3.8 Nerovnosti a limity
Z nerovnosti mezi limitami lze odvodit nerovnost mezi členy posloupnosti a naopak z nerovnosti mezi členy posloupnosti lze odvodit nerovnost mezi jejich limitami. Hlavním výsledkem této podkapitolky je věta o sevřené posloupnosti, kterou s výhodou využíváme, pokud není možné využít věty o součtu, součinu, či podílu limit.
Věta 3.50
Nechť reálné posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\) a \((b_n)_{n=1}^\infty\) mají limity v \(\overline{\mathbb{R}}\). Pokud \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} a_n < \lim_{n\to\infty} b_n\end{equation*} potom existuje \(n_0\in\mathbb{N}\) tak, že pro všechna přirozená \(n > n_0\) platí \(a_n < b_n\).
Obrázek 3.6: Ilustrace k větě 3.50.
Označme \(\alpha = \lim a_n\) a \(\beta = \lim b_n\), platí \(\alpha < \beta\). Předpokládejme, že \(\alpha\) i \(\beta\) jsou konečná. Potom pro \(\veps \ceq \frac{\beta - \alpha}{2}\) existuje \(n_0\in\mathbb{N}\) tak, že pro \(n > n_0\) je \(a_n \in H_\alpha(\veps)\) a \(b_n \in H_\beta(\veps)\). Protože jsou tato okolí disjunktní platí jistě navíc pro tato \(n\) nerovnost \(a_n < b_n\). Podobným způsobem snadno ověříme i případ kdy jsou \(\alpha\) či \(\beta\) nekonečná.
\(\square\)Příklad 3.51
Jako příklad uvažme \(a_n = 2 - \frac{1}{n}\) a \(b_n = 1 + \frac{2}{n}\). Jejich limity jsou \(\lim a_n = 2\) a \(\lim b_n = 1\). Existuje tedy \(n_0 \in\mathbb{R}\) takové, že pro každé \(n > n_0\) přirozené platí \(a_n > b_n\). V našem případě lze za \(n_0\) volit číslo \(4\).
Důsledek 3.52
Nechť \((a_n)_{n=1}^\infty\) a \((b_n)_{n=1}^\infty\) jsou reálné posloupnosti mající limitu v \(\overline{\mathbb{R}}\). Pokud existuje \(n_0\) takové, že pro všechna přirozená \(n > n_0\) je \(a_n \leq b_n\), potom \(\lim a_n \leq \lim b_n\).
Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že \(\lim a_n > \lim b_n\). Potom podle předchozí věty existuje \(n_0\in\mathbb{N}\) takové, že pro všechna \(n > n_0\) platí \(a_n > b_n\). To je ovšem ve sporu s předpokládanými vlastnostmi posloupností \((a_n)_{n=1}^\infty\) a \((b_n)_{n=1}^\infty\).
\(\square\)Všimněte si, že neostrost nerovnosti v tvrzení věty č. 3.50 je zde důležitá. Například, pro \(a_n = \frac{1}{n}\) a \(b_n = 0\) platí ostrá nerovnost \(a_n > b_n\) pro každé přirozené \(n\), ale \(\lim a_n = \lim b_n = 0\).
Nyní se dostáváme k velmi důležité větě, kterou často použijeme. Její myšlenka spočívá v tom, že dokážeme-li „dobře vystihnout“ chování dané posloupnosti pomocí posloupností se známými shodnými limitami, pak známe i limitu zkoumané posloupnosti.
Příklad 3.53
V tomto příkladu ukážeme, že limita posloupnosti \((\sin n)_{n=1}^\infty\) neexistuje. K tomu dospějeme sporem. Předpokládejme, že limita této posloupnosti existuje a označme ji \(\alpha \in \overline{\mathbb{R}}\), tedy \begin{equation*} \alpha = \lim_{n\to\infty} \sin n\,.\end{equation*} Protože nerovnost \(-1 \leq \sin n \leq 1\) platí pro všechna \(n\in\mathbb{N}\), je dle věty 3.50 jistě \(\alpha \in \langle -1,1\rangle\) (speciálně, není to některé z nekonečen). Protože je posloupnost \((\sin 2n)_{n=1}^\infty\) vybraná z posloupnosti \((\sin n)_{n=1}^\infty\), má dle věty o limitě vybrané posloupnosti také za limitu \(\alpha\). Ze známých trigonometrických vzorců nyní plyne následující vztah \begin{equation*} \cos 2n = \cos^2 n - \sin^2 n = (1 - \sin^2 n) - \sin^2 n = 1 - 2\sin^2 n\end{equation*} a proto posloupnost \((\cos 2n)_{n=1}^\infty\) má za limitu \(1-2\alpha^2\). Odtud ovšem plyne, s využitím součtových vzorců pro funkci \(\sin\), že \begin{equation*} \sin 2 = \sin(2n + 2 - 2n) = \sin(2n+2) \cos 2n - \cos(2n+2) \sin 2n \to \alpha (1 - \alpha^2) - (1-\alpha^2) \alpha = 0,\end{equation*} protože \((\sin(2n+2))_{n=1}^\infty\), resp. \((\cos(2n+2))_{n=1}^\infty\), jsou vybrané z \((\sin 2n)_{n=1}^\infty\), resp. \((\cos 2n)_{n=1}^\infty\). Celkem jsme dospěli k rovnosti \(\sin 2 = 0\), což je spor.
Věta 3.54 (O sevřené posloupnosti)
Nechť \((a_n)_{n=1}^\infty\), \((b_n)_{n=1}^\infty\) a \((c_n)_{n=1}^\infty\) jsou reálné posloupnosti pro které platí
- \(\big(\exists n_0 \in \mathbb{N}\big) \big( \forall n\in\mathbb{N}, \ n > n_0 \big) \big( a_n \leq b_n \leq c_n \big)\)
- posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\) a \((c_n)_{n=1}^\infty\) mají stejnou limitu \(\alpha\in\overline{\mathbb{R}}\).
Buď \(H_\alpha\) okolí bodu \(\alpha\). Existuje \(m_0\in\mathbb{N}\) tak, že pro \(n > m_0\) patří jak \(a_n\) tak \(c_n\) do \(H_\alpha\). Pro \(n > \max\{n_0, m_0\}\) do tohoto okolí musí patřit i \(b_n\), protože \(a_n \leq b_n \leq c_n\). Proto má posloupnost \((b_n)_{n=1}^\infty\) limitu rovnou \(\alpha\).
\(\square\)Grafická ilustrace k větě o limitě sevřené posloupnosti je uvedena na obrázku č. 3.7.
Obrázek 3.7: Ilustrace k větě 3.54.
Příklad 3.55
Vypočtěte limitu \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n}\). Funkce \(\sin\) má obor hodnot \(H_{\sin} = \langle -1,1 \rangle\). Tedy platí nerovnost \begin{equation*} -1 \leq \sin x \leq 1, \quad \text{pro každé} \, x\in\mathbb{R}.\end{equation*} Tudíž pro každé přirozené \(n\) platí \begin{equation*} -\frac{1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n}.\end{equation*} Protože ale \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{-1}{n} = 0\) je podle věty o limitě sevřené posloupnosti \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n} = 0.\end{equation*}