Vzpomeňme si na příklad řady harmonických čísel, tj. na divergentní číselnou řadu
Její divergenci jsme prokázali zkoumáním její posloupnosti částečných součtů, tedy posloupností $(s_n)_{n=1}^\infty$ se členy
Tento částečný součet nelze vyjádřit explicitně, nelze ho sečíst a zbavit se symbolu sumy (na rozdíl od geometrické či aritmetické posloupnosti). Můžeme ale tento součet geometricky interpretovat jako jistou plochu a její obsah porovnat s obsahem plochy pod jistou křivkou, kterou umíme vypočítat pomocí integrálu. Konkrétně platí následující věta.
Nechť $f$ je spojitá funkce na $\langle 1,+\infty)$ a $n\in\mathbb{N}$. Je-li $f$ klesající, pak platí
Je-li $f$ rostoucí, pak platí
Nerovnosti uvedené v předchozí větě je vhodné interpretovat geometricky. Geometrický význam integrálu již známe. Podobně součet $\sum_{k=1}^n a_k$ lze interpretovat jako obsah $n$ obdélníků šířky $1$ a výšky $a_k$, viz Obrázek 4.1.
Buď $k\in\mathbb{N}$, pak pro každé $x\in \langle k,\, k+1 \rangle$ platí $f(k+1) \leq f(x) \leq f(k)$.
Z věty o nerovnosti mezi integrály (Věta 3.5) dostaneme nerovnost
Sečtením nerovností pro $k=1,2,\ldots,n-1$ dostaneme
Odtud
$\square$
Pomocí odhadu z Věty 4.7, tj. aniž bychom součet počítali explicitně, zjistěme rychlost růstu (víme, že má za limitu $+\infty$) posloupnosti $(s_n)_{n=1}^\infty$ s členy
Nyní $f(x) = x^2$ je rostoucí na $\langle 1,+\infty)$ a proto pro každé $n\in\mathbb{N}$ platí
Tudíž
Pro velká $n$ je největším členem $\frac{1}{3} n^3$, přesněji, z věty o limitě sevřené posloupnosti plyne
Odhadněte rychlost růstu posloupnosti $(n!)_{n=1}^\infty$ bez využití faktoriálu.
Využijme šikovné úpravy
Funkce $f(x) = \ln x$ je rostoucí na $\langle 1,+\infty)$ a proto
Primitivní funkcí $F$ k funkci $f$ je funkce $F(x) = x \ln(x) - x + C$, tudíž
Odlogaritmováním (monotonie $e^x$) poslední nerovnosti pak dostáváme
a po úpravě
Tento odhad už je pro většinu aplikací dostatečný. Lze ho však ještě dále zlepšovat. Všimněte, že na rozdíl od předchozího příkladu nám tento nyní nedává posloupnost $(b_n)_{n=1}^\infty$ takovou, že
Získání takovéto posloupnosti $(b_n)_{n=1}^\infty$ vyžaduje další práci. Pro úplnost uveďme, že tuto vlastnost má například (tzv. Stirlingův vzorec)
Nyní se vrátíme k příkladu, který jsme připomínali na začátku této podkapitoly.
Již víme, že
Odhadněme nyní jak rychle se $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ blíží k nekonečnu s rostoucím $n$.
Podle předchozí věty pro $f(x) = \frac{1}{x}$ klesající na $\langle 1,+\infty)$ dostáváme odhad
Po integraci
Odtud
Opět tedy máme
Dále si povšimněte, že
O posloupnosti $\bigg( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \bigg)$ lze ukázat, že je klesající a tudíž má limitu. Tato limita se označuje $\gamma$ a nazývá se Eulerova–Mascheroniova konstanta. Její přibližná hodnota je $\gamma = 0.577218\ldots$
Z těchto příkladů je zřejmé, že Věta 4.7 nám dává nástroj na odhadování částečných součtů některých číselných řad a lze ji proto využít k vyšetřování konvergence číselných řad.
Buď $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ číselná řada s kladnými členy taková, že existuje spojitá a monotónní funkce definovaná na $\langle 1,+\infty)$ taková, že $f(n) = a_n$ pro každé $n$. Potom
Pokud (zobecněný Riemannův) integrál $\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,\mathrm{d}x$ konverguje, pak číselná řada $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ konverguje.
Pokud integrál $\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,\mathrm{d}x$ diverguje, pak číselná řada $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ diverguje.
Přímočaré použití věty 4.7.
$\square$
Řada $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty k^{\alpha}$ konverguje pro $\alpha < -1$ a diverguje pro $\alpha \geq -1$.
Protože
platí
V předchozím textu jsme se setkali s několika kritérii pro vyšetřování (absolutní) konvergence a divergence číselných řad. I když je každé z těchto kritérií zaměřeno na trochu jinou skupinu řad, existuje mezi nimi překryv. Na různé příklady lze tak aplikovat hned několik různých správných postupů. Jako ilustraci tohoto jevu uvažme číselnou řadu
Posloupnost jejích sčítanců $\left(\frac{1}{\sqrt[3]{k}}\right)_{k=1}^\infty$ je sice konvergentní posloupnost s limitou $0$ a nutná podmínka konvergence (Věta 4.1) je splněna, ale následující tři způsoby argumentace ukazují, že jde o divergentní číselnou řadu.
Funkce $f(x) = x^{-1/3}$ je spojitá a ostře klesající na intervalu $\langle 1, +\infty)$ a platí
Podle Integrálního kritéria (Věta 4.8) tak řada (4.6) diverguje.
Pro všechna přirozená $k$ platí nerovnost
a řada
je známá divergentní harmonická řada (to víme již z BI-MA1 ( BI-MA1, Příklad), alternativně to nyní umíme také snadno dokázat pomocí Integrálního kritéria). Srovnávací kritérium (Věta 4.5) nyní implikuje divergenci naší řady (4.6).
V neposlední řadě zde můžeme zcela elementárními prostředky ověřit samotnou definici divergentní číselné řady (Definice 4.1). Pro $n$-tý částečný součet $s_n$ řady (4.6) hrubým odhadem4 dostáváme
Odtud plyne (dle ( BI-MA1, Věta)) $s_n \to +\infty$ pro $n \to \infty$ a naše řada (4.6) je proto divergentní.
Každý z postupů využívá jiných nástrojů. Poslední uvedený je v jistém smyslu nejjednodušší, protože používá pouze elementární tvrzení. To je samozřejmě jiný typ „jednoduchosti“, než jaký mívají na mysli studenti.
Formální výraz tvaru
kde $(a_k)_{k=n_0}^\infty$ je zadaná číselná posloupnost, nazýváme číselnou řadou. Pokud je posloupnost částečných součtů $(s_n)_{n=n_0}^\infty$ definovaná předpisem
konvergentní, nazýváme příslušnou řadu také konvergentní. V opačném případě o ní mluvíme jako o divergentní číselné řadě. Součtem konvergentní řady $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ nazýváme hodnotu limity $\displaystyle\lim_{n\to\infty} s_n$.
Nechť $f$ je funkce definovaná na intervalu $\langle a, b)$ pro nějaké $a \in \R$ a $b \in (a, +\infty) \cup \{+\infty\}$, která má Riemannův integrál na intervalu $\langle a, c \rangle$ pro každé $c \in (a,b)$. Pokud existuje konečná limita
pak její hodnotu značíme
nazýváme zobecněným Riemannovým integrálem funkce $f$ na intervalu $\langle a, b)$ a říkáme, že integrál $\int_a^b f(x)\, \dx$ konverguje.