3.3 Limita číselné posloupnosti

V této podkapitole nejprve zavedeme pojem limity posloupnosti a pak prozkoumáme jeho základní vlastnosti. Hlavní myšlenkou je vyjádření intuitivního požadavku, aby se „členy posloupnosti \(a_n\) blížily libovolně blízko k jistému číslu \(\alpha\).“ Proč by nás takováto otázka měla zajímat? V praxi je často potřeba zjistit, jestli proces, který členy dané posloupnosti popisují, někam spěje (např. jestli posloupnost jistých aproximací konverguje k hledanému řešení jistého problému). Viz například definici součtu číselné řady.

Poznamenejme, že limita není jediným nástrojem pro zkoumání chování členů posloupností pro velké indexy \(n\). V další části tohoto textu se budeme bavit o hromadných bodech a Landauově asymptotické notaci (podkapitola č. 10.3), pomocí které budeme moci také vyjadřovat chování posloupností v \(\infty\) (například i v situacích, kdy daná posloupnost limitu nemá).

Přistupme nyní k definici limity číselné posloupnosti.

Slovně můžeme definici 3.12 přeformulovat i takto: \(\alpha\in\overline{\mathbb{R}}\) je limitou posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\), právě když v každém okolí \(H_\alpha\) bodu \(\alpha\) leží všechny členy posloupnosti s dostatečně velkým indexem, tj. všechny až na konečný počet výjimek. Na druhou stranu, k tomu aby \(\lim a_n = \alpha\) ale nestačí, aby v každém okolí bodu \(\alpha\) leželo nekonečně mnoho členů posloupnosti. Uvažte například posloupnost

V každém okolí bodu \(0\) leží nekonečně mnoho jejích členů, ale tato posloupnost nemůže mít limitu, protože mimo toto okolí leží taktéž nekonečně mnoho jejích členů. Prvních několik členů této posloupnosti je znázorněno na obrázku č. 3.3. Mimochodem, o členech posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\) z rovnice (3.2) bychom také mohli říci, že se její členy přiblíží libovolně blízko \(0\), přesto \(0\) očividně limitou této posloupnosti není (tato posloupnost ve skutečnosti nemá limitu).

Pokud bychom v definici limity zaměnili „\(n_0\in\mathbb{N}\)“ za „\(n_0\in\mathbb{R}\)“, pak se její smysl nezmění. Význam zůstane také zachován připustíme-li „\(n\geq n_0\)“ místo „\(n > n_0\)“. Index \(n_0\) totiž vyjadřuje pouze to, že inkluze \(a_n \in H_\alpha\) platí pro všechna dostatečně velká \(n\).

Pokud uvažujeme \(\alpha\in\mathbb{R}\), můžeme definici přeformulovat a zbavit ji reference na pojem okolí. Každé okolí \(H_\alpha\) je v tomto případě tvaru \((\alpha-\veps, \ \alpha+\veps)\) pro nějaké kladné \(\veps\). Dále inkluze \(a_n \in H_\alpha\) platí, právě když \(|a_n - \alpha| < \veps\). Dostáváme tedy ekvivalentní formulaci definice, \begin{align*} \lim_{n\to\infty} a_n &= \alpha \in \mathbb{R} \quad \Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow \quad \big( \href{Pro každé kladné \(\veps\)...}{\class{mathpopup}{\forall\veps \in\mathbb{R}, \ \veps > 0}} \big) \big( \href{...existuje přirozené \(n_0\) tak, že...}{\class{mathpopup}{\exists n_0 \in \mathbb{N}}} \big) \big( \href{...pro všechna přirozená \(n\) platí...}{\class{mathpopup}{\forall n\in\mathbb{N}}} \big) \big( \href{...pokud je \(n\) větší než \(n_0\), pak vzdálenost \(a_n\) od \(\alpha\) je menší než \(\veps\).}{\class{mathpopup}{n > n_0 \, \Rightarrow \, |a_n - \alpha| < \veps}} \big).\end{align*} Podobnou úvahou pro případ \(\alpha = +\infty\) obdržíme následující tvrzení \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} a_n = +\infty \quad \Leftrightarrow \quad \big( \forall c\in\mathbb{R} \big) \big( \exists n_0 \in \mathbb{N} \big) \big( \forall n \in \mathbb{N} \big) \big( n>n_0 \, \Rightarrow \, a_n > c \big).\end{equation*} Rozmyslete si podmínku pro \(\alpha = -\infty\).

Nyní se budeme zabývat základními vlastnostmi zavedeného pojmu a několika jednoduchými příklady. Následující věta odhaluje veledůležitou vlastnost pojmu limity. Posloupnost buď limitu nemá, nebo ji má a její hodnota je pak dána jednoznačně. Jinak řečeno, žádná posloupnost nemůže mít dvě různé limity. Pokud tedy dva lidé počítají jeden příklad a vyjde jim rozdílný výsledek, pak alespoň jeden z nich musel někde ve výpočtu udělat chybu.

3.3.1 Použití definice na jednoduchých příkladech

Při počítání limit většinou (přímo) nepoužíváme definici, ale výpočet zakládáme na znalosti jednoduchých, elementárních, limit. V následujících třech příkladech si ukážeme jak definici použít právě na těchto jednoduchých posloupnostech. Dalšími důležitými příklady posloupností se budeme věnovat v sekci č. 3.9.

3.3.2 Konvergence a divergence posloupností

Z pohledu existence limity rozlišujeme následující dva důležité typy posloupností.

O konvergentní posloupnosti někdy také ze zjevných důvodů říkáme, že „má konečnou limitu“. Na základě výsledků příkladů z předchozí sekce č. 3.3.1 můžeme tvrdit následující: posloupnost \(\left(\frac{1}{n}\right)_{n=1}^\infty\) je konvergentní, libovolná konstantní posloupnost je konvergentní, posloupnost \((n)_{n=1}^\infty\) je divergentní.

Shrňme si nejpodstatnější výsledek předchozích odstavců. Nejelementárnějším způsobem výpočtu limity posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\) je úspěšné provedení následujících dvou kroků.

1. Uhodněme kandidáta na limitu, označme si ho \(\alpha\in\overline{\mathbb{R}}\),
2. Pomocí definice dokažme, že \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = \alpha\).

V další části tohoto textu si ukážeme sofistikovanější nástroje pro výpočet limit. Velmi často je nám hodnota limity (pokud vůbec existuje) neznámá. Typicky je její případná hodnota právě to, co hledáme. Vyvstává proto přirozená otázka: lze rozhodnout o konvergenci posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\) pouze na základě znalosti jejích členů, bez toho abychom museli operovat s hodnotou limity? Na tuto otázku zanedlouho kladně odpovíme.

Často je výhodné k odvození limity jedné posloupnosti použít její srovnání s jinou, jednodušší, posloupností se známou limitou. V následujících kapitolách si ukážeme ještě několik takových vět.

Důkaz je jen dvojitým použitím definice.