7.3 Chyba aproximace
V této podkapitole se budeme zabývat chybou mezi původní funkcí a Taylorovým polynomem. Kdybychom tuto chybu nebyli schopni alespoň odhadnout, pak by aproximace byla prakticky nepoužitelná. Nebyli bychom schopni zajistit požadovanou přesnost aproximace. Definujme si nejprve jasně chybu (zbytek), který zkoumáme.
Definice 7.6
Nechť funkce \(f\) má v bodě \(a\) konečnou \(n\)-tou derivaci. Pro všechna přípustná \(x\) položme \(R_{n,a}(x) := f(x) - T_{n,a}(x)\). Potom vztah \begin{equation*} f(x) = T_{n,a}(x) + R_{n,a}(x)\end{equation*} nazýváme Taylorovým vzorcem a \(R_{n,a}\) nazýváme \(n\)-tým zbytkem v Taylorově vzorci.
Poznámka 7.7 (Značení)
V případě, že mluvíme o Taylorově polynomu v bodě \(a=0\) píšeme pro jednoduchost \(T_n\) místo \(T_{n,0}\). Podobně v případě zbytku \(R_n = R_{n,0}\) a Peanova zbytku (zaveden dále) \(\omega_n = \omega_{n,0}\). Taylorův polynom pro \(a=0\) se také někdy nazývá Maclaurinův polynom.
Obrázek 7.5: Grafické znázornění Taylorova vzorce, tedy vztahu mezi funkční hodnotou funkce \(f\), Taylorova polynomu \(T_{n,a}\) a zbytku \(R_{n,a}\).
První informaci o zbytku v Taylorově vzorci nám dává následující věta. Hrubě řečeno, když \(x \to a\), pak zbytek v Taylorově vzorci jde k nule rychleji, než poslední člen \(n\)-tého Taylorova polynomu.
Věta 7.8
Nechť funkce \(f\) má v jistém okolí \(H_a\) bodu \(a\) spojitou \(n\)-tou derivaci. Pak pro zbytek v Taylorově vzorci platí \begin{equation*} \lim_{x\to a} \frac{R_{n,a}(x)}{(x-a)^n} = 0.\end{equation*}
Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že \(a=0\). Z definice zbytku a vlastností Taylorova polynomu plyne \begin{equation*} R_n(0) = R'_n(0) = \cdots = R_n^{(n-1)}(0) = R^{(n)}_n(0) = 0.\end{equation*} Pro výpočet limity lze použít l'Hospitalovo pravidlo (zdůvodněte proč!). Potom \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{R_n(x)}{x^n} = \lim_{x\to 0} \frac{R'_n(x)}{nx^{n-1}} = \cdots = \lim_{x\to 0} \frac{R_n^{(n-1)}(x)}{n! \cdot x} = \lim_{x\to 0} \frac{R_n^{(n)}(x)}{n!} = 0.\end{equation*} Poslední rovnost platí, protože \(R_n^{(n)} = f^{(n)} - T_n^{(n)}\) je podle předpokladu spojitá funkce na \(H_a\) a \(R_n^{(n)}(0) = 0\).
\(\square\)Důsledek 7.9
Za stejných předpokladů jako v předchozí větě. Taylorův vzorec lze vyjádřit ve tvaru \begin{equation*} f(x) = T_{n,a}(x) + \omega_{n,a}(x) \cdot (x-a)^n,\end{equation*} kde \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \omega_n(x) = 0\). Výraz \(\omega_{n,a}(x) \cdot (x-a)^n\) se nazývá Peanův tvar zbytku.
Stačí položit \(\omega_{n,a}(x) := \frac{R_{n,a}(x)}{(x-a)^n}\) a použít předchozí věty.
\(\square\)Příklad 7.10
Vypočtěte limitu \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}.\end{equation*} Protože \(\sin x = x + \omega_{1,0}(x) \cdot x\), kde \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \omega_{1,0}(x) = 0\), dostáváme \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to 0} \big( 1 + \omega_{1,0}(x) \big) = 1 + 0 = 1.\end{equation*}
Hrubě řečeno, \(n\)-tý Taylorův polynom je nejlepší aproximace mezi všemi polynomy stupně \(n\). Přesný smysl tohoto výroku je obsažen v následující větě.
Věta 7.11 (O nejlepší aproximaci)
Nechť funkce \(f\) má v jistém okolí bodu \(0\) konečnou \(n\)-tou derivaci a nechť \(Q\) je polynom stupně nejvýše \(n\), různý od Taylorova polynomu \(T_n\) funkce \(f\) v bodě \(0\). Potom existuje okolí \(H_0\) bodu \(0\) takové, že \begin{equation*} |f(x) - T_n(x)| < |f(x) - Q(x)| \quad \textrm{pro každé} \ x\in H_0 \smallsetminus \{0\}.\end{equation*}
Vynecháváme.
\(\square\)Výraz \(|f(x) - Q(x)|\) představuje absolutní velikost chyby pří aproximaci funkce \(f\) pomocí polynomu \(Q\) v bodě \(x\). Pokud \(T_{n-1} \neq T_n\), pak pro jisté okolí \(H_0\) podle předchozí věty platí \begin{equation*} |f(x) - T_n(x)| < | f(x) - T_{n-1}(x)| \quad \textrm{pro každé} \ x\in H_0\smallsetminus\{0\}.\end{equation*} Tedy, každý další Taylorův polynom aproximuje funkci \(f\) lépe než předchozí (pokud není shodný s předchozím).
Jak ale ukazuje příklad č. 7.23, mohou existovat i „patologické“ situace, kdy aproximace pomocí Taylorových polynomů nedává dobře použitelné výsledky.
Nejdůležitější větou této kapitoly je následující Taylorova věta. Tato věta nám dává způsob jak kontrolovat zbytek v Taylorově vzorci (tj. chybu).
Věta 7.12 (Taylorova)
Nechť existuje okolí \(H_a\) bodu \(a\) takové, že funkce \(f\) v něm má konečnou \((n+1)\)-ní derivaci. Pak zbytek v Taylorově vzorci \(f(x) = T_{n,a}(x) + R_{n,a}(x)\) lze pro každé \(x\in H_{a}\) zapsat ve tvaru \begin{equation*} R_{n,a}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1},\end{equation*} kde číslo \(\xi\) závisí na \(x\) a \(n\) a leží uvnitř intervalu s krajními body \(x\) a \(a\). Tento tvar zbytku nazýváme Lagrangeův.
Vynecháváme.
\(\square\)Poznámka 7.13
Pro číslo \(\xi\) z předchozí věty tedy platí \(0 < |\xi - a| < |x - a|\). Interval, o kterém se v předchozí větě mluví nemůžeme zapsat snadno explicitně, protože nevíme, jestli \(x\) leží vpravo či vlevo od bodu \(a\). Proto se raději uchylujeme k slovnímu popisu, připadně nerovnosti uvedené v této poznámce. Hodnota \(\xi\) závisí na hodnotě \(x\) a \(a\).
Tato věta nám dává velmi důležitou informaci o zbytku v Taylorově vzorci. Umožňuje odhadovat chybu, které se dopustíme při nahrazení původní funkce \(f\) jejím Taylorovým polynomem \(T_{n,a}\).
Příklad 7.14
Určete, jaké chyby se dopustíme, když pro výpočet čísla \(\sqrt{e} = e^{\frac{1}{2}}\) použijeme hodnotu Taylorova polynomu funkce \(e^x\) třetího stupně v bodě \(0\) vyhodnoceného v bodě \(x = \frac{1}{2}\), \begin{equation*} T_3(x) = 1 + x + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3.\end{equation*} Dosazením dostaneme funkční hodnotu Taylorova polynomu v \(x=\frac{1}{2}\): \begin{equation*} T_3\bigg(\frac{1}{2}\bigg) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{6} \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{79}{48} = 1.6458\bar{3}.\end{equation*} Toto číslo nám samo o sobě nic neříká. Je nutné odhadnout chybu. Podle Taylorovy věty 7.12 platí (\(f(x) = e^x\)) rovnost \begin{equation*} \sqrt{e} = T_3\bigg(\frac{1}{2}\bigg) + R_3\bigg(\frac{1}{2}\bigg),\end{equation*} kde zbytek je tvaru \begin{equation*} R_3\bigg(\frac{1}{2}\bigg) = \frac{e^\xi}{4!}\left(\frac{1}{2}\right)^4.\end{equation*} O čísle \(\xi\) pouze víme, že leží v intervalu \(\big(0,\frac{1}{2}\big)\). Navíc umíme odhadnout velikost čísla \(e\), platí nerovnost \(e<4\) (zdůvodněte!). Celkem tedy \begin{equation*} 0 < R_3\bigg(\frac{1}{2}\bigg) < \frac{4^{1/2}}{4!} \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{192} = 0.005208\bar{3}.\end{equation*} Číslo \(\sqrt{e}\) leží v intervalu \(\big(1.6458\bar{3}, \ 1.651041\bar{6}\big)\). Viz ilustrační obrázek 7.6. Přibližná hodnota \(\sqrt{e}\) s přesností na \(8\) cifer je \(\sqrt{e} \approx 1.6487213\).
Obrázek 7.6: Graf exponenciály a 3. Taylorova polynomu exponenciály v bodě \(0\) použitého k přibližnému výpočtu \(e^{\frac{1}{2}}\).