Z předchozí motivace je zřejmé, že nás bude zajímat znaménko hodnot kvadratické formy. Nabývá kvadratická forma pouze nezáporných hodnot? Nabývá kladných i záporných hodnot? Atd.
V případě $n = 1$ je situace jednoduchá, pro $q(\vx) = \alpha x_1^2$ platí následující implikace:
$\alpha = 0$ $\Rightarrow$ $q(\vx) = 0$ pro všechna $\vx \in \R^n$,
$\alpha > 0$ $\Rightarrow$ $q(\vx) > 0$ pro všechna nenulová $\vx \in \R^n$,
$\alpha < 0$ $\Rightarrow$ $q(\vx) < 0$ pro všechna nenulová $\vx \in \R^n$.
Pro grafickou ilustraci viz Obrázek 8.1.
Vše se ale komplikuje už i v případě $n = 2$. Například pro $q(\vx) = x_1^2 - x_2^2$ platí $q(\ve_1) = 1$ a současně $q(\ve_2) = -1$. Tato situace s měnícím se znaménkem v jedné dimenzi nastat nemůže.
Všechny možné situace související se znaménkem kvadratické formy vystihují různé typy definitnosti kvadratických forem:
Kvadratickou formu $q: \R^n \to \R$ nazveme
pozitivně definitní (PD), právě když $q(\vx) > 0$ pro každé nenulové $\vx \in \R^n$.
pozitivně semidefinitní (PSD), právě když $q(\vx) \geq 0$ pro každé $\vx\in\R^n$.
indefinitní (ID), právě když existují vektory $\vx,\vy\in\R^n$ splňující $q(\vx) > 0$ a $q(\vy) < 0$.
negativně semidefinitní (NSD), právě když $q(\vx) \leq 0$ pro každé $\vx\in\R^n$.
negativně definitní (ND), právě když $q(\vx) < 0$ pro každé nenulové $\vx \in \R^n$.
Stejnou terminologii budeme používat i pro symetrické matice $\mM$: symetrická matice $\mM$ je typu $T$, právě když forma $\vx^T \mM \vx$ je typu $T$.
Pozor! Terminologie napříč různými zdroji (literatura, web) není zcela ustálená, existují dva přístupy. V tomto kurzu se striktně držíme předchozí Definice 8.2, v které každá PD kvadratická forma je i PSD (analogicky pro ND a NSD).
Alternativní terminologie u PSD forem vyžaduje existenci nenulového vektoru s nulovou hodnotou. V takovém případě (ne v našem!) jsou množiny PSD a PD forem disjunktní.
Užitečnost námi použité konvence bude patrná v příští přednášce při studiu nutných a postačujících podmínek pro existenci lokálních extrémů funkcí více proměnných, případně ve vztahu mezi typy definitností a vlastními čísly matice $\mM$.
Grafické znázornění několika kvadratických forem uvádíme na Obrázku 8.2. Vztah mezi různými typy definitností je dále znázorněn pomocí Vennova diagramu na Obrázku 8.3.
Pro kvadratické formy v jedné proměnné je situace velmi jednoduchá.
Pokud $\alpha > 0$, pak $q(x) = \alpha x^2$ je PD (i PSD).
Pokud $\alpha < 0$, pak $q(x) = \alpha x^2$ je ND (i NSD).
Pokud $\alpha = 0$, pak $q(x) = 0$ je PSD i NSD současně.
Indefinitní kvadratické formy v jedné dimenzi neexistují!
Nejprve jednoduché příklady:
$q(x, y) = x^2 + y^2$ je PD (a tedy i PSD): pro každý vektor $(x,y)\in\R^2$ platí $q(x,y) \geq 0$, rovnost nule nastává právě když oba kvadráty jsou nulové, tj. právě když $(x,y) = \theta$.
$q(x,y) = -x^2$ je NSD, ale není ND: pro každý vektor $(x,y)\in\R^2$ platí $q(x,y) \leq 0$, nulovou hodnotu dostaneme i pro nenulový vektor $(0,1) \neq \theta$: $q(0,1) = 0$.
$q(x,y) = xy$ je ID: máme například $q(1,1) = 1$ a současně $q(1,-1) = -1$.
Rozeznat znaménko hodnot kvadratických forem ale nemusí být ihned očividné. Uvažte například
$q(x,y) = x^2 + 2xy + 2y^2$ je PD,
$q(x,y) = x^2 + 4xy + y^2$ je ID.
Jak jsme se k tomuto výsledku dostali? Ve zbytku textu se tímto problémem budeme zabývat.