Pro analytické počítání je klíčová Fubiniho věta, která nám umožňuje vícerozměrný integrál počítat pomocí několika „jednorozměrných“ integrálů.
První verze této věty mluví o integraci přes obdélník, zobecněním o kvádrech a hyperkvádrech.
Buď $f$ Riemannovsky integrabilní na obdélníku $D = \langle a_1, b_1 \rangle \times \langle a_2, b_2 \rangle$. Pokud existuje jeden z integrálů
potom je roven Riemannově integrálu
Pořádně si rozmyslete, co se v rovnici (10.1) děje. Vyhnete se pak hloupým chybám při počítání příkladů. Např. vnitřní integrál v prvním výrazu,
již představuje funkci pouze proměnné $x$. Přes $y$ se již integrovalo.
K výpočtu vícerozměrného integrálu tedy lze použít opakovanou integraci funkce jedné proměnné probíranou na začátku semestru. Pro tyto účely máme celou řadu nástrojů (substituce, per partes, Newtonova formule…, viz Kapitoly 2 a 3).
Analogickou větu lze zformulovat i pro více než dvě proměnné a hyperkrychli. Například pro kvádr $K = \langle a_1, b_1 \rangle \times \langle a_2, b_2 \rangle \times \langle a_3, b_3 \rangle$ bychom měli
Všimněte si také, že pořadí integrace lze zaměnit, jen je potřeba hlídat pořadí intervalů a proměnných.
Důsledkem předchozí věty je následující užitečné tvrzení:
Pokud integrujeme spojitou funkci tvaru $f(x,y) = g(x) \cdot h(y)$ na obdélníku $D = \langle a_1, b_1 \rangle \times \langle a_2, b_2 \rangle$, pak
Stačí v podstatě „dosadit“ do Věty 10.2 a dvakrát vytknout konstantu vůči příslušné integrační proměnné.
$\square$
Vypočtěte integrál
kde $D = \langle -1,1 \rangle \times \langle 0,1 \rangle$.
K výpočtu můžeme použít dvou postupů, které lze i geometricky interpretovat. První výpočet (viz Obrázek 10.3),
Druhý výpočet (viz Obrázek 10.3),
Pokud naše množina není obdélník, pak se situace malinko komplikuje, ale princip zůstává stejný. Pro množiny typu 1 nebo 2 máme následující verzi Fubiniho věty, viz také Obrázek 10.4.
Buď $f$ spojitá na množině $D$ typu 1 nebo 2. Potom
pro množinu $D$ typu 1 platí $\displaystyle \int_D f(x,y)\,\dx\dy = \int_a^b \left( \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,\dy \right)\dx$,
pro množinu $D$ typu 2 platí $\displaystyle \int_D f(x,y)\,\dx\dy = \int_a^b \left( \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y)\,\dx \right)\dy$.
Základní použití této věty ilustruje následující příklad. Další příklady pak lze najít v Cvičebnici na MARASTu, případně další podkapitole.
Vypočtěte integrál
kde $D \subset \R^2$ je trojúhelník s vrcholy $(0,0)$, $(-1,1)$ a $(2, 1)$. Viz Obrázek 10.5.
Tento trojúhelník můžeme nejlépe popsat jako množinu typu 2 (alternativně bychom ji mohli brát jako sjednodcení dvou množin typu 1, ale takový výpočet by nebyl nejpřímočařejší). Proto