6.6 Maximum, minimum, supremum a infimum
Než se v následující podkapitole pustíme do vyšetřování extrému funkce je vhodné připomenout pojem maxima a minima množiny. Buď \(M \subset \mathbb{R}\). Číslo \(\alpha\in M\) nazýváme
- maximem množiny \(M\), právě když pro všechna \(x\in M\) platí \(x \leq \alpha\),
- minimem množiny \(M\), právě když pro všechna \(x\in M\) platí \(\alpha \leq x\).
Některé množiny \(M\subset\mathbb{R}\) nemusí mít minimum ani maximum. Například otevřený interval \(M = (0,1)\). Čísla \(0\) a \(1\) nejsou minimem ani maximem, neboť \(0,1\notin M\). Každá konečná množina ovšem má minimum i maximum.
Abychom tento problém odstranili, zavádíme pojem infima a suprema množiny. Čtenáři nabízíme grafickou ilustraci definice infima množiny na obrázku č. 6.5.
Definice 6.29
Buď \(A\) neprázdná zdola omezená podmnožina množiny reálných čísel. Číslo \(\alpha\in\mathbb{R}\) nazveme infimem množiny \(A\), značíme \(\inf A\), právě když
- pro každé \(x\in A\) platí \(\alpha \leq x\) (\(\alpha\) je dolní závora \(A\)),
- pokud \(\beta \in \mathbb{R}\) také splňuje předchozí bod, pak \(\beta \leq \alpha\) (\(\alpha\) je největší dolní závora \(A\)).
Obrázek 6.5: Ilustrace ke konstrukci infima množiny, zde \(A = (1,2\rangle\). Množina dolních závor je \((-\infty, 1\rangle\), čili největší dolní závorou je \(1\).
Definice 6.30
Buď \(A\) neprázdná shora omezená podmnožina množiny reálných čísel. Číslo \(\alpha\in\mathbb{R}\) nazveme supremem množiny \(A\), značíme \(\sup A\), právě když
- pro každé \(x\in A\) platí \(x \leq \alpha\) (\(\alpha\) je horní závora \(A\)),
- pokud \(\beta \in \mathbb{R}\) také splňuje předchozí bod, pak \(\alpha \leq \beta\) (\(\alpha\) je nejmenší horní závora \(A\)).
Věta 6.31
Buď \(A\) podmnožina množiny reálných čísel. Potom existuje její infimum (\(\inf A\)) a supremum (\(\sup A\)).
Vynecháváme, plyne z axiomu úplnosti množiny reálných čísel.
\(\square\)Příklad 6.32
Pro interval \(J = (-2,1\rangle\) platí \begin{equation*} \begin{aligned} \max J &= 1, & \sup J &= 1, & \min J \ &\text{neexistuje}, & \inf J &= -2. \end{aligned}\end{equation*}
V dalším textu nás budou zajímat hodnoty funkce nabývané na různých množinách. Zavádíme proto následující značení. Pro \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) a množinu \(M \subset D_f\) klademe \begin{equation*} \begin{aligned} \inf_M f &= \inf_{x\in M} f(x) \ceq \inf \{f(x) \mid x \in M \}, \\ \sup_M f &= \sup_{x\in M} f(x) \ceq \sup \{f(x) \mid x \in M \}. \end{aligned}\end{equation*} Buď \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) spojitá funkce a \(M \subset D_f\) uzavřený omezený interval. Potom klademe \begin{equation*} \begin{aligned} \max_M f &= \max_{x\in M} f(x) \ceq \max \{ f(x) \mid x \in M \}, \\ \min_M f &= \min_{x\in M} f(x) \ceq \min \{ f(x) \mid x \in M \}. \end{aligned}\end{equation*} Připomeňme, že tato \(\min\) a \(\max\) existují díky spojitosti \(f\) a uzavřenosti \(M\).