9.1 Konstrukce Riemannova integrálu
Nejjednodušší geometrickou motivací Riemannova integrálu (či určitého integrálu, Bernhard Riemann, německý matematik, 1826 – 1866) je výpočet obsahu plochy ohraničené grafem funkce a osou nezávisle proměnné. Na obrázku 9.1 je tato plocha znázorněna světle modrou barvou. Zajímavým a možná překvapivým výsledkem pak bude Newtonova formule (věta 9.15) odhalující vztah mezi touto geometrickou konstrukcí a primitivní funkcí.
Obrázek 9.1: Plocha mezi grafem jisté funkce a osou \(x\) nad intervalem \(\langle a,b \rangle\).
Celá konstrukce Riemannova integrálu vychází ze znalosti obsahu obdélníka. Danou plochu pod grafem funkce budeme postupně aproximovat plochou sestavenou z mnoha obdélníků. Ukazuje se, že pro spojitou funkci tento limitní proces dává dobrý výsledek. Nejprve definujme základní pojmy.
Definice 9.1
Buď dán interval \(\langle a,b \rangle\). Konečnou množinu \begin{equation*} \sigma = \{x_0,x_1,\ldots,x_n\}\end{equation*} takovou, že \begin{equation*} a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\end{equation*} nazýváme dělením intervalu \(\langle a,b \rangle\). Bodům \(x_k\), \(k=1,2,\ldots,n-1\), říkáme dělící body intervalu \(\langle a,b \rangle\). Intervalu \(\langle x_{k-1},x_k \rangle\) říkáme částečný interval intervalu \(\langle a,b \rangle\) při dělení \(\sigma\). Číslo \begin{equation*} \nu(\sigma) \ceq \max \{ \Delta_k \mid k = 1,2,\ldots,n \}, \quad \text{kde} \quad \Delta_k \ceq x_k - x_{k-1}, \ k = 1,2,\ldots,n,\end{equation*} nazýváme normou dělení \(\sigma\).
Příklad 9.2 (Ekvidistantní dělení)
Pro interval \(\langle a,b \rangle\) a \(n\in\mathbb{N}\) položme \(\Delta \ceq \frac{b-a}{n}\) a \begin{equation*} x_i \ceq a + i\cdot\Delta, \quad i = 0,1,\ldots,n.\end{equation*} Tedy \begin{equation*} \sigma = \big\{ a, \, a + \Delta, \, a + 2 \Delta, \ldots, \, a + (n-1)\Delta, \, b \big\}.\end{equation*} Všimněte si, že \(a + n\Delta = a + b - a = b\). V případě \(n=5\) si lze ekvidistantní dělení intervalu \(\langle a,b \rangle\) představit jako na následujícím obrázku č. 9.2.
Obrázek 9.2: Příklad ekvidistantního dělení intervalu intervalu \(\langle a,b \rangle\) na pět stejně dlouhých intervalů.
Buďte funkce \(f\) definovaná a omezená na intervalu \(J =\langle a,b \rangle\) a \(\sigma = \{x_0,x_1,\ldots,x_n\}\) dělení intervalu \(J\). Součty \begin{equation*} S(\sigma,f) \ceq \sum_{i=1}^n \Delta_i \sup_{\langle x_{i-1},x_i\rangle} f \quad \text{a} \quad s(\sigma,f) \ceq \sum_{i=1}^n \Delta_i \inf_{\langle x_{i-1},x_i\rangle} f\end{equation*} nazýváme horním součtem funkce a dolním součtem funkce \(f\) při dělení \(\sigma\).
Dolní, resp. horní, součty představují obsah plochy tvořené obdélníky pod, resp. nad, grafem funkce s podstavami tvořenými částečnými dělícími intervaly. Následující obrázky č. 9.3 a 9.4 ilustrují dolní a horní součty.
Obrázek 9.3: Jeden konkrétní dolní součet funkce \(f\) při dělení \(\sigma\).
Obrázek 9.4: Jeden konkrétní horní součet funkce \(f\) při dělení \(\sigma\).
Pro funkci \(f\) definovanou a omezenou na uzavřeném intervalu \(J=\langle a,b \rangle\) definujeme čísla \begin{equation*} \overline{\int_a^b} f(x) \,\mathrm{d}x \ceq \inf\{ S(\sigma) \mid \sigma \ \text{dělení} \ J \} \ \text{a} \ \underline{\int_a^b} f(x) \,\mathrm{d}x \ceq \sup\{ s(\sigma) \mid \sigma \ \text{dělení} \ J \}.\end{equation*} a nazýváme horním integrálem, resp. dolním integrálem, funkce \(f\) na intervalu \(J\).
Ze způsobu jakým je horní (resp. dolní) integrál konstruován je zřejmé, že představuje jakýsi horní (resp. dolní) odhad obsahu hledané plochy. Pokud horní i dolní integrál jsou stejné, tak má dobrý smysl mluvit o obsahu plochy pod grafem. Proto Riemannův integrál definujeme následovně.
Definice 9.3
Pokud pro funkci \(f\) definovanou a omezenou na uzavřeném intervalu \(J\) platí \begin{equation*} \overline{\int_a^b} f(x)\,\mathrm{d}x = \underline{\int_a^b} f(x) \,\mathrm{d}x \in \mathbb{R},\end{equation*} pak jejich společnou hodnotu nazýváme Riemannovým integrálem funkce \(f\) na intervalu \(J\) a toto číslo značíme symboly \begin{equation*} \int_a^b f, \quad \text{případně} \quad \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.\end{equation*}
Příklad 9.4
Ukažme si jednoduchý příklad funkce, které není Riemannovsky integrabilní. Definujme Dirichletovu funkci \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q}, \\ 0, & \text{jinak} \end{cases}\end{equation*} s definičním oborem \(\mathbb{R}\). Vezměmě libovolné dělení \(\sigma\) intervalu \(\langle 0,1 \rangle\). Zřejmě platí \(S(\sigma, f) = 1\) a \(s(\sigma, f) = 0\) a proto \begin{equation*} \overline{\int_0^1} f = 1 \quad \text{a} \quad \underline{\int_0^1} f = 0.\end{equation*} Tato funkce tedy nemá Riemannův integrál na intervalu \(\langle 0,1 \rangle\) ani na libovolném jiném uzavřeném intervalu.
V definici horního a dolního integrálu potřebujeme počítat suprema a infima jistých množin. To nemusí být jednoduchá úloha. Naštěstí ji ve většině případů můžeme nahradit počítáním limity jisté číselné posloupnosti.
Posloupnost dělení \(\sigma_n\) nazveme normální, pokud pro její normy platí \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \nu(\sigma_n) = 0.\end{equation*}
Věta 9.5 (Postačující podmínka pro existenci Riemannova integrálu)
Buď \(f\) spojitá funkce na intervalu \(\langle a,b \rangle\). Potom existuje její Riemannův integrál na intervalu \(\langle a,b\rangle\). Pokud je navíc \((\sigma_n)\) normální posloupnost dělení intervalu \(\langle a,b \rangle\) potom limity \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} s(\sigma_n, f) \quad \text{a} \quad \lim_{n\to\infty} S(\sigma_n,f)\end{equation*} existují, a jsou rovny Riemannově integrálu funkce \(f\) na intervalu \(\langle a,b \rangle\).
Vynecháváme.
\(\square\)Výpočet lze ale ještě dále zjednodušit. Při výpočtu horního a dolního součtu musíme hledat infima a suprema integrované funkce na dělících intervalech. Tomu se lze také vyhnout jak ukazuje následující věta.
Definice 9.6
Pro funkci \(f\) spojitou na uzavřeném intervalu \(\langle a,b \rangle\) a dělení \(\sigma = \{x_0,\,x_1,\ldots,\,x_n\}\), kde \(x_0 = a\) a \(x_n = b\), tohoto intervalu definujeme integrální součet funkce \(f\) při dělení \(\sigma\) předpisem \begin{equation*} \mathcal{J}(\sigma,f) = \sum_{i=1}^n f(\alpha_i) \Delta_i,\end{equation*} kde \(\alpha_i\) patří do intervalu \(\langle x_{i-1}, x_i \rangle\), \(i=1,2,\ldots,n\).
Vztah mezi dolním a horním součtem a integrálním součtem funkce \(f\) při dělení \(\sigma\) je dán nerovnostmi \begin{equation*} s(\sigma,f) \leq \mathcal{J}(\sigma,f) \leq S(\sigma,f).\end{equation*} Riemannův integrál funkce \(f\) spojité na intervalu \(\langle a,b \rangle\) lze tedy počítat i jako limitu z integrálních součtů
Příklad 9.7
Vypočtěte integrál z konstantní funkce \(f(x) = c\) na intervalu \(\langle a,b \rangle\). Pro libovolné dělení \(\sigma\) intervalu \(\langle a,b \rangle\) platí \begin{equation*} s(\sigma,f) = S(\sigma,f) = \mathcal{J}(\sigma,f) = c (b-a).\end{equation*} Takže pro libovolnou normální posloupnost \((\sigma_n)\) dělení intervalu \(\langle a,b \rangle\) dostáváme \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} s(\sigma_n,f) = \lim_{n\to\infty} S(\sigma_n,f) = c(b-a).\end{equation*} Riemannův integrál funkce \(f\) na intervalu \(\langle a,b \rangle\) je pak \begin{equation*} \int_a^b f = c(b-a).\end{equation*} Viz obrázek č. 9.5.
Obrázek 9.5: Riemannův integrál z konstantní funkce.
Příklad 9.8
Pomocí definice vypočtěte Riemannův integrál funkce \(f(x) = x\) na intervalu \(J = \langle 0,1 \rangle\). Zvolme normální posloupnost \((\sigma_n)\) ekvidistantních dělení intervalu \(J\). \begin{equation*} \sigma_n = \Big\{0 = x_0^{(n)}, \, x_1^{(n)}, \ldots,\, x_{n}^{(n)} = 1 \Big\}, \quad x_i^{(n)} = i \cdot \frac{1}{n}, \quad i = 0,1,\ldots,n.\end{equation*} Pro dolní součet při dělení \(\sigma_n\) dostáváme \begin{equation*} s(\sigma_n,f) = \sum_{i=1}^n x_{i-1}^{(n)} \cdot \frac{1}{n} = \sum_{i=1}^n \frac{i-1}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n(n-1)}{2}.\end{equation*} Tudíž \begin{equation*} \int_0^1 x\, \mathrm{d}x = \lim_{n\to\infty} s(\sigma_n,f) = \frac{1}{2}.\end{equation*} Podobně pro horní součet při dělení \(\sigma_n\) platí \begin{equation*} S(\sigma_n, f) = \sum_{i=1}^n x_{i}^{(n)} \cdot \frac{1}{n} = \sum_{i=1}^n \frac{i}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2}\end{equation*} a opět \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} S(\sigma_n, f) = \frac{1}{2}.\end{equation*}
Obrázek 9.6: K výpočtu Riemannova integrálu funkce \(f(x) = x\).
Poznámka 9.9 (Mathematica)
Určitý integrál lze v počítačovém algebraickém systému Mathematica počítat pomocí příkazu Integrate[f, {x, a, b}], kde \(f\) je integrovaná funkce (výraz), \(x\) integrační proměnná a \(a\) dolní a \(b\) horní mez.
Poznámka 9.10 (Numerický výpočet integrálu)
V následující podkapitole si ukážeme jak v některých případech lze počítat Riemannův integrál symbolicky. Na tomto místě je ale vhodné poznamenat, že konstrukce (definice) uvedená v této kapitole přímo nabádá k numerickému výpočtu pomocí počítače. Nejvhodnější k tomuto účelu použít integrálních součtů, viz rovnici (9.1).
Na tomto místě zmiňme aspoň jeden sofistikovanější způsob známý jako Simpsonovo pravidlo. Jeho myšlenka opět spočívá v konstrukci dělení \(\{ a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b \}\) intervalu \(\langle a,b \rangle\). V předchozích odstavcích jsme vlastně nad dělícími intervaly \(\langle x_{i-1},x_i\rangle\) nahradili původní funkcí \(f\) konstantní funkci (supremem, infimem nebo libovolnou hodnotou funkce \(f\)). Nyní nahradíme funkci \(f\) nad intervalem \(\langle x_{i-1}, x_i \rangle\) její kvadratickou interpolací procházející body \(\big(x_{i-1}, f(x_{i-1})\big)\), \(\big(x_{i}, f(x_{i})\big)\) a \(\big((x_{i-1}+x_i)/2, f((x_{i-1}+x_i)/2\big)\).
Hledáme kvadratickou funkci \(\alpha x^2 + \beta x + \gamma\) splňující
\begin{equation*}
\begin{aligned} \alpha x_{i-1}^2 + \beta x_{i-1} + \gamma &= f(x_{i-1}), \\ \alpha x_{i}^2 + \beta x_i + \gamma &= f(x_i), \\ \alpha \Big(\frac{x_i + x_{i-1}}{2}\Big)^2 + \beta \frac{x_i + x_{i-1}}{2} + \gamma &= f\Big( \frac{x_i + x_{i-1}}{2} \Big). \end{aligned}\end{equation*}
Tyto tři lineární rovnice pro tři neznámé \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) lze vyřešit (explicitní vzorečky pro ně lze nalézt v bi-zma-m-integrace.nb notebooku na oficiální stránkách předmětu BI-ZMA). Příspěvek k integrálu na intervalu \(\langle x_{i-1}, x_i \rangle\) pak nahradíme skutečným integrálem z této kvadratické funkce (vizte Newtonovu formuli 9.15 dále),
\begin{equation*}
\int_{x_{i-1}}^{x_i} \alpha x^2 + \beta x + \gamma \,\mathrm{d}x = \frac{1}{6}(x_{i} - x_{i-1}) \bigg( f(x_{i-1}) + f(x_i) + 4 f\Big( \frac{x_{i-1} + x_i}{2} \Big) \bigg).\end{equation*}
Tudíž podle Simpsonova pravidla je přibližnou hodnotou integrálu
\begin{equation*}
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\end{equation*}
hodnota součtu
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^n \frac{1}{6}(x_{i} - x_{i-1}) \bigg( f(x_{i-1}) + f(x_i) + 4 f\Big( \frac{x_{i-1} + x_i}{2} \Big) \bigg),\end{equation*}
kde \(\sigma = \{a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b \}\) je dělení intervalu \(\langle a,b \rangle\).