6.2 Lineární rekurentní rovnice

Motivováni předchozí diskuzí a inspirováni rovnicí (6.1) se nyní hlouběji ponoříme do studia lineárních rekurentních rovnic. Pusťme se nejprve do definice ústředního pojmu a zavedení užitečné terminologie.

Definice 6.1 (Lineární rekurentní rovnice / Linear recurrence equation)

Lineární rekurentní rovnice řádu $k \in \N$ (zkráceně LRR) je rovnice tvaru

\begin{equation}\label{eq_def_lrr}\tag{6.2} x_{n+k} + c_{k-1,n} \cdot x_{n+k-1} + \cdots + c_{1,n} \cdot x_{n+1} + c_{0,n} \cdot x_n = b_n, \quad n \in \Z, \ n \geq n_0, \end{equation}

kde $n_0 \in \Z$ a $(c_{i,n})_{n=n_0}^\infty$, $i = 0,1,\ldots,k-1$, (tzv. koeficienty rovnice) a $(b_n)_{n=n_0}^\infty$ (tzv. pravá strana rovnice) jsou zadané posloupnosti a posloupnost $(c_{0,n})_{n=n_0}^\infty$ není nulová posloupnost. Jestliže $b_n = 0$ pro každé $n \geq n_0$, pak se příslušná rovnice nazývá homogenní. Přidruženou homogenní rovnicí k rovnici (6.2) nazýváme LRR se stejnými koeficienty a nulovou pravou stranou ($b_n = 0$ pro každé $n \geq n_0$).

Jako neznámou v rovnici13 (6.2) chápeme celou posloupnost $(x_n)_{n=n_0}^\infty$. Zkráceně bychom rovnici (6.2) mohli pomocí sumační notace zapsat ve tvaru

\begin{equation*} x_{n+k} + \sum_{i=0}^{k-1} c_{i,n} x_{n+i} = b_n, \quad n \in \Z, \ n \geq n_0. \end{equation*}

Tento zápis budeme často používat. Je explicitnější a zabírá méně místa.

Pozorné čtenářstvo si jistě všimne množství lineárně–algebraicky znějících pojmů v Definici 6.1. Zanedlouho uvidíme, že vztah mezi řešením soustav lineárních rovnic a lineárních rekurentních rovnic je hluboký.

Lineární rekurentní rovnice typicky vzejde z praktického problému a nás poté zajímá její řešení. Pojďme formálně zavést i tento důležitý pojem.

Definice 6.2 (Řešení LRR)

Nechť je dána lineární rekurentní rovnice řádu $k \in \N$,

\begin{equation}\label{eq_reseni_lrr}\tag{6.3} x_{n+k} + c_{k-1,n} x_{n+k-1} + \cdots + c_{1,n} x_{n+1} + c_{0,n} x_n = b_n, \quad n \in \Z, \ n \geq n_0. \end{equation}

Jejím řešením nazveme libovolnou posloupnost $(x_n)_{n=n_0}^\infty$ takovou, že dosazením jejích členů do (6.3) dostaneme pravdivé rovnosti pro každé celočíselné $n \geq n_0$.

Uveďme nyní několik příkladů demonstrujících právě zavedené pojmy. Vlastnostem řešení lineárních rekurentních rovnic a jejich systematickému hledání se budeme věnovat v dalších podkapitolách.

Příklad 6.2 (Geometrická posloupnost)

Mějme zadané $q \in \R$ a uvažme homogenní LRR prvního řádu

\begin{equation*} x_{n + 1} - q x_n = 0, \quad n \geq 0. \end{equation*}

Tj. v Definici 6.1 máme $n_0 = 0$, $k = 1$, $b_n = 0$ a $c_{0,n} = -q$ pro každé $n\in\N_0$. Řešením této rovnice je libovolná posloupnost tvaru $x_n = \alpha \cdot q^{n}$, $n \in \N_0$, pro libovolnou konstantu $\alpha \in \R$. Skutečně, prostým dosazením a po jednoduché úpravě pro každé $n \geq 0$ dostáváme

\begin{equation*} \alpha q^{n + 1} - q \cdot \alpha q^n = \alpha \left( q^{n + 1} - q^{n + 1} \right) = 0. \end{equation*}

Příklad 6.3

Uvažme rovnici

\begin{equation*} x_{n + 1} - n x_n = 0, \quad n \geq 1. \end{equation*}

Řešením této rovnice (dosaďte!) je posloupnost $x_n = A \cdot (n-1)!$, $n \in \N$, pro libovolné $A \in \R$.

Pro zajímavost vypišme jednotlivé vztahy, všimněte si měnícího se multiplikativního faktoru:

  1. $n = 1$: $x_2 - 1 \cdot x_1 = 0$,

  2. $n = 2$: $x_3 - 2 \cdot x_2 = 0$,

  3. $n = 3$: $x_4 - 3 \cdot x_3 = 0$,

  4. $n = 4$: $x_5 - 4 \cdot x_4 = 0$.

Jeden z koeficientů této LRR závisí na $n$, není tzv. konstantní (viz Definici 6.4).

V případě geometrické posloupnosti (Příklad 6.2) vidíme, že rekurentní vztah udává nekonečně mnoho různých posloupností, které ho splňují. Skutečně, konstanta $\alpha$ může být libovolná. Rekurentní rovnice je proto často doplněna tzv. počátečními podmínkami, které už určí nějaké konkrétní řešení.

Definice 6.3 (Počáteční podmínky / Initial conditions)

Nechť je dána lineární rekurentní rovnice řádu $k \in \N$,

\begin{equation*} x_{n+k} + c_{k-1,n} x_{n+k-1} + \cdots + c_{1,n} x_{n+1} + c_{0,n} x_n = b_n, \quad n \in \Z, \ n \geq n_0. \end{equation*}

Počátečními podmínkami pro tuto rovnici nazveme libovolnou soustavu rovností $x_{n_0} = A_0$, $x_{n_0 + 1} = A_1$, …, $x_{n_0 + k - 1} = A_{k-1}$, pro zadané hodnoty $A_0,\ldots,A_{k-1} \in \R$.

Příklad 6.4 (Geometrická posloupnost)

Pro dané $q \in \R$ je řešením rovnice

\begin{equation*} x_{n + 1} - q x_n = 0, \quad n \geq 0. \end{equation*}

posloupnost tvaru $x_n = \alpha \cdot q^{n}$, $n \in \N_0$, kde $\alpha \in \R$ je nějaká konstanta.

Předepsáním počáteční podmínky pro $x_0$ hodnotu této konstanty vynutíme (zde jednoduše $x_0 = \alpha$) a dostaneme tak už jednu konkrétní posloupnost.

Příklad 6.5 (Posloupnost částečných součtů číselné řady)

Mějme číselnou řadu $\sum_{k=0}^\infty a_k$. Potom posloupnost jejích částečných součtů $(s_n)_{n=0}^\infty$ je řešením lineární rekurentní rovnice prvního řádu

\begin{equation*} x_{n+1} - x_n = a_{n+1}, \quad n \geq 0 \end{equation*}

s počáteční podmínkou $x_0 = a_0$.

Příklad 6.6 (Fibonacciho posloupnost)

Mějme zadané $n_0 = 0$ a uvažme homogenní LRR druhého řádu

\begin{equation*} x_{n + 2} - x_{n + 1} - x_n = 0, \quad n \geq n_0. \end{equation*}

Tj. v Definici 6.1 klademe $b_n = 0$ a $c_{1,n} = c_{0,n} = -1$ pro každé $n \in \N_0$

Řešení této rovnice vyhovující počátečním podmínkám $x_0 = 1$ a $x_1 = 1$ je známá Fibonacciho posloupnost.

Otázka 6.1

Proč jsme nezavedli LRR nultého řádu? Je to vůbec možné?

Zobrazit odpověď

V definici LRR lze položit $k = 0$, ale výslednou rovnici nelze považovat za rekurentní. Dostali bychom explicitní předpis $x_n = b_n$, $n \geq n_0$. V tomto případě není co řešit.