6 Lineární rekurentní rovnice

S rekurentně zadanými posloupnostmi $(a_n)_{n=1}^\infty$ jste se setkali již dávno na střední škole (viz geometrická a aritmetická posloupnost). Potkali jsme se s nimi ale i při studiu BI-MA1 při snaze řešit rovnice typu $f(x) = 0$ pomocí Newtonovy metody. Rekurentní rovnice se dále objevují na řadě míst. V této části textu si ukážeme jejich souvislost s hledáním explicitních vzorců pro členy posloupností částečných součtů číselných řad. Dále si ukážeme rekurentní rovnice přirozeně vznikající při studiu rekurzivních algoritmů. Tím ovšem není oblast aplikací těchto rovnic vyčerpána, dalším bohatým zdrojem rekurentních rovnic mohou být různé kombinatorické úlohy.

Obecně lze posloupnost rekurentně zadat vztahem

\begin{equation*} a_{n} = f_n(a_{n-1}, \ a_{n-2}, \ldots, a_2, a_1), \quad n=2,3,\ldots, \end{equation*}

kde $f_n : \R^{n-1} \to \R$, $n=2,3,\ldots$ jsou nějaká pevně zadaná zobrazení. V této formě je pojem příliš obecný a podrobněji se mu v této plné obecnosti věnovat nebudeme.12

U rekurentně zadaných posloupností nás typicky zajímá:

  • Vyjádření $n$-tého členu v uzavřeném tvaru („vyřešení rekurence“).

  • Pokud uzavřený tvar neznáme, tak alespoň odvození asymptotických vlastností řešení (popis těchto řešení pomocí asymptotických symbolů $\sim$, $\mathcal{O}$, $\Omega$, $\Theta$, atd.).

Oběma aspektům se zde budeme postupně věnovat v různých speciálních případech. Nejprve začneme klasickým motivačním příkladem Hanojských věží.

6.1 Úvod

6.2 Lineární rekurentní rovnice

6.3 Vlastnosti množiny řešení lineárních rekurentních rovnic

6.4 Řešení homogenní LRR s konstantními koeficienty

6.5 Partikulární řešení LRR s konstantními koeficienty

6.6 Příklady

6.7 Asymptotické chování řešení LRR

6.8 Iterační metoda

6.9 Mistrovská metoda

6.10 Substituční metoda

6.11 Příklad