6.9 Vyšetřování průběhu funkce a hledání jejích extrémů
Pomocí věty o přírůstku funkce (věta č. 6.41) můžeme přesně zformulovat vztah mezi monotonií a první derivací funkce. Nejprve si zaveďme vhodné značení.
Definice 6.42
Nechť \(J\) je interval s krajními body \(a\) a \(b\). Potom vnitřkem intervalu \(J\) nazveme otevřený interval \((a,b)\). Značíme ho \(J^\circ = (a,b)\).
Věta 6.43
Nechť \(f\) je spojitá na intervalu \(J\) a nechť pro každé \(x\in J^\circ\) existuje \(f'(x)\). Potom platí následujících pět tvrzení,
- \(\big(\forall x\in J^\circ\big)\big(f'(x) \geq 0\big)\) \(\Rightarrow\) \(f\) je rostoucí na \(J\),
- \(\big(\forall x\in J^\circ\big)\big(f'(x) \leq 0\big)\) \(\Rightarrow\) \(f\) je klesající na \(J\),
- \(\big(\forall x\in J^\circ\big)\big(f'(x) > 0\big)\) \(\Rightarrow\) \(f\) je ostře rostoucí na \(J\),
- \(\big(\forall x\in J^\circ\big)\big(f'(x) < 0\big)\) \(\Rightarrow\) \(f\) je ostře klesající na \(J\),
- \(\big(\forall x\in J^\circ\big)\big(f'(x) = 0\big)\) \(\Rightarrow\) \(f\) je konstantní na \(J\).
Důkaz 1. tvrzení, ostatní naprosto analogicky :
Buďte \(x_1,x_2 \in J\) taková, že \(x_1 < x_2\). Podle Lagrangeovy věty o přírůstku funkce aplikované na interval \(\langle x_1, x_2 \rangle\) existuje \(c\in(x_1,x_2)\) tak, že \begin{equation*} f'(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}.\end{equation*} Protože \(c \in J^\circ\), je \(f'(c) \geq 0\). Tudíž \begin{equation*} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad f(x_2) - f(x_1) \geq 0 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \leq f(x_2).\end{equation*}
\(\square\)Hlavním výsledkem předchozí věty tedy je: Je-li funkce \(f\) diferencovatelná, pak o tom zda roste či klesá rozhoduje znaménko její derivace. Pro lepší představu uvažme funkci \begin{equation*} {\color{blue} f(x) \ceq 2x^3 - 9x^2 + 12 x - \frac{9}{2}}\end{equation*} pro jejíž derivaci platí \begin{align*} {\color{red} f'(x)} &= 6x^2-18x+12 \\ &= 6(x-1)(x-2).\end{align*} Porovnejte funkci a její derivaci na obrázku č. 6.13.
Obrázek 6.13: Funkce a její derivace. Znaménko derivace rozhoduje o monotonii funkce.
Zjistili jsme, že první derivace funkce \(f\) souvisí s monotonií funkce \(f\). Nyní ukážeme, že druhá derivace funkce \(f\) dále souvisí s tvarem grafu funkce \(f\). Nejprve zaveďme potřebné pojmy.
Definice 6.44
Funkci \(f\) definovanou na intervalu \(J\) nazveme konvexní na intervalu (resp. konkávní na intervalu) \(J\), právě když pro každé \(x_1,x_2,x_3\in J\) splňující \(x_1 < x_2 < x_3\), leží bod \((x_2,f(x_2))\) buďto pod (resp. nad) přímkou spojující body \((x_1,f(x_1))\) a \((x_3,f(x_3))\), nebo na ní.
Definice 6.45
Funkci \(f\) definovanou na intervalu \(J\) nazveme ryze konvexní na intervalu (resp. ryze konkávní na intervalu) \(J\), právě když pro každé \(x_1,x_2,x_3\in J\) splňující \(x_1 < x_2 < x_3\), leží bod \((x_2,f(x_2))\) pod (resp. nad) přímkou spojující body \((x_1,f(x_1))\) a \((x_3,f(x_3))\).
Očividně, \(f\) je konkávní na intervalu \(J\), právě když \(-f\) je konvexní na intervalu \(J\). Stačí se tedy soustředit například na konvexní funkce.
K osvětlení terminologie uveďme etymologický význam obou pojmů. Convexum má v latině význam údolí a concavum význam výdutě. Ukázka konvexní a konkávní funkce je dále uvedena na obrázku č. 6.14.
Obrázek 6.14: Konvexní (vlevo) a konkávní (vpravo) funkce na intervalu.
Přepišme požadavek v definici konvexnosti explicitně. Máme funkci \(f\) definovanou na intervalu \(J\) a body \(x_1 < x_2 < x_3\). Přímka procházející body \((x_1,f(x_1))\) a \((x_3,f(x_3))\) je dána rovnicí \begin{equation*} y = f(x_1) + \frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3 - x_1} (x-x_1).\end{equation*} Požadavek, aby bod \((x_2,f(x_2))\) ležel pod (nebo na) této přímce pak lze po několika drobných úpravách vyjádřit jako nerovnost \begin{equation*} f(x_2)(x_3 - x_1) \leq f(x_1) (x_3-x_2) + f(x_3) (x_2 - x_1).\end{equation*}
Často bývá zvykem vyjádřit konvexitu alternativním způsobem. Uvažme body \(x_1 := x < y =: x_3\) a bod \(x_2 := \lambda x + (1 - \lambda) y\), \(\lambda \in (0,1)\) ležící mezi \(x\) a \(y\). Potom lze předchozí nerovnost přepsat do tvaru \begin{equation*} f(\lambda x + (1-\lambda)y) (y-x) \leq f(x) (\lambda y - \lambda x) + f(y) ((\lambda-1)x + (1-\lambda) y),\end{equation*} což po jednoduché úpravě přechází na \begin{equation*} f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y).\end{equation*} Není těžké rozmyslet, že \(f\) je konvexní na \(J\), právě když pro každé \(x,y\in J\) a \(\lambda \in (0,1)\) platí předchozí nerovnost.
Věta 6.46
Buď \(f\) funkce spojitá na intervalu \(J\), která má druhou derivaci v každém bodě intervalu \(J^\circ\).
- Funkce \(f\) je konvexní na intervalu \(J\), právě když \(f''(x) \geq 0\) pro každé \(x\in J^\circ\).
- Je-li \(f''(x) > 0\) v každém bodě \(x\in J^\circ\), pak je \(f\) ryze konvexní na \(J\).
Důkaz implikace zprava doleva :
Z předpokladu \(f''(x) \geq 0\), \(x\in J^\circ\) plyne, že \(f'\) je rostoucí na \(J^\circ\). Buďte \(x_1,x_2,x_3 \in J\) splňující \(x_1 < x_2 < x_3\). Dle Lagrangeovy věty existují \(\xi,\eta\) splňující \(x_1 < \eta < x_2 < \xi < x_3\) a platí \begin{equation*} \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2} = f'(\xi) \geq f'(\eta) = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.\end{equation*} Po elementárních úpravách \begin{equation*} f(x_2) (x_3 - x_1) \leq f(x_1) (x_3-x_2) + f(x_3)(x_2 - x_1).\end{equation*} Tím je dokázán i druhý bod věty (\(\geq\) se změní na \(>\)).
\(\square\)Důkaz implikace zleva doprava :
Postupujme sporem. Předpokládejme, že \(f\) je konvexní na \(J\) a současně existuje bod \(x_2 \in J^\circ\) splňující \(f''(x_2) = \lim_{x\to x_2} \frac{f'(x) - f'(x_2)}{x-x_2} < 0\). Existuje tedy \(H_\delta(x_2) \subset J\) takové, že \begin{equation*} \frac{f'(x) - f'(x_2)}{x-x_2} < 0 \quad \text{kdykoliv} \ x\in H_\delta(x_2) \smallsetminus \{x_2\}.\end{equation*} Celkem tedy \(f'(x) > f'(x_2)\) kdykoliv \(x\in (x_2-\delta,x_2)\) a \(f'(x_2) > f'(x)\) kdykoliv \(x \in (x_2,x_2+\delta)\). Položme \(x_1 = x_2 - \delta\) a \(x_3 = x_2 + \delta\). Pak existují \(\eta\) a \(\xi\) pro které \(x_2-\delta < \eta < x_2 < \xi < x_2 + \delta\) a \begin{equation*} \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2} = f'(\xi) < f'(\eta) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}.\end{equation*} Což po elementárních úpravách dává spor s konvexností, \begin{equation*} f(x_2) (x_3 - x_1) > f(x_1) (x_3 - x_2) + f(x_3) (x_2 - x_1).\end{equation*}
\(\square\)Poznámka 6.47
Stejná věta platí i pro konkávní funkce. V tomto případě je znaménko druhé derivace (jejíž existence je předpokladem věty) záporné.
Definice 6.48
Nechť funkce \(f\) má konečnou derivaci v bodě \(a\in D_f\). Pokud existuje okolí \(H_a\) bodu \(a\) takové, že pro všechna \(x\in H_a\smallsetminus\{a\}\) leží všechny body \((x,f(x))\) nad (resp. pod) tečnou funkce \(f\) v bodě \(a\), \begin{equation*} y = f(a) + f'(a) (x-a),\end{equation*} nebo na ní, pak \(f\) nazveme konvexní v bodě \(a\) (resp. konkávní v bodě \(a\)).
Poznámka 6.49
Konvexnost na intervalu nevyžaduje diferencovatelnost, na rozdíl od konvexnosti v bodě, která vychází z pojmu tečny (kterou konstruujeme pomocí derivace). Podobně bychom mohli definovat ryzí konvexnost/konkávnost funkce v bodě. Ale pro naše účely to není nutné. Pro ilustrace bodové konvexity/konkavity uvádíme obrázek č. 6.15.
Obrázek 6.15: Konvexní a konkávní funkce.
Jaký je vztah mezi konvexitou na intervalu a konvexitou v každém bodě intervalu? Na to odpovídá následující věta.
Věta 6.50
Buď \(f\) funkce konvexní na intervalu \(J\) diferencovatelná v každém bodě \(J^\circ\). Potom je \(f\) konvexní v každém bodě intervalu \(J^\circ\).
Buď \(x,c \in J^\circ\), \(x \neq c\) a \(\lambda \in (0,1)\), potom \begin{equation*} f\big(\lambda c + (1-\lambda)x\big) \, {\color{red}\leq} \, \lambda f(c) + (1-\lambda) f(x).\end{equation*} Tuto nerovnost lze přepsat do tvaru \begin{equation*} (x-c) \cdot \frac{f\big(\lambda c + (1-\lambda)x\big) - f(c)}{\lambda c + (1-\lambda x) - c} = \frac{f\big(\lambda c + (1-\lambda)x\big) - f(c)}{1-\lambda} \, {\color{red}\leq} \, -f(c) + f(x).\end{equation*} Podle věty o limitě složené funkce pro \(\lambda \to 1\) ihned dostáváme nerovnost \((x-c) f'(c) \leq -f(c) + f(x)\), čili \(f(x) \geq f(c) + f'(c) (x-c)\). Funkční hodnota v bodě \(x\) je tedy větší než funkční hodnota ve stejném bodě lineární funkce jejíž graf je tečnou funkce \(f\) v bodě \(c\).
\(\square\)Z předchozí věty ihned plyne následující důsledek.
Důsledek 6.51
Buď \(f\) funkce diferencovatelná v každém bodě intervalu \(J\) a nechť \(f'(c) = 0\) pro jisté \(c\in J^\circ\).
- Pokud je \(f\) konvexní na intervalu \(J\), pak má funkce \(f\) v bodě \(c\) lokální minimum.
- Pokud je \(f\) konkávní na intervalu \(J\), pak má funkce \(f\) v bodě \(c\) lokální maximum.
Stačí si uvědomit, že tečna v bodě \(c\) je dána přímkou \(y = f(c)\) a využít definici konvexity/konkavity funkce \(f\) v bodě \(c\).
\(\square\)Poznámka 6.52
Předchozí věta se často používá pokud víme, že \(f\) má kladnou (nebo zápornou) druhou derivaci na okolí bodu \(c\). Pokud bychom požadovali ryzí konvexitu/konkavitu, pak dostaneme ostrá lokální minima/maxima.
Body, kde se mění konvexita na konkavitu, případně naopak, jsou důležité pro tvar grafu funkce. Zavádí se pro ně proto zvláštní označení.
Definice 6.53
Nechť \(f\) je spojitá v bodě \(c\). Bod \(c\) nazýváme inflexním bodem funkce \(f\), právě když existuje \(\delta>0\) takové, že \(f\) je ryze konvexní na intervalu \((c-\delta,c)\) a ryze konkávní na intervalu \((c,c+\delta)\), nebo naopak.
Příklad 6.54
Nalezněte inflexní body funkce \(f(x) = e^{-x^2}\). Je potřeba vypočíst druhou derivaci zadané funkce, \begin{equation*} \begin{aligned} f'(x) &= -2x e^{-x^2}, \\ f''(x) &= -2 e^{-x^2} + 4x^2 e^{-x^2} = 2 (2x^2 - 1)e^{-x^2}. \end{aligned}\end{equation*} Vidíme, že znaménko druhé derivace je kladné pro \(|x| > \frac{1}{\sqrt{2}}\) a záporné pro \(|x| < \frac{1}{\sqrt{2}}\). Funkce \(f\) je proto konvexní na \(\big(-\infty,-\frac{1}{\sqrt{2}}\big)\) a \(\big(\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty\big)\) a konkávní na \(\big(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\big)\). Inflexními body tedy jsou body \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) a \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\). Funkce je znázorněna na obrázku č. 6.16.
Obrázek 6.16: Inflexní body.
Konečně, poslední vlastností grafu, kterou bude zkoumat, je existence asymptot. Rozlišujeme dva kvalitativně rozdílné případy zavedené v následující definici.
Definice 6.55
Řekneme, že funkce \(f\) má v bodě \(a \in \mathbb{R}\) asymptotu \(x=a\), právě když \(\displaystyle\lim_{x\to a+} f(x)\) nebo \(\displaystyle\lim_{x\to a-} f(x)\) je rovna \(+\infty\) nebo \(-\infty\). Řekneme, že přímka \(y=kx+q\) je asymptotou funkce \(f\) v \(+\infty\), resp. v \(-\infty\), když \begin{equation*} \lim_{x\to+\infty} \big( f(x) - kx - q \big) = 0 \ \text{resp.} \ \lim_{x\to-\infty} \big( f(x) - kx-q \big) = 0.\end{equation*}
Poznámka 6.56
Má-li být přímka \(y = kx + q\) asymptotou funkce \(f\) v \(+\infty\), pak nutně \(0 = \displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{f(x) - (kx+q)}{x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x} - k\) a proto
Příklad 6.57
Nalezněte asymptoty funkce \(\displaystyle f(x) = \frac{x^2+2}{|x-1|} + 1\). Proberme postupně možné body, kde může mít zadaná funkce asymptotu. Bod \(x=1\) nepatří do \(D_f\) a \(\displaystyle\lim_{x\to 1_\pm} f(x) = +\infty\). Tudíž přímka \(x=1\) je asymptotou \(f\) v bodě \(1\). Hledejme asymptotu v \(+\infty\), \begin{align*} k &= \lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{x^2 + 2}{x^2 - x} + \frac{1}{x} = 1, \\ q &= \lim_{x\to+\infty} f(x) - {\color{blue}k}x = \lim_{x\to+\infty} \frac{x^2+2}{x-1} + 1 - {\color{blue}1}\cdot x = \lim_{x\to+\infty} \frac{2 + x}{x-1} +1 = 2.\end{align*} Podobně, pro asymptotu v \(-\infty\) máme \begin{equation*} \begin{aligned} k &= \lim_{x\to-\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to-\infty} \frac{x^2 + 2}{-x^2 - x} + \frac{1}{x} = -1, \\ q &= \lim_{x\to-\infty} f(x) - {\color{blue}k}x = \lim_{x\to-\infty} \frac{x^2+2}{-x+1} + 1 - {\color{blue}(-1)}\cdot x = 0. \end{aligned}\end{equation*} Nalezené asymptoty jsou uvedeny na obrázku č. 6.17.
Obrázek 6.17: Asymptoty funkce.
Shrňme si vztah mezi funkcí a její první a druhou derivací na několika názorných ukázkách, vizte obrázek č. 6.18.
Obrázek 6.18: Vztah první derivace a monotonie funkce, druhé derivace a konvexnosti resp. konkávnosti.
Poznámka 6.58
Na závěr této podkapitoly poznamenejme co máme na mysli pod vyšetřováním průběhu funkce. Při vyšetřování průběhu funkce \(f\) zkoumáme:
- definiční obor funkce \(f\), průsečíky grafu s osami, symetrie (sudost, lichost, periodicita),
- spojitost, body nespojitosti, existenci asymptot, limity v krajních bodech definičního oboru (do této kategorie případně zahrnujeme i \(+\infty\) a \(-\infty\)),
- existenci derivace \(f'\), monotonii funkce, lokální a globální extrémy,
- existenci druhé derivace \(f''\), konvexnost a konkávnost,
- na základě těchto výsledků načrtneme graf funkce \(f\).