7.1 Aproximace funkcí pomocí polynomů

Tečna funkce \(f\) v bodě \(a\) představuje tzv. lineární aproximaci funkce \(f\) v bodě \(a\). V blízkosti bodu \(a\) dobře vystihuje chování funkce \(f\). Ilustrativní graf funkce a její tečny je uveden na obrázku 7.1.

Obrázek 7.1: Tečna jakožto lineární aproximace funkce. Lze očekávat, že souhlas je dobrý na malém okolí bodu, kde uvažujeme tečnu. Jak odhadnout chybu mezi funkcí a aproximací?

Pokud chceme funkce aproximovat i na větších intervalech, zřejmě nevystačíme pouze s přímkami, viz obrázek 7.2. Nabízí se uvažovat místo polynomů prvního stupně (přímky) polynomy vyšších stupňů (kvadratické, kubické, atd.). V této kapitole se budeme zabývat problémem, jak tyto aproximační polynomy zkonstruovat. S pomocí derivací vyšších stupňů se naučíme sestrojit tzv. Taylorovy polynomy, které představují v jistém smyslu nejlepší možnou aproximaci k dané funkci.

Obrázek 7.2: Aproximace zadané funkce (černá křivka) pomocí polynomu na zadaném intervalu se zadanou přesností.

Typickým využitím Taylorových polynomů je úloha vypočíst hodnotu dané funkce s předem zadanou přesností pouze pomocí algebraických operací sčítání a násobení (dělení). Tedy například: Jak numericky určit hodnotu \(\sin(37^\circ)\)?

Podle známe geometrické definice funkce \(\sin\) k odpovědi na tuto otázku potřebujeme použít pravítko, kružítko a úhloměr. Přesnost „výpočtu“ je pak dána přesností našich nástrojů. Viz obrázek 7.3.

Obrázek 7.3: Geometrická definice funkce \(\sin\) pomocí jednotkové kružnice je nevhodná pro výpočetní aplikace.