7.4 Limita (vektorových) funkcí

V této a následujících kapitolách budeme pracovat s dvěma typy zobrazení:

  1. funkce (více proměnných): zobrazení nějaké neprázdné $A \subset \R^n$ do $\R$.

  2. vektorové funkce (více proměnných): zobrazení nějaké neprázdné $A \subset \R^n$ do $\R^m$.

Pro $m = 1$ je první případ v tomto výčtu speciálním případem druhého, ztotožňujeme přirozeně $\R$ a $\R^1$. Tvrzení uvedená níže a formulovaná pro „vektorové funkce“ tak přirozeně platí i pro „funkce“.

K zmenšení počtu závorek zavádíme užitečné značení $f(x_1,\ldots,x_n) \ceq f(\vx)$. Bez něj bychom museli striktně psát výrazy jako $f\big((x,y)^T\big)$.

Vektorovou funkci $F: A \to \R^m$, $A \subset \R^n$, lze opět popsat pomocí jejích „složek“, tj. $m$ funkcí $F_j: A \to \R$, $j\in\hat{m}$, splňujících

\begin{equation*} F(\vx) = \big( F_1(\vx), F_2(\vx), \ldots, F_m(\vx) \big)^T, \quad \vx \in A. \end{equation*}

Například lineární zobrazení $F: \R^3 \to \R^3$ zapsané po složkách

\begin{equation*} F(\vx) = F(x_1, x_2, x_3) = (3x_1 + x_2, x_3 - x_1, 2 x_1)^T \end{equation*}

má tři složky

\begin{align*} F_1(\vx) &= 3x_1 + x_2, \\ F_2(\vx) &= x_3 - x_1, \\ F_3(\vx) &= 2x_1.\end{align*}

Vzpomeňte si na definici limity v BI-MA1! Její struktura se výrazně odráží i v následující definici.

Definice 7.8 (Limita (vektorové) funkce více proměnných)

Mějme funkci $n$ reálných proměnných $F: D_F \to \R^m$, $D_F \subset \R^n$, a hromadný bod $\va$ množiny $D_F$.

Potom funkce $F$ má v bodě $\va$ limitu $\vb\in\R^m$, právě když pro každé okolí $U_\vb$ bodu $\vb$ existuje okolí $U_\va$ bodu $\va$ takové, že kdykoliv $\vx \in (U_\va \cap D_F) \smallsetminus \{\va\}$ pak platí $F(\vx) \in U_\vb$.

Symbolicky tuto situaci zapisujeme opět jako

\begin{equation*} \lim_{\vx \to \va} F(\vx) = \vb. \end{equation*}

Pokud $m = 1$, pak ještě pro $\alpha \in \{+\infty, -\infty\}$ klademe $\displaystyle\lim_{\vx \to \va} F(\vx) = \alpha$ kdykoliv

\begin{equation*} (\forall U_{\alpha})(\exists U_\va)(\forall \vx \in \R^n)(\vx \in (U_\va \cap D_F) \smallsetminus \{\va\} \Rightarrow F(\vx) \in U_{\alpha}). \end{equation*}

Podobně jako dříve v BI-MA1 přímo z definice dostáváme následující užitečné tvrzení:

Věta 7.4 (Limita zúžení)

Mějme vektorovou funkci $F: D_F \to \R^m$, $D_F \subset \R^n$ a hromadný bod $\va$ definičního oboru funkce $F$ v němž existuje limita

\begin{equation*} \lim_{\vx \to \va} F(\vx) = \vb \in \R^m. \end{equation*}

Potom i pro $F|_M$ zúžení funkce $F$ na množinu $M$, která má $\va$ jako hromadný bod, platí

\begin{equation*} \lim_{\vx \to \va} (F|_M)(\vx) = \vb \in \R^m. \end{equation*}

V tomto tvrzení je obsažena i jedna polovina Heineho věty. Konkrétně, je-li $(\vx_k)_{k=1}^\infty$ posloupnost bodů z $D_F$ různých od $\va$, ale s limitou rovnou $\va$, pak

\begin{equation*} \lim_{k \to \infty} F(\vx_k) = \vb. \end{equation*}

Skutečně, množina $M \ceq \{\vx_k \mid k \in \N\}$ splňuje předpoklady předchozí věty.

V podstatě stejně jako u posloupností můžeme dokázat následující tvrzení ukazující vztah limity (vektorové) funkce, vzdálenosti a limit složek.

Věta 7.5 (Limita vektorové funkce a limity jejích složek)

Mějme (vektorovou) funkci $F: D_F \to \R^m$, $D_F \subset \R^n$, hromadný bod $\va \in \R^n$ množiny $D_F$ a bod $\vb \in \R^m$. Potom platí

  • $\displaystyle\lim_{\vx \to \va} F(\vx) = \vb$, právě když $\displaystyle \lim_{\vx \to \va} \| F(\vx) - \vb \| = 0$.

  • Označme složky $F$ jako

    \begin{equation*} F(\vx) = \big(F_1(\vx), \cdots, F_m(\vx)\big)^T, \quad \vx \in D_F. \end{equation*}

    Pak $\lim\limits_{\vx \to \va} F(\vx) = \vb$, právě když $\lim\limits_{\vx\to\va} F_j(\vx) = b_j$ pro každé $j \in \hat{m}$.

Zobrazit důkaz

Pro důkaz prvního bodu si stačí pouze uvědomit, že podmínka $F(\vx) \in U_{\vb}(\varepsilon)$ je ekvivalentní podmínce $\|F(\vx) - \vb \| < \varepsilon$ a dále si rozepsat definice zmíněných limit.

V druhém bodě stačí postupovat jako v důkazu Věty 7.2, stručně:

  • Je-li $\| F(\vx) - \vb \| < \varepsilon$, pak jistě $|F_j(\vx) - \vb_j| \leq \| F(\vx) - \vb \| < \varepsilon$.

  • Druhým směrem musíme malinko více pracovat: mějme $\varepsilon > 0$ a dále dle předpokladu mějme $\delta_1,\ldots,\delta_m > 0$ pro něž $|F_j(\vx) - \vb_j| < \varepsilon / \sqrt{m}$ kdykoliv $\vx \in U_{\va}(\delta_j)$, $j\in\hat m$. Potom pro $\delta \ceq \min\{\delta_1, \ldots, \delta_m\}$ platí

    \begin{equation*} \|F(\vx) - \vb\| = \sqrt{\sum_{j=1}^m |F_j(\vx) - \vb_j|^2} < \sqrt{\sum_{j=1}^m \frac{\varepsilon^2}{m}} = \varepsilon \end{equation*}

    kdykoliv $\vx \in U_{\va}(\delta)$.

$\square$

Spousta známých vlastností limit zůstává zachována. Například platí následující důležité analogie z BI-MA1 důvěrně známých tvrzení.

Věta 7.6 (O limitě součtu, násobku)

Mějme dvě vektorové funkce $F: D_F \to \R^m$, $D_F \subset \R^n$, $G: D_G \to \R^m$, $D_G \subset \R^n$, bod $\va \in \R^n$, který je hromadným bodem množiny $D_F \cap D_G$ a $\alpha \in \R$. Potom pokud existují limity $\displaystyle\lim_{\vx\to\va} F(\vx) = \vb \in \R^m$ a $\displaystyle\lim_{\vx\to\va} G(\vx) = \vc \in \R^m$, potom platí

\begin{equation*} \lim_{\vx\to\va} \big( F(\vx) + G(\vx) \big) = \vb + \vc \quad \text{a} \quad \lim_{\vx\to\va} \alpha F(\vx) = \alpha \vb. \end{equation*}

Věta 7.7 (O limitě součinu a podílu)

Mějme dvě funkce $f: D_f \to \R$, $D_f \subset \R^n$, $g: D_g \to \R$, $D_g \subset \R^n$, bod $\va \in \R^n$, který je hromadným bodem množiny $D_f \cap D_g$. Potom pokud existují limity $\displaystyle\lim_{\vx\to\va} f(\vx) = b \in \R$ a $\displaystyle\lim_{\vx\to\va} g(\vx) = c \in \R$, potom platí

\begin{equation*} \lim_{\vx\to\va} f(\vx) \cdot g(\vx) = b \cdot c \quad \text{a} \quad \lim_{\vx\to\va} \frac{f(\vx)}{g(\vx)} = \frac{b}{c}, \ \text{pokud} \ c \neq 0. \end{equation*}

Mějme dvě vektorové funkce $F: D_F \to \R^m$, $D_F \subset \R^n$, $G: D_G \to \R^m$, $D_G \subset \R^n$, bod $\va \in \R^n$, který je hromadným bodem množiny $D_F \cap D_G$ a $\alpha \in \R$. Nechť dále existují limity $\displaystyle\lim_{\vx\to\va} F(\vx) = \vb \in \R^m$ a $\displaystyle\lim_{\vx\to\va} G(\vx) = \vc \in \R^m$.

Buď $U_{\vb + \vc}(\varepsilon)$ okolí bodu $\vb + \vc$. Dle předpokladů existují okolí $U_\va(\delta_1)$ a $U_\va(\delta_2)$ bodu $\va$ taková, že

\begin{gather*} \forall \vx \in (U_\va(\delta_1) \cap D_F) \smallsetminus \{\va\}: \ F(\vx) \in U_{\vb}(\varepsilon/2), \\ \forall \vx \in (U_\va(\delta_2) \cap D_G) \smallsetminus \{\va\}: \ G(\vx) \in U_{\vc}(\varepsilon/2).\end{gather*}

Položme $\delta \ceq \min\{\delta_1, \delta_2\}$. Potom pro libovolné $\vx\in \big(U_{\va}(\delta) \cap D_{F + G}\big) \smallsetminus \{\va\}$ platí (trojúhelníková nerovnost!)

\begin{align*} \big\| (F + G)(\vx) - (\vb + \vc) \big\| &= \big\| (F(\vx) - \vb) + (G(\vx) - \vc) \big\| \\ &\leq \| F(\vx) - \vb \| + \|G(\vx) - \vc\| \leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.\end{align*}

Tj. $(F + G)(\vx) \in U_{\vb + \vc}(\varepsilon)$.

$\square$