Následující definice různých typů extrémů jako by z oka vypadla té z BI-MA1. Opět s úspěchem použijeme dříve zobecněný koncept okolí.
Mějme funkci $f: D_f \to \R$, $D_f \subset \R^n$, a bod $\va \in D_f$. Funkce $f$ má v bodě $\va$
ostré lokální minimum, právě když existuje okolí $U_\va$ bodu $\va$ takové, že pro všechna $\vx \in U_\va \cap D_f$ různá od $\va$ platí $f(\vx) > f(\va)$.
ostré lokální maximum, právě když existuje okolí $U_\va$ bodu $\va$ takové, že pro všechna $\vx \in U_\va \cap D_f$ různá od $\va$ platí $f(\vx) < f(\va)$.
lokální minimum, právě když existuje okolí $U_\va$ bodu $\va$ takové, že pro všechna $\vx \in U_\va \cap D_f$ platí $f(\vx) \geq f(\va)$.
lokální maximum, právě když existuje okolí $U_\va$ bodu $\va$ takové, že pro všechna $\vx \in U_\va \cap D_f$ platí $f(\vx) \leq f(\va)$.
Hodnota tohoto extrému je ve všech případech rovna $f(\va)$. Souhrnně budeme mluvit o (ostrém) lokálním extrému.
Nejprve se budeme soustředit na analytické hledání lokálních extrémů. Odvodíme nutné i postačující podmínky pro jejich existenci. K tomu využijeme pojmy diferenciálního počtu a typy definitností probrané v dřívější části textu.
Nutnou i postačující podmínku pro existenci lokálního extrému uvádí sama Definice 9.1. Nezapomínejte na ni. Pokud analytická metoda hledání selže, vždy se můžete pomocí definice pokusit existenci extrému vyvrátit, nebo prokázat.
V pozdější části přednášky si ukážeme i jeden z možných numerických přístupů k řešení tohoto problému spočívající v tzv. „spádové“ metodě.
Je dobré si uvědomit, že struktura množiny bodů, kde je nabýván extrém, může být poměrně komplikovaná. Zamyslete se co lze řící o extrémech funkcí uvedených na Obrázku 9.1.
Mějme bod $\va \in \R^n$ a poloměr $\veps > 0$. Potom okolím bodu $\va$ o poloměru $\veps$ nazýváme množinu všech bodů $\vx \in \R^n$, jejichž vzdálenost od bodu $\va$ je menší než $\veps$ a značíme ho $U_\va(\veps)$. Tj. podrobně rozepsáno