V předchozí podkapitole jsme zjistili jak hledat primitivní funkci k součtu dvou funkcí a konstantnímu násobku funkce. Nyní se pokusíme hledat primitivní funkci k součinu dvou funkcí. Vyjdeme z věty 6.13 o derivaci součinu dvou funkcí.
Nechť funkce \(f\) je diferencovatelná na intervalu \((a,b)\) a \(G\) je primitivní funkce k funkci \(g\) na intervalu \((a,b)\) a konečně nechť existuje primitivní funkce k funkci \(f'G\). Potom existuje primitivní funkce k funkci \(fg\) a platí
Tvrzení věty můžeme přímo ověřit derivováním. Podle rovnice (8.1) platí \begin{equation*} \left( fG - \int f' G \right)' = (fG)' - f'G = f'G + fG' - f'G = fG' = fg.\end{equation*}
\(\square\)Poznamenejme, že metoda integrace per partes může být úspěšná pouze pokud budeme schopni dále pracovat s novým integrálem na pravé straně rovnice (8.2), který je stále ve tvaru součinu. Nejedná se o metodu, která „zabere“ na libovolný součin, k tomuto tématu se vrátíme později v podkapitole 8.5. Latinský výraz „per partes“ v češtině znamená „po částech“. Ukažme si použití této metody podrobně na jednoduchých příkladech.
Vypočtěte neurčitý integrál \(\displaystyle\int x\sin x \,\mathrm{d}x\). Pomocí integrace per partes (věta č. 8.12) dostáváme \begin{equation*} \begin{aligned} \int x \sin x \,\mathrm{d}x &= -x\cos x + \int \cos x \,\mathrm{d}x = \\ &= -x\cos x + \sin x + C. \end{aligned}\end{equation*} Na tomto místě je dobré si uvědomit, že správnost výsledku integrace můžeme vždy snadno ověřit pomocí definice 8.1, tedy derivováním: \begin{equation*} \big( -x \cos x + \sin x + C \big)' = - \cos x + x \sin x + \cos x + 0 = x \sin x.\end{equation*}
Vypočtěte neurčitý integrál \(\displaystyle\int x^2 e^x \,\mathrm{d}x\). Nyní je potřeba per partes (věta č. 8.12) použít dvakrát. Dostáváme \begin{equation*} \begin{aligned} \int x^2 e^x \,\mathrm{d}x &= x^2 e^x - \int 2x e^x \,\mathrm{d}x = x^2 e^x -2 \int x e^x \,\mathrm{d}x = \\ &= x^2 e^x -2 \left( x e^x - \int e^x \,\mathrm{d}x \right) = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x = \\ &= \big( x^2 - 2x + 2 \big) e^x + C. \end{aligned}\end{equation*} V každém použití metody per partes jsme integrovali exponenciální funkce a derivovali zbytek v integrandu.
Vypočtěte neurčitý integrál \(\displaystyle\int \arctg x\,\mathrm{d}x\). Integrand sice na první pohled není ve tvaru součinu, ale můžeme postupovat následovně: \begin{equation*} \begin{aligned} \int \arctg x\,\mathrm{d}x &= \int {\color{red}1} \cdot \arctg x\,\mathrm{d}x = x \arctg x - \int \frac{x}{1+x^2} \,\mathrm{d}x = \\ &= x \arctg x - \frac{1}{2} \int \!\!\! \underbrace{\frac{2x}{1+x^2}}_{\left( \ln(1+x^2) \right)'} \!\!\! \mathrm{d}x = x \arctg x - \frac{1}{2} \ln\big( 1 + x^2 \big) + C. \end{aligned}\end{equation*}