V této a následujících kapitolách budeme pracovat s dvěma typy zobrazení:
funkce (více proměnných): zobrazení nějaké neprázdné $A \subset \R^n$ do $\R$.
vektorové funkce (více proměnných): zobrazení nějaké neprázdné $A \subset \R^n$ do $\R^m$.
Pro $m = 1$ je první případ v tomto výčtu speciálním případem druhého, ztotožňujeme přirozeně $\R$ a $\R^1$. Tvrzení uvedená níže a formulovaná pro „vektorové funkce“ tak přirozeně platí i pro „funkce“.
K zmenšení počtu závorek zavádíme užitečné značení $f(x_1,\ldots,x_n) \ceq f(\vx)$. Bez něj bychom museli striktně psát výrazy jako $f\big((x,y)^T\big)$.
Vektorovou funkci $F: A \to \R^m$, $A \subset \R^n$, lze opět popsat pomocí jejích „složek“, tj. $m$ funkcí $F_j: A \to \R$, $j\in\hat{m}$, splňujících
Například lineární zobrazení $F: \R^3 \to \R^3$ zapsané po složkách
má tři složky
Vzpomeňte si na definici limity v BI-MA1! Její struktura se výrazně odráží i v následující definici.
Mějme funkci $n$ reálných proměnných $F: D_F \to \R^m$, $D_F \subset \R^n$, a hromadný bod $\va$ množiny $D_F$.
Potom funkce $F$ má v bodě $\va$ limitu $\vb\in\R^m$, právě když pro každé okolí $U_\vb$ bodu $\vb$ existuje okolí $U_\va$ bodu $\va$ takové, že kdykoliv $\vx \in (U_\va \cap D_F) \smallsetminus \{\va\}$ pak platí $F(\vx) \in U_\vb$.
Symbolicky tuto situaci zapisujeme opět jako
Pokud $m = 1$, pak ještě pro $\alpha \in \{+\infty, -\infty\}$ klademe $\displaystyle\lim_{\vx \to \va} F(\vx) = \alpha$ kdykoliv
Podobně jako dříve v BI-MA1 přímo z definice dostáváme následující užitečné tvrzení:
Mějme vektorovou funkci $F: D_F \to \R^m$, $D_F \subset \R^n$ a hromadný bod $\va$ definičního oboru funkce $F$ v němž existuje limita
Potom i pro $F|_M$ zúžení funkce $F$ na množinu $M$, která má $\va$ jako hromadný bod, platí
V tomto tvrzení je obsažena i jedna polovina Heineho věty. Konkrétně, je-li $(\vx_k)_{k=1}^\infty$ posloupnost bodů z $D_F$ různých od $\va$, ale s limitou rovnou $\va$, pak
Skutečně, množina $M \ceq \{\vx_k \mid k \in \N\}$ splňuje předpoklady předchozí věty.
V podstatě stejně jako u posloupností můžeme dokázat následující tvrzení ukazující vztah limity (vektorové) funkce, vzdálenosti a limit složek.
Mějme (vektorovou) funkci $F: D_F \to \R^m$, $D_F \subset \R^n$, hromadný bod $\va \in \R^n$ množiny $D_F$ a bod $\vb \in \R^m$. Potom platí
$\displaystyle\lim_{\vx \to \va} F(\vx) = \vb$, právě když $\displaystyle \lim_{\vx \to \va} \| F(\vx) - \vb \| = 0$.
Označme složky $F$ jako
Pak $\lim\limits_{\vx \to \va} F(\vx) = \vb$, právě když $\lim\limits_{\vx\to\va} F_j(\vx) = b_j$ pro každé $j \in \hat{m}$.
Pro důkaz prvního bodu si stačí pouze uvědomit, že podmínka $F(\vx) \in U_{\vb}(\varepsilon)$ je ekvivalentní podmínce $\|F(\vx) - \vb \| < \varepsilon$ a dále si rozepsat definice zmíněných limit.
V druhém bodě stačí postupovat jako v důkazu Věty 7.2, stručně:
Je-li $\| F(\vx) - \vb \| < \varepsilon$, pak jistě $|F_j(\vx) - \vb_j| \leq \| F(\vx) - \vb \| < \varepsilon$.
Druhým směrem musíme malinko více pracovat: mějme $\varepsilon > 0$ a dále dle předpokladu mějme $\delta_1,\ldots,\delta_m > 0$ pro něž $|F_j(\vx) - \vb_j| < \varepsilon / \sqrt{m}$ kdykoliv $\vx \in U_{\va}(\delta_j)$, $j\in\hat m$. Potom pro $\delta \ceq \min\{\delta_1, \ldots, \delta_m\}$ platí
kdykoliv $\vx \in U_{\va}(\delta)$.
$\square$
Spousta známých vlastností limit zůstává zachována. Například platí následující důležité analogie z BI-MA1 důvěrně známých tvrzení.
Mějme dvě vektorové funkce $F: D_F \to \R^m$, $D_F \subset \R^n$, $G: D_G \to \R^m$, $D_G \subset \R^n$, bod $\va \in \R^n$, který je hromadným bodem množiny $D_F \cap D_G$ a $\alpha \in \R$. Potom pokud existují limity $\displaystyle\lim_{\vx\to\va} F(\vx) = \vb \in \R^m$ a $\displaystyle\lim_{\vx\to\va} G(\vx) = \vc \in \R^m$, potom platí
Mějme dvě funkce $f: D_f \to \R$, $D_f \subset \R^n$, $g: D_g \to \R$, $D_g \subset \R^n$, bod $\va \in \R^n$, který je hromadným bodem množiny $D_f \cap D_g$. Potom pokud existují limity $\displaystyle\lim_{\vx\to\va} f(\vx) = b \in \R$ a $\displaystyle\lim_{\vx\to\va} g(\vx) = c \in \R$, potom platí
Mějme dvě vektorové funkce $F: D_F \to \R^m$, $D_F \subset \R^n$, $G: D_G \to \R^m$, $D_G \subset \R^n$, bod $\va \in \R^n$, který je hromadným bodem množiny $D_F \cap D_G$ a $\alpha \in \R$. Nechť dále existují limity $\displaystyle\lim_{\vx\to\va} F(\vx) = \vb \in \R^m$ a $\displaystyle\lim_{\vx\to\va} G(\vx) = \vc \in \R^m$.
Buď $U_{\vb + \vc}(\varepsilon)$ okolí bodu $\vb + \vc$. Dle předpokladů existují okolí $U_\va(\delta_1)$ a $U_\va(\delta_2)$ bodu $\va$ taková, že
Položme $\delta \ceq \min\{\delta_1, \delta_2\}$. Potom pro libovolné $\vx\in \big(U_{\va}(\delta) \cap D_{F + G}\big) \smallsetminus \{\va\}$ platí (trojúhelníková nerovnost!)
Tj. $(F + G)(\vx) \in U_{\vb + \vc}(\varepsilon)$.
$\square$
Bod $\va \in \R^n$ nazýváme hromadným bodem množiny $M \subset \R^n$, právě když v každém okolí bodu $\va$ leží bod množiny $M$ různý od $\va$.