Základy matematické analýzy

V této části textu si stručně rozebereme, jak integrovat \begin{equation*} \int \frac{p(x)}{q(x)}\,\mathrm{d}x,\end{equation*} kde \(p\) je libovolný polynom a \(q\) je polynom stupně nejvýše dvě. Základní kroky postupu lze popsat následovně:

Pokud to lze, vyděl polynom \(p\) polynomem \(q\), pak \(\frac{p(x)}{q(x)} = s(x) + \frac{r(x)}{q(x)}\), kde stupeň polynomu \(r\) je nejvýše \(1\). Polynom \(s\) zintegrujeme snadno.
Pokud je stupeň polynomu \(q\) roven \(1\), pak použijeme \(\int \frac{b}{x-a} \,\mathrm{d}x = b\ln|x-a| + C\).
Pokud má polynom \(q\) jeden dvojnásobný kořen, pak \(\int \frac{bx+c}{(x-a)^2} \,\mathrm{d}x = \int \frac{b}{(x-a)} + \frac{ab+c}{(x-a)^2} \,\mathrm{d}x = b\ln|x-a| - \frac{ab+c}{x-a} + C.\)
Pokud je stupeň polynomu \(q\) roven \(2\) a jeho diskriminant je kladný, pak \(\frac{r}{q}\) převedeme na tvar \(\frac{b_1}{x-a_1} + \frac{b_2}{x-a_2}\) a použijeme bod 2.
Pokud je stupeň polynomu \(q\) roven \(2\) a jeho diskriminat je záporný, pak použijeme doplnění jmenovatele na čtverec, integrál pak vede na \(\arctg\).

Poznámka 8.23 (Jednoduchý rozklad na parciální zlomky)

K úspěšnému provedení kroku 4. je potřeba provést rozklad na tzv. parciální zlomky (nejjednodušší verze): \begin{equation*} \frac{ax+b}{(x-c)(x-d)} = \frac{A}{x-c} + \frac{B}{x-d}.\end{equation*} Konstanty \(a,b,c,d\) jsou zadány, neznámé \(A,B\) hledáme. Převedeme-li pravou stranu na společný jmenovatel a upravíme čitatele dostaneme \begin{equation*} \frac{A}{x-c} + \frac{B}{x-d} = \frac{(A+B)x - Ad - Bc}{(x-c)(x-d)}.\end{equation*} Neznámé proto řeší soustavu \begin{equation*} \begin{aligned} a &= A+B, \\ b &= -Ad - Bc, \end{aligned}\end{equation*} kterou snadno vyřešíme (v konkrétním příkladě). Často lze u jednoduchých příkladů rozklad i uhodnout. Například \begin{equation*} \frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{\frac{1}{3}}{x-1} + \frac{-\frac{1}{3}}{x+2}.\end{equation*}

Příklad 8.24

Ukázky použití metody na postupně se komplikujících se příkladech.

\(\displaystyle\int \frac{x^2}{x+1} \,\mathrm{d}x = \int x - 1 + \frac{1}{x+1}\,\mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} - x + \ln|x+1| + C\).
\(\displaystyle\int \frac{3x-3}{(x-2)(x+1)}\,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{x-2} + \frac{2}{x+1}\,\mathrm{d}x = \ln|x-2| + 2\ln|x+1| + C\).
\(\displaystyle\int \frac{1}{x^2 -2x + 2}\,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{1 + (x-1)^2}\,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{1+y^2}\,\mathrm{d}y = \arctg y + C = \arctg(x-1) + C\), kde jsme použili substituci \(y=x-1\).
\(\displaystyle\int \frac{x}{x^2 -2x + 2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int \frac{2x -2 + 2}{1 + (x-1)^2} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int \frac{\big((x-1)^2\big)'}{1+(x-1)^2}\,\mathrm{d}x + \int \frac{1}{1+(x-1)^2} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \ln \left( 1 + (x-1)^2 \right) + \int \frac{1}{1+(x-1)^2} \,\mathrm{d}x\), a na druhý integrál použijeme předchozí bod.

Tuto metodu lze rozšířit i na polynomy vyšších stupňů. Ruční počítání se pak ale značně komplikuje. Je očividně potřeba hledat kořeny polynomu ve jmenovateli, což pro polynomy stupně pět a výše není analyticky řešitelná úloha. I kdybychom tyto kořeny našly, tak budeme muset řešit lineární soustavu o mnoha neznámých. Na to lze použít například Gaussovu eliminaci, ale ta se probírá až v dalším semestru.