2.5 Integrace racionálních funkcí

V této části textu si stručně rozebereme, jak integrovat

\begin{equation*} \int \frac{p(x)}{q(x)}\,\dx, \end{equation*}

kde $p$ je libovolný polynom a $q$ je polynom stupně nejvýše dvě. Základní kroky postupu lze popsat následovně:

  1. Pokud to lze, vyděl polynom $p$ polynomem $q$, pak $\frac{p(x)}{q(x)} = s(x) + \frac{r(x)}{q(x)}$, kde stupeň polynomu $r$ je nejvýše $1$. Polynom $s$ integrujeme snadno.

  2. Pokud je stupeň polynomu $q$ roven $1$, pak použijeme $\int \frac{b}{x-a} \,\dx = b\ln|x-a| + C$.

  3. Pokud má polynom $q$ jeden dvojnásobný kořen, pak $\int \frac{bx+c}{(x-a)^2} \,\dx = \int \frac{b}{(x-a)} + \frac{ab+c}{(x-a)^2} \,\dx = b\ln|x-a| - \frac{ab+c}{x-a} + C.$

  4. Pokud je stupeň polynomu $q$ roven $2$ a jeho diskriminant je kladný, pak $\frac{r}{q}$ převedeme na tvar $\frac{b_1}{x-a_1} + \frac{b_2}{x-a_2}$ a použijeme bod 2.

  5. Pokud je stupeň polynomu $q$ roven $2$ a jeho diskriminat je záporný, pak použijeme doplnění jmenovatele na čtverec, integrál pak vede na $\arctg$. Případného polynomu stupně jedna v čitateli se zbavíme úpravou čitatele na derivaci jmenovatele.

Poznámka 2.6 (Jednoduchý rozklad na parciální zlomky)

K úspěšnému provedení kroku 4. je potřeba provést rozklad na tzv. parciální zlomky (nejjednodušší verze):

\begin{equation*} \frac{ax+b}{(x-c)(x-d)} = \frac{A}{x-c} + \frac{B}{x-d}. \end{equation*}

Konstanty $a,b,c,d$ jsou zadány, neznámé $A,B$ hledáme. Převedeme-li pravou stranu na společný jmenovatel a upravíme čitatele dostaneme

\begin{equation*} \frac{A}{x-c} + \frac{B}{x-d} = \frac{(A+B)x - Ad - Bc}{(x-c)(x-d)}. \end{equation*}

Neznámé proto řeší soustavu

\begin{equation*} \begin{aligned} a &= A+B, \\ b &= -Ad - Bc, \end{aligned} \end{equation*}

kterou snadno vyřešíme (v konkrétním příkladě). Často lze u jednoduchých příkladů rozklad i uhodnout. Například

\begin{equation*} \frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{\frac{1}{3}}{x-1} + \frac{-\frac{1}{3}}{x+2}. \end{equation*}

Varování 2.1

Obecnou mašinerii rozkladu na parciální zlomky zde neřešíme. V příkladech vyžadujících integraci tímto způsobem si opravdu vystačíme s nejvýše kvadratickými polynomy ve jmenovateli. Nemá proto pro vás smysl z „internetů“ studovat obecnou metodu a související látku, jako například „zakrývací pravidla“.

Příklad 2.15

Ukázky použití metody na postupně se komplikujících se příkladech.

  • Polynom stupně jedna ve jmenovateli:

    \begin{align*} \int \frac{x^2}{x+1} \,\dx &= \int x - 1 + \frac{1}{x+1}\,\dx = \\ &= \frac{x^2}{2} - x + \ln|x+1| + C.\end{align*}

  • Polynom stupně dva s vzájemně různými reálnými kořeny ve jmenovateli:

    \begin{align*} \int \frac{3x-3}{(x-2)(x+1)}\,\dx &= \int \frac{1}{x-2} + \frac{2}{x+1}\,\dx = \\ &= \ln|x-2| + 2\ln|x+1| + C.\end{align*}

  • Polynom stupně dva se záporným diskriminantem, tedy bez reálných kořenů, ve jmenovateli a s konstantním polynomem v čitateli:

    \begin{align*} \int \frac{1}{x^2 -2x + 2}\,\dx &= \int \frac{1}{1 + (x-1)^2}\,\dx = \int \frac{1}{1+y^2}\,\mathrm{d}y = \\ &= \arctg y + C = \arctg(x-1) + C.\end{align*}

    Ve výpočtu jsme použili substituci $y=x-1$.

  • Polynom stupně dva se záporným diskriminantem, tedy bez reálných kořenů, ve jmenovateli a s polynomem stupně jedna v čitateli:

    \begin{align*} \int \frac{x}{x^2 -2x + 2}\,\dx &= \frac{1}{2} \int \frac{2x -2 + 2}{1 + (x-1)^2} \,\dx = \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{\big((x-1)^2\big)'}{1+(x-1)^2}\,\dx + \int \frac{1}{1+(x-1)^2} \,\dx = \\ &= \frac{1}{2} \ln \left( 1 + (x-1)^2 \right) + \int \frac{1}{1+(x-1)^2} \,\dx,\end{align*}

    a na druhý integrál použijeme předchozí bod.

Tuto metodu lze rozšířit i na polynomy vyšších stupňů. Ruční počítání se pak ale značně komplikuje. Je očividně potřeba hledat kořeny polynomu ve jmenovateli, což pro polynomy stupně pět a výše není analyticky řešitelná úloha. I kdybychom tyto kořeny našli, tak budeme muset řešit lineární soustavu o mnoha neznámých. To už ovšem umíme pomocí Gaussovy eliminační metody.

Poznámka 2.7 (Mathematica)

K rozkladu na parciální zlomky lze pro kontrolu použít i počítačový algebraický systém Mathematica, kde k tomuto účelu slouží metoda Apart. Vždy ale svůj výpočet můžete ověřit zpětným převedením na společný jmenovatel!

Například

Apart[(2*x - 1) / ((x + 2)*(x - 1))]

vrací

1 / (3*(x - 1)) + 5 / (3*(x + 2))

Naopak tento výraz bychom mohli Mathematica donutit převést zpět na jeden zlomek pomocí Simplify.