Přípravný kurz matematiky

1.1 Nástrahy prvního ročníku a jak na ně 1.2 Obsah kurzu a použité konvence

2.1 Počítání a abstrakce 2.2 Struktura matematického textu 2.3 Co je to důkaz? 2.4 Ukázka několika důkazů 2.5 Co není důkaz?

3 Základní pojmy

3.1 Poznámka k matematické notaci 3.2 Množiny a operace s nimi 3.3 Číselné množiny 3.4 Význačné podmnožiny reálných čísel 3.5 Výroky a logické spojky 3.6 Zkrácené psaní součtů a součinů 3.7 Faktoriál a kombinační čísla 3.8 Významné konstanty

4 Elementární funkce

4.1 Co je to funkce? 4.2 Absolutní hodnota 4.3 Dolní a horní celá část 4.4 Lineární funkce 4.5 Kvadratická funkce 4.6 Polynomy (mnohočleny) 4.7 Odmocniny 4.8 Racionální lomená funkce 4.9 Trigonometrické funkce 4.10 Exponenciální a logaritmické funkce

5 Analytická geometrie

5.1 Základní pojmy 5.2 Přímka 5.3 Kružnice a elipsa

6 Časté problémy

6.1 Chytré kalkulačky jsou až moc chytré 6.2 Často kladené dotazy

7 Přehled použitého značení

Index Literatura

4.5 Kvadratická funkce

Kvadratickou funkcí nazýváme každou funkci, pro níž existují konstanty \(a,b,c\in\mathbb{R}\), s \(a \neq 0\) takové, že rovnost

\begin{equation}\label{eq-kvadraticka-fce}\tag{4.7} f(x) = ax^2 + bx + c\end{equation}

platí pro každé \(x\in\mathbb{R}\). Definičním oborem takovéto funkce je dle definice celá reálná osa \(\mathbb{R}\). Grafem kvadratické funkce je parabola, viz obrázek 4.4. Souřadnice jejího vrcholu snadno odhalíme po úpravě na čtverec:

\begin{align} a x^2 + bx + c & \href{Pokud úpravu nevidíte, pokuste se zjednodušit výraz na pravé straně rovnost. Dostanete výraz na levé straně?}{\class{mathpopup}{=}} a \Bigg( x^2 + 2 \cdot \frac{b}{2a} \cdot x + \Bigg(\frac{b}{2a} \Bigg)^{\!\!2}\, \Bigg) + c - \frac{b^2}{4a} = \nonumber \\ & \href{Kvůli tomuto jsme úpravu dělali, získáváme čtverec (kvadrát), kde je schované \(x\), které už jinde není.}{\class{mathpopup}{=}} a \Bigg( x + \frac{b}{2a} \Bigg)^{\!\!2} + c - \frac{b^2}{4a}.\label{eq-ctverce}\tag{4.8} \end{align}

Tato úprava je motivována jednoduchým požadavkem, aby se po ní nezávisle proměnná \(x\) vyskytovala pouze v umocňovaném výrazu (tzv. čtverci). Toho docílíme šikovným doplněním členů s \(x^2\) a \(x\) tak jak je to zde uvedeno.

Kvadrát závorky v (4.8) je vždy nezáporný. Odtud pak plyne, že vrchol paraboly se nachází v bodě o souřadnicích (horizontální souřadnice (\(x\)) vrcholu odpovídá odpovídá číslu, které vynuluje kvadrát) \begin{equation*} \Bigg( -\frac{b}{2a}, \, c - \frac{b^2}{4a} \Bigg).\end{equation*} Z rovnice (4.8) je patrné, že znaménko koeficientu \(a\) rozhoduje o tom, zda jsou všechny funkční hodnoty větší (menší) nebo rovny \(c-\frac{b^2}{4a}\). Oborem hodnot naší kvadratické funkce proto je \begin{equation*} H_f = \begin{cases} \left\langle c-\frac{b^2}{4a}, +\infty \right), & a > 0, \\ \left( -\infty, c-\frac{b^2}{4a} \right\rangle, & a < 0. \end{cases}\end{equation*} Pro průsečíky grafu funkce \(f\) s osou \(x\) platí známý vztah

\begin{equation}\label{eq-pruseciky}\tag{4.9} x_\pm = \frac{1}{2a} \Big( -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} \Big).\end{equation}

Rovnice \(ax^2 + bx + c = 0\) má tedy reálná řešení za předpokladu nezápornosti diskriminantu \(b^2 - 4ac\).

Důkaz vzorce pro kořeny kvadratické funkce :

Vzorec pro kořeny můžeme také odvodit z úpravy na čtverec. Hledáme-li kořeny, tj. řešení rovnice \(ax^2 + bx + c = 0\) a použijeme-li rovnosti (4.8) dostáváme \begin{equation*} \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}.\end{equation*} Odtud lze řešení vyjádřit následovně: \begin{equation*} x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2|a|}.\end{equation*} Díky znaménku \(\pm\) lze psát souhrnně \begin{equation*} x_{\pm} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\end{equation*} což je přesně hledaný vztah (4.9).

\(\square\)

Na tomto místě je vhodné zdůraznit, že korektních důkazů různých tvrzení může být více. Některé mohou být snazší, některé komplikovanější. Například pokud bychom chtěli pouze ověřit platnost předkládaného tvrzení, tedy že \(x_\pm\) dané vztahy (4.9) jsou skutečně kořeny kvadratické funkce (4.7) stačí postupovat následovně⁴⁷:

Alternativní důkaz vzorce pro kořeny kvadratické funkce :

Platnost vztahu (4.9) můžeme snadno ověřit prostým dosazením. Ukažme, že \(x_+\) je kořenem naší kvadratické funkce (4.7). \begin{equation*} \begin{aligned} a x_+^2 + b x_+ + c &= a \cdot \frac{1}{4a^2} \Bigg(\! -b + \sqrt{b^2 - 4ac} \Bigg)^{\!\! 2} + \frac{b}{2a} \Bigg( -b + \sqrt{b^2 - 4ac} \Bigg) + c = \\ &= \frac{1}{4a} \Bigg( b^2 - 2 b \sqrt{b^2 -4ac} + b^2 - 4ac \Bigg) - \frac{b^2}{2a} + \frac{b}{2a} \sqrt{b^2 - 4ac} + c = 0 \end{aligned}\end{equation*} Bod \(x_+\) je tedy kořenem! Zcela analogicky se dá ověřit, že bod \(x_-\) je taktéž kořenem paraboly (4.7).

\(\square\)

Obrázek 4.4: Ukázka grafů dvou kvadratických funkcí.

Otázka 18

Nechť \(a>b>0\). O číslech \(a\) a \(b\) říkáme, že jsou ve zlatém poměru⁴⁸, pokud poměr \(a+b\) ku \(a\) je stejný jako \(a\) ku \(b\). Jaký je tento poměr, tedy \(\varphi = \frac{a}{b}\)?

Odpověď:

\(\displaystyle\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\).