5.3 Kružnice a elipsa

Rovnici kružnice lze snadno sestavit, vzpomeneme-li si opět na Pythagorovu větu. Kružnice se středem v bodě \(C=(c_1,c_2)\) a poloměrem \(r>0\) je množina všech bodů \((x,y)\), jejichž vzdálenost od bodu \(C\) je rovna \(r\). Tedy \begin{equation*} \sqrt{(x-c_1)^2 + (y-c_2)^2} = r\end{equation*} resp. ekvivalentně \begin{equation*} (x-c_1)^2 + (y-c_2)^2 = r^2.\end{equation*} Tato situace je podrobně znázorněna na obrázku 5.3.

Obrázek 5.3: Kružnice se středem v bodě \((c_1,c_2) \in \mathbb{R}^2\) a poloměrem \(r>0\).

Rovnice elipsy má tvar \begin{equation*} \frac{(x-c_1)^2}{a^2} + \frac{(y-c_2)^2}{b^2} = 1,\end{equation*} kde \(a\) a \(b\) jsou kladné parametry a \(A = (c_1,c_2)\) je střed elipsy. Parametry \(a\) a \(b\) udávají délku hlavní a vedlejší poloosy. Pokud je \(a=b\), dostáváme samozřejmě kružnici. Ilustrace typické elipsy je na obrázku 5.4.

Obrázek 5.4: Elipsa se středem v bodě \((c_1,c_2) \in \mathbb{R}^2\), hlavní poloosou \(b\) a vedlejší poloosou \(a\), \(0 < a < b\).

Pokud chceme elipsu, resp. kružnici, explicitně vyjádřit pomocí parametrizace, stačí si vzpomenout na definici funkcí \(\sin\) a \(\cos\) využívající jednotkové kružnice.

Kružnice se středem v bodě \(C = (c_1, c_2)\) a poloměrem \(r\) je množina bodů \begin{equation*} \{ (c_1 + r \cos t, c_2 + r \sin t) \mid t \in \langle 0, 2\pi) \}.\end{equation*} Při této volbě s parametrem \(t\) měnícím se od \(0\) od \(2\pi\) obíháme kružnici proti směru hodinových ručiček a začínáme i končíme v bodě \((c_1 + r, c_2)\).

Podobně, pro elipsu se středem v bodě \((c_1, c_2)\) a poloosami \(a,b\) rovnoběžnými se souřadnými osami máme vyjádření \begin{equation*} \{ (c_1 + a \cos t, c_2 + b \sin t) \mid t \in \langle 0, 2\pi) \}.\end{equation*}