4.1 Definice číselné řady

V této části se budeme snažit dát dobrý smysl „součtu všech členů posloupnosti“. Tento proces sčítání bude přesně reprezentovat pojem „číselné řady“, korektně zavedený v definici 4.1. Později v textu (podkapitola 5.4) nám řady umožní počítat funkční hodnoty některých elementárních funkcí jako $\sin$, či $\cos$, které doteď máme ze středních škol zavedené pouze pomocí geometrické konstrukce.

Definice 4.1 (Číselná řada / number series)

Formální výraz tvaru

\begin{equation*} \sum_{k=n_0}^\infty a_k = a_{n_0} + a_{n_0 + 1} + a_{n_0 + 2} + \cdots, \end{equation*}

kde $(a_k)_{k=n_0}^\infty$ je zadaná číselná posloupnost, nazýváme číselnou řadou. Pokud je posloupnost částečných součtů $(s_n)_{n=n_0}^\infty$ definovaná předpisem

\begin{equation*} s_n \ceq \sum_{k=n_0}^n a_k, \quad n\in\mathbb{N}_0, n \geq n_0, \end{equation*}

konvergentní, nazýváme příslušnou řadu také konvergentní. V opačném případě o ní mluvíme jako o divergentní číselné řadě. Součtem konvergentní řady $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ nazýváme hodnotu limity $\displaystyle\lim_{n\to\infty} s_n$.

V tomto textu se ale bez újmy na obecnosti omezíme na řady indexované od $n_0 = 0$, tedy na řady tvaru

\begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots \end{equation*}

Vždy můžeme index vhodně posunout, např.

\begin{equation*} \sum_{k=42}^\infty a_k = \sum_{k=0}^\infty a_{42 + k}. \end{equation*}

Konvergence i divergence řady se navíc zachová, změníme-li konečný počet členů řady. Speciálně konvergence řady $\sum_{k=0}^\infty a_k$ je ekvivalentní konvergenci řady $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ pro libovolně zvolené $n_0 \in \mathbb{N}$. Skutečně, posloupnosti částečných součtů řady $\sum_{k=0}^\infty a_k$ a řady $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ se liší o konstantu (jakou?).

Poznámka 4.1

Je důležité rozlišovat mezi pojmy „posloupnost“ a „řada“. Častou studentskou chybou je vzájemné pletení a nepochopení těchto pojmů. Například posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$, kde $a_n = n^2$, $n\in\mathbb{N}$, je dobré si představovat jako po sobě jdoucí čísla

\begin{equation*} 1, \, 4, \, 9, \, 16, \, 25, \, 36, \, \ldots \end{equation*}

a řadu $\sum_{n=1}^\infty a_n$ pro stejnou posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ jako po sobě jdoucí čísla

\begin{equation*} 1, \, 5,\, 14,\, 30,\, 55,\, 91, \, \ldots, \end{equation*}

tedy členy posloupnosti jejích částečných součtů.

Příklad 4.1

Řada

\begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty k \end{equation*}

je divergentní.

Skutečně, pro členy posloupnosti jejích částečných součtů platí

\begin{equation*} s_n = \sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \end{equation*}

a triviálně tedy $\lim_{n\to\infty} s_n = +\infty$. Příslušná řada je proto podle definice divergentní.

Příklad 4.2 (Geometrická řada)

Pro $|q|<1$ řada

\begin{equation}\label{eq_pr_geom}\tag{4.1} \sum_{k=0}^\infty q^k \end{equation}

konverguje a její součet je

\begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty q^k = \frac{1}{1-q}. \end{equation*}

Skutečně, členy posloupnosti částečných součtů lze přímo sečíst. Vzpomeňme si opět na známý vzorec

\begin{equation*} a^{n+1} - b^{n+1} = (a - b) \sum_{k=0}^n a^{n-k} b^{k} \end{equation*}

a položme $a = 1$ a $b = q$, po jednoduché úpravě pak získáváme hledaný součet

\begin{equation}\label{eq_pr_geom_soucet}\tag{4.2} s_n = \sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}. \end{equation}

Takže s využitím  známé limity posloupnosti $(a^n)_{n=0}^\infty$ dostáváme $\displaystyle\lim_{n\to\infty} s_n = \frac{1}{1-q}$. V závislosti na $q$ proto součet můžeme vyjádřit následovně

\begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty q^k = \frac{1}{1-q}, \quad |q| < 1. \end{equation*}

Poznamenejme, že z rovnice (4.2) také plyne divergence řady (4.1) pro $q>1$ nebo $q\leq-1$. Pokud $q = 1$, pak lze také snadno ověřit, že diverguje.

Poznámka 4.2

Součet v rovnici (4.2) lze odvodit více způsoby. Vedle výše uvedeného postupu si můžeme uvědomit, jak se chová $s_n$ vůči násobení kvocientem $q$. Konkrétně

\begin{equation*} q s_n = s_{n+1} - 1 = s_n + q^{n+1} - 1. \end{equation*}

Vyjádříme-li odtud $s_n$, tak opět získáváme (4.2).

Speciálně z předchozího příkladu plyne tvrzení

\begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty c q^k = \frac{c}{1 - q} \end{equation*}

platné pro $|q| < 1$ a libovolné $c$.

Příklad 4.3

Uvažujme číselnou řadu $\sum_{n=1}^\infty a_n$, kde $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ je aritmetická posloupnost s diferencí $d$. Snadno spočteme částečné součty jako

\begin{equation*} s_n = n\cdot \frac{a_1+a_n}{2} = n \cdot \frac{2a_1 + (n-1)d}{2},\quad n \in \mathbb N. \end{equation*}

Řada je tedy konvergentní, právě když $a_1 = d = 0$.

Pozorování 4.1

Uvažujme konvergentní řady $\sum\limits_{k = 0}^{\infty} a_k$ a $\sum\limits_{k = 0}^{\infty}b_k$ se součty $S_a,S_b \in \R$ a $c\in\R$. Potom

  1. řada $\sum\limits_{k = 0}^{\infty} (a_k + b_k)$ konverguje a její součet je $S_a + S_b$,

  2. řada $\sum\limits_{k = 0}^{\infty} (c\cdot a_k)$ také konverguje a její součet je $c\cdot S_a$.

Formálně za uvedených předpokladů píšeme

\begin{equation*} \sum\limits_{k = 0}^{\infty} (a_k + b_k) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} a_k + \sum\limits_{k = 0}^{\infty} b_k\,,\qquad \sum\limits_{k = 0}^{\infty} (c\cdot a_k) = c\cdot\sum\limits_{k = 0}^{\infty} a_k\,. \end{equation*}

Důkaz uvedeného pozorování je jinak přímočarý. Použitím věty o limitě součtu na posloupnost částečných součtů dostaneme

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 0}^{n}(a_k + b_k) = \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k = 0}^{n}a_k + \sum_{k = 0}^{n}b_k\right) = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 0}^{n}a_k + \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 0}^{n}b_k \end{equation*}

Příklad 4.4

Řada $\sum\limits_{k = 0}^{\infty}(2^{-k} + 3^{-k})$ konverguje a její součet je

\begin{equation*} \sum\limits_{k = 0}^{\infty}2^{-k} + \sum\limits_{k = 0}^{\infty}3^{-k} = \frac{1}{1-\frac12} + \frac{1}{1-\frac13} = 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}\,, \end{equation*}

neboť konvergují řady $\sum_{k = 0}^{\infty}2^{-k}$ a $\sum_{k = 0}^{\infty}3^{-k}$ a jejich součet umíme najít, viz Příklad 4.2.

Konvergence sčítaných řad je zásadní. Uvažte triviální příklad $\sum\limits_{k = 0}^{\infty}\left(k + (-k)\right)$.

Poznámka 4.3

Je-li $c\neq 0$, pak divergence řady $\sum\limits_{k = 0}^{\infty} a_k$ implikuje divergenci řady $\sum\limits_{k = 0}^{\infty} (c\cdot a_k)$, protože divergence posloupnosti $(s_n)_{n=0}^\infty$ implikuje divergenci posloupnosti $(c\cdot s_n)_{n=0}^\infty$. Rozmyslete!

Poznámka 4.4 (Mathematica)

K sčítání konečného počtu prvků nebo i řad slouží v Mathematica příkaz Sum, jehož syntaxe je jednoduchá: Sum[expr, {k, k1, k2}], kde expr je výraz závisející na sčítacím indexu k, který běží od k1 do k2. Horní mez může být $\infty$ a pak se Mathematica snaží nalézt součet takovéto řady.

Např. pro Sum[1 / k^2, {k, 1, Infinity}] dostaneme správný výsledek $\pi^2/6$. Pro divergentní řady dostaneme chybovou hlášku, např. Sum[1 / k, {k, 1, Infinity}] má za následek výpis Sum does not converge. V některých případech Mathematica pouze vrátí symbolickou reprezentaci vstupu, typicky když nedokáže v daném případě o ničem rozhodnout.