Předchozí část textu se zabývala otázkou co je to důkaz a obsahovala několik konkrétních ukázek důkazů. V této sekci vypíchneme časté omyly související s důkazy. Budeme se tedy zabývat tím co není důkaz.
Pravdivost obecného tvrzení nelze založit na několika konkrétních příkladech podporujících jeho pravdivost. Oproti tomu pravdivost tvrzení lze vyvrátit udáním i jenom jednoho protipříkladu14.
Uveďme jako demonstrativní příklad tvrzení, s kterým přišel v roce 1650 Fermat15:
Pro libovolné \(n\in\mathbb{N}_0\) je číslo tvaru \(2^{2^n} + 1\) prvočíslo.
Prozkoumáním hodnot výrazu \(2^{2^n} + 1\) pro několik malých \(n\) dostáváme čísla: \(3\), \(5\), \(17\), \(257\), \(65\,537\), která skutečně jsou prvočísla. Ověřili jsme platnost tohoto tvrzení pro prvních pět případů. Z toho ovšem neplyne pravdivost tvrzení pro všechna \(n\)! Skutečně, hned následující hodnota pro \(n=6\) není prvočíslo,
Samozřejmě, příklady podporující dané tvrzení jsou také užitečné. Mohou člověka i navést na důkaz obecného tvrzení. Nelze z nich ale odvodit pravdivost původního tvrzení. Jak již bylo zmíněno, nelze například dokázat binomickou větu 2.6 tím, že ověříme její tvrzení pouze pro \(n=1,2,3\). To nic neříká o \(n=4,5,\ldots\)
Dalším častým úkazem je nepochopení způsobu vedení důkazu. Znovu zopakujme, že cílem je z předpokladů logickými kroky dospět k tvrzení věty/lemmatu/důsledku. Pokud důkaz studujete mělo by v něm být vidět kde a jak se předpoklady použily (není nic vtipnějšího než důkaz, v kterém se ani jednou neprojeví předpoklady věty). Pokusme se tento jev ilustrovat na dalším poměrně často se vyskytujícím omylu. Pro jednoduchost uvažme velmi jednoduché tvrzení: součet sudých čísel je sudé číslo. Pro úplnost dále připomeňme, že celé číslo \(k\) nazýváme sudé, právě když ho lze vyjádřit ve tvaru \(k = 2\ell\), kde \(\ell\) je nějaké jiné celé číslo (toto byla definice sudosti celého čísla). Jako důkaz by pak leckteří studenti napsali: „když sečtu dvě sudá čísla, tak musím zase dostat sudé číslo.“ Je toto důkaz? Samozřejmě není, jde přeci pouze o zopakování toho co se má dokázat, jen se tvrdí, že ono tvrzení musí platit. I kdyby to musí bylo napsáno velkým písmem a krví, tak to nebude důvod pro pravdivost daného tvrzení (důkaz). Správný (přímý) důkaz by vypadal takto: vezměme tedy dvě sudá čísla, třeba \(a,b \in \mathbb{Z}\). Jsou sudá a tedy dle definice existují nějaká celá čísla \(k\) a \(\ell\) splňující \(a = 2k\) a \(b = 2\ell\). Tudíž pro jejich součet podle distributivního zákona platí \begin{equation*} a + b = 2k + 2\ell = 2(k + \ell),\end{equation*} Když si nyní uvědomíme, že \(k + \ell\) je nějaké celé číslo, tak vidíme, že \(a+b\) je skutečně dvojnásobek nějakého celého čísla a podle definice je tedy sudé! Čtenář doufám nyní ocení rozdíl mezi „důkazem“ a skutečným důkazem v předchozích odstavcích. V předchozím odstavci se na základě předpokladů, definice sudosti a vlastností celých čísel (distributivní zákon, uzavřenost vůči sčítání) ukázalo, že ono tvrzení je skutečně pravdivé. Je krásně vidět co je k platnosti onoho tvrzení potřeba a čtenáři je to náležitě vysvětleno. Argumentace není zahalena jen prostým výkřikem, že to přece musí být pravda (navíc ona to u spousty takových výkřiků ani pravda nebude).
Na závěr upozorněme na význam slovíčka „zřejmý“. Tvrzení je zřejmé, právě když Vás okamžitě napadne jeho důkaz. Ne protože mu bezmezně věříte, ale vlastně nevíte proč platí.