V této podkapitole rozebereme několik základních nástrojů, které nám umožní rozhodnout o konvergenci, resp. divergenci, číselných řad.
O některých řadách můžeme rovnou rozhodnout, že divergují, aniž bychom složitě zkoumali jejich částečné součty. Zamyslíme-li se nad definicí konvergence řady, pak by intuitivně mělo být jasné, že k tomu, aby bylo možné řadu sečíst, tak posloupnost sčítaných čísel musí mít nulovou limitu. Přesněji tuto myšlenku vystihuje následující věta a její důsledek.
Pokud řada $\sum_{k=0}^\infty a_k$ konverguje, potom pro limitu jejích sčítanců platí $\displaystyle \lim_{k\to\infty} a_k = 0$.
Označme $S\in\R$ součet naší konvergentní řady a $(s_n)_{n=0}^\infty$ posloupnost jejích částečných součtů. Pro libovolné kladné celé $n$ platí
Protože $S = \displaystyle\lim_{n\to\infty} s_n$ dostáváme z věty o limitě sevřené posloupnosti ( BI-MA1, Důsledek) $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0$.
$\square$
Nejčastěji předchozí větu používáme v následujícím tvaru.
Pokud limita posloupnosti $(a_k)_{k=0}^\infty$ je nenulová nebo neexistuje, potom řada $\sum_{k=0}^\infty a_k$ není konvergentní.
O řadách
můžeme ihned díky důsledku 4.1 tvrdit, že divergují, protože (popořadě)
Odvodit takovéto tvrzení přímo z definice konvergence řady není triviální. Zkuste to!
Podmínka ve Větě 4.1 je pouze nutná. Pokud posloupnost sčítanců konverguje k nule, tak nemůžeme tvrdit, že řada konverguje. Následující příklad ukazuje řadu jejíž členy konvergují k nule a zároveň není konvergentní.
Uvažme řadu
tedy $a_k = \frac{1}{\sqrt{k}}$, pro $k=1,2,\ldots$ Víme již, že platí
Ale pro částečné součty $(s_n)_{n=0}^\infty$ platí
Proto $\displaystyle \lim_{n\to\infty} s_n = +\infty$. Zkoumaná řada z rovnice (4.3) proto diverguje.
K odvození dalších kritérií pro testování konvergence řad budeme potřebovat Bolzanovo–Cauchyovo kritérium, tentokrát pro řady.
Řada $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k$ konverguje právě tehdy, když pro každé $\veps > 0$ existuje $n_0 \in \R$ tak, že pro každé přirozené $n \geq n_0$ a $p \in \mathbb{N}$ platí
Jedná se pouze o použití Bolzanova–Cauchyova kritéria konvergence posloupnosti na posloupnost částečných součtů příslušné řady a přeznačení některých symbolů.
$\square$
Všimněte si, že má-li řada $\sum_{k=0}^\infty a_k$ nezáporné členy, pak je posloupnost jejích částečných součtů monotónní (vzpomeňte na větu o limitě monotónní posloupnosti). Víme tedy, že tato řada buď konverguje, nebo je limita jejích částečných součtu rovna $+\infty$. Máme-li řadu $\sum_{k=0}^\infty a_k$ s členy různých znamének, pak je přirozené ptát se, v jakém vztahu je její konvergence vzhledem k řadě $\sum_{k=0}^\infty |a_k|$, která už má nezáporné členy.
Číselnou řadu $\sum_{k=0}^\infty a_k$ nazýváme absolutně konvergentní, pokud číselná řada $\sum_{k=0}^\infty |a_k|$ konverguje.
Absolutní konvergence řady implikuje konvergenci řady. Skutečně, platí následující věta.
Pokud řada absolutně konverguje, potom tato řada konverguje.
Použijeme Bolzanova-Cauchyova kritéria pro konvergenci řady. Buď $\sum_{k=0}^\infty a_k$ absolutně konvergentní řada. Potom pro $\veps>0$ existuje $n_0\in\mathbb{N}$ tak, že pro každé $n\geq n_0$ a $p\in\mathbb{N}$ je
Řada $\sum_{k=0}^\infty a_k$ tedy konverguje.
$\square$
Poznamenejme, že řady, které jsou konvergentní, ale nejsou absolutně konvergentní, jsou citlivé na změnu pořadí sčítání členů. Jinak řečeno, u absolutně konvergentní řady nezáleží na pořadí, v jakém členy sčítáme, výsledek bude vždy stejný. Tak tomu ale není u řad, které konvergují neabsolutně. Blíže se této problematice na tomto místě věnovat nebudeme.
Obecně je nutné být opatrný při čistě formálních (a neplatných) operacích, mohli bychom tak získat na první pohled neuvěřitelné výsledky. Uvažme třeba následující řadu,
o které víme, že je divergentní a nemá součet. Formálně ovšem
a tedy $S = 1/2$. V které části „výpočtu“ jsme se dopustili podvodu?
Pro řady, jejichž členy střídají „znaménko“, je užitečné následující kritérium.
Buď $(a_k)_{k=0}^\infty$ monotónní posloupnost konvergující k nule. Potom je řada
konvergentní.
Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že posloupnost $(a_k)_{k=0}^\infty$ je klesající a tedy i tvořená kladnými členy. Označme opět $(s_n)_{n=0}^\infty$ posloupnost částečných součtů naší řady (4.4), tj. $s_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k a_k$. Ukažme nejprve, že vybraná posloupnost $(s_{2n+1})_{n=0}^\infty$ je konvergentní. Posloupnost $(a_k)_{k=0}^\infty$ je klesající a proto pro $n \in \mathbb{N}$ platí nerovnosti
a
Jinak řečeno, posloupnost $(s_{2n+1})_{n=0}^\infty$ je omezená (ukázali jsme, že všechny její členy leží v intervalu $\langle 0, a_0 \rangle$). Tato posloupnost je ale navíc i rostoucí
Podle věty o limitě monotonní posloupnosti proto existuje její konečná limita, označme ji jako $s_* = \lim_{n\to\infty} s_{2n+1} \in \R$.
Protože ale3 $s_{2n} = s_{2n+1} + a_{2n+1}$, $n\in\mathbb{N}$, a dle jednoho z předpokladů dokazované věty je $\lim_{n\to\infty} a_{2n+1} = 0$, platí $\lim_{n\to\infty} s_{2n} = s_* + 0 = s_*$.
Přímo z definice limity posloupnosti nyní ihned plyne $\lim_{n\to\infty} s_n = s_* \in \R$ a řada (4.4) je proto konvergentní.
$\square$
Leibnizovo kritérium tedy má smysl aplikovat na řady tvaru
kde $(a_k)_{k=0}^\infty$ je rostoucí posloupnost nekladných čísel, nebo klesající posloupnost nezáporných čísel. O takových řadách mluvíme jako o řadách „se střídavými znaménky“.
Příkladem konvergentní řady, která ale není absolutně konvergentní, je řada
Skutečně, tato řada konverguje podle Leibnizova kritéria, protože posloupnost $(1/k)_{k=1}^\infty$ má kladné členy a monotónně konverguje k nule. Řada z absolutních hodnot členů je $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$, o které již z BI-MA1 víme, že diverguje.
Předpoklad monotonie v Leibnizově kritériu je důležitý, nelze ho vypustit. Pro ukázku uvažme řadu
kde členy posloupnosti $(a_k)_{k=0}^\infty$ jsou dány předpisem
Očividně jsou všechny členy posloupnosti $(a_k)_{k=1}^\infty$ kladné, limita této posloupnosti je rovna nule, ale tato posloupnost není monotonní. Skutečně, pro prvních pár členů platí $a_0 = 1$, $a_1 = 2$ a $a_2 = 1/2$, tj. $a_0 < a_1 > a_2$ (podrobněji, $a_{2k} < a_{2k+1}$ a $a_{2k+1} > a_{2k+2}$, $k=0,1,2,\ldots$).
Pojďme prozkoumat chování posloupnosti částečných součtů této řady, vycházíme tedy přímo Definice 4.1. Pro libovolné $n \in \N_0$ platí
Podobně, pro sudé členy platí
pro libovolné $n\in\N_0$. Dohromady můžeme tyto dva výpočty shrnout kompaktně v asymptotickém vyjádření
Pro limitu posloupnosti částečných součtů $(s_n)_{n=0}^\infty$ uvažované řady pak platí (využíváme znalosti limity posloupnosti harmonických čísel)
Řada (4.5) je proto divergentní.
Předchozí příklad nelze interpretovat tak, že porušení monotonie posloupnosti $(a_k)_{k=0}^\infty$, při zachování kladnosti členů a nulové limity, má za následek divergenci řady $\sum_{k=0}^\infty (-1)^k a_k$. Leibnizovo kritérium je pouze postačující podmínka, implikace jedním směrem.
Jako příklad lze uvážit drobnou modifikaci předchozího příkladu:
Takto zadaná posloupnost $(a_k)_{k=0}^\infty$ má nulovou limitu, je tvořena kladnými členy, ale není monotonní ($1 < 2 > 1/2 < 1 > 1/4 < 1/2$ atd.) Pro posloupnost jejích částečných součtů platí
Máme zde tedy co dočinění s konvergentní řadou mající součet roven $-2$. Konvergenci této řady (bez určení součtu) by šlo i snadněji ukázat pomocí Srovnávacího kritéria (Věta 4.5), které probereme v následující části textu.
Následující kritérium nám umožňuje rozhodovat o konvergenci a divergenci řady porovnáním s vhodně zvolenou řadou, o které víme, jestli konverguje či diverguje.
Opět použijeme Bolzanova–Cauchyova kritéria. Lze postupovat shodně jako v důkazu věty 4.3. Tvrzení opět plyne z následujícího odhadu,
$\square$
Dle předpokladu víme, že
a limita levé strany je $+\infty$. Odtud ihned plyne (v podstatě definice limity posloupnosti), že i posloupnost částečných součtů řady $\sum_{k=0}^\infty b_k$ diverguje.
$\square$
Již víme, že řada $\sum_{k=0}^\infty q^k$ konverguje pro $|q| < 1$. Tohoto faktu s výhodou využijeme v důkazu následující věty, která nese jméno po Jeanu d'Alembertovi (francouzský matematik, 1717 – 1783).
Nechť $a_k > 0$ pro každé $k\in\mathbb{N}_0$. Pokud
potom řada $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k$ diverguje. Pokud ovšem
potom řada $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k$ konverguje.
Za uvedeného předpokladu z podílového kritéria pro posloupnost $(a_k)_{k=1}^\infty$ plyne
Není tedy splněna nutná podmínka konvergence řady $\sum_{k=0}^\infty a_k$ (Věta 4.1) a tato je proto divergentní.
$\square$
Označme
Dle našich předpokladů platí $0 \leq \tilde q < 1$. Uvažme libovolné $q$ splňující $\tilde q < q < 1$. Definice limity posloupnosti (vemte dost malé okolí $\tilde q$) implikuje existenci $k_0 \in \mathbb{N}$ takového, že je-li $k \geq k_0$ pak platí nerovnost $\displaystyle \frac{a_{k+1}}{a_k} \leq q < 1$. Odtud nahlédneme, že pro každé $k \geq k_0$ platí
Už ale víme, že řada $\sum_{k=0}^\infty q^k$ konverguje pro $|q|<1$. Podle srovnávacího kritéria (Věta 4.5) tedy konverguje i řada $\sum_{k=0}^\infty a_k$.
$\square$
Poznamenejme, že d'Alembertovo kritérium zdaleka není všemocné. Například o řadě $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$ víme z BI-MA1, že diverguje. Ovšem pro limitu podílů platí
D'Alembertovo kritérium tedy o konvergenci, resp. divergenci, této konkrétní řady nerozhodne. Dokonce nerozhodne ani o řadě $\sum_{k=1}^\infty k$. Tato situace je podobná jako u podílového kritéria pro posloupnosti.
Existují další kritéria pro vyšetřování konvergence číselných řad (Cauchyovo, Gaussovo, Dirichletovo, Abelovo, aj.). V další části textu odvodíme ještě integrální kritérium (Věta 4.8).
Zkoumejme konvergenci řady
Řada má kladné sčítance, můžeme se proto pokusit použít d'Alembertovo kritérium. Musíme vypočíst hodnotu následující limity
Protože $\frac{1}{2} < 1$ a řada má kladné členy d'Alembertovo kritérium nám umožňuje tvrdit, že zadaná řada je (absolutně) konvergentní.
Přistupme nyní k první jednoduché aplikaci číselných řad. Pomocí číselné řady můžeme dát přirozený význam nekonečnému desetinnému číselnému rozvoji. Číselné řady budou hrát důležitou roli i v následující podkapitole o Eulerově čísle (podkapitola 4.4) a i později při výkladu o Taylorových řadách (kapitola 5).
Buď $(a_k)_{k=1}^\infty$ číselná posloupnost jejíž členy nabývají hodnot pouze z množiny $\{0,1,\ldots,8,9\}$. Potom klademe
Řada na pravé straně definiční rovnosti konverguje a její součet jednoznačně (viz větu o jednoznačnosti limity) definuje jisté reálné číslo. Konvergence řady plyne ze srovnávacího kritéria, zřejmě
a řada $\sum_{k=0}^\infty \Big(\frac{1}{10}\Big)^k$ konverguje protože jde o součet geometrické posloupnosti s kvocientem $\frac{1}{10}$, který je v absolutní hodnotě menší než $1$.
Formální výraz tvaru
kde $(a_k)_{k=n_0}^\infty$ je zadaná číselná posloupnost, nazýváme číselnou řadou. Pokud je posloupnost částečných součtů $(s_n)_{n=n_0}^\infty$ definovaná předpisem
konvergentní, nazýváme příslušnou řadu také konvergentní. V opačném případě o ní mluvíme jako o divergentní číselné řadě. Součtem konvergentní řady $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ nazýváme hodnotu limity $\displaystyle\lim_{n\to\infty} s_n$.
Formální výraz tvaru
kde $(a_k)_{k=n_0}^\infty$ je zadaná číselná posloupnost, nazýváme číselnou řadou. Pokud je posloupnost částečných součtů $(s_n)_{n=n_0}^\infty$ definovaná předpisem
konvergentní, nazýváme příslušnou řadu také konvergentní. V opačném případě o ní mluvíme jako o divergentní číselné řadě. Součtem konvergentní řady $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ nazýváme hodnotu limity $\displaystyle\lim_{n\to\infty} s_n$.
Formální výraz tvaru
kde $(a_k)_{k=n_0}^\infty$ je zadaná číselná posloupnost, nazýváme číselnou řadou. Pokud je posloupnost částečných součtů $(s_n)_{n=n_0}^\infty$ definovaná předpisem
konvergentní, nazýváme příslušnou řadu také konvergentní. V opačném případě o ní mluvíme jako o divergentní číselné řadě. Součtem konvergentní řady $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ nazýváme hodnotu limity $\displaystyle\lim_{n\to\infty} s_n$.
Formální výraz tvaru
kde $(a_k)_{k=n_0}^\infty$ je zadaná číselná posloupnost, nazýváme číselnou řadou. Pokud je posloupnost částečných součtů $(s_n)_{n=n_0}^\infty$ definovaná předpisem
konvergentní, nazýváme příslušnou řadu také konvergentní. V opačném případě o ní mluvíme jako o divergentní číselné řadě. Součtem konvergentní řady $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ nazýváme hodnotu limity $\displaystyle\lim_{n\to\infty} s_n$.
Formální výraz tvaru
kde $(a_k)_{k=n_0}^\infty$ je zadaná číselná posloupnost, nazýváme číselnou řadou. Pokud je posloupnost částečných součtů $(s_n)_{n=n_0}^\infty$ definovaná předpisem
konvergentní, nazýváme příslušnou řadu také konvergentní. V opačném případě o ní mluvíme jako o divergentní číselné řadě. Součtem konvergentní řady $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ nazýváme hodnotu limity $\displaystyle\lim_{n\to\infty} s_n$.
Číselnou řadu $\sum_{k=0}^\infty a_k$ nazýváme absolutně konvergentní, pokud číselná řada $\sum_{k=0}^\infty |a_k|$ konverguje.
Formální výraz tvaru
kde $(a_k)_{k=n_0}^\infty$ je zadaná číselná posloupnost, nazýváme číselnou řadou. Pokud je posloupnost částečných součtů $(s_n)_{n=n_0}^\infty$ definovaná předpisem
konvergentní, nazýváme příslušnou řadu také konvergentní. V opačném případě o ní mluvíme jako o divergentní číselné řadě. Součtem konvergentní řady $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ nazýváme hodnotu limity $\displaystyle\lim_{n\to\infty} s_n$.
Řada $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k$ konverguje právě tehdy, když pro každé $\veps > 0$ existuje $n_0 \in \R$ tak, že pro každé přirozené $n \geq n_0$ a $p \in \mathbb{N}$ platí
Formální výraz tvaru
kde $(a_k)_{k=n_0}^\infty$ je zadaná číselná posloupnost, nazýváme číselnou řadou. Pokud je posloupnost částečných součtů $(s_n)_{n=n_0}^\infty$ definovaná předpisem
konvergentní, nazýváme příslušnou řadu také konvergentní. V opačném případě o ní mluvíme jako o divergentní číselné řadě. Součtem konvergentní řady $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ nazýváme hodnotu limity $\displaystyle\lim_{n\to\infty} s_n$.
Buď $(a_k)_{k=0}^\infty$ monotónní posloupnost konvergující k nule. Potom je řada
konvergentní.
Formální výraz tvaru
kde $(a_k)_{k=n_0}^\infty$ je zadaná číselná posloupnost, nazýváme číselnou řadou. Pokud je posloupnost částečných součtů $(s_n)_{n=n_0}^\infty$ definovaná předpisem
konvergentní, nazýváme příslušnou řadu také konvergentní. V opačném případě o ní mluvíme jako o divergentní číselné řadě. Součtem konvergentní řady $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ nazýváme hodnotu limity $\displaystyle\lim_{n\to\infty} s_n$.
Číselnou řadu $\sum_{k=0}^\infty a_k$ nazýváme absolutně konvergentní, pokud číselná řada $\sum_{k=0}^\infty |a_k|$ konverguje.
Formální výraz tvaru
kde $(a_k)_{k=n_0}^\infty$ je zadaná číselná posloupnost, nazýváme číselnou řadou. Pokud je posloupnost částečných součtů $(s_n)_{n=n_0}^\infty$ definovaná předpisem
konvergentní, nazýváme příslušnou řadu také konvergentní. V opačném případě o ní mluvíme jako o divergentní číselné řadě. Součtem konvergentní řady $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ nazýváme hodnotu limity $\displaystyle\lim_{n\to\infty} s_n$.
Nechť $a_k > 0$ pro každé $k\in\mathbb{N}_0$. Pokud
potom řada $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k$ diverguje. Pokud ovšem
potom řada $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k$ konverguje.
Buďte $\sum_{k=0}^\infty a_k$ a $\sum_{k=0}^\infty b_k$ číselné řady. Potom platí následující dvě tvrzení.
Nechť existuje $k_0 \in \mathbb{N}$ takové, že pro každé $k\in\mathbb{N}$ větší než $k_0$ platí nerovnosti $0 \leq |a_k| \leq b_k$ a nechť řada $\sum_{k=0}^\infty b_k$ konverguje. Potom řada $\sum_{k=0}^\infty a_k$ absolutně konverguje.
Nechť existuje $k_0 \in \mathbb{N}$ takové, že pro každé $k\in\mathbb{N}$ větší nebo rovno $k_0$ platí nerovnosti $0 \leq a_k \leq b_k$ a $\sum_{k=0}^\infty a_k$ diverguje. Potom i řada $\sum_{k=0}^\infty b_k$ diverguje.