Jenom malá část elementárních funkcí má primitivní funkci, která by byla elementární. Víme jen, že primitivní funkce existuje, ale nelze ji vyjádřit pomocí konečně mnoha operací (součet, součin, podíl, skládání a invertování) z elementárních funkcí. Jako příklad uveďme1
Důkaz tohoto tvrzení v této přednášce nebude podán. Uvidíme však, jak vyjádřit a použít libovolnou primitivní funkci (Věta 3.6).
Rozpoznat, kdy funkce má „rozumnou“ primitivní funkci, je často složité. Obecný návod „jak integrovat“ lze dát například v případě racionálních funkcí a funkcí, které lze na racionální vhodnou substitucí převést.
Integrace, na rozdíl od rutinního derivování, vyžaduje cvik a zkušenost. Stará anekdota praví, že „derivování je jako mačkat pastu z tuby a integrování je naopak jako cpaní pasty zpět do tuby“. U školních příkladů lze ale vždy pomocí rutinního derivování ověřit, zda jsme ve výpočtu neudělali chybu!
Vypočtěte $\displaystyle\int xe^{x^2}\dx$ a ověřte správnost výsledku.
Pomocí substituce $y = x^2$,
Ověření,
Nechť $f$ je funkce definovaná na intervalu $(a,b)$, kde $-\infty \leq a < b \leq +\infty$. Funkci $F$ splňující podmínku
nazýváme primitivní funkcí k funkci $f$ na intervalu $(a,b)$.
Erf
).