Motivací pro obsah této sekce je následující situace: máme rekurzivní algoritmus, který při řešení dělí problém „velikosti“ $n$ na $a$ „částí“ „velikosti“ $\frac{n}{b}$ a jejich „zkombinování“ do celkového řešení stojí $f(n)$.
Takovouto situaci popíšeme rekurzivním vztahem
kde $T(n)$ vyjadřuje složitost (operační/paměťovou) vyřešení problému velikosti $n$.
Nyní z praktických důvodů místo posloupností používáme funkce $T$ a $f$, typicky s kladnými funkčními hodnotami a definované alespoň na $\langle 1, +\infty)$, resp. $\N$. Pokud velikost vstupu nemá velikost $n = b^N$, pak musíme ještě řešit případné zaokrouhlování $n/b$ pomocí horní nebo dolní celé části. Za „počáteční podmínku“ považujeme $T(1)$.
Příklady rekurencí a algoritmů (viz BI-AG1 a jinde):
FFT: $T(n) = 2 T\left(\frac{n}{2}\right) + \Theta(n)$,
MergeSort: $T(n) = 2 T\left(\frac{n}{2}\right) + \Theta(n)$,
Karatsuba (rekurzivní násobení čísel): $T(n) = 3 T\left(\frac{n}{2}\right) + \Theta(n)$,
…
Naším cílem nyní není nalézt řešení v uzavřeném tvaru, ale odhalit nějaké jeho asymptotické vlastnosti. Například nalézt jeho asymptotickou těsnou mez $\Theta$.
K tomuto účelu budeme postupně probírat
Iterační metodu (podkapitola 6.8),
Mistrovskou metodu (podkapitola 6.9),
Substituční metodu (podkapitola 6.10).