Motivováni předchozí diskuzí a inspirováni rovnicí (6.1) se nyní hlouběji ponoříme do studia lineárních rekurentních rovnic. Pusťme se nejprve do definice ústředního pojmu a zavedení užitečné terminologie.
Lineární rekurentní rovnice řádu $k \in \N$ (zkráceně LRR) je rovnice tvaru
kde $n_0 \in \Z$ a $(c_{i,n})_{n=n_0}^\infty$, $i = 0,1,\ldots,k-1$, (tzv. koeficienty rovnice) a $(b_n)_{n=n_0}^\infty$ (tzv. pravá strana rovnice) jsou zadané posloupnosti a posloupnost $(c_{0,n})_{n=n_0}^\infty$ není nulová posloupnost. Jestliže $b_n = 0$ pro každé $n \geq n_0$, pak se příslušná rovnice nazývá homogenní. Přidruženou homogenní rovnicí k rovnici (6.2) nazýváme LRR se stejnými koeficienty a nulovou pravou stranou ($b_n = 0$ pro každé $n \geq n_0$).
Jako neznámou v rovnici13 (6.2) chápeme celou posloupnost $(x_n)_{n=n_0}^\infty$. Zkráceně bychom rovnici (6.2) mohli pomocí sumační notace zapsat ve tvaru
Tento zápis budeme často používat. Je explicitnější a zabírá méně místa.
Pozorné čtenářstvo si jistě všimne množství lineárně–algebraicky znějících pojmů v Definici 6.1. Zanedlouho uvidíme, že vztah mezi řešením soustav lineárních rovnic a lineárních rekurentních rovnic je hluboký.
Lineární rekurentní rovnice typicky vzejde z praktického problému a nás poté zajímá její řešení. Pojďme formálně zavést i tento důležitý pojem.
Nechť je dána lineární rekurentní rovnice řádu $k \in \N$,
Jejím řešením nazveme libovolnou posloupnost $(x_n)_{n=n_0}^\infty$ takovou, že dosazením jejích členů do (6.3) dostaneme pravdivé rovnosti pro každé celočíselné $n \geq n_0$.
Uveďme nyní několik příkladů demonstrujících právě zavedené pojmy. Vlastnostem řešení lineárních rekurentních rovnic a jejich systematickému hledání se budeme věnovat v dalších podkapitolách.
Mějme zadané $q \in \R$ a uvažme homogenní LRR prvního řádu
Tj. v Definici 6.1 máme $n_0 = 0$, $k = 1$, $b_n = 0$ a $c_{0,n} = -q$ pro každé $n\in\N_0$. Řešením této rovnice je libovolná posloupnost tvaru $x_n = \alpha \cdot q^{n}$, $n \in \N_0$, pro libovolnou konstantu $\alpha \in \R$. Skutečně, prostým dosazením a po jednoduché úpravě pro každé $n \geq 0$ dostáváme
Uvažme rovnici
Řešením této rovnice (dosaďte!) je posloupnost $x_n = A \cdot (n-1)!$, $n \in \N$, pro libovolné $A \in \R$.
Pro zajímavost vypišme jednotlivé vztahy, všimněte si měnícího se multiplikativního faktoru:
$n = 1$: $x_2 - 1 \cdot x_1 = 0$,
$n = 2$: $x_3 - 2 \cdot x_2 = 0$,
$n = 3$: $x_4 - 3 \cdot x_3 = 0$,
$n = 4$: $x_5 - 4 \cdot x_4 = 0$.
…
Jeden z koeficientů této LRR závisí na $n$, není tzv. konstantní (viz Definici 6.4).
V případě geometrické posloupnosti (Příklad 6.2) vidíme, že rekurentní vztah udává nekonečně mnoho různých posloupností, které ho splňují. Skutečně, konstanta $\alpha$ může být libovolná. Rekurentní rovnice je proto často doplněna tzv. počátečními podmínkami, které už určí nějaké konkrétní řešení.
Nechť je dána lineární rekurentní rovnice řádu $k \in \N$,
Počátečními podmínkami pro tuto rovnici nazveme libovolnou soustavu rovností $x_{n_0} = A_0$, $x_{n_0 + 1} = A_1$, …, $x_{n_0 + k - 1} = A_{k-1}$, pro zadané hodnoty $A_0,\ldots,A_{k-1} \in \R$.
Pro dané $q \in \R$ je řešením rovnice
posloupnost tvaru $x_n = \alpha \cdot q^{n}$, $n \in \N_0$, kde $\alpha \in \R$ je nějaká konstanta.
Předepsáním počáteční podmínky pro $x_0$ hodnotu této konstanty vynutíme (zde jednoduše $x_0 = \alpha$) a dostaneme tak už jednu konkrétní posloupnost.
Mějme číselnou řadu $\sum_{k=0}^\infty a_k$. Potom posloupnost jejích částečných součtů $(s_n)_{n=0}^\infty$ je řešením lineární rekurentní rovnice prvního řádu
s počáteční podmínkou $x_0 = a_0$.
Mějme zadané $n_0 = 0$ a uvažme homogenní LRR druhého řádu
Tj. v Definici 6.1 klademe $b_n = 0$ a $c_{1,n} = c_{0,n} = -1$ pro každé $n \in \N_0$
Řešení této rovnice vyhovující počátečním podmínkám $x_0 = 1$ a $x_1 = 1$ je známá Fibonacciho posloupnost.
Proč jsme nezavedli LRR nultého řádu? Je to vůbec možné?
V definici LRR lze položit $k = 0$, ale výslednou rovnici nelze považovat za rekurentní. Dostali bychom explicitní předpis $x_n = b_n$, $n \geq n_0$. V tomto případě není co řešit.