6.3 Vlastnosti množiny řešení lineárních rekurentních rovnic

Nejprve budeme studovat obecné a důležité vlastnosti množiny řešení LRR. Začneme velmi pozitivním a základním pozorováním:

Věta 6.1 (O existenci a jednoznačnosti řešení LRR)

Platí dvě následující tvrzení.

  1. Každá lineární rekurentní rovnice má nějaké řešení.

  2. Je-li dána lineární rekurentní rovnice řádu $k \in \N$ s předepsanými počátečními podmínkami, pak existuje právě jedno řešení této rovnice splňující tyto počáteční podmínky.

Zobrazit důkaz

Postupně dokažme obě uvedená tvrzení.

  1. Mějme LRR řádu $k \in \N$ tvaru

    \begin{equation*} x_{n+k} + \sum_{i=0}^{k-1} c_{i,n} x_{n+i} = b_n, \quad n \in \Z, \ n \geq n_0. \end{equation*}

    Zvolme $A_0,\ldots,A_{k-1}$ libovolně a položme $X_{n_0} \ceq A_0$, …, $X_{n_0 + k - 1} \ceq A_{k-1}$. Poté postupně vypočtěme $X_{n_0 + k}$, $X_{n_0 + k +1}$,… pomocí předpisu

    \begin{equation*} X_{n + k} \ceq b_n - \sum_{i=0}^{k-1} c_{i,n} X_{n+i}, \quad n \in \Z, \ n \geq n_0. \end{equation*}

    Takto zkonstruovaná posloupnost $(X_n)_{n=n_0}^\infty$ je řešením naší LRR.

  2. Jsou-li počáteční podmínky $A_0,\ldots,A_{k-1}$ předepsány, pak z předchozího bodu vidíme, že už jednoznačně udávají hodnoty řešení $X_n$ pro $n \geq n_0 + k$ a tedy jednoznačně udávají i celé řešení (jakožto posloupnost).

$\square$

Dle druhého bodu Věty 6.1 je každé řešení LRR řádu $k$ jednoznačně zadáno počátečními podmínkami (kterých je $k$): shoduje-li se prvních $k$ prvků dvou řešení jedné LRR, pak jsou tato řešení shodná.

Kolik řešení LRR existuje? Jak velká je množina všech řešení zadané LRR? Těmito otázkami se budeme zabývat zanedlouho. Nejprve učiňme důležité pozorování o vztahu řešení různých LRR lišících se pouze pravou stranou, které je obecně charakteristické pro lineární systémy (rozmyslete analogické tvrzení pro soustavy lineárních rovnic).

Věta 6.2 (Princip superpozice / Superposition principle)

Uvažme dvě LRR $k$-tého řádu s ne nutně shodnými pravými stranami,

\begin{equation}\label{eq_superpozice_1}\tag{6.4} x_{n+k} + \sum_{i=0}^{k-1} c_{i,n} x_{n+i} = \clr{red}{b_n}, \end{equation}

a

\begin{equation}\label{eq_superpozice_2}\tag{6.5} x_{n+k} + \sum_{i=0}^{k-1} c_{i,n} x_{n+i} = \clr{red}{\tilde{b}_n}, \end{equation}

pro $n \in \Z$, $n \geq n_0$. Je-li $(X_n)_{n = n_0}^\infty$ řešení rovnice (6.4) a $(Y_n)_{n = n_0}^\infty$ řešení rovnice (6.5), potom pro libovolnou konstantu $\alpha$ je posloupnost $(X_n + \alpha Y_n)_{n = n_0}^\infty$ řešením LRR

\begin{equation*} x_{n+k} + \sum_{i=0}^{k-1} c_{i,n} x_{n+i} = \clr{red}{b_n + \alpha \tilde b_n}, \quad n \geq n_0. \end{equation*}

Zobrazit důkaz

Přímočaré dosazení. Proveďte!

$\square$

Než se pustíme do popisu množiny řešení je vhodné připomenout několik pojmů známých z lineární algebry.

Poznámka 6.1 (Prostor všech posloupností)

Uvažme celočíselné $n_0$ a množinu všech reálných posloupností $(x_n)_{n=n_0}^\infty$, tuto neprázdnou množinu označme $\R^\infty$ (závislost na $n_0$ ve značení potlačujeme, musí být vždy dáno pevně).

  • Součet dvou posloupností $(x_n)_{n=n_0}^\infty, (y_n)_{n=n_0}^\infty \in \R^\infty$ definujeme jako posloupnost

    \begin{equation*} (x_n)_{n=n_0}^\infty + (y_n)_{n=n_0}^\infty \ceq (x_n + y_n)_{n=n_0}^\infty \in \R^\infty. \end{equation*}

  • Skalární násobek posloupnosti $(x_n)_{n=n_0}^\infty \in \R^\infty$ číslem $\alpha \in \R$ definujeme jako posloupnost

    \begin{equation*} \alpha \cdot (x_n)_{n=n_0}^\infty \ceq (\alpha x_n)_{n=n_0}^\infty \in \R^\infty. \end{equation*}

Množina $\R^\infty$ vybavená těmito operacemi tvoří vektorový prostor nekonečné dimenze (ověření axiomů: zamyšlení), množina

\begin{equation*} \{ (\delta_{i, n})_{n=n_0}^\infty \mid i = n_0, n_0 + 1, \ldots \} \subset \R^\infty \end{equation*}

je LN množina mající nekonečně mnoho členů. Nulovým prvkem v tomto prostoru je nulová posloupnost $\theta = (0)_{n=n_0}^\infty$.

Nyní se dostáváme k ústřední větě, která by vám měla být povědomá z BI-LA1 (Frobeniova věta).

Věta 6.3 (O struktuře množiny řešení LRR)

Mějme LRR řádu $k \in \N$ tvaru

\begin{equation}\label{eq_struktura}\tag{6.6} x_{n+k} + \sum_{i=0}^{k-1} c_{i,n} x_{n+i} = b_n, \quad n \in \Z, \ n \geq n_0, \end{equation}

a označme množinu všech jejích řešení symbolem $S$ a množinu všech řešení přidružené homogenní rovnice symbolem $S_0$. Potom platí následující tvrzení:

  1. Množina $S_0$ je vektorový prostor dimenze $k$.

  2. Množina $S$ je tvaru $S = (\tilde{x}_n)_{n=n_0}^\infty + S_0$, kde $(\tilde{x}_n)_{n=n_0}^\infty$ je (partikulární) řešení rovnice (6.6).

Než se pustíme do důkazu této ústřední věty, tak vypíchněme její přímočaré důležité důsledky:

  • Pokud máme dvě řešení jedné homogenní LRR, pak i jejich součet je řešení té samé homogenní LRR.

  • Pokud máme jedno řešení jedné homogenní LRR, pak i jeho konstantní násobek je řešením té samé homogenní LRR.

  • Při hledání všech řešení zadané LRR je potřeba umět hledat všechna řešení přidružené homogenní rovnice a nějaká partikulární řešení.

Již víme, že množina $S_0$ je neprázdná, viz Větu 6.1.

Dokažme nyní uzavřenost množiny $S_0$ vůči algebraickým operacím. Uvažme dvě řešení $(x_n)_{n=n_0}^\infty$ a $(y_n)_{n=n_0}^\infty$ přidružené homogenní rovnice k rovnici (6.6), tedy dva prvky $S_0$, a libovolné $\alpha \in \R$. Potom pro prvky posloupnosti $(x_n + \alpha y_n)_{n=n_0}^\infty$ platí

\begin{align*} (x_{n+k} &+ \alpha y_{n+k}) + \sum_{i=0}^{k-1} c_{i,n} (x_{n+i} + \alpha y_{n+i}) \href{Asociativita a distributivita algebraických operací sčítání a odčítání reálných čísel.}{\class{mathpopup bg-info-subtle}{=}} \\ &= \left(x_{n+k} + \sum_{i=0}^{k-1} c_{i,n} x_{n+i} \right) + \alpha \left(y_{n+k} + \sum_{i=0}^{k-1} c_{i,n} y_{n+i}\right) = 0 + \alpha \cdot 0 = 0, \quad n \geq n_0.\end{align*}

Tudíž i $(x_n + \alpha y_n)_{n=n_0}^\infty \in S_0$.

Zkonstruujme bázi $S_0$ mající $k$ členů. Označme jako $(X^{(i)}_n)_{n=n_0}^\infty$, $i = 0,1,\ldots, k-1$, prvek $S_0$ s počátečními podmínkami $X^{(i)}_{n_0 + j} = \delta_{ij}$, $i,j=0,1,\ldots,k-1$. Těchto vektorů je tedy $k$.

Soubor těchto $k$ vektorů generuje $S_0$: je-li $(x_n)_{n=n_0}^\infty$ libovolné řešení z $S_0$, pak díky linearitě jistě platí

\begin{equation*} (x_n)_{n=n_0}^\infty = \sum_{i=0}^{k-1} x_{n_0 + i} \cdot (X^{(i)}_n)_{n=n_0}^\infty. \end{equation*}

Dále je tento soubor i lineárně nezávislý: dává-li lineární kombinace výše nulovou posloupnost, pak pro koeficienty lineární kombinace nutně platí $x_{n_0 + i} = 0$ pro $i = 0,1,\ldots,k-1$.

$\square$

Mějme partikulární řešení $(\tilde{x}_n)_{n=n_0}^\infty$ LRR (6.6). Chceme ukázat rovnost

\begin{equation*} S = (\tilde{x}_n)_{n=n_0}^\infty + S_0. \end{equation*}

Ukážeme proto dvě inkluze.

$\subset$: Uvažme $(x_n)_{n=n_0}^\infty \in S$ a položme $y_n \ceq x_n - \tilde{x}_n$, $n \geq n_0$. Potom platí

\begin{equation*} (x_n)_{n=n_0}^\infty = (\tilde{x}_n)_{n=n_0}^\infty + (y_n)_{n=n_0}^\infty \end{equation*}

a

\begin{align*} y_{n+k} + \sum_{i=0}^{k-1} c_{i,n} y_{n+i} &= \left(x_{n+k} + \sum_{i=0}^{k-1} c_{i,n} x_{n+i}\right) - \left(\tilde{x}_{n+k} + \sum_{i=0}^{k-1} c_{i,n} \tilde{x}_{n+i} \right) = \\ &= b_n - b_n = 0.\end{align*}

Tudíž, $(y_n)_{n=n_0}^\infty \in S_0$.

$\supset$: Je-li $(x_n)_{n=n_0}^\infty = (\tilde{x}_n)_{n=n_0}^\infty + (y_n)_{n=n_0}^\infty$ pro nějaké $(y_n)_{n=n_0}^\infty \in S_0$, pak

\begin{align*} x_{n+k} + \sum_{i=0}^{k-1} c_{i,n} x_{n+i} &= \left(\tilde{x}_{n+k} + \sum_{i=0}^{k-1} c_{i,n} \tilde{x}_{n+i}\right) + \left(y_{n+k} + \sum_{i=0}^{k-1} c_{i,n} y_{n+i} \right) = \\ &= b_n + 0\end{align*}

a proto $(x_n)_{n=n_0}^\infty \in S$.

$\square$

Demonstrujme znění předchozí věty na případě geometrické posloupnosti.

Příklad 6.7 (Geometrická posloupnost)

V Příkladu 6.4 jsme ukázali, že pro dané $q \in \R$ je řešením LRR prvního řádu

\begin{equation*} x_{n + 1} - q x_n = 0, \quad n \geq 0. \end{equation*}

posloupnost tvaru $x_n = \alpha \cdot q^{n}$, $n \in \N_0$, kde $\alpha \in \R$ je nějaká konstanta.

V tomto případě proto pro množinu všech řešení této LRR platí

\begin{equation*} S_0 = \big\langle (q^n)_{n=0}^\infty \big\rangle, \end{equation*}

jde o jednodimenzionální podprostor $\R^\infty$.

Řadu dalších příkladů si ukážeme v další části této kapitoly, až vybudujeme nástroje pro systematické řešení LRR s konstantními koeficienty.

6.3.1 Poznámka ke vztahu s lineární algebrou

V této podkapitole by měl být patrný velmi blízký kontakt s lineární algebrou. Samotnou LRR

\begin{equation}\label{eq_lrr_poznamka}\tag{6.7} x_{n+k} + \sum_{i=0}^{k-1} c_{i,n} x_{n+i} = b_n, \quad n \in \Z, \ n \geq n_0. \end{equation}

lze formulovat pomocí tzv. matice přechodu v následujícím maticovém tvaru

\begin{equation*} \begin{pmatrix} x_{n+k} \\ x_{n+k-1} \\ \vdots \\ x_{n+1} \end{pmatrix} = \mathbf{A}_n \begin{pmatrix} x_{n+k-1} \\ x_{n+k-2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_n \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \end{equation*}

pro $n \geq n_0$, kde

\begin{equation*} \mathbf{A}_n = \begin{pmatrix} -c_{k-1, n} & -c_{k-2, n} & -c_{k-3,n} & \cdots & -c_{1,n} & -c_{0,n} \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots &\cdots & 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation*}

Další souvislosti mezi LRR a lineární algebrou uvidíme v dalších částech této kapitoly.

6.3.2 Lineární rekurentní rovnice s konstantními koeficienty

LRR zkoumané v předchozím textu jsou stále ještě příliš obecné, jejich řešení nemusí být snadno vyjádřitelné v uzavřeném tvaru. Provedeme ještě jedno omezení třídy rekurentních rovnic, které se budeme snažit vyřešit.

Definice 6.4 (LRR s konstantními koeficienty)

Lineární rekurentní rovnice řádu $k \in \N$ s konstantními koeficienty je lineární rekurentní rovnice řádu $k$ tvaru

\begin{equation}\label{eq_lrr_kk}\tag{6.8} x_{n+k} + c_{k-1} \cdot x_{n+k-1} + \cdots + c_{1} \cdot x_{n+1} + c_{0} \cdot x_n = b_n, \quad n \in \Z, \ n \geq n_0, \end{equation}

kde $n_0 \in \Z$ a $c_{i} \in \R$, $i = 0,1,\ldots,k-1$, $c_0 \neq 0$, jsou zadané konstanty a $(b_n)_{n=n_0}^\infty$ je zadaná posloupnost.

Každá lineární rekurentní rovnice s konstantními koeficienty (Definice 6.4) je speciálním případem lineární rekurentní rovnice (Definice 6.1) a platí o ní vše co jsme zatím zmínili v předchozí části této kapitoly.

Pokusme se najít řešení přidružené homogenní rovnice k rovnici (6.8) ve tvaru $x_n = \lambda^n$, kde $\lambda$ je zatím neznámý nenulový parametr. Po dosazení a pokrácení dostaneme rovnice

\begin{equation*} \lambda^{n+k} + \sum_{i=0}^{k-1} c_i \lambda^{n+i} = 0, \ n \geq n_0 \quad \Leftrightarrow \quad \lambda^{k} + \sum_{i=0}^{k-1} c_i \lambda^{i} = 0. \end{equation*}

Tím jsme se zcela zbavili závislosti na $n$ a pokud najdeme kořeny tohoto polynomu stupně $k$, pak najdeme i řešení naší homogenní LRR! Zavádíme proto následující pojem.

Definice 6.5 (Charakteristický polynom LRR s konstantními koeficienty)

Charakteristickým polynomem rovnice (6.8) nazýváme polynom stupně $k$ tvaru

\begin{equation*} p(\lambda) = \lambda^k + c_{k-1} \lambda^{k - 1} + \cdots + c_1 \lambda + c_0. \end{equation*}

Kořeny14 tohoto polynomu se nazývají charakteristická (nebo vlastní) čísla rovnice (6.8).

Příklad 6.8

Následuje výčet ukázkových dvojic LRR s konstantními koeficienty a jejích charakteristických polynomů:

\begin{align*} x_{n+2} - 2 x_{n+1} + 7 x_n &= 0, & p(\lambda) &= \lambda^2 - 2\lambda + 7, \\ x_{n+3} + \pi x_n - 1 &= 0, & p(\lambda) &= \lambda^3 + \pi, \\ x_{n+7} + x_{n+3} - 42 x_{n} &= n^2, & p(\lambda) &= \lambda^7 + \lambda^3 - 42.\end{align*}

Všimněte si, že v případě LRR s nekonstantními koeficienty tento přístup, tj. hledání řešení ve tvaru $\lambda^n$, takto jednoduše aplikovat nemůžeme: koeficienty by stále závisely na $n$, neměli bychom jeden polynom pro danou LRR.

Pojďme nyní systematicky řešit LRR s konstantními koeficienty.