Vzhledem k předchozí větě (Věta 2.1) je přirozené zavést značení pro množinu všech primitivních funkcí k zadané funkci $f$.
Nechť k funkci $f$ existuje primitivní funkce na intervalu $(a,b)$. Množinu všech primitivních funkcí k funkci $f$ na $(a,b)$ nazýváme neurčitým integrálem a značíme jej $\int f$ nebo $\int f(x) \,\dx$.
Najdeme-li k $f$ primitivní funkci $F$ na intervalu $(a,b)$, zapisujeme tento fakt obvykle
místo kostrbatého, ale formálně správného, zápisu
Funkci $f$ nazýváme integrovanou funkcí (integrandem), $x$ integrační proměnnou a $C$ integrační konstantou (někdy se používá i malé $c$ nebo jiný symbol pro konstantu). Úkolu určit
říkáme „vypočítat integrál z $f$“, nebo „integrovat $f$“.
Důvod pro tuto notaci bude odhalen v následujících kapitolách. Zde alespoň poznamenejme, že symbol $\int$ je stylizované S.
K hledání primitivní funkce pomocí Mathematica lze použít příkaz Integrate[f, x]
, kde $f$ je integrovaná funkce (výraz) a $x$ je integrační proměnná.
Výsledkem, pokud se ho podaří nalézt, je nějaká primitivní funkce k zadané funkci.
Například:
V Příkladu 2.1 jsme hledali primitivní funkci k funkci $3x^2$.
Výsledkem odpovídajícího příkazu Integrate[3*x^2, x]
je očekávané x^3
.
Bohužel Mathematica nedává vždy správné výsledky, resp. občas za uživatele činí rozhodnutí, která vědomně neučinil.
Výsledkem příkazu Integrate[1/x, x]
je Log[x]
, což je přirozený logaritmus a primitivní funkci jsme tak dostali pouze na intervalu $(0, +\infty)$.
Slibovaný inverzní vztah mezi derivací a neurčitým integrálem (primitivní funkcí) můžeme vyjádřit následovně. Je-li funkce $g$ diferencovatelná na intervalu $(a,b)$, pak přímo z definice 2.1 plyne
Má-li funkce $f$ primitivní funkci na intervalu $(a,b)$, potom opět přímo z Definice 2.1 plyne
Tuto rovnici chápeme tak, že ať z $\int f$ vybereme libovolnou funkci a dosadíme ji do závorky na levé straně, tak po zderivování dostaneme funkční hodnotu funkce $f$.
V předchozím Příkladě 2.1 jsme viděli, že pokud v integrandu „odhalíme“ derivaci jisté funkce, tak je výpočet neurčitého integrálu triviální. Občas lze s úspěchem využít následujícího analogického postřehu založeném na znalosti derivace složené funkce: je-li $\varphi$ kladná funkce se spojitou derivací na jistém otevřeném intervalu $J$, pak
a proto přímo dle definice neurčitého integrálu platí vztah
Touto cestou se můžeme vydat, pokud v integrandu uvidíme (případně jsme ho schopni na tento tvar převést) podíl, kde čitatel je derivací jmenovatele. Například tedy platí (nic nepočítáme, rovnou píšeme výsledek)
nebo
Podrobněji tuto myšlenku rozvineme v podkapitole 2.4.
Zatím jsme neodpověděli na otázku, zda k zadané funkci $f$ vůbec primitivní funkce existuje. Nemusí tomu tak být vždy. Postačující podmínka pro existenci primitivní funkce je obsažena v následující větě.
Nechť funkce $f$ je spojitá na intervalu $(a,b)$. Pak má funkce $f$ na tomto intervalu primitivní funkci.
Vynecháváme.
$\square$
Protože umíme derivovat celou řadu elementárních funkcí (připomeňte si tuto tabulku derivací elementárních funkcí) známe i primitivní funkce k některým elementárním funkcím. Ze znalosti derivací můžeme ihned sestavit Tabulku 2.1 primitivních funkcí.
vzorec | interval, parametry |
---|---|
\(\displaystyle\int x^n \,\dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C\) | \(x\in\R\), \(n\in\mathbb{N}_0\) |
\(\displaystyle\int x^n \,\dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) | \(x\in\R\smallsetminus\{0\}\), \(n\in\mathbb{Z}\), \(n \leq -2\) |
\(\displaystyle\int x^\alpha \,\dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C\) | \(x\in(0,+\infty)\), \(\alpha\notin\mathbb{Z}\) |
\(\displaystyle\int \frac{1}{x} \,\dx = \ln |x| + C\) | \(x \in (-\infty, 0)\), \(x \in (0, +\infty)\) |
\(\displaystyle\int a^x \,\dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\) | \(x\in\R\), \(a > 0\) a \(a\neq 1\) |
\(\displaystyle\int \sin(x) \,\dx = -\cos(x) + C\) | \(x\in\R\) |
\(\displaystyle\int \cos(x) \,\dx = \sin(x) + C\) | \(x\in\R\) |
\(\displaystyle\int \frac{1}{\cos^2(x)} \,\dx = \tg(x) + C\) | \(x\in\big( -\frac{\pi}{2} + k\pi, \ \frac{\pi}{2} + k\pi \big)\), \(k\in\mathbb{Z}\) |
\(\displaystyle\int \frac{1}{\sin^2(x)} \,\dx = -\cotg(x) + C\) | \(x\in\big( k\pi, \ \pi + k\pi \big)\), \(k\in\mathbb{Z}\) |
\(\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,\dx = \arcsin(x) + C\) | \(x\in(-1,1)\) |
\(\displaystyle\int \frac{1}{1+x^2} \,\dx = \arctg(x) + C\) | \(x\in\R\) |
Tabulka 2.1: Tabulka primitivních funkcí k některým elementárním funkcím odvoditelná čistě ze známých derivací těchto funkcí.
K výpočtu primitivních funkcí „komplikovanějších“ funkcí potřebujeme využít vlastností neurčitého integrálu, které odvodíme v následujících odstavcích. Začneme nejprve tou jednodušší vlastností, chováním vzhledem k sčítání funkcí a konstantním násobkům.
Nechť $F$, resp. $G$, je primitivní funkce k funkci $f$, resp. $g$, na intervalu $(a,b)$ a nechť $\alpha\in\R$. Pak
$F + G$ je primitivní funkcí k funkci $f + g$ na intervalu $(a,b)$,
$\alpha F$ je primitivní funkcí k funkci $\alpha f$ na intervalu $(a,b)$.
Stačí si uvědomit, že derivace součtu funkcí je součet derivací funkcí a že derivace konstantního násobku funkce je ten samý konstantní násobek derivace funkce. Podrobněji viz větu o derivaci součtu a součinu funkcí.
$\square$
Tvrzení předchozí věty symbolicky zapisujeme takto,
a mluvíme o linearitě neurčitého integrálu.
Vypočtěte
Dle předchozí věty pro kladná $x$ (Věta 2.3) ihned dostáváme
Nalezli jsme tak primitivní funkci na intervalu $(0, +\infty)$.
Integrand má ale smysl i pro záporná $x$, kde $\sqrt[3]{x^2} = (-x)^{2/3}$. Prakticky stejným výpočtem jako výše (proveďte) získáme vztah
platný na $(-\infty, 0)$.
Jako závěr můžeme shrnout, že vztah
platí na libovolném otevřeném intervalu, který je podmnožinou $\R \smallsetminus \{0\}$.
Vypočtěte
Nejprve provedeme jednoduchou algebraickou úpravu integrandu a následně využijeme předchozí větu, čímž se dostaneme k výsledku,
V Tabulce 2.1 stojí za zmínku primitivní funkce k $\frac{1}{x}$. Víme, že derivace funkce $\ln(x)$ je rovna $\frac{1}{x}$ na intervalu $(0, \infty)$. Pro záporná $x$ ale platí
Dohromady proto můžeme tvrdit, že funkce $\ln |x|$ je primitivní k $\frac{1}{x}$ na libovolném intervalu neobsahujícím $0$.
Algoritmy pro výčet primitivních funkcí, resp. neurčitých integrálů, existují. Jako příklad zmiňme Rischův algoritmus (1968). Tyto algoritmy jsou ale většinou nevhodné pro použití lidmi, zvláště v prvních stádiích studia této problematiky (kompletní popis Rischova algoritmu zabírá více než 100 stránek textu).
V dalších částech této kapitoly budeme studovat i sofistikovanější metody výpočtu, než v podstatě uhodnutí prezentované v této podkapitole. Konkrétně metody integrace pomocí substituce a per partes. I tak ale tyto metody vyžadují jistý vhled, myšlenku, nejsou čistě mechanické, jako tomu je u derivování.
Nechť $f$ je funkce definovaná na intervalu $(a,b)$, kde $-\infty \leq a < b \leq +\infty$. Funkci $F$ splňující podmínku
nazýváme primitivní funkcí k funkci $f$ na intervalu $(a,b)$.
Nechť $f$ je funkce definovaná na intervalu $(a,b)$, kde $-\infty \leq a < b \leq +\infty$. Funkci $F$ splňující podmínku
nazýváme primitivní funkcí k funkci $f$ na intervalu $(a,b)$.