V dalším textu se pro jednoduchost omezíme na spojité omezené funkce, pro něž Riemannův integrál existuje. Následující vlastnosti lze odvodit přímo z definice Riemannova integrálu (resp. pomocí integrálních součtů a normálních posloupností dělení). První dvě věty velmi zjednodušují praktické výpočty.
Nechť $f$ a $g$ jsou spojité funkce na intervalu $\langle a,b \rangle$. Potom pro Riemannův integrál funkce $f+g$, která je také automaticky spojitá na intervalu $\langle a,b \rangle$, platí
Nechť $f$ je spojitá na intervalu $\langle a,b \rangle$ a $c\in\R$ je konstanta. Potom pro Riemannův integrál funkce $cf$ platí
Předchozí dvě věty často vyjadřujeme konstatováním, že Riemannův (určitý) integrál je lineární. Riemannův integrál je aditivní i vůči mezím, platí totiž:
Riemannův integrál funkce $f$ na intervalu $\langle a, b \rangle$ existuje, právě když existuje $c \in (a,b)$ pro které existují Riemannovy integrály funkce $f$ na intervalech $\langle a, c \rangle$ a $\langle c, b \rangle$. V takovém případě navíc platí
Konečně z nerovností mezi funkcemi lze usuzovat na nerovnost mezi jejich určitými integrály. Tuto vlastnost lze často využít při odhadování integrálů (např. při výpočtu rychlosti růstu, k této problematice se dostaneme později).
Nechť jsou $f$ a $g$ spojité funkce na intervalu $\langle a,b \rangle$ a nechť platí nerovnost $f(x) \leq g(x)$ pro všechna $x\in\langle a,b \rangle$. Potom pro jejich Riemannovy integrály platí
Následující věta odhaluje vztah mezi určitým (Riemannovým) a neurčitým (primitivní funkce) integrálem. Umožňuje nám počítat Riemannův integrál bez explicitního použití limitní definice.
Nechť $f$ je funkce spojitá na intervalu $\langle a,b \rangle$ s primitivní funkcí $F$. Pak pro Riemannův integrál funkce $f$ na intervalu $\langle a,b \rangle$ platí rovnost
Uvažme $\sigma = \{ x_0,x_1,\ldots,x_n \}$ dělení intervalu $\langle a,b \rangle$. Použijeme Lagrangeovu větu o přírůstku funkce na funkci $F$ a intervaly $\langle x_{i-1},x_i \rangle$ postupně pro $i=1,2,\ldots,n$,
kde $\alpha_i$, $i=1,2,\ldots,n$, jsou takové prvky intervalu $(x_{i-1},x_i)$, pro které platí $F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(\alpha_i) (x_i - x_{i-1})$. Existence takových $\alpha_i$ plyne právě z Lagrangeovy věty o přírustku funkce. Takže platí
kde $\mathcal{J}(\sigma, f)$ je nějaký integrální součet funkce $f$ vzhledem k rozdělení $\sigma$. Uvážíme-li nyní libovolnou normální posloupnost dělení $(\sigma_n)_{n=1}^\infty$ pak
Zde jsme využili rovnici (3.1).
$\square$
Vypočtěte integrál
Podle předchozí věty platí
Srovnejte tento kraťoučký výpočet s postupem v Příkladu 3.2.
Pro $a < b$ vypočtěte integrál
Primitivní funkcí k $e^x$ je funkce $e^x$. Pak podle Newtonovy věty
Pro ilustraci viz Obrázek 3.7.
Spočítejte integrál
Primitivní funkcí k funkci $\sin x$ je funkce $-\cos x$. Proto podle Newtonovy věty
Plocha jednoho „hrbu“ grafu funkce $\sin$ je tedy $2$ (v daných jednotkách plochy). Pro ilustraci viz Obrázek 3.8.
Mějme funkci $f$ definovanou a omezenou na uzavřeném intervalu $J$. Pokud pro její dolní a horní integrál na intervalu $J$ platí
pak jejich společnou hodnotu nazýváme Riemannovým integrálem funkce $f$ na intervalu $J$ a toto číslo značíme symboly
Mějme funkci $f$ definovanou a omezenou na uzavřeném intervalu $J$. Pokud pro její dolní a horní integrál na intervalu $J$ platí
pak jejich společnou hodnotu nazýváme Riemannovým integrálem funkce $f$ na intervalu $J$ a toto číslo značíme symboly
Mějme funkci $f$ definovanou a omezenou na uzavřeném intervalu $J$. Pokud pro její dolní a horní integrál na intervalu $J$ platí
pak jejich společnou hodnotu nazýváme Riemannovým integrálem funkce $f$ na intervalu $J$ a toto číslo značíme symboly
Mějme funkci $f$ definovanou a omezenou na uzavřeném intervalu $J$. Pokud pro její dolní a horní integrál na intervalu $J$ platí
pak jejich společnou hodnotu nazýváme Riemannovým integrálem funkce $f$ na intervalu $J$ a toto číslo značíme symboly
Nechť $f$ je funkce definovaná na intervalu $(a,b)$, kde $-\infty \leq a < b \leq +\infty$. Funkci $F$ splňující podmínku
nazýváme primitivní funkcí k funkci $f$ na intervalu $(a,b)$.
Mějme funkci $f$ definovanou a omezenou na uzavřeném intervalu $J$. Pokud pro její dolní a horní integrál na intervalu $J$ platí
pak jejich společnou hodnotu nazýváme Riemannovým integrálem funkce $f$ na intervalu $J$ a toto číslo značíme symboly