10.2 Vlastnosti Riemannova integrálu

Nyní se zaměřme na nejzákladnější vlasnosti Riemannova integrálu pro funkce více proměnných.

Věta 10.1 (Postačující podmínka existence vícerozměrného integrálu)

Nechť $D$ je hyperkvádr nebo množina typu 1 nebo 2 a $f$ spojitá funkce na $D$. Potom je funkce $f$ Riemannovsky integrabilní na množině $D$.

Zobrazit důkaz

Důkaz vynecháváme. Podstatné je, že funkce $f$ je pěkná (tj. spojitá) a integrujeme ji na pěkné množině („uzavřená“).

$\square$

Nechť $D \subset \R^2$ je množina typu 1 nebo 2 (obsahuje případ obdélníku) a funkce $f$ a $g$ jsou spojité na $D$. Potom platí:

  • Linearita: pro konstantu $c$ platí

    \begin{equation*} \int_D (f + c g) =\int_D f + c \int_D g. \end{equation*}

  • Nerovnosti: pokud $f(x,y) \leq g(x,y)$ pro každé $(x,y)^T \in D$, pak

    \begin{equation*} \int_D f \leq \int_D g. \end{equation*}

  • Obsah množiny $D$, ozn. $\mathrm{Vol}_2(D)$, lze spočítat jako $\mathrm{Vol}_2(D) = \int_D 1$.

  • Chování v „mezích“: je-li $C$ další množina typu 1 nebo 2 mající s množinou $D$ v průniku pouze část „hranice,“ pak

    \begin{equation*} \int_{C \cup D} f = \int_C f + \int_D f. \end{equation*}

Analogická tvrzení platí i pro hyperkvádry $K \subset \R^n$ a funkce spojité na $K$.

Na vícerozměrnou integraci narazíme v řadě různorodých situací:

  • Popisuje-li $\rho(x,y)$ hustotu desky (zobecnění do více rozměrů je přirozené) $D$, pak její hmotnost $M$ a souřadnice jejího těžiště $(X,Y)$ spočteme jako

    \begin{equation*} M = \int_D \rho(x,y)\,\dx\dy, \; X = \frac{1}{M} \int_D x \rho(x,y)\,\dx\dy, \; Y = \frac{1}{M} \int_D y \rho(x,y)\,\dx\dy. \end{equation*}

  • Hustota pravděpodobnosti $f(x,y)$ na množině $D$ je funkce splňující

    \begin{equation*} \int_D f(x,y)\,\dx\dy = 1. \end{equation*}

  • Je-li $f(x,y) \geq 0$ pro $(x,y) \in D$, pak

    \begin{equation*} \int_D f(x,y) \,\dx\dy \end{equation*}

    vyjadřuje objem tělesa ohraničeného množinou $D$ a grafem funkce $f$.

  • Obsah plochy $z = f(x,y)$, kde $(x,y)\in D$, se vypočte dle vzorce

    \begin{equation*} \int_D \sqrt{1 + \big(\partial_x f(x,y)\big)^2 + \big(\partial_y f(x,y)\big)^2} \,\dx\dy. \end{equation*}

  • Fyzika…