Již jsme spočetli, že pro každé reálné $x$ a přirozené $n$ platí
Dále v tomto případě známe tvar zbytku $R_n$, lze ho vyjádřit jako
kde $\xi_{n,x}$ leží mezi $0$ a $x$, tudíž $\xi_{n,x} < |x|$. Z monotonie $e^x$ pak plyne odhad
Horní odhad čísla $e^{\xi_{n,x}}$ tedy nezávisí na $n$ (v tomto případě)!
Pro dané pevné $x\in\R$ proto platí
Věta o limitě sevřené posloupnosti potom pro každé reálné $x$ zaručuje
Pro libovolné reálné $x$ tedy platí
Tento fakt pro nás samozřejmě není překvapením, protože exponenciálu jsme takto definovali! Jak za chvíli uvidíme, tuto vlastnost – vyjádřitelnost pomocí součtu číselné řady s parametrem $x$ – mají i další elementární funkce.
Nechť je dána posloupnost $(a_k)_{k=0}^\infty$ a číslo $c\in\R$. Číselnou řadu
závisející na reálném parametru $x$, nazýváme mocninnou řadou se středem v bodě $c$.
Nechť reálná funkce reálné proměnné $f$ má v bodě $c \in \R$ konečné derivace všech řádů. Mocninnou řadu
potom nazýváme Taylorovou řadou funkce $f$ v bodě $c$.
Uvažme pro jednoduchost $c=0$ a řadu v rovnici (5.1).
Je-li například $x = 2$, pak máme číselnou řadu $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k 2^k$,
je-li $x = \frac{1}{3}$, pak máme číselnou řadu $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{a_k}{3^k}$.
Tímto způsobem je definována jistá funkce, která každému reálnému $x$ přiřadí součet zadané číselné řady, pokud existuje. Jaký je definiční obor této funkce?
Pokud existuje limita10
potom klademe
a tvrdíme, že mocninná řada
konverguje absolutně pro $x\in(c-R,c+R)$ a diverguje pro $|c-x| > R$.
Pro libovolné $x\in\R$ různé od $c$ dostáváme
Shrnujeme, že pokud
$|x - c| \cdot L < 1$, tedy $|x - c| < R$, pak podle d'Alembertova kritéria zkoumaná řada konverguje absolutně,
$|x - c| \cdot L > 1$, tedy $|x - c| > R$, pak podle podílového kritéria je $\displaystyle\lim_{k\to\infty} |a_k (x-c)^k| = +\infty$. Tudíž nemůže být splněna nutná podmínka konvergence zkoumané řady (tj. neplatí $\displaystyle\lim_{k\to\infty} a_k (x-c)^k = 0$).
$\square$
Uveďme dále několik základních vlastností týkajících se mocninné řady
Předpokládejme, že existuje limita $L = \lim_{k\to\infty} \bigg| \frac{a_{k+1}}{a_k} \bigg|$ a definujme $R$ stejně jako v předchozí větě. Číslo $R$ nazýváme poloměrem konvergence mocninné řady (5.2). Předchozí věta říká, že tato mocninná řada (5.2) konverguje pro $|x| < R$ a diverguje pro $|x| > R$. Neříká nic o konvergenci pro $x = R$ a $x = -R$. Každá mocninná řada se chová tímto způsobem. Platí totiž následující věta.
Ke každé mocninné řadě tvaru
existuje $R\in\langle 0,+\infty\rangle$ takové, že tato řada absolutně konverguje pro $|x| < R$ ($x = 0$ pokud $R = 0$) a diverguje pro $|x| > R$.
Vynecháváme.
$\square$
Poloměr konvergence ale vždy nemusí jít spočítat pomocí limity podílů uvedených ve větě 5.5. Tato limita nemusí existovat.
Uvažte mocninnou řadu
Limita
neexistuje, ale podle srovnávacího kritéria mocninná řada jistě konverguje pro $x\in(-1,1)$. Skutečně,
a $\sum_{k=0}^\infty |x|^k$ konverguje pro $|x| < 1$.
Rozeberme všechny tyto poznatky na příkladu funkce $f(x) = \frac{1}{1-x}$ a její Taylorovy řady v bodě $0$,
Platí $f^{(k)}(x) = \frac{k!}{(1-x)^{k+1}}$, $x\neq 1$, $k\in\mathbb{N}$. Proto $f^{(k)}(0) = k!$. Zadání je tedy v pořádku, tato řada je skutečně Taylorovou řadou příslušné funkce v bodě $0$. Pro poloměr konvergence $R$ máme rovnost
Dále pro $x=\pm 1$ jsou řady $\sum_{k=0}^\infty (\pm 1)^k$ divergentní. Řada konverguje absolutně pro $x\in(-1,1)$ a diverguje pro všechna ostatní $x$. Rovnost
platí pro $x\in(-1,1)$. Řadu v tomto případě umíme přímo sečíst, není potřeba vyšetřovat zbytek v Taylorově vzorci.
Vyšetřete obor konvergence mocninné řady
Postupujme opět s pomocí věty 5.5. Pro $L$ platí
Proto i $R = \frac{1}{1} = 1$ a ihned vidíme, že naše řada (se středem v $0$) konverguje absolutně pro $x \in (-1,1)$ a diverguje pro $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.
Dosazením $x = \pm 1$ dostaneme řady $\sum_{k=1}^\infty k (\pm 1)^k$ z nichž ani jedna není konvergentní, protože nesplňuje nutnou podmínku konvergence. Uzavíráme, že oborem konvergence naší řady je interval $(-1,1)$.
Poloměr konvergence mocninné řady může vyjít i nulový. Rozmyslete si to v případě mocninné řady
která absolutně konverguje pouze pro $x = 0$ (její součet je pak $1$) a diverguje pro všechna ostatní reálná $x$. Její obor konvergence je tedy jednoprvková množina $\{0\}$.
Na závěr této podkapitoly uvádíme v tabulce 5.1 Taylorovy řady dalších elementárních funkcí.
funkce | Taylorova řada v \(0\) | konvergence pro |
---|---|---|
\(e^x\) | \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}\) | \(x\in\R\) |
\(\sin x\) | \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1}\) | \(x\in\R\) |
\(\cos x\) | \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}\) | \(x\in\R\) |
\(\ln(1+x)\) | \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} x^{k}\) | \(x\in(-1,1\rangle\) |
\(\arctg x\) | \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1} x^{2k+1}\) | \(x\in\langle -1,1 \rangle\) |
Tabulka 5.1: Některé elementární funkce, jejich Taylorovy řady a $x$ pro která tyto řady konvergují.
Mathematica nám může pomoci s počítáním Taylorových polynomů příkazem Series
.
Jeho základní použití má tvar Series[expr, {x, a, n}]
, kde expr
je výraz závisející na x
a chceme spočítat $n$-tý Taylorův polynom v bodě a
.
Číselnou řadu $\sum_{k=0}^\infty a_k$ nazýváme absolutně konvergentní, pokud číselná řada $\sum_{k=0}^\infty |a_k|$ konverguje.