4.4 Lineární funkce

Lineární funkcí⁴⁶ nazýváme každou funkci, pro níž existují konstanty \(a,b\in\mathbb{R}\) tak, že rovnost

Obrázek 4.3: Grafy několika lineárních funkcí.

Dle definice je definičním oborem lineární funkce celá reálná osa. Pokud \(a\neq 0\), pak oborem hodnot funkce (4.6) je opět celá reálná osa. V případě \(a = 0\) je oborem hodnot funkce (4.6) pouze jednobodová množina \(H_f = \{b\}\). Shrnuto \begin{equation*} \begin{aligned} D_f &= \mathbb{R}, \\ H_f &= \begin{cases} \mathbb{R}, & a\neq 0, \\ \{b\}, & a = 0. \end{cases} \end{aligned}\end{equation*} Speciální případ s nulovým \(a\), tj. \(f(x) = b\), nazýváme konstantní funkcí.

Průsečíky lineární funkce s osou \(x\) je snadné nalézt, například rovnice \(ax + b = 0\) má řešení \(x = \frac{-b}{a}\) za předpokladu, že \(a\) je nenulové. Pokud je \(a\) nulové a \(b\) nenulové, pak příslušná rovnice nemá žádné řešení a žádný průsečík s osou \(x\) neexistuje. V případě, že \(a\) je nulové a \(b\) taktéž, jedná se o nulovou funkci, jejíž graf splývá s osou \(x\).

Monotonie lineární funkce \(f(x) = ax+b\) závisí na hodnotě koeficientu \(a\), ten představuje směrnici přímky tvořené grafem funkce \(f\). Je-li \(a > 0\) (resp. \(a \geq 0\)), pak je \(f\) ostře rostoucí (resp. rostoucí). Je-li \(a < 0\) (resp. \(a \leq 0\)), pak je \(f\) ostře klesající (resp. klesající). Konečně, je-li \(a = 0\), pak je \(f\) rostoucí i klesající zároveň, tj. je konstantní.

Lineární funkce \(f(x) = ax + b\) je sudá pouze pokud \(a=0\). Lichá je právě tehdy, když její graf prochází bodem \((0,0)\), tj. když \(f(0) = 0\), nebo ekvivalentně \(b = 0\). Je periodická právě tehdy, když je konstantní (tj. \(a = 0\)). Všimněte si ale, že v tomto případě nemá nejmenší periodu, libovolné kladné číslo je její periodou!