10.3 Fubiniho věta

Pro analytické počítání je klíčová Fubiniho věta, která nám umožňuje vícerozměrný integrál počítat pomocí několika „jednorozměrných“ integrálů.

10.3.1 Integrace přes hyperkvádry

První verze této věty mluví o integraci přes obdélník, zobecněním o kvádrech a hyperkvádrech.

Věta 10.2 (Fubini pro hyperkvádr)

Buď $f$ Riemannovsky integrabilní na obdélníku $D = \langle a_1, b_1 \rangle \times \langle a_2, b_2 \rangle$. Pokud existuje jeden z integrálů

\begin{equation}\label{eq_fubini}\tag{10.1} \int_{a_1}^{b_1} \left( \int_{a_2}^{b_2} f(x,y)\,\dy \right)\dx \quad\text{nebo}\quad \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(x,y)\,\dx \right)\dy \end{equation}

potom je roven Riemannově integrálu

\begin{equation*} \int_D f(x,y) \,\dx\dy. \end{equation*}

Poznámka 10.1

Pořádně si rozmyslete, co se v rovnici (10.1) děje. Vyhnete se pak hloupým chybám při počítání příkladů. Např. vnitřní integrál v prvním výrazu,

\begin{equation*} \int_{a_2}^{b_2} f(x,y)\,\dy \end{equation*}

již představuje funkci pouze proměnné $x$. Přes $y$ se již integrovalo.

K výpočtu vícerozměrného integrálu tedy lze použít opakovanou integraci funkce jedné proměnné probíranou na začátku semestru. Pro tyto účely máme celou řadu nástrojů (substituce, per partes, Newtonova formule…, viz Kapitoly 23).

Analogickou větu lze zformulovat i pro více než dvě proměnné a hyperkrychli. Například pro kvádr $K = \langle a_1, b_1 \rangle \times \langle a_2, b_2 \rangle \times \langle a_3, b_3 \rangle$ bychom měli

\begin{equation*} \int_K f(x,y,z) \,\dx\dy\dz = \int_{a_1}^{b_1} \left( \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_3}^{b_3} f(x,y,z)\, \dz \right) \dy \right) \dx. \end{equation*}

Všimněte si také, že pořadí integrace lze zaměnit, jen je potřeba hlídat pořadí intervalů a proměnných.

Důsledkem předchozí věty je následující užitečné tvrzení:

Důsledek 10.1 (Integrace funkcí se separovanými proměnnými)

Pokud integrujeme spojitou funkci tvaru $f(x,y) = g(x) \cdot h(y)$ na obdélníku $D = \langle a_1, b_1 \rangle \times \langle a_2, b_2 \rangle$, pak

\begin{equation*} \int_D f(x,y) \,\dx\dy = \int_{a_1}^{b_1} g(x)\,\dx \cdot \int_{a_2}^{b_2} h(y) \,\dy. \end{equation*}

Zobrazit důkaz

Stačí v podstatě „dosadit“ do Věty 10.2 a dvakrát vytknout konstantu vůči příslušné integrační proměnné.

$\square$

Příklad 10.1

Vypočtěte integrál

\begin{equation*} \int_D (x + 2y)\,\dx\dy \end{equation*}

kde $D = \langle -1,1 \rangle \times \langle 0,1 \rangle$.

Zobrazit řešení

K výpočtu můžeme použít dvou postupů, které lze i geometricky interpretovat. První výpočet (viz Obrázek 10.3),

\begin{align*} \int_D (x + 2y)\,\dx\dy &= \int_{-1}^1 \left( \int_0^1 (x + 2y) \dy \right) \dx = \\ &=\int_{-1}^1 \left[ xy + y^2 \right]_{y=0}^{y=1} \dx = \int_{-1}^1 (x + 1) \,\dx= 2.\end{align*}

Druhý výpočet (viz Obrázek 10.3),

\begin{align*} \int_D (x + 2y)\,\dx\dy &= \int_{0}^1 \left( \int_{-1}^1 (x + 2y) \dx \right) \dy = \\ &=\int_{0}^1 \left[ \frac{x^2}{2} + 2xy \right]_{x=-1}^{x=1} \dy = \int_{0}^1 4y \,\dy= 2.\end{align*}

Obrázek 10.3: Ilustrace k Příkladu 10.1. Dva možné způsoby jak integrovat přes obdélník.

Pokud naše množina není obdélník, pak se situace malinko komplikuje, ale princip zůstává stejný. Pro množiny typu 1 nebo 2 máme následující verzi Fubiniho věty, viz také Obrázek 10.4.

Věta 10.3 (Fubini pro množiny typu 1 nebo 2)

Buď $f$ spojitá na množině $D$ typu 1 nebo 2. Potom

  1. pro množinu $D$ typu 1 platí $\displaystyle \int_D f(x,y)\,\dx\dy = \int_a^b \left( \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,\dy \right)\dx$,

  2. pro množinu $D$ typu 2 platí $\displaystyle \int_D f(x,y)\,\dx\dy = \int_a^b \left( \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y)\,\dx \right)\dy$.

Obrázek 10.4: Integrace přes množiny typu 1 a 2, grafická interpretace vzorců ve Větě 10.3.

Základní použití této věty ilustruje následující příklad. Další příklady pak lze najít v Cvičebnici na MARASTu, případně další podkapitole.

Příklad 10.2

Vypočtěte integrál

\begin{equation*} \int_D xy\,\dx\dy, \end{equation*}

kde $D \subset \R^2$ je trojúhelník s vrcholy $(0,0)$, $(-1,1)$ a $(2, 1)$. Viz Obrázek 10.5.

Zobrazit řešení

Tento trojúhelník můžeme nejlépe popsat jako množinu typu 2 (alternativně bychom ji mohli brát jako sjednodcení dvou množin typu 1, ale takový výpočet by nebyl nejpřímočařejší). Proto

\begin{align*} \int_D &xy\,\dx\dy = \int_0^1 \left( \int_{-y}^{2y} xy \,\dx \right) \dy \\ &= \int_0^1 \left[\frac{x^2}{2}y\right]_{x=-y}^{x=2y} \dy \\ &= \int_0^1 2y^3 - \frac{y^3}{2} \dy = \left[ \frac{3y^4}{8} \right]_0^1 = \frac{3}{8}.\end{align*}

Obrázek 10.5: Ilustrace k Příkladu 10.2.