3.2 Vlastnosti Riemannova integrálu

V dalším textu se pro jednoduchost omezíme na spojité omezené funkce, pro něž Riemannův integrál existuje. Následující vlastnosti lze odvodit přímo z definice Riemannova integrálu (resp. pomocí integrálních součtů a normálních posloupností dělení). První dvě věty velmi zjednodušují praktické výpočty.

Věta 3.2 (Aditivita integrálu)

Nechť $f$ a $g$ jsou spojité funkce na intervalu $\langle a,b \rangle$. Potom pro Riemannův integrál funkce $f+g$, která je také automaticky spojitá na intervalu $\langle a,b \rangle$, platí

\begin{equation*} \int_a^b (f+g)(x)\,\dx = \int_a^b f(x)\,\dx + \int_a^b g(x)\,\dx. \end{equation*}

Věta 3.3 (Multiplikativita integrálu)

Nechť $f$ je spojitá na intervalu $\langle a,b \rangle$ a $c\in\R$ je konstanta. Potom pro Riemannův integrál funkce $cf$ platí

\begin{equation*} \int_a^b (cf)(x)\,\dx = c \int_a^b f(x)\,\dx. \end{equation*}

Předchozí dvě věty často vyjadřujeme konstatováním, že Riemannův (určitý) integrál je lineární. Riemannův integrál je aditivní i vůči mezím, platí totiž:

Věta 3.4 (Aditivita integrálu v mezích)

Riemannův integrál funkce $f$ na intervalu $\langle a, b \rangle$ existuje, právě když existuje $c \in (a,b)$ pro které existují Riemannovy integrály funkce $f$ na intervalech $\langle a, c \rangle$ a $\langle c, b \rangle$. V takovém případě navíc platí

\begin{equation*} \int_a^b f(x)\,\dx = \int_a^c f(x)\,\dx + \int_c^b f(x)\,\dx. \end{equation*}

Konečně z nerovností mezi funkcemi lze usuzovat na nerovnost mezi jejich určitými integrály. Tuto vlastnost lze často využít při odhadování integrálů (např. při výpočtu rychlosti růstu, k této problematice se dostaneme později).

Věta 3.5 (Nerovnosti mezi integrály)

Nechť jsou $f$ a $g$ spojité funkce na intervalu $\langle a,b \rangle$ a nechť platí nerovnost $f(x) \leq g(x)$ pro všechna $x\in\langle a,b \rangle$. Potom pro jejich Riemannovy integrály platí

\begin{equation*} \int_a^b f(x)\,\dx \leq \int_a^b g(x)\,\dx. \end{equation*}

Následující věta odhaluje vztah mezi určitým (Riemannovým) a neurčitým (primitivní funkce) integrálem. Umožňuje nám počítat Riemannův integrál bez explicitního použití limitní definice.

Věta 3.6 (Newtonova formule)

Nechť $f$ je funkce spojitá na intervalu $\langle a,b \rangle$ s primitivní funkcí $F$. Pak pro Riemannův integrál funkce $f$ na intervalu $\langle a,b \rangle$ platí rovnost

\begin{equation*} \int_a^b f(x) \,\dx = F(b) - F(a) =: \Big[ F(x) \Big]_a^b. \end{equation*}

Zobrazit důkaz

Uvažme $\sigma = \{ x_0,x_1,\ldots,x_n \}$ dělení intervalu $\langle a,b \rangle$. Použijeme  Lagrangeovu větu o přírůstku funkce na funkci $F$ a intervaly $\langle x_{i-1},x_i \rangle$ postupně pro $i=1,2,\ldots,n$,

\begin{align*} F(b) - F(a) &= \sum_{i=1}^n \Big( F(x_i) - F(x_{i-1}) \Big) = \sum_{i=1}^n F'(\alpha_i) (x_i - x_{i-1}) = \\ &= \sum_{i=1}^n f(\alpha_i) \Delta_i,\end{align*}

kde $\alpha_i$, $i=1,2,\ldots,n$, jsou takové prvky intervalu $(x_{i-1},x_i)$, pro které platí $F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(\alpha_i) (x_i - x_{i-1})$. Existence takových $\alpha_i$ plyne právě z Lagrangeovy věty o přírustku funkce. Takže platí

\begin{equation*} F(b) - F(a) = \mathcal{J}(\sigma, f), \end{equation*}

kde $\mathcal{J}(\sigma, f)$ je nějaký integrální součet funkce $f$ vzhledem k rozdělení $\sigma$. Uvážíme-li nyní libovolnou normální posloupnost dělení $(\sigma_n)_{n=1}^\infty$ pak

\begin{equation*} F(b) - F(a) = \lim_{n\to\infty} \mathcal{J}(\sigma_n,f) = \int_a^b f(x) \,\dx. \end{equation*}

Zde jsme využili rovnici (3.1).

$\square$

Příklad 3.4

Vypočtěte integrál

\begin{equation*} \int_0^1 x \,\dx. \end{equation*}

Podle předchozí věty platí

\begin{equation*} \int_0^1 x \,\dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}. \end{equation*}

Srovnejte tento kraťoučký výpočet s postupem v Příkladu 3.2.

Příklad 3.5

Pro $a < b$ vypočtěte integrál

\begin{equation*} \int_a^b e^x \,\dx. \end{equation*}

Primitivní funkcí k $e^x$ je funkce $e^x$. Pak podle Newtonovy věty

\begin{equation*} \int_a^b e^x \,\dx = \Big[ e^x \Big]_a^b = e^b - e^a. \end{equation*}

Pro ilustraci viz Obrázek 3.7.

Obrázek 3.7: Plocha pod grafem exponenciální funkce na intervalu $\langle a,b \rangle$.
Příklad 3.6

Spočítejte integrál

\begin{equation*} \int_0^\pi \sin x\,\dx. \end{equation*}

Primitivní funkcí k funkci $\sin x$ je funkce $-\cos x$. Proto podle Newtonovy věty

\begin{equation*} \int_0^\pi \sin x\,\dx = \Big[ - \cos x \Big]_0^{\pi} = - \cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2. \end{equation*}

Plocha jednoho „hrbu“ grafu funkce $\sin$ je tedy $2$ (v daných jednotkách plochy). Pro ilustraci viz Obrázek 3.8.

Obrázek 3.8: Plocha pod grafem funkce $\sin$ na intervalu $(0,\pi)$.