6.1 Chytré kalkulačky jsou až moc chytré

6.1.1 Jak to, že \(\ln(-1)\) , či \(\sin(\ii)\) , jsou vyhodnoceny a nevracejí chybu?

Prakticky všechny elementární funkce lze rozšířit takřka na celou množinu komplexních čísel. Ano, platí \(\ln(-1) = \ii\pi\) a \(\sin(\ii) = \ii \sinh(1)\). Komplexní analýzou se však v BI-ZMA z časových důvodů zabývat nemůžeme. Na přednášce však alespoň zmíníme, jak definovat \(e^z\) pro libovolné komplexní \(z\).

Například Mathematica implicitně pracuje v „komplexním režimu“. To může být pro neznalého uživatele velmi matoucí.

6.1.2 Jak to, že \(\sqrt[3]{-1}\) je vyhodnocena jako \(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\ii\) a ne jako \(-1\) ?

Pokud jste zvídaví, snadno ověříte, že tento výsledek není špatný: \begin{equation*} \begin{aligned} \Bigg( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \ii \Bigg)^{\!\!3} &= \Bigg( \underbrace{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}\ii - \frac{3}{4}}_{-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\ii} \Bigg) \cdot \Bigg( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \ii \Bigg) = \\ &= -\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = -1. \end{aligned}\end{equation*} „Problém“ tkví v tom, že v komplexních číslech má úloha \begin{equation*} z^3 = -1, \quad z\in\CC,\end{equation*} celkem tři řešení. To, které jsme dostali, je tzv. principiální řešení – řešení s nejmenším „argumentem“. Opět, komplexní analýzou se v BI-ZMA zabývat nebudeme.

6.1.3 Rovnost v CAS Mathematica

V CAS Mathematica mají různé symboly rovnosti následující význam.

• Symbol == se používá ve smyslu logické rovnosti (porovnání, zápis rovnic).
• Symbol = se používá ve smyslu přiřazení.
• Symbol := má význam „opožděného vyhodnocení“.

a = 4;
b = a;
Print[b]
a = 2;
Print[b]

4
4

a = 4;
b := a;
Print[b]
a = 2;
Print[b]

4
2