8 Kvadratické formy

Naším cílem v další části přednášky bude hledání extrémů funkcí více proměnných. Připomeňme si několik znalostí z předchozího studia.

Mějme funkci $f: \R \to \R$ mající spojitou třetí derivaci na celém $\R$ a bod $a \in \R$. Potom dle Taylorovy věty platí

\begin{equation*} f(x) = f(a) + f'(a) (x-a) + \frac{f''(a)}{2} (x-a)^2 + \mathcal{O}\big((x-a)^2\big), \quad \text{pro} \ x\to a. \end{equation*}

V tomto výrazu bychom nyní měli vidět další důvod pro z  BI-MA1 známé kritérium (pro maximum podobně): Pokud $f'(a) = 0$ a $f''(a) > 0$, potom $f$ má v bodě $a$ ostré lokální minimum.

Můžeme podobnou úvahu učinit i pro funkce více proměnných? Co je v tomto případě analogem lineárního a kvadratického členu?

Definice 8.1 (Kvadratická forma / Quadratic form)

Funkci $q\colon \R^n \to \R$ nazýváme kvadratickou formou, právě když existuje symetrická matice $\mM \in \R^{n,n}$ splňující

\begin{equation}\label{eq_kvadraticka_forma}\tag{8.1} q(\vx) = \sum_{j,k=1}^n \mM_{j,k} x_j x_k, \quad \text{pro každé} \ \vx = (x_1,\ldots,x_n)^T \in \R^n. \end{equation}

Ihned učiňme několik relativně jednoduchých pozorování:

  • V jedné dimenzi je situace velmi jednoduchá. Pokud $n=1$, pak máme $q(\vx) = \alpha x_1^2$ pro nějaké $\alpha \in \R$.

  • Pro jistotu připomeňme definici symetrické matice. Matice $\mM$ je symetrická, právě když $\mM^T = \mM$.

  • Pomocí standardního skalárního součinu a násobení matic můžeme výraz (8.1) vyjádřit alternativně i takto

    \begin{equation*} q(\vx) = \langle \vx \,|\, \mM \vx \rangle = \vx^T \mM \vx. \end{equation*}

  • Předpoklad symetričnosti matice $\mM$ není omezující. Pro každou matici $\mA \in \R^{n,n}$ a vektor $\vx \in \R^n$ platí $\vx^T \mA \vx = \vx^T \, \frac{1}{2}\big(\mA + \mA^T\big) \, \vx$, kde $\frac{1}{2}\big(\mA + \mA^T\big)$ je symetrická matice.

  • Každá kvadratická forma je nulová v bodě $\theta$, tj. $q(\theta) = 0$.

Příklad 8.1

Například funkce

\begin{equation*} q(x, y) = x^2 - 3 xy + 2 y^2 \end{equation*}

je kvadratická forma, neboť ji lze vyjádřit jako

\begin{equation*} q(x, y) = (x,y) \mM \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \end{equation*}

kde

\begin{equation*} \mM = \begin{pmatrix} 1 & -3/2 \\ -3/2 & 2 \end{pmatrix}. \end{equation*}

Kvadratická forma představuje zobecnění pouze kvadratického členu $\alpha x^2$ pro funkce více proměnných. Zobecněním známých kvadratických funkcí $f(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$, $f: \R \to \R$, jsou kvadriky. Přesněji funkce tvaru $Q: \R^n \to \R$ splňující

\begin{equation*} Q(\vx) = \vx^T \mM \vx + \vb^T \vx + \gamma, \end{equation*}

kde $\mM \in \R^{n,n}$ je symetrická matice, $\vb\in\R^n$ je vektor a $\gamma \in \R$. Těmi se zde podrobněji zabývat nebudeme.

Příklad 8.2

Konkrétně pro

\begin{equation*} Q(x, y) = x^2 - 2xy + 2y^2 - 2x + 3y + 4 \end{equation*}

bychom měli

\begin{equation*} \mM = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad \vb^T = (-2, 3), \quad \text{a} \quad \gamma = 4. \end{equation*}

8.1 Definitnost kvadratických forem

8.2 Určování definitností forem

8.3 Dodatek