Jdi na navigaci předmětu

Často kladené dotazy (FAQ)

Tento text shrnuje nejčastější dotazy, problémy a omyly, na které studenti zejména na začátku semestru narážejí. Následující body nejsou vyčerpávající a mohou být doplňovány.

1. Zobrazení a funkce na

Hned na začátku zavádíme pojem ,,zobrazení na'' (resp. ,,funkce na''). Nejedná se o překlep, jak si řada studentů myslí. Ani jsme si tento pojem sami nevymysleli. Narazíte na něj v české literatuře celkem běžně. Často se také k označení této vlastnosti zobrazení používá cizí slovíčko ,,surjektivní'' (sur je francouzská předložka na).

Pro úplnost poznamenejme, že zobrazení $f: A \to B$ je na, právě když jeho obor hodnot je celé $B$ . Jinak řečeno pro každé $y \in B$ existuje $x \in A$ splňující $f(x) = y$ .

2. Na střední jsme to dělali/značili/nazývali jinak

To je možné a naprosto v pořádku. Neočekáváte ale přece, že všichni na celém světě budou ctít přístup, který jste na střední měli. Různí lidé mohou používát různé konvence a mít k tomu velmi dobré důvody.

Pokud studujete nějaký materiál, pak je rozumné se nejprve seznámit s jazykem, který tento materiál používá. Například v poznámkách k BI-ZMA je hned na začátku uveden seznam symbolů a na konci rejstřík pojmů umožňující snadno konkrétní definice dohledat.

Jako konkrétní případ uveďme pojmy týkající se monotonie funkcí a posloupností (rostoucí, ostře rostoucí, nerostoucí aj.). Existuje mnoho variant tohoto názvosloví. My používáme pouze jednu, aby nedocházelo ke zmatkům. Viz přednášky a poznámky k přednáškám.

Tato poznámka se netýká jenom matematiky ale platí naprosto obecně. Přeci neexistuje právě jeden programovací jazyk!

3. Inkluze

V předmětu BI-ZMA používáme pro inkluzi pouze symbol $\subset$ a nerozlišujeme mezi vlastní a nevlastní podmnožinou. Tj. inkluze $A \subset B$ platí právě tehdy, když každý prvek množiny $A$ patří do množiny $B$ . Speciálně pro libovolnou množinu platí $A \subset A$ . V celém kurzu bez problému vystačíme s tímto jedním pojmem.

V textech, kde se mezi vlastní a nevlastní podmnožinou rozlišuje, bývá zvykem k tomu využívat i speciální značení $A \subseteq B$ a $A \subsetneq B$ .

4. Definiční obory trigonometrických funkcí

Funkce $\sin$ , $\cos$ , $\mathrm{tg}$ nejsou prosté a tudíž k nim neexistují inverzní funkce. Lze je ovšem zúžit na obor, kde jsou prosté a k těmto prostým zúžením pak sestrojit inverzní funkce. Je ale nekonečně mnoho způsobů, jak tyto funkce zúžit a vyrobit tak prosté funkce. Standardní volba je následující

\arcsin = \left( \sin \Big|_{\langle -\pi/2, \pi/2 \rangle} \right)^{-1},

\arccos = \left( \cos \Big|_{\langle 0, \pi \rangle} \right)^{-1},

\mathrm{arctg} = \left( \mathrm{tg} \Big|_{( -\pi/2, \pi/2 )} \right)^{-1}.

Odtud plynou následující vztahy

D_{\arcsin} = \langle -1, 1 \rangle, \quad H_{\arcsin} = \langle -\pi/2, \pi/2 \rangle,

D_{\arccos} = \langle -1, 1 \rangle, \quad H_{\arccos} = \langle 0, \pi \rangle,

D_{\mathrm{arctg}} = \mathbb{R}, \quad H_{\mathrm{arctg}} = (-\pi/2, \pi/2).

5. Nula na nultou

Algebraický výraz $0^0$ definujeme jako $1$ . Nula v exponentu vyjadřuje prázdný součin (není co násobit) a výsledkem je proto neutrální prvek vůči násobení, tedy $1$ . Podobně u prázdné sumy je výsledkem $0$ , neutrální prvek vůči sčítání.

To ovšem neznamená, že každá limita "typu" $0^0$ je $1$ !

6. Nutná podmínka, směr implikace

Pokud platí implikace $A \Rightarrow B$ , pak o $B$ často mluvíme jako o nutné podmínce pro $A$ . Pokud $B$ neplatí, pak nutně nemůže platit $A$ (protože kdyby $A$ platilo, pak platí $B$ ).

Studenti mají často tendenci směr implikace obracet. Například na přednáškách si budeme formulovat následující větu: Pokud je řada $\sum_k a_k$ konvergentní, potom $\lim_k a_k = 0$ . Z nějakého neznámého důvodu pak někteří studenti v písemkách tvrdí, že pokud $\lim_k a_k = 0$ , pak je řada $\sum_k a_k$ konvergentní. To je samozřejmě holý nesmysl.

7. Přirozený definiční obor

Je-li funkce zadána předpisem $f(x)$ bez dalšího komentáře o definičním oboru, pak pod přirozeným definičním oborem funkce $f$ máme na mysli množinu všech reálných čísel, pro něž má výraz $f(x)$ smysl jakožto reálné číslo. Nedělám žádný průnik s přirozenými čísly!