Nejprve si připomeňme pojem polynomu, který bude v celé této kapitole hrát centrální roli.
Reálnou funkci reálné proměnné $p: \R \to \R$ nazveme polynomem, právě když existuje nezáporné celé číslo $n\in\mathbb{N}_0$ a reálná čísla $a_0, \ldots, a_n \in \R$ taková, že rovnost
platí pro všechna reálná $x\in\R$.
Pro připomenutí uvádíme i základní terminologii spojenou s polynomy. Je-li $a_n \neq 0$, nazýváme číslo $n$ stupněm polynomu $p$. Jsou-li všechny koeficienty $a_k$, $k=0,\ldots,n$ nulové, nazýváme $p$ nulovým polynomem a jeho stupeň nedefinujeme.
Podstatnou výhodou polynomů je fakt, že k vyhodnocení funkční hodnoty polynomu stačí operace sčítání (odčítání) a násobení. Navíc polynom stupně $n$ je zadán $n+1$ konstantami a lze ho proto efektivně reprezentovat v paměti počítače.
Notoricky známými příklady polynomů jsou:
Lineární funkce $f(x) = ax + b$ ($a,b\in\R$ parametry) je polynomem nejvýše prvního stupně9.
Kvadratická funkce $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a,b,c\in\R$, $a\neq 0$ parametry) je polynomem druhého stupně.
Pokusme se nyní podívat na tečnu z jiného úhlu. Je-li funkce $f$ diferencovatelná v bodě $a\in\R$, pak rovnice její tečny v bodě $a$ má tvar
Je to přímka nejvíce „připomínající“ funkci $f$ v okolí bodu $a$. Tečnu také můžeme chápat jako graf lineární funkce
Pro funkce $f$ a $g$ platí
Tj. funkce $f$ a její tečna v bodě $a$ mají stejnou 0. a 1. derivaci v bodě $a$.
Přirozeně se nabízí otázka proč neuvažovat polynom vyššího stupně s podobnou vlastností? Nechť funkce $f$ má derivace v bodě $a$ až do řádu $n\in\mathbb{N}$ včetně. Lze nalézt polynom $p$ takový, že $p^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)$ pro všechna $k=0,1,\ldots,n$?
Odpověď je kladná. Hledejme polynom ve tvaru
Je potřeba určit konstanty $a_k$, $k=0,1,\ldots,n$ tak, aby derivace polynomu a funkce v bodě $a$ až do řádu $n$ včetně byly shodné. Pro funkční hodnoty derivací polynomu $p$ v bodě $a$ platí
Uzavíráme, že hledaný polynom $p$ požadovaných vlastností je tvaru
Shrňme si toto pozorování do následující definice a věty.
Nechť reálná funkce reálné proměnné $f$ má v bodě $a\in\R$ konečnou $n$-tou derivaci. Polynom
nazýváme $n$-tým Taylorovým polynomem funkce $f$ v bodě $a$.
Nechť reálná funkce reálné proměnné $f$ má v bodě $a\in\R$ konečnou $n$-tou derivaci. Potom Taylorův polynom $T_{n,a}$ existuje a je to jediný polynom stupně nejvýše $n$ takový, že
Existenci i jednoznačnost jsme dokázali v předchozích odstavcích.
$\square$
Nalezněme $n$-tý Taylorův polynom funkce $f(x) = e^x$ v bodě $0$. Pro libovolné $k\in\mathbb{N}_0$ platí $f^{(k)}(x) = e^x$ a proto $f^{(k)}(0) = 1$. Dostáváme
Nalezněme $n$-tý Taylorův polynom funkce $f(x) = \sin(x)$ v bodě $0$. Derivace funkce $f$ se cyklicky opakují, v závislosti na $k\in\mathbb{N}_0$ platí
Proto
Taylorův polynom pro $n = 2\ell$ je stejný jako Taylorův polynom pro $n = 2\ell -1$ a platí
Speciálně tedy platí $T_{2n,0} = T_{2n-1,0}$, $n\in\mathbb{N}$ a ještě speciálněji třeba $T_{40,0} = T_{39,0}$. Ukázka několika Taylorových polynomů funkce sinus v bodě $0$ je uvedena na obrázku 5.4.
Z předchozího příkladu je pěkně vidět, proč používáme název „$n$-tý Taylorův polynom“ místo studenty často používaného a nesprávného „Taylorův polynom stupně $n$“ když mluvíme o $T_{n,0}$: $n$-tý Taylorův polynom totiž nutně nemusí mít stupeň $n$! Pro funkci $\sin$ jsme v bodě $0$ odvodili $T_{2,0}(x) = x$, tedy její druhý Taylorův polynom má stupeň $1$.