Uvažme nyní reálné číslo a a přirozené číslo n. Pomocí přirozené mocniny definujeme přirozené odmocniny jako jisté (viz níže) reálné řešení rovnice xn=a. Toto řešení pak označujeme symbolicky následujícími dvěma způsoby a1n=n√a,n∈N, Je nutné rozlišit případy lichého a sudého n a rozmyslet si v jakých případech tato konstrukce má dobrý smysl.
Je-li n=2k, k∈N, sudé, pak xn≥0 pro všechna x∈R, což znamená, že rovnice xn=a má reálné řešení jen pro a≥0. Tato situace je graficky znázorněna na obrázku 4.5.
Pro a>0 jsou tato řešení právě dvě, neboť x2k=(−x)2k. Sudou odmocninu 2k√a definujeme jako nezáporné řešení rovnice x2k=a. Proto například √x2 je rovna |x| a nikoli x. Pro a=0 je toto řešení právě jedno a tedy 2k√0=0.
Z výše uvedeného je patrné, že definičním oborem i oborem hodnot funkce 2k√x je množina ⟨0,+∞). Dále platí rovnosti 2k√x2k=(2k√x)2k=xpro každé x≥0. Jinak řečeno, 2k√x je inverzní funkcí k x2 zúžené na množinu ⟨0,+∞). Viz obrázek 4.6. Těmito pojmy se podrobněji budeme zabývat v BI-ZMA.
Je-li n=2k−1,k∈N, liché, pak rovnice x2k−1=a má jediné řešení, o kterém mluvíme jako o liché odmocnině a značíme ji opět 2k−1√a. Například 3√−8=−2. Viz obrázek 4.7.
Definičním oborem i oborem hodnot liché odmocniny je celá množina R. Lichá mocnina a příslušná lichá odmocnina jsou k sobě navzájem inverzní, tedy platí 2k−1√x2k−1=(2k−1√x)2k−1=xpro každé x∈R. Pro ilustraci viz obrázek 4.8.