Nyní budeme uvažovat posloupnosti vektorů, tj. zobrazení $\N \to \R^n$, které stále značíme $(\vx_k)_{k=1}^\infty$, ovšem $\vx_k \in \R^n$, $k \in \N$. Dejte si pozor na význam spodního indexu. I z kontextu je patrné, zda-li mluvíme o členu posloupnosti, nebo jeho složkách: například $(\vx_{k})_j$, kde $k \in \N$ a $j\in\hat n$, představuje $j$-tou složku vektoru $\vx_k$, tedy $k$-tého členu zmíněné posloupnosti.
S vektorovými posloupnostmi se setkáme například v různých numerických metodách, které konstruují posloupnosti aproximací řešení jisté úlohy:
numerické řešení soustav lineárních rovnic (v BI-MA2 neprobíráme).
numerické hledání lokálních extrémů funkcí více proměnných (uvidíme již brzy).
Pojďme nejprve definovat ústřední pojem limity posloupnosti.
Řekneme, že posloupnost $(\vx_k)_{k=1}^\infty$ vektorů $\vx_k \in \R^n$ má limitu (případně konverguje k) $\va \in \R^n$, právě když pro každé okolí $U_\va$ bodu $\va$ existuje $N \in \N$ takové, že pro každé přirozené $k > N$ platí $\vx_k \in U_\va$. Tento fakt značíme $\lim\limits_{k\to\infty} \vx_k = \va$.
Vektorovou posloupnost mající limitu, která je dle definice nutně prvkem $\R^n$, nazýváme konvergentní. Všechny ostatní posloupnosti nazýváme divergentní.
Mezi konvergencí těchto vektorových posloupností a konvergencí číselných posloupností (známe z BI-MA1) je velmi úzký vztah, který odhalují dvě následující věty.
Pro vektorovou posloupnost $(\vx_k)_{k=1}^\infty$ platí $\lim\limits_{k\to \infty} \vx_k = \va$, právě když $\lim\limits_{k \to \infty} \| \vx_k - \va \| = 0$ (tato druhá limita je obyčejná limita z BI-MA1).
Přímočarý (proveďte!). Stačí si vzpomenout na definici limity číselné posloupnosti z BI-MA1 a na definic okolí bodu v $\R^n$, zejména jakou v ní hraje roli norma.
$\square$
Uvažme posloupnost $(\vx_k)_{k=1}^\infty$. Potom platí následující ekvivalence: $\lim\limits_{k\to\infty} \vx_k = \va$, právě když pro každé $j\in\hat n$ platí $\lim\limits_{k \to \infty} (\vx_k)_j = \va_j$.
$\boldsymbol{\Leftarrow}$: Nechť $\veps > 0$. Potom pro každé $j \in \hat n$ existují $N_j > 0$ taková, že pro všechna přirozená $k > N_j$ platí $\big|(\vx_k)_j - \va_j \big| < \veps/\sqrt{n}$. Zvolíme-li $N \ceq \max\{N_1, \ldots, N_n\}$, pak pro přirozené $k > N$ platí
$\boldsymbol{\Rightarrow}$: Stačí vzít do úvahy nerovnost
Tím je důkaz dokončen.
$\square$
Předchozí dvě věty (Věta 7.1 a 7.2) v podstatě říkají následující:
Posloupnost vektorů $(\vx_k)_{k=1}^\infty$ konverguje k $\va$, právě když vzdálenost $\vx_k$ od $\va$ konverguje k nule.
Konvergence vektorové posloupnosti je ekvivalentní konvergenci ve všech složkách (více „obyčejných“ číselných posloupností).
Díky těmto dvěma pozorováním bychom tak měli mít poměrně silnou intuici ohledně chování vektorových posloupností – podívej se na chování jejich složek.
Využijeme-li nyní naše znalosti vlastností číselných limit (BI-MA1) a předchozí ekvivalenci, pak ihned dostáváme další užitečné tvrzení.
Mějme dvě vektorové posloupnosti $(\vx_k)_{k=1}^\infty$ a $(\vy_k)_{k=1}^\infty$ splňující $\lim\limits_{k\to\infty} \vx_k = \va$ a $\lim\limits_{k\to\infty} \vy_k = \vb$ a $\alpha \in \R$. Potom
Okamžitě plyne z Věty 7.2 a Věty o limitě součtu a součinu pro číselné posloupnosti z BI-MA1.
$\square$
Mějme posloupnost $(\vx_k)_{k=1}^\infty$ danou předpisem
Určete její limitu.
Složky této vektorové posloupnosti jsou
Protože platí (obyčejné BI-MA1 limity posloupností)
dostáváme výsledek
Vizualizace vektorových posloupností pomocí „grafu“ není praktická. Vhodnější je zpravidla právě pohled na její členy pomocí bodů v daném prostoru, viz Obrázek 7.7.
Předchozí věty dávají i nástroj k vyvrácení existence limity vektorové posloupnosti. Jednoduše stačí ukázat, že limita některé ze složek neexistuje.
Ukažte, že neexistuje limita
Uvedená posloupnost je proto příkladem divergentní posloupnosti.
Druhá složka sice konverguje k nule, ale limita první, ozn. $u_k = (-1)^k + \frac{1}{k}$, $k \in \N$, neexistuje:
Grafické znázornění této posloupnosti je uvedeno na Obrázku 7.8.