10.4 Odhadování asymptotického chování součtů
Vzpomeňme si na příklad 3.46, kde jsme v podstatě dokázali, že číselná řada \begin{equation*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}\end{equation*} diverguje. Nezkoumali jsme ale přímo její posloupnost částečných součtů, jejíž členy jsou \begin{equation*} s_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\end{equation*} Tento částečný součet nelze vyjádřit explicitně, nelze ho sečíst a zbavit se symbolu sumy (na rozdíl od geometrické či aritmetické posloupnosti). Můžeme ale tento součet geometricky interpretovat jako jistou plochu a její obsah porovnat s obsahem plochy pod jistou křivkou, kterou umíme vypočítat pomocí integrálu. Konkrétně platí následující věta.
Věta 10.23
Nechť \(f\) je spojitá funkce na \(\langle 1,+\infty)\) a \(n\in\mathbb{N}\). Je-li \(f\) klesající, pak \begin{equation*} f(n) + \int_1^n f(x) \,\mathrm{d} x \leq \sum_{k=1}^n f(k) \leq f(1) + \int_1^n f(x) \,\mathrm{d}x.\end{equation*} Je-li \(f\) rostoucí, pak \begin{equation*} f(1) + \int_1^n f(x) \,\mathrm{d} x \leq \sum_{k=1}^n f(k) \leq f(n) + \int_1^n f(x) \,\mathrm{d}x.\end{equation*}
Nerovnosti uvedené v předchozí větě je vhodné interpretovat geometricky. Geometrický význam integrálu již známe. Podobně součet \(\sum_{k=1}^n a_k\) lze interpretovat jako obsah \(n\) obdélníků šířky \(1\) a výšky \(a_k\), viz obrázek 10.6.
Buď \(k\in\mathbb{N}\), pak pro každé \(x\in \langle k,\, k+1 \rangle\) platí \(f(k+1) \leq f(x) \leq f(k)\). Z věty o nerovnosti mezi integrály (věta 9.14) dostaneme nerovnost \begin{equation*} f(k+1) = \int_k^{k+1} f(k+1) \mathrm{d}x \leq \int_k^{k+1} f(x) \mathrm{d}x \leq \int_k^{k+1} f(k) \mathrm{d}x = f(k).\end{equation*} Sečtením nerovností pro \(k=1,2,\ldots,n-1\) dostaneme \begin{equation*} \sum_{k=2}^n f(k) \ {\color{red}\leq} \ \int_1^n f(x) \mathrm{d}x \ {\color{blue}\leq} \ \sum_{k=1}^{n-1} f(k).\end{equation*} Odtud \begin{equation*} f(n) + \int_1^n f(x) \mathrm{d} x \ {\color{blue}\leq} \ \sum_{k=1}^n f(k) \ {\color{red}\leq} \ f(1) + \int_1^n f(x) \mathrm{d} x.\end{equation*}
\(\square\)
Obrázek 10.6:
Příklad 10.24
Pomocí odhadu pomocí integrálu (věta 10.23; tj. aniž bychom součet počítali explicitně) zjistěte rychlost růstu (víme, že má za limitu \(+\infty\)) posloupnosti \begin{equation*} a_n = \sum_{k=1}^n k^2, \quad n\in\mathbb{N}.\end{equation*} Nyní \(f(x) = x^2\) je rostoucí na \(\langle 1,+\infty)\) a proto pro každé \(n\in\mathbb{N}\) platí \begin{equation*} 1 + \int_1^n x^2 \, \mathrm{d}x \, \leq \, \sum_{k=1}^n k^2 \, \leq \, n^2 + \int_1^n x^2 \mathrm{d}x.\end{equation*} Tudíž \begin{equation*} \frac{1}{3} n^3 + \frac{2}{3} \leq a_n \leq \frac{1}{3} n^3 + n^2 - \frac{1}{3}.\end{equation*} Pro velká \(n\) je největším členem \(\frac{1}{3} n^3\), přesněji, z věty o limitě sevřené posloupnosti plyne \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{\frac{1}{3}n^3} = 1.\end{equation*}
Příklad 10.25
Odhadněte rychlost růstu posloupnosti \((n!)_{n=1}^\infty\) bez využití faktoriálu. Využijme šikovné úpravy \begin{equation*} \ln n! = \sum_{k=1}^n \ln k.\end{equation*} Funkce \(f(x) = \ln x\) je rostoucí na \(\langle 1,+\infty)\) a proto \begin{equation*} 0 + \int_1^n \ln(x) \, \mathrm{d} x \leq \sum_{k=1}^n \ln(k) \leq \ln(n) + \int_1^n \ln(x) \, \mathrm{d}x.\end{equation*} Primitivní funkcí \(F\) k funkci \(f\) je funkce \(F(x) = x \ln(x) - x + C\), tudíž \begin{equation*} n\ln(n) - n + 1 \, \leq \, \sum_{k=1}^n \ln(k) \, \leq \, \ln(n) + n\ln(n) -n+1.\end{equation*} Odlogaritmováním (monotonie \(e^x\)) poslední nerovnosti pak dostáváme \begin{equation*} e^{n\ln(n) - n + 1} \leq n! \leq e^{\ln(n) + n\ln(n) - n + 1}\end{equation*} a po úpravě \begin{equation*} e \cdot \frac{n^n}{e^n} \, \leq \, n! \, \leq \, en\cdot \frac{n^n}{e^n}, \quad n\in\mathbb{N}.\end{equation*}
Poznámka 10.26
Tento odhad už je pro většinu aplikací dostatečný. Lze ho však ještě dále zlepšovat. Všimněte, že na rozdíl od předchozího příkladu nám tento nyní nedává posloupnost \((b_n)_{n=1}^\infty\) takovou, že \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{b_n} = 1.\end{equation*} Získání takovéto posloupnosti \((b_n)_{n=1}^\infty\) vyžaduje další práci. Pro úplnost uveďme, že tuto vlastnost má například (tzv. Stirlingův vzorec) \begin{equation*} b_n = \sqrt{2\pi n} \cdot \frac{n^n}{e^n}\end{equation*}
Nyní se vrátíme k příkladu, který jsme připomínali na začátku této podkapitoly.
Příklad 10.27
Již víme, že \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = + \infty.\end{equation*} Odhadněme nyní jak rychle se \(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\) blíží k nekonečnu s rostoucím \(n\). Podle předchozí věty, pro \(f(x) = \frac{1}{x}\) klesající na \(\langle 1,+\infty)\) dostáváme odhad \begin{equation*} \frac{1}{n} + \int_1^n \frac{1}{x} \, \mathrm{d} x \ \leq \ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \, \leq 1 + \int_1^n \frac{1}{x} \, \mathrm{d} x.\end{equation*} Po integraci \begin{equation*} \frac{1}{n} + \ln(n) \, \leq \, \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \, \leq \, 1 + \ln(n), \quad n\in\mathbb{N}.\end{equation*} Odtud \begin{equation*} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \, \sim \, \ln(n), \quad \text{nebo} \quad \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \mathcal{O}(n).\end{equation*} Opět tedy máme \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}}{\ln(n)} = 1.\end{equation*} Dále si povšimněte, že \begin{equation*} \frac{1}{n} \ \leq \ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \ \leq \ 1, \quad n\in\mathbb{N}.\end{equation*} O posloupnosti \(\bigg( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \bigg)\) lze ukázat, že je klesající a tudíž má limitu. Tato limita se označuje \(\gamma\) a nazývá se Eulerova–Mascheroniova konstanta. Její přibližná hodnota je \(\gamma = 0.577218\ldots\)
Z těchto příkladů je zřejmé, že věta 10.23 nám dává nástroj na odhadování částečných součtů některých číselných řad a lze ji proto využít k vyšetřování konvergence číselných řad.
Věta 10.28 (Integrální kritérium)
Buď \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) číselná řada s kladnými členy taková, že existuje spojitá a monotónní funkce definovaná na \(\langle 1,+\infty)\) taková, že \(f(n) = a_n\) pro každé \(n\). Potom
- Pokud integrál \(\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,\mathrm{d}x\) konverguje, pak číselná řada \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) konverguje.
- Pokud integrál \(\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,\mathrm{d}x\) diverguje, pak číselná řada \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) diverguje.
Příklad 10.29
Řada \(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty k^{\alpha}\) konverguje pro \(\alpha < -1\) a diverguje pro \(\alpha \geq -1\). Protože \begin{equation*} \int_1^n x^{\alpha} \,\mathrm{d}x = \frac{n^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} - \frac{1}{\alpha + 1}, \ \alpha \neq -1, \ \quad \text{a} \quad \int_1^n x^{-1} \mathrm{d}x = \ln n\end{equation*} platí \begin{equation*} \begin{aligned} \lim_{n\to+\infty} \int_1^n x^{\alpha} \mathrm{d}x &= \frac{1}{-1-\alpha}, \quad \alpha < -1, \\ \lim_{n\to+\infty} \int_1^n x^{\alpha} \mathrm{d}x &= +\infty, \quad \alpha \geq -1. \end{aligned}\end{equation*}