4.2 Absolutní hodnota

Pro reálné číslo \(x\) klademe

Funkci \(|x|\) nazýváme absolutní hodnota. Zápis použitý v rovnici (4.4) je třeba interpretovat následovně: Pokud je dané \(x\) větší nebo rovno \(0\), pak je \(|x|\) definována jako \(x\) a v případě, že \(x\) je záporné, je \(|x|\) definována jako \(-x\). Graf absolutní hodnoty je vynesen na obrázku 4.1.

Shrňme nyní několik základních vlastností absolutní hodnoty. Definičním oborem absolutní hodnoty je zřejmě celá reálná osa, tj. \(D_{|x|} = \mathbb{R}\). Oborem hodnot absolutní hodnoty jsou všechny nezáporná reálná čísla, tedy \(H_{|x|} = \langle 0, +\infty)\). Skutečně, z definice (4.4) očividně plyne nerovnost \(|x| \geq 0\) pro každé \(x\) a na druhou stranu pro libovolné \(y \geq 0\) platí \(|y| = y\). Dále přímo z definice (4.4) jasně plyne, že pro každé reálné \(x\) a \(y\) platí

a (rozmyslete!) \begin{equation*} |x\cdot y| = |x| \cdot |y|, \quad \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} \quad \text{pokud} \ y\neq 0.\end{equation*}

Absolutní hodnota je (ostře) rostoucí funkce na intervalu \(\langle 0, +\infty)\) a (ostře) klesající funkce na intervalu \((-\infty, 0\rangle\). Přímo z definice také vidíme, že se jedná o sudou funkcí.

Další veledůležitou vlastností absolutní hodnoty je tzv. trojúhelníková nerovnost. Tu si pro její důležitost (v půlce semestru v BI-ZMA si zkuste uvědomit co vše jsme pomocí ní dokázali) zformulujeme jako samostatnou větu.