3.5 Zobecněný Riemannův integrál

V této podkapitole se budeme zabývat zobecněním Riemannova integrálu pro případy některých nespojitých funkcí, neomezených funkcí, či neomezených intervalů.

Poznámka 3.4

Pokud je funkce $f$ definována na intervalu $\langle a,b \rangle$, avšak není na něm spojitá, stále může mít Riemannův integrál. Nejjednodušším případem je situace s jedním bodem skokové nespojitosti:

  • existuje $c\in (a,b)$ tak, že $f$ je spojitá na $\langle a,c )$ a $(c,b\rangle$,

  • existují konečné jednostranné limity funkce $f$ v bodě $c$.

Potom platí

\begin{equation*} \int_a^b f(x) \dx = \int_a^c f(x) \dx + \int_c^b f(x) \dx. \end{equation*}

Integrály na pravé straně rovnosti jsou již ze spojitých funkcí na uzavřených intervalech. Podobně lze postupovat, má-li příslušná funkce konečný počet bodů nespojitostí tohoto typu (s konečnými jednostrannými limitami).

Příklad 3.14

Vypočtěte integrál $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \,\mathrm{d} x$, kde $f(x) = |x| - x + \sgn(x)$.

Funkce $f$ není spojitá v bodě $0$:

\begin{equation*} \lim_{x\to 0_+} f(x) = 1, \quad \lim_{x\to 0_-} f(x) = -1. \end{equation*}

Pro podrobnější představu viz Obrázek 3.14. Takže

\begin{equation*} \int_{-1}^1 f(x) \,\dx = \int_{-1}^0 (-2x-1)\,\dx + \int_0^1 1 \,\dx = -\Big[ x^2 + x \Big]_{-1}^0 + 1 = 1. \end{equation*}

Obrázek 3.14: Graf funkce $f(x) = |x| - x + \sgn(x)$.

Riemannův integrál jsme konstruovali pro funkce omezené na omezených uzavřených intervalech. Často je však potřeba integrovat funkce na neomezených množinách případně integrovat neomezené funkce (například $e^{-x^2}$ na $\R$ v BI-PST). Zavádíme proto pojem zobecněného Riemannova integrálu. V následujícím textu nastíníme způsob jeho konstrukce.

Definice 3.8 (Zobecněný Riemannův integrál)

Nechť $f$ je funkce definovaná na intervalu $\langle a, b)$ pro nějaké $a \in \R$ a $b \in (a, +\infty) \cup \{+\infty\}$, která má Riemannův integrál na intervalu $\langle a, c \rangle$ pro každé $c \in (a,b)$. Pokud existuje konečná limita

\begin{equation*} \lim_{c \to b_-} \int_a^c f(x)\, \dx, \end{equation*}

pak její hodnotu značíme

\begin{equation*} \int_a^b f(x)\, \dx, \end{equation*}

nazýváme zobecněným Riemannovým integrálem funkce $f$ na intervalu $\langle a, b)$ a říkáme, že integrál $\int_a^b f(x)\, \dx$ konverguje.

Poznámka 3.5

Pokud $\int_a^b |f(x)|\, \dx$ konverguje, tak lze ukázat, že i $\int_a^b f(x)\, \dx$ konverguje. V takovém případě říkáme, že $f$ má absolutně konvergentní zobecněný Riemannův integrál na $\langle a, b)$.

Poznámka 3.6

Analogicky definujeme předchozí pojmy pro interval $(a, b\rangle$ a pro $(a,b)$.

Uvedená definice zobecněného Riemannova integrálu tedy řeší zajímavou situaci, když $b = +\infty$, anebo když funkci v bodě $b$ nejde spojitě dodefinovat.

Příklad 3.15

Například

\begin{equation*} \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \dx = \lim_{c\to +\infty} \int_1^{c} \frac{1}{x^2} \dx = \lim_{c\to +\infty} \left(-\frac{1}{c} + \frac{1}{1} \right) = 1 \end{equation*}

Příklad 3.16

Například

\begin{equation*} \int_0^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \dx = \lim_{c \to 0_+} \int_c^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \dx = \lim_{c \to 0_+} \left(2 - 2\sqrt{c} \right) = 2. \end{equation*}

Dále se můžeme zabývat situací, kdy chceme dát smysl integrálu $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \dx$. Zde se omezíme pouze na absolutně konvergentní případy pro spojité funkce.

Definice 3.9 (Absolutně konvergentní zobecněný Riemannův integrál na $\R$)

Buď $f$ spojitá funkce definovaná na $\R$. Pokud existuje konečná limita

\begin{equation*} \lim_{c\to+\infty} \int_{-c}^{c} |f(x)| \,\dx, \end{equation*}

pak tuto její hodnotu značíme

\begin{equation*} \int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)| \,\dx \end{equation*}

a o $f$ říkáme, že má absolutně konvergentní zobecněný Riemannův integrál na $\R$. Pokud má funkce absolutně konvergentní zobecněný Riemannův integrál na $\R$, pak i limita

\begin{equation*} \lim_{c\to+\infty} \int_{-c}^{c} f(x) \,\dx \end{equation*}

existuje a značíme ji

\begin{equation*} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\dx. \end{equation*}

Tuto hodnotu pak nazýváme zobecněným Riemannovým integrálem $f$ na $\R$.

Absolutní konvergence zajišťuje, že hodnota zobecněného Riemannova integrálu nezávisí na způsobu, jakým meze „posíláme“ do nekonečna.

Příklad 3.17

Vypočtěte

\begin{equation*} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} \,\dx. \end{equation*}

Integrand je zjevně kladnou spojitou funkcí. Dále platí

\begin{equation*} \begin{aligned} \lim_{c \to +\infty} \int_{-c}^c\frac{1}{1+x^2} \dx & = \lim_{c \to +\infty} [\arctg x]_{-c}^c = \lim_{c \to +\infty} \arctg(c) - \arctg(-c) \\ &= \lim_{c \to +\infty} 2\arctg(c) = \pi. \end{aligned} \end{equation*}

Funkce $\frac{1}{1+x^2}$ má tedy absolutně konvergentní zobecněný Riemannův integrál na $\R$ a

\begin{equation*} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} \,\dx = \pi. \end{equation*}