Základy matematické analýzy

Reálnou funkci reálné proměnné \(p: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) nazveme polynomem, právě když existují nezáporné celé číslo \(n\in\mathbb{N}_0\) a reálná čísla \(a_0, \ldots, a_n \in \mathbb{R}\) taková, že rovnost \begin{equation*} p(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k\end{equation*} platí pro všechna reálná \(x\in\mathbb{R}\).

Je-li \(a_n \neq 0\), nazýváme číslo \(n\) stupněm polynomu \(p\). Jsou-li všechny koeficienty \(a_k\), \(k=0,\ldots,n\) nulové, nazýváme \(p\) nulovým polynomem a jeho stupeň nedefinujeme.

Podstatnou výhodou polynomů je fakt, že k vyhodnocení funkční hodnoty polynomu stačí operace sčítání (odčítání) a násobení. Navíc polynom stupně \(n\) je zadán \(n+1\) konstantami.

Notoricky známými příklady polynomů jsou:

Lineární funkce \(f(x) = ax + b\) (\(a,b\in\mathbb{R}\) parametry) je polynomem nejvýše prvního stupně³⁴.
Kvadratická funkce \(f(x) = ax^2 + bx + c\) (\(a,b,c\in\mathbb{R}\), \(a\neq 0\) parametry) je polynomem druhého stupně.

Pokusme se nyní podívat na tečnu z jiného úhlu. Je-li funkce \(f\) diferencovatelná v bodě \(a\in\mathbb{R}\), pak rovnice její tečny v bodě \(a\) má tvar \begin{equation*} y = f(a) + f'(a) (x-a).\end{equation*} Je to přímka nejvíce „připomínající“ funkci \(f\) v okolí bodu \(a\). Tečnu také můžeme chápat jako graf lineární funkce \begin{equation*} g(x) := f(a) + f'(a) (x-a).\end{equation*} Pro funkce \(f\) a \(g\) platí \begin{equation*} g(a) = f(a), \quad g'(a) = f'(a).\end{equation*} Tj. funkce \(f\) a její tečna v bodě \(a\) mají stejnou 0. a 1. derivaci v bodě \(a\).

Přirozeně se nabízí otázka proč neuvažovat polynom vyššího stupně s podobnou vlastností? Nechť funkce \(f\) má derivace v bodě \(a\) až do řádu \(n\in\mathbb{N}\) včetně. Lze nalézt polynom \(p\) takový, že \(p^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)\) pro všechna \(k=0,1,\ldots,n\)?

Odpověď je kladná. Hledejme polynom ve tvaru \begin{equation*} p(x) = \sum_{k=0}^n a_k (x - a)^k.\end{equation*} Je potřeba určit konstanty \(a_k\), \(k=0,1,\ldots,n\) tak, aby derivace polynomu a funkce v bodě \(a\) až do řádu \(n\) včetně byly shodné. Pro funkční hodnoty derivací polynomu \(p\) v bodě \(a\) platí \begin{equation*} \begin{aligned} f(a) &= p(a) & &\Longrightarrow & a_0 &= f(a) \\ f'(a) &= p'(a) = a_1 & &\Longrightarrow & a_1 &= f'(a) \\ f''(a) &= p''(a) = 2 a_2 & &\Longrightarrow & a_2 &= \frac{1}{2} f''(a) \\ f^{(k)}(a) &= p^{(k)}(a) = k! \cdot a_k & &\Longrightarrow & a_k &= \frac{1}{k!} f^{(k)}(a), \, k=0,1,\ldots,n \end{aligned}\end{equation*} Uzavíráme, že hledaný polynom \(p\) požadovaných vlastností je tvaru \begin{equation*} p(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k.\end{equation*} Shrňme si toto pozorování do následující věty.

Věta 7.2

Nechť reálná funkce reálné proměnné \(f\) má v bodě \(a\in\mathbb{R}\) konečnou \(n\)-tou derivaci. Potom existuje právě jeden polynom \(T_{n,a}\) stupně nejvýše \(n\) takový, že \begin{equation*} T_{n,a}^{(k)}(a) = f^{(k)}(a) \ \text{pro každé} \ k=0,1,\ldots,n.\end{equation*} Tento polynom má tvar \begin{equation*} T_{n,a}(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k\end{equation*} a nazýváme ho \(n\)-tým Taylorovým polynomem funkce \(f\) v bodě \(a\).

Důkaz :

Existenci i jednoznačnost jsme dokázali v předchozích odstavcích.

\(\square\)

Příklad 7.3

Nalezněme \(n\)-tý Taylorův polynom funkce \(f(x) = e^x\) v bodě \(0\). Pro libovolné \(k\in\mathbb{N}_0\) platí \(f^{(k)}(x) = e^x\) a proto \(f^{(k)}(0) = 1\). Dostáváme \begin{equation*} T_{n,0}(x) = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} x^k.\end{equation*}

Příklad 7.4

Nalezněme \(n\)-tý Taylorův polynom funkce \(f(x) = \sin(x)\) v bodě \(0\). Derivace funkce \(f\) se cyklicky opakují, v závislosti na \(k\in\mathbb{N}_0\) platí \begin{equation*} f^{(2k)}(x) = (-1)^k \sin(x) \quad \mathrm{a} \quad f^{(2k+1)}(x) = (-1)^k \cos(x).\end{equation*} Proto \begin{equation*} f^{(2k)}(0) = 0 \quad \mathrm{a} \quad f^{(2k+1)}(0) = (-1)^k.\end{equation*} Taylorův polynom pro \(n = 2\ell\) je stejný jako Taylorův polynom pro \(n = 2\ell -1\) a platí \begin{equation*} T_{n,0}(x) = \sum_{j=0}^{n} \frac{f^{(j)}(0)}{j!} x^j = \sum_{k=0}^{\ell-1} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1}.\end{equation*} Speciálně tedy platí \(T_{2n,0} = T_{2n-1,0}\), \(n\in\mathbb{N}\) a ještě speciálněji třeba \(T_{40,0} = T_{39,0}\). Ukázka několika Taylorových polynomů funkce sinus v bodě \(0\) je uvedena na obrázku 7.4.

Obrázek 7.4: Příklady Taylorových polynomů funkce sinus v bodě \(0\) malých stupňů.

Poznámka 7.5 (Terminologická)

Z předchozího příkladu je pěkně vidět, proč používáme název „\(n\)-tý Taylorův polynom“ místo studenty často používaného a nesprávného „Taylorův polynom stupně \(n\)“ když mluvíme o \(T_n\): \(n\)-tý Taylorův polynom totiž nutně nemusí mít stupeň \(n\)! Pro funkci \(\sin\) jsme v bodě \(0\) odvodili \(T_{2,0}(x) = x\), tedy její druhý Taylorův polynom má stupeň \(1\).