Sylvesterovo kritérium lze zobecnit i na případ PSD a NSD forem, ale ne pouhým přepsáním ostrých nerovností na neostré. Pro zájemce zde toto kritérium bez důkazu alespoň zformulujme.
Pro matici $\mM \in \R^{n,n}$ a množinu $I \subset \hat n$, $I \neq \hat n$, označme jako $\mM_I$ matici, která vznikne z matice $\mM$ smazáním řádků a sloupců s indexy patřícími do $I$.
Je-li
potom například
Vždy platí $\mM_{\emptyset} = \mM$.
Nechť $\mM \in \R^{n,n}$ je symetrická matice. Potom
$\mM$ je PD, právě když $\det \mM_{\{k+1,\ldots,n\}} > 0$ pro každé přirozené $k$ splňující $0 < k \leq n$,
$\mM$ je ND, právě když $(-1)^k \det \mM_{\{k+1,\ldots,n\}} > 0$ pro každé přirozené $k$ splňující $0 < k \leq n$,
$\mM$ je PSD, právě když $\det \mM_I \geq 0$ pro všechna $I \subsetneq \hat n$.
$\mM$ je NSD, právě když $(-1)^{n - \# I}\det \mM_I \geq 0$ pro všechna $I \subsetneq \hat n$.
$\mM$ je ID, právě když $\det \mM_I < 0$ pro nějaké $I \subsetneq \hat n$, kde $n - \# I$ je sudé, nebo $\det \mM_I < 0$ a $\det \mM_J > 0$ pro nějaké $I,J \subsetneq \hat n$, kde $n - \# I$ a $n - \# J$ jsou lichá.
Toto tvrzení má dva užitečné důsledky.
Nechť $\mM \in \R^{n,n}$ je symetrická matice. Pokud existuje sudé $k$ takové, že $\det M_k < 0$, nebo pokud existují lichá $k, \ell$ taková, že $\det \mM_k < 0$ a $\det \mM_\ell > 0$, pak je matice $\mM$ ID.
Nechť $\mM \in \R^{n,n}$ je symetrická matice. Pokud $\mM$ není PD ani ND a pro každé $k\in\hat n$ je $\det \mM_k \neq 0$, pak je matice $\mM$ ID.