5.2 Taylorův polynom

Nejprve si připomeňme pojem polynomu, který bude v celé této kapitole hrát centrální roli.

Definice 5.1 (Polynom / polynomial)

Reálnou funkci reálné proměnné $p: \R \to \R$ nazveme polynomem, právě když existuje nezáporné celé číslo $n\in\mathbb{N}_0$ a reálná čísla $a_0, \ldots, a_n \in \R$ taková, že rovnost

\begin{equation*} p(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k \end{equation*}

platí pro všechna reálná $x\in\R$.

Pro připomenutí uvádíme i základní terminologii spojenou s polynomy. Je-li $a_n \neq 0$, nazýváme číslo $n$ stupněm polynomu $p$. Jsou-li všechny koeficienty $a_k$, $k=0,\ldots,n$ nulové, nazýváme $p$ nulovým polynomem a jeho stupeň nedefinujeme.

Podstatnou výhodou polynomů je fakt, že k vyhodnocení funkční hodnoty polynomu stačí operace sčítání (odčítání) a násobení. Navíc polynom stupně $n$ je zadán $n+1$ konstantami a lze ho proto efektivně reprezentovat v paměti počítače.

Notoricky známými příklady polynomů jsou:

  1. Lineární funkce $f(x) = ax + b$ ($a,b\in\R$ parametry) je polynomem nejvýše prvního stupně9.

  2. Kvadratická funkce $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a,b,c\in\R$, $a\neq 0$ parametry) je polynomem druhého stupně.

Pokusme se nyní podívat na tečnu z jiného úhlu. Je-li funkce $f$ diferencovatelná v bodě $a\in\R$, pak rovnice její tečny v bodě $a$ má tvar

\begin{equation*} y = f(a) + f'(a) (x-a). \end{equation*}

Je to přímka nejvíce „připomínající“ funkci $f$ v okolí bodu $a$. Tečnu také můžeme chápat jako graf lineární funkce

\begin{equation*} g(x) := f(a) + f'(a) (x-a). \end{equation*}

Pro funkce $f$ a $g$ platí

\begin{equation*} g(a) = f(a), \quad g'(a) = f'(a). \end{equation*}

Tj. funkce $f$ a její tečna v bodě $a$ mají stejnou 0. a 1. derivaci v bodě $a$.

Přirozeně se nabízí otázka proč neuvažovat polynom vyššího stupně s podobnou vlastností? Nechť funkce $f$ má derivace v bodě $a$ až do řádu $n\in\mathbb{N}$ včetně. Lze nalézt polynom $p$ takový, že $p^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)$ pro všechna $k=0,1,\ldots,n$?

Odpověď je kladná. Hledejme polynom ve tvaru

\begin{equation*} p(x) = \sum_{k=0}^n a_k (x - a)^k. \end{equation*}

Je potřeba určit konstanty $a_k$, $k=0,1,\ldots,n$ tak, aby derivace polynomu a funkce v bodě $a$ až do řádu $n$ včetně byly shodné. Pro funkční hodnoty derivací polynomu $p$ v bodě $a$ platí

\begin{equation*} \begin{aligned} f(a) &= p(a) & &\Longrightarrow & a_0 &= f(a) \\ f'(a) &= p'(a) = a_1 & &\Longrightarrow & a_1 &= f'(a) \\ f''(a) &= p''(a) = 2 a_2 & &\Longrightarrow & a_2 &= \frac{1}{2} f''(a) \\ f^{(k)}(a) &= p^{(k)}(a) = k! \cdot a_k & &\Longrightarrow & a_k &= \frac{1}{k!} f^{(k)}(a), \, k=0,1,\ldots,n \end{aligned} \end{equation*}

Uzavíráme, že hledaný polynom $p$ požadovaných vlastností je tvaru

\begin{equation*} p(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k. \end{equation*}

Shrňme si toto pozorování do následující definice a věty.

Definice 5.2 (Taylorův polynom / Taylor polynomial)

Nechť reálná funkce reálné proměnné $f$ má v bodě $a\in\R$ konečnou $n$-tou derivaci. Polynom

\begin{equation*} T_{n,a}(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k \end{equation*}

nazýváme $n$-tým Taylorovým polynomem funkce $f$ v bodě $a$.

Věta 5.1 (O vlastnostech Taylorova polynomu)

Nechť reálná funkce reálné proměnné $f$ má v bodě $a\in\R$ konečnou $n$-tou derivaci. Potom Taylorův polynom $T_{n,a}$ existuje a je to jediný polynom stupně nejvýše $n$ takový, že

\begin{equation*} T_{n,a}^{(k)}(a) = f^{(k)}(a) \ \text{pro každé} \ k=0,1,\ldots,n. \end{equation*}

Zobrazit důkaz

Existenci i jednoznačnost jsme dokázali v předchozích odstavcích.

$\square$

Příklad 5.1

Nalezněme $n$-tý Taylorův polynom funkce $f(x) = e^x$ v bodě $0$. Pro libovolné $k\in\mathbb{N}_0$ platí $f^{(k)}(x) = e^x$ a proto $f^{(k)}(0) = 1$. Dostáváme

\begin{equation*} T_{n,0}(x) = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} x^k. \end{equation*}

Příklad 5.2

Nalezněme $n$-tý Taylorův polynom funkce $f(x) = \sin(x)$ v bodě $0$. Derivace funkce $f$ se cyklicky opakují, v závislosti na $k\in\mathbb{N}_0$ platí

\begin{equation*} f^{(2k)}(x) = (-1)^k \sin(x) \quad \mathrm{a} \quad f^{(2k+1)}(x) = (-1)^k \cos(x). \end{equation*}

Proto

\begin{equation*} f^{(2k)}(0) = 0 \quad \mathrm{a} \quad f^{(2k+1)}(0) = (-1)^k. \end{equation*}

Taylorův polynom pro $n = 2\ell$ je stejný jako Taylorův polynom pro $n = 2\ell -1$ a platí

\begin{equation*} T_{n,0}(x) = \sum_{j=0}^{n} \frac{f^{(j)}(0)}{j!} x^j = \sum_{k=0}^{\ell-1} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1}. \end{equation*}

Speciálně tedy platí $T_{2n,0} = T_{2n-1,0}$, $n\in\mathbb{N}$ a ještě speciálněji třeba $T_{40,0} = T_{39,0}$. Ukázka několika Taylorových polynomů funkce sinus v bodě $0$ je uvedena na obrázku 5.4.

Obrázek 5.4: Příklady Taylorových polynomů funkce sinus v bodě $0$ malých stupňů.
Poznámka 5.1 (Terminologická)

Z předchozího příkladu je pěkně vidět, proč používáme název „$n$-tý Taylorův polynom“ místo studenty často používaného a nesprávného „Taylorův polynom stupně $n$“ když mluvíme o $T_{n,0}$: $n$-tý Taylorův polynom totiž nutně nemusí mít stupeň $n$! Pro funkci $\sin$ jsme v bodě $0$ odvodili $T_{2,0}(x) = x$, tedy její druhý Taylorův polynom má stupeň $1$.