Po studiu nutných podmínek konečně přistupme k postačující podmínce. Stačí zpřísnit podmínku definitnosti (ze semidefinitnosti na definitnost). Navíc dále ukážeme, že ID existenci extrému vylučuje (tzv. sedlový bod).
Mějme funkci $f: D_f \to \R$, $D_f \subset \R^n$, mající spojité všechny třetí parciální derivace na okolí bodu $\va$ a nechť jsou splněny následující dvě podmínky
$\nabla f(\va) = \theta$,
$\nabla^2 f(\va)$ je PD (resp. ND).
Potom má funkce $f$ v bodě $\va$ ostré lokální minimum (resp. maximum).
Pokud platí první podmínka a Hesseova matice $\nabla^2 f(\va)$ je ID, pak tato funkce v bodě $\va$ lokální extrém nemá.
Než se pustíme do důkazu, tak opět upozorníme na záludnosti předchozí věty. Studenti mají tendenci v předchozí větu rozšiřovat i na případ PSD (resp. NSD) a z toho pak vyvozovat existenci neostrého lokálního extrému. Následující příklad ukazuje, že nic takového neplatí.
Funkce $f(x,y) = x^2 + y^3$ má v bodě $\theta$ nulový gradient, skutečně:
Pro Hessovu matici platí
a proto $\nabla^2 f(\theta) = \left(\begin{smallmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)$. Odpovídající kvadratická forma je rovna $(x_1, x_2) \mapsto 2x_1^2$ a je PSD.
Funkce $f$ v bodě $\theta$ extrém nemá: $f(0,y) = y^3$ je kladná pro $y > 0$ a záporná pro $y < 0$, $f(\theta) = 0$. Tedy jsme ve sporu se všemi podmínkami v Definici 9.1. Graf této funkce je znázorněn na Obrázku 9.8.
Klíčem k důkazu je v podstatě Taylorova věta pro funkce více proměnných, kterou zde zformulujeme jenom v jednodušší verzi využívající pouze kvadratické členy.
Mějme funkci $f: D_f \to \R$, $D_f \subset \R^n$, mající spojité všechny parciální derivace do třetího řádu včetně na okolí $U_\va$ bodu $\va \in D_f$. Potom existuje konstanta $M > 0$ taková, že pro každé $\vx \in U_\va$ platí
kde $|R_2(\vx)| \leq M \|\vx - \va\|^3$.
Uvažme $\vx \in U_\va$ a funkci $g(t) \ceq f(\va + (\vx - \va) t)$, definovanou pro všechna přípustná $t$ (zcela jistě pro nějaký otevřený interval obsahující interval $\langle 0,1 \rangle$). Funkce $g$ má na tomto intervalu spojité derivace do řádu 3 včetně.
Podle Taylorovy věty (Věta 5.4) pro funkci $g$ a $t \in \langle 0, 1 \rangle$ platí
Použitím věty o derivaci složené funkce opět zjistíme, že
Konečně, pro $g'''$ platí
Díky spojitosti parciálních derivací a uzavřenosti intervalu $\langle 0, 1\rangle$ můžeme v absolutní hodnotě tento výraz odhadnout výrazem tvaru $C \cdot \left(\sum_{i=1}^n |(\vx - \va)_i|\right)^3$. Lze ukázat, že tento výraz je dále menší než $M \|\vx - \va\|^3$ a konstanta $M$ nezávisí na $\vx$. Nyní stačí položit $t = 1$.
$\square$
Nyní přistupme k důkazu Věty 9.3. Nejprve ošetříme případ PD a poté ostatní případy.
Mějme okolí $\mathcal{U} \ceq U_\va$ bodu $\va$, na kterém má funkce $f$ spojité všechny třetí parciální derivace a nechť platí uvedené podmínky: $\nabla f(\va) = \theta$ a $\nabla^2 f(\va)$ je PD.
Uvažme libovolný bod $\vx \in U_\va$ různý od $\va$. Podle předchozího Lemmatu 9.1 existuje konstanta $M > 0$ nezávislá na $\vx$ taková, že
kde $|R_2(\vx)| < M \|\vx - \va\|^3$.
Z PD kvadratické formy $q(\vy) = \vy^T \nabla^2 f(\va) \vy$ plyne existence ortogonální regulární matice $\mP$ splňující
kde $\lambda_*$ je nejmenší z kladných vlastních čísel $\nabla^2 f(\va)$.
Je-li nyní $\vx \in U_{\va}(\varepsilon) \subset \mathcal{U}$, kde $M \varepsilon < \frac{\lambda_*}{4}$, pak
$\square$
Případ ND ihned plyne z PD (jaký je vztah mezi typem extrému funkce $f$ a $-f$, definitností formy $q$ a $-q$?)
Případ ID se ošetří analogicky, využijeme existence $\vx$ a $\vy$ takových, že
k tomu, abychom v odpovídajícím směru od $\va$ nalezli vhodným škálováním (dost blízko k $\va$) kladná $h$ a $t$ splňující
Tím je náčrt důkazu dokončen.
$\square$
Opět poznamenejme, že Věta 9.3 dává pouze postačující podmínky pro existenci lokálních extrémů. Pokud Hesseova matice ve stacionárním bodě vyjde PSD, nebo NSD, pak z této věty nic neplyne. V takovém případě nám nezbývá nic jiného, než se obrátit zpět na Definici 9.1 a zkoumat chování funkce v okolí stacionárního bodu. To jsme již několikrát ukázali v příkladech napříč touto kapitolou.