Spojitost opět vyjadřuje vztah mezi funkční hodnotou a limitou funkce v jistém bodě.
Mějme (vektorovou) funkci $F: A \to \R^m$, $A \subset\R^n$, a bod $\va \in D_F$, který je hromadným bodem množiny $D_F$.
Funkce $F$ je spojitá v bodě $\va$, právě když
Funkci $F$ nazveme spojitou (resp. spojitou na množině $M$), právě když je spojitá v každém bodě svého definičního oboru (resp. v každém bodě množiny $M$).
Definiční obory spojitých funkcí, na které narazíme, budou většinou nějaké otevřené množiny. Budou tedy definovány dokonce na celém okolí bodu $\va$.
Následující tři věty nám velmi pomohou při rozhodování o spojitosti různých funkcí.
Mějme dvě vektorové funkce $F: D_F \to \R^m$, $D_F \subset \R^n$, $G: D_G \to \R^m$, $D_G \subset \R^n$, bod $\va \in \R^n$, který je hromadným bodem množiny $D_F \cap D_G$ a $\alpha \in \R$. Předpokládejme, že $F$ i $G$ jsou spojité v bodě $\va$. Potom
$F + G$ je spojitá v $\va$,
$\alpha F$ je spojitá v $\va$.
Pokud je $m = 1$, pak
$F \cdot G$ je spojitá v $\va$,
$\frac{F}{G}$ je spojitá v $\va$ v případě kdy $G(\va) \neq 0$.
Sňatek definice spojitosti a věty o limitě součtu, násobku, součinu a podílu.
$\square$
Často budeme mít (vektorovou) funkci zadanou pomocí spojitých elementárních funkcí jedné proměnné známých z BI-MA1. Tento případ řeší následující věta:
Buďte $f: D_f \to \R$, $D_f \subset \R$, reálná funkce jedné reálné proměnné, $n \in \N$ a $k \in \hat{n}$. Definujme funkci ($D_f$ v $k$-tém faktoru)
Je-li $f$ spojitá, pak i $g$ je spojitá.
Mějme $\va \in D_g$, potom $a_k \in D_f$ je hromadným bodem $D_f$ a tudíž i bod $\va$ je pak hromadným bodem $D_g$. Dále je $f$ spojitá v $a_k$ a proto platí $\lim_{x \to a_k} f(x) = f(a_k)$.
Tudíž: pro libovolné okolí $U_{f(a_k)}(\varepsilon)$ existuje $U_{a_k}(\delta)$ takové, že kdykoliv $x \in U_{a_k}(\delta) \cap D_f$, pak $f(x) \in U_{f(a_k)}$.
Vezmeme-li $\vx \in U_{\va}(\delta)$ se stejným $\delta$ jako výše, pak $|x_k - a_k| \leq \|\vx - \va\| < \delta$ a proto
Tedy $\lim_{\vx \to \va} g(\vx) = g(\va)$.
$\square$
Mějme (vektorové) funkce $g: D_g \to \R^m$, $D_g \subset \R^n$ a $f: D_f \to \R^k$, $D_f \subset \R^m$. Dále předpokládejme, že $g$ je spojitá v $\va \in D_g$ a $f$ je spojitá a definovaná na okolí $g(\va)$. Potom je $f \circ g$ spojitá v bodě $\va$.
Označme $\vb \ceq f(g(\va))$ a uvažme libovolné okolí bodu $\vb$, které označíme $U_{\vb}(\varepsilon)$.
Protože $\lim_{\vx\to g(\va)} f(\vx) = \vb$, existuje okolí $U_{g(\va)}(\delta_1)$ bodu $g(\va)$ takové, že $f(\vx) \in U_{\vb}(\varepsilon)$, kdykoliv $\vx \in U_{g(\va)}(\delta_1) \smallsetminus \{g(\va)\}$.
Protože $\lim_{\vx\to\va} g(\vx) = g(\va)$, existuje okolí $U_{\va}(\delta_2)$ bodu $\va$ takové, že $g(\vx) \in U_{g(\va)}(\delta_1)$, kdykoliv $\vx \in (U_{\va}(\delta_2) \cap D_g) \smallsetminus \{\va\}$.
Celkem tedy pokud vezmeme $\vx \in (U_{\va}(\delta_2) \cap D_g) \smallsetminus \{\va\}$, pak $g(\vx) \in U_{g(\va)}(\delta_1) \smallsetminus \{g(\va)\}$ a tedy i $f(g(\vx)) \in U_{\vb}(\varepsilon)$, což jsme měli dokázat.
$\square$
Předchozí věta nám ihned dává například následující výsledky:
Následující funkce jsou spojité na svých definičních oborech:
$f(x, y) = \sin(x) + \cos(y)$, $D_f = \R^2$.
$f(x, y) = \ln(xy)$, $D_f = \{ (x,y) \in \R^2 \mid xy > 0\}$. (Složená funkce!)
$g(x,y) = \frac{y}{x^2} + x + y^2$, $D_g = (\R \smallsetminus \{0\}) \times \R$.
Měli bychom být tedy nyní schopní rozeznat spojité funkce zadané tímto způsobem.
Dále bychom mohli formulovat například větu o limitě složené funkce a větu o spojitosti složené funkce…