Následující kritérium je nedocenitelné při počítání některých „očividných“ limit posloupností. Podívejme se například na limitu
Bohužel, úvaha v předchozím odstavci má hliněné nohy, je to pouze naše domněnka. Podobné pozorování bychom přeci také z grafu učinili, kdybychom studovali limitu \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \frac{n}{10^{10^{10}} \cdot n},\end{equation*} jmenovatel této posloupnosti také přece roste podstatně rychleji než její čitatel. Přesto je tato limita rovna \(10^{-10^{10}}\), což není nula. Takovýto argument je tedy sám o sobě nepoužitelný.
Když se nad těmito dvěma situacemi zamyslíte, tak uvidíte, že problém je vlastně v tom, co to přesně znamená „roste podstatně rychleji“. Co tímto slovním spojením vlastně chceme popsat? Přirozeně bychom mohli říci, že máme-li dvě posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\) a \((b_n)_{n=1}^\infty\) obě mající za limitu \(+\infty\) pak o \((a_n)_{n=1}^\infty\) řekneme, že „roste podstatně rychleji“ než \((b_n)_{n=1}^\infty\) právě když \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{a_n} = 0.\end{equation*} Zde ale ihned vidíme problém. Toto je požadavek ekvivalentní tomu co máme spočítat! Nemůžeme přece říci, že limita podílů je nula, protože limita podílů je nula!
Vraťme se k limitě v rovnici (3.7). Mohli bychom se pokusit dokázat pomocí definice, že tato limita je rovna nule (zkuste!). Na tomto místě zvolíme ale jiný postup, který se nám bude hodit i v dalších příkladech. Platí totiž následující věta.
Buď \((a_n)_{n=1}^\infty\) posloupnost kladných čísel a nechť
Proveďme důkaz bodu a. Protože \(q < 1\) určitě existuje \(r\) splňující \(q < r < 1\). Díky tomu pak i \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < r.\end{equation*} Dle věty č. 3.50 existuje \(n_0\in\mathbb{N}\) takové, že nerovnost \begin{equation*} \frac{a_{n+1}}{a_n} < r\end{equation*} platí pro všechna \(n > n_0\). Díky nezápornosti členů posloupnosti pak platí i nerovnost \(a_{n+1} < r a_n\) pro libovolné \(n>n_0\). To ovšem znamená, že pro \(n>n_0\) je \begin{equation*} 0 \leq a_n \leq r^{n - n_0 - 1} a_{n_0 + 1}.\end{equation*} Protože \(0 < r < 1\) je limita pravé strany nerovnosti rovna nule (viz příklad v předchozí podkapitole). Dle věty o limitě sevřené posloupnosti (věta č. 3.54) pak ihned dostáváme kýžený výsledek \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0\). Bod b. se dokáže naprosto analogicky.
\(\square\)Aplikujme podílové kritérium na příklad uvedený na začátku této podkapitoly. Teprve až tuto limitu vypočteme, budeme moc tvrdit, že „\(2^n\) roste do nekonečna podstatně rychleji, než \(n^2\)“. Teprve po tomto výpočtu bude tato vlastnost těchto dvou funkcí odvozena.
Vypočtěme limitu \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.\end{equation*} Pro limitu podílů platí \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}}{\frac{n^2}{2^n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{n+1}{n} \right)^2 = \frac{1}{2} < 1.\end{equation*} Podle podílového kritéria proto původní posloupnost konverguje k nule.
První bod věty 3.60 lze relativně snadno formulovat i pro některé posloupnosti nemající pouze kladné členy. Stačí použít větu 3.34. Skutečně, pokud pomocí podílového kritéra zjistíme, že posloupnost s nezápornými členy \((|a_n|)_{n=1}^\infty\) konverguje k nule, pak k nule konverguje i posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\).
Pokud limita podílů vyjde rovna \(1\), pak podílové kritérium nelze použít. Například pro posloupnost \((n)_{n=1}^\infty\) platí \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} = \lim_{n\to\infty} 1 + \frac{1}{n} = 1\end{equation*} a \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} n = +\infty\). Avšak pro limitu \((1/n)_{n=1}^\infty\) platí \begin{equation*} \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = 1,\end{equation*} ale \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0\).
Podílové kritérium jsme ve větě 3.60 formulovali v tzv. limitním tvaru. Z důkazu je zřejmé, že platí i silnější nelimitní verze: Jestliže pro posloupnost kladných čísel \((a_n)_{n=1}^\infty\) existují \(n_0 \in \mathbb N\) a \(q \in \mathbb R\) takové, že \begin{equation*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq q < 1, \quad \text{resp.}\quad \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq q > 1\end{equation*} pro každé \(n > n_0\), potom \(\lim_{n\to \infty} a_n = 0\), resp. \(\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty\).
Existují i další kritéria konvergence posloupností (např. Raabeovo, Cauchyovo), kterými se zde přímo nebudeme zabývat.
V BI-ZMA se snažíme naučit studenty umět ověřit a správně vysvětlit svá tvrzení. Proto argument „roste rychleji než“ při počítání příkladů je neakceptovatelný. V těchto příkladech je to typicky argumentace kruhem, jak bylo výše zmíněno. Ano, je to dobrá intuice, ale je potřeba umět si ji obhájit, například právě podílovým kritériem (to nemusí být vždy jediná možnost).