5.2
Přímka
Nejjednodušším geometrickým útvarem (mimo bod samotný) je přímka. K úplnému popsání přímky \(p\) stačí zadat bod \(A = (A_1, A_2) \in \mathbb{R}^2\), kterým přímka prochází, a směr, ve kterém přímka běží, tedy nenulový vektor \(\vec a = (a_1, a_2)\). Přímka \(p\) je pak tvořena všemi body se souřadnicemi
\begin{equation}\label{eq-rce-primky}\tag{5.2}
(x,y) = A + t\cdot\vec a, \quad t\in\R,\end{equation}
případně po složkách
\begin{align*}
x &= A_1 + t a_1, \\ y &= A_2 + t a_2, \quad t \in \R.\end{align*}
Číslu \(t\) se říká parametr, neboť parametrizuje body na přímce. Všimněme si, že omezíme-li množinu, ze které bereme hodnoty \(t\), dostaneme pouze části přímky. Například pro \(t \in \langle 0,+\infty)\) dostáváme polopřímku začínající v bodě \(A\) a mířící ve směru \(\vec a\), zatímco pro \(t\in\langle 0,1 \rangle\) dostaneme úsečku spojující body \(A\) a \(A + \vec a\). Tento explicitní způsob zadání přímky, tj. pomocí rovnice
(5.2), se často nazývá
parametrické vyjádření přímky (dle dříve zmíněného jde o explicitní vyjádření).
Zmiňme nyní alternativní implicitní způsob popisu přímky. Přímka je tvořena všemi body se souřadnicemi \((x,y)\), které splňují rovnici přímky
\begin{equation}\label{eq-rceprimky}\tag{5.3}
ax + by + c = 0.\end{equation}
Konstanty \(a,b,c\) jsou parametry dané přímky. V rovnici
(5.3) vystupují symboly \(x\) a \(y\) jako neznámé. Bod \((\alpha,\beta)\) na zadané přímce leží, právě když po dosazení \(\alpha\) za \(x\) a \(\beta\) za \(y\) do
(5.3) dostaneme platnou rovnost (\(0=0\)). Rozeberme konkrétněji příklad přímky \(p\) zadané rovnicí
\begin{equation}\label{eq-primka-ex}\tag{5.4}
x - 2y + 1 = 0.\end{equation}
Bod \((1,2)\) na přímce \(p\) neleží, protože po dosazení do
(5.4) dostáváme \(-2 = 0\), což není pravda. Naopak body \((-1,0)\) a \((0,1/2)\) po dosazení dávají \(0=0\) a na přímce tedy leží. Dva body nám stačí k načrtnutí přímky.
Předpokládáme, že čtenář umí přecházet od parametrického popisu přímky k její rovnici a naopak.
Otázka
26
Udejte rovnici přímky zadané parametricky: \((x,y) = (1,2) + (2t,-t)\), \(t\in\mathbb{R}\).
Odpověď:
\(x+2y-5=0\).
Otázka
27
Udejte parametrické vyjádření přímky zadané rovnicí \(3x-2y+1=0\).
Odpověď:
\((x,y) = (-1,-1) + t\cdot(2,3)\).
Otázka
28
Sestrojte rovnici přímky procházející body \((1,-3)\) a \((2,4)\).
Odpověď:
\(7x - y - 10 = 0\).