4.9 Trigonometrické funkce

Mezi trigonometrické funkce (často též goniometrické funkce) řadíme sinus (\(\sin\)), kosinus (\(\cos\)), tangens (\(\tg\)) a kotangens (\(\ctg\)). Dále se v této kapitole zmíníme o jejich vhodně zvolených inverzích, tedy funkcích arkus sinus (\(\arcsin\)), arkus kosinus (\(\arccos\)) a arkus tangens (\(\arctg\)).

Funkce sinus a kosinus jsou definovány pomocí následující geometrické konstrukce či algoritmu. Na vstupu je zadán úhel⁵¹ \(\alpha\) a výsledkem bude hodnota \(\sin(\alpha)\) a \(\cos(\alpha)\). Při čtení algoritmu je vhodné sledovat obrázek 4.10.

1. V počátku souřadného systému s pravoúhlými osami \(x\) a \(y\) sestroj jednotkovou kružnici \(K\) (tj. kružnici s poloměrem \(1\) v daných jednotkách os a středem v bodě \((0,0)\)).
2. Od kladného směru osy \(x\) vynes úhel⁵² \(\alpha\) proti směru hodinových ručiček. Jedním ramenem tohoto úhlu je kladná část osy \(x\) a druhé rameno označme \(p\).
3. Označme \(A\) průnik \(p\) a \(K\). Dále sestrojme bod \(P\), průnik osy \(x\) a rovnoběžky s osou \(y\) procházející bodem \(A\). Tímto způsobem získáváme pravoúhlý trojúhelník \(OPA\).
4. (Orientovaná) délka strany \(OP\) představuje \(\cos(\alpha)\) a délka strany \(PA\) představuje \(\sin(\alpha)\).

Přesnost výsledku samozřejmě závisí na přesnosti našich rýsovacích nástrojů. Nekonečné přesnosti lze dosáhnout pouze v případě nekonečně přesných nástrojů (zde pravítko, kružítko a úhloměr). Je zřejmé, že tato metoda „výpočtu“ není příliš praktická. V předmětu BI-ZMA si ukážeme, jak efektivně vyhodnocovat funkční hodnoty (nejen) těchto funkcí.

Základní hodnoty funkcí sinus a kosinus jsou shrnuty v tabulce č. 4.1 a jejich grafy si můžete připomenout na obrázku 4.11.

Přímo z konstrukce funkcí sinus a kosinus ihned plyne důležitá vlastnost těchto funkcí,

Tato rovnost pouze vyjadřuje Pythagorovu větu v pravoúhlém trojúhelníku \(OPA\) s přeponou délky \(1\) a odvěsnami délky \(\sin(\alpha)\) a \(\cos(\alpha)\) (viz popis výše a obrázek 4.10).

Dále je z uvedené konstrukce patrné, že funkce sinus je lichá a kosinus sudá, tedy \begin{equation*} \sin (-\alpha) = - \sin(\alpha) \quad \text{a} \quad \cos(-\alpha) = \cos(\alpha), \quad \alpha\in\R.\end{equation*} Pro definiční obory těchto funkcí platí \begin{equation*} D_{\sin} = D_{\cos} = \mathbb{R}\end{equation*} a pro obory hodnot platí \begin{equation*} H_{\sin} = H_{\cos} = \langle -1,1 \rangle.\end{equation*} Konečně, obě funkce jsou periodické s nejmenší periodou \(2\pi\), obě funkce jsou definovány na celém \(\mathbb{R}\) a pro každé \(x \in \mathbb{R}\) platí rovnosti \(\sin(x+2\pi)=\sin(x)\) a \(\cos(x+2\pi)=\cos(x)\).

Velmi užitečné jsou tzv. součtové vzorce pro funkce sinus a kosinus. Tyto vzorce lze nejsnadněji odvodit pomocí vlastností násobení komplexních čísel s využitím goniometrického tvaru komplexního čísla. Pro libovolná reálná \(\alpha\) a \(\beta\) platí rovnosti

resp.

Díky sudosti funkce kosinus a lichosti funkce sinus ze vzorců (4.13) a (4.14) ihned dostáváme analogické vzorce pro rozdíl \begin{equation*} \begin{aligned} \sin(\alpha - \beta) & \href{V součtovém vzorci pro sinus nahraďte \(\beta\) za \(-\beta\) a využijte sudost/lichost funkcí sinus a kosinus.}{\class{mathpopup}{=}} \sin(\alpha) \cos(\beta) - \cos(\alpha) \sin(\beta), \\ \cos(\alpha - \beta) & \href{V součtovém vzorci pro kosinus nahraďte \(\beta\) za \(-\beta\) a využijte sudost/lichost funkcí sinus a kosinus.}{\class{mathpopup}{=}} \cos(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\alpha) \sin(\beta). \end{aligned}\end{equation*} Podobné vzorce lze odvodit pro funkce tangens i kotangens. Význam těchto vzorců a jejich využití je nasnadě: máme-li informaci o hodnotách \(\sin \alpha\) a \(\cos \beta\), pak nám tyto vzorce umožňují získat informaci např. o hodnotě \(\sin(\alpha + \beta)\).

Dále ze vzorců (4.13) a (4.14) plynou vzorce pro tzv. dvojnásobný úhel, které se používají velmi často: \begin{equation*} \sin(2\alpha) \href{Použijte součtový vzorec pro sinus s \(\beta = \alpha\).}{\class{mathpopup}{=}} 2 \sin(\alpha)\cos(\alpha),\end{equation*} resp.

Pomocí vztahů (4.12) a (4.15) ihned odvodíme vzorce pro sinus a kosinus polovičního úhlu, \begin{equation*} \begin{aligned} \cos^2(\alpha/2) &= \frac{1}{2} \big( 1 + \cos(\alpha) \big), & \big|\cos(\alpha/2) \big| &= \sqrt{\frac{1}{2} \big( 1 + \cos(\alpha) \big)}, \\ \sin^2(\alpha/2) &= \frac{1}{2} \big( 1 - \cos(\alpha) \big), & \big| \sin(\alpha/2) \big| &= \sqrt{\frac{1}{2} \big( 1 - \cos(\alpha) \big)}. \end{aligned}\end{equation*} Pokud bychom se v těchto vzorcích chtěli zbavit absolutních hodnot, museli bychom o znaménku výrazů rozhodnout na základě úhlu \(\alpha\), přesněji jeho příslušnosti do některého ze čtyř kvadrantů.

Pomocí funkcí \(\sin\) a \(\cos\) definujeme funkce tangens \(\tg\) a kotangens \(\ctg\) předpisy \begin{equation*} \begin{aligned} \tg \alpha &:= \frac{\sin \alpha}{\cos\alpha}, \quad \alpha \in D_{\tg} = \R \smallsetminus \Big\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \,\big|\, k\in\mathbb{Z} \Big\}, \\ \ctg \alpha &:= \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}, \quad \alpha \in D_{\ctg} = \R \smallsetminus \big\{ k\pi \,\big|\, k\in\mathbb{Z} \big\}. \end{aligned}\end{equation*} Jejich obory hodnot jsou tvořeny celou množinou \(\R\). Pro názornost uvádíme i jejich grafy na obrázku 4.11.

Ani jedna z doposud zavedených trigonometrických funkcí není prostá na svém definičním oboru. Pokud zvolíme libovolné \(y\) z oboru hodnot funkce \(\sin\), pak existuje nekonečně mnoho \(x\) z definičního oboru funkce \(\sin\) tak, že \(\sin(x) = y\) (viz obrázek 4.11). Nelze tedy zadanému \(y\in H_{\sin}\) jednoznačně přiřadit \(x\in D_{\sin}\) splňující \(y = \sin(x)\). Stejná poznámka platí i pro \(\cos\), \(\tg\) a \(\ctg\). Trigonometrické funkce nejsou prosté, a proto k nim neexistují inverzní funkce.

K vyřešení tohoto problému musíme trigonometrické funkce vhodně zúžit, tedy zmenšit jejich definiční obor. Ve shodě se zažitou konvencí definujeme

• arkus sinus, \(\arcsin\), jako inverzní funkci k \(\sin\) zúžené na interval \(\langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\rangle\),
• arkus kosinus, \(\arccos\), jako inverzní funkci k \(\cos\) zúžené na interval \(\langle 0,\pi \rangle\),
• arkus tangens, \(\arctg\), jako inverzní funkci k \(\tg\) zúžené na interval \((-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\),
• arkus kotangens, \(\arcctg\), jako inverzní funkci k \(\ctg\) zúžené na interval \((0,\pi)\).