4.7 Odmocniny

Uvažme nyní reálné číslo \(a\) a přirozené číslo \(n\). Pomocí přirozené mocniny definujeme přirozené odmocniny jako jisté (viz níže) reálné řešení rovnice \(x^n=a\). Toto řešení pak označujeme symbolicky následujícími dvěma způsoby \begin{equation*} a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}, \quad n\in\mathbb{N},\end{equation*} Je nutné rozlišit případy lichého a sudého \(n\) a rozmyslet si v jakých případech tato konstrukce má dobrý smysl.

4.7.1 Sudá odmocnina

Je-li \(n=2k\), \(k\in\mathbb{N}\), sudé, pak \(x^n\geq 0\) pro všechna \(x\in\mathbb{R}\), což znamená, že rovnice \(x^n = a\) má reálné řešení jen pro \(a\geq 0\). Tato situace je graficky znázorněna na obrázku 4.5.

Obrázek 4.5: Ke konstrukci sudé odmocniny čísla \(a\).

Pro \(a>0\) jsou tato řešení právě dvě, neboť \(x^{2k}=(-x)^{2k}\). Sudou odmocninu \(\sqrt[2k]{a}\) definujeme jako nezáporné řešení rovnice \(x^{2k} = a\). Proto například \(\sqrt{x^2}\) je rovna \(|x|\) a nikoli \(x\). Pro \(a=0\) je toto řešení právě jedno a tedy \(\sqrt[2k]{0} = 0\).

Z výše uvedeného je patrné, že definičním oborem i oborem hodnot funkce \(\sqrt[2k]{x}\) je množina \(\langle 0, +\infty)\). Dále platí rovnosti \begin{equation*} \sqrt[2k]{x^{2k}} = \left(\sqrt[2k]{x}\right)^{2k} = x \quad \text{pro každé} \ x \geq 0.\end{equation*} Jinak řečeno, \(\sqrt[2k]{x}\) je inverzní funkcí k \(x^2\) zúžené na množinu \(\langle 0,+\infty)\). Viz obrázek 4.6. Těmito pojmy se podrobněji budeme zabývat v BI-ZMA.

Obrázek 4.6: Druhá mocnina a druhá odmocnina.

4.7.2 Lichá odmocnina

Je-li \(n=2k-1,k\in\mathbb{N}\), liché, pak rovnice \(x^{2k-1} = a\) má jediné řešení, o kterém mluvíme jako o liché odmocnině a značíme ji opět \(\sqrt[2k-1]{a}\). Například \(\sqrt[3]{-8}=-2\). Viz obrázek 4.7.

Obrázek 4.7: Konstrukce liché odmocniny čísla \(a\).

Definičním oborem i oborem hodnot liché odmocniny je celá množina \(\mathbb{R}\). Lichá mocnina a příslušná lichá odmocnina jsou k sobě navzájem inverzní, tedy platí \begin{equation*} \sqrt[2k-1]{x^{2k-1}} = \left(\sqrt[2k-1]{x}\right)^{2k-1} = x \quad \text{pro každé} \ x \in \mathbb{R}.\end{equation*} Pro ilustraci viz obrázek 4.8.

Obrázek 4.8: Třetí mocnina a třetí odmocnina.