Shrňme si přehledně doposud odvozené vztahy pro derivace. Uvádíme tabulku 6.1 zatím známých derivací.
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) | podmínky |
|---|---|---|
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) | \(x\in\mathbb{R}\), \(n \in\mathbb{N}_0\) |
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) | \(x\in\mathbb{R}\smallsetminus\{0\}\), \(n = -1,-2,\ldots\) |
| \(x^\alpha\) | \(\alpha x^{\alpha -1}\) | \(x>0\) a \(\alpha\in\mathbb{R}\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(x\in\mathbb{R}\) |
| \(a^x\) | \(a^x\ln a\) | \(x\in\mathbb{R}\), \(a>0\) |
| \(\ln(x)\) | \(\frac{1}{x}\) | \(x>0\) |
| \(\sin(x)\) | \(\cos(x)\) | \(x\in\mathbb{R}\) |
| \(\cos(x)\) | \(-\sin(x)\) | \(x\in\mathbb{R}\) |
| \(\tg(x)\) | \(\frac{1}{\cos^2(x)}\) | \(x\neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \ k\in\mathbb{Z}\) |
| \(\cotg(x)\) | \(-\frac{1}{\sin^2(x)}\) | \(x\neq k\pi, \ k\in\mathbb{Z}\) |
| \(\arcsin(x)\) | \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(x\in(-1,1)\) |
| \(\arccos(x)\) | \(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(x\in(-1,1)\) |
| \(\arctg(x)\) | \(\frac{1}{1+x^2}\) | \(x\in\mathbb{R}\) |
| \(\arcctg(x)\) | \(-\frac{1}{1+x^2}\) | \(x\in\mathbb{R}\) |
Tabulka 6.1: Tabulka doposud známých derivací elementárních funkcí.
Nalezněte derivaci funkce \begin{equation*} f(x) = \arctg \left(\frac{1}{x}\right) + \arctg x, \quad x \neq 0.\end{equation*} Přímým výpočtem získáváme \begin{equation*} f'(x) \overset{1}{=} \Bigg( \arctg\frac{1}{x} \Bigg)' + \arctg'( x) \overset{2}{=} \frac{1}{1+ \frac{1}{x^2}}\cdot \Bigg( -\frac{1}{x^2} \Bigg) + \frac{1}{1+x^2} \overset{3}{=} 0\end{equation*} V označených rovnostech jsme postupně použili
Nalezněte derivaci funkce \begin{equation*} f(x) = x^x, \quad x>0.\end{equation*} V tomto případě postupujeme následovně \begin{equation*} f'(x) \overset{1}{=} \Big( e^{x\ln x} \Big)' \overset{2}{=} e^{x\ln x} \cdot \big( x\ln x \big)' \overset{3}{=} e^{x\ln x} \cdot \Bigg( 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} \Bigg) \overset{4}{=} x^x \big( 1 + \ln x \big).\end{equation*} Postupně jsme použili:
Úprava použitá v předchozím příkladě, tedy přepis na exponenciálu se často používá právě u takovýchto druhů funkcí. Jako další příklad ještě uveďme \begin{align*} \Big( (2+\sin x)^{\cos x} \Big)' &= \Big( e^{\cos(x) \ln(2+\sin x)} \Big)' = \\ &= e^{\cos(x) \ln(2+\sin x)} \cdot \left( -\sin(x) \ln(2+\sin x) + \frac{\cos^2(x)}{2+\sin x} \right).\end{align*}