V této podkapitole se budeme zabývat chybou mezi původní funkcí a Taylorovým polynomem. Kdybychom tuto chybu nebyli schopni alespoň odhadnout, pak by aproximace byla prakticky nepoužitelná. Nebyli bychom schopni zajistit požadovanou přesnost aproximace. Definujme si nejprve jasně chybu (zbytek), který zkoumáme.
Nechť funkce $f$ má v bodě $a$ konečnou $n$-tou derivaci. Pro všechna přípustná $x$ položme $R_{n,a}(x) \ceq f(x) - T_{n,a}(x)$. Potom vztah
nazýváme Taylorovým vzorcem a $R_{n,a}$ nazýváme $n$-tým zbytkem v Taylorově vzorci.
V případě, že mluvíme o Taylorově polynomu v bodě $a=0$ píšeme pro jednoduchost $T_n$ místo $T_{n,0}$. Podobně v případě zbytku $R_n = R_{n,0}$. Taylorův polynom pro $a=0$ se také někdy nazývá Maclaurinův polynom.
První informaci o zbytku v Taylorově vzorci nám dává následující věta. Hrubě řečeno, když $x \to a$, pak zbytek v Taylorově vzorci jde k nule rychleji, než poslední člen $n$-tého Taylorova polynomu.
Nechť funkce $f$ má v jistém okolí $U_a$ bodu $a$ spojitou $n$-tou derivaci. Pak pro zbytek v Taylorově vzorci platí
Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že $a=0$. Z definice zbytku a vlastností Taylorova polynomu plyne
Pro výpočet limity lze použít l'Hospitalovo pravidlo (zdůvodněte proč!). Potom
Poslední rovnost platí, protože $R_n^{(n)} = f^{(n)} - T_n^{(n)}$ je podle předpokladu spojitá funkce na $U_a$ a $R_n^{(n)}(0) = 0$.
$\square$
Za stejných předpokladů jako v předchozí větě. Taylorův vzorec lze vyjádřit ve tvaru
Skutečně, stačí použít definici $o$ a tvrzení předchozí věty.
Vypočtěte limitu
Protože $\sin x = x + o(x)$ pro $x\to 0$
Pro $x \to 0$ a $\alpha \neq 0$ např. platí
Hrubě řečeno, $n$-tý Taylorův polynom je nejlepší aproximace mezi všemi polynomy stupně $n$. Přesný smysl tohoto výroku je obsažen v následující větě.
Nechť funkce $f$ má na jistém okolí bodu $a$ spojitou $n$-tou derivaci a nechť $Q$ je polynom stupně nejvýše $n$, různý od Taylorova polynomu $T_n$ funkce $f$ v bodě $a$. Potom existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že
BÚNO uvažujme $a = 0$. Označme pro jednoduchost koeficienty polynomů
Polynomy jsou různé, jistě tedy existuje $i\leq n$ takové, že $a_i \neq b_i$. Uvažujme dále nejmenší takové $i$. Potom
Potom pro $x\to 0$ dostaneme použitím předchozí věty 5.2 (rozmyslete!)
Předchozí věta ale také implikuje (rozmyslete!)
Musí tedy existovat okolí $U_0$ takové, že pro $x\in U_0 \smallsetminus\{0\}$ platí
$\square$
Výraz $|f(x) - Q(x)|$ představuje absolutní velikost chyby při aproximaci funkce $f$ pomocí polynomu $Q$ v bodě $x$. Pokud $T_{n-1} \neq T_n$, pak pro jisté okolí $U_0$ podle předchozí věty platí
Tedy, každý další Taylorův polynom aproximuje funkci $f$ lépe než předchozí (pokud není shodný s předchozím).
Jak ale ukazuje příklad 5.11, mohou existovat i „patologické“ situace, kdy aproximace pomocí Taylorových polynomů nedává dobře použitelné výsledky.
Nejdůležitější větou této kapitoly je následující Taylorova věta. Tato věta nám dává způsob jak kontrolovat zbytek v Taylorově vzorci (tj. chybu).
Nechť existuje okolí $U_a$ bodu $a$ takové, že funkce $f$ v něm má konečnou $(n+1)$-ní derivaci. Pak zbytek v Taylorově vzorci $f(x) = T_{n,a}(x) + R_{n,a}(x)$ lze pro každé $x\in U_a$ zapsat ve tvaru
kde číslo $\xi$ závisí na $x$ a $n$ a leží uvnitř intervalu s krajními body $x$ a $a$. Tento tvar zbytku nazýváme Lagrangeův.
Vynecháváme.
$\square$
Pro číslo $\xi$ z předchozí věty tedy platí $0 < |\xi - a| < |x - a|$. Interval, o kterém se v předchozí větě mluví nemůžeme zapsat snadno explicitně, protože nevíme, jestli $x$ leží vpravo či vlevo od bodu $a$. Proto se raději uchylujeme k slovnímu popisu, případně nerovnosti uvedené v této poznámce. Hodnota $\xi$ závisí na hodnotě $x$ a $a$.
Tato věta nám dává velmi důležitou informaci o zbytku v Taylorově vzorci. Umožňuje odhadovat chybu, které se dopustíme při nahrazení původní funkce $f$ jejím Taylorovým polynomem $T_{n,a}$.
Určete, jaké chyby se dopustíme, když pro výpočet čísla $\sqrt{e} = e^{\frac{1}{2}}$ použijeme hodnotu třetího Taylorova polynomu funkce $e^x$ v bodě $0$ vyhodnoceného v bodě $x = \frac{1}{2}$,
Dosazením dostaneme funkční hodnotu Taylorova polynomu v $x=\frac{1}{2}$:
Toto číslo nám samo o sobě nic neříká. Je nutné odhadnout chybu.
Podle Taylorovy věty 5.4 platí ($f(x) = e^x$) rovnost
kde zbytek je tvaru
O čísle $\xi$ pouze víme, že leží v intervalu $\big(0,\frac{1}{2}\big)$. Navíc umíme odhadnout velikost čísla $e$, platí nerovnost $e<4$ (zdůvodněte!). Celkem tedy
Číslo $\sqrt{e}$ leží v intervalu $\big(1.6458\bar{3}, \ 1.651041\bar{6}\big)$. Viz ilustrační obrázek 5.6. Přibližná hodnota $\sqrt{e}$ s přesností na $8$ cifer je $\sqrt{e} \approx 1.6487213$.
Nechť funkce $f$ má v bodě $a$ konečnou $n$-tou derivaci. Pro všechna přípustná $x$ položme $R_{n,a}(x) \ceq f(x) - T_{n,a}(x)$. Potom vztah
nazýváme Taylorovým vzorcem a $R_{n,a}$ nazýváme $n$-tým zbytkem v Taylorově vzorci.