Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

4.7 Odmocniny

Uvažme nyní reálné číslo a a přirozené číslo n. Pomocí přirozené mocniny definujeme přirozené odmocniny jako jisté (viz níže) reálné řešení rovnice xn=a. Toto řešení pak označujeme symbolicky následujícími dvěma způsoby a1n=na,nN, Je nutné rozlišit případy lichého a sudého n a rozmyslet si v jakých případech tato konstrukce má dobrý smysl.

4.7.1 Sudá odmocnina

Je-li n=2k, kN, sudé, pak xn0 pro všechna xR, což znamená, že rovnice xn=a má reálné řešení jen pro a0. Tato situace je graficky znázorněna na obrázku 4.5.

Obrázek 4.5: Ke konstrukci sudé odmocniny čísla a.

Pro a>0 jsou tato řešení právě dvě, neboť x2k=(x)2k. Sudou odmocninu 2ka definujeme jako nezáporné řešení rovnice x2k=a. Proto například x2 je rovna |x| a nikoli x. Pro a=0 je toto řešení právě jedno a tedy 2k0=0.

Z výše uvedeného je patrné, že definičním oborem i oborem hodnot funkce 2kx je množina 0,+). Dále platí rovnosti 2kx2k=(2kx)2k=xpro každé x0. Jinak řečeno, 2kx je inverzní funkcí k x2 zúžené na množinu 0,+). Viz obrázek 4.6. Těmito pojmy se podrobněji budeme zabývat v BI-ZMA.

Obrázek 4.6: Druhá mocnina a druhá odmocnina.

4.7.2 Lichá odmocnina

Je-li n=2k1,kN, liché, pak rovnice x2k1=a má jediné řešení, o kterém mluvíme jako o liché odmocnině a značíme ji opět 2k1a. Například 38=2. Viz obrázek 4.7.

Obrázek 4.7: Konstrukce liché odmocniny čísla a.

Definičním oborem i oborem hodnot liché odmocniny je celá množina R. Lichá mocnina a příslušná lichá odmocnina jsou k sobě navzájem inverzní, tedy platí 2k1x2k1=(2k1x)2k1=xpro každé xR. Pro ilustraci viz obrázek 4.8.

Obrázek 4.8: Třetí mocnina a třetí odmocnina.