Označuje-li \(x(t)\) polohu bodu pohybujícího se po přímce v čase \(t\in\mathbb{R}\), pak \(x'(t)\) představuje jeho okamžitou rychlost v čase \(t\) a změna polohy mezi časy \(0\) a \(1\) je \begin{equation*} x(1) - x(0) = \int_0^1 x'(t) \mathrm{d}t.\end{equation*} Okamžitá změna rychlosti, tj. \(x''(t)\), se nazývá zrychlení.

Z mostu nad řekou upustíme kámen a za \(5.6\) sekundy uslyšíme jak dopadne do vody. Jaká je výška mostu³⁸? Označme vertikální polohu kamene v čase \(t\) jako \(h(t)\), hladině odpovídá \(h=0\). Při volném pádu je kámen urychlován pouze tíhovou silou, tedy \begin{equation*} h''(t) = -g\end{equation*} Počáteční polohou je neznámá výška mostu \(h(0) = H > 0\) a počáteční rychlostí je \(h'(0) = 0\). Rychlost v okamžiku \(t\) je tedy \begin{equation*} h'(t) = h'(0) + \int_0^t h''(s) \,\mathrm{d}s = 0 + \big[ -g s \big]_0^t = -gt.\end{equation*} Poloha kamene v čase \(t\) je pak \begin{equation*} h(t) = h(0) + \int_0^t h'(s) \,\mathrm{d}s = H -g \Big[ \frac{s^2}{2} \Big]_0^t = H - \frac{1}{2}gt^2.\end{equation*} Mezi okamžikem dopadu a okamžikem kdy dopad uslyšíme uplyne čas \(\frac{H}{v_z}\), kde \(v_z \approx 343.2 m/s\) je rychlost zvuku. Dopadl-li kámen v čase \(T\), pak \(h(T) = 0\), tedy \(T = \sqrt{\frac{2H}{g}}\). Celkem \begin{equation*} T + \frac{H}{v_z} = 5.6 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{\frac{2H}{g}} + \frac{H}{v_z} = 5.6 \quad \Rightarrow \quad H + v_z \sqrt{\frac{2}{g}} \sqrt{H} - 5.6\cdot v_z = 0\end{equation*} a proto \(H = 133.2 m\).

Nechť v kanistru s kapacitou \(25\) litrů je \(1\) litr vody v okamžiku \(t=0\) a je poté napouštěna rychlostí \(3t^2 - 2t + 3\) litrů vody za minutu. Voda z nádoby vytéká trhlinou rychlostí \(2\) litry za minutu. Kolik je v kanistru vody po třech minutách? Označme objem vody v kanistru v čase \(t\) symbolem \(V(t)\). Podle zadání je \(V(0) = 1\) litr. Změna množství vody je \begin{equation*} V'(t) = 3t^2 - 2t + 3\, {\color{red}-} \, 2 = 3t^2 - 2t + 1.\end{equation*} Takže množství vody v kanistru po třech minutách je \begin{equation*} \begin{aligned} V(3) &= V(0) + \int_0^3 \big( 3t^2 - 2t + 1 \big) \mathrm{d}t = 1 + \Big[ t^3 - t^2 + t \Big]_0^3 = \\ &= 1 + 27 - 9 + 3 = 22 \, \text{litrů}. \end{aligned}\end{equation*}