2.3 Co je to důkaz?

Slovíčko důkaz vyvolává v řadě studentů iracionální odpor. V této kapitole se budeme snažit jeho pověst očistit. Důkaz není nic jiného než logický argument zajišťující platnost daného tvrzení. Je to odpověď na zvídavou otázku „proč?“ V této kapitole se pokusíme nastínit význam tohoto pojmu v širších souvislostech a ukážeme si některé jednoduché standardní důkazy.

Studenti na naší fakultu často přicházejí s názorem, že důkazy přeci nejsou potřeba, že stačí znát pouze tvrzení vět. To je však velmi krátkozraký přístup zejména z následujících důvodů.

• Jak již bylo řečeno, důkaz není nic jiného než logický argument. Vychází se z předpokladů a logickými kroky se dochází k závěrům. Studium důkazu proto zlepšuje nejen znalost zkoumaných objektů, ale i argumentační a vyjadřovací schopnosti. Rozvijí umění jednoznačně popsat a vyjádřit myšlenku.
• Důkaz studentovi odhaluje, proč dané tvrzení platí. Je pak snadnější zapamatovat si i dané tvrzení (např. jeho předpoklady). Bez studia důkazů student přichází o chápání souvislostí a uchyluje se k učení vět zpaměti (což pro něj není nijak obohacující⁷ ani zvládnutelné).
• Řada důkazů, zejména tzv. konstruktivních, dává přímo k dispozici návod (algoritmus) na řešení daného problému.
• O správnosti důkazu, resp. pravdivosti dokazovaného tvrzení, nerozhoduje nadřazená autorita (učitel, profesor, guru) ale jen a pouze logika. Je-li tvrzení dokázáno, je dokázáno navždy. Tato absolutnost matematiky je krásná. Pythagorova věta platí v Euklidovské geometrii navždy a nikdo na tom už nic nezmění.
• Stará a pravdivá anektoda říká, že matematika bez důkazů je jako fotbal bez míče. Důkaz, resp. činění závěrů podle logických pravidel, je skutečně ústředním objektem, bez kterého by celé snažení nemělo smysl – nevěděli bychom co je a co není pravda.

Zkrátka matematika bez důkazů nedává příliš smysl!