Základy matematické analýzy

Ve velké části předmětu BI-ZMA se budeme zabývat vlastnostmi funkcí. Zobrazení patří mezi ústřední matematické objekty. Funkce, posloupnosti, pole (v programátorském smyslu), matice, permutace, binární operace, to vše jsou příklady zobrazení.

Začněme nejprve několika motivačními příklady konceptu zobrazení.

Příklad 2.11 (ASCII tabulka)

Data v počítači jsou uložena v binární formě. Jedním ze způsobů jak zakódovat (nejen) znaky latinské abecedy je ASCII⁷ tabulka. Každému celému číslu v rozsahu \(0\) až \(127\) (sedm bitů) je přiřazen jistý znak. Nekompletní ilustrační ukázka je uvedena v tabulce č. 2.1.

binární hodnota	hexedecimální hodnota	znak abecedy
100 0001	41	A
100 0010	42	B
100 0011	43	C
100 0100	44	D
100 0101	45	E
100 0110	46	F
100 0111	47	G
100 1000	48	H
100 1001	49	I
100 1010	4A	J
100 1011	4B	K
100 1100	4C	L
100 1101	4D	M
100 1110	4E	N
100 1111	4F	O
101 0000	50	P
101 0001	51	Q
101 0010	52	R
101 0011	53	S
101 0100	54	T
101 0101	55	U
101 0110	56	V
101 0111	57	W
101 1000	58	X
101 1001	59	Y
101 1010	5A	Z

Tabulka 2.1: Vybrané symboly abecedy a jejich kódy v binární a hexadecimální formě (další detaily o ASCII tabulce).

Příklad 2.12 (Reálná druhá odmocnina)

Buď \(x\) libovolné nezáporné reálné číslo. Rovnice \(z^2 = x\) má právě jedno nezáporné řešení \(z\). Toto řešení označme symbolem \(\sqrt{x}\) a nazvěme ho druhou odmocninou z \(x\). Rozeberme odstavec výše podrobněji. Dá-li nám nepřítel (uživatel) nezáporné kladné číslo \(x\), pak abychom mu vrátili \(\sqrt{x}\), musíme vyřešit rovnici \(z^2 = x\) s nezápornou neznámou \(z\). V předchozím odstavci se tvrdí, že toto řešení existuje a je dáno jednoznačně (je právě jedno).

Jednoznačnost dokážeme snadno sporem: předpokládejme, že máme dvě nezáporná a vzájemně různá \(z_1, z_2\) splňující \(z_1^2 = x\) a \(z_2^2 = x\). Potom nutně platí \(z_1^2 - z_2^2 = x - x = 0\). Pomocí známého algebraického vztahu odtud plyne rovnost \((z_1 - z_2)(z_1 + z_2) = 0\). Protože ale (dle našich předpokladů) \(z_1+z_2 \neq 0\) můžeme tuto rovnost upravit a získat rovnost \(z_1 - z_2 = 0\), čili \(z_1 = z_2\). Což je spor (předpokládali jsme \(z_1 \neq z_2\)).
Existence: prozatím odložíme (není triviální, viz větu č. 5.41).

Úvodním odstavcem tohoto příkladu je tedy hodnota \(\sqrt{x}\) dobře definována. Intuitivně si představujeme, že na vstup \(x\) se zobrazí na výstup \(\sqrt{x}\). Konkrétně například \(\sqrt{4} = 2\), protože \(2^2 = 4\). Z výše uvedeného také plyne, že i pro \(\pi\) existuje jisté číslo \(\sqrt{\pi}\) splňující \(\big(\sqrt{\pi}\big)^2 = \pi\). Jak vypočítat jeho hodnotu (v dané přesnosti) výše uvedená definice druhé odmocniny neřeší.

2.2.1 Definice zobrazení

Přistupme nyní k samotné definici zobrazení.

Definice 2.13 (zobrazení / mapping)

Nechť jsou dány dvě množiny \(A, B\) a předpokládejme, že ke každému prvku \(x\) z množiny \(A\) je jednoznačným způsobem přiřazen právě jeden prvek z množiny \(B\), který označíme \(f(x)\). Potom říkáme, že \(f\) je zobrazení množiny \(A\) do množiny \(B\), a tento fakt značíme \(f: A \to B\). Množinu \(A\) nazýváme definičním oborem zobrazení \(f\) a prvek \(f(x)\) pro dané \(x \in A\) nazýváme hodnotou zobrazení \(f\) v bodě \(x\).

Pro explicitní zdůraznění faktu, že bod \(x\) je pomocí \(f\) zobrazen na bod \(y = f(x)\), někdy používáme značení⁸ \(f: x \mapsto y\). V případě, že \(y = f(x)\) pro jisté \(x \in D_f\) také o \(x\) mluvíme jako o vzoru prvku \(y\) při zobrazení \(f\) a naopak o \(y\) jako o obrazu prvku \(x\) při zobrazení \(f\). Definiční obor zobrazení \(f: A \to B\) často značíme symbolem \(D_f\), případně \(D(f)\). Ilustrace k definici zobrazení je uvedena na obrázku č. 2.4.

Poznámka 2.14 (zobrazení vs. hodnota zobrazení)

Rozlišování mezi zobrazením a hodnotou zobrazení je běžné i v programovacích jazycích. Například v Pythonu můžeme jediným příkazem vytvořit funkci \(f\) působící na svém argumentu předpisem \(f(x) = x + 10\),

f = lambda x: x + 10

V proměnné f je nyní uložen objekt typu funkce, příkaz type(f) nám vrátí function. f má smysl samo o sobě (an sich). Teprve voláme-li funkci f na konkrétním argumentu, získáme funkční hodnotu. Například položíme-li x=3 po vyhodnocení f(x) dostaneme 13.

Poznámka 2.15 (Častý omyl)

Je-li \(f: A \to B\) zobrazení, pak množina \(B\) nutně nemusí být jeho oborem hodnot. Tento pojem zavádíme níže v definici č. 2.17. Například \(\sin\) většinou chápeme jako zobrazení \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\), ale obor hodnot funkce \(\sin\) je \(\langle -1,1 \rangle\), což jistě není celá reálná osa.

Rovnost mezi dvěma zobrazeními zavádíme následovně.

Definice 2.16

Máme-li dvě zobrazení \(f: A \to B\) a \(g: A \to B\) pak říkáme, že se rovnají a píšeme \(f = g\), právě když pro každé \(x \in A = D_f = D_g\) platí \(f(x) = g(x)\).

Jinak řečeno, dvě zobrazení \(A \to B\) se rovnají, právě když se rovnají jejich definiční obory (jakožto množiny) a ve všech bodech tohoto společného definičního oboru mají stejné funkční hodnoty.

Otázka 4

Mějme tři zobrazení \(f,g\) a \(h\) s definičními obory \begin{equation*} D_f = \mathbb{R}, \quad D_g = \langle 0,+\infty), \quad D_h = \langle 0,+\infty)\end{equation*} dané předpisy \begin{align*} f(x) &= x, \quad x \in D_f, \\ g(x) &= x, \quad x \in D_g, \\ h(x) &= |x|, \quad x \in D_h.\end{align*} Která jsou si vzájemně rovna?

Odpověď:

Platí \(f \neq g\), \(g = h\) a \(f \neq h\).

2.2.2 Obraz a vzor zobrazení

Zobrazení tedy zobrazuje prvky ze svého definičního oboru na jiné prvky ze svého oboru hodnot. Často bývá výhodné neuvažovat pouze o jednotlivých prvcích, ale rovnou o množinách prvků, které jsou zobrazovány, případně na které se zobrazuje. Proto zavádíme následující pojmy.

Definice 2.17

Nechť jsou dány dvě množiny \(A\) a \(B\) a zobrazení \(f: A \to B\). Je-li \(E \subset A\), pak množinu⁹ \begin{equation*} f(E) \ceq \href{Množina všech prvků tvaru \(f(x)\) kde \(x\) probíhá celou množinu \(E\).}{\class{mathpopup}{\big\{ f(x)\in B \mid x \in E \big\}}}\end{equation*} nazveme obrazem množiny \(E\) při zobrazení \(f\). Množinu \(f(A)\) nazveme oborem hodnot zobrazení \(f\). Je-li \(G \subset B\), potom množinu \begin{equation*} f^{-1}(G) \ceq \href{Množina všech \(x\) z množiny \(A\) takových, že \(f(x)\) patří do množiny \(G\).}{\class{mathpopup}{\big\{ x \in A \mid f(x) \in G \big\}}}\end{equation*} nazveme vzorem množiny \(G\) při zobrazení \(f\).

Symbol pro vzor množiny, \(f^{-1}(G)\), je nutno chápat jako nedělitelný. Netvrdíme nic o existenci inverzního zobrazení (tj. \(f^{-1}\), viz definici č. 2.26 níže). Všimněte si, že obrazem jednoprvkové množiny \(\{x\}\) pro nějaké \(x \in A\) je \(f(\{x\}) = \{f(x)\}\) a tedy jednoprvková množina.

Obrázek 2.4: Zobrazení množiny \(A\) do množiny \(B\). Oborem hodnot zobrazení \(f\) je množina \(f(A)\), tj. obraz definičního oboru \(A\) při zobrazení \(f\).

Příklad 2.18

Koncept obrazu množiny při zobrazení je často využívaný v programovacích jazycích podporujících funkcionální paradigma. Například množinu¹⁰ všech druhých mocnin všech přirozených čísel mezi \(0\) a \(5\) v Pythonu vytvoříme příkazem¹¹

[ n ** 2 for n in range(6) ]

Srovnejte tento zápis s matematičtějším zápisem¹² \begin{equation*} \big\{ n^2 \,\big|\, n \in \{0,1,2,3,4,5\} \big\}.\end{equation*} Tato množina představuje obraz množiny \(E = \{0,1,2,3,4,5\}\) při zobrazení definovaným předpisem \(f(n) = n^2\), \(n \in D_f \ceq \mathbb{N}\). Jedná se tedy o množinu \(f(E)\). V jazyce Python tohoto faktu také můžeme využít následovně:

map(lambda x: x ** 2, range(6))

Tento zápis může být přehlednější, na rozdíl od konstrukce listu pomocí for cyklu.

2.2.3 Injekce, surjekce a bijekce

Podle dodatečných vlastností zobrazení vyčleňujeme následující tři důležité typy.

Definice 2.19 (Důležité typy zobrazení)

Zobrazení \(f: A \to B\) je

prosté (injektivní), jestliže pro každou dvojici \(x_1,x_2 \in A\), \(x_1 \neq x_2\), platí \(f(x_1) \neq f(x_2)\).
na (surjektivní), jestliže \(f(A) = B\), to jest pro každé \(y \in B\) existuje \(x \in A\) splňující \(f(x) = y\).
vzájemně jednoznačné (bijektivní), jestliže \(f\) je prosté a na.

Na obrázku č. 2.4 můžeme o prvních dvou typech zobrazení uvažovat také graficky takto: u prostého zobrazení nikdy „nemíří dvě šipky z různých bodů množiny \(A\) do jednoho bodu v množině \(B\)“, u zobrazení na pak „vede alespoň jedna šipka do každého bodu množiny \(B\)“. Pomocí kvantifikátorů lze tyto podmínky zapsat následovně: \begin{align*} f \text{ je prosté}\qquad& \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}& & (\forall x_1,x_2 \in A)\Big( (x_1 \neq x_2) \, \Rightarrow \, \big(f(x_1) \neq f(x_2)\big) \Big), \\ f \text{ je na}\qquad& \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}& & (\forall y \in B)(\exists x \in A) (f(x) = y).\end{align*} Při ověřování prostoty zobrazení častěji využíváme ekvivalentní formulaci¹³: \begin{equation*} f \text{ je prosté} \qquad \Longleftrightarrow \qquad (\forall x_1,x_2 \in A)\Big(\big(f(x_1) = f(x_2)\big) \, \Rightarrow \, (x_1 = x_2) \Big).\end{equation*}

Příklad 2.20 (Identické zobrazení)

Buď \(A\) libovolná množina. Zobrazení \(\mathrm{id}_A: A \to A\) definované předpisem \begin{equation*} \mathrm{id}_A(x) \ceq x, \quad x\in A,\end{equation*} nazýváme identické zobrazení. Zobrazení \(\mathrm{id}_A\) je injektivní, surjektivní a tedy i bijektivní.

Příklad 2.21

Zobrazení \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) definované předpisem \(f(n) \ceq n^2\) pro každé \(n \in \mathbb N\) je prosté, ale není na. Skutečně, splňují-li \(n,m \in \mathbb{N}\) rovnost \(f(n) = f(m)\), pak \(n^2 = m^2\) a díky kladnosti i \(n = m\). Zobrazení nemůže být na, protože například pro \(m = 3\) neexistuje přirozené číslo \(n\in\mathbb{N}\) splňující \(n^2 = 3\).

Příklad 2.22

Mějme zobrazení \(f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) definované předpisem¹⁴ \(f(m,n) := (m - n, m \cdot n)\). Toto zobrazení není prosté, protože například \(f(1,0) = (1,0) = f(0,-1)\). Pokusme se ověřit surjektivitu, tedy zda pro libovolnou dvojici \((k,\ell) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) existuje dvojice \((m,n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) splňující \(f(m,n) = (k,\ell)\), tedy \begin{equation*} m - n = k \quad \text{a} \quad mn = \ell.\end{equation*} Vyjádřením \(m\) z první rovnice a dosazením do druhé dostáváme kvadratickou rovnici pro \(n\), \begin{equation*} n^2 + kn - \ell = 0.\end{equation*} Tato má řešení \(n_\pm = \frac{1}{2}\big(-k \pm \sqrt{k^2 + 4\ell} \big)\). Tento výraz není vždy celé číslo. Konkrétně například pokud zvolíme \((k,\ell) = (0,-1)\) dostaneme \(n_\pm = \pm i\). Dvojice \((0,-1)\) tedy neleží v oboru hodnot zobrazení \(f\), který tak není celá množina \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) a zobrazení tedy není na.

2.2.4 Zúžení a skládání zobrazení

Nyní se zaměříme na způsoby jak lze ze zobrazení vyrábět nová zobrazení. Ukážeme si nejprve operace zúžení a skládání.

Definice 2.23

Buď \(f: A \to B\) a \(M \subset A\). Zobrazení \(g: M \to B\) definované předpisem \(g(x) \ceq f(x)\) pro každé \(x\in M\) nazýváme zúžením zobrazení \(f\) na množinu \(M\). Zapisujeme \(g = f \big|_M\).

Příklad 2.24

Uvažme zobrazení \({\color{red}f}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definované pro každé \(x\in \mathbb R\) předpisem \(f(x) = x^2\) a jeho zúžení \(\color{blue}g = f\big|_{\mathbb R^+_0}\). Grafy těchto funkcí jsou znázorněny na obrázku č. 2.5.

Obrázek 2.5: Zde pro definiční obory platí \(D_f = \mathbb{R}\) a \(D_g = \langle 0,+\infty)\). Na průniku definičních oborů se funkční hodnoty rovnají a zobrazení \(\color{blue}g\) je proto zúžením zobrazení \(\color{red}f\).

Nová zobrazení můžeme také vytvářet pomocí operace skládání. Ovšem pouze pokud jsou zobrazení správného typu.

Definice 2.25

Nechť \(E \subset B\) a nechť \(f: A \to B\) a \(g: E \to C\) jsou zobrazení. Označíme-li \(D_{g\circ f} = f^{-1}(E) \subset A\), pak definujeme složené zobrazení \(g \circ f : D_{g\circ f} \to C\) předpisem \begin{equation*} (g \circ f)(x) \ceq g\big( f(x) \big)\end{equation*} pro všechna \(x \in D_{g\circ f}\).

O definičním oboru složeného zobrazení pouze víme, že \(D_{g\circ f} \subset A\). V případě, že \(f(A) \cap E = \emptyset\), nastane situace \(D_{g\circ f} = \emptyset\). Názorně je tato situace uvedena na obrázku č. 2.6. O zobrazení \(g\) se často mluví jako o vnějším a o \(f\) jako o vnitřním zobrazení složeného zobrazení \(g \circ f\).

Libovolná dvě zobrazní tedy nelze složit. Musíme zajistit, aby vnitřní zobrazení nevracelo hodnoty mimo definiční obor vnějšího zobrazení. Tento požadavek přesně vystihuje definice č. 2.25, pro názornost můžeme výraz pro \(D_{g\circ f}\) rozepsat (zachováváme značení z definice č. 2.25): \begin{equation*} D_{g\circ f} = f^{-1}(E) = \{ x\in A \mid f(x) \in E = D_g \}.\end{equation*}

Obrázek 2.6: Složené zobrazení.

2.2.5 Inverzní zobrazení

Přirozeně se nabízí otázka, jestli můžeme „změnit směr“ zobrazení \(f: A \to B\). Přesněji, jestli zadanému prvku z oboru hodnot zobrazení \(f\) můžeme jednoznačně přiřadit nějaký prvek v definičním oboru \(D_f = A\). To lze zřejmě pouze v případě, že každý prvek v oboru hodnot zobrazení \(f\) má právě jeden vzor, čili když zobrazení je prosté. Je-li tedy \(f: A \to B\) prosté zobrazení, pak každému prvku \(x\) z oboru hodnot \(f(A)\) lze přiřadit právě jedno \(y\) z množiny \(A\) tak, že \(x = f(y)\). Takto získané zobrazení nazýváme inverzním a značíme \(f^{-1}\).

Definice 2.26

Je-li \(f: A \to B\) prosté zobrazení, pak inverzní zobrazení \(f^{-1}: f(A) \to A\) definujeme pro každé \(x \in f(A)\) předpisem \(f^{-1}(x) = y\), kde \(y\) je takový prvek \(A\), že \(x = f(y)\).

Z definice ihned plynou vztahy \(f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_{A}\) a \(f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_{f(A)}\), přičemž \(f^{-1}\) je jediné zobrazení, které tuto dvojici podmínek splňuje. K ilustraci tohoto pojmu také uvádíme obrázek č. 2.7.

Obrázek 2.7: Prosté zobrazení \(f: A \to B\) a jeho inverze \(f^{-1}: f(A) \to A\).

Příklad 2.27

Uvažme zobrazení \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}\) definované předpisem¹⁵ \begin{equation*} f(n) = (-1)^n \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor ,\quad n\in\mathbb{N}.\end{equation*} Toto zobrazení je prosté a na. Inverzní zobrazení \(f^{-1}: \mathbb Z \to \mathbb N\) je dáno předpisem \begin{equation*} f^{-1}(m) = \begin{cases} 2m, & m \geq 1, \\ 1-2m, & m\leq 0, \end{cases}\end{equation*} pro libovolné celočíselné \(m\).