2.1 Primitivní funkce

Nejprve zavedeme pojem primitivní funkce.

Definice 2.1 (Primitivní funkce / Antiderivative)

Nechť $f$ je funkce definovaná na intervalu $(a,b)$, kde $-\infty \leq a < b \leq +\infty$. Funkci $F$ splňující podmínku

\begin{equation*} F^\prime(x) = f(x) \ \text{pro každé} \ x \in (a,b) \end{equation*}

nazýváme primitivní funkcí k funkci $f$ na intervalu $(a,b)$.

Ihned z definice plyne, že takováto funkce $F$ je diferencovatelná v každém bodě intervalu $(a,b)$ a tedy je i spojitá na $(a,b)$. K nahlédnutí tohoto faktu si stačí vzpomenout na větu  O vztahu diferencovatelnosti a spojitosti.

Příklad 2.1

Funkce $F(x) = x^3$ je primitivní funkcí k funkci $f(x) = 3x^2$ na libovolném intervalu $(a,b)$. Skutečně, rovnost $(x^3)^\prime = 3x^2$ platí na celém $\R$.

Příklad 2.2

Funkce $F(x) = \ln(x)$ je primitivní funkcí k funkci $f(x) = \frac{1}{x}$ na libovolném intervalu $(a, b) \subset (0, +\infty)$.

Příklad 2.3

Funkce $F(x) = \arctg x$ je primitivní funkcí k funkci $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ na libovolném intervalu $(a, b)$.

Než se pustíme do hledání, resp. počítání, primitivních funkcí, tak je dobré vyřešit dvě jednoduché otázky. Kolik primitivních funkcí k zadané funkci $f$ může existovat? Jak se od sebe případně liší? Odpovědí na tyto otázky se zabývá následující věta.

Věta 2.1 (O jednoznačnosti primitivní funkce)

Nechť $F$ je primitivní funkcí k funkci $f$ na intervalu $(a,b)$. Pak $G$ je primitivní funkcí k funkci $f$ na intervalu $(a,b)$ právě tehdy, když existuje konstanta $C \in \R$ taková, že

\begin{equation*} G(x) = F(x) + C, \quad \text{pro každé} \ x\in(a,b). \end{equation*}

Zobrazit důkaz

Pokud jsou funkce $F$ a $G$ primitivní k $f$ na intervalu $(a,b)$, potom

\begin{equation*} (F - G)'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0, \quad \text{pro všechna} \ x\in(a,b). \end{equation*}

Funkce $F - G$ je proto podle věty  O vztahu první derivace a monotonie funkce konstantní na intervalu $(a,b)$. Naopak, je-li $G(x) = F(x) + C$, pro libovolné $x\in(a,b)$, pak $G'(x) = F'(x)$.

$\square$

Otázka 2.1

Aditivní konstanta ve větě O jednoznačnosti primitivní funkce nemusí být na pouhý pohled patrná. Které dvě z následujících tří funkcí jsou primitivní ke stejné funkci?

\begin{equation*} F(x) = \cos^2(x), \quad G(x) = \sin^2(x), \quad H(x) = -\sin^2(x). \end{equation*}

Zobrazit odpověď

$F$ a $H$.