Nejprve zavedeme pojem primitivní funkce.
Nechť \(f\) je funkce definovaná na intervalu \((a,b)\), kde \(-\infty \leq a < b \leq +\infty\). Funkci \(F\) splňující podmínku \begin{equation*} F'(x) = f(x) \ \text{pro každé} \ x \in (a,b)\end{equation*} nazýváme primitivní funkcí k funkci \(f\) na intervalu \((a,b)\).
Ihned z definice plyne, že takováto funkce \(F\) je diferencovatelná v každém bodě intervalu \((a,b)\) a tedy je i spojitá na \((a,b)\). K nahlédnutí tohoto faktu si stačí vzpomenout na větu 6.12.
Funkce \(F(x) = x^3\) je primitivní funkcí k funkci \(f(x) = 3x^2\) na libovolném intervalu \((a,b)\).
Kolik primitivních funkcí k zadané funkci \(f\) může existovat? Jak se od sebe případně liší? Na tyto otázky odpovídá následující tvrzení.
Nechť \(F\) je primitivní funkcí k funkci \(f\) na intervalu \((a,b)\). Pak \(G\) je primitivní funkcí k funkci \(f\) na intervalu \((a,b)\) právě tehdy, když existuje konstanta \(C \in \mathbb{R}\) taková, že \begin{equation*} G(x) = F(x) + C, \quad \text{pro každé} \ x\in(a,b).\end{equation*}
Pokud jsou funkce \(F\) a \(G\) primitivní k \(f\) na intervalu \((a,b)\), potom \begin{equation*} (F - G)'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0, \quad \text{pro všechna} \ x\in(a,b).\end{equation*} Funkce \(F - G\) je proto podle věty 6.43 konstantní na intervalu \((a,b)\). Naopak, je-li \(G(x) = F(x) + C\), pro libovolné \(x\in(a,b)\), pak \(G'(x) = F'(x)\).
\(\square\)Vzhledem k předchozí větě je přirozené zavést značení pro množinu všech primitivních funkcí k zadané funkci \(f\).
Nechť k funkci \(f\) existuje primitivní funkce na intervalu \((a,b)\). Množinu všech primitivních funkcí k funkci \(f\) na \((a,b)\) nazýváme neurčitým integrálem a značíme jej \(\int f\) nebo \(\int f(x) \,\mathrm{d}x\).
Najdeme-li k \(f\) primitivní funkci \(F\) na intervalu \((a,b)\), zapisujeme tento fakt obvykle \begin{equation*} \int f(x) \,\mathrm{d}x = F(x) + C.\end{equation*} Funkci \(f\) nazýváme integrovanou funkcí, \(x\) integrační proměnnou a \(c\) integrační konstantou. Úkolu určit \begin{equation*} \int f(x) \,\mathrm{d}x\end{equation*} říkáme „najít primitivní funkci k \(f\)“, nebo „vypočítat integrál z \(f\)“, nebo „integrovat \(f\)“. Důvod pro tuto notaci bude odhalen v následujících kapitolách. Zde alespoň poznamenejme, že symbol \(\int\) je stylizované S.
K hledání primitivní funkce pomocí Mathematica lze použít příkaz Integrate[f, x], kde \(f\) je integrovaná funkce (výraz) a \(x\) je integrační proměnná.
Slibovaný inverzní vztah mezi derivací a neurčitým integrálem (primitivní funkcí) můžeme vyjádřit následovně. Je-li funkce \(g\) diferencovatelná na intervalu \((a,b)\), pak přímo z definice č. 8.1 plyne \begin{equation*} \int g'(x) \,\mathrm{d}x = g(x) + C, \quad x\in(a,b).\end{equation*} Má-li funkce \(f\) primitivní funkci na intervalu \((a,b)\), potom opět přímo z definice č. 8.1 plyne
V předchozím příkladě 8.2 jsme viděli, že pokud v integrandu „odhalíme“ derivaci jisté funkce, tak je výpočet neurčitého integrálu triviální. Občas lze s úspěchem využít následujícího analogického postřehu: je-li \(\varphi\) kladná funkce se spojitou derivací na jistém otevřeném intervalu \(J\), pak \begin{equation*} \big( \ln \varphi(x) \big)' = \frac{\varphi'(x)}{\varphi(x)}, \quad x \in J\end{equation*} a proto přímo dle definice neurčitého integrálu platí vztah \begin{equation*} \int \frac{\varphi'(x)}{\varphi(x)} \,\mathrm{d}x = \ln \varphi(x) + C.\end{equation*} Touto cestou se můžeme vydat, pokud v integrandu uvidíme (případně jsme ho schopni na tento tvar převést) podíl, kde čitatel je derivací jmenovatele. Například tedy platí (nic nepočítáme, rovnou píšeme výsledek) \begin{equation*} \int \frac{2x}{1+x^2} \,\mathrm{d}x = \ln\big(1+x^2\big) + C \quad \text{nebo} \quad \int \frac{\sin(x)}{2 + \cos(x)} \,\mathrm{d}x = -\ln\big(2+\cos(x)\big) + C.\end{equation*}
Zatím jsme neodpověděli na otázku, zda k zadané funkci \(f\) vůbec primitivní funkce existuje. Nemusí tomu tak být vždy. Postačující podmínka pro existenci primitivní funkce je obsažena v následující větě.
Nechť funkce \(f\) je spojitá na intervalu \((a,b)\). Pak má funkce \(f\) na tomto intervalu primitivní funkci.
Vynecháváme.
\(\square\)Protože umíme derivovat celou řadu elementárních funkcí (viz např. tabulku 6.1) známe i primitivní funkce k některým elementárním funkcím. Ze znalosti derivací můžeme ihned sestavit tabulku 8.1 primitivních funkcí.
| vzorec | interval, parametry |
|---|---|
| \(\displaystyle\int x^n \,\mathrm{d}x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C\) | \(x\in\mathbb{R}\), \(n\in\mathbb{N}_0\) |
| \(\displaystyle\int x^n \,\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) | \(x\in\mathbb{R}\smallsetminus\{0\}\), \(n\in\mathbb{Z}\), \(n \leq -2\) |
| \(\displaystyle\int x^\alpha \,\mathrm{d}x = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C\) | \(x\in(0,+\infty)\), \(\alpha\notin\mathbb{Z}\) |
| \(\displaystyle\int \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x = \ln |x| + C\) | \(x\in\mathbb{R}\smallsetminus\{0\}\) |
| \(\displaystyle\int a^x \,\mathrm{d}x = \frac{a^x}{\ln a} + C\) | \(x\in\mathbb{R}\), \(a>0\) a \(a\neq 1\) |
| \(\displaystyle\int \sin(x) \,\mathrm{d}x = -\cos(x) + C\) | \(x\in\mathbb{R}\) |
| \(\displaystyle\int \cos(x) \,\mathrm{d}x = \sin(x) + C\) | \(x\in\mathbb{R}\) |
| \(\displaystyle\int \frac{1}{\cos^2(x)} \,\mathrm{d}x = \tg(x) + C\) | \(x\in\big( -\frac{\pi}{2} + k\pi, \ \frac{\pi}{2} + k\pi \big)\), \(k\in\mathbb{Z}\) |
| \(\displaystyle\int \frac{1}{\sin^2(x)} \,\mathrm{d}x = -\cotg(x) + C\) | \(x\in\big( k\pi, \ \pi + k\pi \big)\), \(k\in\mathbb{Z}\) |
| \(\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,\mathrm{d}x = \arcsin(x) + C\) | \(x\in(-1,1)\) |
| \(\displaystyle\int \frac{1}{1+x^2} \,\mathrm{d}x = \arctg(x) + C\) | \(x\in\mathbb{R}\) |
Tabulka 8.1: Základní primitivní funkce.
K výpočtu primitivní funkcí komplikovanějších funkcí potřebujeme využít vlastností neurčitého integrálu, které odvodíme v následujících odstavcích. Začneme nejprve tou jednodušší vlastností, chováním vzhledem k sčítání funkcí a konstantním násobkům.
Nechť \(F\), resp. \(G\), je primitivní funkcí k funkci \(f\) na intervalu \((a,b)\).
'>primitivní funkce k funkci \(f\), resp. \(g\), na intervalu \((a,b)\) a nechť \(\alpha\in\mathbb{R}\). PakStačí si uvědomit, že derivace součtu funkcí je součet derivací funkcí a že derivace konstantního násobku funkce je ten samý konstantní násobek derivace funkce.
\(\square\)Tvrzení předchozí věty symbolicky zapisujeme takto, \begin{equation*} \int (f+g) = \int f + \int g \qquad \text{a} \qquad \int (\alpha f) = \alpha \int f,\end{equation*} a mluvíme o linearitě neurčitého integrálu.
Vypočtěte \begin{equation*} \int \left( 4x^2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \right) \mathrm{d}x.\end{equation*} Dle předchozí věty ihned dostáváme výsledek \begin{equation*} \begin{aligned} \int \left( 4x^2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \right) \mathrm{d}x &= 4 \int x^2\,\mathrm{d}x - \int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x + \int x^{-\frac{2}{3}}\,\mathrm{d}x = \\ &= 4\cdot \frac{x^3}{3} - \ln |x| + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} = \frac{4}{3} x^3 - \ln |x| + 3 x^{\frac{1}{3}} + C, \end{aligned}\end{equation*} který platí na libovolném otevřeném intervalu, který je podmnožinou \(\mathbb R \smallsetminus \{0\}\).
Vypočtěte \begin{equation*} \int \big( 2^x + 3^x \big)^2 \,\mathrm{d}x.\end{equation*} Nejprve provedeme jednoduchou algebraickou úpravu integrandu a následně využijeme předchozí větu čímž dostáváme výsledek, \begin{equation*} \begin{aligned} \int \big( 2^x + 3^x \big)^2 \,\mathrm{d}x &= \int \left( 2^{2x} + 2\cdot 2^x\cdot 3^x + 3^{2x} \right)\mathrm{d}x = \\ &= \int 4^x \,\mathrm{d}x + 2 \int 6^x \,\mathrm{d}x + \int 9^x \,\mathrm{d}x = \\ &= \frac{4^x}{\ln 4} + 2 \cdot \frac{6^x}{\ln 6} + \frac{9^x}{\ln 9} + C. \end{aligned}\end{equation*}