Pokud je funkce \(f\) konstantní, lze za \(c\) volit libovolné číslo z intervalu \((a,b)\). V případě, že \(f\) není konstantní, je \(f(\langle a,b \rangle) = \langle A,B \rangle\) uzavřený interval (to jak víme, plyne ze spojitosti \(f\)). Existují tedy \(\alpha,\beta\in\langle a,b \rangle\) tak, že \(A = f(\alpha) < f(\beta) = B\). Protože \(f(a) = f(b)\) leží alespoň jeden z bodů \(\alpha,\beta\) uvnitř \((a,b)\). Označme tento bod \(c\). Funkce \(f\) má v bodě \(c\) lokální extrém, a proto \(f'(c) = 0\). Skutečně, funkce \(f\) má totiž derivaci v každém bodě intervalu \((a,b)\).

Položme \(\displaystyle g(x) \ceq f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a}(x-a)\). Tato funkce je spojitá na \(\langle a,b \rangle\), má derivaci v každém bodě intervalu \((a,b)\) a navíc \(g(a) = g(b) = f(a)\). Proto podle '>Rolleovy věty existuje \(c\in(a,b)\) tak, že \begin{equation*} 0 = g'(c) = f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a}.\end{equation*}