Vyšetřete průběh funkce \(f(x) = e^x\). Protože \(f'(x)=f''(x) > 0\) pro každé \(x\in\mathbb{R}\) je funkce \(f(x)\) rostoucí a konvexní na celém \(\mathbb{R}\). Asymptota funkce existuje pouze v \(-\infty\) a její přímkou je \(y=0\). Graf této známé funkce uvádíme na obrázku 6.19.

Vyšetřete průběh funkce \(f(x) = \ln x\). Nyní \(D_f = (0,+\infty)\) a \(f'(x) = \frac{1}{x} > 0\) a \(f''(x) = - \frac{1}{x^2} < 0\) pro každé \(x > 0\). Tudíž \(f\) je rostoucí a konkávní, jedinou asymptotou je přímka \(x=0\). Graf této známé funkce uvádíme na obrázku 6.20.

Vyšetřete průběh funkce \begin{equation*} f(x) = \sqrt[3]{3x^2-x^3}.\end{equation*} Odmocnina je lichá, tedy \(D_f = \mathbb{R}\). Průsečík s osou \(y\) je \(f(0) = 0\). Průsečíky s osou \(x\) jsou řešením rovnice \begin{equation*} f(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2(3-x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x_1 = 0 \ \text{a} \ x_2 = 3.\end{equation*} Odtud ihned plyne, že funkce nemůže být sudá, lichá ani periodická (ve všech těchto případech by muselo být průsečíkem i \(x=-3\)). Funkce je spojitá na celém \(\mathbb{R}\). Zkoumejme existenci asymptot v \(\pm\infty\), \begin{equation*} \begin{aligned} k &= \lim_{x\to\pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\pm\infty} \sqrt[3]{\frac{3}{x} - 1} = -1, \\ q &= \lim_{x\to\pm\infty} \big( f(x) - kx \big) = \lim_{x\to\pm\infty} \sqrt[3]{3x^2-x^3} + x = 1. \end{aligned}\end{equation*} Přímka \(y=-x+1\) je tedy asymptotou v \(+\infty\) i \(-\infty\). Pro derivaci funkce \(f\) platí \begin{equation*} f'(x) = \begin{cases} \frac{2x-x^2}{(3x^2-x^3)^{2/3}}, & x \neq 0,3, \\ -\infty, & x = 3, \\ \text{neexistuje}, & x = 0. \end{cases}\end{equation*} Nulovým bodem derivace je \(2\). Kandidáty na lokální extrém jsou tudíž body \(0\) (derivace neexistuje) a \(2\) (derivace je \(0\)). Z první derivace podle znaménka určíme typ monotonie.

Spojitost funkce na celém \(\mathbb{R}\) implikuje lokální minimum v bodě \(0\) (\(f(0) = 0\)) a maximum v bodě \(2\) (\(f(2) = \sqrt[3]{4}\)). Navíc ze spojitosti na \(\mathbb{R}\) a z limit \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\mp\infty\) plyne \(H_f = \mathbb{R}\). Pro druhou derivaci v bodech \(x\neq 0,3\) dostáváme \begin{equation*} f''(x) = \frac{2 x^{-4/3}}{(x-3)^{5/3}}.\end{equation*} Znaménko závisí pouze na znaménku jmenovatele (čitatel je kladný), Nyní můžeme načrtnout graf funkce \(f\), vizte obrázek 6.21.

Tuhost \(T\) trámu s obdélníkovým průřezem je úměrná součinu jeho šířky (horizontální rozměr) \(w\) a třetí mocnině tloušťky (vertikální rozměr) \(t\). Při jakých rozměrech lze dosáhnout největší tuhosti trámu, máme-li k dispozici strom o kruhovém průřezu s poloměrem \(R\)? Parametrizujme trám pomocí parametru \(x\) podle obrázku 6.22. Tedy \(w = 2x\) a \(t = 2 \sqrt{R^2 - x^2}\). Uvažujeme \(2x=w \in \big\langle 0,\,2R \big\rangle\), resp. \(x \in \big\langle 0, R \big\rangle\). Tudíž, \begin{equation*} T(x) = c \cdot w \cdot t^3 = 2^4 \cdot c \cdot x \big( R^2 - x^2 \big)^{\frac{3}{2}}\,.\end{equation*} Hledáme extrém této funkce, derivací je \begin{equation*} T'(x) = 2^4 \cdot c \cdot \bigg( \big( R^2 - x^2 \big)^{\frac{3}{2}} - 3x^2 \cdot \sqrt{R^2 - x^2} \bigg) = 2^4\cdot c\cdot \sqrt{R^2 - x^2} \cdot \Big( R^2 - 4 x^2 \Big).\end{equation*} Nulovým bode derivace je bod \(x_* = \frac{R}{2}\). Funkci \(T\) vyšetřujeme pouze na intervalu \(J\). Vidíme, že na intervalu \(\big( 0, \, \frac{R}{2} \big)\) funkce \(T\) roste a na intervalu \(\big( \frac{R}{2}\,, R\big)\) klesá. V bodě \(x_*\) tudíž nastává lokální maximum. Pro extremální rozměry trámu platí \begin{equation*} w_* = 2x_* = R \quad \text{a} \quad t_* = 2 \sqrt{R^2 - x^2_*} = \sqrt{3} R.\end{equation*}

Vyšetřete průběh funkce (včetně konvexnosti/konkávnosti) funkce \begin{equation*} f(x) = \frac{1}{x} + x^2.\end{equation*} Načrtněte graf této funkce. Definičním oborem je očividně množina \(D_f = \mathbb{R} \smallsetminus \{0\}\). \(f\) je spojitá v každém bodě množiny \(D_f\). Vypočtěme derivaci, \begin{equation*} f'(x) = -\frac{1}{x^2} + 2x = \frac{2x^3 - 1}{x^2}.\end{equation*} Znaménko derivace je, vzhledem ke kladnosti jmenovatele, kontrolováno výrazem \(2x^3 - 1\). Dostáváme \begin{equation*} \begin{aligned} f'(x) &> 0 \ \Leftrightarrow \ x > 2^{-1/3}, \\ f'(x) &< 0 \ \Leftrightarrow \ x < 2^{-1/3} \ \text{a} \ x\neq 0, \\ f'(x) &= 0 \ \Leftrightarrow \ x = 2^{-1/3}. \end{aligned}\end{equation*} Funkce \(f\) je rostoucí na intervalu \((2^{-1/3},+\infty)\) a klesající na intervalech \((-\infty,0)\) a \((0,2^{-1/3})\). V bodě \(a= 2^{-1/3}\) má tedy funkce \(f\) lokální minimum (na pravém okolí bodu \(a\) je rostoucí, na levém okolí bodu \(a\) je klesající a je spojitá v bodě \(a\)). Podívejme se na limity v nekonečnech a v bodě \(0\), \begin{equation*} \lim_{x\to\pm\infty} \frac{1}{x} + x^2 = +\infty, \quad \lim_{x\to 0_\pm} \frac{1}{x} + x^2 = \pm\infty.\end{equation*} Funkce \(f\) není spojitě dodefinovatelná v bodě \(0\). Přímka s rovnicí \(x=0\) je asymptotou funkce \(f\) v bodě \(0\). Asymptoty v nekonečnech neexistují, \begin{equation*} \lim_{x\to\pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\pm\infty} \frac{1}{x^2} + x = \pm\infty.\end{equation*} Vyšetřeme konvexitu a konkavitu. Pro druhou derivaci platí \begin{equation*} f''(x) = \frac{6x^2 \cdot x^2 - (2x^3 - 1) \cdot 2x}{x^4} = 2\frac{x^3 + 1}{x^3}.\end{equation*} Odtud vidíme, že \begin{equation*} \begin{aligned} f''(x) &> 0 \ \Leftrightarrow \ x < -1 \ \text{nebo} \ 0 < x, \\ f''(x) &< 0 \ \Leftrightarrow \ -1 < x < 0, \\ f''(x) &= 0 \ \Leftrightarrow \ x = -1. \end{aligned}\end{equation*} Funkce \(f\) je proto konvexní na intervalech \((-\infty,-1)\) a \((0,+\infty)\), konkávní na intervalu \((-1,0)\). V bodě \(x=-1\) má inflexní bod. Na základě těchto informací nyní můžeme nakreslit graf (viz obrázek 6.23).