Základy matematické analýzy

Pomocí pojmu posloupnosti můžeme formalizovat procesy probíhající v diskrétních krocích. Například posloupnost měření průměrné denní teploty v jistém místě, nebo posloupnost aproximací řešení jisté úlohy (tímto způsobem funguje celá řada numerických algoritmů, jen členy těchto posloupností nejsou pouhá čísla, ale například matice nebo vektory; k pochopení konceptu limity nám pro začátek hřiště reálných čísel bude zcela stačit). V této kapitole také poprvé narazíme na pojem limity v jeho nejjednodušší formě (limita posloupnosti). Během semestru se s limitami ještě několikrát setkáme, budeme studovat

limity funkcí,
číselné řady (jejichž součet je limitou jisté posloupnosti),
derivace funkcí (které jsou limitami jistých funkcí),
Riemannův integrál funkce (jehož konstrukce také využívá pojem limity).

Z těchto odkazů na další části přednášky je patrné, že pochopení limity posloupnosti je pro další výklad stěžejní.

V této kapitole si postupně ukážeme, jak pojem posloupnosti definovat, jaké významné vlastnosti posloupností nás budou zajímat a jak definovat veledůležitý koncept limity posloupnosti.

Definice 3.1 (Posloupnost / sequence)

Zobrazení množiny $\mathbb{N}$ do množiny $\mathbb{R}$ nazýváme reálná posloupnost.

Dále budeme používat následující standardní značení. Je-li $a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ posloupnost, pak funkční hodnotu $a$ v bodě $n\in \mathbb{N}$ , tj. reálné číslo $a(n)$ , označujeme pomocí dolního indexu¹⁶ symbolem $a_n$ a nazýváme $n$ -tým členem posloupnosti $a$ . Skutečnost, že $a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ je posloupnost, zapisujeme také zkráceně symbolem $(a_n)_{n=1}^\infty$ .

Otázka 5

Vyzýváme čtenáře, aby vlastními slovy zformuloval, jaký je rozdíl mezi symbolem $a_n$ a $(a_n)_{n=1}^\infty$ . Srovnejte s podobnou symbolikou u funkcí, tedy rozdílem mezi $f(x)$ a $f$ v případě funkce $f: D_f \to \mathbb{R}$ .

Odpověď:

Jedná se o stejný rozdíl jako mezi funkční hodnotou a funkcí. Symbol

$a_n$ označuje

$n$ -tý člen posloupnosti, kdežto symbol

$(a_n)_{n=1}^\infty$ celou posloupnosti (zobrazení

$a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ ).

Bez velkých obtíží bychom místo indexové množiny $\mathbb{N}$ mohli připustit libovolnou nekonečnou zdola omezenou podmnožinu $J$ množiny $\mathbb{Z}$ . V tom případě bychom tento záměr zdůraznili zápisem $(a_n)_{n\in J}$ . Takovouto množinu $J$ lze vždy očíslovat přirozenými čísly podle jejich velikosti. Na stránkách tohoto textu si vystačíme s posloupnostmi indexovanými přirozenými čísly, tj. $(a_n)_{n=1}^\infty$ , a posloupnostmi indexovanými přirozenými čísly včetně nuly, tj. $(a_n)_{n=0}^\infty$ . Zdůrazněme, že naše číselné posloupnosti jsou vždy nekonečné. Někdy zaváděný pojem „konečné posloupnosti“ je pro nás prostě jistá uspořádaná $n$ -tice (s pevně daným $n$ ).

Příklad 3.2

Uvažme posloupnost $a:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ definovanou předpisem $a_n \ceq (-1)^n$ pro každé $n\in\mathbb{N}$ . Například tedy platí rovnosti $a_1 = -1$ , $a_2 = 1$ , či $a_{321} = -1$ . Tuto posloupnost jsme mohli zadat i ekvivalentním způsobem: $\begin{equation*} a = \big( (-1)^n \big)_{n=1}^\infty.\end{equation*}$ Oborem hodnot posloupnosti $a$ je množina obsahující pouze dva prvky, $\{-1,1\}$ . Jinak řečeno, členy této posloupnosti nabývají pouze dvou hodnot, buď $1$ nebo $-1$ . Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ má ale nekonečně mnoho členů. Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ je graficky znázorněna na obrázku č. 3.1.

Obrázek 3.1: Příklad posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$ , kde $a_n = (-1)^n$ , $n\in\mathbb{N}$ .