3.1 Konstrukce Riemannova integrálu

Nejjednodušší geometrickou motivací určitého integrálu (zde použijeme tzv. Riemannovu konstrukci určitého integrálu;  Bernhard Riemann, německý matematik, 1826 – 1866) je výpočet obsahu plochy ohraničené grafem funkce a osou nezávisle proměnné. Na Obrázku 3.1 je tato plocha znázorněna světle modrou barvou. Podle významu funkční závislosti má pak daná plocha jistý (ne geometrický) význam. Zajímavým a možná překvapivým výsledkem bude Newtonova formule (Věta 3.6) odhalující vztah mezi touto geometrickou konstrukcí a primitivní funkcí.

Obrázek 3.1: Plocha mezi grafem jisté funkce a osou $x$ nad intervalem $\langle a,b \rangle$.

Celá konstrukce Riemannova integrálu vychází ze znalosti obsahu obdélníka. Danou plochu pod grafem funkce budeme co nejlépe aproximovat plochou sestavenou z mnoha obdélníků. Ukazuje se, že pro spojitou funkci tento limitní proces dává dobrý výsledek. Nejprve definujme základní pojmy.

Definice 3.1 (Dělení intervalu / Partition of an interval)

Buď dán interval $\langle a,b \rangle$. Konečnou množinu

\begin{equation*} \sigma = \{x_0,x_1,\ldots,x_n\}, \quad \text{kde} \ n \in \N, \ n \geq 2, \end{equation*}

takovou, že

\begin{equation*} a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b \end{equation*}

nazýváme dělením intervalu $\langle a,b \rangle$. Bodům $x_k$, $k\in\widehat{n-1}$, říkáme dělící body intervalu $\langle a,b \rangle$. Interval $\langle x_{k-1}, x_k \rangle$, $k\in\hat{n}$, nazýváme $k$-tý částečný interval intervalu $\langle a,b \rangle$ při dělení $\sigma$. Číslo

\begin{equation*} \nu(\sigma) \ceq \max \{ \Delta_k \mid k = 1,2,\ldots,n \}, \quad \text{kde} \quad \Delta_k \ceq x_k - x_{k-1}, \ k = 1,2,\ldots,n, \end{equation*}

nazýváme normou dělení $\sigma$.

Užitečným speciálním příkladem dělení intervalu je jeho ekvidistantní dělení, tj. dělení mající stejně dlouhé částečné intervaly.

Definice 3.2 (Ekvidistantní dělení)

Pro interval $\langle a,b \rangle$ a $n\in\mathbb{N}$ položme $\Delta \ceq \frac{b-a}{n}$ a

\begin{equation*} x_i \ceq a + i\cdot\Delta, \quad i = 0,1,\ldots,n. \end{equation*}

Tedy

\begin{equation*} \sigma = \big\{ a, \, a + \Delta, \, a + 2 \Delta, \ldots, \, a + (n-1)\Delta, \, b \big\}. \end{equation*}

Všimněte si, že $a + n\Delta = a + b - a = b$. V případě $n=5$ si lze ekvidistantní dělení intervalu $\langle a,b \rangle$ představit jako na následujícím Obrázku 3.2.

Obrázek 3.2: Příklad ekvidistantního dělení intervalu intervalu $\langle a,b \rangle$ na pět stejně dlouhých intervalů.

Vybaveni funkcí a dělením intervalu dále přistoupíme ke konstrukci aproximace plochy mezi grafem funkce a osou $x$ pomocí mnoha obdélníků.

Definice 3.3 (Dolní a horní součet funkce při dělení $\sigma$)

Buďte funkce $f$ definovaná a omezená na intervalu $J =\langle a,b \rangle$ a $\sigma = \{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ dělení intervalu $J$. Součty

\begin{align*} S(\sigma,f) &\ceq \sum_{i=1}^n \Delta_i \sup_{\langle x_{i-1},x_i\rangle} f, \\ s(\sigma,f) &\ceq \sum_{i=1}^n \Delta_i \inf_{\langle x_{i-1},x_i\rangle} f\end{align*}

nazýváme horním součtem funkce a dolním součtem funkce $f$ při dělení $\sigma$.

Dolní, resp. horní, součty představují obsah plochy2 tvořené obdélníky pod, resp. nad, grafem funkce s podstavami tvořenými částečnými dělícími intervaly. Následující Obrázky 3.33.4 ilustrují dolní a horní součty vzhledem k jednomu konkrétně zvolenému dělení.

Obrázek 3.3: Jeden konkrétní dolní součet funkce $f$ při dělení $\sigma$.
Obrázek 3.4: Jeden konkrétní horní součet funkce $f$ při dělení $\sigma$.

Třetím bodem konstrukce je prozkoumání hodnot všech možných dolních a horních součtů dané funkce přes všechna možná dělení zadaného intervalu.

Definice 3.4 (Dolní a horní integrál)

Pro funkci $f$ definovanou a omezenou na uzavřeném intervalu $J=\langle a,b \rangle$ pomocí dolních a horních součtů definujeme čísla

\begin{align*} \overline{\int_a^b} f(x) \,\dx &\ceq \inf\{ S(\sigma, f) \mid \sigma \ \text{libovolné dělení intervalu} \ J \}, \\ \underline{\int_a^b} f(x) \,\dx &\ceq \sup\{ s(\sigma, f) \mid \sigma \ \text{libovolné dělení intervalu} \ J \}.\end{align*}

a nazýváme je horním integrálem, resp. dolním integrálem, funkce $f$ na intervalu $J$.

Ze způsobu, jakým je horní (resp. dolní) integrál konstruován, je zřejmé, že představuje jakýsi horní (resp. dolní) odhad obsahu hledané plochy. Dále si všimněte, že díky předpokladům omezenosti funkce $f$ a uzavřenosti (a tedy i konečné délce) intervalu $J$ v Definici 3.4, jsou příslušný dolní i horní integrál nějaká reálná čísla (nehrozí hodnoty $+\infty$ nebo $-\infty$).

Posledním krokem konstrukce je samotná definice Riemannova integrálu. Pokud horní i dolní integrál mají stejnou hodnotu, tak má dobrý smysl mluvit o obsahu plochy pod grafem funkce $f$. Proto Riemannův integrál definujeme následovně.

Definice 3.5 (Riemannův určitý integrál)

Mějme funkci $f$ definovanou a omezenou na uzavřeném intervalu $J$. Pokud pro její dolní a horní integrál na intervalu $J$ platí

\begin{equation*} \overline{\int_a^b} f(x)\,\dx = \underline{\int_a^b} f(x) \,\dx \in \R, \end{equation*}

pak jejich společnou hodnotu nazýváme Riemannovým integrálem funkce $f$ na intervalu $J$ a toto číslo značíme symboly

\begin{equation*} \int_a^b f, \quad \text{případně} \quad \int_a^b f(x)\,\dx. \end{equation*}

V definici horního a dolního integrálu potřebujeme počítat suprema a infima jistých množin, resp. funkcí na částečných intervalech. To nemusí být jednoduchá úloha. Naštěstí ji ve většině případů můžeme nahradit počítáním limity jisté číselné posloupnosti. Nejprve zaveďme posloupnost postupně se zjemňujících dělení.

Definice 3.6 (Normální posloupnost dělení)

Posloupnost dělení $\sigma_n$ nazveme normální, pokud pro její normy platí

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \nu(\sigma_n) = 0. \end{equation*}

Pokud je funkce „hezká“, tak lze očekávat, že „plocha mezi jejím grafem a osou $x$“ bude mít dobrý smysl a Riemannova konstrukce bude úspěšná. Kritériem „hezkosti“ je třeba spojitost, jak ukazuje hned následující věta. Ukázka „nehezké“ funkce, tedy funkce nemající Riemannův integral, je uvedena v Příkladu 3.3.

Věta 3.1 (Postačující podmínka pro existenci Riemannova integrálu)

Buď $f$ spojitá funkce na intervalu $\langle a,b \rangle$. Potom existuje její Riemannův integrál na intervalu $\langle a,b\rangle$.

Pokud je navíc $(\sigma_n)$ normální posloupnost dělení intervalu $\langle a,b \rangle$, potom limity

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} s(\sigma_n, f) \quad \text{a} \quad \lim_{n\to\infty} S(\sigma_n,f) \end{equation*}

existují, a jsou rovny Riemannově integrálu funkce $f$ na intervalu $\langle a,b \rangle$.

Zobrazit důkaz

Vynecháváme.

$\square$

Výpočet lze ale ještě dále zjednodušit. Při výpočtu horního a dolního součtu musíme hledat infima a suprema integrované funkce na dělících intervalech. Tomu se lze také vyhnout, jak ukazuje následující věta.

Definice 3.7 (Integrální součet)

Pro funkci $f$ spojitou na uzavřeném intervalu $\langle a,b \rangle$ a dělení $\sigma = \{x_0,\,x_1,\ldots,\,x_n\}$, kde $x_0 = a$ a $x_n = b$, tohoto intervalu definujeme integrální součet funkce $f$ při dělení $\sigma$ předpisem

\begin{equation*} \mathcal{J}(\sigma,f) = \sum_{i=1}^n f(\alpha_i) \Delta_i, \end{equation*}

kde $\alpha_i$ patří do intervalu $\langle x_{i-1}, x_i \rangle$, $i=1,2,\ldots,n$.

Vztah mezi dolním a horním součtem a integrálním součtem funkce $f$ při dělení $\sigma$ je dán nerovnostmi

\begin{equation*} s(\sigma,f) \leq \mathcal{J}(\sigma,f) \leq S(\sigma,f). \end{equation*}

Riemannův integrál funkce $f$ spojité na intervalu $\langle a,b \rangle$ lze tedy počítat i jako limitu z integrálních součtů

\begin{equation}\label{eq_riemann_soucet}\tag{3.1} \int_a^b f(x) \,\dx = \lim_{n\to\infty} \mathcal{J}(\sigma_n,f), \end{equation}

kde $(\sigma_n)_{n=1}^\infty$ je libovolná normální posloupnost dělení.

Příklad 3.1

Vypočtěte integrál z konstantní funkce $f(x) = c$ na intervalu $\langle a,b \rangle$.

Pro libovolné dělení $\sigma$ intervalu $\langle a,b \rangle$ platí (případně viz Obrázek 3.5)

\begin{equation*} s(\sigma,f) = S(\sigma,f) = \mathcal{J}(\sigma,f) = c (b-a). \end{equation*}

Takže pro libovolnou normální posloupnost $(\sigma_n)$ dělení intervalu $\langle a,b \rangle$ dostáváme

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} s(\sigma_n,f) = \lim_{n\to\infty} S(\sigma_n,f) = c(b-a). \end{equation*}

Riemannův integrál funkce $f$ na intervalu $\langle a,b \rangle$ je pak

\begin{equation*} \int_a^b f = c(b-a). \end{equation*}

Viz Obrázek 3.5.

Obrázek 3.5: Riemannův integrál konstantní funkce na intervalu $(a, b)$.
Příklad 3.2

Pomocí definice vypočtěte Riemannův integrál funkce $f(x) = x$ na intervalu $J = \langle 0,1 \rangle$.

Zvolme normální posloupnost $(\sigma_n)_{n=1}^\infty$ ekvidistantních dělení intervalu $J$.

\begin{equation*} \sigma_n = \Big\{0 = x_0^{(n)}, \, x_1^{(n)}, \ldots,\, x_{n}^{(n)} = 1 \Big\}, \quad x_i^{(n)} = i \cdot \frac{1}{n}, \quad i = 0,1,\ldots,n. \end{equation*}

Pro dolní součet při dělení $\sigma_n$ dostáváme

\begin{equation*} s(\sigma_n,f) = \sum_{i=1}^n x_{i-1}^{(n)} \cdot \frac{1}{n} = \sum_{i=1}^n \frac{i-1}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n(n-1)}{2}. \end{equation*}

Tudíž

\begin{equation*} \int_0^1 x\, \dx = \lim_{n\to\infty} s(\sigma_n,f) = \frac{1}{2}. \end{equation*}

Podobně pro horní součet při dělení $\sigma_n$ platí

\begin{equation*} S(\sigma_n, f) = \sum_{i=1}^n x_{i}^{(n)} \cdot \frac{1}{n} = \sum_{i=1}^n \frac{i}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} \end{equation*}

a opět (nepřekvapivě)

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} S(\sigma_n, f) = \frac{1}{2}. \end{equation*}

Pro ilustraci tohoto výpočtu uvádíme Obrázek 3.6.

Obrázek 3.6: K výpočtu Riemannova integrálu funkce $f(x) = x$.
Příklad 3.3

Ukažme si jednoduchý příklad funkce, která nemá Riemannův integrál. Definujme Dirichletovu funkci

\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q}, \\ 0, & \text{jinak} \end{cases} \end{equation*}

s definičním oborem $\R$. Zkuste si představit její graf!

Vezměmě nyní libovolné dělení $\sigma$ intervalu $\langle 0,1 \rangle$. Zřejmě platí $S(\sigma, f) = 1$ a $s(\sigma, f) = 0$ a proto

\begin{equation*} \overline{\int_0^1} f = 1 \quad \text{a} \quad \underline{\int_0^1} f = 0. \end{equation*}

Tato funkce tedy nemá Riemannův integrál na intervalu $\langle 0,1 \rangle$ ani na libovolném jiném uzavřeném intervalu.

Otázka 3.1

Rozmyslete si, jaký vliv by na Riemannovu konstrukci uvedenou v této kapitole měla drobná změna infima a suprema v definici horního a dolního integrálu (Definice 3.4) na minimum a maximum. Jaké funkce by pak ne/měly „Riemannův integrál“?

Zobrazit odpověď

Změna by měla zásadní vliv. Například libovolná spojitá nekonstantní funkce by náhle neměla integrál, v horních i dolních součtech vždy do pokrytí skutečné plochy pod grafem takovéto funkce bude chybět či přebývat a infima ani suprema v uvedené definici nikdy žádným rozdělením nedosáhneme. Integrál v tomto smyslu by měly například jen po částech konstantní funkce.

Poznámka 3.1

Riemannova konstrukce integrálu prezentovaná v této sekci není jediná možná. Pro první kontakt s problematikou je však asi nejpřístupnější, nejnázornější. Historicky spadá do 19. století. Moderní teorie integrace vychází z Lebesgueovy konstrukce (začátek 20. století). Úzce souvisí s teorií pravděpodobnosti a částečně na ní narazíte v předmětu  BI-PST.

Poznámka 3.2 (Mathematica)

Určitý integrál lze v počítačovém algebraickém systému Mathematica počítat pomocí příkazu Integrate[f, {x, a, b}], kde $f$ je integrovaná funkce (výraz), $x$ integrační proměnná a $a$ dolní a $b$ horní mez. Například výsledek Příkladu 3.2 získáme příkazem Integrate[x, {x, 0, 1}], který skutečně vrátí 1/2.