FIT ČVUT Course Pages
BI-ZMA — Základy matematické analýzy
Jdi na navigaci předmětu

Příklad

Při počítání v SageMath musíme vytvořit symbolické proměnné využívané ve výpočtech.

var('k')
k
k + 1
k + 1
sqrt(k)
sqrt(k)
expr = sqrt(k^2 + 3*k) - sqrt(k^2 + 2*k + 3)

show(expr)
k2+3 k−k2+2 k+3\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\sqrt{k^{2} + 3 \, k} - \sqrt{k^{2} + 2 \, k + 3}

K výpočtu limity slouží příkaz limit.

limit(expr, k=oo)
1/2

Je-li důležitá celočíselnost proměnné, tj. jde-li skutečně o limitu posloupnosti, musíme zavést předpoklad celočíselnosti.

limit(sin(2*pi*k), k=oo)
ind
assume(k, 'integer')
limit(sin(2*pi*k), k=oo)
0
forget()

Ilustrace k prvnímu příkladu

d = [ expr.subs({k: kk}) for kk in range(1, 100) ]
  1. člen (indexuje se od nuly).
d[59]
-sqrt(3723) + 6*sqrt(105)
show(d[59])
−3723+6 105\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\sqrt{3723} + 6 \, \sqrt{105}

Poslední člen s přesností na deset cifer.

N(d[98], digits=10)
0.4788058465

Graf hodnot pomocí funkce list_plot.

list_plot(d, figsize=4, axes_labels=['$n$', '$a_n$'],
          gridlines=['automatic', [1/2]],
          ymin=0, ymax=1
)

Dokumentace:

list_plot?

Zdrojový kód:

list_plot??

Ilustrace k větě o limitě sevřené posloupnosti

Uvažme následující příklad.

limit(sin(k)/k, k=oo)
0

Pro každé přirozené nn platí totiž následující nerovnost,

−1n≤sin⁡(n)n≤1n.-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin(n)}{n} \leq \frac{1}{n}.

To lze snadno vizualizovat.

list_plot([ -1/k for k in range(1, 10)], color='blue') + \
list_plot([ sin(k)/k for k in range(1, 10)], color='red') + \
list_plot([ 1/k for k in range(1, 10)], color='green')

Algebraické úpravy

Vraťme se k prvnímu příkladu a prozkoumejme práci s příslušným výrazem a jeho úpravami.

show(expr)
k2+3 k−k2+2 k+3\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\sqrt{k^{2} + 3 \, k} - \sqrt{k^{2} + 2 \, k + 3}
expr2 = ( k - 3 ) / ( sqrt(k^2 + 3*k) + sqrt(k^2 + 2*k + 3) )
show(expr2)
k−3k2+3 k+k2+2 k+3\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{k - 3}{\sqrt{k^{2} + 3 \, k} + \sqrt{k^{2} + 2 \, k + 3}}
expr3 = ( 1 - 3/k ) / ( sqrt(1 + 3/k) + sqrt(1 + 2/k + 3/k^2) )
show(expr3)
−3k−13k+1+2k+3k2+1\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{\frac{3}{k} - 1}{\sqrt{\frac{3}{k} + 1} + \sqrt{\frac{2}{k} + \frac{3}{k^{2}} + 1}}

Kontrola správnosti provedených operací za uvedených předpokladů.

show(simplify(expr - expr2))
k2+3 k−k2+2 k+3−k−3k2+3 k+k2+2 k+3\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\sqrt{k^{2} + 3 \, k} - \sqrt{k^{2} + 2 \, k + 3} - \frac{k - 3}{\sqrt{k^{2} + 3 \, k} + \sqrt{k^{2} + 2 \, k + 3}}

Musíme SageMath přitlačit trochu víc...

(expr - expr2).full_simplify()
0

A následující rozdíl ještě více.

(expr2 - expr3).canonicalize_radical()
0

Výrazy a dosazování

expr
sqrt(k^2 + 3*k) - sqrt(k^2 + 2*k + 3)
expr.subs({k: 10})
sqrt(130) - sqrt(123)

Případně můžeme vytvořit "funkci",

a(k) = 1/k
a(10)
1/10