10.1 Riemannova konstrukce integrálu

Na začátku semestru (Kapitola 3) jsme v tomto předmětu zkonstruovali Riemannův integrál reálné funkce jedné reálné proměnné na intervalu $\langle a,b \rangle$.

Analogem intervalu v $\R^2$ je obdélník, tedy kartézský součin dvou intervalů $\langle a_1, b_1 \rangle \times \langle a_2, b_2 \rangle$. Analogem intervalu v $\R^3$ je kvádr, tedy kartézský součin tří intervalů $\langle a_1, b_1 \rangle \times \langle a_2, b_2 \rangle \times \langle a_3, b_3 \rangle$. Obecně, v $\R^n$ se nejprve zabýváme integrací funkcí na množinách tvaru

\begin{equation*} \times_{j=1}^n \langle a_j, b_j \rangle, \end{equation*}

tedy přes tzv. hyperkvádr (hypercuboid).

Pro jednoduchost a snazší představitelnost se při stručném popisu Riemannovy konstrukce integrálu omezíme na dvě proměnné. V následujících bodech shrneme modifikace Riemannovy konstrukce (Kapitola 3) do světa funkcí více (dvou) proměnných.

  1. Mějme funkci dvou proměnných $f$ definovanou a omezenou na obdélníku $D := \langle a_1, b_1 \rangle \times \langle a_2, b_2 \rangle$.

  2. Pro dělení $\sigma_x = \{x_0 = a_1 < x_1 < \cdots < x_n = b_1\}$ intervalu $\langle a_1, b_1 \rangle$ a $\sigma_y = \{y_0 = a_2 < y_1 < \cdots < y_m = b_2 \}$ intervalu $\langle a_2, b_2 \rangle$ definujme

    \begin{align*} m_{i,j} &:= \inf \{ f(x,y) \mid (x,y) \in \langle x_{i-1}, x_{i} \rangle \times \langle y_{j-1}, y_j \rangle\}, \\ M_{i,j} &:= \sup \{ f(x,y) \mid (x,y) \in \langle x_{i-1}, x_{i} \rangle \times \langle y_{j-1}, y_j \rangle\}, \quad i \in \hat n, \ j \in \hat m.\end{align*}

    Množinu $\sigma = \sigma_x \times \sigma_y$ nazveme dělením obdélníku $D$.

  3. Dále definujme dolní a horní součty funkce $f$ na obdélníku $D$ při dělení $\sigma$ předpisy

    \begin{align*} s(f, \sigma) &:= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m m_{i,j} (x_{i} - x_{i-1})(y_{j} - y_{j-1}), \\ S(f, \sigma) &:= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m M_{i,j} (x_{i} - x_{i-1})(y_{j} - y_{j-1}).\end{align*}

  4. Nyní pro funkci $f$ a obdélník $D$ definujeme horní a dolní integrál funkce $f$ na obdélníku $D$ následujícím předpisem

    \begin{align*} \overline{\int_D} f(x,y)\,\dx\dy &:= \inf\{ S(f, \sigma) \mid \sigma \ \text{dělení obdélníku} \ D \}, \\ \underline{\int_D} f(x,y)\,\dx\dy &:= \sup\{ s(f, \sigma) \mid \sigma \ \text{dělení obdélníku} \ D \}.\end{align*}

  5. Omezenou funkci $f$ nazveme Riemannovsky integrabilní na obdélníku $D$, právě když

    \begin{equation*} \overline{\int_D} f(x,y) \,\dx\dy = \underline{\int_D} f(x,y) \,\dx\dy. \end{equation*}

    Tuto společnou reálnou hodnotu potom nazýváme Riemannovým integrálem funkce $f$ na obdélníku $D$ a značíme ji

    \begin{equation*} \int_D f(x,y)\,\dx\dy \quad \text{nebo} \quad \int_D f. \end{equation*}

Pokud bychom měli funkci $f$ definovanou na hyperkvádru $K \subset \R^n$, pak příslušný Riemannův integrál značíme

\begin{equation*} \int_K f(x_1,x_2,\ldots, x_n) \,\mathrm{d}x_1\mathrm{d}x_2 \cdots \mathrm{d}x_n \quad \text{nebo} \quad \int_K f. \end{equation*}

Jeho konstrukce probíhá analogicky.

Někdy se vícerozměrnost integrálu zdůrazňuje použitím více symbolů $\int$, tj. například integrál přes obdélník $D \subset \R^2$ nebo kvádr $K \subset \R^3$ bychom označili

\begin{equation*} \iint_{D} f(x,y)\,\dx\dy, \quad \iiint_{K} f(x,y,z) \,\dx\dy\dz. \end{equation*}

Pro větší počet rozměrů než tři to není moc praktické.

Poznamenejme, že Riemannova konstrukce opět dává návod, jak případnou hodnotu Riemannova integrálu hledat numericky. Velmi podobným způsobem jako v případě jedné proměnné. Více se touto problematikou na tomto místě zabírat nebudeme.

Než se pustíme do diskuze vlastností Riemannova integrálu, tak musíme zvětšit množinu množin, přes které má smysl integrovat. S integrací přes hyperkvádry bychom si nevystačili.

10.1.1 Integrace přes obecnější množiny

Omezíme se opět na dvourozměrný případ $D \subset \R^2$ a zavedeme dva typy množin.

Definice 10.1 (Množiny typu 1 a 2)

O množině $D \subset \R^2$ řekneme, že

  • je typu 1, právě když existuje interval $J = \langle a, b \rangle$ a dvě spojité funkce $\varphi_1$ a $\varphi_2$ definované na $J$ a splňující $\varphi_1(x) \leq \varphi_2(x)$ pro všechna $x \in J$ tak, že

    \begin{equation*} D = \{ (x,y) \in \R^2 \mid x \in J \ \wedge \ \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x) \}. \end{equation*}

  • je typu 2, právě když existuje interval $J = \langle a, b \rangle$ a dvě spojité funkce $\psi_1$ a $\psi_2$ definované na $J$ a splňující $\psi_1(y) \leq \psi_2(y)$ pro všechna $y \in J$ tak, že

    \begin{equation*} D = \{ (x,y) \in \R^2 \mid y \in J \ \wedge \ \psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y) \}. \end{equation*}

Grafickou ilustraci uvádíme na Obrázku 10.1.

Obrázek 10.1: Množiny typu 1 a typu 2.

Máme-li nyní množinu $D \subset \R^2$ typu 1 nebo 2, pak Riemannův integrál definujeme takto: množinu $D$ vnoříme do vhodného obdélníku $K$, tj. $D \subset K$, a funkci vně $D$ dodefinujeme/předefinujeme nulou.

Na obdélníku $K \supset D$ definujme funkci

\begin{equation*} g(x,y) = \begin{cases} f(x,y), & (x,y) \in D, \\ 0, & (x,y) \notin D. \end{cases} \end{equation*}

A klademe

\begin{equation*} \int_D f(x,y) \,\dx\dy := \int_K g(x,y) \,\dx\dy, \end{equation*}

kde integrál na pravé straně je definován na začátku této podkapitoly.

Obrázek 10.2: K definici Riemannova integrálu přes množinu, která není obdélníkem (hyperkvádrem).