4.4 Exponenciální funkce a Eulerovo číslo

V této podkapitole se budeme podrobně věnovat exponenciální funkci, která představuje jednu z nejdůležitějších matematických funkcí. Dále zavedeme Eulerovo číslo ( Leonhard Euler, švýcarský matematik, 1707 – 1783). Jak uvidíme, oba tyto matematické objekty stojí na pojmu číselné řady, který jsme zavedli v předcházející sekci.

Pro každé reálné $x$ uvažme číselnou řadu 5

\begin{equation}\label{eq_rada_exp}\tag{4.7} \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots. \end{equation}

Pomocí d'Alembertova kritéria se snadno přesvědčíme o absolutní konvergenci této řady. Pro $x=0$ řada (4.7) očividně absolutně konverguje. Pro $x\neq 0$ pro limitu podílů platí

\begin{equation*} \lim_{k\to\infty} \frac{\left|\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}\right|}{\left|\frac{x^k}{k!}\right|} = |x| \lim_{k\to\infty} \frac{1}{k+1} = 0 < 1. \end{equation*}

Podle d'Alembertova kritéria proto řada $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{|x|^k}{k!}$ konverguje, a tudíž řada (4.7) konverguje absolutně pro libovolné $x\in\R$. Výraz (4.7) má tedy pro každé $x\in\R$ jednoznačný smysl jakožto reálné číslo.

Po těchto počátečních úvahách můžeme přejít k formální definici exponenciální funkce.

Definice 4.3

Zobrazení, které každému $x\in\R$ přiřazuje součet konvergentní řady

\begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}, \end{equation*}

nazýváme exponenciální funkcí. Její funkční hodnotu v bodě $x$ značíme symbolem $e^x$. Platí tedy

\begin{equation}\label{eq_def_exp}\tag{4.8} e^x \ceq \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}, \quad x\in\R. \end{equation}

Nyní se budeme zabývat vlastnostmi funkce definované vztahem (4.8). Ukážeme, že takováto funkce splňuje všechny vztahy, které bychom od exponenciální funkce očekávali.

Věta 4.9 (Základní vlastnosti exponenciální funkce)

Exponenciální funkce oplývá následujícími vlastnostmi:

  1. $e^0 = 1$,

  2. pro všechna $x,y\in\R$ platí $e^{x+y} = e^x e^y$,

  3. pro všechna $x\in\R$ platí $e^x > 0$ a dále $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$,

  4. exponenciála je ostře rostoucí funkce, pro všechna $x,y \in \R$ splňující nerovnost $x < y$ platí nerovnost $e^x < e^y$.

Zobrazit důkaz

a. Plyne přímo z dosazení6 $x=0$ do definičního vztahu (4.8),

\begin{equation*} e^0 = \sum_{k=0}^\infty \frac{0^k}{k!} = 1 + 0 + 0 + \cdots = 1. \end{equation*}

b. Uvažme $x,y\in\R$. Potom7

\begin{align*} e^x \cdot e^y &= \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \right) \cdot \left( \sum_{\ell = 0}^\infty \frac{y^\ell}{\ell!} \right) = \\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{\ell=0}^k \frac{x^\ell}{\ell!} \frac{y^{k-\ell}}{(k-\ell)!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \sum_{\ell = 0}^k \binom{k}{\ell} x^\ell y^{k-\ell} = \\ &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(x+y)^k}{k!} = e^{x+y}.\end{align*}

c. Z předchozích, již dokázaných, bodů a. a b. plyne rovnost

\begin{equation}\label{eq_exp_x_min_x}\tag{4.9} e^x e^{-x} = e^{x-x} = e^0 = 1 \end{equation}

platná pro libovolné $x\in\R$. Tato rovnost implikuje nenulovost $e^x$ pro libovolné $x\in\R$ (můžeme argumentovat sporem: kdyby $e^x = 0$ pro jisté $x\in\R$, pak z odvozené rovnosti dostáváme $0=1$, což je spor). Z rovnosti (4.9) pak ihned dostáváme $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$.

Buď dále $x \geq 0$. Potom přímo z definice exponenciály dostáváme

\begin{equation*} e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \geq 1. \end{equation*}

Předpoklad $x \geq 0$ je zde podstatný, díky němu víme, že posloupnost částečných součtů konvergentní řady $\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$ je rostoucí a její součet proto můžeme zdola odhadnout prvním členem posloupnosti částečných součtů, což je číslo $1$.

Máme-li nyní $x < 0$, pak z předchozího odstavce a (4.9) plyne

\begin{equation*} e^x = \frac{1}{e^{-x}} > 0. \end{equation*}

Celkem proto nerovnost $e^x > 0$ platí pro každé $x \in \mathbb R$.

d. Uvažujme $z > 0$. Nerovnost $e^z > 1$ odvozená v důkazu předchozího bodu dále implikuje, že pro záporné $z$ platí

\begin{equation*} e^z = \frac{1}{e^{-z}} < 1. \end{equation*}

Je-li nyní $x < y$, pak $e^y = e^{y-x} e^x > 1 \cdot e^x = e^x$, protože $y-x > 0$.

$\square$

BI-MA1 jsme využívali ještě jednu zásadní limitní vlastnost exponenciály, z které například plynula spojitost a vztah pro derivaci exponenciály. Tato vlastnost je obsahem následujícího lemmatu.

Lemma 4.1 (Důležitý limitní vztah pro exponenciální funkci)

Platí

\begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1. \end{equation*}

Zobrazit důkaz

Uvažme $x \in (-1,1)$, $x \neq 0$, a $n\in\mathbb{N}$, $n \geq 2$. Potom

\begin{align*} \frac{\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} - 1}{x} - 1 &= \frac{\sum_{k=1}^n \frac{x^k}{k!}}{x} - 1 = \sum_{k=1}^n \frac{x^{k-1}}{k!} - 1 = \\ &= \sum_{k=2}^n \frac{x^{k-1}}{k!} = x \sum_{k=2}^n \frac{x^{k-2}}{k!}.\end{align*}

Z těchto rovností plyne odhad

\begin{align*} 0 \leq \left| \frac{\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} - 1}{x} - 1 \right| &\leq |x| \sum_{k=2}^n \frac{|x|^{k-2}}{k!} \leq |x| \sum_{k=2}^n \frac{|x|^{k-2}}{2^{k-1}} = \\ &= \frac{|x|}{2} \sum_{k=2}^n \left(\frac{|x|}{2}\right)^{k-2} \leq \frac{|x|}{2} \sum_{k=2}^\infty \left(\frac{|x|}{2}\right)^{k-2} = \\ &= \frac{|x|}{2} \frac{1}{1 - |x|/2} \leq \frac{|x|}{2} \frac{1}{1-1/2} = |x|\end{align*}

platný pro všechna přirozená $n$. Odtud ihned plyne nerovnost

\begin{equation*} 0 \leq \left| \frac{e^x - 1}{x} - 1 \right| \leq |x| \end{equation*}

pro každé $x \in (-1,1)$, $x \neq 0$. Konečně věta  O limitě sevřené funkce implikuje

\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \left| \frac{e^x - 1}{x} - 1 \right| = 0 \end{equation*}

čili

\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1. \end{equation*}

$\square$

Poznámka 4.9

Limity exponenciály v $+\infty$, resp. $-\infty$, je nyní také snadné odvodit. Neboť pro $z > 0$ platí $\ee^z > 1 + z$, plyne z věty  O vytlačení do nekonečna

\begin{equation*} \lim\limits_{x\to+\infty}\ee^x = +\infty\,. \end{equation*}

Což dále použitím věty o limitě složené funkce

\begin{equation*} \lim\limits_{x\to-\infty}\ee^x = \lim\limits_{x\to+\infty}\ee^{-x} = \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{\ee^{x}} = \frac{1}{+\infty} = 0. \end{equation*}

Pomocí exponenciální funkce můžeme přirozeně definovat Eulerovo číslo jakožto funkční hodnotu exponenciální funkce v bodě $1$.

Definice 4.4 (Eulerovo číslo)

Eulerovo číslo definujeme pomocí exponenciální funkce předpisem

\begin{equation}\label{eq_def_e}\tag{4.10} e \ceq e^1 = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}. \end{equation}

Nyní, vybaveni skutečnou definicí Eulerova čísla, se můžeme pustit do prozkoumávání jeho vlastností. Odhadneme jeho hodnotu, jen velmi přibližně, a poté ukážeme jeho iracionalitu.

Poznámka 4.10

V této poznámce provedeme první hrubý odhad hodnoty Eulerova čísla. Označme $(s_n)_{n=1}^\infty$ posloupnost částečných součtů řady (4.10), tedy

\begin{equation*} s_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}, \quad n\in\mathbb{N}. \end{equation*}

Tato posloupnost je očividně rostoucí a omezená. Skutečně,

\begin{align*} s_n &= 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{2\cdot 3\cdot 4} + \cdots + \frac{1}{2\cdot 3\cdot 4 \cdots n} \leq \\ &\leq 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}} = 1 + \frac{1 - \frac{1}{2^n}}{1 - \frac{1}{2}} < 3.\end{align*}

Součet řady (4.10), tedy Eulerovo číslo, leží mezi čísly $2.5$ (součet prvních tří členů řady) a $3$ (horní odhad provedený výše).

Tvrzení 4.1 (Iracionalita Eulerova čísla)

Eulerovo číslo je iracionální.

Zobrazit důkaz

Uvedeme důkaz sporem připisovaný  Josephu Fourierovi (francouzský matematik a fyzik, 1768–1830) z roku 1815.

Předpokládejme, že Eulerovo číslo je racionální, tj. platí rovnost $e = \frac{m}{n}$ pro nějaká přirozená $m$ a $n > 1$ (už víme, že $e$ je kladné). Potom $e \cdot n! = m \cdot (n-1)!$ je přirozené číslo, stejně jako

\begin{equation*} n! \cdot \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} \right). \end{equation*}

Rozdíl těchto dvou přirozených čísel je nezáporné celé číslo a pro jeho hodnotu (ozn. $R$) s využitím definiční rovnosti (4.10) dostáváme

\begin{equation*} R = n! \cdot e - n! \left( 1 + \frac{1}{1!} + \cdots \frac{1}{n!} \right) = \sum_{k=n+1}^\infty \frac{n!}{k!} > 0 \end{equation*}

a dále pak

\begin{equation*} R = \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{(n+1) (n+2) \cdots (n+j)} \leq \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{(n+1)^j} = \frac{1}{n+1} \frac{1}{1 - \frac{1}{n+1}} = \frac{1}{n} < 1. \end{equation*}

Tj. $R$ je celé číslo ležící v intervalu $(0, 1)$. Takové číslo neexistuje, dosáhli jsme sporu.

$\square$

4.4.1 Přirozený logaritmus

Připomeňme si výsledek předchozí sekce. Exponenciální funkce $x \mapsto e^x$ je ostře rostoucí (a tedy i prostá). Z bodu c. Věty 4.9 dále víme, že $e^x$ je kladné pro každé reálné $x$. Platí ale víc, oborem hodnot exponenciální funkce je množina $(0,+\infty)$.

Definice 4.5

Existuje tedy inverzní funkce k exponenciále, která je také ostře rostoucí a zobrazuje $(0,+\infty)$ na $\R$. Tuto funkci nazýváme přirozeným logaritmem a značíme symbolem $\ln$.

Věta 4.10 (Vlastnosti přirozeného logaritmu)

Přirozený logaritmus $\ln$ oplývá následujícími vlastnostmi:

  1. pro každé $x\in\R$ platí $\ln e^x = x$ a pro každé $x\in(0,+\infty)$ platí $e^{\ln x} = x$,

  2. $\ln e = 1$ a $\ln 1 = 0$,

  3. pro $x,y \in (0,+\infty)$ platí $\ln(xy) = \ln x + \ln y$.

Zobrazit důkaz

  1. Plyne přímo z definice inverzní funkce (připomeňte si  definici inverzního zobrazení).

  2. Plyne přímo z definice inverzní funkce a vztahů $e^1 = e$ a $e^0 = 1$.

  3. Uvažme $x,y \in (0,+\infty)$ a označme $x' \ceq \ln x$ a $y' \ceq \ln y$, čili $e^{x'} = x$ a $e^{y'} = y$. Dle bodu b. věty 4.9 platí $xy = e^{x'+y'}$, neboli $\ln(xy) = x' + y' = \ln x + \ln y$.

$\square$

4.4.2 Obecná mocnina

Pomocí exponenciální a logaritmické funkce zavedené v předchozí sekci nyní definujeme obecnou mocninu (definice 4.6). Jinak řečeno, cílem této sekce je dát korektní význam symbolu $a^x$, kde $a > 0$ a $x\in\R$.

Připomeňme, že pro $a\in\R$ a kladné $n\in\mathbb{N}$ definujeme

\begin{equation}\label{eq_a_na_n}\tag{4.11} a^n \ceq \underbrace{a\cdot a \cdots a}_{n\text{-krát}}. \end{equation}

Pro záporné celé $n$ a nenulové $a$ pak klademe

\begin{equation*} a^n \ceq \frac{1}{a^{-n}}. \end{equation*}

Tato definice má smysl neboť ve jmenovateli je $-n$ kladné a můžeme proto použít vztah (4.11). Konečně položíme8 $a^0 \ceq 1$

Symbol $a^n$ má tedy dobrý smysl pro libovolné $n\in\mathbb{Z}$ a nenulové $a\in\R$. Čtenář jistě snadno nahlédne, že při uvedené definici platí rovnosti

\begin{equation*} a^n \cdot a^m = a^{n+m} \quad \text{a} \quad \big(a^n)^m = a^{n\cdot m} \end{equation*}

pro libovolná $n,m\in\mathbb{N}_0$ a $a \in \R$ (resp. $n,m\in\mathbb{Z}$ a $0 \neq a$).

Nyní se zbavíme požadavku na celočíselnost exponentu. Klíčem k úspěchu je následující definice.

Definice 4.6 (Obecná mocnina)

Pro $a\in(0,+\infty)$ a $x\in\R$ definujeme

\begin{equation*} a^x \ceq e^{x\ln a}. \end{equation*}

Poznamenejme, že tato definice není v kolizi s dříve zavedenou exponenciální funkcí. Pro $a=e$ totiž máme

\begin{equation*} e^x = e^{x\ln e} = e^{x \cdot 1} = e^x. \end{equation*}

Na levé straně symbol $e^x$ chápeme jako obecnou mocninu a na pravé straně jako exponenciální funkci.

Pojďme si nyní rozmyslet, jaké vlastnosti má námi zavedená obecná mocnina a zda-li rozšiřuje celočíselnou mocninu zmíněnou na začátku této sekce.

Věta 4.11 (Vlastnosti obecné mocniny)

Pro $a,b > 0$ platí

  1. $a^{x+y} = a^x a^y$,

  2. $\big(a^x\big)^y = a^{xy}$,

  3. $(ab)^x = a^x b^x$.

pro libovolná $x,y\in\R$.

Zobrazit důkaz

Uvažme tedy $a,b > 0$ a $x,y \in \R$. Potom dle definice 4.6 platí

\begin{equation*} a^{x+y} = e^{(x+y) \ln a} = e^{x\ln a + y \ln a} = e^{x\ln a} e^{y\ln a} = a^x a^y. \end{equation*}

Podobně

\begin{equation*} \big(a^{x}\big)^y = e^{y \ln a^x} = e^{y \ln e^{x\ln a}} = e^{yx\ln a} = a^{yx} = a^{xy}. \end{equation*}

Na konec s využitím věty 4.10

\begin{equation*} (ab)^x = e^{x\ln(ab)} = e^{x (\ln a + \ln b)} = e^{x\ln a}e^{x\ln b} = a^x b^x. \end{equation*}

$\square$

Obdobně jako u exponenciální funkce se můžeme na obecnou mocninu dívat jako na funkci $x \mapsto a^x$. V tomto případě její vlastnosti závisí na konkrétní hodnotě $a$.

Věta 4.12

Funkce definovaná předpisem $a^x$ je:

  • ostře rostoucí pokud $a>1$,

  • konstantní pokud $a = 1$,

  • ostře klesající pokud $0 < a < 1$.

Obor hodnot funkce $a^x$ je interval $(0,+\infty)$ pro $a \neq 1$ a $\{1\}$ pro $a = 1$.

Zobrazit důkaz

Pokud je $a=1$, pak $a^x = e^{x\ln a} = e^{x\ln 1} = e^0 = 1$. Uvažme $a > 1$. Z definice logaritmu víme, že $\ln a > 0$. Je-li $x < y$ pak $x \ln a < y \ln a$ a růst exponenciální funkce implikuje

\begin{equation*} a^x = e^{x\ln a} < e^{y\ln a} = a^y. \end{equation*}

Zbývající případ $0 < a < 1$ lze vyšetřit analogicky.Pokud $a = 1$ pak je oborem hodnot množina $\{1\}$. V ostatních případech má $a^x$ stejný obor hodnot jako exponenciála, tedy $(0,+\infty)$.

$\square$

Definice 4.7

Funkce $a^x$ je tedy pro $0 < a \neq 1$ ryze monotonní a tudíž prostá. Její inverzní funkci nazýváme logaritmem o základu $a$ a značíme $\log_a$.

Poznámka 4.11

Pro každé $a, x > 0$ dostáváme

\begin{equation*} e^{\log_a x} = e^{\log_a x \cdot \frac{\ln a}{\ln a}} = e^{\big(\log_a x \cdot \ln a\big)\frac{1}{\ln a}} = \Big(a^{\log_a x}\Big)^{\frac{1}{\ln a}} = x^{\frac{1}{\ln a}} = e^{\frac{\ln x}{\ln a}}. \end{equation*}

Z prostoty exponenciální funkce tudíž dostáváme $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$. Z tohoto vztahu již plynou všechny ostatní notoricky známé vlastnosti logaritmu.Podobným způsobem (viz cvičení) lze dokázat známou rovnost

\begin{equation*} \log_a b^x = x \log_a b \end{equation*}

platnou pro libovolné $0 < a \neq 1$, $b>0$ a $x\in\R$.