7.1 Úvodní poznámky

V předmětu  BI-MA1 jsme studovali

  • posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$ reálných čísel a jejich limity,

  • reálné funkce jedné reálné proměnné $f: A \to \R$, $\emptyset \neq A \subset \R$, a jejich limity, spojitost a derivaci.

Nyní se budeme zabývat jejich „vícerozměrnými“ analogy. Přechod bude často přímočarý, někdy komplikovanější. Budeme intenzivně využívat aparát Lineární algebry, proto je případně dobré si oprášit znalosti z předmětu  BI-LA1.

Naším hlavním cílem v této kapitole jsou kritéria pro hledání extrémů funkcí více proměnných, konkrétně podkapitoly 9.29.3. Nejprve ale musíme zavést základní koncepty týkající se funkcí více proměnných.

7.1.1 Připomenutí

Není překvapivé, že při práci v prostorech vyšších dimenzí budeme intenzivně využívat látku  BI-LA1. Proto na následujících několika odstavcích pro pohodlí čtenářek a čtenářů nejprve stručně shrneme základní poznatky, značení a terminologii.

Budeme pracovat ve vektorovém prostoru $\R^n$ $n$-tic reálných čísel vybavených standardními operacemi sčítání a násobením reálným skalárem (po složkách). Prvky $\R^n$ – vektory – budeme značit tučnými malými písmeny, např. $\vx$, $\vy$, $\vz$,… Složky vektorů jakožto skaláry tučně neznačíme, viz např. rovnici (7.1) níže. Vektory z $\R^n$ chápeme jako sloupcové vektory, tj. ztotožňujeme $\R^n$ s $\R^{n,1}$, například

\begin{equation}\label{eq_ukazkovy_vektor}\tag{7.1} \vx = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \in \R^n. \end{equation}

Zde horní index $T$ označuje transpozici. Nulový vektor prostoru $\R^n$ značíme pomocí řeckého písmena $\theta = (0,0,\ldots,0)^T\in\R^n$.

Prostor všech matic s $m$ řádky a $k$ sloupci s reálnými prvky značíme $\R^{m,k}$. Matice značíme také tučnými velkými písmeny jako $\mA$, $\mB$, $\mC$, či $\mM$. Prvek $\mA_{i,j}$ pak najdeme v $i$-tém řádku a $j$-tém sloupci matice $\mA$.

Dále používáme praktické, ale ne příliš rozšířené, značení množin přirozených čísel menších nebo rovno jisté přirozené číslo zavedené v BI-LA1. Konkrétně pro přirozené $n \in \N$ symbolem $\hat n$ označujeme množinu $\{ 1, 2, \ldots, n\}$. Tj. například platí $\hat 3 = \{1, 2, 3\}$. Množina $\hat n$ je konečná množina pro každé $n\in\N$.

Pro $j\in\hat n$ vektor $\ve_j$ představuje $j$-tý vektor standardní báze $\R^n$. Tedy $(\ve_j)_k = \delta_{jk}$ pro $j,k\in \hat n$, kde pro Kroneckerovo $\delta$ platí

\begin{equation*} \delta_{jk} = \begin{cases} 1, & j = k, \\ 0, & j \neq k, \end{cases} \quad j,k \in \hat n. \end{equation*}

Například v prostoru $\R^3$ pro vektory standardní báze $(\ve_1, \ve_2, \ve_3)$ tohoto prostoru platí

\begin{align*} \ve_1 &= (1,0,0)^T, \\ \ve_2 &= (0,1,0)^T, \\ \ve_3 &= (0,0,1)^T.\end{align*}

7.1.2 Vizualizace

Reálnou funkci jedné reálné proměnné $f: D_f \to \R$, $D_f \subset \R$, lze snadno vizualizovat pomocí jejího grafu, který je podmnožinou roviny $\R^2$. Tento způsob vizualizace jistě důvěrně znáte. Označíme-li jako $x$ nezávisle proměnnou a $y$ jako závisle proměnnou, pak na vodorovné ose vynášíme $x$ a na svislé $y$ (i když to evidentně není jediná možná volba).

Vizualizace funkcí více proměnných je již komplikovanější. „Rozumně“ to lze provést více méně jen pro reálné funkce dvou proměnných $f: D_f \to \R$, $D_f \subset \R^2$, jejichž graf je podmnožinou trojrozměrného prostoru $\R^3$. Nezávisle proměnné označujeme typicky $x$ a $y$ a závisle proměnnou pak $z$. Definiční obor naší funkce leží v rovině obsahující osy $x$ a $y$. Funkční hodnotu $f(x,y)$ pak vynášíme kolmo k této rovině na osu $z$. Chová-li se takováto funkce $f$ „pěkně“ (např. je spojitá), pak takto vzniklý graf připomíná krajinu („3D mapu“), viz levá část Obrázku 7.1. Například v Mathematica můžete použít funkci Plot3D.

Postup uvedený v předchozím odstavci vede k poměrně atraktivnímu výsledku, s kterým ale nemusí být jednoduché pracovat a který často ani nemusí být přehledný. Alternativně lze pro uvažovanou funkci vytvořit tzv. contour plot, tedy výškový profil, kde pomocí „vrstevnic“ (tedy křivek konstantní hodnoty funkce) a případně barev znázorníme oblasti se stejnou či podobnou funkční hodnotou. Viz pravou část Obrázku 7.1. Například v Mathematica můžete použít funkci ContourPlot.

Obrázek 7.1: Vizualizace funkce více proměnných $f(x,y) = 2x^2 + xy - y^2$ pomocí jejího grafu (levá část) a pomocí znázornění křivek konstantní hodnoty této funkce (pravá část). Všimněte si, že na obrázku vpravo vidíme numerické nepřesnosti vykreslovacího algoritmu (například křivky odpovídající nulové hodnotě jsou v tomto případě skutečně přímky!).