V této části textu si stručně rozebereme, jak integrovat
kde $p$ je libovolný polynom a $q$ je polynom stupně nejvýše dvě. Základní kroky postupu lze popsat následovně:
Pokud to lze, vyděl polynom $p$ polynomem $q$, pak $\frac{p(x)}{q(x)} = s(x) + \frac{r(x)}{q(x)}$, kde stupeň polynomu $r$ je nejvýše $1$. Polynom $s$ integrujeme snadno.
Pokud je stupeň polynomu $q$ roven $1$, pak použijeme $\int \frac{b}{x-a} \,\dx = b\ln|x-a| + C$.
Pokud má polynom $q$ jeden dvojnásobný kořen, pak $\int \frac{bx+c}{(x-a)^2} \,\dx = \int \frac{b}{(x-a)} + \frac{ab+c}{(x-a)^2} \,\dx = b\ln|x-a| - \frac{ab+c}{x-a} + C.$
Pokud je stupeň polynomu $q$ roven $2$ a jeho diskriminant je kladný, pak $\frac{r}{q}$ převedeme na tvar $\frac{b_1}{x-a_1} + \frac{b_2}{x-a_2}$ a použijeme bod 2.
Pokud je stupeň polynomu $q$ roven $2$ a jeho diskriminat je záporný, pak použijeme doplnění jmenovatele na čtverec, integrál pak vede na $\arctg$. Případného polynomu stupně jedna v čitateli se zbavíme úpravou čitatele na derivaci jmenovatele.
K úspěšnému provedení kroku 4. je potřeba provést rozklad na tzv. parciální zlomky (nejjednodušší verze):
Konstanty $a,b,c,d$ jsou zadány, neznámé $A,B$ hledáme. Převedeme-li pravou stranu na společný jmenovatel a upravíme čitatele dostaneme
Neznámé proto řeší soustavu
kterou snadno vyřešíme (v konkrétním příkladě). Často lze u jednoduchých příkladů rozklad i uhodnout. Například
Obecnou mašinerii rozkladu na parciální zlomky zde neřešíme. V příkladech vyžadujících integraci tímto způsobem si opravdu vystačíme s nejvýše kvadratickými polynomy ve jmenovateli. Nemá proto pro vás smysl z „internetů“ studovat obecnou metodu a související látku, jako například „zakrývací pravidla“.
Ukázky použití metody na postupně se komplikujících se příkladech.
Polynom stupně jedna ve jmenovateli:
Polynom stupně dva s vzájemně různými reálnými kořeny ve jmenovateli:
Polynom stupně dva se záporným diskriminantem, tedy bez reálných kořenů, ve jmenovateli a s konstantním polynomem v čitateli:
Ve výpočtu jsme použili substituci $y=x-1$.
Polynom stupně dva se záporným diskriminantem, tedy bez reálných kořenů, ve jmenovateli a s polynomem stupně jedna v čitateli:
a na druhý integrál použijeme předchozí bod.
Tuto metodu lze rozšířit i na polynomy vyšších stupňů. Ruční počítání se pak ale značně komplikuje. Je očividně potřeba hledat kořeny polynomu ve jmenovateli, což pro polynomy stupně pět a výše není analyticky řešitelná úloha. I kdybychom tyto kořeny našli, tak budeme muset řešit lineární soustavu o mnoha neznámých. To už ovšem umíme pomocí Gaussovy eliminační metody.
K rozkladu na parciální zlomky lze pro kontrolu použít i počítačový algebraický systém Mathematica, kde k tomuto účelu slouží metoda Apart
.
Vždy ale svůj výpočet můžete ověřit zpětným převedením na společný jmenovatel!
Například
Apart[(2*x - 1) / ((x + 2)*(x - 1))]
vrací
1 / (3*(x - 1)) + 5 / (3*(x + 2))
Naopak tento výraz bychom mohli Mathematica donutit převést zpět na jeden zlomek pomocí Simplify
.