V této podkapitole odvodíme několik vlastností exponenciální funkce a přirozeného logaritmu, které později využijeme v následující kapitole při odvození derivace exponenciální funkce a logaritmu. Dále se podíváme na dvě zajímavé limity funkcí i posloupností vedoucí na Eulerovo číslo.
Platí \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1.\end{equation*}
Uvažme \(x \in (-1,1)\), \(x \neq 0\), a \(n\in\mathbb{N}\), \(n \geq 2\). Potom \begin{align*} \frac{\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} - 1}{x} - 1 &= \frac{\sum_{k=1}^n \frac{x^k}{k!}}{x} - 1 = \sum_{k=1}^n \frac{x^{k-1}}{k!} - 1 = \\ &= \sum_{k=2}^n \frac{x^{k-1}}{k!} = x \sum_{k=2}^n \frac{x^{k-2}}{k!}.\end{align*} Z těchto rovností plyne odhad \begin{align*} 0 \leq \left| \frac{\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} - 1}{x} - 1 \right| &\leq |x| \sum_{k=2}^n \frac{|x|^{k-2}}{k!} \leq |x| \sum_{k=2}^n \frac{|x|^{k-2}}{2^{k-1}} = \\ &= \frac{|x|}{2} \sum_{k=2}^n \left(\frac{|x|}{2}\right)^{k-2} \leq \frac{|x|}{2} \sum_{k=2}^\infty \left(\frac{|x|}{2}\right)^{k-2} = \\ &= \frac{|x|}{2} \frac{1}{1 - |x|/2} \leq \frac{|x|}{2} \frac{1}{1-1/2} = |x|.\end{align*} Odtud ihned plyne (věta 3.50) nerovnost \begin{equation*} 0 \leq \left| \frac{e^x - 1}{x} - 1 \right| \leq |x|\end{equation*} pro každé \(x \in (-1,1)\), \(x \neq 0\). Konečně věta 5.27 implikuje \begin{equation*} \lim_{x \to 0} \left| \frac{e^x - 1}{x} - 1 \right| = 0\end{equation*} čili \begin{equation*} \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1.\end{equation*}
\(\square\)Tvrzení o exponenciálná funkci v předchozím lemmatu lze přímočaře přeformulovat na tvrzení o přirozeném logaritmu.
Platí \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{\ln(x + 1)}{x} = 1\end{equation*}
Nejprve zkoumaný výraz vhodně upravme, \begin{equation*} \frac{\ln(x+1)}{x} = \frac{\ln(x+1)}{x+1 - 1} = \frac{1}{\frac{e^{\ln(x+1)} - 1}{\ln(x+1)}}.\end{equation*} Ze spojitosti logaritmu (důsledek 5.50) víme, že \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln(x+1) = 0\). Věta o limitě složené funkce (věta 5.23) a lemma 5.53 ihned dávájí kýžený výsledek.
\(\square\)V předchozích částech jsme se již zabývali limitami součtů, součinů a podílů funkcí (a posloupností) a dále limitami složených funkcí. V následující podkapitole se podrobněji podíváme na výpočet limit tvary \(f(x)^{g(x)}\). Nyní začneme speciálním případem, kdy základ \(f(x) = 1 + \frac{1}{x}\) jde k \(1\) a exponent \(g(x) = x\) do \(+\infty\), případně \(-\infty\). Po prvním zamyšlení by člověka napadlo, že limita takovéto funkce bude rovna \(1\). Následující lemma nás ovšem vyvádí z omylu.
Platí \begin{equation*} \lim_{x\to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x} \right)^x = e\quad \text{a}\quad \lim_{x\to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x} \right)^x = e.\end{equation*}
Opět zkoumaný výraz nejprve upravme (v podstatě podle definice obecné mocniny), \begin{equation*} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e^{x \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right)}.\end{equation*} Díky spojitosti exponenciály (věta č. 5.48) stačí zkoumat limitu jejího argumentu. Pro ten však platí \begin{equation*} x \ln \left( 1+ \frac{1}{x} \right) = \frac{\ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right)}{ \frac{1}{x} }.\end{equation*} O funkci \(\frac{1}{x}\) víme, že má limitu v \(+\infty\) i v \(-\infty\) rovnou \(0\). Z předchozího lemmatu a věty o limitě složené funkce (věta č. 5.23) pak dostáváme \begin{equation*} \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right)}{ \frac{1}{x} } = 1\quad \text{a}\quad \lim_{x\to-\infty} \frac{\ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right)}{ \frac{1}{x} } = 1.\end{equation*} Tudíž \begin{equation*} \lim_{x\to +\infty} \Big(1 + \frac{1}{x} \Big)^x = e^1 = e \quad \text{a}\quad \lim_{x\to -\infty} \Big(1 + \frac{1}{x} \Big)^x = e^1 = e.\end{equation*}
\(\square\)Tento výsledek je často při prvním setkání překvapivý. Naivní intuice studentů je typicky takováto: základ jde k \(1\) a \(1^\infty\) (ať jedničku násobím kolikrát chci) je jednička. Předchozí Lemma ukazuje tuto intuici jako chybnou. V čem je problém? Když například uvažujeme libovolné kladné \(x\), tak \(1 + \frac{1}{x}\) je vždy ostře větší než \(1\) a se zvětšujícím se \(x\) se zmenšuje a blíží shora k \(1\). Naopak ale když pak toto číslo umocňujeme na (stále větší a větší) kladné \(x\), tak se od \(1\) vzdalujeme (pokud \(z > 1\) pak \(z^2 > z\)). Základ se tedy snaží dostat k jedné, ale umocňování ho od jedné vzdaluje. Výsledek pak záleží na tom, která z těchto tendencí je silnější. Podrobně se tomuto jevu budeme věnovat v následující podkapitole č. 5.7.
Pro posloupnosti pak na základě předchozího lemmatu dostáváme následující důsledek.
Pro libovolnou posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\) splňující \(\lim_{n\to\infty} |a_n| = +\infty\) platí \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{a_n} \right)^{a_n} = e.\end{equation*} Speciálně platí \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = e.\end{equation*}
V důsledku lemmatu 5.55 a Heineho věty 5.13 dostáváme \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{|a_n|} \right)^{|a_n|} = e \quad \text{a}\quad \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{-|a_n|} \right)^{-|a_n|} = e.\end{equation*} Vezměme nyní libovolné \(\veps > 0\). Z platnosti předchozích limit plyne existence \(m_0 \in \mathbb N\) a \(k_0 \in \mathbb N\) takových, že pro každé \(n > m_0\) platí \begin{equation*} \left|\left( 1 + \frac{1}{|a_n|} \right)^{|a_n|} - e\right| < \veps\end{equation*} a pro každé \(n > k_0\) platí \begin{equation*} \left|\left( 1 + \frac{1}{-|a_n|} \right)^{-|a_n|} - e\right| < \veps.\end{equation*} Položme \(n_0 = \max(m_0,k_0)\). Pro každé \(n \in \mathbb N\) je \(a_n = |a_n|\) nebo \(a_n = -|a_n|\). Tudíž pro každé \(n > n_0\) dostáváme \begin{equation*} \left|\left( 1 + \frac{1}{a_n} \right)^{a_n} - e\right| < \veps,\end{equation*} čímž je platnost limity dokázána z definice.
\(\square\)Pro libovolné \(\alpha \in \mathbb{R}\) platí \begin{equation*} \lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{\alpha}{x} \right)^{x} = e^\alpha \quad \text{a} \quad \lim_{x \to -\infty} \left( 1 + \frac{\alpha}{x} \right)^{x} = e^\alpha.\end{equation*}
Pro \(\alpha = 0\) je tvrzení triviální (limita konstantní funkce s hodnotou \(1\)). Pro \(\alpha \neq 0\) tento fakt snadno nahlédneme pomocí následující úpravy \begin{equation*} \left(1 + \frac{\alpha}{x} \right)^x = e^{\alpha \cdot \frac{\ln(1 + \alpha / x)}{\alpha / x}}\end{equation*} Pro \(x\) jdoucí do \(+\infty\) nebo \(-\infty\) již víme, že výraz na pravé straně této rovnosti konverguje k \(e^{\alpha \cdot 1} = e^\alpha\).
\(\square\)Vypočtěte limitu \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{e^{\sin 2x} - e^{\sin x}}{\sin x}.\end{equation*} Výraz nejprve upravíme, \begin{equation*} \frac{e^{\sin 2x} - e^{\sin x}}{\sin x} = \frac{e^{\sin 2x} - 1}{\sin 2x} \cdot \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2x}{\sin x} - \frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x}.\end{equation*} Použijeme-li nyní větu o limitě složené funkce a známé limity, pak \begin{equation*} \lim_{x\to 0} \frac{e^{\sin 2x} - e^{\sin x}}{\sin x} = 1\cdot 1 \cdot 2 - 1 = 1.\end{equation*}
Tabulka 5.1 shrnuje výsledky odvozené v této kapitole.
| Důležité limity | Hodnota |
|---|---|
| \(\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{e^x - 1}{x}\) | \(1\) |
| \(\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{\ln(1+x)}{x}\) | \(1\) |
| \(\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{\sin(x)}{x}\) | \(1\) |
| \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\) | \(e\) |
| \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\) | \(e\) |
Tabulka 5.1: Důležité limity funkcí odvozené v této kapitole.