2.2 Neurčitý integrál

Vzhledem k předchozí větě (Věta 2.1) je přirozené zavést značení pro množinu všech primitivních funkcí k zadané funkci $f$.

Definice 2.2 (Neurčitý integrál / Indefinite integral)

Nechť k funkci $f$ existuje primitivní funkce na intervalu $(a,b)$. Množinu všech primitivních funkcí k funkci $f$ na $(a,b)$ nazýváme neurčitým integrálem a značíme jej $\int f$ nebo $\int f(x) \,\dx$.

Poznámka 2.1 (Terminologie)

Najdeme-li k $f$ primitivní funkci $F$ na intervalu $(a,b)$, zapisujeme tento fakt obvykle

\begin{equation*} \int f(x) \,\dx = F(x) + C \end{equation*}

místo kostrbatého, ale formálně správného, zápisu

\begin{equation*} \int f(x) \,\dx = \{ F(x) + C \mid C \in \R \}. \end{equation*}

Funkci $f$ nazýváme integrovanou funkcí (integrandem), $x$ integrační proměnnou a $C$ integrační konstantou (někdy se používá i malé $c$ nebo jiný symbol pro konstantu). Úkolu určit

\begin{equation*} \int f(x) \,\dx \end{equation*}

říkáme „vypočítat integrál z $f$“, nebo „integrovat $f$“.

Důvod pro tuto notaci bude odhalen v následujících kapitolách. Zde alespoň poznamenejme, že symbol $\int$ je stylizované S.

Poznámka 2.2 (Mathematica)

K hledání primitivní funkce pomocí Mathematica lze použít příkaz Integrate[f, x], kde $f$ je integrovaná funkce (výraz) a $x$ je integrační proměnná. Výsledkem, pokud se ho podaří nalézt, je nějaká primitivní funkce k zadané funkci. Například:

  • V Příkladu 2.1 jsme hledali primitivní funkci k funkci $3x^2$. Výsledkem odpovídajícího příkazu Integrate[3*x^2, x] je očekávané x^3.

  • Bohužel Mathematica nedává vždy správné výsledky, resp. občas za uživatele činí rozhodnutí, která vědomně neučinil. Výsledkem příkazu Integrate[1/x, x] je Log[x], což je přirozený logaritmus a primitivní funkci jsme tak dostali pouze na intervalu $(0, +\infty)$.

Slibovaný inverzní vztah mezi derivací a neurčitým integrálem (primitivní funkcí) můžeme vyjádřit následovně. Je-li funkce $g$ diferencovatelná na intervalu $(a,b)$, pak přímo z definice 2.1 plyne

\begin{equation*} \int g'(x) \,\dx = g(x) + C, \quad x\in(a,b). \end{equation*}

Má-li funkce $f$ primitivní funkci na intervalu $(a,b)$, potom opět přímo z Definice 2.1 plyne

\begin{equation}\label{eq_derivace_primitivni_funkce}\tag{2.1} \left(\int f\right)'(x) = f(x), \quad x\in(a,b). \end{equation}

Tuto rovnici chápeme tak, že ať z $\int f$ vybereme libovolnou funkci a dosadíme ji do závorky na levé straně, tak po zderivování dostaneme funkční hodnotu funkce $f$.

Poznámka 2.3

V předchozím Příkladě 2.1 jsme viděli, že pokud v integrandu „odhalíme“ derivaci jisté funkce, tak je výpočet neurčitého integrálu triviální. Občas lze s úspěchem využít následujícího analogického postřehu založeném na znalosti  derivace složené funkce: je-li $\varphi$ kladná funkce se spojitou derivací na jistém otevřeném intervalu $J$, pak

\begin{equation*} \big( \ln \varphi(x) \big)' = \frac{\varphi'(x)}{\varphi(x)}, \quad x \in J \end{equation*}

a proto přímo dle definice neurčitého integrálu platí vztah

\begin{equation*} \int \frac{\varphi'(x)}{\varphi(x)} \,\dx = \ln \varphi(x) + C. \end{equation*}

Touto cestou se můžeme vydat, pokud v integrandu uvidíme (případně jsme ho schopni na tento tvar převést) podíl, kde čitatel je derivací jmenovatele. Například tedy platí (nic nepočítáme, rovnou píšeme výsledek)

\begin{equation*} \int \frac{2x}{1+x^2} \,\dx = \ln\big(1+x^2\big) + C \quad \end{equation*}

nebo

\begin{equation*} \quad \int \frac{\sin(x)}{2 + \cos(x)} \,\dx = -\ln\big(2+\cos(x)\big) + C. \end{equation*}

Podrobněji tuto myšlenku rozvineme v podkapitole 2.4.

Zatím jsme neodpověděli na otázku, zda k zadané funkci $f$ vůbec primitivní funkce existuje. Nemusí tomu tak být vždy. Postačující podmínka pro existenci primitivní funkce je obsažena v následující větě.

Věta 2.2 (Postačující podmínka pro existenci primitivní funkce)

Nechť funkce $f$ je spojitá na intervalu $(a,b)$. Pak má funkce $f$ na tomto intervalu primitivní funkci.

Zobrazit důkaz

Vynecháváme.

$\square$

Protože umíme derivovat celou řadu elementárních funkcí (připomeňte si  tuto tabulku derivací elementárních funkcí) známe i primitivní funkce k některým elementárním funkcím. Ze znalosti derivací můžeme ihned sestavit Tabulku 2.1 primitivních funkcí.

vzorec interval, parametry
\(\displaystyle\int x^n \,\dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C\) \(x\in\R\), \(n\in\mathbb{N}_0\)
\(\displaystyle\int x^n \,\dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) \(x\in\R\smallsetminus\{0\}\), \(n\in\mathbb{Z}\), \(n \leq -2\)
\(\displaystyle\int x^\alpha \,\dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C\) \(x\in(0,+\infty)\), \(\alpha\notin\mathbb{Z}\)
\(\displaystyle\int \frac{1}{x} \,\dx = \ln |x| + C\) \(x \in (-\infty, 0)\), \(x \in (0, +\infty)\)
\(\displaystyle\int a^x \,\dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\) \(x\in\R\), \(a > 0\) a \(a\neq 1\)
\(\displaystyle\int \sin(x) \,\dx = -\cos(x) + C\) \(x\in\R\)
\(\displaystyle\int \cos(x) \,\dx = \sin(x) + C\) \(x\in\R\)
\(\displaystyle\int \frac{1}{\cos^2(x)} \,\dx = \tg(x) + C\) \(x\in\big( -\frac{\pi}{2} + k\pi, \ \frac{\pi}{2} + k\pi \big)\), \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\displaystyle\int \frac{1}{\sin^2(x)} \,\dx = -\cotg(x) + C\) \(x\in\big( k\pi, \ \pi + k\pi \big)\), \(k\in\mathbb{Z}\)
\(\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,\dx = \arcsin(x) + C\) \(x\in(-1,1)\)
\(\displaystyle\int \frac{1}{1+x^2} \,\dx = \arctg(x) + C\) \(x\in\R\)

Tabulka 2.1: Tabulka primitivních funkcí k některým elementárním funkcím odvoditelná čistě ze známých derivací těchto funkcí.

K výpočtu primitivních funkcí „komplikovanějších“ funkcí potřebujeme využít vlastností neurčitého integrálu, které odvodíme v následujících odstavcích. Začneme nejprve tou jednodušší vlastností, chováním vzhledem k sčítání funkcí a konstantním násobkům.

Věta 2.3 (Primitivní funkce a linearita)

Nechť $F$, resp. $G$, je primitivní funkce k funkci $f$, resp. $g$, na intervalu $(a,b)$ a nechť $\alpha\in\R$. Pak

  • $F + G$ je primitivní funkcí k funkci $f + g$ na intervalu $(a,b)$,

  • $\alpha F$ je primitivní funkcí k funkci $\alpha f$ na intervalu $(a,b)$.

Zobrazit důkaz

Stačí si uvědomit, že derivace součtu funkcí je součet derivací funkcí a že derivace konstantního násobku funkce je ten samý konstantní násobek derivace funkce. Podrobněji viz  větu o derivaci součtu a součinu funkcí.

$\square$

Tvrzení předchozí věty symbolicky zapisujeme takto,

\begin{equation*} \int (f+g) = \int f + \int g \qquad \text{a} \qquad \int (\alpha f) = \alpha \int f, \end{equation*}

a mluvíme o linearitě neurčitého integrálu.

Příklad 2.4

Vypočtěte

\begin{equation*} \int \left( 4x^2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \right) \dx. \end{equation*}

Dle předchozí věty pro kladná $x$ (Věta 2.3) ihned dostáváme

\begin{align*} \int \left( 4x^2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \right) \dx &= 4 \int x^2\,\dx - \int \frac{1}{x}\,\dx + \int x^{-\frac{2}{3}}\,\dx = \\ &= 4\cdot \frac{x^3}{3} - \ln(x) + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + C = \frac{4}{3} x^3 - \ln(x) + 3 x^{\frac{1}{3}} + C.\end{align*}

Nalezli jsme tak primitivní funkci na intervalu $(0, +\infty)$.

Integrand má ale smysl i pro záporná $x$, kde $\sqrt[3]{x^2} = (-x)^{2/3}$. Prakticky stejným výpočtem jako výše (proveďte) získáme vztah

\begin{equation*} \int \left( 4x^2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \right) \dx = \frac{4}{3} x^3 - \ln(-x) + 3 \sqrt[3]{x} + C \end{equation*}

platný na $(-\infty, 0)$.

Jako závěr můžeme shrnout, že vztah

\begin{equation*} \int \left( 4x^2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \right) \dx = \frac{4}{3} x^3 - \ln |x| + 3 \sqrt[3]{x} + C \end{equation*}

platí na libovolném otevřeném intervalu, který je podmnožinou $\R \smallsetminus \{0\}$.

Příklad 2.5

Vypočtěte

\begin{equation*} \int \big( 2^x + 3^x \big)^2 \,\dx. \end{equation*}

Nejprve provedeme jednoduchou algebraickou úpravu integrandu a následně využijeme předchozí větu, čímž se dostaneme k výsledku,

\begin{align*} \int \big( 2^x + 3^x \big)^2 \,\dx &= \int \left( 2^{2x} + 2\cdot 2^x\cdot 3^x + 3^{2x} \right)\dx = \\ &= \int 4^x \,\dx + 2 \int 6^x \,\dx + \int 9^x \,\dx = \\ &= \frac{4^x}{\ln 4} + 2 \cdot \frac{6^x}{\ln 6} + \frac{9^x}{\ln 9} + C.\end{align*}

Příklad 2.6

V Tabulce 2.1 stojí za zmínku primitivní funkce k $\frac{1}{x}$. Víme, že derivace funkce $\ln(x)$ je rovna $\frac{1}{x}$ na intervalu $(0, \infty)$. Pro záporná $x$ ale platí

\begin{equation*} \big(\ln(-x)\big)^\prime = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}. \end{equation*}

Dohromady proto můžeme tvrdit, že funkce $\ln |x|$ je primitivní k $\frac{1}{x}$ na libovolném intervalu neobsahujícím $0$.

Poznámka 2.4

Algoritmy pro výčet primitivních funkcí, resp. neurčitých integrálů, existují. Jako příklad zmiňme  Rischův algoritmus (1968). Tyto algoritmy jsou ale většinou nevhodné pro použití lidmi, zvláště v prvních stádiích studia této problematiky (kompletní popis Rischova algoritmu zabírá více než 100 stránek textu).

V dalších částech této kapitoly budeme studovat i sofistikovanější metody výpočtu, než v podstatě uhodnutí prezentované v této podkapitole. Konkrétně metody integrace pomocí substituce a per partes. I tak ale tyto metody vyžadují jistý vhled, myšlenku, nejsou čistě mechanické, jako tomu je u derivování.