Determinant

Tomáš Kalvoda, KAM FIT ČVUT, 2019

Definice determinantu

Pro čtvercovou matici $\mathbb{A} \in \mathbb{C}^{n,n}$ definujeme

$\det \mathbb{A} := \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\pi) \prod_{j=1}^n \mathbb{A}_{j,\pi(j)},$

kde $S_n$ je množina všech permutací množiny $\hat n := \{1,2,\ldots,n\}$ a $\mathrm{sgn}(\pi)$ ja znaménko permutace $\pi$. Je dobré si uvědomit, že suma v definici determinantu má $n!$ členů. I pro poměrně malá $n$ je tak výpočet determinantu pomocí této definice neefektivní.

Výpočet determinantu pro malé matice

Matice $1 \times 1$

Pro matici $1 \times 1$ je výpočet velmi triviální: existuje pouze jedna permutace množiny $\{1\}$, tj. identické zobrazení $\pi(1) = 1$, její znaménko je $1$ a proto $\det (\alpha) = 1 \cdot \alpha = \alpha$.

Ověřme si tento výsledek pomocí metody det na objektu typu matice (existuje i funkce det).

a = var('alpha')
m = matrix([a])
show(m)

show(m.det())

Matice $2 \times 2$ ("křížové pravidlo")

Existují dvě permutace množiny $\{1,2\}$, konkrétně opět identita a jedna transpozice ($1 \mapsto 2$, $2 \mapsto 1$). Identita má znaménko $1$ a transpozice $-1$. Suma v definici determinantu matice $2 \times 2$ má proto dva členy

$\det \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} = \alpha\delta - \beta \gamma.$

S2 = Permutations(2)
list(S2)

[[1, 2], [2, 1]]

a,b,c,d = var('alpha,beta,gamma,delta')
m = matrix([[a,b],[c,d]])
show(m)

show(det(m))

Matice $3 \times 3$ ("Sarrusovo pravidlo")

Existuje šest permutací množiny $\{1,2,3\}$, tři mají znaménko $1$ a tři znaménko $-1$. Suma v definici determinantu matice $3 \times 3$ má proto šest členů

$\det \begin{pmatrix} \alpha_1 & \beta_1 & \gamma_1 \\ \alpha_2 & \beta_2 & \gamma_2 \\ \alpha_3 & \beta_3 & \gamma_3 \end{pmatrix} = \alpha_1 \beta_2 \gamma_3 + \alpha_2 \beta_3 \gamma_1 + \alpha_3 \beta_1 \gamma_2 - \gamma_1 \beta_2 \alpha_3 - \gamma_2 \beta_3 \alpha_1 - \gamma_3 \beta_1 \alpha_2.$

Už pro takto malou matici je toto nepěkný výraz (pokud je matice "plná" a obsahuje malý počet nul). Je lepší matici nejprve vhodně upravit, případně použít rozvoj podle sloupce/řádku. Toto však není obsahem tohoto notebooku.

a1,b1,c1,a2,b2,c2,a3,b3,c3 = var('alpha1,beta1,gamma1,alpha2,beta2,gamma2,alpha3,beta3,gamma3')
m = matrix([[a1,b1,c1],[a2,b2,c2],[a3,b3,c3]])
show(m)

show(det(m).expand())

Další výpočty

SageMath samozřejmě umí vypočítat determinant i větších rozměrů. Na pozadí se ovšem nevyužívá přímo definice. Hodí se tak velmi k ověřování vlastních výsledků.

Například:

a,b = var('alpha,beta')
m = matrix([
    [1, -1, a, b,    0,  2],
    [0,  3, 2, 1/2,  0,  1],
    [2,  3, 0, 1,    2, -1],
    [0,  a, 1, 0,   -1,  2],
    [1,  1, 0, 2,    2,  0],
    [3, -2, 1, 0,    0,  0]
])
show(m)

show(det(m))