Vzpomeňte si, jak v BI-MA1 celá řada pojmů vycházela z pojmu okolí bodu na reálné ose. Naším prvním krokem proto bude rozšíření pojmu okolí i do vektorového prostoru $\R^n$. Na prvky $\R^n$ se budeme dívat také jako na body, jejich vektorovost pro naše úvahy často není podstatná. Tj. o $\vx$ podle kontextu mluvíme buď jako o „vektoru“ nebo „bodu“.
Nejprve v našem prostoru $\R^n$ musíme umět měřit vzdálenost dvou bodů. Toho docílíme využitím vektorové struktury tohoto prostoru a možnosti měřit délku vektoru.
Euklidovskou normu vektoru $\vx \in \R^n$ definujeme předpisem
Euklidovskou vzdálenost dvou bodů $\vx \in \R^n$ a $\vy \in \R^n$ pak představuje číslo
Povšimněte si, že Euklidovská norma je tzv. indukována standardním skalárním součinem19
tj. $\|\vx\| = \sqrt{\langle \vx \,|\, \vx \rangle}$. Prostor $\R^n$ od tohoto okamžiku považujeme za vybavený Euklidovskou normou $\|\vx\|$ a vzdáleností $d(\vx,\vy)$. Jiné normy a vzdálenosti nebudeme zatím přímo uvažovat (i když bychom mohli, ale nic bychom v našem konečnědimenzionálním případě nezískali20). Grafické znázornění situace v rovině $\R^2$ uvádíme na Obrázku 7.2.
Euklidovská norma a standardní skalární součin mají řadu užitečných vlastností, které je důstojné formálně vyslovit a dokázat. Následujicí tvrzení také někdy naleznete pod jménem Cauchyho–Schwarzova nerovnost.
Pro každé $\vx,\vy\in\R^n$ platí nerovnost
Navíc rovnost nastává právě tehdy, když jeden z vektorů je násobkem druhého.
Skutečně, pro každé $\alpha\in\R$ a $\vx,\vy\in\R^n$ platí (rozepište!)
A pro diskriminant $D$ tohoto kvadratického polynomu (v $\alpha$) pak nutně platí
Což po jednoduchých úpravách dává přesně nerovnost (7.3).
Konečně pak také vidíme, že rovnost v (7.3) nastává právě tehdy, když $D = 0$, čili když uvedený polynom má dvojnásobný kořen $\alpha$ a tedy $\|\vx + \alpha \vy\| = 0$, neboli $\vx + \alpha \vy = \theta$.
$\square$
Pro každé $\vx,\vy\in\R^n$ platí
Tvrzení poměrně přímočaře plyne ze Schwarzovy nerovnosti:
Nyní stačí odmocnit.
$\square$
Vybaveni konceptem vzdálenosti dvou bodů v prostoru $\R^n$ nám nyní nic nebrání zadefinovat okolí bodu v $\R^n$:
Mějme bod $\va \in \R^n$ a poloměr $\veps > 0$. Potom okolím bodu $\va$ o poloměru $\veps$ nazýváme množinu všech bodů $\vx \in \R^n$, jejichž vzdálenost od bodu $\va$ je menší než $\veps$ a značíme ho $U_\va(\veps)$. Tj. podrobně rozepsáno
Podobně jako dříve v BI-MA1 budeme občas specifikaci poloměru $\veps$ vynechávat, pokud jeho konkrétní hodnota nemá pro danou argumentaci význam. Tedy symbol $U_\va$ představuje nějaké okolí bodu $\va \in \R^n$. Dále ve veškerém výkladu přirozeně ztotožňujeme $\R$ a $\R^1$.
Vizualizace několika okolí v prostorech malých dimenzí uvádíme na Obrázku 7.3. V případě $n = 1$, tedy v $\R^1$, jsme nezískali nic nového (vzpomeňte na vztah $\sqrt{x^2} = |x|$). Okolí jsou stále známé otevřené intervaly. V rovině $\R^2$ (resp. prostoru $\R^3$) jsou okolí představována kruhy (resp. koulemi), vždy bez „hranice“ (kružnice, resp. sféry).
Vybaveni pojmem okolí můžeme ihned rozšířit důležitý (viz BI-MA1 a definici limity funkce) pojem hromadného bodu i na množiny $M \subset \R^n$. V další podkapitole se vrátíme k pojmům z BI-MA1 (posloupnosti, limity, derivace,…) a zavedeme jejich vícerozměrné analogy a „hromadnost“ jistých bodů nebo „otevřenost“ jistých množin bude hrát důležitou roli.
Bod $\va \in \R^n$ nazýváme hromadným bodem množiny $M \subset \R^n$, právě když v každém okolí bodu $\va$ leží bod množiny $M$ různý od $\va$.
Obrázek 7.4 se snaží tento koncept vizualizovat v jednoduchém případě, kdy $n = 2$, tedy v rovině.
Rozmysleme si následující jednoduché situace:
$\theta$ je hromadným bodem množiny $\{ \frac{1}{t}(\cos(t), \sin(t)) \mid t > 0 \}$.
Podmnožina $\R^n$ s konečným počtem prvků nemá žádný hromadný bod.
Je-li $\va$ hromadný bod množiny $M$, pak v každém jeho okolí leží nekonečně mnoho bodů množiny $M$ různých od $\va$.
V BI-MA1 hrály důležitou roli otevřené intervaly. V případě vícerozměrných prostorů tuto roli budou hrát otevřené množiny.
O bodu $\va \in M \subset \R^n$ řekneme, že je vnitřním bodem množiny $M$, právě když existuje okolí $U_{\va}$ bodu $\va$ takové, že $U_{\va} \subset M$.
O množině $M \subset \R^n$ řekneme, že je otevřená, právě když pro každý bod $\va \in M$ existuje okolí $U_{\va}$ bodu $\va$ takové, že $U_{\va} \subset M$.
Množina $M$ je otevřená, právě když každý její prvek je vnitřním bodem množiny $M$. Otevřené intervaly $(a, b) \subset \R$ jsou otevřené množiny.
Množina
tedy čtverec s vrcholy $(0,1)$, $(0, 2)$, $(1,1)$ a $(1,2)$ bez stran je otevřená množina. Každý bod množiny $M$ má jistou nenulovou minimální vzdálenost od stran tohoto čtverce. Okolí, jehož poloměr je například polovina této minimální vzdálenosti, nutně celé leží v $M$.
Naproti tomu třeba disk $D$ se středem v bodě $(0,0)$ a poloměrem $2$ včetně příslušné kružnice už otevřená množina není. Nelze nalézt okolí libovolného bodu ležícího na kružnici se středem v bodě $(0,0)$ a poloměrem $2$ tak, aby celé patřilo do $D$. Vždy část tohoto okolí bude uvnitř a část vně množiny $D$.
K ilustraci těchto dvou případů poslouží Obrázek 7.5.
Následující pojem je také užitečný a intuitivně pochopitelný. Pravděpodobně ho přednášející už neformálně použil při diskuzi předchozích situací.
Bod $\va \in \R^n$ nazveme hraničním bodem množiny $M$, právě když v každém okolí $U_{\va}$ bodu $\va$ existují $\vx, \vy \in U_{\va}$ takové, že $\vx \in M$ a $\vy \notin M$. Hranicí množiny $M$ nazýváme množinu všech jejích hraničních bodů.
Vedle vnitřního bodu množiny, resp. otevřené množiny, hromadného bodu množiny a hraničního bodu množiny lze pomocí pojmu okolí ještě zavést vnější bod množiny (bod mající okolí disjunktní s danou množinou), uzávěr množiny (sjednocení množiny s její hranicí) a uzavřenou množinu (množina, která je shodná se svým uzávěrem). Těmito pojmy a axiomatizací pojmu okolí se zabývá partie matematiky nazývaná Topologie. V našem výkladu do těchto partií příliš zabíhat nebudeme, ale základní pojmy jako otevřená množina a hromadný bod budeme využívat.