4.3 Odhadování asymptotického chování součtů

Vzpomeňme si na příklad řady harmonických čísel, tj. na divergentní číselnou řadu

\begin{equation*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \end{equation*}

Její divergenci jsme prokázali zkoumáním její posloupnosti částečných součtů, tedy posloupností $(s_n)_{n=1}^\infty$ se členy

\begin{equation*} s_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{equation*}

Tento částečný součet nelze vyjádřit explicitně, nelze ho sečíst a zbavit se symbolu sumy (na rozdíl od geometrické či aritmetické posloupnosti). Můžeme ale tento součet geometricky interpretovat jako jistou plochu a její obsah porovnat s obsahem plochy pod jistou křivkou, kterou umíme vypočítat pomocí integrálu. Konkrétně platí následující věta.

Věta 4.7 (O odhadu posloupnosti částečných součtů)

Nechť $f$ je spojitá funkce na $\langle 1,+\infty)$ a $n\in\mathbb{N}$. Je-li $f$ klesající, pak platí

\begin{equation*} f(n) + \int_1^n f(x) \,\mathrm{d} x \leq \sum_{k=1}^n f(k) \leq f(1) + \int_1^n f(x) \,\mathrm{d}x. \end{equation*}

Je-li $f$ rostoucí, pak platí

\begin{equation*} f(1) + \int_1^n f(x) \,\mathrm{d} x \leq \sum_{k=1}^n f(k) \leq f(n) + \int_1^n f(x) \,\mathrm{d}x. \end{equation*}

Nerovnosti uvedené v předchozí větě je vhodné interpretovat geometricky. Geometrický význam integrálu již známe. Podobně součet $\sum_{k=1}^n a_k$ lze interpretovat jako obsah $n$ obdélníků šířky $1$ a výšky $a_k$, viz Obrázek 4.1.

Buď $k\in\mathbb{N}$, pak pro každé $x\in \langle k,\, k+1 \rangle$ platí $f(k+1) \leq f(x) \leq f(k)$.

Z věty o nerovnosti mezi integrály (Věta 3.5) dostaneme nerovnost

\begin{equation*} f(k+1) = \int_k^{k+1} f(k+1) \mathrm{d}x \leq \int_k^{k+1} f(x) \mathrm{d}x \leq \int_k^{k+1} f(k) \mathrm{d}x = f(k). \end{equation*}

Sečtením nerovností pro $k=1,2,\ldots,n-1$ dostaneme

\begin{equation*} \sum_{k=2}^n f(k) \ {\color{red}\leq} \ \int_1^n f(x) \mathrm{d}x \ {\color{blue}\leq} \ \sum_{k=1}^{n-1} f(k). \end{equation*}

Odtud

\begin{equation*} f(n) + \int_1^n f(x) \mathrm{d} x \ {\color{blue}\leq} \ \sum_{k=1}^n f(k) \ {\color{red}\leq} \ f(1) + \int_1^n f(x) \mathrm{d} x. \end{equation*}

$\square$

Obrázek 4.1: Geometrická interpretace nerovností ve Větě 4.7.
Příklad 4.11

Pomocí odhadu z Věty 4.7, tj. aniž bychom součet počítali explicitně, zjistěme rychlost růstu (víme, že má za limitu $+\infty$) posloupnosti $(s_n)_{n=1}^\infty$ s členy

\begin{equation*} s_n = \sum_{k=1}^n k^2, \quad n\in\mathbb{N}. \end{equation*}

Nyní $f(x) = x^2$ je rostoucí na $\langle 1,+\infty)$ a proto pro každé $n\in\mathbb{N}$ platí

\begin{equation*} 1 + \int_1^n x^2 \, \mathrm{d}x \, \leq \, \sum_{k=1}^n k^2 \, \leq \, n^2 + \int_1^n x^2 \mathrm{d}x. \end{equation*}

Tudíž

\begin{equation*} \frac{1}{3} n^3 + \frac{2}{3} \leq s_n \leq \frac{1}{3} n^3 + n^2 - \frac{1}{3}. \end{equation*}

Pro velká $n$ je největším členem $\frac{1}{3} n^3$, přesněji, z věty o limitě sevřené posloupnosti plyne

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \frac{s_n}{\frac{1}{3}n^3} = 1. \end{equation*}

Příklad 4.12

Odhadněte rychlost růstu posloupnosti $(n!)_{n=1}^\infty$ bez využití faktoriálu.

Využijme šikovné úpravy

\begin{equation*} \ln n! = \sum_{k=1}^n \ln k. \end{equation*}

Funkce $f(x) = \ln x$ je rostoucí na $\langle 1,+\infty)$ a proto

\begin{equation*} 0 + \int_1^n \ln(x) \, \mathrm{d} x \leq \sum_{k=1}^n \ln(k) \leq \ln(n) + \int_1^n \ln(x) \, \mathrm{d}x. \end{equation*}

Primitivní funkcí $F$ k funkci $f$ je funkce $F(x) = x \ln(x) - x + C$, tudíž

\begin{equation*} n\ln(n) - n + 1 \, \leq \, \sum_{k=1}^n \ln(k) \, \leq \, \ln(n) + n\ln(n) -n+1. \end{equation*}

Odlogaritmováním (monotonie $e^x$) poslední nerovnosti pak dostáváme

\begin{equation*} e^{n\ln(n) - n + 1} \leq n! \leq e^{\ln(n) + n\ln(n) - n + 1} \end{equation*}

a po úpravě

\begin{equation*} e \cdot \frac{n^n}{e^n} \, \leq \, n! \, \leq \, en\cdot \frac{n^n}{e^n}, \quad n\in\mathbb{N}. \end{equation*}

Poznámka 4.8

Tento odhad už je pro většinu aplikací dostatečný. Lze ho však ještě dále zlepšovat. Všimněte, že na rozdíl od předchozího příkladu nám tento nyní nedává posloupnost $(b_n)_{n=1}^\infty$ takovou, že

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{b_n} = 1. \end{equation*}

Získání takovéto posloupnosti $(b_n)_{n=1}^\infty$ vyžaduje další práci. Pro úplnost uveďme, že tuto vlastnost má například (tzv. Stirlingův vzorec)

\begin{equation*} b_n = \sqrt{2\pi n} \cdot \frac{n^n}{e^n} \end{equation*}

Nyní se vrátíme k příkladu, který jsme připomínali na začátku této podkapitoly.

Příklad 4.13

Již víme, že

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = + \infty. \end{equation*}

Odhadněme nyní jak rychle se $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ blíží k nekonečnu s rostoucím $n$.

Podle předchozí věty pro $f(x) = \frac{1}{x}$ klesající na $\langle 1,+\infty)$ dostáváme odhad

\begin{equation*} \frac{1}{n} + \int_1^n \frac{1}{x} \, \mathrm{d} x \ \leq \ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \, \leq 1 + \int_1^n \frac{1}{x} \, \mathrm{d} x. \end{equation*}

Po integraci

\begin{equation*} \frac{1}{n} + \ln(n) \, \leq \, \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \, \leq \, 1 + \ln(n), \quad n\in\mathbb{N}. \end{equation*}

Odtud

\begin{equation*} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \, \sim \, \ln(n), \quad \text{nebo} \quad \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \mathcal{O}(\ln(n)), \quad \text{nebo} \quad \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \mathcal{O}(n). \end{equation*}

Opět tedy máme

\begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}}{\ln(n)} = 1. \end{equation*}

Dále si povšimněte, že

\begin{equation*} \frac{1}{n} \ \leq \ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \ \leq \ 1, \quad n\in\mathbb{N}. \end{equation*}

O posloupnosti $\bigg( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \bigg)$ lze ukázat, že je klesající a tudíž má limitu. Tato limita se označuje $\gamma$ a nazývá se Eulerova–Mascheroniova konstanta. Její přibližná hodnota je $\gamma = 0.577218\ldots$

Z těchto příkladů je zřejmé, že Věta 4.7 nám dává nástroj na odhadování částečných součtů některých číselných řad a lze ji proto využít k vyšetřování konvergence číselných řad.

Věta 4.8 (Integrální kritérium)

Buď $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ číselná řada s kladnými členy taková, že existuje spojitá a monotónní funkce definovaná na $\langle 1,+\infty)$ taková, že $f(n) = a_n$ pro každé $n$. Potom

  • Pokud (zobecněný Riemannův) integrál $\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,\mathrm{d}x$ konverguje, pak číselná řada $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ konverguje.

  • Pokud integrál $\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,\mathrm{d}x$ diverguje, pak číselná řada $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ diverguje.

Zobrazit důkaz

Přímočaré použití věty 4.7.

$\square$

Příklad 4.14

Řada $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty k^{\alpha}$ konverguje pro $\alpha < -1$ a diverguje pro $\alpha \geq -1$.

Protože

\begin{equation*} \int_1^n x^{\alpha} \,\mathrm{d}x = \frac{n^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} - \frac{1}{\alpha + 1}, \ \alpha \neq -1, \ \quad \text{a} \quad \int_1^n x^{-1} \mathrm{d}x = \ln n \end{equation*}

platí

\begin{align*} \lim_{n\to+\infty} \int_1^n x^{\alpha} \mathrm{d}x &= \frac{1}{-1-\alpha}, \quad \alpha < -1, \\ \lim_{n\to+\infty} \int_1^n x^{\alpha} \mathrm{d}x &= +\infty, \quad \alpha \geq -1.\end{align*}

Příklad 4.15

V předchozím textu jsme se setkali s několika kritérii pro vyšetřování (absolutní) konvergence a divergence číselných řad. I když je každé z těchto kritérií zaměřeno na trochu jinou skupinu řad, existuje mezi nimi překryv. Na různé příklady lze tak aplikovat hned několik různých správných postupů. Jako ilustraci tohoto jevu uvažme číselnou řadu

\begin{equation}\label{eq-ex-multi}\tag{4.6} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[3]{k}}. \end{equation}

Posloupnost jejích sčítanců $\left(\frac{1}{\sqrt[3]{k}}\right)_{k=1}^\infty$ je sice konvergentní posloupnost s limitou $0$ a nutná podmínka konvergence (Věta 4.1) je splněna, ale následující tři způsoby argumentace ukazují, že jde o divergentní číselnou řadu.

  1. Funkce $f(x) = x^{-1/3}$ je spojitá a ostře klesající na intervalu $\langle 1, +\infty)$ a platí

    \begin{equation*} \int_1^{+\infty} x^{-1/3} \,\dx = \lim_{c\to+\infty} \left[ \frac{x^{2/3}}{2/3} \right]_1^c = \frac{3}{2} \lim_{c\to+\infty} \big( c^{2/3} - 1 \big) = \frac{3}{2} (+\infty) = +\infty. \end{equation*}

    Podle Integrálního kritéria (Věta 4.8) tak řada (4.6) diverguje.

  2. Pro všechna přirozená $k$ platí nerovnost

    \begin{equation*} \frac{1}{\sqrt[3]{k}} \geq \frac{1}{k} \geq 0 \end{equation*}

    a řada

    \begin{equation*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \end{equation*}

    je známá divergentní harmonická řada (to víme již z BI-MA1 ( BI-MA1, Příklad), alternativně to nyní umíme také snadno dokázat pomocí Integrálního kritéria). Srovnávací kritérium (Věta 4.5) nyní implikuje divergenci naší řady (4.6).

  3. V neposlední řadě zde můžeme zcela elementárními prostředky ověřit samotnou definici divergentní číselné řady (Definice 4.1). Pro $n$-tý částečný součet $s_n$ řady (4.6) hrubým odhadem4 dostáváme

    \begin{equation*} s_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt[3]{\clr{red}{k}}} \geq \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt[3]{\clr{red}{n}}} = n \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{n}} = n^{2/3} \to +\infty, \quad \text{pro} \ n \to \infty. \end{equation*}

    Odtud plyne (dle ( BI-MA1, Věta)) $s_n \to +\infty$ pro $n \to \infty$ a naše řada (4.6) je proto divergentní.

Každý z postupů využívá jiných nástrojů. Poslední uvedený je v jistém smyslu nejjednodušší, protože používá pouze elementární tvrzení. To je samozřejmě jiný typ „jednoduchosti“, než jaký mívají na mysli studenti.