5.3 Nerovnosti v limitách funkcí
K výpočtům limit posloupností jsme často s výhodou používali větu o limitě sevřené posloupnosti (věta č. 3.54). Analogická tvrzení platí i pro limitu funkce. Těmito tvrzeními se budeme zabývat v této podkapitolce.
Věta 5.26
Mějme funkce \(f\) a \(g\) a nechť existují limity \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)\) a \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)\). Pak platí následující dvě tvrzení:
- Pokud \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) < \lim_{x\to a} g(x)\), potom existuje okolí \(H_a\) bodu \(a\) takové, že pro všechna \(x\in H_a \smallsetminus\{a\}\) platí \(f(x) < g(x)\).
- Pokud existuje okolí \(H_a\) bodu \(a\) takové, že pro všechna \(x\in H_a \smallsetminus\{a\}\) je \(f(x) \leq g(x)\), potom \(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) \leq \lim_{x\to a} g(x)\).
Dokažme postupně obě tvrzení. a. Označme \(\alpha = \lim_a f\) a \(\beta = \lim_a g\). Podle předpokladu \(\alpha < \beta\) lze zvolit disjunktní okolí \(H_\alpha\) bodu \(\alpha\) a \(H_\beta\) bodu \(\beta\). Podle předpokladu existence limit existuje jisté okolí \(H_a\) bodu \(a\) pro které platí \begin{equation*} x \in H_a \smallsetminus \{a\} \ \Rightarrow f(x) \in H_\alpha \ \text{a} \ g(x) \in H_\beta.\end{equation*} Pro stejná \(x\) proto platí \(f(x) < g(x)\). b. Plyne ihned z předchozího bodu (např. sporem a využitím již dokázaného bodu a.).
\(\square\)Hlavním výsledkem této podkapitoly je pak následující věta (srovnejte s větou o limitě sevřené posloupnosti).
Věta 5.27 (O limitě sevřené funkce)
Nechť pro funkce \(f,g,h\) a body \(a,c\in\overline{\mathbb{R}}\) platí:
- existuje okolí \(H_a\) bodu \(a\) takové, že pro každé \(x\in H_a\smallsetminus\{a\}\) platí \(f(x) \leq g(x) \leq h(x)\),
- existují \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x) = \lim_{x\to a}h(x) = c\).
Uvažme nejprve případ \(c\in\mathbb{R}\). Buď \(\veps > 0\). Existuje okolí \(U_a\) bodu \(a\) takové, že pokud \(x\in U_a \smallsetminus \{a\}\) pak \(f(x) \in H_c(\veps)\) a \(h(x) \in H_c(\veps)\). Pro \(x\in U_a \cap H_a\) platí \(f(x) \leq g(x) \leq h(x)\). Proto i \(g(x) \in H_c(\veps)\).
\(\square\)Poznamenejme, že pokud např. \(c=+\infty\), pak stačí pouze dolní odhad. Pro libovolné \(K \in \mathbb{R}\) máme k dispozici \(U_a\) okolí bodu \(a\) takové, že pro \(x\in U_a\) je \(f(x) > K\). Je-li \(x\in U_a \cap H_a\) pak \(h(x) \geq f(x) > K\). Podobná poznámka platí i pro \(c=-\infty\).
Příklad 5.28
Vypočtěte \(\lim_{x\to 0} x \sin \frac{1}{x}\). Zřejmě nelze použít větu o součinu limit, limita \(\lim_{x\to 0} \sin\frac{1}{x}\) totiž neexistuje. Ovšem nerovnost \begin{equation*} f(x) := 0 \leq g(x) := \left| x \sin\frac{1}{x} \right| \leq |x| =: h(x)\end{equation*} platí pro libovolné \(x\in\mathbb{R} \smallsetminus \{0\}\). Zvolíme-li např. \(H_a = (-1,1)\) okolí bodu \(a = 0\), pak
- nerovnost \(f(x) \leq g(x) \leq h(x)\) platí pro každé \(x \in (-1,1) \smallsetminus \{0\}\),
- existují \(\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = \lim_{x\to 0} h(x) = 0\).
Poznámka 5.29
V předchozím výpočtu jsme využili následující ekvivalence \begin{equation*} \lim_{x\to a} f(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x\to a} |f(x)| = 0,\end{equation*} jejíž platnost se ověří úplně stejně jako u limity posloupnosti (viz větu č. 3.34).
Poznámka 5.30
Dále platí následující tvrzení: je-li \(f(x)\) definována a nezáporná na okolí bodu \(a\), a existuje \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = c\), pak \(\displaystyle\lim_{x\to a} \sqrt{f(x)} = \sqrt{c}\). Toto tvrzení se dokáže velmi podobně jako v případě posloupností (viz větu č. 3.36). Můžeme se na něj ale také dívat jako na speciální případ věty o limitě složené funkce kde jsme využili toho, že odmocnina je spojitá. Ke spojitosti se dostaneme v příští kapitole.
Příklad 5.31
Ověřte správnost následujících tvrzení \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \sin x = 0, \quad \lim_{x\to 0} \cos x = 1, \quad \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.\end{equation*} V tento okamžik máme k dispozici pouze geometrickou definici goniometrických funkcí, vizte obrázek č. 5.5. Pro \(x\in\Big(0,\frac{\pi}{2}\Big)\) platí \begin{equation*} \frac{1}{2} \sin x < \frac{x}{2} < \frac{1}{2} \tg x.\end{equation*} Skutečně, porovnejte obsahy trojúhelníku \(OAB\), výseče \(OAB\) a trojúhelníku \(OAC\) na obrázku 5.5. Funkce \(\sin\) je lichá a tudíž \begin{equation*} -|x| \leq \sin x \leq |x|, \quad x \in \Big( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \Big).\end{equation*} Potom \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \sin x = 0\). A z rovnosti \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) pak i \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \cos x = 1\). (Rozmyslete znaménko!) Funkce \(\sin\) i \(\tg\) jsou liché a proto z nerovnosti \begin{equation*} \frac{1}{2} \sin x < \frac{x}{2} < \frac{1}{2} \tg x, \quad x \in \left(0,\frac{\pi}{2} \right)\end{equation*} plyne nerovnost \begin{equation*} 1 < \left\vert \frac{x}{\sin x} \right\vert < \left\vert \frac{1}{\cos x} \right\vert, \quad x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \smallsetminus \{0\}.\end{equation*} Odtud pomocí Věty č. 5.27 dostáváme poslední hledanou limitu \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.\end{equation*} Funkce \(\frac{\sin x}{x}\) je totiž kladná na jistém okolí nuly.
Obrázek 5.5: Jednotková kružnice a výpočet funkcí sinus a tangens.