7.3 Limita vektorové posloupnosti

Nyní budeme uvažovat posloupnosti vektorů, tj. zobrazení $\N \to \R^n$, které stále značíme $(\vx_k)_{k=1}^\infty$, ovšem $\vx_k \in \R^n$, $k \in \N$. Dejte si pozor na význam spodního indexu. I z kontextu je patrné, zda-li mluvíme o členu posloupnosti, nebo jeho složkách: například $(\vx_{k})_j$, kde $k \in \N$ a $j\in\hat n$, představuje $j$-tou složku vektoru $\vx_k$, tedy $k$-tého členu zmíněné posloupnosti.

S vektorovými posloupnostmi se setkáme například v různých numerických metodách, které konstruují posloupnosti aproximací řešení jisté úlohy:

  • numerické řešení soustav lineárních rovnic (v BI-MA2 neprobíráme).

  • numerické hledání lokálních extrémů funkcí více proměnných (uvidíme již brzy).

Pojďme nejprve definovat ústřední pojem limity posloupnosti.

Definice 7.7 (Limita vektorové posloupnosti)

Řekneme, že posloupnost $(\vx_k)_{k=1}^\infty$ vektorů $\vx_k \in \R^n$ má limitu (případně konverguje k) $\va \in \R^n$, právě když pro každé okolí $U_\va$ bodu $\va$ existuje $N \in \N$ takové, že pro každé přirozené $k > N$ platí $\vx_k \in U_\va$. Tento fakt značíme $\lim\limits_{k\to\infty} \vx_k = \va$.

Vektorovou posloupnost mající limitu, která je dle definice nutně prvkem $\R^n$, nazýváme konvergentní. Všechny ostatní posloupnosti nazýváme divergentní.

Mezi konvergencí těchto vektorových posloupností a konvergencí číselných posloupností (známe z  BI-MA1) je velmi úzký vztah, který odhalují dvě následující věty.

Věta 7.1 (Konvergence a vzdálenost)

Pro vektorovou posloupnost $(\vx_k)_{k=1}^\infty$ platí $\lim\limits_{k\to \infty} \vx_k = \va$, právě když $\lim\limits_{k \to \infty} \| \vx_k - \va \| = 0$ (tato druhá limita je obyčejná limita z BI-MA1).

Zobrazit důkaz

Přímočarý (proveďte!). Stačí si vzpomenout na definici limity číselné posloupnosti z BI-MA1 a na definic okolí bodu v $\R^n$, zejména jakou v ní hraje roli norma.

$\square$

Věta 7.2 (Konvergence po složkách)

Uvažme posloupnost $(\vx_k)_{k=1}^\infty$. Potom platí následující ekvivalence: $\lim\limits_{k\to\infty} \vx_k = \va$, právě když pro každé $j\in\hat n$ platí $\lim\limits_{k \to \infty} (\vx_k)_j = \va_j$.

Zobrazit důkaz

$\boldsymbol{\Leftarrow}$: Nechť $\veps > 0$. Potom pro každé $j \in \hat n$ existují $N_j > 0$ taková, že pro všechna přirozená $k > N_j$ platí $\big|(\vx_k)_j - \va_j \big| < \veps/\sqrt{n}$. Zvolíme-li $N \ceq \max\{N_1, \ldots, N_n\}$, pak pro přirozené $k > N$ platí

\begin{equation*} \| \vx_k - \va \| = \sqrt{\sum_{j=1}^n \big((\vx_k)_j - \va_j \big)^2} < \sqrt{\sum_{j=1}^n \frac{\veps^2}{n}} = \veps. \end{equation*}

$\boldsymbol{\Rightarrow}$: Stačí vzít do úvahy nerovnost

\begin{equation*} 0 \leq \big|(\vx_k)_j - \va_j\big| \leq \sqrt{\sum_{j=1}^n \big((\vx_k)_j - \va_j\big)^2} = \| \vx_k - \va \|. \end{equation*}

Tím je důkaz dokončen.

$\square$

Předchozí dvě věty (Věta 7.17.2) v podstatě říkají následující:

  • Posloupnost vektorů $(\vx_k)_{k=1}^\infty$ konverguje k $\va$, právě když vzdálenost $\vx_k$ od $\va$ konverguje k nule.

  • Konvergence vektorové posloupnosti je ekvivalentní konvergenci ve všech složkách (více „obyčejných“ číselných posloupností).

Díky těmto dvěma pozorováním bychom tak měli mít poměrně silnou intuici ohledně chování vektorových posloupností – podívej se na chování jejich složek.

Využijeme-li nyní naše znalosti vlastností číselných limit (BI-MA1) a předchozí ekvivalenci, pak ihned dostáváme další užitečné tvrzení.

Věta 7.3 (Limita součtu a skalárního násobku posloupností)

Mějme dvě vektorové posloupnosti $(\vx_k)_{k=1}^\infty$ a $(\vy_k)_{k=1}^\infty$ splňující $\lim\limits_{k\to\infty} \vx_k = \va$ a $\lim\limits_{k\to\infty} \vy_k = \vb$ a $\alpha \in \R$. Potom

\begin{align*} \lim_{k\to\infty} \big( \vx_k + \vy_k \big) &= \va + \vb, \\ \lim_{k\to\infty} \big( \alpha \vx_k \big) &= \alpha \va.\end{align*}

Zobrazit důkaz

Okamžitě plyne z Věty 7.2 a Věty o limitě součtu a součinu pro číselné posloupnosti z BI-MA1.

$\square$

Příklad 7.3

Mějme posloupnost $(\vx_k)_{k=1}^\infty$ danou předpisem

\begin{equation*} \vx_k = \left( \frac{\cos k}{k},\, \frac{\sin k}{k} \right)^T, \quad k \in \N. \end{equation*}

Určete její limitu.

Zobrazit řešení

Složky této vektorové posloupnosti jsou

\begin{equation*} (\vx_k)_1 = \frac{\cos k}{k} \ \text{a} \ (\vx_k)_2 = \frac{\sin k}{k}, \quad k \in \N. \end{equation*}

Protože platí (obyčejné BI-MA1 limity posloupností)

\begin{align*} \lim_{k\to\infty} (\vx_k)_1 &= \lim_{k\to\infty} \frac{\cos k}{k} = 0, & \lim_{k\to\infty} (\vx_k)_2 &= \lim_{k\to\infty} \frac{\sin k}{k} = 0,\end{align*}

dostáváme výsledek

\begin{equation*} \lim_{k\to\infty} \vx_k = (0, 0)^T = \theta. \end{equation*}

Vizualizace vektorových posloupností pomocí „grafu“ není praktická. Vhodnější je zpravidla právě pohled na její členy pomocí bodů v daném prostoru, viz Obrázek 7.7.

Obrázek 7.7: Vizualizace vektorové posloupnosti $\vx_k = (\cos(k/2), \sin(k/2)) / k$, $k\in\N$ a její limity $\theta$.

Předchozí věty dávají i nástroj k vyvrácení existence limity vektorové posloupnosti. Jednoduše stačí ukázat, že limita některé ze složek neexistuje.

Příklad 7.4

Ukažte, že neexistuje limita

\begin{equation*} \lim_{k\to\infty} \left( (-1)^k + \frac{1}{k}, \frac{1}{\sqrt{k}} \right). \end{equation*}

Uvedená posloupnost je proto příkladem divergentní posloupnosti.

Zobrazit řešení

Druhá složka sice konverguje k nule, ale limita první, ozn. $u_k = (-1)^k + \frac{1}{k}$, $k \in \N$, neexistuje:

\begin{align*} \lim_{k\to\infty} u_{2k} &\ceq 1 + \frac{1}{2k} = 1 + 0 = 1, \\ \lim_{k\to\infty} u_{2k+1} &\ceq -1 + \frac{1}{2k+1} = -1 + 0.\end{align*}

Grafické znázornění této posloupnosti je uvedeno na Obrázku 7.8.

Obrázek 7.8: Vizualizace vektorové posloupnosti z Příkladu 7.4.