V předchozí podkapitole jsme zjistili jak hledat primitivní funkci k součtu dvou funkcí a konstantnímu násobku funkce. Nyní se pokusíme hledat primitivní funkci k součinu dvou funkcí. Vyjdeme z věty o derivaci součinu dvou funkcí.
Nechť funkce $f$ je diferencovatelná na intervalu $(a,b)$ a $G$ je primitivní funkce k funkci $g$ na intervalu $(a,b)$ a konečně nechť existuje primitivní funkce k funkci $f^{\prime}G$. Potom existuje primitivní funkce k funkci $fg$ a platí
Tvrzení věty můžeme přímo ověřit derivováním. Podle rovnice (2.1) platí
Ve výpočtu jsme dále použili známého Leibnizova pravidla pro derivování součinu funkcí.
$\square$
V některých materiálech naleznete předchozí větu formulovanou pro integrand tvaru součinu funkce a součinu derivace druhé funkce, tj.
Samozřejmě s vhodnými předpoklady pro funkce $u$ a $v'$ (doplňte!). Naše formulace ve Větě 2.4 je „symetričtější“ vůči funkcím v prvním integrandu. Obě verze jsou ale ekvivalentní a je spíš otázka vkusu a zvyku, kterou použijete.
Poznamenejme, že metoda integrace per partes může být úspěšná pouze pokud budeme schopni dále pracovat s novým integrálem na pravé straně rovnice (2.2), který je obecně stále ve tvaru součinu. Nejedná se o metodu, která „zabere“ na libovolný součin, k tomuto tématu se vrátíme později v podkapitole 2.6. Latinský výraz „per partes“ v češtině znamená „po částech“. Ukažme si použití této metody podrobně na jednoduchých příkladech.
Vypočtěte neurčitý integrál $\displaystyle\int x\sin x \,\dx$.
Pomocí integrace per partes (věta 2.4) dostáváme
Na tomto místě je dobré si uvědomit, že správnost výsledku výpočtu můžeme vždy snadno ověřit pomocí Definice 2.1, tedy derivováním:
Vypočtěte neurčitý integrál $\displaystyle\int x^2 e^x \,\dx$.
Nyní je potřeba per partes (Věta 2.4) použít dvakrát. Dostáváme
V každém použití metody per partes jsme integrovali exponenciální funkci a derivovali zbytek v integrandu.
Vypočtěte neurčitý integrál $\displaystyle\int \arctg x\,\dx$. Integrand sice na první pohled není ve tvaru součinu, ale můžeme postupovat následovně (vzpomeňte si, že $(x)' = 1$):
Při výpočtu jsme dále využili Poznámku 2.3.
Pomocí metody integrace per partes nalezněte primitivní funkci k funkci $\ln(x)$.
Primitivní funkcí je funkce $x \cdot \ln(x) - x + C$.
Předpokládejme, že po (i několikanásobné) integraci per partes dojdeme v novém integrálu k tomu, s kterým jsme začali, tedy dostaneme vztah
kde $h$ je jistá funkce a $\alpha$ konstanta. Za jakého předpokladu o $\alpha$ můžeme rovnou učinit závěr o hodnotě hledaného integrálu? A jaký tento závěr je?
Pokud $\alpha \neq 1$, pak $\displaystyle \int f(x) g(x) \,\dx = \frac{h(x)}{1 - \alpha} + C$.
Nechť $f$ je funkce definovaná na intervalu $(a,b)$, kde $-\infty \leq a < b \leq +\infty$. Funkci $F$ splňující podmínku
nazýváme primitivní funkcí k funkci $f$ na intervalu $(a,b)$.