Z geometrické interpretace Riemannova integrálu přímo plyne následující tvrzení umožňující počítat obsahy různých zakřivených rovinných útvarů. Pro ilustraci uvádíme i Obrázek 3.10.
Určitý integrál interpretujeme jako obsah plochy mezi grafem funkce a osou $x$. Ovšem tento obsah se počítá i se znaménkem:
Viz Obrázek 3.9.
Snadno ale můžeme počítat i obsah plochy ohraničené dvěma grafy (vhodně odečteme plochy pod příslušnými grafy).
Nechť $f$ a $g$ jsou funkce spojité na $\langle a,b \rangle$ takové, že $f(x) \geq g(x)$ pro každé $x\in\langle a,b \rangle$. Pak obsah plochy $P$ ohraničené přímkami $x = a$ a $x = b$ a grafy funkcí $f$ a $g$ je roven
Vypočtěte obsah $S$ elipsy s hlavní poloosou $a$ a vedlejší poloosou $b$.
Rovnice elipsy je $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. Vzhledem k osovým symetriím stačí spočítat čtvrtinu obsahu (viz Obrázek 3.11). Vrchní oblouk elipsy patřící do prvního kvadrantu je popsán funkcí ${\color{red}f}(x) = b \sqrt{1-x^2/a^2}$, $D_{\color{red}f} = \langle 0,a \rangle$. Tudíž, použijeme-li substituci $x = a \sin t$,
Pro celkovou plochu tak dostáváme $S=\pi ab$.
Spočítejte obsah plochy ohraničené křivkami $y = x^3$ a $y = x$. Tato plocha je vyobrazena na Obrázku 3.12.
Nejprve nalezneme průsečíky grafů. Řešením rovnice $x^3 = x$ jsou $x=-1$, $x=1$ a $x=0$. Dostáváme proto průsečíky
Z náčrtku (resp. průběhu) je pak patrné, že obsah plochy je
Nalezněte obsah plochy ohraničené křivkami
která je vyobrazena na Obrázku 3.13.
Obsah útvaru bez vyjmuté kružnice je
Takže plocha našeho útvaru je