Zde shrnujeme nejčastější dotazy, problémy a omyly, na které studenti zejména na začátku semestru narážejí a na které lze upozornit již nyní.
To je možné a naprosto v pořádku. Neočekáváte ale přece, že všichni na celém světě budou ctít přístup, který jste na střední měli. Různí lidé mohou používat různé konvence a mít k tomu velmi dobré důvody.
Pokud studujete nějaký materiál, pak je rozumné se nejprve seznámit s jazykem, který tento materiál používá. Například v poznámkách k BI-ZMA je hned na začátku uveden seznam symbolů a na konci rejstřík pojmů umožňující snadno konkrétní definice dohledat.
Jako konkrétní případ uveďme pojmy týkající se monotonie funkcí a posloupností (rostoucí, ostře rostoucí, nerostoucí aj.). Existuje mnoho variant tohoto názvosloví. My používáme pouze jednu, aby nedocházelo ke zmatkům. Viz přednášky a poznámky k přednáškám.
Tato poznámka se netýká jenom matematiky ale platí naprosto obecně.
Nejen v předmětu BI-ZMA používáme pro inkluzi pouze symbol \(\subset\) a nerozlišujeme mezi vlastní a nevlastní podmnožinou. Tj. inkluze \(A \subset B\) platí právě tehdy, když každý prvek množiny \(A\) patří do množiny \(B\). Speciálně pro libovolnou množinu platí \(A \subset A\). V celém kurzu bez problému vystačíme s tímto jedním pojmem.
V textech, kde se mezi vlastní a nevlastní podmnožinou rozlišuje, bývá zvykem k tomu využívat i speciální značení \(A \subseteq B\) a \(A \subsetneq B\).
Funkce \(\sin\), \(\cos\), \(\mathrm{tg}\) nejsou prosté a tudíž k nim neexistují inverzní funkce. Lze je ovšem zúžit na obor, kde jsou prosté a k těmto prostým zúžením pak sestrojit inverzní funkce. Je ale nekonečně mnoho způsobů, jak tyto funkce zúžit a vyrobit tak prosté funkce. Standardní volba je následující \begin{equation*} \begin{aligned} \arcsin &= \left( \sin \Big|_{\langle -\pi/2, \pi/2 \rangle} \right)^{-1}, \\ \arccos &= \left( \cos \Big|_{\langle 0, \pi \rangle} \right)^{-1}, \\ \mathrm{arctg} &= \left( \mathrm{tg} \Big|_{( -\pi/2, \pi/2 )} \right)^{-1}. \end{aligned}\end{equation*} Odtud plynou následující vztahy \begin{equation*} \begin{aligned} D_{\arcsin} &= \langle -1, 1 \rangle, & H_{\arcsin} &= \langle -\pi/2, \pi/2 \rangle, \\ D_{\arccos} &= \langle -1, 1 \rangle, & H_{\arccos} &= \langle 0, \pi \rangle, \\ D_{\mathrm{arctg}} &= \mathbb{R}, & H_{\mathrm{arctg}} &= (-\pi/2, \pi/2). \end{aligned}\end{equation*}
Algebraický výraz \(0^0\) definujeme jako \(1\). Nula v exponentu vyjadřuje prázdný součin (není co násobit) a výsledkem je proto neutrální prvek vůči násobení, tedy \(1\). Podobně u prázdné sumy je výsledkem \(0\), neutrální prvek vůči sčítání.
Pokud platí implikace \(A \Rightarrow B\), pak o \(B\) často mluvíme jako o nutné podmínce pro \(A\). Pokud \(B\) neplatí, pak nutně nemůže platit \(A\) (protože kdyby \(A\) platilo, pak platí \(B\)).