3.1 Definice reálné posloupnosti
Pomocí pojmu posloupnosti můžeme formalizovat procesy probíhající v diskrétních krocích. Například posloupnost měření průměrné denní teploty v jistém místě, nebo posloupnost aproximací řešení jisté úlohy (tímto způsobem funguje celá řada numerických algoritmů, jen členy těchto posloupností nejsou pouhá čísla, ale například matice nebo vektory; k pochopení konceptu limity nám pro začátek hřiště reálných čísel bude zcela stačit). V této kapitole také poprvé narazíme na pojem limity v jeho nejjednodušší formě (limita posloupnosti). Během semestru se s limitami ještě několikrát setkáme, budeme studovat
- limity funkcí,
- číselné řady (jejichž součet je limitou jisté posloupnosti),
- derivace funkcí (které jsou limitami jistých funkcí),
- Riemannův integrál funkce (jehož konstrukce také využívá pojem limity).
V této kapitole si postupně ukážeme, jak pojem posloupnosti definovat, jaké významné vlastnosti posloupností nás budou zajímat a jak definovat veledůležitý koncept limity posloupnosti.
Definice 3.1 (Posloupnost / sequence)
Zobrazení množiny \(\mathbb{N}\) do množiny \(\mathbb{R}\) nazýváme reálná posloupnost.
Dále budeme používat následující standardní značení. Je-li \(a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\) posloupnost, pak funkční hodnotu \(a\) v bodě \(n\in \mathbb{N}\), tj. reálné číslo \(a(n)\), označujeme pomocí dolního indexu16 symbolem \(a_n\) a nazýváme \(n\)-tým členem posloupnosti \(a\). Skutečnost, že \(a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\) je posloupnost, zapisujeme také zkráceně symbolem \((a_n)_{n=1}^\infty\).
Otázka 5
Vyzýváme čtenáře, aby vlastními slovy zformuloval, jaký je rozdíl mezi symbolem \(a_n\) a \((a_n)_{n=1}^\infty\). Srovnejte s podobnou symbolikou u funkcí, tedy rozdílem mezi \(f(x)\) a \(f\) v případě funkce \(f: D_f \to \mathbb{R}\).
Bez velkých obtíží bychom místo indexové množiny \(\mathbb{N}\) mohli připustit libovolnou nekonečnou zdola omezenou podmnožinu \(J\) množiny \(\mathbb{Z}\). V tom případě bychom tento záměr zdůraznili zápisem \((a_n)_{n\in J}\). Takovouto množinu \(J\) lze vždy očíslovat přirozenými čísly podle jejich velikosti. Na stránkách tohoto textu si vystačíme s posloupnostmi indexovanými přirozenými čísly, tj. \((a_n)_{n=1}^\infty\), a posloupnostmi indexovanými přirozenými čísly včetně nuly, tj. \((a_n)_{n=0}^\infty\). Zdůrazněme, že naše číselné posloupnosti jsou vždy nekonečné. Někdy zaváděný pojem „konečné posloupnosti“ je pro nás prostě jistá uspořádaná \(n\)-tice (s pevně daným \(n\)).
Příklad 3.2
Uvažme posloupnost \(a:\mathbb{N} \to \mathbb{R}\) definovanou předpisem \(a_n \ceq (-1)^n\) pro každé \(n\in\mathbb{N}\). Například tedy platí rovnosti \(a_1 = -1\), \(a_2 = 1\), či \(a_{321} = -1\). Tuto posloupnost jsme mohli zadat i ekvivalentním způsobem: \begin{equation*} a = \big( (-1)^n \big)_{n=1}^\infty.\end{equation*} Oborem hodnot posloupnosti \(a\) je množina obsahující pouze dva prvky, \(\{-1,1\}\). Jinak řečeno, členy této posloupnosti nabývají pouze dvou hodnot, buď \(1\) nebo \(-1\). Posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\) má ale nekonečně mnoho členů. Posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\) je graficky znázorněna na obrázku č. 3.1.
Obrázek 3.1: Příklad posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\), kde \(a_n = (-1)^n\), \(n\in\mathbb{N}\).