O některých řadách můžeme rovnou rozhodnout, že divergují, aniž bychom složitě zkoumali jejich částečné součty. Zamyslíme-li se nad definicí konvergence řady pak by intuitivně mělo být jasné, že k tomu aby bylo možné řadu sečíst, tak posloupnost sčítaných čísel musí mít nulovou limitu. Přesněji tuto myšlenku vystihuje následující věta a její důsledek.
Pokud řada \(\sum_{k=0}^\infty a_k\) konverguje, potom pro limitu jejích sčítanců platí \(\displaystyle \lim_{k\to\infty} a_k = 0\).
Označme \(S\in\mathbb{R}\) součet naší konvergentní řady a \((s_n)_{n=0}^\infty\) posloupnost jejích částečných součtů. Pro libovolné kladné celé \(n\) platí \begin{equation*} 0 \leq | a_n | = | s_n - s_{n-1} | = |s_n - S + S - s_{n-1} | \leq |s_n - S| + |S - s_{n-1}|.\end{equation*} Protože \(S = \displaystyle\lim_{n\to\infty} s_n\) dostáváme z věty o sevřené posloupnosti \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0\).
\(\square\)Nejčastěji předchozí větu používáme v následujícím tvaru.
Pokud limita posloupnosti \((a_k)_{k=0}^\infty\) je nenulová nebo neexistuje, potom řada \(\sum_{k=0}^\infty a_k\) není konvergentní.
O řadách \begin{equation*} \sum_{k=1}^\infty \sqrt{k}, \quad \sum_{k=1}^\infty (-1)^k, \quad \sum_{k=1}^\infty \frac{k+2}{k+3},\end{equation*} můžeme ihned díky důsledku č. 4.8 tvrdit, že divergují, protože (popořadě) \begin{equation*} \lim_{k\to+\infty} \sqrt{k} = +\infty, \quad \lim_{k\to+\infty} (-1)^k \ \text{neexistuje}, \quad \lim_{k\to+\infty} \frac{k+2}{k+3} = 1.\end{equation*} Odvodit takovéto tvrzení přímo z definice konvergence řady není triviální. Zkuste to!
Podmínka ve větě 4.7 je pouze nutná. Pokud posloupnost sčítanců konverguje k nule, tak nemůžeme tvrdit, že řada konverguje. Následující příklad ukazuje řadu jejíž členy konvergují k nule a zároveň není konvergentní.
Uvažme řadu \begin{equation*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{k}},\end{equation*} tedy \(a_k = \frac{1}{\sqrt{k}}\), pro \(k=1,2,\ldots\) Víme již, že platí \begin{equation*} \lim_{k \to \infty} a_k = 0.\end{equation*} Ale pro částečné součty \((s_n)_{n=0}^\infty\) platí \begin{equation*} s_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} \href{Součet \(n\) čísel je větší nebo roven součinu jejich počtu a nejmenšího z nich.}{\class{mathpopup}{\geq}} \frac{n}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}.\end{equation*} Proto \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} s_n = +\infty\). Zkoumaná řada diverguje.
K odvození dalších kritérií pro testování konvergence řad budeme opět potřebovat Bolzanovo–Cauchyovo kritérium pro řady.
Řada \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k\) konverguje právě tehdy, když pro každé \(\veps > 0\) existuje \(n_0 \in \mathbb{R}\) tak, že pro každé \(n \geq n_0\) a \(p \in \mathbb{N}\) platí \begin{equation*} |a_n + a_{n+1} + \cdots + a_{n+p}| < \veps.\end{equation*}
Jedná se pouze o použití Bolzanova–Cauchyova kritéria konvergence na posloupnost částečných součtů příslušné řady a přeznačení některých symbolů.
\(\square\)Všimněte si, že má-li řada \(\sum_{k=0}^\infty a_k\) nezáporné členy, pak je posloupnost jejích částečných součtů monotónní (vzpomeňte na větu o limitě monotónní posloupnosti). Víme tedy, že tato řada buď konverguje, nebo je limita jejích částečných součtu rovna \(+\infty\). Máme-li řadu \(\sum_{k=0}^\infty a_k\) s členy různých znamének, pak je přirozené ptát se, v jakém vztahu je její konvergence vzhledem k řadě \(\sum_{k=0}^\infty |a_k|\), která už má nezáporné členy.
Číselnou řadu \(\sum_{k=0}^\infty a_k\) nazýváme absolutně konvergentní, pokud číselná řada \(\sum_{k=0}^\infty |a_k|\) konverguje.
Absolutní konvergence řady implikuje konvergenci řady. Skutečně, platí následující věta.
Pokud řada absolutně konverguje, potom tato řada konverguje.
Použijeme Bolzanova-Cauchyova kritéra pro konvergenci řady. Buď \(\sum_{k=0}^\infty a_k\) absolutně konvergentní řada. Potom pro \(\veps>0\) existuje \(n_0\in\mathbb{N}\) tak, že pro každé \(n\geq n_0\) a \(p\in\mathbb{N}\) je \begin{equation*} \big| a_n + a_{n+1} + \cdots + a_{n+p} \big| \leq |a_n| + |a_{n+1}| + \cdots + |a_{n+p}| < \veps.\end{equation*} Řada \(\sum_{k=0}^\infty a_k\) tedy konverguje.
\(\square\)Poznamenejme, že řady které jsou konvergentní, ale nejsou absolutně konvergentní, jsou citlivé na změnu pořadí sčítání členů. Jinak řečeno, u absolutně konvergentní řady nezáleží na pořadí, v jakém členy sčítáme, výsledek bude vždy stejný. Tak tomu ale není u řad které konvergují neabsolutně. Blíže se této problematice na tomto místě věnovat nebudeme.
Obecně je nutné být opatrný při čistě formálních (a neplatných) operacích, mohli bychom tak získat na první pohled neuvěřitelné výsledky. Uvažme třeba následující řadu, \begin{equation*} S = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k,\end{equation*} o které víme, že je divergentní a nemá součet. Formálně ovšem \begin{equation*} S = 1 + \sum_{k=1}^\infty (-1)^k = 1 - \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} = 1 - S\end{equation*} a tedy \(S = 1/2\). V které části „výpočtu“ jsme se dopustili podvodu?
Buď \((a_k)_{k=0}^\infty\) monotónní posloupnost konvergující k nule. Potom je řada
Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že posloupnost \((a_k)_{k=0}^\infty\) je klesající a tedy i tvořená kladnými členy. Označme opět \((s_n)_{n=0}^\infty\) posloupnost částečných součtů naší řady (4.3), tj. \(s_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k a_k\). Ukažme nejprve, že vybraná posloupnost \((s_{2n+1})_{n=0}^\infty\) je konvergentní. Posloupnost \((a_k)_{k=0}^\infty\) je klesající a proto pro \(n \in \mathbb{N}\) platí nerovnosti \begin{equation*} s_{2n+1} = (a_0 - a_1) + (a_2 - a_3) + \cdots + (a_{2n} - a_{2n+1}) \geq 0 + 0 + \cdots + 0 = 0\end{equation*} a \begin{equation*} s_{2n+1} = a_0 + (a_2 - a_1) + (a_4 - a_3) + \cdots + (a_{2n} - a_{2n-1}) - a_{2n+1} \leq a_0 + 0 + 0 + \cdots + 0 + 0 = a_0.\end{equation*} Jinak řečeno, posloupnost \((s_{2n+1})_{n=0}^\infty\) je omezená (ukázali jsme, že všechny její členy leží v intervalu \(\langle 0, a_0 \rangle\)). Tato posloupnost je ale navíc i rostoucí \begin{equation*} s_{2n+3} = s_{2n+1} + \underbrace{a_{2n+2} - a_{2n+3}}_{\geq 0} \geq s_{2n+1}, \quad n\in\mathbb{N}.\end{equation*} Podle věty o limitě monotonní posloupnosti proto existuje její konečná limita, označnme ji jako \(s_* = \lim_{n\to\infty} s_{2n+1} \in \mathbb{R}\). Protože ale \(s_{2n} = s_{2n+1} + a_{2n+1}\), \(n\in\mathbb{N}\), a dle jednoho z předpokladů dokazované věty je \(\lim_{n\to\infty} a_{2n+1} = 0\), platí \(\lim_{n\to\infty} s_{2n} = s_* + 0 = s_*\). Přímo z definice limity posloupnosti nyní ihned plyne \(\lim_{n\to\infty} s_n = s_* \in \mathbb{R}\) a řada (4.3) je proto konvergentní.
\(\square\)Leibnizovo kritérium platí i pro řady tvaru \begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k a_k,\end{equation*} kde \((a_k)_{k=0}^\infty\) je rostoucí posloupnost záporných čísel konvergující k nule. Skutečně, stačí si uvědomit, že \begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k a_k = - \sum_{k=0}^\infty (-1)^k (-a_k)\end{equation*} a \((-a_k)_{k=0}^\infty\) je klesající posloupnost kladných čísel konvergující k nule.
Příkladem konvergentní řady, která ale není absolutně konvergentní, je řada \begin{equation*} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k}.\end{equation*} Skutečně, tato řada konverguje podle Leibnizova kritéria, protože posloupnost \((1/k)_{k=1}^\infty\) má kladné členy a monotónně konverguje k nule. Řada z absolutních hodnot členů je \(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}\), o které již víme, že diverguje.
Následující kritérium nám umožňuje rozhodovat o konvergenci a divergenci řady porovnáním s vhodně zvolenou řadou o které víme, jestli konverguje či diverguje.
Buďte \(\sum_{k=0}^\infty a_k\) a \(\sum_{k=0}^\infty b_k\) číselné řady. Potom platí následující dvě tvrzení.
Opět použijeme Bolzanova–Cauchyova kritéria. Lze postupovat shodně jako v důkazu věty 4.13. Tvrzení opět plyne z následujícího odhadu, \begin{equation*} \big| |a_n| + |a_{n+1}| + \cdots + |a_{n+p}| \big| = |a_n| + |a_{n+1}| + \cdots + |a_{n+p}| \leq b_n + b_{n+1} + \cdots b_{n+p}.\end{equation*}
\(\square\)Dle předpokladu víme, že \begin{equation*} \sum_{k=k_0}^n a_k \leq \sum_{k=k_0}^n b_k\end{equation*} a limita levé strany je \(+\infty\). Odtud ihned plyne (v podstatě definice limity posloupnosti), že i posloupnost částečných součtů řady \(\sum_{k=0}^\infty b_k\) diverguje.
\(\square\)Již víme, že řada \(\sum_{k=0}^\infty q^k\) konverguje pro \(|q| < 1\). Tohoto faktu s výhodou využijeme v důkazu následující věty, která nese jméno po Jeanu d'Alembertovi (francouzský matematik, 1717 – 1783).
Nechť \(a_k > 0\) pro každé \(k\in\mathbb{N}_0\). Pokud \begin{equation*} \lim_{k\to\infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} > 1,\end{equation*} potom řada \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k\) diverguje. Pokud ovšem \begin{equation*} \lim_{k\to\infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} < 1,\end{equation*} potom řada \(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k\) konverguje.
Označme \begin{equation*} \tilde q \ceq \lim_{k\to\infty} \frac{a_{k+1}}{a_k}.\end{equation*} Dle našich předpokladů platí \(0 \leq \tilde q < 1\). Uvažme libovolné \(q\) splňující \(\tilde q < q < 1\). Věta 3.50 implikuje existenci \(k_0 \in \mathbb{N}\) takového, že je-li \(k \geq k_0\) pak platí nerovnost \(\displaystyle \frac{a_{k+1}}{a_k} \leq q < 1\). Odtud nahlédneme, že pro každé \(k \geq k_0\) platí \begin{equation*} a_k \leq q^{k-k_0} a_{k_0}.\end{equation*} Už ale víme, že řada \(\sum_{k=0}^\infty q^k\) konverguje pro \(|q|<1\). Podle srovnávacího kritéria (věta 4.18) tedy konverguje i řada \(\sum_{k=0}^\infty a_k\).
\(\square\)Poznamenejme, že d'Alembertovo kritérium zdaleka není všemocné. Například o řadě \(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}\) víme, že diverguje. Ovšem pro limitu podílů platí \begin{equation*} \lim_{k\to\infty} \frac{\frac{1}{k+1}}{\frac{1}{k}} = \frac{k}{k+1} = 1.\end{equation*} D'Alembertovo kritérium tedy o konvergenci, resp. divergenci, této konkrétní řady nerozhodne. Dokonce nerozhodne ani o řadě \(\sum_{k=1}^\infty k\). Tato situace je podobná jako u podílového kritéria pro posloupnosti.
Existují další kritéria pro vyšetřování konvergence číselných řad (Cauchyovo, Gaussovo, Dirichletovo, Abelovo, aj.). V poslední části přednášky odvodíme ještě integrální kritérium.
Zkoumejme konvergenci řady \begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty \frac{k^{1000}}{2^k}.\end{equation*} Řada má kladné sčítance, můžeme se proto pokusit použít d'Alembertovo kritérium. Musíme vypočíst hodnotu následující limity \begin{equation*} \lim_{k\to\infty} \frac{\frac{(k+1)^{1000}}{2^{k+1}}}{\frac{k^{1000}}{2^k}} = \lim_{k\to\infty} \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{k+1}{k} \right)^{1000} = \frac{1}{2} \cdot \lim_{k\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^{1000} = \frac{1}{2} \cdot (1 + 0)^{1000} = \frac{1}{2}.\end{equation*} Protože \(\frac{1}{2} < 1\) a řada má kladné členy d'Alembertovo kritérium nám umožňuje tvrdit, že zadaná řada je (absolutně) konvergentní.
Přistupme nyní k první jednoduché aplikaci číselných řad. Pomocí číselné řady můžeme dát přirozený význam nekonečnému desetinnému číselnému rozvoji. Číselné řady budou hrát důležitou roli i v následující podkapitole o Eulerově čísle (podkapitola č. 4.3) a i později při výkladu o Taylorových řadách (kapitola č. 7).
Buď \((a_k)_{k=1}^\infty\) číselná posloupnost jejíž členy nabývají hodnot pouze z množiny \(\{0,1,\ldots,8,9\}\). Potom klademe \begin{equation*} 0.a_1a_2a_3\cdots \ceq \sum_{k=1}^\infty a_k \cdot 10^{-k}.\end{equation*} Řada na pravé straně definiční rovnosti konverguje a její součet jednoznačně (viz větu č. 3.13) definuje jisté reálné číslo. Konvergence řady plyne ze srovnávacího kritéria, zřejmě \begin{equation*} 0 \leq a_k \cdot 10^{-k} \leq 9 \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^k\end{equation*} a řada \(\sum_{k=0}^\infty \Big(\frac{1}{10}\Big)^k\) konverguje protože jde o součet geometrické posloupnosti s kvocientem \(\frac{1}{10}\), který je v absolutní hodnotě menší než \(1\).