5.1 Aproximace funkcí pomocí polynomů

Tečna funkce $f$ v bodě $a$ představuje tzv. lineární aproximaci funkce $f$ v bodě $a$. V blízkosti bodu $a$ dobře vystihuje chování funkce $f$. Ilustrativní graf funkce a její tečny je uveden na obrázku 5.1.

Obrázek 5.1: Tečna jakožto lineární aproximace funkce. Lze očekávat, že souhlas je dobrý na malém okolí bodu, kde uvažujeme tečnu. Jak odhadnout chybu mezi funkcí a aproximací?

Pokud chceme funkce aproximovat i na větších intervalech, zřejmě nevystačíme pouze s přímkami, viz obrázek 5.2. Nabízí se uvažovat místo polynomů prvního stupně (přímky) polynomy vyšších stupňů (kvadratické, kubické, atd.). V této kapitole se budeme zabývat problémem, jak tyto aproximační polynomy zkonstruovat. S pomocí derivací vyšších stupňů se naučíme sestrojit tzv. Taylorovy polynomy, které představují v jistém smyslu nejlepší možnou aproximaci k dané funkci.

Obrázek 5.2: Aproximace zadané funkce (černá křivka) pomocí polynomu na zadaném intervalu se zadanou přesností.

Typickým využitím Taylorových polynomů je úloha vypočíst hodnotu dané funkce s předem zadanou přesností pouze pomocí algebraických operací sčítání a násobení (dělení). Tedy například: Jak numericky určit hodnotu $\sin(37^\circ)$?

Podle známé geometrické definice funkce $\sin$ k odpovědi na tuto otázku potřebujeme použít pravítko, kružítko a úhloměr. Přesnost „výpočtu“ je pak dána přesností našich nástrojů. Viz obrázek 5.3.

Obrázek 5.3: Geometrická definice funkce $\sin$ pomocí jednotkové kružnice je nevhodná pro výpočetní aplikace.