5.1 Základní pojmy

Připomeňme, jak lze pomocí rovnic a funkcí popisovat geometrické objekty v rovině. Tento přístup ke geometrii je velmi užitečný a nachází řadu uplatnění ve fyzice a aplikované matematice. Pro naše FIT účely snad jen zdůrazněme, že výstupní periferie drtivého množství elektronických zařízení jsou v podstatě dvourozměrné (monitory, papír, projektory atd.) a jakákoliv práce s počítačovou grafikou stojí na tomto analytickém přístupu ke geometrii.

5.1.1 Bod

Uvažme v rovině pravoúhlý souřadný systém s osami \(x\), \(y\) a počátkem \(O\). Bod v této rovině je popsán dvěma čísly nazývanými souřadnice bodu. Vyzývám čtenáře, aby se nad tímto krátkým konstatováním na chvilku zamyslel. Ve skutečnosti jde o kličovou a velmi mocnou myšlenku. Idealizovaný bod (geometrický objekt) popisujeme pomocí dvojice čísel (čistě abstraktní konstrukt). V podstatě provádíme „digitalizaci geometrie“.

Má-li například bod \(A\) souřadnice \((1,2)\), píšeme⁵⁴ \(A = (1,2)\), případně lze použít i hranaté závorky, \(A = [1,2]\). Bod \(A\) leží na průsečíku přímky rovnoběžné s osou \(y\) procházející bodem \((1,0)\), tj. přímky s rovnicí \(x = 1\), a přímky rovnoběžné s osou \(x\) procházející bodem \((0,2)\), tj. přímky s rovnicí \(y = 2\). Podrobně je tato situace znázorněna na obrázku 5.1.

5.1.2 Analytický popis geometrických objektů v rovině

Jakmile jsme schopni body v rovině popisovat pomocí čísel, můžeme se pokusit množiny bodů v rovině popsat pomocí podmínek nakladených na jejich souřadnice.

Vezměme nejprve velmi jednoduchý, konkrétní a čtenáři jistě známý příklad přímky. Když nám někdo řekne, že máme prímku zadanou rovnicí \(y = 2x+1\), pak tím vlastně říká, že v naší rovině \(\mathbb{R}^2\) ho zajímá množina bodů \begin{equation*} \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = 2x+1 \}.\end{equation*} Slovně, množina všech bodů se souřadnicemi \((x,y) \in \mathbb{R}^2\), které splňují rovnost \(y = 2x + 1\). Bod o souřadnicích \((1,1)\) do této množiny nepatří (neleží na této přímce), protože po dosazení do naší podmínky dostaneme rovnost \(1 = 3\), která neplatí. Naopak bod \((1,3)\) do naší množiny patří (na této přímce leží), protože po dosazení do dostaneme rovnost \(3 = 3\), která je pravdivá.

Graf libovolné funkce \(f: A \to \mathbb{R}\) je přesně množina bodů \begin{equation*} \href{Množina všech bodů se souřadnicemi \((x,y\), kde \(x\) probíhá celou množinu \(A\) a \(y = f(x)\).}{\class{mathpopup}{\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \in A \ \text{a} \ y = f(x) \}}}\end{equation*}

Tento přístup lze dále zobecnit. Pomocí funkcí samotných bychom snadno nepopsali další jednoduché geometrické objekty (jako například kružnice – na to bychom potřebovali funkce dvě). Můžeme uvažovat množiny tvaru \begin{equation*} \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid F(x,y) = 0 \},\end{equation*} kde \(F(x,y)\) je zadaný výraz ve dvou proměnných \(x,y\). Například kružnici se středem v bodě \((0,0)\) a poloměrem \(2\) lze popsat rovnicí \(x^2 + y^2 = 4\).

Další možné zobecnění spočívá v přechodu od rovnic k nerovnicím. Díky tomu můžeme popisovat i další typy objektů jako například pravá polorovina (\(x \geq 0\)), kruh se středem v bodě \((0,0)\) a poloměrem \(2\) (\(x^2 + y^2 \leq 4\)).

Tento popis částí roviny bychom mohli nazvat implicitní. To z toho důvodu, že souřadnice bodů do popisovaného útvaru patřících ihned neznáme, musíme je nalézt. Body v rovině bychom ale mohli popisovat i explicitně následujícím způsobem \begin{equation*} M = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid t \in J, \ x = f(t) \ \text{a} \ y = g(t) \},\end{equation*} kde \(J\) je zadaný interval a \(f\), \(g\) zadané funkce. Proměnnou \(t\) většinou nazýváme parametrem. Říkáme, že jsme množinu \(M\) „parametrizovali“. K nalezení bodů patřících do množiny \(M\) prostě stačí příslušná \(t \in J\) dosazovat do \(f\) a \(g\) a konstruovat tak body množiny \(M\).

Ukažme si tento přístup opět na kružnici o poloměru \(2\) se středem v bodě \((0,0)\): \begin{equation*} \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 4 \} = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid t \in \langle 0, 2\pi), \ x = 2\cos t \ \text{a} \ y = 2\sin t \}.\end{equation*} Na levé straně této rovnosti máme tuto kružnici popsanou implicitně, na pravé explicitně.

Každý z těchto přístupů má různé výhody a nevýhody. Řadu základních geometrických objektů (viz dále) lze popsat oběma způsoby. Explicitní popis se hodí, když chceme daný útvar vizualizovat pomocí počítače. Implicitní tvar je zase výrazně efektivnější pro zjišťování, zda daný bod do daného útvaru patří, nebo ne. V praxi se používá obou přístupů.

5.1.3 Vektor

Dalším důležitým geometrickým objektem je vektor. Vektory budeme označovat malým písmenem se šipkou, např. \(\vec a,\, \vec b,\, \vec c\). Vektor chápeme jako dvojici čísel⁵⁵ udávající směr; je-li dán vektor \(\vec a = (a_1,a_2)\), pak čísla \(a_1\) a \(a_2\) nazýváme složkami vektoru \(\vec a\). Vektory můžeme násobit číslem a sčítat podle předpisů

O operacích násobení číslem a sčítání vektorů zavedených v (5.1) se někdy ze zřejmých důvodů říká, že působí „po složkách“. Rovnost mezi vektory je definována intuitivně. Řekneme, že dva vektory \(\vec a = (a_1,a_2)\) a \(\vec b = (b_1,b_2)\) jsou si rovny, právě když se jejich složky rovnají, tedy když \(a_1 = b_1\) a \(a_2 = b_2\). Rovnost pak přirozeně zapisujeme jako \(\vec a = \vec b\). Geometrická interpretace operací násobení číslem a sčítání vektorů je znázorněna na obrázku 5.2.

Vektor můžeme násobit číslem. Můžeme násobit dva vektory mezi sebou? K tomuto účelu slouží skalární součin⁵⁶. Standardní⁵⁷ skalární součin dvou vektorů \(\vec a = (a_1, a_2)\) a \(\vec b = (b_1,b_2)\) je definován předpisem \begin{equation*} \vec a \cdot \vec b := a_1 b_1 + a_2 b_2.\end{equation*} Součin se nazývá skalární, protože jeho výsledkem není vektor, ale číslo (skalár). Skalární součin dále souvisí s úhlem mezi vektory. Dva vektory \(\vec a\) a \(\vec b\) svírají úhel \(\alpha \in \langle 0,\pi)\), právě když \begin{equation*} \cos\alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\|\vec a\| \, \|\vec b \|}.\end{equation*}

Délka vektoru \(\vec a = (a_1, a_2)\) je opět dána pomocí Pythagorovy věty. Značíme ji \(\| \vec a \|\) a platí \begin{equation*} \| \vec a \| := \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \quad \text{pro} \ \vec a = (a_1,a_2).\end{equation*} Všimněme si, že délku lze vyjádřit pomocí skalárního součinu jako \(\| \vec a \| = \sqrt{\vec a \cdot \vec a}\).

Těmito a dalšími geometrickými objekty se budete podrobněji zabývat v předmětu BI-LIN, a to nejen ve dvou dimenzích.