V předmětu BI-MA1 jsme studovali
posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$ reálných čísel a jejich limity,
reálné funkce jedné reálné proměnné $f: A \to \R$, $\emptyset \neq A \subset \R$, a jejich limity, spojitost a derivaci.
Nyní se budeme zabývat jejich „vícerozměrnými“ analogy. Přechod bude často přímočarý, někdy komplikovanější. Budeme intenzivně využívat aparát Lineární algebry, proto je případně dobré si oprášit znalosti z předmětu BI-LA1.
Naším hlavním cílem v této kapitole jsou kritéria pro hledání extrémů funkcí více proměnných, konkrétně podkapitoly 9.2 a 9.3. Nejprve ale musíme zavést základní koncepty týkající se funkcí více proměnných.
Není překvapivé, že při práci v prostorech vyšších dimenzí budeme intenzivně využívat látku BI-LA1. Proto na následujících několika odstavcích pro pohodlí čtenářek a čtenářů nejprve stručně shrneme základní poznatky, značení a terminologii.
Budeme pracovat ve vektorovém prostoru $\R^n$ $n$-tic reálných čísel vybavených standardními operacemi sčítání a násobením reálným skalárem (po složkách). Prvky $\R^n$ – vektory – budeme značit tučnými malými písmeny, např. $\vx$, $\vy$, $\vz$,… Složky vektorů jakožto skaláry tučně neznačíme, viz např. rovnici (7.1) níže. Vektory z $\R^n$ chápeme jako sloupcové vektory, tj. ztotožňujeme $\R^n$ s $\R^{n,1}$, například
Zde horní index $T$ označuje transpozici. Nulový vektor prostoru $\R^n$ značíme pomocí řeckého písmena $\theta = (0,0,\ldots,0)^T\in\R^n$.
Prostor všech matic s $m$ řádky a $k$ sloupci s reálnými prvky značíme $\R^{m,k}$. Matice značíme také tučnými velkými písmeny jako $\mA$, $\mB$, $\mC$, či $\mM$. Prvek $\mA_{i,j}$ pak najdeme v $i$-tém řádku a $j$-tém sloupci matice $\mA$.
Dále používáme praktické, ale ne příliš rozšířené, značení množin přirozených čísel menších nebo rovno jisté přirozené číslo zavedené v BI-LA1. Konkrétně pro přirozené $n \in \N$ symbolem $\hat n$ označujeme množinu $\{ 1, 2, \ldots, n\}$. Tj. například platí $\hat 3 = \{1, 2, 3\}$. Množina $\hat n$ je konečná množina pro každé $n\in\N$.
Pro $j\in\hat n$ vektor $\ve_j$ představuje $j$-tý vektor standardní báze $\R^n$. Tedy $(\ve_j)_k = \delta_{jk}$ pro $j,k\in \hat n$, kde pro Kroneckerovo $\delta$ platí
Například v prostoru $\R^3$ pro vektory standardní báze $(\ve_1, \ve_2, \ve_3)$ tohoto prostoru platí
Reálnou funkci jedné reálné proměnné $f: D_f \to \R$, $D_f \subset \R$, lze snadno vizualizovat pomocí jejího grafu, který je podmnožinou roviny $\R^2$. Tento způsob vizualizace jistě důvěrně znáte. Označíme-li jako $x$ nezávisle proměnnou a $y$ jako závisle proměnnou, pak na vodorovné ose vynášíme $x$ a na svislé $y$ (i když to evidentně není jediná možná volba).
Vizualizace funkcí více proměnných je již komplikovanější. „Rozumně“ to lze provést více méně jen pro reálné funkce dvou proměnných $f: D_f \to \R$, $D_f \subset \R^2$, jejichž graf je podmnožinou trojrozměrného prostoru $\R^3$.
Nezávisle proměnné označujeme typicky $x$ a $y$ a závisle proměnnou pak $z$.
Definiční obor naší funkce leží v rovině obsahující osy $x$ a $y$.
Funkční hodnotu $f(x,y)$ pak vynášíme kolmo k této rovině na osu $z$.
Chová-li se takováto funkce $f$ „pěkně“ (např. je spojitá), pak takto vzniklý graf připomíná krajinu („3D mapu“), viz levá část Obrázku 7.1.
Například v Mathematica můžete použít funkci Plot3D
.
Postup uvedený v předchozím odstavci vede k poměrně atraktivnímu výsledku, s kterým ale nemusí být jednoduché pracovat a který často ani nemusí být přehledný.
Alternativně lze pro uvažovanou funkci vytvořit tzv. contour plot, tedy výškový profil, kde pomocí „vrstevnic“ (tedy křivek konstantní hodnoty funkce) a případně barev znázorníme oblasti se stejnou či podobnou funkční hodnotou.
Viz pravou část Obrázku 7.1.
Například v Mathematica můžete použít funkci ContourPlot
.