Přípravný kurz matematiky

1.1 Nástrahy prvního ročníku a jak na ně 1.2 Obsah kurzu a použité konvence

2.1 Počítání a abstrakce 2.2 Struktura matematického textu 2.3 Co je to důkaz? 2.4 Ukázka několika důkazů 2.5 Co není důkaz?

3 Základní pojmy

3.1 Poznámka k matematické notaci 3.2 Množiny a operace s nimi 3.3 Číselné množiny 3.4 Význačné podmnožiny reálných čísel 3.5 Výroky a logické spojky 3.6 Zkrácené psaní součtů a součinů 3.7 Faktoriál a kombinační čísla 3.8 Významné konstanty

4 Elementární funkce

4.1 Co je to funkce? 4.2 Absolutní hodnota 4.3 Dolní a horní celá část 4.4 Lineární funkce 4.5 Kvadratická funkce 4.6 Polynomy (mnohočleny) 4.7 Odmocniny 4.8 Racionální lomená funkce 4.9 Trigonometrické funkce 4.10 Exponenciální a logaritmické funkce

5 Analytická geometrie

5.1 Základní pojmy 5.2 Přímka 5.3 Kružnice a elipsa

6 Časté problémy

6.1 Chytré kalkulačky jsou až moc chytré 6.2 Často kladené dotazy

7 Přehled použitého značení

Index Literatura

2.2 Struktura matematického textu

Pojďme se nyní v několika odstavcích podívat, jakým způsobem jsou strukturované tyto a další materiály, na které během studia jistě ještě narazíte. Matematický text bývá zpravidla rozdělený do definic, vět a důkazů. Cílem tohoto opatření je zpřehlednění a zdůraznění logické struktury textu. Čtenář často narazí na následující typy prostředí:

Definice: Na tomto místě se zavádějí (definují) nové pojmy. Ve více neformálním výkladu mohou být nové pojmy zavedeny i přímo v textu (toho často využíváme i v těchto poznámkách). Smyslem definice je jednoznačně ukotvit (definovat) pojem. Autor definice si se čtenářem domlouvá co si pod daným pojmem má od toho okamžiku představovat. To je velmi důležité. Bez jasně definovaných pojmů hrozí nebezpečí, že se dva lidé nebudou moci shodnout, protože každý mluví o něčem jiném, ale oba pro to používají stejný název.
Věta: Důležité tvrzení, které si zaslouží číselné označení v textu, či dokonce jméno po svých autorech.
Důkaz: Prostředí obsahující důkaz předcházejícího tvrzení (lemmatu, věty, důsledku). Poněvadž je typicky delší než formulace věty, bývá jeho konec označen symbolem pro konec⁴ důkazu. V BI-ZMA používáme Halmosův symbol náhrobku \(\square\). Čtenář také může často narazit na zkratku Q.E.D. pocházející z latinského quod erat demonstrandum („což bylo dokázati“). O důkazech se čtenář podrobněji dočte v sekci 2.3.

Dále se lze setkat ještě s následujícími:

Lemma⁵: Pomocné tvrzení, které samo o sobě nemá širší uplatnění⁶, ale použije se v důkazu některé z bezprostředně následujících vět.
Důsledek: Tvrzení velmi přímočaře plynoucí z předešlých vět, přeformulování předchozích vět do jiného kontextu. Typicky s velmi jednoduchým důkazem (prakticky jen přímočaré použití – tedy aplikace – předešlých vět).

Poznámka 2.2

Na tomto místě si dovolím jednu krátkou poznámku o častém studentském nešvaru. Poslední dobou se opakovaně setkávám s pozoruhodným slovním spojením „definovat větu“. To ukazuje na fundamentální nepochopení ze strany uživatelů tohoto nesmyslného dvousloví. Dotyční pravděpodobně slovo „definovat“ mylně chápou ve smyslu „doslovně opsat“. „Definovat větu“ z principu nelze. Můžete definovat pojem a poté vyslovit jisté tvrzení o tomto pojmu, tedy větu. Tu ale musíte dokázat, ověřit zda platí. Tvrzení v matematice naštěstí nelze definovat.

Čtenáři může být bližší notace pomocí XML jazyka. Strukturu matematického textu si lze pak představovat třeba následovně:

<definice>
  ...
</definice>
<veta>
  ...
</veta>
<dukaz>
  ...
</dukaz>

Očividně, prezentovat čtenáři text tímto způsobem by bylo typograficky ztřeštěné. Je ovšem vhodné podotknout, že zdrojový LaTeX kód tohoto dokumentu právě tento přístup využívá.

Většina matematických textů samozřejmě není složená pouze z výše uvedených dílků. K pohodlí čtenáře jsou často uváděny i doplňující komentáře, příklady či diagramy, vysvětlující další kontext týkající se probírané tématiky.

S tímto strukturovaným přístupem k psaní se lze setkat nejen v matematice, ale i v další technické a odborné literatuře. Z oblasti IT zmiňme například žánr dokumentace, či specifikace standardů, kde se klade velký důraz na logickou strukturu textu.