7.2 Okolí bodu v $\R^n$

Vzpomeňte si, jak v  BI-MA1 celá řada pojmů vycházela z pojmu okolí bodu na reálné ose. Naším prvním krokem proto bude rozšíření pojmu okolí i do vektorového prostoru $\R^n$. Na prvky $\R^n$ se budeme dívat také jako na body, jejich vektorovost pro naše úvahy často není podstatná. Tj. o $\vx$ podle kontextu mluvíme buď jako o „vektoru“ nebo „bodu“.

7.2.1 Délky a vzdálenosti

Nejprve v našem prostoru $\R^n$ musíme umět měřit vzdálenost dvou bodů. Toho docílíme využitím vektorové struktury tohoto prostoru a možnosti měřit délku vektoru.

Definice 7.1 (Euklidovská norma a vzdálenost)

Euklidovskou normu vektoru $\vx \in \R^n$ definujeme předpisem

\begin{equation*} \| \vx \| \ceq \sqrt{\sum_{j=1}^n x_j^2}\,. \end{equation*}

Euklidovskou vzdálenost dvou bodů $\vx \in \R^n$ a $\vy \in \R^n$ pak představuje číslo

\begin{equation*} d(\vx, \vy) \ceq \|\vx - \vy\| = \sqrt{\sum_{j=1}^n (x_j - y_j)^2}\,. \end{equation*}

Povšimněte si, že Euklidovská norma je tzv. indukována standardním skalárním součinem19

\begin{equation}\label{eq_skalarni_soucin}\tag{7.2} \langle \vx \,|\, \vy \rangle \ceq \sum_{j=1}^n x_j y_j = \vx^T \vy, \end{equation}

tj. $\|\vx\| = \sqrt{\langle \vx \,|\, \vx \rangle}$. Prostor $\R^n$ od tohoto okamžiku považujeme za vybavený Euklidovskou normou $\|\vx\|$ a vzdáleností $d(\vx,\vy)$. Jiné normy a vzdálenosti nebudeme zatím přímo uvažovat (i když bychom mohli, ale nic bychom v našem konečnědimenzionálním případě nezískali20). Grafické znázornění situace v rovině $\R^2$ uvádíme na Obrázku 7.2.

Obrázek 7.2: Znázornění Euklidovské délky vektoru a Euklidovské vzdálenosti dvou bodů v rovině.

Euklidovská norma a standardní skalární součin mají řadu užitečných vlastností, které je důstojné formálně vyslovit a dokázat. Následujicí tvrzení také někdy naleznete pod jménem Cauchyho–Schwarzova nerovnost.

Tvrzení 7.1 (Schwarzova nerovnost)

Pro každé $\vx,\vy\in\R^n$ platí nerovnost

\begin{equation}\label{eq_Schwarz}\tag{7.3} |\langle \vx \mid \vy \rangle| \leq \|\vx\| \cdot \|\vy\|. \end{equation}

Navíc rovnost nastává právě tehdy, když jeden z vektorů je násobkem druhého.

Zobrazit důkaz

Skutečně, pro každé $\alpha\in\R$ a $\vx,\vy\in\R^n$ platí (rozepište!)

\begin{equation*} 0 \leq \|\vx + \alpha\vy\|^2 = \langle \vx+\alpha\vy \mid \vx+\alpha\vy \rangle = \|\vx\|^2 + 2\alpha \langle \vx\mid\vy\rangle + \alpha^2 \|\vy\|^2. \end{equation*}

A pro diskriminant $D$ tohoto kvadratického polynomu (v $\alpha$) pak nutně platí

\begin{equation*} 0 \geq D = \big(2 \langle \vx\mid\vy \rangle\big)^2 - 4\|\vx\|^2\|\vy\|^2. \end{equation*}

Což po jednoduchých úpravách dává přesně nerovnost (7.3).

Konečně pak také vidíme, že rovnost v (7.3) nastává právě tehdy, když $D = 0$, čili když uvedený polynom má dvojnásobný kořen $\alpha$ a tedy $\|\vx + \alpha \vy\| = 0$, neboli $\vx + \alpha \vy = \theta$.

$\square$

Tvrzení 7.2 (Trojúhelníková nerovnost)

Pro každé $\vx,\vy\in\R^n$ platí

\begin{equation*} \|\vx + \vy\| \leq \|\vx\| + \|\vy\|. \end{equation*}

Zobrazit důkaz

Tvrzení poměrně přímočaře plyne ze Schwarzovy nerovnosti:

\begin{equation*} \|\vx + \vy\|^2 = \|\vx\|^2 + 2 \langle \vx\mid\vy\rangle + \|\vy\|^2 \leq \|\vx\|^2 + 2\|\vx\|\|\vy\| + \|\vy\|^2 = \big(\|\vx\| + \|\vy\|\big)^2. \end{equation*}

Nyní stačí odmocnit.

$\square$

7.2.2 Okolí bodu $\va \in \R^n$

Vybaveni konceptem vzdálenosti dvou bodů v prostoru $\R^n$ nám nyní nic nebrání zadefinovat okolí bodu v $\R^n$:

Definice 7.2 (Okolí bodu $\va \in \R^n$)

Mějme bod $\va \in \R^n$ a poloměr $\veps > 0$. Potom okolím bodu $\va$ o poloměru $\veps$ nazýváme množinu všech bodů $\vx \in \R^n$, jejichž vzdálenost od bodu $\va$ je menší než $\veps$ a značíme ho $U_\va(\veps)$. Tj. podrobně rozepsáno

\begin{equation*} U_\va(\veps) \ceq \big\{ \vx \in \R^n \,\big|\, d(\vx, \va) < \veps \big\} \subset \R^n. \end{equation*}

Podobně jako dříve v  BI-MA1 budeme občas specifikaci poloměru $\veps$ vynechávat, pokud jeho konkrétní hodnota nemá pro danou argumentaci význam. Tedy symbol $U_\va$ představuje nějaké okolí bodu $\va \in \R^n$. Dále ve veškerém výkladu přirozeně ztotožňujeme $\R$ a $\R^1$.

Vizualizace několika okolí v prostorech malých dimenzí uvádíme na Obrázku 7.3. V případě $n = 1$, tedy v $\R^1$, jsme nezískali nic nového (vzpomeňte na vztah $\sqrt{x^2} = |x|$). Okolí jsou stále známé otevřené intervaly. V rovině $\R^2$ (resp. prostoru $\R^3$) jsou okolí představována kruhy (resp. koulemi), vždy bez „hranice“ (kružnice, resp. sféry).

Obrázek 7.3: Okolí bodu, postupně v $\R$, $\R^2$ a $\R^3$. Dostáváme otevřený interval, kruh bez kružnice a kouli bez sféry.

Vybaveni pojmem okolí můžeme ihned rozšířit důležitý (viz  BI-MA1 a definici limity funkce) pojem hromadného bodu i na množiny $M \subset \R^n$. V další podkapitole se vrátíme k pojmům z  BI-MA1 (posloupnosti, limity, derivace,…) a zavedeme jejich vícerozměrné analogy a „hromadnost“ jistých bodů nebo „otevřenost“ jistých množin bude hrát důležitou roli.

Definice 7.3 (Hromadný bod množiny $M \subset \R^n$)

Bod $\va \in \R^n$ nazýváme hromadným bodem množiny $M \subset \R^n$, právě když v každém okolí bodu $\va$ leží bod množiny $M$ různý od $\va$.

Obrázek 7.4 se snaží tento koncept vizualizovat v jednoduchém případě, kdy $n = 2$, tedy v rovině.

Příklad 7.1

Rozmysleme si následující jednoduché situace:

  • $\theta$ je hromadným bodem množiny $\{ \frac{1}{t}(\cos(t), \sin(t)) \mid t > 0 \}$.

  • Podmnožina $\R^n$ s konečným počtem prvků nemá žádný hromadný bod.

  • Je-li $\va$ hromadný bod množiny $M$, pak v každém jeho okolí leží nekonečně mnoho bodů množiny $M$ různých od $\va$.

Obrázek 7.4: Ilustrace k definici hromadného bodu (Definice 7.3). Představme si následující $M$, tvořenou modrými body, modrou křivkou a plochou vyplněnou bledě modrou barvou. Diskutujte hromadnost uvedených červeně zvýrazněných bodů.

BI-MA1 hrály důležitou roli otevřené intervaly. V případě vícerozměrných prostorů tuto roli budou hrát otevřené množiny.

Definice 7.4 (Vnitřní bod množiny / Inner point of a set)

O bodu $\va \in M \subset \R^n$ řekneme, že je vnitřním bodem množiny $M$, právě když existuje okolí $U_{\va}$ bodu $\va$ takové, že $U_{\va} \subset M$.

Definice 7.5 (Otevřená množina / Open set)

O množině $M \subset \R^n$ řekneme, že je otevřená, právě když pro každý bod $\va \in M$ existuje okolí $U_{\va}$ bodu $\va$ takové, že $U_{\va} \subset M$.

Poznámka 7.1

Množina $M$ je otevřená, právě když každý její prvek je vnitřním bodem množiny $M$. Otevřené intervaly $(a, b) \subset \R$ jsou otevřené množiny.

Příklad 7.2

Množina

\begin{equation*} M = (0, 1) \times (1, 2), \end{equation*}

tedy čtverec s vrcholy $(0,1)$, $(0, 2)$, $(1,1)$ a $(1,2)$ bez stran je otevřená množina. Každý bod množiny $M$ má jistou nenulovou minimální vzdálenost od stran tohoto čtverce. Okolí, jehož poloměr je například polovina této minimální vzdálenosti, nutně celé leží v $M$.

Naproti tomu třeba disk $D$ se středem v bodě $(0,0)$ a poloměrem $2$ včetně příslušné kružnice už otevřená množina není. Nelze nalézt okolí libovolného bodu ležícího na kružnici se středem v bodě $(0,0)$ a poloměrem $2$ tak, aby celé patřilo do $D$. Vždy část tohoto okolí bude uvnitř a část vně množiny $D$.

K ilustraci těchto dvou případů poslouží Obrázek 7.5.

Obrázek 7.5: Dvě množiny z Příkladu 7.2.

Následující pojem je také užitečný a intuitivně pochopitelný. Pravděpodobně ho přednášející už neformálně použil při diskuzi předchozích situací.

Definice 7.6 (Hraniční bod množiny / boundary point of a set)

Bod $\va \in \R^n$ nazveme hraničním bodem množiny $M$, právě když v každém okolí $U_{\va}$ bodu $\va$ existují $\vx, \vy \in U_{\va}$ takové, že $\vx \in M$ a $\vy \notin M$. Hranicí množiny $M$ nazýváme množinu všech jejích hraničních bodů.

Obrázek 7.6: Ilustrace k pojmu hraničního bodu (Definice 7.6).

Vedle vnitřního bodu množiny, resp. otevřené množiny, hromadného bodu množiny a hraničního bodu množiny lze pomocí pojmu okolí ještě zavést vnější bod množiny (bod mající okolí disjunktní s danou množinou), uzávěr množiny (sjednocení množiny s její hranicí) a uzavřenou množinu (množina, která je shodná se svým uzávěrem). Těmito pojmy a axiomatizací pojmu okolí se zabývá partie matematiky nazývaná Topologie. V našem výkladu do těchto partií příliš zabíhat nebudeme, ale základní pojmy jako otevřená množina a hromadný bod budeme využívat.