Tečna grafu funkce

Tomáš Kalvoda, KAM FIT ČVUT, 2013-2014

Tečna v bodě s konečnou derivací

Má-li funkce f:ℝ->ℝ konečnou derivaci f'(a) v bodě a, pak přímku s rovnicí

y=f(a)+f'(a)(x-a)

nazýváme tečnou grafu funkce f v bodě a. Následující demonstrace ukazuje příklady tečen u různých funkcí.

Manipulate[
Plot[{f[x],f[a]+f'[a](x-a)},{x,-5,5},
PlotRange->{-2,2},ImageSize->500,PlotStyle->{{Thick,Blue},{Thick,Red}},
GridLines->{{a},{f[a]}},
Epilog->{Red,PointSize[Large],Point[{a,0}]},
AxesLabel->{x,y},
LabelStyle->Directive[16]
],
{{a,0},-4,4},
{{f,Sin},{
Sin->TraditionalForm[Sin[x]],
(1.5/(1+((#)^2)))&->TraditionalForm[((1/2)/(1+(x^2)))],
(1/2)(E^(#))&->TraditionalForm[(1/2)(E^x)],
(1/4)((#)^2)&->TraditionalForm[(1/4)(x^2)]
}
}
]

Tečna v bodě s nekonečnou derivací

Má-li funkce f:ℝ->ℝ v bodě a derivaci f'(a) rovnou +∞ nebo -∞ a je v bodě a spojitá, pak přímku s rovnicí x=a nazýváme tečnou grafu funkce f v bodě a.

Tento případ už se nešikovně ukazuje v interaktivní verzi, ukažme si několik statických obrázků.

Tečna grafu funkce f(x)=(((x-1))^(1/3))+1 v bodě a=1

Derivací je skutečně kladné nekonečno (korektně vypočteno na přednášce),

f[x_]=Sign[x-1]((Abs[x-1])^(1/3))+1;
Limit[((f[x]-f[1])/(x-1)),x->1,Assumptions->{x∈Reals}]

Tento symbol má Mathematica vyhrazena pro kladné nekonečno, výsledek je tedy v pořádku. Graf této funkce je na následujícím obrázku.

Plot[f[x],{x,0,2},
PlotRange->{-.5,2},
PlotStyle->{Blue,Thick},
GridLines->{{1},None},
GridLinesStyle->Directive[Red,Thick],
PlotPoints->100,MaxRecursion->15,
LabelStyle->Directive[14],
ImageSize->500,
AxesLabel->{x,y}
]

Tečna grafu funkce f(x)=sgn(x-1)|x-1((|)^(1/2)) v bodě a=1

Derivací je skutečně záporné nekonečno,

f[x_]=-Sign[x-1]Sqrt[Abs[x-1]];
Limit[((f[x]-f[1])/(x-1)),x->1,Assumptions->{x∈Reals}]

Graf této funkce je na následujícím obrázku.

Plot[f[x],{x,0.5,1.5},
PlotRange->{-.5,.5},
PlotStyle->{Blue,Thick},
GridLines->{{1},None},
GridLinesStyle->Directive[Red,Thick],
PlotPoints->100,MaxRecursion->15,
LabelStyle->Directive[14],
ImageSize->500,
AxesLabel->{x,y}
]