Limita \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \sgn x\end{equation*} neexistuje. Skutečně, pro jednostranné limity platí \begin{equation*} \begin{aligned} \lim_{x\to 0_+} \sgn x &= 1, \\ \lim_{x\to 0_-} \sgn x &= -1. \end{aligned}\end{equation*} Podle předchozího důsledku oboustranná limita nemůže existovat (\(1\neq -1\)). Na tomto místě je vhodné si připomenout graf funkce signum!

Limita \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{1}{x}\end{equation*} neexistuje. Opravdu, na konci předešlé podkapitoly jsme odvodili, že \begin{equation*} \lim_{x\to0 +} \frac{1}{x} = +\infty \quad \text{a} \quad \lim_{x\to 0-} \frac{1}{x} = -\infty.\end{equation*}

Z dřívější přednášky o posloupnostech víme (viz větu 3.36), že pro libovolné \(k \in \mathbb{N}\) a pro libovolnou posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\) splňující \(a_n \geq 0\) a \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = \alpha \in \langle 0, +\infty)\) platí \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[k]{a_n} = \sqrt[k]{\alpha}\). Heineho věta (věta č. 5.13) pak implikuje \begin{equation*} \lim_{x \to \alpha} \sqrt[k]{x} = \sqrt[k]{\alpha}\end{equation*} pro každé \(\alpha \in \langle 0, +\infty )\). Tento fakt lze alternativně dokázat i přímo z definice limity funkce \(\sqrt[k]{x}\) v bodě  \(\alpha\).

Limita \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \sin \frac{1}{x}\end{equation*} neexistuje. Označme \(f(x) \ceq \sin \frac{1}{x}\) a položme \begin{equation*} x_n \ceq \frac{1}{2\pi n}, \quad z_n \ceq \frac{1}{2\pi n + \frac{\pi}{2}} \quad \textrm{pro} \ n\in\mathbb{N}.\end{equation*} Tyto posloupnosti splňují \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty} z_n = 0 \quad \textrm{a} \quad \{x_n | n\in\mathbb{N}\} \cup \{z_n | n\in\mathbb{N}\} \subset D_f = \mathbb{R} \smallsetminus \{0\}.\end{equation*} Konečně \begin{equation*} \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} f(x_n) &= \lim_{n\to\infty} \sin (2\pi n) = 0, \\ \lim_{n\to\infty} f(z_n) &= \lim_{n\to\infty} \sin \left( 2\pi n + \frac{\pi}{2} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1. \end{aligned}\end{equation*} Pro představu uvádíme obrázek 5.3. Z obrázku je patrné, že limita posloupnosti obrazů závisí na způsobu jakým se k bodu \(0\) blížíme²⁸.

Buď \(P(x)\) libovolný polynom a \(a\in\mathbb{R}\). Potom \begin{equation*} \lim_{x\to a} P(x) = P(a).\end{equation*} Již jsme ukázali, že \(\displaystyle\lim_{x \to a} x = a\) a víme \(\displaystyle\lim_{x \to a} c = c\). Použijeme-li mnohonásobně větu o limitě součtu a součinu funkcí (věta 5.18), ihned dostaneme tvrzení uvedené na začátku našeho příkladu. Například tedy platí \begin{equation*} \lim_{x\to 2} \big( x^2-3x+1 \big) = 2^2 - 3\cdot 2 + 1 = -1.\end{equation*}

Vypočtěte limitu funkce \begin{equation*} f(x) = \frac{x^4 + 2x^2 - 3}{x^3 -3x^2 + 2x}\end{equation*} v bodech \(a = -1\), \(b = 1\), \(c = 2\) a \(d=-\infty\). Nejprve si všimněme, že jmenovatel lze rozložit na kořenové činitele \begin{equation*} x^3 - 3x^2 + 2x = x(x-1)(x-2),\end{equation*} tudíž \(D_f = \mathbb{R} \smallsetminus \{0,1,2\}\). Pro výpočet limity v bodě \(a = -1\) můžeme proto použít větu o limitě podílu, \begin{equation*} \lim_{x\to a} f(x) = \frac{\lim_{x\to a} x^4 + 2x^2 - 3}{\lim_{x\to a} x^3 - 3x^2+2x} = \frac{0}{-6} = 0.\end{equation*} Dále, před výpočtem limity v bodě \(d\) upravme výraz pro \(f(x)\) následovně \begin{equation*} f(x) = \frac{x^4\left( 1 + \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^4} \right)}{x^3\left( 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} \right)} = x \cdot \frac{1+\frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^4}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}.\end{equation*} Použijeme-li nyní větu o limitě součtu a podílu, dostáváme \begin{equation*} \lim_{x\to d} f(x) = -\infty \cdot \frac{1}{1} = - \infty.\end{equation*} Pro výpočet limit v bodech \(b\) a \(c\) je vhodné upravit na součin kořenových činitelů i čitatel, \begin{equation*} f(x) = \frac{(x^2 + 3)(x^2 - 1)}{x(x-1)(x-2)} = \frac{(x^2+3)(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x-2)} = \frac{(x^2+3)(x+1)}{x(x-2)}, x\in D_f.\end{equation*} Tudíž, opět pomocí předešlých vět, \begin{equation*} \lim_{x\to b} = \frac{8}{-1} = -8, \quad \lim_{x\to c} f(x) \ \text{neexistuje}.\end{equation*} Neexistence poslední limity plyne z nerovnosti jednostranných limit, \begin{equation*} \lim_{x\to c+} f(x) = \frac{21}{2} \cdot (+\infty) = +\infty, \quad \lim_{x\to c-} f(x) = \frac{21}{2} \cdot (-\infty) = -\infty\end{equation*} Je dobré porovnat naše výsledky s grafem uvažované funkce, viz obrázek č. 5.4.

Vypočtěte limitu \begin{equation*} \lim_{x\to 2} \frac{x^2 + x - 2}{x^3 - x^2 - x +1}.\end{equation*} V bodě \(x=2\) je jmenovatel roven \(3\), což je nenulové číslo. Podle věty o limitě podílu proto ihned dostáváme \begin{equation*} \lim_{x\to 2} \frac{x^2 + x - 2}{x^3 - x^2 - x +1} = \frac{4}{3}.\end{equation*}

Vypočtěte limitu \begin{equation*} \lim_{x\to 1} \frac{x^2 + x - 2}{x^3 - x^2 - x + 1}.\end{equation*} Nyní je limita typu \(\frac{0}{0}\). Z polynomů v čitateli a jmenovateli proto můžeme vytknout kořenový činitel \(x-1\), \begin{equation*} \lim_{x\to 1} \frac{x^2 + x - 2}{x^3 - x^2 - x + 1} = \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x^2-1)} = \lim_{x\to 1} \frac{x+2}{x+1} \cdot \frac{1}{x-1}.\end{equation*} Protože ale pro jednostranné limity platí \begin{equation*} \lim_{x\to 1_\pm} \frac{x+2}{x+1} \cdot \frac{1}{x-1} = \frac{3}{2} \cdot (\pm\infty) = \pm\infty,\end{equation*} původní limita podle důsledku 5.10 neexistuje.

Vypočtěme limitu \begin{equation*} \lim_{x \to 1} e^{-\frac{1}{(x-1)^2}}.\end{equation*} Označme \begin{equation*} f(x) = e^{x} \quad \text{a} \quad g(x) = -\frac{1}{(x-1)^2}.\end{equation*} Na cvičení ověříte, že (1. a 2. předpoklad věty o limitě složené funkce) \begin{equation*} \lim_{x\to 1} \frac{-1}{(x-1)^2} = -\infty \quad \text{a} \quad \lim_{x\to-\infty} e^{x} = 0.\end{equation*} Dále například pro \(H_1(1) = (0,2)\) platí \(g(x) \neq -\infty\) pro všechna \(x \in H_1(1)\setminus\{1\}\). První možnost v 3. předpokladu je tedy splněna. Větu o limitě složené funkce lze aplikovat a dostáváme výsledek \begin{equation*} \lim_{x \to 1} e^{-\frac{1}{(x-1)^2}} = 0.\end{equation*}