10.4 Příklady

Tuto kapitolu uzavřeme několika dalšími řešenými příklady.

Příklad 10.3

Mějme parametry $a,b,c > 0$. Vypočtěte objem elipsoidu s poloosami $a,b,c$, přesněji množiny

\begin{equation*} E = \bigg\{ (x,y,z) \in \R^3 \,\bigg|\, \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \leq 1 \bigg\} \end{equation*}

Poznámka 10.2

Důsledkem předchozího příkladu je známý vzorec pro objem koule $S_r$ o poloměru $r > 0$ (tj.máme elipsoid s $a=b=c=r$)

\begin{equation*} \mathrm{Vol}_3(S_r) = \frac{4}{3} \pi r^3. \end{equation*}

Zobrazit řešení

Provedeme-li řez elipsoidu rovinou $z = \alpha \in (-c, c)$, pak dostaneme elipsu $E(\alpha)$

\begin{equation*} \frac{x^2}{a^2(1 - \alpha^2/c^2)} + \frac{y^2}{b^2(1 - \alpha^2/c^2)} = 1, \end{equation*}

jejíž obsah již známe z Příkladu 3.11: $\mathrm{Vol}_2(E(\alpha)) = \pi a b \left(1 - \frac{\alpha^2}{c^2} \right)$. Tudíž:

\begin{align*} \mathrm{Vol}_3(E) &= \int_E 1 \,\dx\dy\dz = \int_{-c}^{c} \left(\int_{E(z)} 1\,\dx\dy \right)\dz = \pi a b \int_{-c}^{c} \left( 1 - \frac{z^2}{c^2} \right) \dz = \\ &= \pi a b \cdot 2 \left[ z - \frac{z^3}{3c^2} \right]_0^c = 2\pi ab \left( c - \frac{c}{3} \right) = \frac{4}{3}\pi abc.\end{align*}