4.7 Odmocniny

Uvažme nyní reálné číslo $a$ a přirozené číslo $n$. Pomocí přirozené mocniny definujeme přirozené odmocniny jako jisté (viz níže) reálné řešení rovnice $x^n=a$. Toto řešení pak označujeme symbolicky následujícími dvěma způsoby $$\begin{equation*} a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}, \quad n\in\mathbb{N},\end{equation*}$$ Je nutné rozlišit případy lichého a sudého $n$ a rozmyslet si v jakých případech tato konstrukce má dobrý smysl.

4.7.1 Sudá odmocnina

Je-li $n=2k$, $k\in\mathbb{N}$, sudé, pak $x^n\geq 0$ pro všechna $x\in\mathbb{R}$, což znamená, že rovnice $x^n = a$ má reálné řešení jen pro $a\geq 0$. Tato situace je graficky znázorněna na obrázku 4.5.

Obrázek 4.5: Ke konstrukci sudé odmocniny čísla $a$.

Pro $a>0$ jsou tato řešení právě dvě, neboť $x^{2k}=(-x)^{2k}$. Sudou odmocninu $\sqrt[2k]{a}$ definujeme jako nezáporné řešení rovnice $x^{2k} = a$. Proto například $\sqrt{x^2}$ je rovna $|x|$ a nikoli $x$. Pro $a=0$ je toto řešení právě jedno a tedy $\sqrt[2k]{0} = 0$.

Z výše uvedeného je patrné, že definičním oborem i oborem hodnot funkce $\sqrt[2k]{x}$ je množina $\langle 0, +\infty)$. Dále platí rovnosti $$\begin{equation*} \sqrt[2k]{x^{2k}} = \left(\sqrt[2k]{x}\right)^{2k} = x \quad \text{pro každé} \ x \geq 0.\end{equation*}$$ Jinak řečeno, $\sqrt[2k]{x}$ je inverzní funkcí k $x^2$ zúžené na množinu $\langle 0,+\infty)$. Viz obrázek 4.6. Těmito pojmy se podrobněji budeme zabývat v BI-ZMA.

Obrázek 4.6: Druhá mocnina a druhá odmocnina.

4.7.2 Lichá odmocnina

Je-li $n=2k-1,k\in\mathbb{N}$, liché, pak rovnice $x^{2k-1} = a$ má jediné řešení, o kterém mluvíme jako o liché odmocnině a značíme ji opět $\sqrt[2k-1]{a}$. Například $\sqrt[3]{-8}=-2$. Viz obrázek 4.7.

Obrázek 4.7: Konstrukce liché odmocniny čísla $a$.

Definičním oborem i oborem hodnot liché odmocniny je celá množina $\mathbb{R}$. Lichá mocnina a příslušná lichá odmocnina jsou k sobě navzájem inverzní, tedy platí $$\begin{equation*} \sqrt[2k-1]{x^{2k-1}} = \left(\sqrt[2k-1]{x}\right)^{2k-1} = x \quad \text{pro každé} \ x \in \mathbb{R}.\end{equation*}$$ Pro ilustraci viz obrázek 4.8.

Obrázek 4.8: Třetí mocnina a třetí odmocnina.