V této kapitole rozebereme spojitost některých elementárních funkcí. Připomeňme, že v dřívějším textu jsme již odvodili spojitost libovolného polynomu. Podívejme se nyní na spojitost některých trigonometrických funkcí.
Funkce \(\sin\) a \(\cos\) jsou spojité v každém bodě \(a\in\mathbb{R}\). Připomeňme známé, v minulé podkapitole vypočtené, limity \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \sin x = 0 \quad \text{a} \quad \lim_{x\to 0} \cos x = 1.\end{equation*} Podle součtového vzorce pro funkci \(\sin\) platí \begin{equation*} \begin{aligned} \sin x &= \sin\big( (x - a) + a \big) \\ &= \sin (x-a) \cos (a) + \cos (x-a) \sin (a) \end{aligned}\end{equation*} Tudíž podle věty o limitě složené funkce (věta 5.23) a součinu/součtu limit (věta 5.18) platí \begin{equation*} \lim_{x\to a} \sin x = 0 \cdot \cos(a) + 1 \cdot \sin a = \sin a.\end{equation*} Což ukazuje spojitost funkce \(\sin\). Spojitost funkce \(\cos\) se ukáže analogicky.
Z posledního příkladu a z věty o spojitosti podílu dvou funkcí (věta 5.18) ihned plyne, že funkce \(\tg\) a \(\cotg\) jsou spojité v každém bodě svého definičního oboru.
Exponenciální funkce je spojitá na \(\mathbb{R}\).
Nejprve dokažme, že exponenciála je spojitá v bodě 0, tedy že platí \begin{equation*} \lim_{x\to 0} e^x = e^0 = 1.\end{equation*} Pro každé přirozené \(n\) a \(x \in (-1,1)\) platí nerovnost \begin{align*} 0 \leq \left| \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} - 1 \right| &= \left| \sum_{k=1}^n \frac{x^k}{k!} \right| \leq \sum_{k=1}^n \frac{|x|^k}{k!} = \\ &= |x| \sum_{k=1}^n \frac{|x|^{k-1}}{k!} \leq |x| \sum_{k=1}^n \frac{|x|^{k-1}}{2^{k-1}} \leq \frac{|x|}{1 - |x|/2} \leq 2 |x|.\end{align*} V odhadu jsme využili nerovnost \(k! \geq 2^{k-1}\) platnou pro každé \(k\in\mathbb{N}\) a nerovnost \begin{equation*} \frac{1}{1 - |x|/2} \leq \frac{1}{1-1/2} = 2\end{equation*} platnou pro každé \(x \in (-1,1)\). Dle věty o nerovnosti mezi limitami posloupností (věta 3.50) dostáváme nyní nerovnost \begin{equation*} 0 \leq \left| e^x - 1 \right| \leq 2|x|\end{equation*} platnou pro každé \(x\in(-1,1)\). Věta o limitě sevřené funkce (věta 5.27) nyní implikuje \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \left| e^x - 1 \right| = 0\end{equation*} a tedy i \begin{equation*} \lim_{x\to 0} e^x = 1.\end{equation*} Z předchozích úvah, z bodu b) věty 4.23 a z věty o limitě složené funkce (věta 5.23) nyní plyne spojitost exponenciální funkce v libovolném bodě \(a\in\mathbb{R}\). Skutečně, platí \begin{equation*} \lim_{x\to a} e^x = \lim_{x\to a} e^{a + x - a} = e^a \lim_{x\to a} e^{x-a} = e^a \cdot 1 = e^a.\end{equation*}
\(\square\)Pro exponenciální funkci platí \begin{equation*} \lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty \quad \text{a} \quad \lim_{x\to-\infty} e^x = 0.\end{equation*} Oborem hodnot exponenciální funkce je neomezený interval \((0,+\infty)\).
Pro \(x > 0\) platí \(e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} > 1 + x\). Podobný argument jsme již použili v důkazu bodu d) věty 4.23. Je-li \(K > 0\) dáno pevně, pak pro \(x\in (K-1, +\infty)\) platí \(e^x > 1+x > 1 + K-1 = K\). Tedy \(\lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty\). Naopak, \begin{equation*} \lim_{x\to-\infty} e^{x} = \lim_{x\to+\infty} e^{-x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{e^{x}} = \frac{1}{+\infty} = 0.\end{equation*} Dle věty 5.48 víme, že exponenciála je spojitá na intervalu \((-\infty,\infty)\). Věta 5.44 pak implikuje, že obor hodnot exponenciály je také interval. Vzhledem k výše odvozeným limitám a bodu c) věty 4.23 tento interval nutně musí být interval \((0,+\infty)\).
\(\square\)Logaritmus je spojitá funkce na intervalu \((0,+\infty)\), tj. pro každé \(a\in(0,+\infty)\) platí \begin{equation*} \lim_{x\to a} \ln x = \ln a.\end{equation*} Navíc \begin{equation*} \lim_{x\to 0_+} \ln x = -\infty \quad \text{a} \quad \lim_{x\to +\infty} \ln x = +\infty.\end{equation*}
Protože už víme, že funkce \(\sin\), \(\cos\), \(\tg\) a \(\cotg\) jsou spojité na svých definičních oborech, a vhodně zúžené jsou i ryze monotónní, ihned odtud dostáváme spojitost inverzních funkcí \begin{align*} \arcsin &= \Big( \sin \Big|_{\langle -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \rangle} \Big)^{-1}, \\ \arccos &= \Big( \cos \Big|_{\langle 0,\pi \rangle} \Big)^{-1}, \\ \arctg &= \Big( \tg \Big|_{( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} )} \Big)^{-1}, \\ \arcctg &= \Big( \cotg \Big|_{( 0,\pi )} \Big)^{-1}.\end{align*}
Na závěr této podkapitoly poznamenejme, že ze známých limit posloupností a Heineho věty okamžitě plyne spojitost odmocnin a absolutní hodnoty. Víme, že platí \begin{equation*} \lim_{x\to a} \sqrt[k]{x} = \sqrt[k]{a} \quad \text{a} \quad \lim_{x\to 0_+} \sqrt[k]{x} = 0\end{equation*} pro \(a > 0\) a \(k=2,3,\ldots\), a tedy \(\sqrt[k]{x}\) je spojitá na intervalu \(\langle 0, + \infty)\). Obdobně, protože \begin{equation*} \lim_{x\to a} |x| = |a|\end{equation*} pro \(a \in \mathbb R\), platí, že \(|x|\) je spojitá na \(\mathbb R\).