6.4 Řešení homogenní LRR s konstantními koeficienty

Nejprve zformalizujme pozorování učiněné před definicí charakteristického polynomu.

Věta 6.4 (Konstrukce řešení homogenní LRR pomocí charakteristického čísla)

Jestliže $\lambda$ je charakteristickým číslem homogenní LRR s konstantními koeficienty řádu $k\in\N$

\begin{equation*} x_{n+k} + c_{k-1} x_{n+k-1} + \cdots + c_1 x_{n+1} + c_0 x_{n} = 0, \quad n \geq n_0, \end{equation*}

pak posloupnost $(\lambda^n)_{n=n_0}^\infty$ je jejím řešením.

Zobrazit důkaz

Číslo $\lambda$ splňuje $p(\lambda) = \lambda^k + c_{k-1} \lambda^{k-1} + \cdots + c_1 \lambda + c_0 = 0$ a proto

\begin{equation*} \lambda^{n+k} + \sum_{i=0}^{k-1} c_i \lambda^{n+i} = \lambda^n \cdot p(\lambda) = \lambda^n \cdot 0 = 0 \end{equation*}

pro každé $n \geq n_0$.

$\square$

Pomocí charakteristických čísel můžeme zkonstruovat bázi $S_0$. Nejprve prozkoumejme jednoduchý případ, kdy všechna mají násobnost15 $1$, tj. když jsou všechna tzv. jednoduchá.

Věta 6.5 (Řešení homogenní LRR s konstantními koeficienty, jednoduchá charakteristická čísla)

Uvažujme homogenní LRR s konstantními koeficienty řádu $k \in \N$

\begin{equation*} x_{n+k} + c_{k-1} x_{n+k-1} + \cdots + c_1 x_{n+1} + c_0 x_{n} = 0, \quad n \geq n_0. \end{equation*}

Jestliže má $k$ vzájemně různých charakteristických čísel $\lambda_i$, $i\in\hat{k}$, pak soubor posloupností $(\lambda_i^n)_{n=n_0}^\infty$, $i\in\hat{k}$, tvoří bázi $S_0$, tedy libovolné řešení $(x_n)_{n=n_0}^\infty \in S_0$ je tvaru

\begin{equation*} x_n = \alpha_1 \lambda_1^n + \cdots + \alpha_k \lambda_k^n, \quad n \geq n_0, \end{equation*}

pro nějaké konstanty $\alpha_1, \ldots, \alpha_k$.

V důkazu budeme potřebovat následující lineárně–algebraické pomocné tvrzení.

Lemma 6.1 (Determinant Vandermondovy matice)

Mějme vzájemně různá čísla $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ a označme (tzv. Vandermondův determinant)

\begin{equation}\label{eq_vandermonde}\tag{6.9} V(\lambda_1,\ldots,\lambda_k) \ceq \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 & \cdots & \lambda_{k-1} & \lambda_{k} \\ \lambda_1^2 & \lambda_2^2 & \lambda_3^2 & \cdots & \lambda_{k-1}^2 & \lambda_{k}^2 \\ \lambda_1^3 & \lambda_2^3 & \lambda_3^3 & \cdots & \lambda_{k-1}^3 & \lambda_{k}^3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \lambda_1^{k-2} & \lambda_2^{k-2} & \lambda_3^{k-2} & \cdots & \lambda_{k-1}^{k-2} & \lambda_{k}^{k-2} \\ \lambda_1^{k-1} & \lambda_2^{k-1} & \lambda_3^{k-1} & \cdots & \lambda_{k-1}^{k-1} & \lambda_{k}^{k-1} \end{pmatrix}. \end{equation}

Potom $\displaystyle V(\lambda_1,\ldots,\lambda_k) = \prod_{1 \leq i < j \leq k} (\lambda_j - \lambda_i) \neq 0$.

Postupně učiňme následující pozorování:

  • Z vlastností determinantu plyne, že funkce $\lambda \mapsto V(\lambda_1,\ldots,\lambda_{k-1},\lambda)$ je polynom stupně $k-1$ v proměnné $\lambda$ a má kořeny $\lambda_1,\ldots,\lambda_{k-1}$. Platí proto

    \begin{equation*} V(\lambda_1, \ldots, \lambda_{k-1}, \lambda) = \alpha (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2) \cdots (\lambda - \lambda_{k-1}), \end{equation*}

    kde $\alpha$ je zatím neznámá konstanta.

  • Rozvojem podle posledního sloupce determinantu (6.9) ihned vidíme, že koeficient $\alpha$ u nejvyšší mocniny (tj. $\lambda^{k-1}$) splňuje $\alpha = V(\lambda_1, \ldots, \lambda_{k-1})$.

  • Hledaný determinant proto splňuje rekurenci

    \begin{equation*} V(\lambda_1, \ldots, \lambda_{k-1}, \lambda_k) = V(\lambda_1, \ldots, \lambda_{k-1}) \prod_{i=1}^{k-1} (\lambda_k - \lambda_i), \end{equation*}

    a počáteční podmínku $V(\lambda_1, \lambda_2) = \lambda_2 - \lambda_1$.

  • Odtud už vidíme platnost dokazovaného tvrzení.

$\square$

Z Věty 6.4 již víme, že každá z posloupností $(\lambda_i^n)_{n=n_0}^\infty$, $i\in\hat{k}$, patří do $S_0$. Všechna $\lambda_i$ jsou nenulová, protože $c_0 \neq 0$. Tvoří těchto $k$ posloupností LN soubor? Pokud ano, pak bude důkaz dokončen, protože dimenze $S_0$ je rovna $k$ (viz Větu 6.3).

Nechť lineární kombinace $(x_n)_{n=n_0}^\infty = \left(\sum_{i=1}^k \alpha_i \lambda_i^n\right)_{n=n_0}^\infty$ je nulová posloupnost. Zapíšeme-li rovnosti $x_{n_0} = 0$, $x_{n_0 + 1} = 0$, …, $x_{n_0 + k - 1} = 0$ vzhledem k neznámým $\alpha_1 \lambda_1^{n_0},\ldots,\alpha_k \lambda_k^{n_0}$, dostaneme homogenní lineární soustavu

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 & \cdots & \lambda_{k-1} & \lambda_{k} \\ \lambda_1^2 & \lambda_2^2 & \lambda_3^2 & \cdots & \lambda_{k-1}^2 & \lambda_{k}^2 \\ \lambda_1^3 & \lambda_2^3 & \lambda_3^3 & \cdots & \lambda_{k-1}^3 & \lambda_{k}^3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \lambda_1^{k-2} & \lambda_2^{k-2} & \lambda_3^{k-2} & \cdots & \lambda_{k-1}^{k-2} & \lambda_{k}^{k-2} \\ \lambda_1^{k-1} & \lambda_2^{k-1} & \lambda_3^{k-1} & \cdots & \lambda_{k-1}^{k-1} & \lambda_{k}^{k-1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha_1 \lambda_1^{n_0} \\ \alpha_2 \lambda_2^{n_0} \\ \alpha_3 \lambda_3^{n_0} \\ \vdots \\ \alpha_{k-1} \lambda_{k-1}^{n_0} \\ \alpha_k \lambda_k^{n_0} \end{pmatrix} = \theta, \end{equation*}

kde matice soustavy je regulární (Vandermondova matice, Lemma 6.1) a proto řešením této soustavy je pouze $\alpha_i \lambda_i^{n_0} = 0$, $i \in \hat{k}$, a díky nenulovosti $\lambda_i$ pak nutně i $\alpha_i = 0$ pro $i \in \hat{k}$.

$\square$

Příklad 6.9

Uvažme homogenní LRR druhého řádu s konstantními koeficienty

\begin{equation*} x_{n+2} + 3 x_{n+1} + 2 x_n = 0, \quad n\in\N_0. \end{equation*}

Pro její charakteristický polynom platí

\begin{equation*} p(\lambda) = \lambda^2 + 3\lambda + 2 = (\lambda + 1)(\lambda + 2). \end{equation*}

A má proto dva vzájemně různé kořeny $\lambda_1 = -1$ a $\lambda_2 = -2$, každý násobnosti $1$.

Množina $S_0$ všech řešení výše uvedené LRR má proto tvar

\begin{equation*} S_0 = \Big\langle \big((-1)^n\big)_{n=0}^\infty, \ \big((-2)^n\big)_{n=0}^\infty \Big\rangle. \end{equation*}

Tj. každé řešení $(x_n)_{n=0}^\infty$ z $S_0$ je tvaru $x_n = \alpha (-1)^n + \beta (-2)^n$, $n \in \N_0$, kde $\alpha,\beta$ jsou nějaké konstanty.

Charakteristický polynom může mít přirozeně kořeny vyšší násobnosti, než je $1$. Jak zkonstruovat bázi $S_0$ v tomto případě? Dimenze prostoru $S_0$ pro LRR řádu $k$ bude stále $k$, ale vzájemně různých charakteristických čísel budeme mít méně než $k$. Otázkou vytvoření dalších řešení v této situaci se zabývá následující věta.

Věta 6.6 (Konstrukce řešení homogenní LRR pomocí charakteristického čísla vyšší násobnosti)

Jestliže $\lambda$ je charakteristickým číslem homogenní LRR řádu $k\in\N$ s konstantními koeficienty

\begin{equation*} x_{n+k} + c_{k-1} x_{n+k-1} + \cdots + c_1 x_{n+1} + c_0 x_{n} = 0, \quad n \geq n_0, \end{equation*}

a jeho násobnost je $m$, pak posloupnosti $(\lambda^n)_{n=n_0}^\infty$, $(n\lambda^n)_{n=n_0}^\infty$, …, $(n^{m-1}\lambda^n)_{n=n_0}^\infty$ jsou jejím řešením a tvoří LN soubor.

Na tomto místě důkaz v plné podrobnosti dělat nebudeme. Spokojíme se s ilustrací klíčové myšlenky v případě dvojnásobného charakteristického čísla.

Mějme $\lambda$ dvojnásobný kořen charakteristického polynomu $p(z) = z^k + \sum_{i=0}^{k-1} c_i z^i$. Protože $c_0 \neq 0$, je i $\lambda \neq 0$

Ve faktorizaci polynomu $p(z)$ se kořenový činitel $(z - \lambda)$ vyskytuje v druhé mocnině a proto nutně platí i $p'(\lambda) = 0$ (představte si derivování součinu kořenových činitelů, v každém sčítanci zbude alespoň jedna mocnina $(z - \lambda)$). Proto platí $p(\lambda) = 0$ a i $p'(\lambda) = 0$.Z dřívější diskuze již víme, že $(\lambda^n)_{n=n_0}^\infty$ je řešení. Nyní ověřme to samé pro $(n\lambda^n)_{n=n_0}^\infty$. Dosazením do levé strany rekurence a využitím nenulovosti $\lambda$ dostáváme

\begin{align*} (n+k)\lambda^{n+k} &+ \sum_{i=0}^{k-1} c_i (n+i) \lambda^{n+i} = \\ &= \lambda \left( (n+k)\lambda^{n+k-1} + \sum_{i=0}^{k-1} c_i (n+i) \lambda^{n+i-1} \right) = \\ &= \lambda \cdot \Big( z^n \cdot p(z) \Big)' \Big\vert_{z=\lambda} = 0.\end{align*}

Zbývá rozmyslet lineární nezávislost. Platí-li $\alpha \lambda^n + \beta n\lambda^n = 0$, $n \geq n_0$ a $\lambda \neq 0$ pak nutně (napište si první dvě rovnice) $\alpha = \beta = 0$.

$\square$

Poznamenejme, že pro vyšší násobnosti bude potřeba využít vyšších derivací charakteristického polynomu. Důkaz lineární nezávislosti obecně vede na podobné úvahy jako v případě Vandermondova determinantu.

V obecném případě můžeme konstrukci řešení homogenní LRR shrnout v následující větě.

Věta 6.7 (Konstrukce prostoru všech řešení homogenní LRR)

Uvažujme homogenní LRR řádu $k \in \N$ s konstantními koeficienty

\begin{equation*} x_{n+k} + c_{k-1} x_{n+k-1} + \cdots + c_1 x_{n+1} + c_0 x_{n} = 0, \quad n \geq n_0. \end{equation*}

Jestliže má $K$ vzájemně různých charakteristických čísel $\lambda_i$, $i\in\hat{K}$, každé s násobností $m_i \in \hat{k}$, pak soubor posloupností

\begin{gather*} \Big( (\lambda_1^n)_{n=n_0}^\infty, \ (n\lambda_1^n)_{n=n_0}^\infty, \ \ldots, (n^{m_1-1} \lambda_1^n)_{n=n_0}^\infty, \ \ldots, \\ (\lambda_K^n)_{n=n_0}^\infty, \ (n\lambda_K^n)_{n=n_0}^\infty, \ \ldots, (n^{m_K-1} \lambda_K^n)_{n=n_0}^\infty \Big)\end{gather*}

tvoří bázi $S_0$.

Zobrazit důkaz

Využíváme dřívějších tvrzení. Formální ověření LN vynecháváme.

$\square$

Příklad 6.10

Uvažme homogenní LRR třetího řádu s konstantními koeficienty

\begin{equation*} x_{n+3} + 2 x_{n+2} - 4 x_{n+1} - 8x_n = 0, \quad n\in\N_0. \end{equation*}

Zobrazit řešení

Pro její charakteristický polynom platí

\begin{equation*} p(\lambda) = \lambda^3 + 2\lambda^2 - 4\lambda - 8 = (\lambda - 2)(\lambda + 2)^2. \end{equation*}

A má proto dva vzájemně různé kořeny $\lambda_1 = -2$ (dvojnásobný) a $\lambda_2 = 2$ (jednoduchý). Množina $S_0$ všech řešení výše uvedené LRR má proto tvar

\begin{equation*} S_0 = \Big\langle (2^n)_{n=0}^\infty, \ \big((-2)^n\big)_{n=0}^\infty, \ \big(n(-2)^n\big)_{n=0}^\infty \Big\rangle. \end{equation*}

Tj. každé řešení $(x_n)_{n=0}^\infty$ z $S_0$ je tvaru $x_n = \alpha 2^n + \beta (-2)^n + \gamma n(-2)^n$, $n \in \N_0$, kde $\alpha,\beta,\gamma$ jsou nějaké konstanty.

Příklad 6.11

Nalezněte všechna řešení homogenní LRR druhého řádu s konstantními koeficienty

\begin{equation*} x_{n+2} + x_n = 0, \quad n \geq 0. \end{equation*}

Zobrazit řešení

Charakteristickým polynomem je v tomto případě

\begin{equation*} p(\lambda) = \lambda^2 + 1, \end{equation*}

a má dva čistě imaginární (komplexní) kořeny $\lambda_\pm = \pm i$. Dříve zmíněná tvrzení stále platí (komplexnost kořenů nehraje roli). Libovolné řešení této LRR je tvaru

\begin{equation*} x_n = \alpha \cdot i^n + \beta \cdot (-i)^n, \quad n \geq 0. \end{equation*}

To ale není pěkné! Začneme-li s reálnými počátečními podmínkami, tak původní „reálný“ problém bude mít jistě reálné řešení! Nutnost vyjadřovat pomocí výrazů s imaginárními jednotkami bychom se tedy měli být schopni zbavit.

A to skutečně jde, vzpomeneme-li si na Moivreovu větu

\begin{equation*} (\pm i)^n = \left(\cos \frac{\pi}{2} \pm i \sin \frac{\pi}{2} \right)^n = \cos \frac{\pi n}{2} \pm i \sin \frac{\pi n}{2} \end{equation*}

a vyjádříme-li řešení ve tvaru

\begin{equation*} x_n = (\alpha + \beta) \cos \frac{\pi n}{2} + i (\alpha - \beta) \sin \frac{\pi n}{2}, \quad n \geq 0. \end{equation*}

Místo posloupnosti $(i^n)_{n=0}^\infty$ a $\big((-i)^n\big)_{n=0}^\infty$ proto v této situaci použijeme lineární kombinaci $\big(\sin \frac{\pi n}{2}\big)_{n=0}^\infty$ a $\big(\cos \frac{\pi n}{2}\big)_{n=0}^\infty$ k vyjádření obecného řešení ve tvaru

\begin{equation*} x_n = \tilde{\alpha} \cos \frac{\pi n}{2} + \tilde{\beta} \sin \frac{\pi n}{2}, \quad n \geq 0, \end{equation*}

kde $\tilde\alpha$ a $\tilde\beta$ jsou nějaké konstanty.

Lze postup v předchozím příkladu zobecnit? Ano! Postup lze shrnout do následujících bodů.

  • Mějme LRR s konstantními koeficienty a buď $p(\lambda)$ její charakteristický polynom (mající reálné koeficienty, viz definice LRR).

  • Je-li $\lambda$ charakteristické číslo, které je komplexní a není reálné, pak i $\bar{\lambda}$ (číslo komplexně sdružené k $\lambda$) je charakteristické číslo naší LRR.

  • Vyjádřeme toto $\lambda$ v polárním tvaru jako

    \begin{equation*} \lambda = r \cdot (\cos \varphi + i \sin \varphi), \end{equation*}

    kde $r > 0$ a $\varphi \in \langle 0, 2\pi)$. Potom $\bar{\lambda} = r \cdot (\cos \varphi - i\sin \varphi)$.

  • Použijeme-li opět Moivreovu větu, pak vidíme, že při konstrukci $S_0$ můžeme místo posloupností $(\lambda^n)_{n=n_0}^\infty$ a $(\bar{\lambda}^n)_{n=n_0}^\infty$ použít dvojici posloupností

    \begin{equation*} \big( r^n \sin \varphi n \big)_{n=n_0}^\infty \quad \text{a} \quad \big( r^n \cos \varphi n \big)_{n=n_0}^\infty. \end{equation*}

  • V případě vyšších násobností stačí vše navíc ještě vynásobit příslušnými mocninami $n$.

6.4.1 Shrnutí konstrukce množiny všech řešení homogenní LRR

Uvažme LRR $k$-tého řádu s konstantními koeficienty a nulovou pravou stranou. Bázi $\mathcal{B}$ podprostoru $S_0$ konstruujeme v následujících krocích:

  1. Sestavme charakteristický polynom $p(\lambda)$ a nalezněme jeho kořeny.

  2. Za každé reálné charakteristické číslo $\lambda$ přidáme do $\mathcal{B}$ posloupnost $(\lambda^n)_{n=n_0}^\infty$.

  3. Za každé reálné charakteristické číslo $\lambda$ násobnosti $m > 1$ přidáme do $\mathcal{B}$ posloupnosti $(n \lambda^n)_{n=n_0}^\infty$, …, $(n^{m-1}\lambda^n)_{n=n_0}^\infty$.

  4. Za každá dvě komplexně sdružená charakteristická čísla $\lambda = r(\cos \varphi \pm i \sin \varphi)$, která nejsou reálná, přidáme do souboru $\mathcal{B}$ dvě reálné posloupnosti $(r^n \cos n\varphi)_{n=n_0}^\infty$ a $(r^n \sin n\varphi)_{n=n_0}^\infty$.

  5. Za každá dvě komplexně sdružená charakteristická čísla $\lambda = r(\cos \varphi \pm i \sin \varphi)$, která nejsou reálná a mají násobnost $m > 1$, přidáme do souboru $\mathcal{B}$ reálné posloupnosti $(n r^n \cos n\varphi)_{n=n_0}^\infty$, …, $(n^{m-1} r^n \cos n\varphi)_{n=n_0}^\infty$ a dále $(n r^n \sin n\varphi)_{n=n_0}^\infty$, …, $(n^{m-1} r^n \sin n\varphi)_{n=n_0}^\infty$.

6.4.2 Příklady

Příklad 6.12 (Fibonacciho posloupnost)

Uvažme homogenní LRR druhého řádu s konstantními koeficienty

\begin{equation*} x_{n+2} - x_{n+1} - x_{n} = 0, \quad n\in\N_0, \end{equation*}

s počátečními podmínkami $x_0 = x_1 = 1$. Tj. Fibonacciho posloupnost. Nalezněme explicitní vyjádření jejího $n$-tého členu.

Zobrazit řešení

Charakteristickým polynomem této LRR je polynom $p(\lambda) = \lambda^2 - \lambda - 1$, který má dva vzájemně různé reálné kořeny $\lambda_\pm = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Libovolné řešení naší homogenní LRR je tedy tvaru

\begin{equation*} x_n = \alpha_+ \lambda_+^n + \alpha_- \lambda_-^n, \quad n \in \N_0. \end{equation*}

Vhodnou volbou konstant $\alpha_\pm$ nyní splníme počáteční podmínky. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých $\alpha_\pm$

\begin{equation*} x_0 = \alpha_+ + \alpha_- \overset{!}{=} 1 \quad \text{a} \quad x_1 = \alpha_+ \lambda_+ + \alpha_- \lambda_- \overset{!}{=} 1 \end{equation*}

má právě jedno řešení $\alpha_+ = \frac{\lambda_+}{\sqrt{5}}$ a $\alpha_- = - \frac{\lambda_-}{\sqrt{5}}$.

Závěr: Pro $n$-tý člen Fibonacciho posloupnosti platí

\begin{equation*} x_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \Big(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\Big)^{n+1} - \Big( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \Big)^{n+1} \right), \quad n \in \N_0. \end{equation*}

Poznámka 6.2

K řešení předchozího příkladu, explicitnímu vyjádření $n$-tého členu Fibonacciho posloupnosti, uveďme několik komentářů.

  • Pro hodnoty $\lambda_\pm$ platí

    \begin{align*} \lambda_+ &\approx \phantom{-}1{,}618\,033\,988\,749\,895, \\ \lambda_- &\approx -0{,}618\,033\,988\,749\,895.\end{align*}

    Hodnota $\lambda_+$ je také známá jako tzv. zlatý řez a označuje se často symbolem $\varphi$.

  • Povedlo se nám od rekurentní definice Fibonacciho posloupnosti přejít k jejímu vyjádření v uzavřeném tvaru. Vedle toho máme i přesnou informaci o jejím asymptotickém chování, konkrétně

    \begin{equation*} x_n \sim \frac{1}{\sqrt{5}} \varphi^{n+1} \quad \text{nebo} \quad x_n = \Theta(\varphi^n) \quad \text{pro} \ n \to \infty. \end{equation*}

    Tato informace není na první pohled na definiční rekurenci vůbec patrná!