathbb{N}$. Potom analogickým výpočtem jako výše dostáváme
Pro $n$-tý Taylorův polynom této funkce proto platí $T_n(x) = 0$. Ať je $n$ jaké chce, tak stále máme nulový polynom. Pro tuto funkci je tedy hodnota $f(x)$ totožná s hodnotu $R_n(x)$ pro libovolné $x$. Poloměr konvergence příslušné Taylorovy řady je triviálně nekonečný.
Taylorovy polynomy nejsou jediným nástrojem použitelným pro výpočet funkčních hodnot elementárních funkcí. Tuto kapitolu zakončíme dvěmi krátkými poznámkami tímto směrem.
Kapesní kalkulátory většinou přímo nepoužívají mocninné rozvoje pro výpočet hodnot trigonometrických funkcí ($\sin$, $\cos$, $\mathrm{tan}$, atd.). Často využívají algoritmus CORDIC. Ten k výpočtu například funkčních hodnot funkce $\sin$ rafinovaně využívá
součtové vzorce pro trigonometrické funkce,
vzorky, tj. v programu uložené hodnoty funkce $\sin$ předem napočtené (například pomocí Taylorova polynomu) pro jistou množinu úhlů.
První implementace tohoto algoritmu pochází z roku 1959 a byla využita v navigačním počítači bombardéru B-58.
Padého aproximace funkcí místo polynomů využívá racionální lomené funkce, tj. podíl dvou polynomů. Takováto funkce je stále elementární v tom smyslu, že její funkční hodnoty lze počítat opět pouze pomocí algebraických operací sčítání, násobení a dělení čísel. Je-li $f$ zadaná funkce tak se Padého metoda snaží najít polynomy $P(x)$ a $Q(x)$ takové, aby rovnost
přibližně platila na okolí zadaného bodu.