V této části se budeme snažit dát dobrý smysl „součtu všech členů posloupnosti“. Tento proces sčítání bude přesně reprezentovat pojem „číselné řady“, korektně zavedený v definici 4.1. Později v textu (podkapitola 5.4) nám řady umožní počítat funkční hodnoty některých elementárních funkcí jako $\sin$, či $\cos$, které doteď máme ze středních škol zavedené pouze pomocí geometrické konstrukce.
Formální výraz tvaru
kde $(a_k)_{k=n_0}^\infty$ je zadaná číselná posloupnost, nazýváme číselnou řadou. Pokud je posloupnost částečných součtů $(s_n)_{n=n_0}^\infty$ definovaná předpisem
konvergentní, nazýváme příslušnou řadu také konvergentní. V opačném případě o ní mluvíme jako o divergentní číselné řadě. Součtem konvergentní řady $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ nazýváme hodnotu limity $\displaystyle\lim_{n\to\infty} s_n$.
V tomto textu se ale bez újmy na obecnosti omezíme na řady indexované od $n_0 = 0$, tedy na řady tvaru
Vždy můžeme index vhodně posunout, např.
Konvergence i divergence řady se navíc zachová, změníme-li konečný počet členů řady. Speciálně konvergence řady $\sum_{k=0}^\infty a_k$ je ekvivalentní konvergenci řady $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ pro libovolně zvolené $n_0 \in \mathbb{N}$. Skutečně, posloupnosti částečných součtů řady $\sum_{k=0}^\infty a_k$ a řady $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ se liší o konstantu (jakou?).
Je důležité rozlišovat mezi pojmy „posloupnost“ a „řada“. Častou studentskou chybou je vzájemné pletení a nepochopení těchto pojmů. Například posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$, kde $a_n = n^2$, $n\in\mathbb{N}$, je dobré si představovat jako po sobě jdoucí čísla
a řadu $\sum_{n=1}^\infty a_n$ pro stejnou posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ jako po sobě jdoucí čísla
tedy členy posloupnosti jejích částečných součtů.
Řada
je divergentní.
Skutečně, pro členy posloupnosti jejích částečných součtů platí
a triviálně tedy $\lim_{n\to\infty} s_n = +\infty$. Příslušná řada je proto podle definice divergentní.
Pro $|q|<1$ řada
konverguje a její součet je
Skutečně, členy posloupnosti částečných součtů lze přímo sečíst. Vzpomeňme si opět na známý vzorec
a položme $a = 1$ a $b = q$, po jednoduché úpravě pak získáváme hledaný součet
Takže s využitím známé limity posloupnosti $(a^n)_{n=0}^\infty$ dostáváme $\displaystyle\lim_{n\to\infty} s_n = \frac{1}{1-q}$. V závislosti na $q$ proto součet můžeme vyjádřit následovně
Poznamenejme, že z rovnice (4.2) také plyne divergence řady (4.1) pro $q>1$ nebo $q\leq-1$. Pokud $q = 1$, pak lze také snadno ověřit, že diverguje.
Součet v rovnici (4.2) lze odvodit více způsoby. Vedle výše uvedeného postupu si můžeme uvědomit, jak se chová $s_n$ vůči násobení kvocientem $q$. Konkrétně
Vyjádříme-li odtud $s_n$, tak opět získáváme (4.2).
Speciálně z předchozího příkladu plyne tvrzení
platné pro $|q| < 1$ a libovolné $c$.
Uvažujme číselnou řadu $\sum_{n=1}^\infty a_n$, kde $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ je aritmetická posloupnost s diferencí $d$. Snadno spočteme částečné součty jako
Řada je tedy konvergentní, právě když $a_1 = d = 0$.
Uvažujme konvergentní řady $\sum\limits_{k = 0}^{\infty} a_k$ a $\sum\limits_{k = 0}^{\infty}b_k$ se součty $S_a,S_b \in \R$ a $c\in\R$. Potom
řada $\sum\limits_{k = 0}^{\infty} (a_k + b_k)$ konverguje a její součet je $S_a + S_b$,
řada $\sum\limits_{k = 0}^{\infty} (c\cdot a_k)$ také konverguje a její součet je $c\cdot S_a$.
Formálně za uvedených předpokladů píšeme
Důkaz uvedeného pozorování je jinak přímočarý. Použitím věty o limitě součtu na posloupnost částečných součtů dostaneme
Řada $\sum\limits_{k = 0}^{\infty}(2^{-k} + 3^{-k})$ konverguje a její součet je
neboť konvergují řady $\sum_{k = 0}^{\infty}2^{-k}$ a $\sum_{k = 0}^{\infty}3^{-k}$ a jejich součet umíme najít, viz Příklad 4.2.
Konvergence sčítaných řad je zásadní. Uvažte triviální příklad $\sum\limits_{k = 0}^{\infty}\left(k + (-k)\right)$.
Je-li $c\neq 0$, pak divergence řady $\sum\limits_{k = 0}^{\infty} a_k$ implikuje divergenci řady $\sum\limits_{k = 0}^{\infty} (c\cdot a_k)$, protože divergence posloupnosti $(s_n)_{n=0}^\infty$ implikuje divergenci posloupnosti $(c\cdot s_n)_{n=0}^\infty$. Rozmyslete!
K sčítání konečného počtu prvků nebo i řad slouží v Mathematica příkaz Sum
, jehož syntaxe je jednoduchá: Sum[expr, {k, k1, k2}]
, kde expr
je výraz závisející na sčítacím indexu k
, který běží od k1
do k2
.
Horní mez může být $\infty$ a pak se Mathematica snaží nalézt součet takovéto řady.
Např. pro Sum[1 / k^2, {k, 1, Infinity}]
dostaneme správný výsledek $\pi^2/6$.
Pro divergentní řady dostaneme chybovou hlášku, např. Sum[1 / k, {k, 1, Infinity}]
má za následek výpis Sum does not converge.
V některých případech Mathematica pouze vrátí symbolickou reprezentaci vstupu, typicky když nedokáže v daném případě o ničem rozhodnout.
Formální výraz tvaru
kde $(a_k)_{k=n_0}^\infty$ je zadaná číselná posloupnost, nazýváme číselnou řadou. Pokud je posloupnost částečných součtů $(s_n)_{n=n_0}^\infty$ definovaná předpisem
konvergentní, nazýváme příslušnou řadu také konvergentní. V opačném případě o ní mluvíme jako o divergentní číselné řadě. Součtem konvergentní řady $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ nazýváme hodnotu limity $\displaystyle\lim_{n\to\infty} s_n$.
Formální výraz tvaru
kde $(a_k)_{k=n_0}^\infty$ je zadaná číselná posloupnost, nazýváme číselnou řadou. Pokud je posloupnost částečných součtů $(s_n)_{n=n_0}^\infty$ definovaná předpisem
konvergentní, nazýváme příslušnou řadu také konvergentní. V opačném případě o ní mluvíme jako o divergentní číselné řadě. Součtem konvergentní řady $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ nazýváme hodnotu limity $\displaystyle\lim_{n\to\infty} s_n$.