8.1 Definitnost kvadratických forem

Z předchozí motivace je zřejmé, že nás bude zajímat znaménko hodnot kvadratické formy. Nabývá kvadratická forma pouze nezáporných hodnot? Nabývá kladných i záporných hodnot? Atd.

V případě $n = 1$ je situace jednoduchá, pro $q(\vx) = \alpha x_1^2$ platí následující implikace:

  • $\alpha = 0$ $\Rightarrow$ $q(\vx) = 0$ pro všechna $\vx \in \R^n$,

  • $\alpha > 0$ $\Rightarrow$ $q(\vx) > 0$ pro všechna nenulová $\vx \in \R^n$,

  • $\alpha < 0$ $\Rightarrow$ $q(\vx) < 0$ pro všechna nenulová $\vx \in \R^n$.

Pro grafickou ilustraci viz Obrázek 8.1.

Obrázek 8.1: Kvadratické formy v 1D. Situace je tragicky nezajímavá.

Vše se ale komplikuje už i v případě $n = 2$. Například pro $q(\vx) = x_1^2 - x_2^2$ platí $q(\ve_1) = 1$ a současně $q(\ve_2) = -1$. Tato situace s měnícím se znaménkem v jedné dimenzi nastat nemůže.

Všechny možné situace související se znaménkem kvadratické formy vystihují různé typy definitnosti kvadratických forem:

Definice 8.2 (Typy definitnosti kvadratických forem)

Kvadratickou formu $q: \R^n \to \R$ nazveme

  • pozitivně definitní (PD), právě když $q(\vx) > 0$ pro každé nenulové $\vx \in \R^n$.

  • pozitivně semidefinitní (PSD), právě když $q(\vx) \geq 0$ pro každé $\vx\in\R^n$.

  • indefinitní (ID), právě když existují vektory $\vx,\vy\in\R^n$ splňující $q(\vx) > 0$ a $q(\vy) < 0$.

  • negativně semidefinitní (NSD), právě když $q(\vx) \leq 0$ pro každé $\vx\in\R^n$.

  • negativně definitní (ND), právě když $q(\vx) < 0$ pro každé nenulové $\vx \in \R^n$.

Stejnou terminologii budeme používat i pro symetrické matice $\mM$: symetrická matice $\mM$ je typu $T$, právě když forma $\vx^T \mM \vx$ je typu $T$.

Pozor! Terminologie napříč různými zdroji (literatura, web) není zcela ustálená, existují dva přístupy. V tomto kurzu se striktně držíme předchozí Definice 8.2, v které každá PD kvadratická forma je i PSD (analogicky pro ND a NSD).

Alternativní terminologie u PSD forem vyžaduje existenci nenulového vektoru s nulovou hodnotou. V takovém případě (ne v našem!) jsou množiny PSD a PD forem disjunktní.

Užitečnost námi použité konvence bude patrná v příští přednášce při studiu nutných a postačujících podmínek pro existenci lokálních extrémů funkcí více proměnných, případně ve vztahu mezi typy definitností a vlastními čísly matice $\mM$.

Grafické znázornění několika kvadratických forem uvádíme na Obrázku 8.2. Vztah mezi různými typy definitností je dále znázorněn pomocí Vennova diagramu na Obrázku 8.3.

Příklad 8.3 (Případ jedné proměnné, $n = 1$)

Pro kvadratické formy v jedné proměnné je situace velmi jednoduchá.

  • Pokud $\alpha > 0$, pak $q(x) = \alpha x^2$ je PD (i PSD).

  • Pokud $\alpha < 0$, pak $q(x) = \alpha x^2$ je ND (i NSD).

  • Pokud $\alpha = 0$, pak $q(x) = 0$ je PSD i NSD současně.

  • Indefinitní kvadratické formy v jedné dimenzi neexistují!

Příklad 8.4 (Případ dvou proměnných, $n = 2$)

Nejprve jednoduché příklady:

  • $q(x, y) = x^2 + y^2$ je PD (a tedy i PSD): pro každý vektor $(x,y)\in\R^2$ platí $q(x,y) \geq 0$, rovnost nule nastává právě když oba kvadráty jsou nulové, tj. právě když $(x,y) = \theta$.

  • $q(x,y) = -x^2$ je NSD, ale není ND: pro každý vektor $(x,y)\in\R^2$ platí $q(x,y) \leq 0$, nulovou hodnotu dostaneme i pro nenulový vektor $(0,1) \neq \theta$: $q(0,1) = 0$.

  • $q(x,y) = xy$ je ID: máme například $q(1,1) = 1$ a současně $q(1,-1) = -1$.

Rozeznat znaménko hodnot kvadratických forem ale nemusí být ihned očividné. Uvažte například

  • $q(x,y) = x^2 + 2xy + 2y^2$ je PD,

  • $q(x,y) = x^2 + 4xy + y^2$ je ID.

Jak jsme se k tomuto výsledku dostali? Ve zbytku textu se tímto problémem budeme zabývat.

Obrázek 8.2: Různé kvadratické formy.
Obrázek 8.3: Znázornění vztahů mezi různými typy definitností pomocí Vennova diagramu. Jediná forma, která je současně NSD a PSD, je nulová kvadratická forma (znázorněna puntíkem).