5.4 Mocninné a Taylorovy řady

Již jsme spočetli, že pro každé reálné $x$ a přirozené $n$ platí

\begin{equation*} e^x = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} + R_n(x). \end{equation*}

Dále v tomto případě známe tvar zbytku $R_n$, lze ho vyjádřit jako

\begin{equation*} R_n(x) = \frac{e^{\xi_{n,x}}}{(n+1)!} x^{n+1}, \end{equation*}

kde $\xi_{n,x}$ leží mezi $0$ a $x$, tudíž $\xi_{n,x} < |x|$. Z monotonie $e^x$ pak plyne odhad

\begin{equation*} 0 < e^{\xi_{n,x}} < e^{|x|}. \end{equation*}

Horní odhad čísla $e^{\xi_{n,x}}$ tedy nezávisí na $n$ (v tomto případě)!

Pro dané pevné $x\in\R$ proto platí

\begin{equation*} 0 \leq |R_n(x)| < \frac{e^x}{(n+1)!} |x^n| \xrightarrow{n\to\infty} 0. \end{equation*}

Věta o limitě sevřené posloupnosti potom pro každé reálné $x$ zaručuje

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} R_n(x) = 0. \end{equation*}

Pro libovolné reálné $x$ tedy platí

\begin{equation*} e^x = \lim_{n\to\infty} \left( \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} + R_n(x) \right) = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}. \end{equation*}

Tento fakt pro nás samozřejmě není překvapením, protože exponenciálu jsme takto definovali! Jak za chvíli uvidíme, tuto vlastnost – vyjádřitelnost pomocí součtu číselné řady s parametrem $x$ – mají i další elementární funkce.

Definice 5.4 (Mocninná řada / Power series)

Nechť je dána posloupnost $(a_k)_{k=0}^\infty$ a číslo $c\in\R$. Číselnou řadu

\begin{equation}\label{eq_defi_rada_mocinna}\tag{5.1} \sum_{k=0}^\infty a_k (x-c)^k, \end{equation}

závisející na reálném parametru $x$, nazýváme mocninnou řadou se středem v bodě $c$.

Definice 5.5 (Taylorova řada / Taylor series)

Nechť reálná funkce reálné proměnné $f$ má v bodě $c \in \R$ konečné derivace všech řádů. Mocninnou řadu

\begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(c)}{k!} (x-c)^k \end{equation*}

potom nazýváme Taylorovou řadou funkce $f$ v bodě $c$.

Poznámka 5.5

Uvažme pro jednoduchost $c=0$ a řadu v rovnici (5.1).

  • Je-li například $x = 2$, pak máme číselnou řadu $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k 2^k$,

  • je-li $x = \frac{1}{3}$, pak máme číselnou řadu $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{a_k}{3^k}$.

Tímto způsobem je definována jistá funkce, která každému reálnému $x$ přiřadí součet zadané číselné řady, pokud existuje. Jaký je definiční obor této funkce?

Věta 5.5 (O poloměru konvergence)

Pokud existuje limita10

\begin{equation*} L := \lim_{k\to\infty} \bigg|\frac{a_{k+1}}{a_k}\bigg|, \end{equation*}

potom klademe

\begin{equation*} R := \begin{cases} \frac{1}{L}, & L > 0, \\ +\infty, & L = 0, \\ 0, & L = +\infty \end{cases} \end{equation*}

a tvrdíme, že mocninná řada

\begin{equation*} \sum_{k = 0}^\infty a_k (x-c)^k \end{equation*}

konverguje absolutně pro $x\in(c-R,c+R)$ a diverguje pro $|c-x| > R$.

Zobrazit důkaz

Pro libovolné $x\in\R$ různé od $c$ dostáváme

\begin{equation*} \lim_{k\to\infty} \bigg| \frac{a_{k+1} (x-c)^{k+1}}{a_k (x-c)^k} \bigg| = \lim_{k\to\infty} |x - c| \cdot \bigg| \frac{a_{k+1}}{a_k} \bigg| = |x - c| \cdot L. \end{equation*}

Shrnujeme, že pokud

  • $|x - c| \cdot L < 1$, tedy $|x - c| < R$, pak podle d'Alembertova kritéria zkoumaná řada konverguje absolutně,

  • $|x - c| \cdot L > 1$, tedy $|x - c| > R$, pak podle podílového kritéria je $\displaystyle\lim_{k\to\infty} |a_k (x-c)^k| = +\infty$. Tudíž nemůže být splněna nutná podmínka konvergence zkoumané řady (tj. neplatí $\displaystyle\lim_{k\to\infty} a_k (x-c)^k = 0$).

$\square$

Uveďme dále několik základních vlastností týkajících se mocninné řady

\begin{equation}\label{eq_rada}\tag{5.2} \sum_{k=0}^\infty a_k x^k. \end{equation}

Předpokládejme, že existuje limita $L = \lim_{k\to\infty} \bigg| \frac{a_{k+1}}{a_k} \bigg|$ a definujme $R$ stejně jako v předchozí větě. Číslo $R$ nazýváme poloměrem konvergence mocninné řady (5.2). Předchozí věta říká, že tato mocninná řada (5.2) konverguje pro $|x| < R$ a diverguje pro $|x| > R$. Neříká nic o konvergenci pro $x = R$ a $x = -R$. Každá mocninná řada se chová tímto způsobem. Platí totiž následující věta.

Věta 5.6 (Cauchy–Hadamard)

Ke každé mocninné řadě tvaru

\begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty a_k x^k. \end{equation*}

existuje $R\in\langle 0,+\infty\rangle$ takové, že tato řada absolutně konverguje pro $|x| < R$ ($x = 0$ pokud $R = 0$) a diverguje pro $|x| > R$.

Zobrazit důkaz

Vynecháváme.

$\square$

Poloměr konvergence ale vždy nemusí jít spočítat pomocí limity podílů uvedených ve větě 5.5. Tato limita nemusí existovat.

Příklad 5.6

Uvažte mocninnou řadu

\begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty \sin(k)\, x^k. \end{equation*}

Limita

\begin{equation*} \lim_{k\to+\infty} \left| \frac{\sin(k+1)}{\sin(k)} \right| \end{equation*}

neexistuje, ale podle srovnávacího kritéria mocninná řada jistě konverguje pro $x\in(-1,1)$. Skutečně,

\begin{equation*} \big| \sin(k) \, x^k \big| \leq |x|^k \end{equation*}

a $\sum_{k=0}^\infty |x|^k$ konverguje pro $|x| < 1$.

Příklad 5.7

Rozeberme všechny tyto poznatky na příkladu funkce $f(x) = \frac{1}{1-x}$ a její Taylorovy řady v bodě $0$,

\begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty x^k. \end{equation*}

Platí $f^{(k)}(x) = \frac{k!}{(1-x)^{k+1}}$, $x\neq 1$, $k\in\mathbb{N}$. Proto $f^{(k)}(0) = k!$. Zadání je tedy v pořádku, tato řada je skutečně Taylorovou řadou příslušné funkce v bodě $0$. Pro poloměr konvergence $R$ máme rovnost

\begin{equation*} \lim_{k\to\infty} \bigg| \frac{1}{1} \bigg| = 1 = \frac{1}{R}. \end{equation*}

Dále pro $x=\pm 1$ jsou řady $\sum_{k=0}^\infty (\pm 1)^k$ divergentní. Řada konverguje absolutně pro $x\in(-1,1)$ a diverguje pro všechna ostatní $x$. Rovnost

\begin{equation*} \frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^\infty x^k \end{equation*}

platí pro $x\in(-1,1)$. Řadu v tomto případě umíme přímo sečíst, není potřeba vyšetřovat zbytek v Taylorově vzorci.

Příklad 5.8

Vyšetřete obor konvergence mocninné řady

\begin{equation*} \sum_{k = 1}^\infty k x^k \end{equation*}

Postupujme opět s pomocí věty 5.5. Pro $L$ platí

\begin{equation*} L = \lim_{k\to\infty} \frac{k + 1}{k} = \lim_{k\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{k} \right) = 1 + 0 = 1. \end{equation*}

Proto i $R = \frac{1}{1} = 1$ a ihned vidíme, že naše řada (se středem v $0$) konverguje absolutně pro $x \in (-1,1)$ a diverguje pro $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.

Dosazením $x = \pm 1$ dostaneme řady $\sum_{k=1}^\infty k (\pm 1)^k$ z nichž ani jedna není konvergentní, protože nesplňuje nutnou podmínku konvergence. Uzavíráme, že oborem konvergence naší řady je interval $(-1,1)$.

Příklad 5.9

Poloměr konvergence mocninné řady může vyjít i nulový. Rozmyslete si to v případě mocninné řady

\begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty (k!) x^k, \end{equation*}

která absolutně konverguje pouze pro $x = 0$ (její součet je pak $1$) a diverguje pro všechna ostatní reálná $x$. Její obor konvergence je tedy jednoprvková množina $\{0\}$.

Na závěr této podkapitoly uvádíme v tabulce 5.1 Taylorovy řady dalších elementárních funkcí.

funkce Taylorova řada v \(0\) konvergence pro
\(e^x\) \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}\) \(x\in\R\)
\(\sin x\) \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1}\) \(x\in\R\)
\(\cos x\) \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}\) \(x\in\R\)
\(\ln(1+x)\) \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} x^{k}\) \(x\in(-1,1\rangle\)
\(\arctg x\) \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1} x^{2k+1}\) \(x\in\langle -1,1 \rangle\)

Tabulka 5.1: Některé elementární funkce, jejich Taylorovy řady a $x$ pro která tyto řady konvergují.

Poznámka 5.6 (Mathematica)

Mathematica nám může pomoci s počítáním Taylorových polynomů příkazem Series. Jeho základní použití má tvar Series[expr, {x, a, n}], kde expr je výraz závisející na x a chceme spočítat $n$-tý Taylorův polynom v bodě a.