Pod pojmem množiny rozumíme sadu objektů zadanou výčtem, nebo pomocí vlastnosti, kterou musí prvky množiny splňovat24. Pokud je počet prvků malý, nebo je lze jednoduše vyjmenovat, píšeme například
Prázdnou množinu, tj. množinu neobsahující žádné prvky, označujeme symbolem \(\emptyset\). Pomocí výčtového zápisu množiny uvedeného výše můžeme psát \begin{equation*} \emptyset = \{\}.\end{equation*} Naopak ovšem množina \(\{\emptyset\}\) je množina obsahující prázdnou množinu, \(\emptyset \in \{\emptyset\}\), a není proto prázdná. Lidé občas také zaměňují symbol pro prázdnou množinu, \(\emptyset\), se symbolem pro číslo nula, \(0\). To je velký omyl potenciálně vedoucí k nepřesnostem a nepochopení. Je pravda, že počet prvků množiny \(\emptyset\) je \(0\). Ale \(0\) není prázdná množina, ani \(\emptyset\) není \(0\).
Je-li \(N\) množina a \(A(x)\) výrok o prvku \(x\) z množiny \(N\) pak množina \begin{equation*} C = \{ x\in N \mid A(x) \}\end{equation*} je tvořena všemi \(x\in N\), pro které je výrok \(A(x)\) pravdivý. Zde \(A(x)\) označuje tvrzení, jehož pravdivost či nepravdivost závisí na hodnotě proměnné \(x\). Jako příklad můžeme uvést \(N = \Z\) a \(A(x)\) nechť je tvrzení „\(x\) je sudé číslo“. Potom \(A(2)\) je pravda ale \(A(3)\) nikoliv. Například množinu všech sudých celých čísel můžeme popsat následovně \begin{equation*} D = \{ m \in \mathbb{Z} \mid m \ \text{je dělitelné dvěma} \}.\end{equation*} Pomocí výčtu bychom lehce nepřehledně25 mohli psát \(D = \{\ldots,-4,-2,0,2,4,\ldots\}\).
Množiny můžeme porovnávat podle toho, jaké obsahují prvky. O množině \(A\) řekneme, že je podmnožinou množiny \(B\), právě když každý prvek množiny \(A\) patří také do množiny \(B\). V tom případě pak píšeme \(A \subset B\), nebo \(B \supset A\). Vlastnost být podmnožinou představuje tzv. uspořádání mezi množinami. Toto uspořádání je neúplné v tom smyslu, že existují (snad si takové vymyslíte) množiny \(A\) a \(B\) pro které neplatí \(A \subset B\) ani \(B \subset A\).
Na tomto místě upozorněme na časté nedorozumění. Množinová inkluze (vlastnost být podmnožinou) zavedené výše není ostrá. Přesněji, pro každou množinu \(A\) platí \(A \subset A\). Tj. z inkluze \(A \subset B\) nutně neplyne, že \(B\) obsahuje nějaký prvek nepatřící do \(A\). Tato poznámka souvisí s poznámkou 3.1. V zásadě jsou dva přístupy ke značení ostré (nepřipouští rovnost) a neostré (připouští rovnost) inkluze:
O dvou množinách \(A\) a \(B\) říkáme, že jsou jsou si rovny (nebo jsou „stejné“), právě když \(A \subset B\) a současně \(B \subset A\). Rovnost množin přirozeně zapisujeme jako \(A = B\). Toto vyjádření rovnosti nám přímo dává návod jak případně dokazovat rovnost dvou množin, stačí ověřit obě inkluze. Pokud si dvě množiny \(A\) a \(B\) nejsou rovné, pak tento fakt přirozeně symbolicky zapisujeme jako \(A \neq B\).
Připomeňme základní operace s množinami. Máme-li dvě množiny \(A\) a \(B\), podmnožiny jisté množiny \(X\), pak jejich průnik definujeme jako množinu všech prvků, které patří zároveň do \(A\) i do \(B\). Průnik dvou množin značíme symbolem \(A \cap B\). Symbolicky tedy tuto množinu můžeme popsat jako \begin{equation*} A \cap B := \href{Množina všech prvků \(x\) z množiny \(X\) takových, že \(x\) patří do množiny \(A\) a současně do množiny \(B\).}{\class{mathpopup}{\{ x \in X \mid x\in A \ \text{a} \ x \in B \}}} .\end{equation*}
Sjednocení dvou množin \(A\) a \(B\) je tvořeno všemi prvky, které patří do \(A\) nebo26 do \(B\). Značíme ho symbolem \(A \cup B\) a lze tedy psát \begin{equation*} A \cup B := \href{Množina všech prvků \(x\) z množiny \(X\) takových, že \(x\) patří do množiny \(A\) nebo do množiny \(B\).}{\class{mathpopup}{\{ x \in X \mid x \in A \ \text{nebo} \ x \in B \}}} .\end{equation*} Tyto dvě operace lze přirozeně zobecnit na libovolný počet množin. Nechť \(I\) je libovolná (tzv. indexová) množina a pro každé \(i \in I\) je \(A_i\) jistá množina. Potom klademe \begin{equation*} \begin{aligned} \bigcap_{i\in I} A_i &:= \{ x \mid x\in A_i \ \text{pro každé} \ i\in I \}, \\ \bigcup_{i\in I} A_i &:= \{ x \mid \text{existuje} \ i \in I \ \text{tak, že} \ x \in A_i \}. \end{aligned}\end{equation*}
Mějme dvě množiny \(A = \{1,\triangle\}\) a \(B = \{2,\triangle,\square\}\). Potom platí \(A \cup B = B \cup A = \{1,2,\triangle,\square\}\) a \(A \cap B = B \cap A = \{\triangle\}\).
Zvolme například pro každé přirozené \(i\) množiny \begin{equation*} A_i = \left(1, 1 + \frac{1}{i} \right).\end{equation*} Množina \(A_i\) je tedy otevřený interval od \(1\) do \(1 + \frac{1}{i}\). Určeme průnik a sjednocení všech těchto množin, \begin{equation*} \bigcap_{i\in\mathbb{N}} A_i = \emptyset \quad \text{a} \quad \bigcup_{i\in\mathbb{N}} A_i = (1,2).\end{equation*} Rozmyslete!
Další důležitou množinovou operací je rozdíl. Rozdíl dvou množin \(A \setminus B\) je tvořen všemi prvky množiny \(A\), které nepatří do \(B\). Symbolicky zapsáno \begin{equation*} A \smallsetminus B := \href{Množina všech \(x\) z množiny \(A\), které nepatří do množiny \(B\).}{\class{mathpopup}{\{ x \in A \mid x \notin B \}}} .\end{equation*} Pokud se bavíme o podmnožině \(A\) jisté pevně zvolené množiny \(X\), pak množinu \(A^c := X \smallsetminus A\) stručně nazýváme doplňkem množiny \(A\). Musí být ale předem jasné, jak je zvoleno \(X\)!
Pro množiny \(A = (1, 3)\) a \(B = \langle 2, 4)\) určete rozdíly \(A \smallsetminus B\) a \(B \smallsetminus A\).
Všimněte si, že zatímco pro libovolné dvě množiny \(A\) a \(B\) platí \begin{equation*} A \cup B = B \cup A \quad \text{a} \quad A \cap B = B \cap A,\end{equation*} pro rozdíl dvou množin tato vlastnost (komutativita) neplatí. Tedy obecně je množina \(A \smallsetminus B\) různá od množiny \(B \smallsetminus A\).
Další základní operací na množinách je kartézský součin množin27. Pro libovolné dvě množiny \(A\) a \(B\) je jejich kartézský součin, označujeme ho \(A \times B\), tvořen všemi uspořádanými dvojicemi28 prvků z \(A\) a \(B\), tj. dvojicemi \((a,b)\) kde \(a \in A\) a \(b \in B\). O \(a\) (resp. \(b\)) mluvíme jako o první (resp. druhé) složce uspořádané dvojice \((a,b)\). Přesněji \begin{equation*} A \times B := \big\{ (a,b) \,\big|\, a\in A \ \text{a} \ b\in B \big\}.\end{equation*} Kartézský součin lze zavést i pro více množin. Například pod \(A \times B \times C\) rozumíme množinu všech uspořádaných trojic prvků z \(A\), \(B\) a \(C\).
Uvažme dvě množiny \(A = \{1,2\}\) a \(B = \{\triangle, \square, \nabla\}\). Potom množina \(A \times B\) má \(2 \cdot 3 = 6\) prvků a platí \begin{equation*} A \times B = \big\{(1,\triangle), (1,\square), (1, \nabla), (2,\triangle), (2,\square), (2,\nabla)\big\}.\end{equation*} Podobně \(B \times A\) má \(3 \cdot 2 = 6\) prvků a platí \begin{equation*} B \times A = \big\{(\triangle, 1), (\triangle, 2), (\square, 1), (\square, 2), (\nabla, 1), (\nabla, 2) \big\}.\end{equation*} Očividně \(A \times B \neq B \times A\). Tyto množiny obsahují zcela jiné prvky.
Notoricky známým kartézským součinem je množina \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\), kterou zkráceně označujeme \(\mathbb{R}^2\) a představujeme si ji jako idealizaci roviny.
Pokud má množina \(A\) \(m\) prvků a množina \(B\) \(n\) prvků, kolik prvků mají množiny \(A \times B\) a \(B \times A\)?