Nyní se zaměřme na nejzákladnější vlasnosti Riemannova integrálu pro funkce více proměnných.
Nechť $D$ je hyperkvádr nebo množina typu 1 nebo 2 a $f$ spojitá funkce na $D$. Potom je funkce $f$ Riemannovsky integrabilní na množině $D$.
Důkaz vynecháváme. Podstatné je, že funkce $f$ je pěkná (tj. spojitá) a integrujeme ji na pěkné množině („uzavřená“).
$\square$
Nechť $D \subset \R^2$ je množina typu 1 nebo 2 (obsahuje případ obdélníku) a funkce $f$ a $g$ jsou spojité na $D$. Potom platí:
Linearita: pro konstantu $c$ platí
Nerovnosti: pokud $f(x,y) \leq g(x,y)$ pro každé $(x,y)^T \in D$, pak
Obsah množiny $D$, ozn. $\mathrm{Vol}_2(D)$, lze spočítat jako $\mathrm{Vol}_2(D) = \int_D 1$.
Chování v „mezích“: je-li $C$ další množina typu 1 nebo 2 mající s množinou $D$ v průniku pouze část „hranice,“ pak
Analogická tvrzení platí i pro hyperkvádry $K \subset \R^n$ a funkce spojité na $K$.
Na vícerozměrnou integraci narazíme v řadě různorodých situací:
Popisuje-li $\rho(x,y)$ hustotu desky (zobecnění do více rozměrů je přirozené) $D$, pak její hmotnost $M$ a souřadnice jejího těžiště $(X,Y)$ spočteme jako
Hustota pravděpodobnosti $f(x,y)$ na množině $D$ je funkce splňující
Je-li $f(x,y) \geq 0$ pro $(x,y) \in D$, pak
vyjadřuje objem tělesa ohraničeného množinou $D$ a grafem funkce $f$.
Obsah plochy $z = f(x,y)$, kde $(x,y)\in D$, se vypočte dle vzorce
Fyzika…