• 1 Úvod
  • 2 Matematika není jen počítání
  • 3 Základní pojmy
  • 4 Elementární funkce
  • 5 Analytická geometrie
  • 6 Časté problémy
  • 7 Přehled použitého značení
    • Index Literatura

    4.10 Exponenciální a logaritmické funkce

    Pro \(0 < a \neq 1\) funkci53 \begin{equation*} f(x) = a^x, \quad x\in D_f = \R,\end{equation*} nazýváme exponenciálou o základu \(a\). Tato funkce rozšiřuje mocninnou funkci ze začátku této podkapitoly i na neceločíselné exponenty. Pro libovolná reálná \(x\) a \(y\) platí známé vzorce \begin{equation*} a^x \cdot a^y = a^{x+y} \quad \text{a} \quad \big(a^x\big)^y = a^{xy}.\end{equation*} Na obrázku 4.14 je znázorněn známý průběh funkce \(f\) pro různé základy \(a\).

    Poznamenejme, že předchozí odstavec nelze považovat za definici exponenciální funkce. Jde spíše o dohodnutí značení. Problému, jak skutečně funkci oplývající uvedenými vlastnostmi zkonstruovat, se budeme věnovat v průběhu BI-ZMA.

    Obrázek 4.14: Exponenciální funkce.

    Obecně lze říci, že pro \(a > 1\) je \(f\) ostře rostoucí (\(f(x) < f(y)\) kdykoliv \(x < y\)), \(D_f = \R\) a \(H_f = (0,+\infty)\). Pro \(a < 1\) je \(f\) ostře klesající (\(f(x) > f(y)\) kdykoliv \(x < y\)), \(D_f = \R\) a \(H_f = (0,+\infty)\).

    Exponenciální funkce není sudá, lichá, ani periodická.

    4.10.1 Logaritmus

    Inverzní funkci k exponenciální funkci o základu \(a\), \(0 < a \neq 1\), kterážto je prostá, nazýváme logaritmem o základu \(a\) a značíme \(\log_a\). Definičním oborem exponenciální funkce bylo celé \(\R\) a oborem hodnot interval \((0,+\infty)\). Odtud plyne, že definičním oborem logaritmu je \(D_{\log_a} = (0,+\infty)\) a oborem hodnot logaritmu je \(H_{\log_a} = \R\).

    S logaritmem se čtenář již v praxi jistě nepřímo setkal. Například Richterova stupnice (vyjadřující intenzitu otřesů) nebo decibelová škála (měřící intenzitu zvuku) jsou logaritmické.

    Obrázek 4.15: Grafy několika logaritmických funkcí s různými základy.

    Z vlastností exponenciály lze odvodit důležité vlastnosti logaritmu,

    \begin{equation}\label{eq-log-1}\tag{4.16} a^{\log_a x} = x, \quad x>0,\end{equation}
    \begin{equation}\label{eq-log-2}\tag{4.17} \log_a a^x = x, \quad x\in\R,\end{equation}
    \begin{equation}\label{eq-log-3}\tag{4.18} \log_a xy = \log_a x + \log_a y, \quad x,y > 0\end{equation}
    \begin{equation}\label{eq-log-4}\tag{4.19} \log_a x^y = y \log_a x, \quad x>0 \ \text{a} \ y\in\R.\end{equation}
    První dvě vlastnosti, (4.16) a (4.17), jsou pouze vyjádřením inverzního vztahu mezi exponenciálou a logaritmem, platí tedy definitoricky. Dokažme si vlastnost (4.18). Pro kladná \(x,y\) existují reálná \(u,v\) taková, že \begin{equation*} x = a^u \quad \text{a} \quad y = a^v.\end{equation*} Odtud \begin{equation*} xy = a^u \cdot a^v = a^{u+v}.\end{equation*} Takže \begin{equation*} \log_a xy = u + v = \log_a x + \log_a y.\end{equation*} Podobným způsobem lze dokázat vlastnost (4.19).

    Poznámka 4.14

    Čtenář je jistě seznámen s operací tzv. odlogaritmování. Tedy tvrzením, že pokud \begin{equation*} \log_a x = \log_a y,\end{equation*} pro nějaká \(x,y > 0\) a \(0 < a \neq 1\), pak \begin{equation*} x = y.\end{equation*} Tato operace není nijak magická. Jde pouze o využití prostoty funkce \(\log_a\). Stejná úprava je korektní pro libovolnou prostou funkci (v případě prosté funkce \(f\) je totiž rovnost obrazů \(f(x) = f(y)\) ekvivalentní rovnosti vzorů \(x = y\))!

    Otázka 25

    Jaký je definiční obor funkce \(f(x) = \log_a x^2\)?

    Odpověď:

    \(\R\smallsetminus\{0\}\).
    předchozí