Jdi na navigaci předmětu

4. Sumace a Řady

V BI-ZMA se často pracuje s řadami a jejich částečnými součty. Nejprve se podívejme na částečné součty, s některými nám totiž může SageMath pomoci.

# budeme pracovat s následujícími symbolickými proměnnými
var('k,n,x')

Ověřme veleznámý součet prvních $n$ přirozených čísel.

expr = sum(k, k, 1, n)
show(expr)

\frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n

Příkaz sum vyžaduje čtyři argumenty: sčítaný výraz, sčítací index, dolní mez a horní mez. Výraz výše tedy přesně odpovídá zápisu pomocí sumy

\sum_{k=1}^n k.

Součet prvních $n$ členů jisté geometrické posloupnosti.

expr = sum(x^k, k, 0, n-1)
show(expr)

\frac{x^n - 1}{x - 1}

Dále sečtěme jeden ne tak často používaný součet.

expr = sum(k^2, k, 1, n)
show(expr)

\frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2} n^2 + \frac{1}{6}n

Nyní obraťme naši pozornost k mocninným řadám. Tedy limitám částečných součtů. Pokusme sečíst některé konvergentní mocninné řady.

sum(x^k / factorial(k), k, 0, infinity)

e^x

sum((-1)^k*x^(k+1)/(k+1),k, 0, infinity)

\log(x+1)

Naopak, zadáme-li funkci, pak se ji můžeme pokoušet v mocninnou Taylorovu řadu rozvíjet.

taylor(sin(x), x, 0, 10)

-> 1/362880*x^9 - 1/5040*x^7 + 1/120*x^5 - 1/6*x^3 + x

taylor(exp(x), x, 0, 10)

-> 1/3628800*x^10 + 1/362880*x^9 + 1/40320*x^8 + 1/5040*x^7 +
   1/720*x^6 + 1/120*x^5 + 1/24*x^4 + 1/6*x^3 + 1/2*x^2 + x + 1