4.3 Dolní a horní celá část

Dalšími často používanými a užitečnými funkcemi jsou dolní celá část a horní celá část reálného čísla.

Dolní celá část reálného čísla \(x\) je definována jako největší celé číslo menší nebo rovné \(x\) a značíme ji \(\lfloor x \rfloor\). Podobně horní celá část reálného čísla \(x\) je definována jako nejmenší celé číslo větší nebo rovné \(x\) a značíme ji \(\lceil x \rceil\). Explicitně bychom tedy mohli psát (pouze symbolicky vyjádříme to co jsme v předchozích větách uvedli slovně; viz definici 3.11): \begin{equation*} \begin{aligned} \lfloor x \rfloor & \href{Zápis na pravé straně jen v symbolické formě opakuje to co bylo napsáno v předchozím odstavci. Máme zde množinu všech celých čísel \(m\), která jsou menší nebo rovna \(x\) a z této množiny vezmeme její největší prvek (maximum).}{\class{mathpopup}{=}} \max \{ m \in \Z \mid m \leq x \}, \\ \lceil x \rceil & \href{Zápis na pravé straně jen v symbolické formě opakuje to co bylo napsáno v předchozím odstavci. Máme zde množinu všech celých čísel \(m\), která jsou větší nebo rovna \(x\) a z této množiny vezmeme její nejmenší prvek (minimum).}{\class{mathpopup}{=}} \min \{ m \in \Z \mid m \geq x \}. \end{aligned}\end{equation*}

Definičním oborem horní i dolní celé části je opět celá reálná osa \(\mathbb{R}\). Skutečně, dle uvedené konstrukce jme schopni \(\lfloor x \rfloor\), resp. \(\lceil x \rceil\), zkonstruovat pro každé reálné číslo \(x\). Oborem hodnot těchto funkcí jsou pak všechna celá čísla, \(\mathbb{Z}\). Obě funkce jsou rostoucí (ne ostře; např. \(\lfloor 0 \rfloor = \lfloor 1/2 \rfloor\)), nejsou sudé, liché ani periodické. Grafy horní a dolní celé části jsou uvedeny na obrázku 4.2.

Obrázek 4.2: Grafy dolní (vlevo) a horní (vpravo) celé části.