Naším cílem v další části přednášky bude hledání extrémů funkcí více proměnných. Připomeňme si několik znalostí z předchozího studia.
Mějme funkci $f: \R \to \R$ mající spojitou třetí derivaci na celém $\R$ a bod $a \in \R$. Potom dle Taylorovy věty platí
V tomto výrazu bychom nyní měli vidět další důvod pro z BI-MA1 známé kritérium (pro maximum podobně): Pokud $f'(a) = 0$ a $f''(a) > 0$, potom $f$ má v bodě $a$ ostré lokální minimum.
Můžeme podobnou úvahu učinit i pro funkce více proměnných? Co je v tomto případě analogem lineárního a kvadratického členu?
Funkci $q\colon \R^n \to \R$ nazýváme kvadratickou formou, právě když existuje symetrická matice $\mM \in \R^{n,n}$ splňující
Ihned učiňme několik relativně jednoduchých pozorování:
V jedné dimenzi je situace velmi jednoduchá. Pokud $n=1$, pak máme $q(\vx) = \alpha x_1^2$ pro nějaké $\alpha \in \R$.
Pro jistotu připomeňme definici symetrické matice. Matice $\mM$ je symetrická, právě když $\mM^T = \mM$.
Pomocí standardního skalárního součinu a násobení matic můžeme výraz (8.1) vyjádřit alternativně i takto
Předpoklad symetričnosti matice $\mM$ není omezující. Pro každou matici $\mA \in \R^{n,n}$ a vektor $\vx \in \R^n$ platí $\vx^T \mA \vx = \vx^T \, \frac{1}{2}\big(\mA + \mA^T\big) \, \vx$, kde $\frac{1}{2}\big(\mA + \mA^T\big)$ je symetrická matice.
Každá kvadratická forma je nulová v bodě $\theta$, tj. $q(\theta) = 0$.
Například funkce
je kvadratická forma, neboť ji lze vyjádřit jako
kde
Kvadratická forma představuje zobecnění pouze kvadratického členu $\alpha x^2$ pro funkce více proměnných. Zobecněním známých kvadratických funkcí $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$, $f: \R \to \R$, jsou kvadriky. Přesněji funkce tvaru $Q: \R^n \to \R$ splňující
kde $\mM \in \R^{n,n}$ je symetrická matice, $\vb\in\R^n$ je vektor a $\gamma \in \R$. Těmi se zde podrobněji zabývat nebudeme.
Konkrétně pro
bychom měli