Základní práce s maticemi v Sage

Tomáš Kalvoda, KAM FIT ČVUT, 2019

Tento notebook ukazuje jak v Sage pracovat s maticemi s prvky z různých těles (resp. nejen těles).

Základní pojmy a konvence

Připomeňme si nejprve základní pojmy. Mějme $T$ těleso a přirozená čísla $m,n \in \mathbb{N}$. Potom $\mathbb{A} \in T^{m,n}$, tedy zobrazení, které dvojici indexů $(k,\ell) \in \hat m \times \hat n$ přiřadí prvek z $T$ (ozn. $\mathbb{A}_{k,\ell}$), nazýváme $m \times n$ maticí s prvky z tělesa $T$.

Matice si můžeme přirozeně představovat jako tabulku čísel indexovanou pomocí dvou indexů $k$ a $\ell$. Konvečně se prvek $\mathbb{A}_{k,\ell}$ klade do $k$tého řádku a $\ell$tého sloupce. Prvek $\mathbb{A}_{11}$ je v levém horním rohu, $\mathbb{A}_{m,1}$ v levém dolním rohu, $\mathbb{A}_{m,n}$ v pravém dolním rohu a $\mathbb{A}_{1,n}$ v pravém horním rohu, konkrétně $\mathbb{A} = \begin{pmatrix} \mathbb{A}_{1,1} & \mathbb{A}_{1,2} & \cdots & \mathbb{A}_{1,n} \\ \mathbb{A}_{2,1} & \mathbb{A}_{2,2} & \cdots & \mathbb{A}_{1,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ \mathbb{A}_{m,1} & \mathbb{A}_{m,2} & \cdots & \mathbb{A}_{m,n} \end{pmatrix}$ S přimhouřenýma očima bychom o maticích z programátorského pohledu mohli mluvit jako o dvourozměrných polích. Občas se také samotné prvky matice značí malým latinským písmenkem, tj. mohli bychom psát $\mathbb{A} = (a_{k,\ell})$.

Indexu $k$ se říká řádkový index, indexu $\ell$ sloupcový index. Pokud platí $m=n$, pak mluvíme o čtvercových maticích, jinak o maticích obdélníkových.

Často je potřeba mluvit o a hlavně pracovat s jednotlivými řádky a sloupci matic. K tomu zavádíme jednoduché značení kompatibilní s Pythonem. Pokud budeme mluvit o matici $\mathbb{A} \in T^{m,n}$ zmíněné výše, tak pod symbolem $\mathbb{A}_{k:} \in T^{1,n}$ máme na mysli její $k$tý řádek, tj. $\mathbb{A}_{k:} = (\mathbb{A}_{k,1}, \mathbb{A}_{k,2}, \ldots, \mathbb{A_{k,n}}),$ a pod symbolem $\mathbb{A}_{:\ell} \in T^{m,1}$ pak její $\ell$tý sloupec, tj. $\mathbb{A}_{:\ell} = \begin{pmatrix} \mathbb{A}_{1\ell} \\ \mathbb{A}_{2\ell} \\ \vdots \\ \mathbb{A}_{m,\ell} \end{pmatrix}$

Matice v Sage

K vytváření matic v Sage vystačíme s Pythonovským polem, tzv. listem, a funkcí matrix.

List (pole) v pythonu se vytváří jednoduše pomocí hranatých závorek a může jako své prvky obsahovat všechno možné:

a = [1, 2, 'a']
a

[1, 2, 'a']

V proměnné a je uložen Pythonovský list, na který se můžete v tomto případě dívat jako na pole, indexované od $0$ a mající tři prvky. K prvkům se přistupuje opět pomocí hranatých závorek:

print(a[0])
print(a[1])
print(a[2])

1
2
a

Konstrukce matice

Matice v Sage nejjednodušeji zkonstruujeme pomocí funkce matrix, které předáme list listů představující požadovanou matici zadanou po řádcích (vnitřní listy tedy odpovídají řádkům naší matice).

A = matrix([
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6],
    [7, 8, 9]
])
show(A)

S obyčejným listem bychom si pro práci s maticemi nevystačili. Podívejte se, jaké metody jsou k dispozici pro a a jaké pro A. S maticí v proměnné A teď budeme moci provádět spoustu užitečených operací.

V úvodní části této sekce jsme nespecifikovali odkud máme prvky matice brát. Sage opět se v tomto případě snaží uhodnout, nad jakým tělesem se pohybujeme.

A.parent()

Full MatrixSpace of 3 by 3 dense matrices over Integer Ring

Tj. bez dalšího vysvětlování náš vstup chápe jako $3 \times 3$ matici s prvky z množiny celých čísel $\mathbb{Z}$, tedy jako prvek $\mathbb{Z}^{3,3}$.

Ve většině případů není potřeba toto chování měnit, například v následujících případech je výsledek takový, jaký jsme zřejmě chtěli:

A = matrix([
    [1/2, 2/3],
    [4/5, 5/6]
])
show(A)
A.parent()

Full MatrixSpace of 2 by 2 dense matrices over Rational Field

A = matrix([
    [0.5, 2.2],
    [0.3, 1.1]
])
show(A)
A.parent()

Full MatrixSpace of 2 by 2 dense matrices over Real Field with 53 bits of precision

Občas chceme ale vynutit typ prvků matice, například když pracujeme nad konečným tělesem. V tom případě je nejsnazší předat toto těleso jako první argument funkce matrix. Například:

A = matrix(GF(5), [
    [2, 4],
    [1, 3]
])
show(A)
A.parent()

Full MatrixSpace of 2 by 2 dense matrices over Finite Field of size 5

Na první pohled se nezdá, že se od prvního příkladu moc nezměnilo. Ale jak si ukážeme níže, výsledky různých maticových operací budu podstatně jiné, než kdybychom ji chápali jako prvek $\mathbb{Z}^{2,2}$. Nyní jde o matici z $GF(5)^{2,2}$.

Práce s prvky matice

Ukážeme si různé jednoduché způsoby jak přistupovat k prvkům matice A definované hned nad tímto dostavcem. Jednotlivé prvky dostaneme tak jak jsme si zavedli indexování (pozor, v Sage i Pythonu od $0$)!

print('Prvky v prvním řádku:')
print(A[0, 0])
print(A[0, 1])
print('Prvky v druhém řádku:')
print(A[1, 0])
print(A[1, 1])

Prvky v prvním řádku:
2
4
Prvky v druhém řádku:
1
3

Nebo bychom mohli získat jednotlivé sloupce a řádky (to se nám bude hodit později).

print('První řádek:')
show(A[0,:])
print('Druhý sloupec:')
show(A[:,1])

První řádek:

Druhý sloupec:

Maticové operace: násobení číslem

Matice z $\mathbb{A} \in T^{m,n}$ můžeme přirozeně násobit číslem z $\alpha$ tělesa $T$. Pod maticí $\alpha\mathbb{A}$ rozumíme matici, jejíž prvky jsou $\alpha$-násobky prvků matice $\mathbb{A}$, přesněji $(\alpha\mathbb{A})_{k,\ell} := \alpha \cdot \mathbb{A}_{k,\ell},$ pro každé $k\in\hat m$ a $\ell\in\hat n$.

V Sage této operaci odpovídá * pokud nalevo máme číslo a napravo matici.

A = matrix(QQ, [
    [1, 1/2],
    [3, 3/5]
])
show(7 * A)

Důležité je uvědomit si, že operace násobení mezi prvky matice se provádí v tělese $T$!

A = matrix(GF(7), [
    [1, 3],
    [2, 5]
])
show(2 * A)

Maticové operace: sčítání matic

Matice stejných rozměrů $\mathbb{A},\mathbb{B} \in T^{m,n}$ s prvky ze stejného tělesa $T$ můžeme přirozeně sčítat prvek po prvku, $(\mathbb{A} + \mathbb{B})_{k,\ell} := \mathbb{A}_{k,\ell} + \mathbb{B}_{k,\ell},$ pro každé $k\in\hat m$ a $\ell\in\hat n$.

V Sage této operaci odpovídá + mezi maticemi stejných rozměrů. Podobně bude přirozeně fungovat operátor -.

A = matrix(QQ, [
    [1, 1/2, 1/3],
    [3, 2,   1]
])
B = matrix(QQ, [
    [-1, -1, -1],
    [1/2, 0, 1/2]
])
show(A + B)

Důležité je uvědomit si, že operace sčítání mezi prvky matice se provádí v tělese $T$!

A = matrix(GF(7), [
    [1, 2, 3],
    [5, 5, 2]
])
B = matrix(GF(7), [
    [6, 1, 1],
    [2, 4, 3]
])
show(A + B)

Maticové operace: násobení matic

Tato operace mezi maticemi může při prvním setkání vypadat poněkud komplikovaně.

Mějme matice $\mathbb{A} \in T^{m,n}$ a $\mathbb{B} \in T^{n,o}$. Tedy $\mathbb{A}$ má stejně sloupců jako $\mathbb{B}$ řádků. Součinem těchto dvou matic je matice $\mathbb{A}\mathbb{B} \in T^{m,o}$ jejíž prvky jsou dány následovně $(\mathbb{A} \mathbb{B})_{k,\ell} := \sum_{j=1}^n \mathbb{A}_{k,j} \mathbb{B}_{j,\ell},$ pro každé $k\in\hat m$ a $\ell\in\hat o$.

Pokud se nad uvedenou sumou zamyslíme, tak vidíme, že prvek součinu $\mathbb{A}\mathbb{B}$ na $k$tém řádku a $\ell$tém sloupci vznikl tak, že jsme vzali $k$tý řádek matice $\mathbb{A}$ a $\ell$tý řádek matice $\mathbb{B}$ (tyto mají stejný počet prvků), vynásobili jsme je člen po členu (vnitřek sumy) a součiny sečetli (suma).

V tento okamžik se tato operace může zdát velmi "libovolná". Později během semestru si ukážeme, jak se k ní lze velmi přirozeně dostat při studiu lineárních zobrazení a jejich skládání.

V Sage této operaci odpovídá operátor * mezi maticemi správných rozměrů. Vezměmě konkrétní příklad.

A = matrix(QQ, [
    [1, 1/2, 1/3],
    [3, 2,   1]
])
B = matrix(QQ, [
    [-1, -1, -1],
    [1/2, 0, 1/2],
    [3,   4, 5]
])
show(A)
show(B)
print('Součin:')
show(A * B)

Součin:

Pojďme si tento výsledek podrobněji rozebrat a spočtěme prvek v prvním řádku a druhém sloupci. Ten by měl vzniknout tak, že vezme první řádek matice A a druhý sloupec matice B,

show(A[0, :])
show(B[:, 1])

vynásobíme je prvek po prvku a výsledky sečteme, dostaneme tak očekávaný výsledek

sum(A[0, j] * B[j, 1] for j in range(3)) # range(3) = {0, 1, 2}, více méně

1/3

Poznámka: Speciálně platí, že čtvercové matice stejného rozměru můžeme násobit dle libosti. Pro opakované násobení se přirozeně používá zkrácené značení $\mathbb{A}^k = \mathbb{A} \cdots \mathbb{A}$ ($k$ matic $\mathbb{A}$ vynásobených samo se sebou).

A = matrix([
    [1, 2],
    [3, 4]
])
show(A^5)

Poznámka: Další operací, kterou s maticemi lze provádět je inverze. Té se budeme věnovat později během semestru.

Poznámka: Operace násobení i sčítání matic jsou asociativní. Distributivita maticového násobení vůči sčítání také platí. Násobení matic ovšem není komutativní!!!

Následující výpočet není důkaz těchto tvrzení, pouze demonstrace o čem mluvíme.

A = matrix(QQ, [
    [1, 3],
    [1, 2]
])
B = matrix(QQ, [
    [1, -3],
    [3, 0]
])
C = matrix(QQ, [
    [0, -1],
    [1, 0]
])
print('A + (B + C) == (A + B) + C:')
print(A + (B + C) == (A + B) + C)
print('A * (B * C) == (A * B) * C:')
print(A * (B * C) == (A * B) * C)
print('A * (B + C) == (A * B) + (A * C):')
print(A * (B + C) == (A * B) + (A * C))
print('A * B != B * A:')
print(A * B == B * A)

A + (B + C) == (A + B) + C:
True
A * (B * C) == (A * B) * C:
True
A * (B + C) == (A * B) + (A * C):
True
A * B != B * A:
False

Opravdu, součiny těchto dvou matic jsou:

show(A * B)
show(B * A)

Dodatek: Další užitečné funkce

V tomto dodatku probereme pár užitečných způsobů jak konstruovat různé matice.

Matice s dvěma řádky a čtyřmi sloupci s náhodně zvolenými prvky z tělesa $GF(3)$.

show(random_matrix(GF(3), 2, 4))

Náhodná matice stejného rozměru, pouze s prvky zvolenými z tělesa racionálních čísel $\mathbb{Q}$.

show(random_matrix(QQ, 2, 4))

Nulová matice (matice se všemi prvky nulovými) s čtyřmi řádky a třemi sloupci.

show(zero_matrix(4, 3))

Matice rozměru $4 \times 4$ se všemi prvky rovnými $2$.

show(matrix(4, 4, 2))
matrix?

Jednotková matice (matice s jedničkami na diagonále a nulami všude jinde) rozměru $5 \times 5$.

show(identity_matrix(5, 5))

Uvedené funkce umožňují i další možnosti jak matice konstruovat. Zvídavý čtenář se může inspirovat v dokumentaci. Alespoň jeden zajímavý netriviální příklad si uveďme.

f = lambda i, j: 1/(1 + i + j) # funkce dvou proměnných, f(i, j) = 1/(1 + i + j)
m = matrix(QQ, 5, 5, f)        # matice mající prvky zkonstruované pomocí uvedené funkce
show(m)