4.8 Racionální lomená funkce

Racionální lomená funkce je každá funkce tvaru \begin{equation*} f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)},\end{equation*} kde \(P\) a \(Q\) jsou polynomy. Obecně lze říci, že definičním oborem takovéto funkce je množina všech reálných čísel bez kořenů polynomu \(Q\), tj. \begin{equation*} D_f = \{ x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \neq 0 \}.\end{equation*} Mezi racionální lomené funkce patří lineární, kvadratické funkce a všechny polynomy. Skutečně, stačí volit \(Q(x) = 1\), pro \(x\in\mathbb{R}\) a \(P\) libovolný polynom.

Další známou podtřídou racionálních lomených funkcí jsou funkce tvaru \begin{equation*} f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)},\end{equation*} kde \(P(x) = ax + b\) je nenulový polynom stupně nejvýše jedna, \(Q(x) = cx+d\) je polynom stupně jedna a \(P\) i \(Q\) nemají společný kořen (kdyby tomu tak bylo, dostali bychom „konstantní“ funkci nedefinovanou v jednom jediném bodě). Grafem takovýchto funkcí je hyperbola s asymptotami \(y = \frac{a}{c}\) a \(x = -\frac{d}{c}\).

O oboru hodnot obecné racionální lomené funkce už není snadné jednoduše něco říci a tuto otázku proto vynecháme. Na několika příkladech si alespoň ukážeme, že mohou nastat velmi různorodé situace (viz obrázek 4.9).

Obrázek 4.9: Příklady racionálních lomených funkcí.