V této kapitole připomeneme definici intervalů a uvedeme několik pojmů popisujících vlastnosti podmnožin reálných čísel.
Intervaly představují důležité podmnožiny množiny reálných čísel. Pro \(a,b \in \mathbb{R}\), \(a < b\), zavádíme značení: \begin{equation*} \begin{aligned} (a,b) &= \href{Množina všech reálných \(x\), která jsou ostře větší než \(a\) a současně ostře menší než \(b\).}{\class{mathpopup}{\big\{ x \in \mathbb{R} \,\big|\, a < x < b \big\}}} & &\text{otevřený interval}, \\ \langle a,b \rangle &= \href{Množina všech reálných \(x\), která jsou větší nebo rovno \(a\) a současně menší nebo rovno \(b\).}{\class{mathpopup}{\big\{ x\in\mathbb{R} \,\big|\, a \leq x \leq b \big\}}} & &\text{uzavřený interval}, \\ \langle a,b ) &= \href{Množina všech reálných \(x\), která jsou větší nebo rovno \(a\) a současně ostře menší než \(b\).}{\class{mathpopup}{\big\{ x\in\mathbb{R} \,\big|\, a \leq x < b \big\}}} & &\text{polouzavřený interval}, \\ ( a,b \rangle &= \href{Množina všech reálných \(x\), která jsou ostře větší než \(a\) a současně menší nebo rovno než \(b\).}{\class{mathpopup}{\big\{ x\in\mathbb{R} \,\big|\, a < x \leq b \big\}}} & &\text{polouzavřený interval}, \\ ( a,+\infty) &= \href{Množina všech reálných \(x\), která jsou ostře větší než \(a\).}{\class{mathpopup}{\big\{ x\in\mathbb{R} \,\big|\, a < x \big\}}} & &\text{neomezený interval}. \end{aligned}\end{equation*} Podobně zavádíme neomezené intervaly \(\langle a,+\infty)\), \((-\infty, a)\) a \((-\infty, a\rangle\).
Dále pro podmnožiny reálné osy zavádíme následující, skoro až očividné, názvosloví.
Množinu \(A\subset\mathbb{R}\) nazýváme omezenou shora (resp. zdola), právě když existuje konstanta \(K\in\mathbb{R}\) taková, že pro každé \(x\in A\) platí \(x < K\) (resp. \(x > K\)). Množinu \(A\subset\mathbb{R}\) nazýváme omezenou, právě když je omezená shora i zdola zároveň.
Často potřebujeme porovnávat prvky množiny podle jejich velikosti. Důležitou roli pak hrají největší a nejmenší prvky, tzv. maxima a minima množiny. Přesná definice je následující.
Nechť \(A\subset\mathbb{R}\). Číslo \(a\in A\) nazýváme maximem množiny \(A\), právě když pro každé \(x\in A\) platí nerovnost \(x \leq a\). Číslo \(b \in A\) nazýváme minimem množiny \(A\), právě když pro každé \(x\in A\) platí nerovnost \(x \geq b\). Jinak řečeno, maximum (resp. minimum) množiny \(A\) reálných čísel je její prvek, který je větší (resp. menší) nebo roven než všechny ostatní prvky této množiny. Maximum (resp. minimum) množiny \(A\) také značíme \(\max A\) (resp. \(\min A\)).
Takto definované maximum (případně minimum) množiny nemusí vždy existovat. Například interval \((1,2)\) nemá ani minimum, ani maximum. Čísla \(1\) ani \(2\) skutečně nepatří do množiny \((1,2)\). S tímto faktem se občas studenti odmítají smířit, ale je tomu skutečně tak. Kdyby existovalo maximum množiny \((1,2)\), označme si ho \(a\), pak by toto \(a\) nutně muselo splňovat \(a < 2\) (jinak by do uvedeného intervalu nepatřilo, viz definici intervalu). Pak ale číslo \begin{equation*} \frac{a+2}{2} = a + \underbrace{\frac{2-a}{2}}_{>0}\end{equation*} je ostře větší než \(a\) a stále menší než \(2\). Patří proto do intervalu \((1,2)\) a \(a\) nemůže být maximem množiny \((1,2)\) (teď jsme udělali důkaz!).
Tento problém lze odstranit zavedením infima a suprema množiny, která představují zobecnění pojmů minimum a maximum. Podrobněji se jim budeme věnovat v přednáškách BI-ZMA.
Která z následujících množin je shora omezená, zdola omezená či omezená?
Určete maxima a minima následujících množin, pokud existují.
Má prázdná množina maximum a minimum?